приховати рекламу

Роль розумового прийому класифікації у формуванні математичних понять у молодших школярів

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРИМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ ІНСТИТУТ

ЄВПАТОРІЙСЬКИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА МЕТОДИКИ ПОЧАТКОВОГО І ДОШКІЛЬНОЇ ОСВІТИ
ДИПЛОМНА РОБОТА
РОЛЬ РОЗУМОВОГО ПРИЙОМУ КЛАСИФІКАЦІЇ У ФОРМУВАННІ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ У МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ

Студентки 5 курсу

Свірської Наталії Віталіївни
Євпаторійського
педагогічного факультету
(Спеціальність: «Початкове
навчання »)
Науковий керівник:
Глузман Неля Анатоліївна.
Євпаторія - 2004

ЗМІСТ
ВСТУП ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ
1.1. «Поняття» у психолого-педагогічної, філософської, навчально-методичної літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 8
1.2. Види і визначення математичних понять у початковій математики ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
1.3. Роль, функції класифікації при формуванні математичних понять ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
РОЗДІЛ 2. МЕТОДИКА ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ В КУРСІ ПОЧАТКОВІЙ МАТЕМАТИКИ
2.1. Общеметодіческого вимоги до засвоєння та формування математичних понять ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... 32
2.2. Методична система формування математичних понять ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
2.3. Планування, організація та аналіз результатів процесу дослідження ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 72
УКЛАДЕННЯ І ВИСНОВКИ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 90
Список використаних джерел ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .92
ДОДАТКИ

ВСТУП
Проведені в нашій країні перетворення ставлять перед школою завдання не тільки озброїти школярів знаннями, але і навчити їх застосовувати на практиці, проявляти пізнавальний інтерес і допитливість розуму. Характерною ознакою розвитку дидактики кінця ХХ століття є спрямованість на розвиток особистості. Розумовий розвиток особистості, яке в державній національній програмі «Освіта. Україна ХХІ століття »визначено як пріоритетний напрямок реформування освіти, вимагає не тільки певної кількості знань, а й сформованості математичних понять, розумових дій і прийомів. У Державному стандарті загальної середньої освіти зазначено, що: «Ознайомлення школярів з математикою повинно розглядатися, як особливий метод світорозуміння, пізнання ними діалектичному зв'язку математики з дійсністю і математичного моделювання супутнього розвитку їх наукового світогляду».
Вирішальне значення для системи шкільної математичної освіти має формуючий аспект предмета математики, широкі можливості для розумового розвитку особистості.
В останні роки одним з основних освітніх завдань початкової школи є засвоєння учнями математичних понять та формування в них загальних і специфічних розумових дій.
З точки зору сучасної психології та дидактики помилковим є твердження про те, що оволодіння самим змістом курсу математики автоматично формує мислення школярів. Необхідно спеціально вчити вмінню мислити, давати учням знання про зміст і послідовності розумових дій, що забезпечують засвоєння курсу математики. Однак конкретної програми логічних прийомів мислення, які повинні бути сформовані при вивченні даного предмета, поки немає. У результаті робота над розвитком логічного мислення школярів йде без знання системи необхідних прийомів, без знання їх змісту послідовності формування. Це призводить до того, що більшість учнів не опановують основними прийомами мислення навіть у старших класах школи, а ці прийоми необхідні уже молодшим школярам: без них не відбувається повноцінного засвоєння матеріалу.
Освіта і становлення понять, перехід до них від чуттєвих форм відображення - складний процес, в якому застосовуються такі прийоми розумової діяльності, як аналіз, синтез, порівняння, класифікація, узагальнення, абстрагування. Поняття - «це думка, в якій відбиваються загальні, і притому істотні властивості предметів. Разом з тим поняття не тільки відображають загальне, але і розчленовують речі, групують їх, класифікують відповідно до їх відмінностями »[40 с.27] Таким чином, розумові дії (аналіз, синтез, порівняння, класифікація, узагальнення, аналогія) складають внутрішню структуру поняття, його механізм.
Отже, не опанувавши основними прийомами мислення, учні відчувають труднощі у засвоєнні системи понять, у тому числі і математичних, які у свою чергу служать опорним моментом в пізнанні дійсності та є своєрідним підсумком пізнання. Тому поняття є однією з головних складових у змісті будь-якого навчального предмета початкової школи, в тому числі - і математики. Понятійне мислення формується у початкових класах і розкривається, удосконалюється протягом всього життя.
Викладене вище зумовило вибір теми дослідження «Роль розумового прийому класифікації у формуванні математичних понять у молодших школярів».
До числа фактів, визначили вибір теми нашого дослідження, відноситься також недостатня наукова розробленість даної проблеми. Аналізуючи підходи та концепції, що склалися в теорії та практиці розумового розвитку, слід відзначити дослідження, присвячені формуванню математичних понять у дітей (Л. С. Виготський, Ж. Піаже, Д. Б. Ельконін, В. В. Давидов, П.Я. Гальперін, Л. І. Айдарова), розвитку компонентів мислення, методиками формування прийомів розумової діяльності у школярів (Н. Ф. Тализіна, Н. Б. Істоміної, Є. М. Кабанова-Меллер, В. Н. Осинський, В. Ф . Паламарчук, Н. А. Менчинська, З. І. Слєпкань, К. А. Степанової, М. Г. Салминой, В. П. Сохін, В. І. Зиковою, М. Б. Волович), формування алгоритмів, способів та прийомів мислення учнів середньої школи (В. М. Косатий, Л. Н. Ланда, І. С. Якиманська), але розвиток і формування окремих розумових прийомів, їх значення у формуванні математичних понять в умовах навчання молодших школярів ще не знайшла свого місця у змісті математики початкових класів.
Об'єктом дослідження є процес формування математичних понять в учнів початкових класів.
Предмет дослідження - організація навчальної діяльності з формування математичних понять з використанням розумового прийому класифікації у молодших школярів.
Гіпотеза дослідження базується на припущенні про те, що систематичне і цілеспрямоване формування і використання прийому розумової діяльності класифікації буде сприяти більш глибокому та свідомому засвоєнню математичних понять молодшими школярами.
Мета дослідження - полягає в обгрунтуванні і реалізації методики формування системи математичних понять у молодших школярів з використанням прийому класифікації.
Мета роботи і висунута гіпотеза дозволили визначити такі основні завдання дослідження:
- Дослідити стан проблеми в психолого-педагогічній теорії та практиці шкільного навчання;
- Встановити місце і роль математичних понять в процесі навчання математики;
- Визначити методичні вимоги до формування математичних понять;
- Узагальнити досвід роботи вчителів, особистий досвід по роботі над математичними поняттями при навчанні математики;
- Перевірити сформованість математичних понять в учнів процесі дослідно-експериментальної роботи.
Методи дослідження:
- Аналіз відібраного програмного матеріалу, на якому можна реалізувати проблему формування математичних понять у молодших школярів;
- Аналіз методів, засобів, форм організації з формування математичних понять у молодших школярів;
- Вивчення психолого-педагогічної, методичної, філософської літератури з проблеми формування математичних понять у початковій школі.
- Вивчення результатів діяльності молодших школярів (перевірка контрольних, самостійних робіт та усного опитування) з метою визначення рівня знань і умінь молодших школярів при вивченні окремих тем.
Теоретична значущість полягає в теоретичному обгрунтуванні ідеї формування математичних понять з використанням прийому розумової діяльності класифікації в учнів початкових класів. Розробці теоретичної моделі системи роботи над математичними поняттями, що забезпечує високий рівень осмислення ходу рішення математичного завдання, а також сприяють розвитку елементів творчого мислення у молодших школярів.
Практична значимість отриманих результатів дослідження полягає в апробації тестів і розробці комплексу тестових завдань для визначення сформованості понять учнів в процесі вивчення курсу математики, у підготовці методичних розробок, а також програм для статистичної обробки результатів експериментальної роботи.
Дипломна робота складається з вступу, 2 розділів, висновків, висновків, списку використаної літератури, додатків. Загальний обсяг роботи - 96.
Базою проведення експериментального дослідження був навчально-виховний комплекс «середня загальноосвітня фізико-математична школа I - III ступенів № 6 - дошкільний навчальний заклад № 31.

РОЗДІЛ 1

ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ

1.1. Поняття у психолого-педагогічної, філософської, навчально-методичної літератури
У педагогічній, психологічній, методичній літературі зазначено, що мислення лежить в основі пізнання. Одна з характерних особливостей дитячого мислення - його наочність, чуттєво-практична спрямованість.
У процесі відображення навколишньої дійсності розрізняють пізнання чуттєве і логічне. У молодших школярів пізнання навколишньої дійсності здійснюється через формування у них відчуттів на основі діяльності органів почуттів. У головному мозку йде відображення окремих, ізольованих властивостей, зовнішніх сторін предметів, явищ, які безпосередньо діють на органи почуттів. Але окремих, ізольованих властивостей від предметів, явищ матеріального світу не існує. Тому відображення окремих властивостей предметів неминуче призводить до відображення в свідомості предмета в цілому, таким чином, з відчуттів виникає сприйняття, в якому учень відображає вже сукупність властивостей, характерних для даного об'єкта, «будує» чуттєво-наочний образ, відображаючи вже об'єкт в цілому, у взаємозв'язку його особливостей.
Чуттєво-наочний образ предметів і явищ дійсності, збережений у свідомості і без безпосереднього впливу самих предметів і явищ дійсності на органи почуттів називається виставою. Вони виникають не миттєво і не в закінченому вигляді, а формуються, поступово вдосконалюються, змінюються під впливом нових, цілеспрямованих актів сприйняття. Уявлення виникають у свідомості дітей у вигляді наочних образів, носять конкретний характер, тим не менше, ці образи можуть відображати несуттєві ознаки, тому що частина відчуттів упускається.
Виникнувши на основі відчуттів і сприйняття, будучи формою більш узагальненого, але разом з тим наочно-чуттєвого відображення навколишньої дійсності, уявлення служать перехідним ступенем до вищої форми пізнання - логічного, яке спирається на систему взаємопов'язаних понять. Формування понять неможливо без розумової діяльності школярів.
У педагогіці поняття - це «форма наукового знання, що відображає об'єктивно істотне в речах і явищах і закріплюється спеціальними термінами або позначеннями. На відміну від чуттєвих образів поняття - це щось безпосереднє, взяте у всьому різноманітті його якісних його особливостей. З усього цього різноманіття поняття відволікає істотне і тим самим отримує знання загальності, в чому і полягає його головна відмітна риса »[52, с.156].
Поняття - «одна з форм мислення, вищий рівень узагальнення, характерний для мислення словесно-логічного» [38, С.123].
Поняттям називають також «думка, що представляє собою узагальнення (і уявне виділення) предметів деякого класу за їх специфічним (в сукупності відмітним) ознаками» [63, с. 134].
У системі знань про об'єкти і предмети навколишньої дійсності поняття служать опорним моментів у пізнанні її і є своєрідним підсумком пізнання. Тому поняття є однією з головних складових у змісті будь-якого навчального предмета, у тому числі - і предметів початкової школи.
Проблема формування понять давно привертає увагу психологів і педагогів (Л. С. Виготський, Д. Б. Ельконін, В. В. Давидов, Н. А. Менчинська, Ж. Піаже, П. Я. Гальперін, Л. І. Айдарова, Н. Г. Салміна, К. А. Степанова, В. І. Зикова). У дослідженнях, що стосуються формування понять автори часто звертаються до математики.
Л. С. Виготський вперше ввів в психологію поділ понять на наукові та ненаукові - «житейські», при цьому він мав на увазі не зміст засвоюваних понять, а шлях їх засвоєння. Дитина застає що склалася в суспільстві систему понять. Засвоєння цієї системи завжди відбувається з допомогою дорослих. До систематичного навчання в школі дорослі не ведуть спеціальної роботи з формування понять у дітей. Вони зазвичай обмежуються лише вказівкою на те, вірно чи невірно дитина відніс предмет до відповідного поняттю. Внаслідок цього дитина засвоює поняття шляхом «проб і помилок». При цьому в одних випадках орієнтування фактично відбувається по несуттєвим ознаками, але в силу поєднання їх у предметах з істотними в певних межах виявляється вірною. В інших - орієнтування відбувається на істотні ознаки, але вони залишаються неусвідомленими. Саме в цій неусвідомленість істотних ознак Л.С. Виготський і бачив специфіку так званих життєвих понять. Таке засвоєння понять не відображає всіх сторін специфічно людського способу придбання нових знань.
Зовсім інша справа, вважав Л. С. Виготський, коли дитина потрапляє до школи. Процес навчання передбачає перехід від стихійного ходу діяльності дитини до діяльності цілеспрямованої, організованої. Поняття, що формуються у дитини в школі, характеризуються тим, що їх засвоєння починається з усвідомлення істотних ознак поняття, що досягається введенням визначення.
Саме в цій усвідомленості істотних ознак Л. С. Виготський і бачив специфіку наукових понять. Цей шлях, на його думку, дає можливість дитині надалі довільно і свідомо діяти з поняттям.
Дослідження, проведені згодом Н. А. Менчинська, показали, що припущення Л. С. Виготського не підтверджується.
Більшість учнів безпомилково відтворюють визначення поняття, тобто виявляють знання його істотних ознак, але при зустрічі з реальними об'єктами спираються на випадкові ознаки, встановлені в безпосередньому досвіді. І тільки поступово, через ряд перехідних етапів, в результаті своєї власної практики учні навчаються орієнтуватися на суттєві ознаки предметів.
Таким чином, словесне знання визначення поняття не змінює, по суті, ходу процесу засвоєння цього поняття, що переконливо доводить неможливість передачі поняття в готовому вигляді. Дитина може отримати його лише в результаті своєї власної діяльності, спрямованої не на слова, а на ті предмети, поняття про які ми хочемо у нього сформувати.
Н. Ф. Тализіна говорить про те, що знання істотних ознак поняття може змінити хід і характер пізнавальної діяльності тільки в тому випадку, коли ці ознаки увійдуть до неї в якості орієнтирів, тобто будуть реально брати участь у процесі вирішення завдань, поставлених перед дитиною. Оскільки при звичайній організації навчального процесу це не забезпечується, то з боку пізнавальної діяльності учнів засвоєння життєвих і наукових понять у значної частини учнів йде дуже подібним шляхом.
Н. Ф. Тализіна, М. Б. Волович вказують, що для засвоєння понять обов'язкові такі дії:
1) підведення під поняття;
2) вибір необхідних і достатніх ознак для розпізнавання об'єкта;
3) виведення наслідків про належність і не належності об'єкта до поняття.
Ці дії необхідні при засвоєнні будь-яких понять.
10. Богданович М. Визначення математичних понять / / «Початкова школа» 2001 № 4.
11. Богоявленський Д.Б., Менчинська Н.А. Психологія засвоєння знань у школі. - М.: Изд-во АПН РРФСР, 1959. - 347 с.
12. Бірюкова Л.А. Прийом класифікації при навчанні математики. / / Початкова школа 1998 № 5.
13. Богданович М.В. Методика розв'язування задач у початковій школі: Навч. посібнік.-К.: Вища школа, 1990. - 183 с.
14. Богданович М.В., Кочина Л.П. Математика: Підручник для 1 кл. чотірірічної школі. - К.: Освіта, 1997 .- 216 с.
15. Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А. Методика Викладання математики в початковий класах: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 1998 .- 352 с.
16. Богданович М.В. Математика: Підручник для 3 кл. трірічної і 4 кл. чотірірічної початкової школи. - К.: Освіта, 1998 .- 240 с.
17. Богданович М.В. Математика: Підручник для 1 кл. трірічної і 2 кл. чотірірічної початкової школи. - К.: Освіта, 1999 .- 208 с.
18. Богданович М.В. Математика: Підручник для 2 кл. трірічної І 3 кл. чотірірічної початкової школи. - К.: Освіта, 1999 .- 224 с.
19. Богданович М.В. Визначення математичних понять / / Початкова школа 2001. - № 4.
20. Васильєва М.І. Математика і конструювання / / Початкова школа. - 2000. - № 7.
21. Виготський Л.С. Розумовий розвиток дітей у процесі навчання: Збірник статей. - М.-Л.: Держ. учеб.-пед. вид., 1935. - 133 с.
22. Глузман Н. А. Формування узагальнених прийомів розумової діяльності в молодших школярів. - Ялта: КГГІ, 2001. - 34 с.
23. Гальперін П.Я. Методи навчання і розумовий розвиток дитини. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - 45 с.
24. Гальперін П.Я. Психологія мислення та вчення про поетапне формування розумових дій. - М. Педагогіка 1986 - 240 с.
25. Вікова та педагогічна психологія: Підручник для студентів педагогічних інститутів / / Под ред. Петровського А.В. - 2-е вид., Испр. і доп. - М.: Просвещение, 1979. - 288 с.
26. Давидов В.В. Види узагальнення в навчанні: Логіко-психологічні проблеми побудови навчальних предметів. - М.: Педагогіка, 1972. - 423 с.
27. Дрозд В.Л. Урбан М.А. Від маленьких проблем - до великих відкриттів. / / Початкова школа. - 2000. - № 5.
28. Дубровський Д. М. Основи псіхологii. - Львів: Спалах. - 2001.-324 с.
29. Жабо Т. О. Iнтелектуальній розвиток молодших школярiв в процессi навчання математики. / / Початкова школа - 1998. - № 7.
30. Закон України «Про внесення змін І доповнений до Закону Української РСР« Про освіту ». - К.: Генеза. - 1996.
31. Іванова Л.Г. Оволодіння узагальненими образами і використання їх учнями у вирішенні навчальних завдань / / Питання психології. - 1980 .- № 2.-С.118-121.
32. Істоміна Н.Б. Активізація учнів на уроках математики в початкових класах: Посібник для вчителів. М. - Освіта 1985 - 65С.
33. Істоміна Н.Б. Методика навчання математики в початкових класах: Учеб. посібник для студ. середовищ. і вищ. пед. навч. закладів. - 2-е вид., Испр. - М.: Академія, 1998. - 288 с.
34. Кабанова-Меллер Є.М. Формування прийомів розумової діяльності та розумовий розвиток учнів. - М.: Просвещение, 1968. - 288 с.
35. Концепція загальної середньої ОСВІТИ Як базової в єдіній сістемі неперервної ОСВІТИ. - К.: МО України, 1992. - 177 с.
36. Кочина Л.П. Математика в 1 кл. 4-х років. поч. шк.: методич. посібник. - К.: Рад. школа, 1986. - 144 с.
37. Кочина Л.П. Математика в 2 кл. 4-х років. поч. шк.: методич. посібник. - К.: Рад. школа, 1986. - 173 с.
38. Кочина Л. П. Математика: Підручник для 1кл. трьорічної почат.школі .- К.: Спалах ЛТД, 1996. - 192 с.
39. Короткий психологічний словник / / Сост Карпенко Л. А.; За заг. ред Петровського А. В., Ярошевського М. Г. - К.: Політвидав, 1985. - 431 с.
40. Крутецкий В.А. Психологія математичних здібностей школярів. - М.: Просвещение, 1968. - 431 с.
41. Логачевська С. В., Каганець Т. Р. Iндівiдуалiзацiя заданiй на етапi закрiплення знань по математіцi / / Початкова школа - 1998. - № 4. - С.17.
42. Логіка: Курс лекцій / / Еришев А. А., Лукашевич М. П., Сластенко Є. Ф. - 3-е изд., Перераб. і доп. - К.: МАУП, 2000. - 184 с.]
43. Немов Р. С. Психологія: Учеб. для студ. пед. вузів: У 3 кн. - 3-е вид. - М.: Гуманит. вид. Центр ВЛАДОС, 1999. - Кн. 1.
44. Немов Р. С. Психологія: Учеб. для студ. пед. вузів: У 3 кн. - 3-е вид. - М.: Гуманит. вид. Центр ВЛАДОС, 1999. - Кн. 3.
45. Максименко С. Д. Загальна психологія. - К.: Вакляр 2001. - 235с.
46. Махмутов М.І. Організація проблемного навчання в школі. Кн. для вчителів. - М.: Просвещение, 1977. - 240 с.
47. Менчинська Н.А. Проблеми навчання і розумового розвитку школяра: Вибрані психологічні праці - М.: Педагогіка, 1989. - 224 с.
48. Митник О. К. Математично логiко Як Навчальний предмет / / Початкова школа. - 1998. - № 2.
49. Моро М.І., Пишкало А.М. Методика навчання математики в 1-3 класах: Посібник для вчителя. - 2-е вид. - М.: Просвещение, 1978. - 336 с.
50. Моро М.І. та ін Математика: Підручник для 1 кл. триріччя. поч. шк. / Моро М.І., Бантова М.А., Бетлюкова Г.В. -М.: Освіта, 1990. - 176 с.
51. Осінський В.М. Формування розумової культури учнів у процесі навчання математики: Кн. для вчителя. - К.: Рад. школа, 1989. - 192 с. Паламарчук В.Ф. Школа вчить мислити. - 2-е вид., Доп. і перераб .- М.: Просвещение, 1987. - 20.
52. Підгорецький Н.А. Вивчення прийомів логічного мислення у дорослих. - М.: Изд-во МГУ, 1980. - 147 с.
53. Практична логіка: Навчальний посібник / Івін А. А. - М.: ФАИР - ПРЕС, 2002. - 288с
54. Рубінштейн С.А. Про мислення і шляхи його дослідження. - М.: Вид - во АН СРСР, 1958. - 148 с.
55. Рубіншнейн С.Л. Проблеми загальної психології. - М.: Педагогіка, 1973. - 369 с.
56. Рубіншнейн С.Л. Основи загальної психології. - Санкт-Петербург -2000. - 348с.
57. Слєпкань З.І. Психолого-педагогічні основи навчання математики. - К.: Радянська школа, 1983. - 193 с.
58. Столяр А.А. Методика початкового навчання математики .- К.: Вища школа, 1986. - 253 с.
59. Тализіна Н.Ф. Педагогічна психологія: Учеб. для студентів середовищ. пед. навч. закладу. - 2-е вид., Стереотип. - М.: Академія, 1998. - 288 с.
60. Трофімова Ю. Л. Психологія. -К.: Либідь, 2001. - 325с.
61. Філософський словник / / За ред. І. Т. Фролов. - 5-е вид. - М.: Політвидав, 1987. -590 С.
62. Фокіна С.Л. Формування узагальнених пізнавальних умінь та їх вплив на розвиток пізнавальних інтересів учнів: Автореф. дис ... канд. пед. наук / ЛДУ. - Л., 1977. - 20 с.
63. Якиманська І.С. Знання і мислення школяра. - М.: Знання, 1985. - 80 с.

ДОДАТОК
ЗМІСТ
ДОДАТОК А. Роздатковий матеріал до методики.
ДОДАТОК Б. Тести на сформованість математичних понять.
ДОДАТОК В. Ігри на формування в учнів початкових класів математичних понять і розумового прийому класифікація.
ДОДАТОК Г. Комплекс завдань на формування математичних понять і розумового прийому класифікації.
ДОДАТОК Д. Стаття з проблеми дослідження
ДОДАТОК Е. Самостійна робота

Додаток А
Роздатковий матеріал до методики
До тесту № 1
1 2 3 4
До
З
До
З
Нашивка: ЗП'ятикутник: ДоНашивка: До
П'ятикутник: З


5 6 7 8
До
До
До
З
Нашивка: ДоП'ятикутник: ЗП'ятикутник: До
Нашивка: До


8 9 10 11
З
До
До
З
П'ятикутник: ДоНашивка: До
П'ятикутник: ЗНашивка: З


З
П'ятикутник: З
З
П'ятикутник: З 12 13 14 15
До
З
П'ятикутник: ДоП'ятикутник: З


Рис. 1

До тесту № 2



Рис. 2

Додаток Б
Методика «Класифікація понять»
Виявляються такі особливості мислення, як здатність виділяти суттєві ознаки (для об'єднання карток у групи) і рівень узагальнення доступний школяреві.
Хід виконання завдання.
Завдання проходить в три етапи з трьома послідовними інструкціями. Випробуваному дається набір карток з надрукованими на них словами.
Перший етап процедури починається при так званій «глухий» інструкції: «Розклади картки так, щоб слова, які підходять один одному, опинилися в одній групі». Кількість можливих груп не обмовляється. У випадку, якщо випробуваний задає питання, перш ніж приступити до виконання завдання, йому кажуть: «Нумо, далі побачиш сам».
Після того, як випробуваний самостійно сформував кілька дрібних груп карток, у нього питають, чому, ті чи інші, картки поміщаються разом і яку назву їм дається. Потім відбувається період перехід до другого етапу.
Інструкція на другому етапі звучить так: «Ти вірно об'єднав картки в групи. Дай тепер цим групам короткі назви. Продовжуй працювати таким же чином ».
Після того, як всі картки виявилися поміщеними в групи і всім групам дані короткі назви, експериментатор переходить до третього етапу методики. Дається така інструкція: «Точно так само, як ти об'єднував картку з карткою, об'єднай тепер групу з групою, не перекладаючи окремих карток. Вони також повинні мати короткі назви ». Якщо випробуваний на цьому етапі формує більше, ніж три групи, йому пропонується сформувати з решти дві - три основні. У протоколі фіксуються етапи виконання роботи, назви груп і картки в них, а також відповіді і питання випробуваного.
При аналізі результатів велике значення має те, на якому етапі допущені ті чи інші помилки; відстоював він свої принципи об'єднання карток в групи, чи використовував допомогу експериментатора, які ще особливості мислення виявляв у класифікації. Так, якщо випробуваний на другому етапі сформував окремі групи диких, домашніх, водоплавних, літаючих тварин і відмовився об'єднати ці групи в одну, то це свідчить про ступінь використання конкретних, деталізованих ознак у спрямованості його мислення. Якщо подібні об'єднання проходили легко, самостійно, без вказівки експериментатора на необхідність укрупнення груп, то це можна кваліфікувати як досягнутий рівень узагальнення мислення, здатності випробуваного орієнтуватися не тільки на істотні ознаки, але враховувати їх ієрархії, тобто використовувати істотні зв'язки між поняттями. Показником цього є ступінь ускладнень або легкості в пошуку узагальнюючих понять, які фіксують підстави класифікації карток в групи.
Якщо на третьому етапі виконання методики випробуваний легко об'єднував групи і адекватно називав узагальнюючі ознаки, то є підстава вважати, що мислення його характеризується використанням узагальнених орієнтирів і протікає на категоріальному рівні.
Крім того, аналіз поведінки школяра в ході дослідження дозволяє говорити про наявність або відсутність у нього сугестивності, емоційної стійкості. Ці припущення перевіряються за допомогою нав'язування випробуваному неадекватних підстав для об'єднання груп, дискретизації експериментатором тактики роботи випробуваного або похвали при помилках.
Матеріал до методики.
Телевізор, рубль, яблуня, світлячок, прожектор, свічка, гасова лампа, електролампа, ліхтар, сантиметр, ваги, годинники, вантажівка, літак, термометр, радіоприймач, лев, тигр, слон, шпак, короп, голуб, гусак, ластівка, мураха , муха піаніно, скрипка, кит, клоп, огірок, капуста, буряк, цибуля, лимон, груша, яблуко, примус, велосипед, плаття, лялька, тюльпан, компас, черевики, зошит, пароплав, віз, барабан, м'яч, портфель, глобус, електродуховка, колесо, сазан (риба), книга, ліжко, овочесховище, щипці, сокира, ножиці, молоток, пила, моряк, прибиральниця, доктор, дитина, футболіст, сонце, ведмідь, місяць, електроплита, град, подушка, шафа , ковдра, буфет, дощ, троянда, матрац, стакан, сосна, шапка, сніг, дзига, ложка, виделка, тарілка.
Зразок протоколу.
Випробуваний Дата
Інструкція експериментатора
Дії
випробуваного
Висловлювання
випробуваного
I етап
II етап
III етап
Методика «Формування понять»
Методика представляє набір площинних фігур - квадратів, трикутників, кіл - трьох різних кольорів (червоний, синій, жовтий) і трьох різних розмірів (рис.3). Ознаки цих фігур: форма, колір і величина - разом утворюють трьохбуквені штучні поняття, що не мають сенсу рідною мовою. У даному експерименті використано такі штучні поняття:
Поняття з однією ознакою:
Біг - круглий, каб - великий, сур - червоний, цін - трикутний, босий - квадратний, див - середній, лаг - зелений, гур - маленький.
Поняття з двома ознаками: Дис - червоний і великий, буд - зелений і великий, вар - жовтий і маленький, троянд жовтий і великий, веч - зелений і маленький, кир - червоний і середній за розміром, зум - жовтий і середній за розміром, куд - зелений і середній за розміром, сім - червоний і маленький.
Поняття з трьома ознаками:
Мук - червоний, трикутний маленький, чар - червоний, круглий, середній, бек - червоний, квадратний, великий, віл - зелений трикутний, маленький, сівба - зелений, круглий, середній, бал - зелений, квадратний, великий, нур - жовтий, трикутний, маленький, гон - жовтий, круглий, середній, сов - жовтий, середній, круглий.
Як видно з наведених вище списків, в запропоновані штучні поняття входять від одного до трьох різних ознак. Фігури відповідного розміру, форми і кольору (всього 27 фігур з різними ознаками) вирізують з кольорового паперу і наклеюються на квадратні картонні картки розміром 8 х 8 см.
Перед дитиною в довільному порядку поруч один з одним розкладаються картки з кольоровими фігурами на них таким чином, щоб всі ці картки дитина могла одночасно бачити і вивчати. Картки можна розкласти в три ряди по сім карток в кожному, помістивши шість з них у неповний ряд.



Рис 3.
По команді експериментатора випробуваний у відповідності з отриманим від експериментатора завданням починає шукати задумане їм поняття. Роблячи перший крок на цьому шляху, ан відбирає одну з карток і кладе її окремо від інших. Експериментатор підтверджує або заперечує наявність шуканого Ознаки (ознак) поняття на відібраний випробуваним картці, і той продовжує пошук далі, до тих пір і доки не будуть відібрані картки, що містять у собі всі ознаки шуканого поняття. Після того як експериментатор підтвердить випробуваному даний факт, випробовуваний повинен дати визначення відповідного поняття, тобто сказати, які конкретні ознаки в нього входять.
Експериментатор на початку дослідження задумує поняття, що містить тільки одна ознака, потім - поняття, що включає дві ознаки, і, нарешті, поняття, що містить в собі відразу три ознаки. Задумавши поняття, експериментатор повідомляється випробуваному трибуквенне назва даного поняття і кількості ознак, яке воно містить. Випробуваному пропонується самостійно, знайти ці ознаки, відібравши із запропонованого набору карток з фігурами ті, які містять ці ознаки, і назвати саме поняття, визначивши його через знайдені ознаки.
Поняття, що містить в собі тільки одна з ознак - колір, форму або величину, відбирається експериментаторам довільно з верхнього списку; поняття, що включає дві ознаки, - із середнього списку; поняття, що включає три ознаки, - з нижнього списку.
На рішення піддослідним кожної з трьох завдань (пошук трьох понять, які включають в себе від одного до трьох ознак) відводиться по 3 хвилини. Якщо за цей час випробуваний не впорається самостійно з завданням, то експериментатор дає йому підказку: сам відбирає одну з карток, яка містить шуканий ознака, і каже: «На цій картці є потрібний ознака» (дитина повинна виявити ця ознака і назвати його без подальшої підказки). Ще через хвилину, якщо дитина як і раніше не справляється із завданням, експериментатор пропонує йому другу підказку: показує ще одну картку, яка містить шуканий ознака (або ознаки). Нарешті, якщо через 5 хвилин після початку виконання чергового завдання дитина так і не знайшов всі ознаки і не дав словесне визначення шуканого поняття, то йому пропонується наступне завдання того ж самого типу. Якщо і з нею не справиться, то експеримент припиняється.
У тому випадку, якщо дитина впорається з першим завданням (пошук та визначення поняття з єдиною ознакою) самостійно або після підказок експериментатора, йому пропонується наступне, більш складне завдання, пов'язане з пошуком та визначенням поняття, що містить дві ознаки, і так далі. Більш складне завдання, що стосується формування понять з великим числом ознак, дається дитині тільки в тому випадку, якщо до цього він впорався з виконанням менш складного завдання.
Оцінка результатів.
10 балів дитина отримує в тому випадку, якщо він повністю самостійно, без підказок з боку експериментатора, зумів за відведений час із першої спроби вирішити всі три задачі, тобто знайшов всі ознаки і дав визначення трьом поняттям, що містить в собі від одного до трьох різних ознак.
8 -9 балів дитина отримує тоді, коли за відведений час він вирішив усі три завдання, але йому для цього знадобилося більше трьох спроб, більше 9 хвилин і одна - дві підказки.
6 - 7 балів за виконання даного завдання дитина отримує в тому випадку, якщо йому знадобилося більше трьох спроб і отримати як мінімум дві - три підказки при вирішенні першої та другої задач, а з третього він не впорався навіть після двох спроб і отримання всіх підказок.
4 - 5 балів відповідає тому випадку, коли дитина з працею, більше ніж за дві спроби вирішив перший две6 завдання (пошук та визначення понять з одним і двома ознаками), а третю завдання не вирішив.
2 - 3 бали дитина отримує тоді, коли після двох спроб і підказок він справиться тільки з першим завданням, а другу і третю не вирішив.
0 - 1 бал - той випадок, коли після всіх спроб і підказок дитина не змогла вирішити ні одного завдання.
Висновки про рівень розвитку
10 балів - дуже високий
8 - 9 балів - високий
4 - 7 балів - середній
2 - 3 бали - низький
0 - 1 бал - дуже низький.

Тест
Піддослідним пропонувався бланк з 20-а рядами слів. У кожному з них набір з 5-ти слів, два з яких понад усе з ними пов'язані. Завдання випробуваного - знайти в кожному рядку по два слова, найбільш відповідних поняттю, і підкреслити їх.
1. Сад (рослини, садівник, собака, паркан, земля).
2. Річка (берег, риба, рибалка, твань, вода).
3. Місто (автомобіль, будівля, натовп, вулиця, велосипед).
4. Сарай (сінник, кінь, дах, худобу, стіни).
5. Куб (кути, креслення, сторона, камінь, дерево).
6. Розподіл (клас, ділене, олівець, дільник, папір).
7. Кільце (діаметр, алмаз, проба, округлість, друк).
8. Читання (голова, книга, друк, картина, слово).
9. Газета (правда, додаток, телеграми, папір, редактор).
10. Гра (карти, гравці, штрафи, покарання, правила).
11. Війна (літаки, гармати, битви, рушниці, солдати).
12. Книга (малюнки, війна, паперу, любов, текст).
13. Спів (дзвін, мистецтво, голос, оплески, мелодія).
14. Землетрус (смерть, пожежа, коливання грунту, шум, повінь).
15. Бібліотека (голод, книги, лекція, музика, читачі).
16. Ліс (лист, яблуня, дерево, мисливець, вовк).
17. Спорт (медаль, оркестр, змагання, перемога, стадіон).
18. Лікарня (приміщення, сад, ворог, радіо, хворі).
19. Любов (троянди, почуття, людина, місто, природа).
20. Патріотизм (місто, друзі, батьківщина, сім'я, чоловік).
Правильні відповіді підкреслені.

Тест

(Гуревич К. М., Акімова М. К., Борисова О. М.)

Інструкція

Цей тест призначений для діагностики вміння дітьми здійснювати класифікацію. Інструкція випробуваним дається в усній формі: «Зараз, вам будуть запропоновані завдання, які призначені для виявлення вашого вміння міркувати, знаходити спільне та відмінне. Ці завдання відрізняються від того, що вам доводиться виконувати на уроках. Для виконання завдань вам знадобляться ручки і бланки, які я вам роздам ».

На виконання цього завдання відводиться 7 хвилин. Починати і закінчувати роботу по команді.
У бланку мають міститися відомості про прізвище учня, дату проведення експерименту, класі та школі, де навчається випробуваний. Експериментатор повинен проконтролювати заповнення цих граф.
На бланку дано 5 слів, 4 з них об'єднані загальною ознакою. П'яте слово до них не підходить. Його треба знайти і підкреслити. Зайвим може бути тільки одне слово.
Наприклад:
а) тарілка, б) чашка, в) стіл, г) каструля, д) чайник. а, б, г,. д - позначають посуд, а в - меблі, тому воно підкреслено.
Форма А.
1. а) приставка, б) привід, в) суфікс, г) закінчення, д) корінь.
2. а) пряма, б) ромб, в) прямокутник, г) квадрат, д) трикутник.
3. а) барометр, б) флюгер, в) термометр, г) компас, д) азимут.
4. а) рабовласник, б) раб, в) селянин, г) робочий, д) ремісник.
5. а) прислів'я, б) вірш, в) поема, г) робочий, д) повість.
6. а) цитоплазма, б) харчування, в) зростання, г) подразливість, д) розмноження.
7. а) дощ, б) сніг, в) іній, г) град, д) туман.
8. а) трикутник, б) відрізок, в) довжина, м) коло, д) квадрат.
9. а) пейзаж, б) мозаїка, в) ікона, г) фреска, д) кисть.
10. а) нарис, б) роман, в) розповідь, г) сюжет, д) повість.
11. а) паралель, б) карта, в) меридіан, г) екватор, д) полюс.
12. а) література, б) наука, в) живопис, г) зодчество, д) художнє мистецтво.
13. а) довжина, б) метр, в) маса, г) обсяг, д) швидкість.
14 а) вуглекислий газ, б) світло, в) вода, г) крохмаль, д) хлорофіл.
15. а) пролог, б) кульмінація, в) інформація, г) розв'язка, д) епілог.
16. а) швидкість, б) коливання, в) сила, г) вага, д) щільність.
17. а) Куба, б) Японія, в) В'єтнам, г) Великобританія, д) Ісландія.
18. а) товар, б) гроші, в) місто, г) ярмарок, д) натуральне господарство.
19. а) опис, б) порівняння, в) характеристика, г) казки, д) іносказання.
20. а) аорта, б) вена, в) серце, г) артерія, д) капіляр.
Форма Б.
1. а) кома, б) точка, в) двокрапка, г) тире, д) союз.
2. а) глобус, б) меридіан, в) полюс, г) паралель, д) екватор.
3. а) морфологія, б) синтаксис, в) пунктуація, г) орфографія, д) термінологія.
4. а) рух, б) інерція, в) вага, г) коливання, д) деформація.
5. а) коло, б) трикутник, в) трапеція, г) квадрат, д) прямокутник.
6. а) картина, б) мозаїка, в) ікона, г) скульптура, д) фреска.
7. а) робочий, б) селянин, в) раб, г) феодал, д) ремісник.
8. а) легенда, б) драма, в) комедія, г) трагедія, д) п'єса.
9. а) аорта, б) стравохід, в) вена, г) серце, д) артерія.
10. а) Канада, б) Бразилія, в) В'єтнам, г) Іспанія, д) Норвегія.
11. а) тіло, б) площа, в) об'єм, г) вага, д) швидкість.
12. а) напрям, б) курс, в) маршрут, г) азимут, д) компас.
13. а) корінь, б) стебло, в) лист, г) тичинка, д) квітка.
14. а) землетрус, б) цунамі, в) стихія, г) ураган, д) смерч.
15. а) метафора, б) монолог, в) епітет, г) алегорія, д) перебільшення.
16. а) товар, б) місто, в) ярмарок, г) натуральне господарство, д) гроші.
17. а) циліндр, б) куб, в) багатокутник, г) куля, д) гроші.
18. а) прислів'я, б) байка, в) приказка, г) казка, д) билина.
19. а) історія, б) астрологія, в) подразливість, г) зростання, д) свідомість.
20. а) харчування, б) дихання, в) подразливість, г) зростання, д) свідомість.
Оцінка виставляється за 9-бальною шкалою.
Оцінка в балах
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Кількість правильних відповідей
18
17
16
14 - 15
12 - 13
10 - 11
8 - 9
6 - 7
5
Кожна з методик дає надійні результати при використанні її в комплексі з іншими методиками, спрямованими на виявлення доступного випробуваному рівня узагальнень, цілеспрямованості розумової діяльності, ригідності, характеру понятійних зв'язків.

Додаток В
Ігри на формування в учнів початкових класів математичних понять, розумового прийому класифікація
«Ромб»
Ця гра на закріплення уявлень про пересічних поняттях. Для гри необхідний комплект з 18 букв - це латинські літери А, В, С, різної величини (великі і маленькі) і різного забарвлення (білі, чорні і сірі). Кожна така літера має свою назву, наприклад, «А велика чорна», «а маленька біла», «З велика смугаста» і т. д. Гра має три варіанти.
Варіант 1.
Перед початком цього варіанту гри дитині показують, що є дві частини ігрового поля - всередині ромба і поза ним. Потім ділять випадковим чином комплект букв порівну - половину собі, половину дитині. Правила гри такі: потрібно розташувати букви так, щоб всі білі букви (і лише вони) були всередині ромба. Ходи робляться по черзі, кожен використовує літери свого комплекту. За кожний помилковий хід - штрафне очко. Після того як всі букви розкладені, у дитини питають: «Які букви опинилися поза ромба?» Важливо, щоб він відповів, що поза ромба знаходяться всі небілі літери.
Правильним також є відповідь - всі чорні і сірі букви. Якщо дитина починає перераховувати, які саме букви там знаходяться, наприклад, літери А великі і малі, літери В і т.п., то необхідно звернути його увагу на те, що і всередині кола є такі літери, що розмір і найменування цих букв у цій грі не має значення. Головне, що всередині ромба знаходяться всі білі букви, а зовні - небілі.
Мета цього варіанту гри - навчиться виражати властивості букв, які опинилися поза ромба, через властивість тих, які лежать всередині нього. Цю гру можна повторювати кілька разів, міняючи властивість букв, які повинні опинитися всередині ромба (наприклад, всередині мають бути тільки всі літери В, або тільки маленькі букви і т.д.). Дитина повинна навчитися називати всі літери, що знаходяться поза ромба, одним словом або словосполученням.
Варіант 2.
Тут для гри знадобляться вже два ромба. Вони повинні бути різного кольору або мати які-небудь інші відмінності. Перед початком гри необхідно показати учневі, що є чотири області, що визначаються двома ромбами: 1) всередині білого, але не всередині чорного ромба, 2) всередині чорного, але не всередині білого, 3) всередині обох ромбів, 4) поза обох ромбів. Суть гри та ж, що і в першому варіанті тільки завдання дещо складніше. Потрібно розташувати букви, так, щоб усередині білого опинилися всі смугасті літери, а всередині чорного - всі букви С. Якщо дитина не здогадається, що всередині обох ромбів повинні виявитися смугасті літери, підкажіть йому і поясніть, чому ці букви повинні одночасно ставитися до обох областях .
В даній грі завдання може змінюватись наступним чином:
Букви
Усередині білого ромба
Усередині чорного ромба
Всі А
Все В
Всі великі
Всі маленькі
Всі чорні
Всі З
Всі смугасті
Всі смугасті
Всі чорні
Всі З
Усі білі
Всі смугасті
Всі А
Всі великі
Після гри запитати у дитини, як можна назвати букви, що знаходяться всередині обох ромбом, усередині білого, але поза чорного, всередині чорного, але не всередині білого, поза обох ромбів. Звернути увагу на те, щоб він називав літери, використовуючи їх найменування і розмір.
Варіант 3.
Цей варіант значно складніше, тому що тут використовується вже три ромба - білий. Чорний і смугастий. Почати необхідно із знайомства з областями, що утворюють перетин трьох ромбів: перша область - всередині трьох ромбів, друга всередині - чорного і білого, але поза смугастого ромба, третя - всередині білого і смугастого, але поза чорного, ... восьма - поза всіма ромбів.
Грати можна так само, як і в другому варіанті, - по черзі розкладаючи букви відповідно до заздалегідь встановленим правилом (наприклад, усередині білого ромба повинні бути всі смугасті літери, всередині чорного - всі літери А, а всередині чорного - всі маленькі літери). Але можлива й інша постановка задачі. Педагог сам розкладає всі букви за певним правилом, а дитина повинна проаналізувати розташування букв і визначити, за яким правилом вони були розкладені.
Цей варіант гри важливо повторити кілька разів. Можна придумати такі завдання, в яких одна або декілька областей виявилися б порожніми. Нехай дитина спробує пояснити, чому так вийшло.
«Дай визначення».
За допомогою даної гри дитина навчитися чітко висловлювати свої думки, давати лаконічні визначення знайомих йому понять, орієнтуючись на істотні ознаки і відволікаючись від другорядних.
Необхідно назвати знайомий дитині предмет, наприклад, «олівець», і попросити його дати цьому предмету найбільш точне визначення. Це визначення має включати родове поняття і видову відмінність. Можна дати, наприклад, таке визначення поняттю «олівець» - пише предмет (родове поняття), що має графітовий стрижень, оправлений у дерево або пластмасу (видову відмінність) ».
Ось кілька понять, які можна запропонувати дитині для визначення (в дужках вказано правильну відповідь):
1. Стакан - це ... (посуд для пиття, виготовлена ​​зі скла).
2. Яблуня - це ... (дерево, на якому ростуть яблука).
3. Праска - це ... (побутовий прилад, призначений для прасування).
4. Лампа - це ... (електроприлад, призначений для освітлення).
5.Штангіст - це ... (спортсмен, який займається важкою атлетикою).
6. Учитель - це ... (людина, яка вчить інших людей).
«Білий і жовтий».
Дидактична гра для навчання вміння відображати за допомогою кіл Ейлера пересічні поняття. Беруть спочатку два поняття «жовтий» і «квіти» і пропонують відобразити учневі за допомогою кіл. Швидше за все у нього це не вийде. Він або зобразить одне коло в іншому, мотивуючи, наприклад, тим, що «Квіти бувають жовтими», або намалює їх незалежно один від одного. Такі помилки природні, оскільки дитина ще не знайомий з поняттям перетину класів.
Пропонують дитині подумати. Квіти бувають жовтими. Але ж вони можуть мати й інший колір, наприклад, червоний, білий, синій. Значить поняття «квіти» не може повністю увійти в поняття «жовтий», там йому буде тісно.


«Жовтий» «Квіти»
«Жовті квіти»

Рис. 4



Тепер розглядаємо поняття «жовтий». Серед жовтих об'єктів можуть бути і квіти. Але не тільки квіти. Адже є багато інших предметів, які не можна віднести до квітів, наприклад, скатертину, сонячне світло, обкладинка зошита. Отже, і
Поняття «жовтий» не може повністю увійти в поняття «квіти». Як же це можна показати графічно?
Якщо дитина зрозумів, як можна відображати пересічні поняття, йому пропонують виконати кілька завдань самостійно.
«Потяг».

Ця гра - для навчання прийому класифікація. Для її проведення необхідно підготувати комплект з 18 геометричних фігур різної форми (коло, трикутник, квадрат), величини (великі і маленькі) і забарвлення (чорні, білі, смугасті). Таким чином, кожна фігура має три властивості - форму, величину, колір, і відповідні їм назви: білий великий трикутник, смугастий маленьке коло, чорний великий квадрат і т. д.

Суть гри наступна. На розгалуженні залізничних шляхів, за якими з початкової станції (що знаходиться внизу) фігурки паровозики повинні потрапити на кінцеві (розташовані вгорі). При цьому рухатися вони повинні відповідно зі знаками, що вказують, хто з даного відрізку шляху може їхати. Наприклад: смугастий маленький трикутник має «потрапити», згідно з вказівником кольору, повинен рухатися по лівій «гілці». Доходить до розгалуження. Як рухатися далі? По правій «гілці», так як вона відзначена трикутником. Під'їхали до наступного розгалуження. Тут показують, що по лівій «гілці» повинна рухатися велика фігура, а по правій - маленька. Таким чином ми знайшли кінцеву станцію для смугастого маленького трикутника. Цю станцію можна відзначити, після чого слід провести інші паровозики.
У цю гру можна грати і вдвох. Тоді комплект фігур потрібно розділити навпіл. Ходи робляться по черзі. Хто менше зробить помилок, той і виграє.
«Універсальний магазин».
Гра на класифікацію, вміння здійснювати узагальнення, абстракцію. Для гри потрібні картки із зображенням предметів чотирьох груп: фрукти, овочі, музичні інструменти, шкільне приладдя (по 3 - 4 картки кожної групи). Сюжет гри наступний. У універмаг привезли багато різного товару, але склали його в безладді. Дитині, яка грає роль продавця, маєте важка робота розкласти товари по відділах. В один відділ повинні потрапити товари, які підходять один одному так, що їх можна назвати одним словом. Можна підказати дитині, що має вийти чотири відділи. Після цього треба запропонувати дитині скоротити кількість відділів у два рази, але так, щоб у кожному з двох, що залишилися відділів товари також підходили один одному, були чимось чомусь схожі, щоб їх теж можна було назвати одним словом. Друге завдання є більш складним. Воно вимагає здійснення узагальнення на більш високому рівні. В кінці гри важливо, щоб дитина пояснив свої дії і відповіді.
«Форма - колір».
Мета: тренування дітей в розпізнаванні форми і кольору фігур.
Опис гри. Грають двоє. Обидва мають однакову кількість фігур (один - малі фігури, інший - великі). Перший гравець кладе в яку-небудь клітину відповідну фігуру. Другий гравець повинен відповідним ходом покласти відповідну фігуру тієї ж форми або того ж кольору в одну із сусідніх клітин. Далі перший гравець у відповідь ходом кладе відповідну фігуру в одну із сусідніх клітин щодо будь-якої з розміщених фігур і т. д. Неправильний хід, тобто Невідповідність фігури за формою або кольором клітці таблиці, карається вилученням у гравця цієї фігури. Програє той у кого менше залишиться фігур.
«Логічне доміно».
Мета: тренувати дітей розрізняти властивості фігур (форму, колір, величину).
Опис гри. Грають двоє. Обидва гравці мають набори фігур. Один кладе на стіл фігуру. Хід у відповідь другого гравця полягає в тому, що він докладає до цієї фігури іншу, відмінну від неї тільки одним яким-небудь властивістю. Наприклад, якщо перший поклав на стіл великий червоний трикутник, то другий може відповісти, приклавши до нього малий червоний трикутник, або великий жовтий трикутник, або великий червоний круг і т. п. Але якщо другий відповість, приклавши до першої фігури другу, не відрізняється від першої або відрізняється від неї більш, ніж однією ознакою, то відповідний хід не правильний і у гравця вилучається ця постать.
При такій організації гри програє той, хто залишиться без фігур.
Можлива й інша організація гри, при якій неправильні ходи не допускаються, тобто Гравець карається втратою ходу.
При такій організації гри виграє той, хто перший залишиться без фігур.

Додаток Г.
1. Помістіть в верхній ряд картинки (рис. 1), на яких вишень менше, ніж 4, а в нижній ряд картинки, на яких вишень більше, ніж 4.


Рис.1
2. Випишіть числа, в які менше, ніж 8. Випишіть числа, які більше, ніж 8: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
3. Розбийте дані числа на групи. У першу запишіть парні числа, а в другу - непарні числа:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10
Які числа ви записали в першу групу? Які числа ви записали в другу групу? Чи всі числа ви розбили на групи?
4. Назви найбільше (найменше) число в ряду:
2, 9, 4, 5, 3, 7, 8, 1.
5. Порахуй у порядку зростання (убування):
5, 1, 4, 8, 10, 3, 7, 2.
6. Вирішіть приклади і розбийте їх на групи:
3 +2 4 +5 4 +1 10-1 6 +4
6-3 9-2 7-2 6 +1 3 +4
У даному випадку є можливість різного розбиття, за основу якого можна взяти або арифметична дія, або отриманий результат.
7. Порахуй і скажи, скільки будиночків зображено на малюнку (мал. 2) (в ряду, в стовпчику)?

Скільки всього будиночків у рядках і скільки в стовпчиках? На скільки будиночків у другому рядку більше, ніж у першому? На скільки будиночків більше в третьому ряду, ніж у першому? На скільки будиночків у другому стовпчику менше, ніж у першому? На скільки будиночків у третьому ряді менше, ніж у другому? Скільки будиночків разом у першому стовпчику і в третьому ряді? Скільки будиночків разом у другому стовпчику і другому ряді?
8. Назви цифри в середині фігури? Скільки їх? Назви цифри над фігурою, скільки їх? Назви цифри під фігурою, скільки їх? Назви цифри зліва від фігури, скільки їх? Назви цифри справа від фігури, скільки їх? Назви цифри поза фігури, скільки їх?
7
3 серпня
6
1 червня
5 0
1 квітня
9. Які постаті зображені на малюнку (мал. 3)? Назви цифри, які записані в середині квадрата. Назви цифри, які записані не в квадраті. Назви цифри, які записані не в колі. Назви цифри, які записані не в середині квадрата. Назви цифри, які записані не в середині кола. Назви цифри. Які записані в середині квадрата і не в колі. Назви цифри, записані в середині кола і не в квадраті. Як розташована цифра 2 щодо кола, квадрата? Як розташована цифра 3 щодо кола, квадрата? Як розташована цифра 1 щодо кола, квадрата?
3
4
2
1
5

Рис.3
10. Прибери зайву фігуру (рис.4). Розклади дані фігури так, щоб у кожній групі були схожі між собою фігури. Скільки груп вийшло? Скільки фігур у кожній групі? Чи можна доповнити другу групу трикутником (колом, квадратом)? Чому?


Рис.4
11. Назви фігури в середині кола (мал. 5). Назви фігури не в колі. Назви фігури, які розташовані праворуч від кола. Назви фігури, які розташовані зліва від кола. Назви фігури над колом. Назви фігури під колом. Скільки всього чотирикутників на малюнку? Скільки всього трикутників на малюнку? Скільки всього відрізків на малюнку? Скільки всього кіл на малюнку? Чого більше трикутників або кіл.? На скільки?


Рис. 5
12. Закрась більший квадрат на малюнку (мал. 6) синім кольором. Закрась менший квадрат жовтим кольором. Замалюйте загальну частину зеленим кольором (або вона вже зафарбована)? Покажи частина меншого квадрата, яка лежить під великим квадратом. Покажи частина більшого квадрата, яка лежить над меншим квадратом. Покажи частина меншого квадрата, що лежить за великим квадратом. Покажи частина більшого квадрата, що лежить за меншим квадратом. Покажи частина більшого квадрата, яка є частиною меншого квадрата. Покажи частина меншого квадрата, яка лежить в середині більшого квадрата.


Рис.6
13. Приклавши смужки, з'ясуй, яка з них довші (рис 7). На скільки?


Рис. 7
14. Покажи коло, який повністю лежить у середині другого кола. Знайди точку А на малюнку (рис. 8), в середині якого кола вона знаходиться більшого чи меншого)? Знайди точку В, в середині якого кола вона знаходиться більшого чи меншого)? Покажи загальну частину двох кіл. Постав крапку, яка не належить великому колу. Постав крапку, яка не належить меншому колі. Постав крапку, яка належить меншому і більшому колу. Постав крапку, яка не належить меншому і більшому колу.
А.
В.


Рис. 8

15. Скільки великих гуртків? Скільки маленьких? Скільки червоних? Скільки синіх? Скільки великих червоних? Скільки маленьких червоних? Скільки великих синіх? Скільки маленьких синіх?
До
З
До
З
З
До
З


Рис. 9
16. Порівняй площі чотирикутників (рис. 10). Назви фігури. Яка постать більше? Яка постать менше?


Рис. 2.9
Рис.10
17. Виміряй смужку АB даної міркою CD (рис.11).
А В

З D

Рис. 11
18. На парті лежать короткі, середні, довгі палички червоного, синього, жовтого та білого кольорів. Треба розкласти їх за кольором і за розміром.
За кольором За розміром
Червоні-Короткі - червона, синя, жовта, біла
Сині - Середні - червона, синя, жовта, біла
Жовті - Довгі - червона, синя, жовта, біла
Білі -

Додаток Д.

Стаття з проблеми дослідження

РОЛЬ КЛАСИФІКАЦІЇ У ФОРМУВАННІ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ У МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ
Свірська Наталя 51-ЕН
Науковий керівник: Глузман Н. А.
У системі знань про об'єкти і предмети навколишньої дійсності поняття служать опорним моментом в її пізнанні і є своєрідним підсумком пізнання. Тому поняття є однією з головних складових у змісті будь-якого навчального предмета, у тому числі - і предметів початкової школи.
Проблема формування понять давно привертає увагу психологів і педагогів (Л. С. Виготський, Д. Б. Ельконін, В. В. Давидов, Н. А. Менчинська, Ж. Піаже, П. Я. Гальперін, Н. Ф. Тализіна, В. Н. Осинський Л. І. Айдарова, Н. Г. Салміна, К. А. Степанова, В. І. Зикова, М. Б. Волович). У дослідженнях, що стосуються формування понять автори часто звертаються до математики.
Утворення понять, перехід до них від чуттєвих форм відображення - складний процес, в якому застосовуються такі прийоми розумової діяльності, як аналіз, синтез, порівняння, класифікація, узагальнення, абстрагування. Поняття - «це думка, в якій відбиваються загальні, і притому істотні властивості предметів. Разом з тим поняття не тільки відображають загальне, але і розчленовують речі, групують їх, класифікують відповідно до їх відмінностями ».
Класифікація є окремим випадком розподілу - логічної операції над поняттями. Розподіл - це розподіл на групи тих предметів, які мисляться в вихідному понятті. Класифікація являє собою багатоступінчасте, розгалужене поділ. У процесі класифікації утворюється система досліджуваних понять. Корисні класифікації при повторенні, так як при цьому систематизується досліджуваний матеріал, учні отримують більш повне уявлення про взаємозв'язки між поняттями і про систему математичних понять.
У шкільній практиці багато вчителів домагаються від учнів заучування визначень понять і вимагають знання їх основних доказуваних властивостей. Однак результати такого навчання звичайно незначні. Це відбувається тому, що більшість учнів, застосовуючи поняття, засвоєні в школі, спираються на малоістотні ознаки, істотні ж ознаки понять учні усвідомлюють і відтворюють лише при відповіді на питання, які потребують визначення поняття. Часто учні безпомилково відтворюють поняття, тобто виявляють знання його істотних ознак, але застосувати ці знання на практиці не можуть, спираються на ті випадкові ознаки, виділені завдяки безпосередньому досвіду. Процесом засвоєння понять можна управляти, формувати їх із заданими якостями.
Досягається це через виконання наступної системи умов.
Перша умова. Наявність адекватного дії: воно повинно бути спрямоване на істотні властивості. Вибір дії визначається, перш за все, метою засвоєння поняття.
Друга умова. Знання складу використовуваного дії. Так, дію розпізнавання включає: а) актуалізацію системи необхідних і достатніх властивостей поняття, б) перевірку кожного з них у пропонованих об'єктах; в) оцінку отриманих результатів за допомогою одного з логічних правил розпізнавання (для понять з кон'юнктивній і понять з диз'юнктивної системою ознак) . При розкритті змісту дії особлива увага приділяється його орієнтовною основі, яка повинна бути не тільки адекватною, але і повною.
Третя умова. Всі елементи дії представлені у зовнішній, матеріальній (або матеріалізованій) формі. Стосовно до дії підведення під поняття це виглядає наступним чином. Система необхідних і достатніх ознак поняття виписується не картка, ці ознаки матеріалізуються.
Четверте умова - поетапне формування введеного дії. У разі використання дії підведення під поняття проведення його через основні етапи здійснюється наступним чином. На етапі попереднього знайомства з дією учню, після створення проблемної ситуації, розкривають призначення дії підведення під поняття, важливість перевірки всієї системи необхідних і достатніх ознак, можливість отримання різних результатів, все це пояснюючи на конкретних випадках в матеріалізованій формі. Після цього учневі пропонується самому виконати дію.
П'ята умова - наявність поопераційного контролю при засвоєнні нових форм дії. Контроль лише по кінцевому продукту дії не дозволяє стежити за змістом і формою виконуваної учнями діяльності. Поопераційний контроль забезпечує знання і того, й іншого. При формуванні понять за допомогою дії підведення під поняття як операцій виступає перевірка кожної ознаки, порівняння з логічним правилом і так далі.
Природно, що перед формуванням дії підведення під поняття необхідно встановити вихідний рівень пізнавальної діяльності учнів і провести формування необхідних попередніх знань і дій.
Сьома умова - усвідомленість засвоєння. Усі учні при роботі з поняттями повинні правильно аргументувати свої дії, вказуючи при цьому підстави, на які вони спиралися при відповіді.
Восьме умова - впевненість учнів у знаннях і діях.
Дев'яте умова - відсутність зв'язаності чуттєвими властивостями предметів. При шкільному навчанні учні позбавлені адекватної орієнтовної основи, тому вони навчаються диференціювати предмети, спираючись на ті їх властивості, які лежать на поверхні.
Десяте умова - узагальненість понять і дій
Одинадцяте умова - міцність сформованих понять і дій. Сформовані знання та дії не тільки призводять до правильних відповідей, а й зберігають всі розглянуті якості: розумність, свідомість.
Поняття є однією з головних складових у змісті будь-якого навчального предмета початкової школи, тому завдання вчителя забезпечити повноцінне засвоєння понять.

Література:
1. Логіка: Курс лекцій / / Еришев А. А., Лукашевич М. П., Сластенко Є. Ф. - 3-е изд., Перераб. і доп. - К.: МАУП, 2000. - 184 с.
2. Практична логіка: Навчальний посібник / Івін А. А. - М.: ФАИР - ПРЕС, 2002 р. - 288с.
3. Тализіна Н. Ф. Педагогічна психологія: Підручник для студ. - 2-е вид., Стереотип. - М.: Видавничий центр «Академія», 1998. - 288с.
В.Н. Осінський вважає, що для оволодіння поняттями необхідні такі суттєві компоненти:
1) засвоєння певної системи знань про поняття;
2) оволодіння спеціальною операційною системою дій (підведення під поняття, вибір необхідних і достатніх ознак для розпізнавання об'єкта, виведення наслідків);
3) встановлення системи понять і їх родовідових відносин всередині системи, взаємозв'язку їх ознак;
4) розкриття генезису понять.
Поняття повинні формуватися не ізольовано один від одного, а виступати як елементи системи, що знаходяться один з одним в певних відносинах.
Дослідження К. А. Степанової показують, що среднеуспевающих учні шостого класу при вирішенні завдань на підведення під початкові геометричні поняття дали 72,5% правильних відповідей. Проте обгрунтування правильності відповіді мало місце тільки в 27,5% випадків. У дослідженні В. І. Зиковою наголошується, що такий рівень засвоєння понять спостерігається аж до восьмого-дев'ятого класів. К. А. Степанова та В. І. Зикова відзначають, що знання істотних ознак не забезпечує свідомого використання їх при орієнтуванні в відповідної дійсності.
Ж. Піаже вважав, що діти до підліткового віку не здатні до понятійному мисленню. До цього віку дитина використовує різні інтелектуальні освіти, функціонально замінюють поняття.
В.В. Давидов і Д. Б. Ельконін вказували на можливість більш раннього формування понятійних структур у дитини в умовах спеціального навчання, порівняно з їх стихійним формуванням.
В.В. Давидов вважає, що «оволодіти поняттям - це значить не тільки знати ознаки предметів і явищ, які охоплюються даним поняттям, але й вміти застосовувати поняття на практиці, вміти оперувати ним» [50, с. 81].
П.Я. Гальперін висунув теорію про поетапне формування математичних понять. Відповідно до цієї теорії формування математичних понять здійснюється через шість етапів:
1. Перший етап - створення мотивації;
2. Другий етап - формування схеми орієнтовної основи діяльності. Виділяють три типи побудови структури навчання, які залежать від повноти орієнтування учнів:
- Учням дається зразок дії і його результат. У повному обсязі їм не дають відомостей про спосіб виконання завдання, тому учні діють шляхом спроб і помилок. При такому типі навчання вчителю доводиться більше займатися усуненням помилок, перенавчанням, ніж правильним навчанням.
- При другому типі орієнтування учням дається алгоритм виконання завдання. При строгому виконання вказівок алгоритму навчання йде без помилок і швидше, ніж при першому типі. Нова завдання учень спочатку порівнює із завданням, яку він вже вирішив, і якщо вони одного типу, даний вчителем алгоритм переноситься на нове завдання. Недоліками такого навчання є те, що учневі дається повний перелік операцій для виконання завдання, при цьому слабо розвивається евристична діяльність. Якщо учневі завжди давати готові алгоритми, схеми, він мало просунеться в розумовому розвитку, не дивлячись на те, що предметними звичками і вміннями він буде володіти успішно.
- Третій тип: учні не стільки навчаються способу виконання дії при вирішенні конкретної задачі, скільки навчаються аналізувати задачі і самостійно складати схему дії. Орієнтовна основа дії може даватися вчителем тільки в узагальненому вигляді, а учні самостійно доповнюють її при виконанні конкретного завдання. Такий спосіб навчання сприяє створенню в учнів фундаменту знань, умінь і звичок, завдяки чому учень швидко орієнтується в нових обставинах і може опановувати новими знаннями, навичками самостійно. Робота з третього типу орієнтування відповідає закономірностям формування змістовних узагальнень, сприяє розвитку творчого теоретичного мислення.
3. Третій етап навчання зводиться до виконання дії в матеріальній або матеріалізованій формі.
4. На четвертому етапі відбувається формування дії за допомогою усного мовлення без опори на матеріальні чи матеріалізовані кошти (всі операції алгоритму, приписи проговорюються вголос по мірі їх виконання). Така система навчання дозволяє учневі стежити за ходом виконання дії, забезпечує єдність предметної (зовнішньої) і розумової (внутрішньої) діяльності. З часом гучне вимова починає знижувати продуктивність навчання, тому вона повинна поступово переходити в вимова «про себе».
5. П'ятий етап - формування дії за допомогою внутрішнього мовлення (операції проговорюються про себе, дія починає скорочуватися і автоматизуватися).
6. Шостий етап - етап інтеріоризації дії, тобто формування дії у внутрішньому мовленні. Дія стає внутрішнім процесом, максимально автоматизується, стає актом мислення.
Навчання, проведене на основі цієї теорії, показало, що діти здатні засвоювати абстрактні поняття, узагальнені знання вже у першому класі початкової школи, причому в умовах масового навчання (Д. Б. Ельконін, В. В. Давидов, Л. І. Айдарова, Н. Г. Салміна, В. П. Сохіна).
Утворення понять, перехід до них від чуттєвих форм відображення - складний процес, в якому застосовуються такі прийоми розумової діяльності, як аналіз, синтез, порівняння, класифікація, узагальнення, абстрагування. Поняття - «це думка, в якій відбиваються загальні, і притому істотні властивості предметів. Разом з тим поняття не тільки відображають загальне, але і розчленовують речі, групують їх, класифікують відповідно до їх відмінностями »[41, с.27].
Класифікація є окремим випадком розподілу - логічної операції над поняттями. Розподіл - це розподіл на групи тих предметів, які мисляться в вихідному понятті. Класифікація являє собою багатоступінчасте, розгалужене розподіл [51, с.137].
С. Л. Рубінштейн дав таке визначення класифікації: «Виявляючи тотожність одних і відмінність інших речей, порівняння призводить до класифікації. Тотожність і відмінність, основні категорії розумового пізнання виступає спочатку як зовнішнє відношення. Більш глибоке пізнання вимагає розкриття внутрішніх зв'язків, закономірностей та суттєвих властивостей. Це здійснюється всіма видами розумових операцій - аналізу, синтезу, узагальнення, абстракції »[54, с 87].
С. Д. Максименко обгрунтував своє бачення класифікації не через порівняння, а через узагальнення. Він пише: «Узагальнення виділених рис предметів і явищ дає можливість групувати об'єкти за видовою, родовим і іншими ознаками» [44, с. 98].
Щоб здійснити класифікацію, необхідно чітко визначити її мету, ознаки об'єктів, які підлягають класифікації, порівнювати їх за істотними ознаками, визначити загальні підстави класифікації, згрупувати об'єкти за певною ознакою.
Р. С. Нємов говорить про те, що «Порівняння розкриває тотожність і відмінність речей. Результатом порівняння може бути класифікація. Вона виступає як первинна форма теоретичного і практичного пізнання ». [42, с. 125]
Ю. Л. Трофімова визначала класифікацію як: «Уявне об'єднання предметів і явищ за їх загальним і суттєвим ознаками».
До визначення прийому розумової діяльності класифікації через порівняння підходила Д. М. Дубравський. «Порівнюючи предмети і явища, ми виділяємо найбільш спільні їхні ознаки і на цій основі здійснюємо класифікацію».
Як видно з визначень класифікація пов'язана в навчальному пізнанні з всіма основними прийомами розумової діяльності (аналіз, синтез, порівняння, узагальнення). Вчитель повинен звернути особливу увагу на формування спеціальних умінь і навичок, оволодіння прийомами мислення, понять, пізнавального інтересу, які формуються і розвиваються в початкових класах. Недостатня увага вчителя початкових класів до цих питань призводить до великих труднощів при подальшому вивченні не тільки математики, але й інших навчальних предметів.
1.2. Види і визначення математичних понять у початковій математики
При засвоєнні наукових знань, учні початкової школи стикаються з різними видами понять. Невміння учня диференціювати поняття призводить до неадекватного їх засвоєнню.
Логіка в поняттях розрізняє об'єм і зміст. Під обсягом розуміється той клас об'єктів, які відносяться до цього поняття, об'єднуються ним. Так, до обсягу поняття трикутник входить все безліч трикутників незалежно від їх конкретних характеристик (видів кутів, розміру сторін та ін.)
Під змістом понять розуміється та система суттєвих властивостей, за якою відбувається об'єднання даних об'єктів в єдиний клас.
Щоб розкрити зміст поняття, слід шляхом порівняння встановити, які ознаки необхідні і достатні для виділення його ставлення до інших предметів. До тих пір, поки не встановлені зміст і ознаки, не ясна сутність предмета, відбиваного цим поняттям, неможливо точно і чітко відмежувати цей предмет від суміжних з ним, відбувається плутанина мислення.
Наприклад, поняття трикутник до таких властивостей відносяться наступні: замкнута фігура, складається з трьох відрізків прямої. Сукупність властивостей, за якими об'єднуються об'єкти в єдиний клас, називаються необхідними і достатніми ознаками. В одних поняттях ці ознаки доповнюють один одного, утворюючи разом той зміст, по якому і об'єднуються об'єкти в єдиний клас. Прикладом таких понять можуть служити трикутник, кут, бісектриса і багато інших.
Сукупність даних об'єктів, на які поширюється дане поняття, становить логічний клас об'єктів.
Логічний клас об'єктів - це сукупність об'єктів, що мають спільні ознаки, внаслідок чого вони виражаються загальним поняттям. Логічний клас об'єктів і обсяг відповідного поняття збігаються.
Поняття діляться на види за змістом та обсягом в залежності від характеру і кількості об'єктів, на які вони поширюються.
За обсягом математичні поняття поділяються на одиничні і загальні. Якщо в обсяг поняття входить тільки один предмет, воно називається одиничним.
Приклади одиничних понять: «найменше двозначне число», «цифра 5», «квадрат, довжина сторони якого 10 см», «коло радіусом 5 см».
Загальні поняття відображає ознаки певної множини предметів. Обсяг таких понять завжди буде більше обсягу одного елемента.
Приклади загальних понять: «безліч двозначних чисел», «трикутники», «рівняння», «нерівності», «числа кратні 5», «підручники математики для початкової школи».
За змістом розрізняють поняття кон'юнктивні і диз'юнктивні, абсолютні і конкретні, безвідносні і відносні.
Поняття називаються кон'юнктивні, якщо їх ознаки взаємозалежні і окремо жоден з них не дозволяє пізнати об'єкти цього класу, ознаки пов'язані союзом «і». Наприклад, об'єкти, що відносяться до поняття трикутник, обов'язково повинні складатися з трьох відрізків прямої і бути замкненими.
В інших поняттях відношення між необхідними і достатніми ознаками інші: вони не доповнюють один одного, а замінюють. Це означає, що одна ознака є еквівалентом іншого. Прикладом такого виду відносин між ознаками можуть служити ознаки рівності відрізків, кутів. Відомо, що до класу рівних відрізків відносяться такі відрізки, які: а) або збігаються при накладанні; б) чи нарізно рівні третього, в) або складаються з рівновеликих частин і т.д.
У даному випадку перераховані ознаки не потрібні все одночасно, як це має місце при кон'юнктивній типі понять; тут досить якогось одного ознаки з усіх перерахованих: кожен з них еквівалентний будь-якого з інших. У силу цього ознаки пов'язані союзом «або». Такий зв'язок ознак називається диз'юнкцією, а поняття відповідно називаються диз'юнктивними.
Важливо також враховувати розподіл понять на абсолютні та відносні.
Абсолютні поняття об'єднують предмети в класи за певними ознаками, що характеризує суть цих предметів як таких. Так, у понятті кут відображені властивості, що характеризують суть будь-якого кута як такого. Аналогічно становище з багатьма іншими геометричними поняттями: коло, промінь, ромб і т.д.
Відносні поняття об'єднують об'єкти в класи за властивостями, що характеризує їхнє ставлення до інших об'єктів. Так, у понятті перпендикулярні прямі фіксується те, що характеризує відношення двох прямих один до одного: перетин, освіта при цьому прямого кута. Аналогічно в понятті число відбито ставлення вимірюваної величини і прийнятого еталона.
Відносні поняття викликають в учнів більш серйозні труднощі, ніж поняття абсолютні. Суть труднощів полягає саме в тому, що школярі не враховують відносність понять і оперують з ними як з поняттями абсолютними. Так, коли вчитель просить учнів зобразити перпендикуляр, то деякі з них зображають вертикаль. Особливу увагу слід приділити поняттю число.
Число - це відношення того, що піддається кількісній оцінці (довжина, вага, об'єм та ін) до еталону, який використовується для цієї оцінки. Очевидно, що число залежить як від вимірюваної величини, так і від еталону. Чим більше вимірювана величина, тим більше буде число при одному і тому ж еталоні. Навпаки, чим більше буде еталон (міра), тим менше буде число при оцінці однієї і тієї ж величини. Отже, учні з самого початку повинні зрозуміти, що порівняння чисел за величиною можна робити тільки тоді, коли за ними стоїть один і той же еталон. Справді, якщо, наприклад, п'ять отримано при вимірюванні довжини сантиметрами, а три - при вимірюванні метрами, то три позначають більшу величину, ніж п'ять. Якщо учні не засвоять відносної природи числа, то вони будуть відчувати серйозні труднощі і при вивченні системи числення.
Труднощі в засвоєнні відносних понять зберігаються в учнів і в середніх, і навіть у старших класах школи.
Між змістом і обсягом поняття існує залежність: чим менший обсяг поняття, тим більше його зміст.
Наприклад, поняття «квадрат» має менший обсяг, ніж обсяг поняття «прямокутник» так як будь-який квадрат - це прямокутник, але не всякий прямокутник є квадрат. Тому поняття «квадрат» має більший вміст, ніж поняття «прямокутник»: квадрат має всі властивості прямокутника і деякі інші (у квадрата всі сторони рівні, діагоналі взаємно перпендикулярні).
У процесі мислення кожне поняття не існує окремо, а вступає у певні зв'язки і відносини з іншими поняттями. У математиці важливою формою зв'язку є родовідових залежність.
Наприклад, розглянемо поняття «квадрат» і «прямокутник». Обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник». Тому перше називають видовим, а друге - родовим. У родо-видових відносинах слід розрізняти поняття найближчого роду і наступні родові щаблі.
Наприклад, для виду «квадрат» найближчим родом буде рід «прямокутник», для прямокутника найближчим родом буде рід «паралелограм», для «паралелограма» - «чотирикутник», для «чотирикутника» - «багатокутник», а для «багатокутника» - « плоска фігура ».
У початкових класах вперше кожне поняття вводиться наочно, шляхом спостереження конкретних предметів або практичного оперування (наприклад, за рахунку їх). Вчитель спирається на знання і досвід дітей, які вони придбали ще в дошкільному віці. Ознайомлення з математичними поняттями фіксується за допомогою терміна або терміна і символу.
Така методика роботи над математичними поняттями в початковій школі не означає, що в цьому курсі не використовуються різні види визначень.
Визначити поняття - це перерахувати всі істотні ознаки об'єктів, які входять в дане поняття. Словесне визначення поняття називається терміном.
Наприклад, «число», «трикутник», «коло», «рівняння» - терміни.
Визначення вирішує два завдання: виділити і відмежовує якесь певне поняття від всіх інших і вказує ті головні ознаки, без яких не може існувати поняття і від яких залежать всі інші ознаки.
Ухвала може бути більш-менш глибоким. Це залежить від рівня знань про поняття, яке позначається. Чим краще ми його знаємо, тим більша ймовірність, що ми зможемо дати для нього краще визначення.
У практиці навчання молодших школярів застосовуються явні і неявні визначення.
Явні визначення мають форму рівності або збігу двох понять.
Наприклад: «Пропедевтика є вступ в будь-яку науку». Тут прирівнюють один до одного два поняття - «пропедевтика» і «вступ в будь-яку науку».
У визначенні «Квадрат - це прямокутник, у якого всі сторони рівні» маємо збіг понять.
У навчанні молодших школярів особливий інтерес серед неявних визначень складають контекстуальні і остенсівние визначення.
Будь-який уривок з тексту, будь який контекст, в якому трапляється поняття, яке нас цікавить є, в деякому розумінні, неявним його визначенням. Контекст ставить поняття в зв'язок з іншими поняттями і тим самим розкриває її зміст.
Наприклад, вживаючи в роботі з дітьми такі вирази, як «знайти значення виразу», «порівняти значення виразів 5 + а і (а - 3) × 2, якщо а = 7», «прочитати висловлювання, що є сумами», «прочитати вираження, і потім прочитати рівняння », ми розкриваємо поняття« математичне вираження »як запис, що складається з чисел або змінних і знаків дій.
Майже всі визначення, з якими ми зустрічаємося в повсякденному житті - це контекстуальні визначення. Почувши, невідоме слово, ми намагаємося самі встановити його значення на підставі всього сказаного.
Подібне має місце і в навчанні молодших школярів. Багато математичних понять у початковій школі визначаються через контекст. Це, наприклад, такі поняття, як «великий - маленький», «який-небудь», «будь-який», «один», «багато», «число», «арифметична дія», «рівняння», «завдання» і т. . д.
Контекстуальні визначення залишаються здебільшого неповними і незавершеними. Вони застосовуються у зв'язку з непідготовленістю молодшого школяра до засвоєння повного і тим більше наукового визначення.
Остенсівние определния - це визначення шляхом демонстрації. Вони нагадують звичайні контекстуальні визначення, але контекстом тут є не уривок будь-якого тексту, а ситуація, в якій опиняється об'єкт, позначений поняттям.
Наприклад, вчитель показує квадрат (малюнок або паперову модель) і каже «Дивіться - це квадрат». Це типове остенсивно визначення.
У початкових класах остенсівние визначення застосовуються при розгляді таких понять як «червоний (білий, чорний і т.д.) колір», «лівий - правий", «зліва направо», «цифра», «попереднє і наступне число», «знаки арифметичних дій »,« знаки порівняння »,« трикутник »,« чотирикутник »,« куб »і т.д.
На основі засвоєння остенсівние шляхом значень слів є можливість вводити до словника дитини вже вербальне значення нових слів і словосполучень. Остенсівние визначення - і тільки вони - пов'язують слово з речами. Без них мова - лише словесне мереживо, яке не має об'єктивного, предметного змісту.
Зауважимо, що в початкових класах допустимі визначення на кшталт «Словом« п'ятикутник »ми будемо називати багатокутник з п'ятьма сторонами». Це так зване «номінальне визначення».
У математиці використовуються різні явні визначення. Найбільш поширене з них - визначення через найближчий рід і видова ознака. Родовідових визначення ще називають класичним.
Приклади визначень через рід і видова ознака: «Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні», «Ромбом називається паралелограм, сторони якого рівні», «Прямокутником називається паралелограм, у якого кути прямі», «Квадратом називається прямокутник, у яких сторони рівні »,« Квадратом називається ромб, у якого прямі кути ».
Розглянемо визначення квадрата. У першому визначенні найближчим родом буде «прямокутник», а видовою ознакою - «всі сторони рівні». У другому визначенні найближчий рід «ромб», а видова ознака - «прямі кути».
Якщо ж узяти не найближчий рід («паралелограм»), то видових ознак квадрата буде два «Квадратом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні і всі кути прямі».
У родовідових відношенні перебувають поняття «складання (віднімання, множення, ділення)» і «арифметична дія», поняття «гострий (прямий, тупий) кут» і «кут».
Прикладів явних родовідових відносин серед безлічі математичних понять, які розглядаються в початкових класах, не так вже й багато. Але з урахуванням важливості визначення через рід і видова ознака в подальшому навчанні бажано домагатися розуміння учнями суті визначення цього виду вже в початкових класах.
Окремі ухвали можуть розглядати поняття і за способом його утворення або виникнення. Визначення такого типу називають генетичними.
Приклади генетичних визначень: «Кут - це промені, які виходять з однієї точки», «Діагональ прямокутника - відрізок, який з'єднує протилежні вершини прямокутника». У початкових класах генетичні визначення застосовують для таких понять, як «відрізок», «ламана», «прямий кут», «коло».
До генетичним поняттям можна віднести і визначення через перелік.
Наприклад, «Натуральний ряд чисел - це числа 1, 2, 3, 4 і т.д.».
Деякі поняття в початкових класах вводять тільки через термін.
Наприклад, одиниці часу рік, місяць, година, хвилина.
Є в початкових класах поняття, які подаються символічною мовою у вигляді рівності, наприклад, а × 1 = а, а × 0 = 0
У початкових класах багато математичних понять спочатку засвоюються поверхнево, розпливчасто. При першому ознайомленні школярі дізнаються тільки про деякі властивості понять, дуже вузько представляють їх обсяг. І це закономірно. Не всі поняття легко засвоїти. Але безперечно, що розуміння і своєчасне використання вчителем тих чи інших видів визначень математичних понять - одна з умов формування в учнів твердих знань про ці поняття.
1.3. Роль, функції класифікації при формуванні понять
В організації навчальної діяльності молодших школярів у процесі формування математичних понять особливу роль відіграє прийом класифікації. Для того щоб вирішувати питання про належність предмета до даного поняття учні повинні вміти диференціювати ознаки на суттєві і несуттєві, необхідні і достатні, виділяти різні властивості - тобто володіти цілою системою логічних прийомів (аналіз, синтез, порівняння, класифікація, узагальнення).
Класифікація - це прийом розумової діяльності, що представляє собою систематичний розподіл елементів даної множини за класами, згідно з найбільш істотних ознаках.
У теорії множин класифікація - це дія розподілу об'єктів за класами на підставі подібностей об'єктів усередині класу і їх відмінності від об'єктів інших класів.
Цей прийом розумової діяльності є засобом упорядкування досліджуваних об'єктів, встановлення закономірних зв'язків між ними. Саме в цьому випадку класифікація виявляє суттєві подібності та відмінності між предметами і має велике пізнавальне значення. Класифікація грунтується на здатності бачити загальне в кожному конкретному одиничному випадку і має на меті уточнити, узагальнити знання про зв'язки та відносини між досліджуваними об'єктами.
Ознака, який є класифікаційним підставою, повинен бути найбільш придатним і зручним для визначення предметів у класифікаційній системі.
Структуру класифікації, як прийому розумової діяльності утворюють наступні дії:
1) визначення мети класифікації об'єктів (понять, відносин);
2) вибір підстави (істотна властивість, ознака) для класифікації;
3) поділ по цій підставі всієї множини об'єктів (понять, відношень) на непересічні підмножини, що входять в обсяг даного поняття;
4) побудова ієрархічної класифікаційної системи.
Різновид об'єктів для класифікації досить обширна навіть у рамках одного навчального предмета, не кажучи вже про всю сукупність предметів, які вивчають у школі. У теорії множин це можуть бути властивості функцій, поняття, види відносин і відповідностей, закони, теореми і т.д.
У процесі оволодіння умінням класифікувати необхідно сформувати в учнів на практичних прикладах уявлення про такі поняття, як вид, рід, клас, обсяг поняття, поділ обсягу поняття.
Клас - це сукупність (розряд або група) предметів, виділених по деякому спільною ознакою, мислима як єдине ціле.
Вид - підрозділ у систематиці, що входить до складу вищого розряду - рід. Вид являє собою специфічне, особливе в межах спільного.
Рід - група, яка об'єднує кілька видів, що володіють загальними ознаками. Рід представляє собою щось спільне в предметах, що складають його види. Видове поняття обов'язково має всі властивості родового, яке виступає по відношенню до видового як наступний щабель узагальнення.
З визначень видно, що поділ на види, роди, класи досить відносно. Одне і те ж поняття в різних класифікаційних системах може виступати і як видове і як родове. Встановлення родовідових відносин, виділення в поняттях роду і видової відмінності - один з основних етапів класифікації.
При виконанні класифікації має виконуватися наступні вимоги:
1) Класифікація повинна проводиться з одного і того ж основи.
2) Освічені підмножини (класи) непересічні, тобто ніяка пара їх не має спільних елементів. Символічна запис цього умови: Кi  Kj =  для  i, j, де i  j.
3) Класифікація повинна бути сумірною, тобто об'єднання всіх підмножин (класів) утворює все безліч. Класифікація повинна бути безперервною, тобто класами повинні бути найближчі видові поняття по відношенню до поняття, що підлягає класифікації.
В якості підстав для класифікації виділяють властивості даних об'єктів. У зв'язку з цим можна виділити такі рівні класифікації:
1) Класифікація (типологія) - розподіл усього обсягу поняття на непересічні підмножини, групи (класи) згідно з найбільш загального істотного властивості.
2) Помилкова класифікація - поділ об'єктів (понять, відносин) на групи (класи) згідно з найбільш загальної властивості, виділеного безпосереднім сприйняттям об'єктів (понять, відносин). Зазвичай такі помилкові оцінки регулюється на емпіричному рівні засвоєння знань.
Існують різні способи проведення класифікації:
1) Класифікація за видозміненим ознакою. Елементи поняття, що підлягає класифікації, володіють кількома ознаками. Як підставу класифікації можуть використовуватися різні ознаки классифицируемого поняття.
Приклад: учні третього класу легко можуть розбити безліч Х трикутників на три класи: гострокутні, прямокутні і тупоугольние. Дійсно, виділені підмножини попарно не перетинаються (серед гострокутних немає прямокутних і тупоугольние, серед прямокутних - тупоугольние) та їх об'єднання збігається з безліччю Х. Однак те, що не всяка система підмножин даної множини являє собою розбиття цієї множини їм зрозуміти складно. Наприклад, якщо з багатьох Х трикутників виділити підмножини рівнобедрених, рівносторонніх і різносторонній, то розбиття множини Х на класи ми не отримаємо, оскільки безлічі рівнобедрених і рівносторонніх трикутників перетинаються (всі рівносторонні трикутники є рівнобокими).
З таблиці видно, що утворилося дев'ять класів, з яких деякі порожні (див. табл.1.1).
У разі алгебраїчних рівнянь при одночасному використанні двох підстав класифікацій отримуємо, наприклад, клас рівнянь першого ступеня з двома змінними або клас рівнянь другого степеня з однією змінною і т. д. При одночасній класифікації натуральних чисел за ознакою подільності їх на 2 і на 3 отримуємо клас натуральних чисел, що діляться на 6, та ін
Вибір ознаки класифікації залежить від цілей класифікації, від практичних завдань. Найважливішою вимогою до ознаки (підставі) класифікації є його об'єктивність. Не можна ділити книги на цікаві і нецікаві, завдання на легкі і важкі, тому що такі ознаки носять суб'єктивний характер. Справді, одні й ті ж теореми можуть бути легкими для одних учнів і важкими для інших.
2) дихотомическая (від грецьких слів dicha і tome «розтин на дві частини») класифікація являє собою поділ обсягу классифицируемого поняття на два видових поняття, один із яких має даною ознакою, а інший не має їм.
Порівнюючи дихотомічне класифікацію з класифікацією за видозміненим підставі, можна виділити ряд переваг. Ця класифікація завжди задовольняє вимогу відповідності, тому що об'єднання освічених класів повністю вичерпує обсяг поняття, що підлягає класифікації. Крім того, освічені класи завжди виключають один одного.
Однак дихотомическая класифікація не позбавлена ​​недоліків. Так, розділивши обсяг понять на два суперечать один одному видових поняття, ми залишаємо дуже невизначеним то видове поняття, яке містить частку «не». Наприклад, розділивши клас тригонометричних рівнянь на найпростіші рівняння і не найпростіші, залишаємо досить неясним обсяг класу не найпростіших тригонометричних рівнянь.
Приклад. Застосовуючи дихотомію можна провести класифікацію трикутників і чотирикутників так:

Чотирикутники

Неопуклі

Опуклі

Ті, хто має
/ / Боку
Що не мають / /
боку
Що мають дві пари / /
сторін
Що мають одну пару / / сторін

Трикутник

Прямокутний

Непрямокутної

Тупокутний

Гострокутний



Дихотомія часто використовується при розбитті даної множини одночасно за кількома підставами.
3) Дихотомія за різними підставами - розбиття обсягу классифицируемого поняття з незалежних підставах на 2п класу.
Має місце наступна теорема: при розбитті множини М по n незалежним підставах утворюється 2 n класу (n  ).
Ця теорема про розбивку множини за n незалежним підставах може бути використана для вирішення завдань певного типу.
Для вирішення таких завдань доцільно використовувати наочну інтерпретацію розбиття множини на класи за допомогою діаграм Ейлера - Венна. У діаграмі заповнюється числом елементів кожна її частина (клас) відповідно до умов завдання, що і веде до вирішення завдання.
Приклад. Розглянемо дві властивості натуральних чисел: «бути кратним 3» і «бути кратним 5». За допомогою цих властивостей з безлічі натуральних чисел можна виділити дві підмножини: А - підмножина чисел, кратних 3, і В - підмножина чисел, кратних 5. Ці підмножини перетинаються, але жодне з них не є підмножиною іншого.
I IV N
II

III
Проаналізуємо вийшла картину. Коло, що зображає безліч N натуральних чисел, розбився на 4 непересічні області - вони пронумеровані римськими цифрами. Кожна область зображує деяка підмножина безлічі N. Визначимо, які числа опинилися в кожному з цих непересічних підмножин. Підмножина I складається з чисел, кратних 3 та 5; підмножина II - з чисел, кратних 3 і не кратним 5; підмножина III - з чисел, кратних 5 і не кратних 3; підмножина IV - з чисел, не кратних 3 і не кратних 5 . Об'єднання цих чотирьох підмножин є безліч N.
Для формування умінь щодо класифікації та систематизації доцільно на практичних заняттях (або як самостійної роботи) пропонувати вправи на складання класифікаційних схем. Порядок складання таких схем передбачає схематичне зображення вивчених в даній темі понять на основі їх родо - видових відносин.
Класифікаційні схеми доцільно складати в кінці вивчення теми або розділу.
При викладі математики в школі часто доводиться вдаватися до класифікації. У процесі класифікації утворюється система досліджуваних понять. Корисні класифікації при повторенні, так як при цьому систематизується досліджуваний матеріал, учні отримують більш повне уявлення про взаємозв'язки між поняттями і про систему математичних понять. У процесі цієї роботи важливо широко використовувати таблиці, схеми, діаграми, що ілюструють питання класифікації та їх застосування при вирішенні завдань.
Застосування прийому класифікація на уроках дозволяє істотно розширити існуючі у практиці прийоми роботи, сприяють формуванню позитивних мотивів у навчальній діяльності, так як подібна робота містить і елементи гри та елементи пошукової діяльності, що в свою чергу підвищує активність учнів і забезпечує самостійне виконання робіт.

РОЗДІЛ 2.
МЕТОДИКА ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ В КУРСІ ПОЧАТКОВІЙ МАТЕМАТИКИ
2.1. Общеметодіческого підхід до формування математичних понять в шкільній практиці
У шкільній практиці багато вчителів домагаються від учнів заучування визначень понять і вимагають знання їх основних доказуваних властивостей. Однак результати такого навчання звичайно незначні. Це відбувається тому, що більшість учнів, застосовуючи поняття, засвоєні в школі, спираються на малоістотні ознаки, істотні ж ознаки понять учні усвідомлюють і відтворюють лише при відповіді на питання, які потребують визначення поняття. Часто учні безпомилково відтворюють поняття, тобто виявляють знання його істотних ознак, але застосувати ці знання на практиці не можуть, спираються на ті випадкові ознаки, виділені завдяки безпосередньому досвіду. Процесом засвоєння понять можна управляти, формувати їх із заданими якостями
Досягається це через виконання наступної системи умов.
Перша умова. Наявність адекватного дії: воно повинно бути спрямоване на істотні властивості. Вибір дії визначається, перш за все, метою засвоєння поняття. Припустимо, поняття засвоюється для того, щоб розпізнавати об'єкти, що відносяться до даного класу. У цьому випадку необхідно використовувати дію розпізнавання, дія підведення під поняття. Якщо учні не знайомі з цими діями, то необхідно розкрити їх зміст, показати, як слід їх виконувати.
Друга умова. Знання складу використовуваного дії. Так, дію розпізнавання включає: а) актуалізацію системи необхідних і достатніх властивостей поняття, б) перевірку кожного з них у пропонованих об'єктах; в) оцінку отриманих результатів за допомогою одного з логічних правил розпізнавання (для понять з кон'юнктивній і понять з диз'юнктивної системою ознак) . При розкритті змісту дії особлива увага приділяється його орієнтовною основі, яка повинна бути не тільки адекватною, але і повною.
Дія розпізнавання може бути використано при формуванні понять з кон'юнктивній структурою ознак; диз'юнктивні поняття вимагають деякого зміни в процесі розпізнавання об'єктів.
Для понять з диз'юнктивної структурою ознак правило розпізнавання, як було показано, має такий вигляд:
- Об'єкт відноситься до даного поняття, якщо він володіє, хоча б однією ознакою з числа альтернативних;
- Якщо об'єкт не володіє жодним з цих ознак, то він не відноситься до даного поняття;
- Якщо ні про один з ознак невідомо, чи він його немає, то невідомо, стосується чи не належить цей об'єкт до даного поняття
Крім дії розпізнавання можна використовувати й інші, які ми розглянули раніше: виведення наслідків, порівняння, класифікація, дії, пов'язані з встановленням ієрархічно »відносин всередині системи понять. Порядок формування логічних дій визначається як змістом кожного з них, так і відносинами один з одним.
Третя умова. Всі елементи дії представлені у зовнішній, матеріальній (або матеріалізованій) формі. Стосовно до дії підведення під поняття це виглядає наступним чином. Система необхідних і достатніх ознак поняття виписується на картку, ці ознаки матеріалізуються. (При засвоєнні, наприклад, поняття перпендикулярні прямі даються моделі прямої лінії, прямого кута.)
Учням роз'яснюють, що плюс означає наявність відповідної ознаки, мінус - відсутність, знак питання - «невідомо» (неможливість дати певну відповідь). Плюс після вертикальної риси означає, що визначається предмет підходить під дане поняття, знак мінус - не підходить, знак питання - невідомо, підходить чи ні. Крім того, вказується, що в другому та третьому випадках відповідь не зміниться, якщо мінус і знак питання будуть ставитися не до другого, а до першого ознакою. Алгоритм розпізнавання виписується також на картку.
Четверте умова - поетапне формування введеного дії. У разі використання дії підведення під поняття проведення його через основні етапи здійснюється наступним чином. На етапі попереднього знайомства з дією учню, після створення проблемної ситуації, розкривають призначення дії підведення під поняття, важливість перевірки всієї системи необхідних і достатніх ознак, можливість отримання різних результатів, все це пояснюючи на конкретних випадках в матеріалізованій формі. Після цього учневі пропонується самому виконати дію (це вже матеріалізований етап).
Учні, використовуючи орієнтири (ознаки, правила) у матеріальній або матеріалізованій формі, встановлюють наявність необхідної системи ознак у предметів, що задаються безпосередньо або у вигляді моделей і креслень. Результати виконання кожної операції фіксуються за допомогою тих же умовних знаків («+», «-», «?») На заздалегідь заготовлених схемах.
Система може, звичайно, складатися з більшого чи меншого числа необхідних і достатніх ознак.
П'ята умова - наявність поопераційного контролю при засвоєнні нових форм дії. Як було вже зазначено, контроль лише за кінцевим продуктом дії не дозволяє стежити за змістом і формою виконуваної учнями діяльності. Поопераційний контроль забезпечує знання і того, й іншого. При формуванні понять за допомогою дії підведення під поняття як операцій виступає перевірка кожної ознаки, порівняння з логічним правилом і так далі.
Природно, що перед формуванням дії підведення під поняття необхідно встановити вихідний рівень пізнавальної діяльності учнів і провести формування необхідних попередніх знань і дій.
Більш докладно зупинимося на поетапному формуванні понять.
Після виконання п'яти-восьми завдань з реальними предметами або моделями учні без всякого заучування запам'ятовують і ознаки поняття, і правило дії. Потім дія переводиться до внешнеречевую форму, коли завдання даються в письмовому вигляді, а ознаки понять, правило, і припис називаються або записуються учнями по пам'яті. На цьому етапі учні можуть працювати парами, по черзі виступаючи то в ролі виконавця, то в ролі контролера.
У тому випадку, коли дія легко і вірно виконується під внешнеречевой формі, його можна перевести у внутрішню форму. Завдання дається в письмовому вигляді, а відтворення ознак, їх перевірку, порівняння отриманих результатів з правилом учень робить про себе. Учень все ще отримує вказівки типу «Назви про себе перша ознака», «Перевір, чи є він» і т.д. Спочатку контролюється правильність кожної операції та кінцевої відповіді. Поступово контроль здійснюється лише за кінцевим результатом і проводиться у міру необхідності.
Якщо дія виконується правильно, то його переводять на розумовий етап: учень сам і виконує, і контролює дію. У програмі навчання на цьому етапі передбачається контроль з боку навчального тільки за кінцевим продуктом дії; учень отримує зворотний зв'язок за наявності ускладнень або невпевненість у правильності результату. Процес виконання тепер прихований, дія стало повністю розумовою, ідеальним, але зміст його відомо обучающему, так як він сам його будував і сам перетворив з дії зовнішнього, матеріального.
Так поступово відбувається перетворення дії за формою. Перетворення дії по узагальненості забезпечується спеціальним підбором завдань. При цьому враховується як специфічна, так і общелогическими частина орієнтованої основи дії.
Для узагальнення специфічної частини, пов'язаної із застосуванням системи необхідних і достатніх ознак, даються для розпізнавання всі типові види об'єктів, що відносяться до даного поняття. Так, при формуванні поняття кут важливо, щоб учні попрацювали з кутами, що відрізняються за величиною (від 0 ° до 360 ° і більше), за положенням в просторі і т.п. Крім того, важливо взяти і такі об'єкти, які мають лише деякі ознаки цього поняття, але до нього не відносяться.
Для узагальнення логічної частини дії розпізнавання даються для аналізу всі основні випадки, передбачені логічним правилом підведення під поняття, тобто завдання з позитивним, негативним та невизначеним відповідями. Можна включати також завдання з надлишковими умовами. Характерно, що в практиці навчання, як правило, дається лише один тип завдань: з достатнім складом умов і позитивною відповіддю. В результаті учні засвоюють дію розпізнавання в недостатньо узагальненому вигляді, що, природно, обмежує межі його застосування. Завдання з надмірними, невизначеними умовами дають можливість навчити учнів не тільки виявляти ті чи інші ознаки в предметах, але і встановлювати достатність їх для вирішення що стоїть завдання. Останні в життєвій практиці часто виступають як самостійна проблема.
Перетворення дії по двох інших властивостей досягається повторюваністю однотипних завдань. Робити це доцільно, як було зазначено, лише на останніх етапах - шостому або п'ятому. На всіх інших етапах дається лише таке число завдань, яке забезпечує засвоєння дії в цій формі. Затримувати дію на перехідних формах не можна, так як це призведе до автоматизації його в цій формі, що перешкоджає перекладу дії в нову, більш пізню форму.
У всіх випадках, коли реалізувалися зазначені умови, тобто процес засвоєння йшов не стихійно, а контролювався вчителем, поняття формувалися з заданим вмістом і з наступними характеристиками:
Шоста умова - розумність дій піддослідних. Головне, що постійно підтверджувалося, - це орієнтування учнів з самого початку на всю систему суттєвих ознак, тобто мала місце розумність дій.
Для встановлення розумності дій використовуються три види завдань:
а) завдання, в яких є повний склад умов, але креслення не відповідає умовам завдання;
б) завдання з неповним складом умов і без креслення;
в) завдання з неповним складом умов і не адекватною умові завдання кресленням. (Наприклад, в умові сказано, що дані два рівних кута із загальною вершиною. Питається, чи будуть вони вертикальними. На кресленні зображені вертикальні кути. Правильна відповідь: «Невідомо», оскільки немає даних про те, чи становлять боку одного кута прямі лінії зі сторонами іншого.) Цей вид завдань об'єднує в собі особливості перших двох. Перевірку розумності доцільно починати з пред'явлення саме таких завдань. Якщо випробуваний справляється з ними, то це достатній показник розумності його дій. Справді, такі завдання можуть бути правильно вирішені тільки при орієнтуванні на узагальнену систему істотних ознак і на логічне правило розпізнавання. У тому випадку, коли учень орієнтується на креслення, він обов'язково помиляється. Якщо він враховує лише окремі суттєві ознаки, то завдання також буде вирішена невірно. Нарешті, рішення цих завдань вимагає знання всіх можливих випадків, які можуть бути при вирішенні завдань на розпізнавання. Зокрема, вміння диференціювати випадок, коли відповідь невизначений, і випадок, коли відповідь негативна, тобто коли умови повні, але відомо, що предмет не володіє якимись необхідними ознаками.
Сьома умова - усвідомленість засвоєння. Усі учні при роботі з поняттями повинні правильно аргументувати свої дії, вказуючи при цьому підстави, на які вони спиралися при відповіді.
Восьме умова - впевненість учнів у знаннях і діях. Учні виявляють не тільки розумність і усвідомленість, але і більшу впевненість у своїх діях.
Якщо дії виступають як предмет спеціального засвоєння, де має місце управління ходом їх формування, - дії та знання формуються як розумні, свідомі, довільні, і це призводить до того, що діти діють адекватно і впевнено.
Дев'яте умова - відсутність зв'язаності чуттєвими властивостями предметів. При шкільному навчанні учні позбавлені адекватної орієнтовної основи, тому вони навчаються диференціювати предмети, спираючись на ті їх властивості, які лежать на поверхні. Таким чином, учні йдуть на поводу зовнішніх, чуттєвих властивостей не в силу особливостей свого мислення, а тому, що не мають в своєму розпорядженні нічого більш надійного. Але як тільки ми даємо їм кошти опори на істотні властивості, які далеко не завжди є показовими, вони успішно використовують їх, не потрапляють у владу випадкових властивостей, якщо навіть останні є яскравими і постійними в предметах.
Десяте умова - узагальненість понять і дій. Узагальненість формованих понять і дій перевіряється двома шляхами. По-перше, встановлюється можливість піддослідних застосувати сформовані поняття і дії в нових умовах, в тій чи іншій мірі відрізняються від умов навчання (наприклад, зберігаючи в процесі навчання стійкість матеріалу, кольору і форми об'єктів, в контрольних завданнях пред'являються об'єкти даного класу, що мають інший колір, іншу форму, зроблені з іншого матеріалу). По-друге, встановлюється вплив сформованих понять на процес засвоєння нових - як із тієї ж галузі знань, так і суттєво іншою.
Одинадцяте умова - міцність сформованих понять і дій. Сформовані знання та дії не тільки призводять до правильних відповідей, а й зберігають всі розглянуті якості: розумність, свідомість.
Використовуючи дану систему умов можна домогтися від учнів свідомого і систематичного засвоєння математичних понять, застосування на практиці.
2.2. Методична система по формування математичних понять: множини, величини, числа, алгебраїчних і геометричних понять.
У початкових класах формуються такі математичні поняття:
1. Безліч, окремі випадки операцій над множинами.
2. Величина.
3. Геометричний матеріал.
4. Число, кількісний і порядковий (аксіоматичний) підходи до безлічі натуральних чисел.
5. Операції над натуральними числами (кількісний і аксіоматичний підходи), їх властивості.
6. Числові вирази. Числові рівності і нерівності, їх властивості.
7. Вирази зі змінними, їх область визначення. Тотожність.
8. Рівняння і нерівність; їх область визначення і безліч рішень. Властивості рівнянь і нерівностей.
9. Функції: поняття, область визначення, область значень, способи завдання.
Безліч, окремі випадки операцій над множинами.
Безліч - це основне невизначені поняття.
При формуванні поняття «множина» потрібно навчити дітей ставити безліч зазначенням характеристичних властивостей, перерахуванням елементів, за допомогою кіл Ейлера-Венна; вміти визначати чи належить даний елемент безлічі чи ні; знаходити потужність кінцевого безлічі (кількість елементів множини).
Так, показавши картину, вчитель запитує: «Що на ній зображено?» Діти відповідають, наприклад, «Яблука» (тобто задається безліч зазначенням характеристичного властивості). Потім вчитель показує зображення груші і питає: «Чи входить вона в заданий безліч?» Діти відповідають: «Ні».
Формування сенсу арифметичних дій над натуральними числами і їх властивостей базується на основі відповідних операцій над множинами та їх законів. Тут важливо використовувати множини, а не їх потужності, тобто при формуванні сенсу арифметичних дій потрібно уникати можливості знаходження результату операції за допомогою перерахування елементів вийшло множини.
Над множинами можна виконувати 5операцій.
Розглянемо їх.
1. Об'єднання множин.
Об'єднанням двох множин називається така безліч, елементи якого належать хоча б одній з цих множин.
Це визначення легко можна проілюструвати на колах Ейлера-Венна, де заштрихована частина є результатом об'єднання двох множин (рис. 2.1):
а) б) в) г)


Рис. 2.1
Основні властивості цієї операції:
а) комунікативний закон: А В = В А
б) асоціативний закон: {А В} C = A {BC}.
Випадок а) є теоретичною основою формування сенсу операції додавання натуральних чисел, а комунікативний і асоціативний закони виступають в початкових класах як переместительное і сочетательное властивості суми натуральних чисел.
Операцію додавання натуральних чисел можна сформувати за допомогою такої практичної роботи. Зліва на парті лежать трикутники, а праворуч квадрати. Учитель просить зібрати разом і назвати вийшло безліч. Діти відповідають: «Ми отримали геометричні фігури». Учитель узагальнює: «Ми виконали складання, яке позначається знаком« + »і називається сумою (рис.2.2).


+

сума
Рис. 2.2
Таким чином, складання натуральних чисел розглядається як окремий випадок об'єднання двох чисел.
Так як об'єднання множин коммунітатівно й асоціативно, то переместительное і сочетательное властивості складання можна сформувати відразу ж після введення слова «сума». Так вчитель може поставити запитання: «Чи зміниться сума, якщо спочатку в центр парти покласти квадрати, а потім трикутники?
Показати прикладну сторону використання коммунітатівності складання можна на такій практичній роботі.
На партах учнів викладені трикутники і квадрати. Кількість квадратів в 3 - 4 рази перевищує кількість трикутників. Хто швидше за однією геометричній фігурі збере їх в одну групу. Після практичної роботи учні повинні зробити висновок, як швидше можна виконати роботу і чому.
2. Перетин множин.
Перетином двох множин називається така безліч, елементи якого належать першому і другому безлічі (рис. 2.3).
а) б) в) г)


Рис. 2.3
Основні властивості цієї операції:
а) комунікативний закон: А В = В А
б) асоціативний закон: {А В} C = A {BC}.
Перетин двох множин можна формувати в початкових класах при розгляді, наприклад, загальної частини геометричних фігур: прямокутника АВСД і квадрата КСМЕ (рис. 2.4).

В С
М
А До
Е
Рис. 2.4
3. Різниця множин.
Різницею множин А і В називається така множина, елементи якого належать безлічі А і не належить множині В (рис.2.5).
Випадки г) і д) є теоретичною основою формування сенсу операції віднімання натуральних чисел.
а) б) в) г) д)


Рис. 2.5
Операцію вирахування натуральних чисел можна сформувати за допомогою такої практичної роботи.
У пеналі лежать письмове приладдя (ручки і олівці), виклали на парту всі ручки, а олівці з пеналом поклали в портфель. Треба дізнатися, скільки було олівців. Щоб відповісти на питання завдання, треба знати, скільки було письмового приладдя за все, скільки було ручок. Різниця між ними і є олівці. Таким чином операція віднімання натуральних чисел розглядається як випадок різниці двох множин.
4. Декартово твір двох і більше множин.
До цих пір порядок запису елементів множини ролі не грали. Однак у практиці, найчастіше, порядок запису елементів має велике значення. Наприклад, порядок букв у слові, або порядок запису однозначних чисел у багатозначному числі (23 = 32).
Кортежем довжини n називається упорядкована n - ка (а, а, ... а), де а А, а А, ..., а А.
Декартовим твором множин А х А х ... х А називається безліч всіляких кортежів (а, а, ... а), де а А, а А, ... а А.
Декартово добуток має такі основні властивості:
1) А х В = В х А;
2) M (A x B) = m (B x A) - кількість елементів декартового добутку В х А.
У початкових класах операція множення натуральних чисел розглядається як потужність декартова твори.
Операцію множення натуральних чисел можна сформувати за допомогою такої практичної роботи.
На парті лежать короткі, середні, довгі палички червоного, синього, жовтого та білого кольорів. Треба розкласти їх за кольором і за розміром.
За кольором За розміром
Червоні-Короткі - червона, синя, жовта, біла
Сині - Середні - червона, синя, жовта, біла
Жовті - Довгі - червона, синя, жовта, біла
Білі -
У першому випадку паличок 3 + 3 + 3 + 3 = 3 х 4, в другому - 4 + 4 + 4 = 4х3.
Тому що в обох випадках були розкладені всі палички, то 3 х 4 = 4 х 3. Таким чином, ця практична робота дозволяє сформувати не тільки зміст операції множення як потужності декартового твори, а й переместительное властивість множення.
5. Розбиття.
Операція розбиття на попарно непересічне підмножини характеризуються наступними властивостями:
1) жодне з підмножин не порожньо;
2) будь-які дві підмножини не мають спільних елементів;
3) об'єднання всіх підмножин дає дане безліч.
Операція ділення натуральних чисел спирається на розбиття кінцевої множини на попарно непересічні рівнопотужні підмножини. Вона розкривається шляхом розгляду завдань на поділ за змістом і рівні частини. Це можна здійснити на прикладі таких робіт.
Приклад № 1. Кілька олівців треба роздати трьом учням. Скільки олівців отримає кожен учень і скільки їх було?
Спочатку роздамо по одному олівця, потім ще по одному і так далі. Нехай кожен учень отримав по 4 олівця, тоді всього олівців було: 4 кар. х 3 = 12 кар.
Приклад № 2. Кілька олівців треба роздати дітям по 4 олівця. Скільки учнів отримає олівці і скільки їх було всього?
Спочатку 4 олівця дали одному учню, потім 4 олівця дали другого і так далі. Нехай 3 учні отримали по 4 олівця, тоді всього олівців було: 4 кар. х 3 = 12 кар.
Потім вчитель повинен узагальнити отримані результати: «У першій задачі ми шукали перший співмножник, а в другій задачі ми шукали другий співмножник. Так як множення має переместительное властивістю, то ми виконали в обох задачах одну і ту ж операцію, яка називається діленням ». Після цього вчитель записує:
4 х 3 = 12, 12 3 = 4;
4 х 3 = 12, 12 4 = 3.
2. Величина
Поняття величини є фундаментальним в шкільному курсі математики і, особливо, у початковому навчанні. Адже історично робота з величинами і призвела до появи математики як такої. Розглядаючи величину як властивість однорідних предметів чи явищ «бути порівнянним», вчитель може з допомогою конкретних предметних дій сформувати в учнів такі найважливіші поняття, як позитивне дійсне число, операції над числами та їх закони, вимірювання величин і іменовані числа, тісно пов'язати геометричний і арифметичний матеріал.
Величини бувають трьох видів: скалярні, адитивно-скалярні, векторні.
Прикладом скалярних величин є властивість хімічних елементів бути порівнянними за активністю. Так, натрій більш активний, ніж залізо. Проте, сказати, на скільки він більш активний не можна, тобто не можна виконати операцію складання: до активності заліза не можна, наприклад, додати активність свинцю і отримати активність натрію тому скалярні величини не є тією основою, на якій виникла математика.
Аддиктивное-скалярні величини (адитивність - це наявність операції додавання; адитивна операція - операція додавання) можна не тільки порівнювати, але і визначати, на скільки один елемент множини, що володіє величиною, більше (менше) іншого елементу цієї ж множини.
Таким чином, адитивно-скалярні величини можна складати і тому саме на їх основі виникла в результаті абстрагування математика. Прикладом адитивно-скалярних величин є безліч відрізків, площ.
Векторні величини можна порівнювати не тільки з позиції «стільки», «більше». «Менше», але й за напрямком. Прикладами векторних величин є швидкість, прискорення.
У початкових класах спеціальним предметом вивчення є наступні адитивно-скалярні величини: кількість, довжина, площа, маса, ємність, час.
Надалі, для спрощення, замість того, щоб казати «адитивно-скалярна величина», або «безліч, що має величиною», будемо говорити просто «величина».
Розглянемо основні властивості величин.
1. Властивість бути порівнянним.
Це властивість повинна формуватися в початкових класах у три етапи на основі предметних дій дітей.
а) Візуальне порівняння.
Наведемо приклади практичних робіт.
Приклад 1. (Рис. 2.6). Приклавши смужки, з'ясувати, які з них довший (рис. 2.6).
Приклад 2. Наклавши один на одного два аркуші паперу, з'ясувати, який з них більше (рис. 2.7).


Рис. 2.7
Приклад 3. Взявши в одну руку дерев'яний куля, а іншу металеву кулю, визначити, який з них важче (кулі однакові за розміром).

Приклад 4. Порівняти два відра однакової форми і відповісти, у яке з них більше поміститися води (рис. 2.8).


Рис. 2.8
б) Опосередковане порівняння.
Приклад 1. Учням пропонується порівняти довжини двох відрізків, зображених на дошці; визначити по рисунку у книзі, хто з дітей живе ближче до школи.
Щоб відповісти на поставлене питання, використовуються дві мотузки. Ними вимірюють довжини, а потім накладенням порівнюють.
Приклад 2. Учням пропонується порівняти маси двох тіл, з цією метою використовуються важільні терези.
2). Порівняння з допомогою посередників.
Приклад 1. Учням пропонується порівняти відстань Євпаторія - Сімферополь, Євпаторія - Київ.
Приклад 2. Учням пропонується порівняти дві площі різної конфігурації (рис. 2.9).


Рис. 2.9

Приклад 3. Учням пропонується порівняти вік своїх батьків.
У кожному випадку учні прийдуть до висновку, що ні візуально, ні опосередковано провести порівняння неможливо. Вони зроблять висновок про те, що величини необхідно спочатку виміряти, а потім порівняти числа, отримані в результаті вимірювання. Тим самим учні підводяться до розуміння причини виникнення числа.
2. Наявність операції додавання.
Величини можна складати, тобто має місце операція додавання. Ця операція має такі важливі властивості:
1) єдиність суми;
2) комутативність додавання (переместительное властивість);
3) асоціативність додавання (сочетательное властивість).
Операцію додавання і її властивість потрібно формувати в учнів не тільки на прикладі такої величини, як кількість, але і на прикладах інших величин.
Приклад 1. Учням пропонується перев'язати великий пакет наявними маленькими мотузочками.
Учні пов'язують обривки мотузок і перев'язують пакет. При цьому підкреслюють, що порядок, в якому зв'язуються обривки мотузок, ролі не грає (переместительное і сочетательное властивість додавання).
Приклад 2. Учневі пропонується пригостити соком своїх друзів, якщо у нього є різна кількість сливового соку і грушевого.
Учень зливає сік в один посуд і отримує Грушево - сливовий сік, яким пригощає друзів. Підкреслюється, що кількість соку не змінитися від того, в якому порядку він зливається.
Так як складання величин є теоретичною основою формування сенсу операції додавання, а не знаходження результату складання, тому при розгляді даних прикладів вчитель повинен уникати можливості вимірювання величин, в тому числі і перерахунку.
3. Множення величини на натуральне число.
Пол множенням величини а на натуральне число n розуміється сума в однакових величин: а + а + ... + а = а n.
Ця властивість є теоретичною основою операції множення в початкових класах. Тому, при її формуванні необхідно підкреслювати, що одна і та ж величина повторюється кілька разів, тобто іменоване число потрібно ставити при множенні на перше місце.
Приклад 1. Учням пропонується скласти смужку з чотирьох однакових смужок і виміряти її. Діти отримують в результаті вимірювання 40 см.
Учитель пропонує знайти довжину смужки не вимірюючи її, якщо відомо, що вона складається з чотирьох однакових смужок по 10 см кожна.
Діти записують: 10 см + 10 см + 10 см + 10см = 40 см.
Учитель звертає увагу на громіздкість запису і знайомить їх з іншого записом і новою операцією - множенням: 10 см 4 = 40 см.
Учні під керівництвом вчителя роблять висновок про те, що в даному випадку множення представляють суму однакових величин, тобто, що множення є окремий випадок складання.
Приклад 2. Завдання. Скільки хвилин відводиться учневі на виконання контрольної роботи, якщо треба вирішити 5 прикладів і на кожний приклад відводиться 4 хвилини?
4 хв x 5 = 15 хв (4 хвилини повторяться 5 разів).
Примітка. Підхід до операції множення як до суми однакових величин дозволяє пояснити сенс множення натуральних чисел, починаючи з двох. Множення на 1, на 0, множення дробових чисел не можна розглядати з позиції суми однакових доданків.
4. Властивість необмеженої подільності.
Будь-яку величину а при довільному натуральному числі m можна представити у вигляді суми однакових величин b: а = b + b + ... + b або а = b m. Це означає, що b є тією m-тією частиною а, тобто величина b є 1 / m частка величини а.
Частка є одним з випадків звичайного дробу, що і треба підкреслити при вивченні частки в початкових класах. Це можна зробити, наприклад, в ході вирішення наступних завдань.
Завдання 1. 12 яблук розділити порівну між чотирма дітьми. Скільки яблук одержить кожна дитина?
Кожна дитина отримає четверту частину від 12 яблук, тобто по 3 яблука.
Завдання 2. Одне яблуко треба розділити порівну між чотирма дітьми. Скільки яблук отримає кожен?
Кожен отримає четверту частину, тобто 1 / 4 яблука.
Завдання 3. П'ять яблук треба розділити порівну між чотирма дітьми. Скільки яблук отримає кожен?
Кожен отримає четверту частину, тобто 1 яблуко і ще 1 / 4 яблука, що становить 1и 1 / 4 яблука або 5 / 4 яблука.
5. Аксіома Архімеда.
Якщо а і b дві однорідні величини і а> b, то знайдеться таке натуральне число n, що а <b n.
Ця аксіома дозволяє виконувати вимірювання величин, що широко застосовується в початкових класах.
Під час вимірювання учні отримують конкретне натуральне число (у даному випадку це число 4).
Приклад 2. Виміряти ємність банки за допомогою склянки. Скільки склянок поміщається в банку?
Приклад 3. Виміряти площа багатокутника даної міркою (рис. 2.11).


Рис. 2.11

Наявність загальної мірки.
Загальною міркою однорідних величин a і b називається така величина c, яка міститься в a і b ціле число разів: a = cxn і b = cx m.
Властивість двох однорідних величин мати загальну мірку лежить в основі формування поняття звичайного дробу.
У початкових класах уявлення про звичайного дробу можна сформувати за допомогою наступної практичної роботи.
Дітям пропонується виміряти відрізок AB за допомогою відрізка CD (рис. 2.12).
Діти переконуються, що відрізок CD не поміщається в AB ціле число разів. Тоді їм пропонується як мірки відрізок МК, за допомогою якого вони вимірюють відрізки AB і CD. Нехай у відрізку AB відрізок МК міститься 4 рази, а у відрізку CD - 3 рази. Значить, відрізок МК є 1 / 3 частиною відрізка CD і тому у відрізку AB відрізок CD поміщається 5 / 3 рази. Таким чином, в результаті вимірювання відрізка AB відрізком CD вийшла дріб 5 / 3.
Примітка. Ще в давні часи вчені прийшли до висновку, що існують і величини, які не мають спільного мірки. Таким чином, в результаті вимірювання можуть вийти натуральні числа, дробові числа (додатні раціональні числа) та ірраціональні числа, тобто будь-яке позитивне дійсне число є результат вимірювання величин. Тому вимірювання різних величин в початкових класах повинно бути приділено серйозну увагу.
Вимоги до вимірювання величин.
1. Так однорідним величинам повинно бути поставлено у відповідність єдине число.
Формування в початкових класах цієї вимоги до вимірювання величин здійснюється в наступній послідовності:
а) візуальне порівняння;
б) опосередковане порівняння;
в) створення проблемної ситуації: як бути, якщо ні візуально, ні опосередковано порівняти не можна. Учні підводиться до висновку, що потрібно порівняти числа, які виходять в результаті вимірювання.
Приклади практичних робіт на візуальне порівняння, опосередковане порівняння, необхідність вимірювання величин були наведені вище.
2. З безлічі однорідних величин вибирається одна, якій ставиться у відповідність число один.
Тут важливо показати, що за одиницю вимірювання може бути взятий будь-який елемент. Однак, якщо однакові за величиною елементи будуть вимірюватися різними одиницями виміру, то отримані числа не допоможуть зробити вірний висновок у порівнянні цих елементів. Цей момент можна сформувати в учнів за допомогою наступної практичної роботи.
Приклад 1. Учитель показує три однакові смужки червоного, білого і чорного кольорів і просить, не накладаючи їх назвати, яка з них коротше, а яка - довше. Діти називають чорну смужку найкоротшою, а білої - найдовшою. Тоді, роздавши одному ряду червоні смужки, іншому - білі, третьому чорні, вчитель просить виміряти їх мірками (смужками), які заздалегідь роздані на парти. У результаті вимірювання червоних смужок діти отримують число 3, чорних - 4, білих - 2. Після цього вчитель накладенням смужок переконує дітей, що вони однакової довжини, і задає питання: «Чому в результаті вимірювання вийшли різні числа?» Учні приходять до висновку, що потрібно домовитися і вимірювати однаковими мірками (одиницями виміру). Після цього можна провести бесіду про різних одиницях вимірювання довжин.
Приклад 2. Аналогічну роботу можна провести з вимірювання площ, взявши однакові листи паперу білого, чорного і червоного кольорів, а за одиницю виміру білого аркуша паперу взяти 1 / 2 аркуша, червоного аркуша паперу -1 / 4 аркуша, чорного аркуша паперу - 1 / 8.
3. Якщо величина «а» є сума величин «b» та «c», то її міра дорівнює сумі їх заходів.
Сформувати це вимога можна за допомогою наступних практичних робіт.
Приклад 1. Треба перев'язати пакет за допомогою кількох коротких мотузочок. Учні пов'язують потрібну кількість обривків і перев'язують пакет. Дається завдання: якої довжини мотузку потрібно взяти оператору пошти, щоб перев'язати пакет такого ж розміру, якщо мотузку зв'язали з трьох шматків довжиною 10 см, 15 см і 30 см. Діти знаходять: 10см +25 см +30 см = 55 см.
Приклад 2. Потрібно порівняти дві геометричних фігури різної форми (рис. 2.12). Під час вимірювання діти приходять до висновку, що фігури рівновеликі, так як вони равносоставлени.


Рис. 2.12

Приклад 3. Учитель дає завдання скласти з однакового набору геометричних фігур будинок і собаку (рис. 2.13).



Рис.2.13
III. Геометричний матеріал.
Зазвичай геометричний матеріал розглядається в початкових класах як деякий вкраплення, не пов'язане з основним програмним матеріалом. Однак, якщо навчання математики в початкових класах будувати на понятті величини, то геометричний матеріал виступає не як ізольований, а як базовий, що дозволяє формувати багато математичні поняття (див. розділ "Величини").
Вивчення геометричного матеріалу має починатися з формування уявлення про точку, лінії, прямої лінії, відрізку, промені, вугіллі. Це можна здійснити за допомогою, наприклад, таких практичних робіт.
Приклад 1. Учитель просить дітей два рази ткнути олівцем у аркуш паперу і повідомляє, що вони отримали дві точки. Потім він просить, як завгодно з'єднати їх і каже, що вони отримали лінії, кожен свою (рис.2.14). Потім вчитель просить відзначити на лінії червоним олівцем кілька точок, синім олівцем - кілька крапок над лінією, зеленим олівцем - кілька точок під лінією.

Рис. 2.14
Тим самим в учнів формується уявлення про лінію як безлічі точок, про положення точок відносно лінії (на, над, під).
Приклад 2. Учитель пропонує дітям кинути на парту мотузочки, які були їм роздані. Учні отримують різні лінії. Вчитель пропонує взяти мотузку за кінці я натягнути, У дітей виходить відрізок прямої лінії. Потім діти в зошитах відзначають дві точки і за допомогою лінійки проводять через них пряму лінію.
Приклад 3. Учні відзначають в зошитах три крапки одна під одною і проводять через одну точку пряму лінію, промінь до другої точки і промінь від третьої точки (рис. 2.15). Учитель вводить поняття променя і діти підводяться до висновку, що пряма, в даному випадку, складається з двох променів.

Рис. 2.15
Приклад 4. Дітям пропонується поєднати два промені так, щоб вийшла пряма лінія, і не вийшла пряма лінія. Вводиться поняття кута, вершини утла, сторін кута (рис. 2.16).


Рис. 2.16
Приклад 5. Дітям дається завдання поєднати три відрізки, які заздалегідь роздані на парти, кінцями так, щоб вийшла замкнута ламаною лінія. Учитель просить порахувати кути у получившейся геометричної фігури і говорить, що, так як у неї три кути, цю фігуру називають трикутником. Потім вчитель просить скласти трикутник із трьох відрізків, сума двох з яких менше третього відрізка (рис. 2.17).
Робиться висновок, що в трикутнику обов'язково дві будь-які сторони разом більше третьої сторони.
Аналогічно учні знайомляться і з іншими геометричними фігурами та їх властивостями.
Питання про вимірювання геометричних фігур, про одиниці виміру та взаємозв'язках між ними досить докладно розглянуто в розділі "Величини".

IV. Натуральні числа
Натуральне число має двояку природу, так як відповідає на питання "скільки" і "який за рахунком". Наприклад, якщо стоїть черга, то
перш, ніж стати в неї, людина цікавиться скільки в ній найбільше людей. А, коли він вже стоїть в черзі, то його цікавить, який він по рахунку, тобто скільки людей стоїть перед ним.
Таким чином, існує два підходи до поняття натурального числа:
- Теоретико-множинний (кількісна теорія) і аксіоматичний (порядкова теорія), які тісно переплітаються в методиці викладання. Тому, щоб уникнути помилок, вчитель має знати, який з підходів лежить в основі вивчення конкретного питання.
Теоретико-множинний підхід до поняття натурального числа базується на поняттях кінцевого безлічі і взаємо-однозначної відповідності. Наведемо схему введення натуральних чисел.
1. Визначення. Два кінцевих безлічі називаються равночисленность, якщо між ними можна встановити взаємно-однозначна відповідність.
2. Відношення "бути равночисленность" розбиває всі кінцеві множини на класи еквівалентності.
3. Кожен клас еквівалентності характеризується потужністю, тому кожному безлічі даного класу приписують як характеристику одне і те ж натуральне число.
4. Потужність порожньої множини приймається за натуральне число нуль.
Поняття "бути равночисленность" і вміння розбивати кінцеві множини на класи еквівалентності формується у дітей дочісловой період при вивченні теми "Стільки, більше, менше". Покажемо, як на основі практичної діяльності учнів можна сформувати поняття про натуральні числа від 0 до 10.
Приклад 1. Тема уроку "Число і цифра 3".
На одній полиці набірного полотна два кружечка, на другий - три, третя поличка порожня (рис. 2.17). Учитель, показуючи різні кінцеві множини, просить розкласти їх по полицях, тобто пропонує виконати класифікацію.

Рис. 2.17
Після цього ставлять запитання:
1. Однакові чи групи предметів на другій полиці? - Ні.
2. Чому ж ви їх поставили на одну полицю? - Кількість предметів у них однакове.
Вчитель робить висновок про те, що це властивість (кількість елементів кожного безлічі даного класу) і є число 3.
Потім вчитель показує написання цифри 3, тобто значка, за допомогою якого зображується число три.
Наступний етап уроку - закріплення. Учитель пропонує знайти в класній кімнаті багато, що містить по три елементи; виконати за допомогою заданої мірки вимірювання довжини відрізка або площі геометричної фігури, У цьому випадку число виступає в новій якості: воно виражає відношення однієї величини до іншої. Так, виконуючи завдання з вимірювання ємності банки за допомогою кухля, учні отримують натуральне число як результат відношення однієї ємності в іншу. Такий підхід призводить до розширення поняття про позитивний числі, так як результатом вимірювання може бути натуральне число, дробове число (позитивне раціональне), ірраціональне число. Таким чином, розглядаючи з першого класу натуральне число як результат вимірювання величин, учні осягають причини виникнення будь-якого позитивного дійсного числа, що дуже важливо для подальшого навчання в школі.
Приклад 2. Тема уроку "Число нуль".
Учитель ставить запитання типу: "Скільки холодильників в класі?", "Скільки вантажних автомобілів у класі?", Діти відповідають, що цього нічого немає. Тоді вчитель говорить, що це відповідає числу нуль і можна записати за допомогою цифри 0.
Аксіоматичний підхід до поняття "натуральне число" базується на наступних основних (невизначених) поняттях: "натуральне число" з виділеним числом "О" (або "I") і "безпосередньо слідувати за ..,".
У цілому ряді книг за виділений число приймається число 1. На наш погляд доцільніше виділяти число 0, тому що методика його введення аналогічна методиці виділення будь-якого однозначного натурального числа (див. приклади 1 і 2). Крім того, легше вводити тоді використання лінійки.
Властивості цих основних понять, співвідношення між ними розкриваються в аксіоми Пеано (італійський математик). Наведемо деякі з них.
Аксіома 1. Нуль безпосередньо не слід ні за жодним натуральним числом.
Ця аксіома формується в учнів при користуванні лінійкою для вимірювання довжини відрізка: вчитель підкреслює, що лінійку треба прикладати так, щоб початок відрізка збігалося з поділом 0.
Аксіома 2. Для будь-якого натурального числа існує тільки одне натуральне число, яке безпосередньо слідує за ним.
Ця аксіома формується в учнів за допомогою питань: "Яке число йде за числом V?" Чи може за числом 2 йти число 5? "
Аксіома 3. Будь-яке натуральне число безпосередньо слід не більше ніж за одним натуральним числом.
Ця аксіома формується у дітей за допомогою питань: "За яким числом йде число 5?", "Чи може число 5 йти за числом 3?", "За яким числом йде число О?"
Таким чином, аксіоматичний підхід до поняття натурального числа дозволяє охарактеризувати наступні властивості натурального ряду чисел (порядкову структуру безлічі натуральних чисел).
1. Безліч натуральних чисел нескінченно, з початковим елементом О і без кінцевого елемента.
2. Безліч натуральних чисел впорядковане (будь-які два натуральних числа можна порівняти). "
3. Безліч натуральних чисел дискретно (між двома будь-якими натуральними числами можна помістити кінцеве безліч натуральних чисел).
V. Операції над натуральними числами
Раніше вже неодноразово підкреслювалося, що в методиці навчання операціями над натуральними числами слід відрізняти саму операцію від результату операції.
Сенс операцій над натуральними числами та їх закони формуються на теоретико-множинної основі. Знаходження результату операцій розкривається в аксіоматичної теорії. Так, операції додавання і множення натуральних чисел базується на наступних аксіомах
Операція складання Операція множення.
1. а + 0 = а; 3. а • 0 = 0;
2. а + b 'я (а + b)' 4. а • b '= а' b + а. Наслідок: а + 1 = а '. Наслідок: а • 1 = 5 а.
Аксіоми 1 і 3 та слідства з цих аксіом учні повинні твердо знати Знаходження результату складання (до таблиць додавання) визначається шляхом прісчітиванія по одному (тобто використовується перший наслідок).
Знаходження результату множення в початкових класах не можна розглядати з позиції аксіом 3 та 4. Тому в традиційній методиці множення розглядається як окремий випадок складання, що дозволяє множити натуральні числа лише починаючи з двох. Природно, такий підхід до операції множення не можна вважати вдалим, тому що не дозволяє знайти результат множення в таких випадках, як а • 1, а - 0;
(А / b) • (с / а).
У розділах I та III досить докладно розглянута операція множення як потужність декартова твори і як сума однакових величин. Існує й інший підхід до операції множення, з позиції якого можна обгрунтувати не тільки множення натуральних чисел, починаючи з двох, але й множення на 1 і на 0, множення звичайних дробів. Цей підхід полягає в тому, що множення розглядається як перехід від однієї одиниці вимірювання до іншої Сформувати в учнів сенс операції множення з цієї позиції можна на таких практичних роботах.
Приклад 1. Потрібно виміряти ємність банки спочатку гуртками, а потім склянками (рис. 2.18). Під час вимірювання отримали 5 кухлів або 15 склянок. Учитель звертає увагу на те, що склянками вимірювати довго, і задає

Рис. 2.18
питання: "Чи не можна дізнатися, не вимірюючи, скільки склянок в банку?" Діти пропонують для цього вимірювати склянками кухоль. Так як в банку 5 кухлів (стара мірка) і в одній гуртку 3 склянки (нова мірка), то в банку 5 • 3 = 15 (склянок).
Приклад 2. Учитель пропонує швидко перерахувати зошити. Учні вважають за два зошити (стара мірка) і отримують 15 пар, тому в пачці 15 - 2 = 30 (зошитів).
Приклад 3. Учням пропонується швидко виміряти смужку і даються дві мірки: в 1 дм і в 1 см Діти міряють спочатку великий міркою і отримують число 4. Оскільки 1 дм містить 10 см (нова мірка 1 см), то вся смужка містить 4 • 10 = 40 (см).
Приклад 4. Завдання. Скільки потрібно плиток кахлю, щоб обкласти таку ж стінку, яка зображена на рис. 31? Діти вважають спочатку рядами (1 ряд-стара мірка), а потім-скільки в ряду плиток (1 плитка - нова мірка). Всього плиток 4 • 9 = 36. •
Множення на 1 можна пояснити так: хай у прикладі 1 у гуртку поміщається рівно одну склянку, тоді в банку буде 5 • 1 = 5 (склянок).
Множення на 0 можна пояснити на прикладах, в яких нова мірка значно більше старої мірки вимірюваної величини.
Знаходження результату віднімання грунтується на наступному визначенні.
Визначення. Різницею з натурального числа "а" натурального числа "b" називається таке натуральне число "с", що а = b + с.
Таким чином, віднімання розглядається як дія зворотне додаванню. Це дозволяє знаходити результат віднімання не тільки шляхом відліку по одному, а й використовуючи залежність між компонентами операції додавання: 5 - 2 = (5 - 1) -1 і 2 + П = 5.
Знаходження результату ділення грунтується на наступному визначенні.
Визначення. Часткою від ділення натурального числа "а" на натуральне нерівне нулю число "b" називається таке натуральне число "с", що а • b == с.
Так як поділ є операція зворотна множенню, то для знаходження результату ділення використовується залежність між компонентами операції множення: 3 • П = 6. На цьому ж грунтується і складання таблиць віднімання і ділення:
а) 2 +3 = 5; 5 - 2 = 3;. б) 2 • 3 = 6; 6:2 = 3.
Ділення з залишком в початкових класах грунтується на наступному визначенні.
Визначення. Розподілом натурального числа "а" на натуральне число «b» із залишком називається відшукання такого приватного q і залишку г, що а = b • q + г, де г <b.
Згідно з цим визначенням, поряд із записом, наприклад, 23: 5 = 4 (залишок 3), учням повинна даватися і такий запис: 23 = 5 • 4 + 3. Це
дозволяє урізноманітнити приклади на поділ з залишком: П = 5 * 4 +3 (перевірка ділення із залишком); 23 = П • 4 + П; 23 == 5 • О + О. Учень + О. Учнів повинні знати не тільки порядкову структуру безлічі натуральних чисел, яка була наведена вище, але і алгебраїчну структуру натуральних чисел. Наведемо її.
1. У безлічі натуральних чисел завжди здійсненна операція додавання.
2. У безлічі натуральних чисел завжди здійсненна операція множення.
3. а + b = b + а (переместительное властивість додавання).
4. а • b = b • а (переместительное властивість множення).
5. (А + b) + з = а + (b + с) (сочетательное властивість додавання).
6. (А • b) • з = а • (b • с) (сочетательное властивість множення).
7. (А + b) • з = а * с + b * с (розподільний властивість множення відносно додавання).
8. а + 0 = а.
9. а • 0 = 0.
10.а + 1 = а '.
11. а • 1 = а.
Операції над багатозначними числами грунтуються на позиційній системі числення.
Визначення. Числення (нумерацією) називається сукупність способів усного найменування та письмового позначення чисел.
Існують непозиційної і позиційні системи числення.
У непозіпіонной системі числення кожен знак (цифра) служить для позначення одного і того ж числа. Прикладом непозиційній системи числення є римська нумерація, якої широко користуються в даний час. Наприклад, XII - це 10 + 1 + 1 = 12.
Позиційна система числення базується на помісному значенні цифр, що полягає в тому, що один і той же знак (цифра) означає одне і те ж число одиниць різних розрядів незалежно від того, на якому місці в записі числа коштує цей знак. Наприклад, в числі 737 цифра 7 означає числа сім і сімсот.
Вивчення теми "Нумерація чисел" вчитель повинен починати з формування уявлення про позиційній системі числення, в якій діти не тільки знайомляться з існуванням систем числення з різними підставами, але і розуміють необхідність існування позиційної системи числення. Це можна здійснити в ході такої практичної роботи.
Приклад 1. Дається завдання виміряти досить великий відрізок маленької міркою (рис. 2.19). Діти вже знають, що краще взяти для вимірювання велику мірку, їм пропонується тоді мірка, яка містить 41маленькіх мірки (велика мірка може містити яке завгодно кількість маленьких мірок, але обов'язково ціле їх число). Учні отримали, наприклад, що більша мірка помістилося 3 рази, а в залишку помістилося 2 маленькі мірки. В результаті у них вийшло число 32 з основою системи числення 4.

Рис. 2.19
У залежності від довжини вимірюваного відрізка можна брати для вимірювання великі мірки, які містять по 2, 3, 4, 5, ... маленьких мірок. Тим самим, учні приходять до висновку, що існують позиційні системи числення з різними підставами. Далі можна провести бесіду про існування в практичній діяльності людини систем числення з основою 7 (число днів у тижні), 12 (кількість місяців у році), 100 (кількість років у столітті), 60 (кількість хвилин у годині) і т. д.
У традиційному навчанні при вивченні нумерації чисел в учнів відпрацьовуються поняття "десятки", "сотні", що призводить до змішання усній нумерації і письмовій. Цього не можна робити, тому, що це може призвести до помилок. Наприклад, діти часто говорять, що в числі 325 два десятки (замість - 32 десятка), Надалі це призводить до ускладнень у виконанні операцій над багатозначними числами, які базуються на операціях над однозначними числами. Тому при вивченні багатозначних чисел потрібно звертати увагу дітей на розряди і на число одиниць у розрядах. Наприклад, в числі 6325 шість одиниць четвертого розряду, три одиниці третього розряду, дві одиниці другого розряду і п'ять одиниць першого розряду. Така робота дозволить учням легше і швидше засвоїти операції над багатозначними числами, які виробляються над розрядами. Закони операцій над багатозначними числами повинні використовуватися вчителем для формування обчислювальних навичок.

VI. Числові вирази. Числові рівності і нерівності, їх властивості
Будь-яке число вже є числовим виразом. Якщо А і В-числові вирази, то А + В, А - В, А • В, А: В також є числовими виразами. Виконавши операції; які мають місце в числовому виразі, отримують значення числового виразу. Існують вирази, які не мають значення. Наприклад, вираз 28; 8 - 44 не має числового значення.
З перших днів перебування в школі діти стикаються з різними числовими виразами і вчаться знаходити їх числове значення. Значно менше в школі приділяється увага числовим равенствам і нерівностей, їх властивостями, що позначається при їх навчанні у старших класах. Тому вчитель повинен пропонувати учням достатня кількість вправ наступних видів.
1. Чи є дані рівності вірними:
10-3 * 2 = 2 * 2; 5 +2 * 3 = 6 +4?
2. Чи є дані нерівності вірними:
8-3 • 2 <3 +4; 14: (5 + 2)> 2 + 3?
3. Знаючи, що 2 + 3 = 10: 2 і 4 +7> & + 2, поставте замість зірочки знак "-", ">", "<", не обчислюючи значення числових виразів, що стоять в правій і лівій частинах числових рівностей і нерівностей:
(2 + 3) + 4 * 10: 2 + 4, (2 + 3) - 4 * 10: 2 - 4;
(2 + 3) • 3 * (10: 2) • 3, 4 +7-3 * 8 +2-3;
(4 + 7) • 2 • (8 + 2) • 2.
VII. Вираз зі змінними, його область визначення
Якщо числове вираз містить і букви, то ми маємо вираз із змінними. Наприклад, 2а - 3; За + 2b з + 8.
Вираз зі змінними зазвичай позначають так: f (х); А (b; с); В (х; у) Якщо у вираз із змінними підставити замість літер їх значення, то вийде числове вираженіе.Те значення змінної, при яких вираз зі змінною має числове значення, називається областю визначення вираження зі змінною. Наприклад, областю визначення вираження зі змінною 2а - 3 на множині дійсних чисел є все безліч дійсних чисел, а на множині натуральних чисел - натуральні числа, починаючи з двох (якщо а = 1, то 2 • 1 - 3 не є натуральним числом).
У початкових класах вчитель зобов'язаний сформувати поняття про висловлення зі змінною та його області визначення. Покажемо на прикладах, як це можна зробити.
Приклад 1. Мета; сформувати у дітей розуміння необхідності введення в числовий вираз букв і уявлення про область визначення вираження зі змінною.
Учитель записує на дошці кілька числових виразів: 1 + 2; 2 +2; 3 +2; 4 +2. Потім він звертає увагу на те, що перший доданок змінюється, а друге - ні. Тому, щоб не продовжувати ряд,
можна всі ці вирази замінити одним П + 2, де в віконечко можна підставити будь-яке натуральне число. Учитель пропонує у віконечко підставити числа 1, 2, 3, 4, 5 та й знайти значення одержані числових виразів. Тут область визначення задана вчителем.
Приклад 2. Мета: навчити учнів самим знаходити область визначення вираження зі змінною.
Учитель запитує, які числа можна підставити в такі вирази: 8 - П; 3-2; П: 2, 5 - П: 3; П: 5 - 7. Діти підбором знаходять область визначення кожного виразу зі змінною.
Приклад 3. Мета: навчити учнів знаходити область визначення вираження зі змінною в задачах.
Вчитель пропонує наступну задачу. Скільки кілограмів цукру, розфасованого в пакети, принесли Коля та Оля, якщо в кожному пакеті по два кілограми цукру?
Учні записують завдання у вигляді виразу 2а + 2b (або 2 • (а + b)), де а - кількість пакетів, які приніс Коля, і b - кількість пакетів, які принесла Оля. Потім в ході аналізу завдання діти роблять висновок, що Коля може нести не більше 8 кг (від одного до чотирьох пакетів), а Оля - не більше 6 кг (від одного до трьох пакетів). Таким чином, ае {1, 2, 3, 4} і
b е {1, 2, 3}.
Задача має 12 рішень, якщо перебрати всі варіанти наборів а і b.
VIII. Рівняння і нерівності, область визначення, безліч рішень. Властивості рівнянь і нерівностей
Рівність (нерівність), що містить невідоме, називається рівнянням (нерівністю). Безліч, елементи якого можна підставити в рівняння (нерівність) замість невідомого, називається областю визначення рівняння (нерівності).
Ті значення невідомого з області визначення, при яких рівняння (нерівність) звертається до правильне числове рівність (нерівність), називається корінням рівняння (безліччю рішення нерівностей).
Якщо область визначення рівняння (нерівності) не задана, то вона збігається з областю визначення виразів, що входять в дане рівняння (нерівність). Наприклад, областю визначення рівняння (3 х2): х • 2 = 4 є безліч (- ° о; 0) U (0; оо).
Два рівняння (нерівності) називаються рівносильними, якщо у них збігаються області визначення і множини рішень.
Наприклад, рівняння (3 х2): х - 2 = 4 (1) та 3 х - 2 = 4 (2) не рівносильні, так як їх області визначення не збігаються. Рівняння Корінь (2х - 1) 2 = х (3) і 2 х - 1 = х2 (4) не рівносильні, хоча їх області визначення і збігаються, так як рівняння (3) має один корінь (х = 1), а рівняння (4) - два кореня (х = 1; х = 1).
При вирішенні будь-якого рівняння (нерівності) його замінюють на більш простим рівносильним рівнянням (нерівністю). У початкових класах формується наступні дві основні властивості рівносильних перетворень.
1. Якщо до обох частин рівняння (нерівності) додати (відняти) вираз, що має ту ж область визначення, що і дане рівняння (нерівність), то отримаємо рівняння (нерівність) равносильное даному.
Наприклад, рівняння Зх = 2х +4 і 3х-2х = 4 рівносильні.
2 а. Якщо обидві частини рівняння помножити на вираз, що має ту ж область визначення, і яке не звертається в нуль на цій області визначення, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
Наприклад рівняння (3 х - 1) • (х2 + 1) = 5 (х2 + 1) і 3х - 1 = 5 рівносильні, а (3 х 1) * (х + 1) = 5 (х + 1) і 3 х - 1 = 5 не рівносильні.
2 б. Якщо обидві частини нерівності помножити на вираз, що має ту ж область визначення і більше за нуль на цій області визначення, то отримаємо нерівність, рівносильну даному.
Наприклад, нерівності (3 х - 1) • (х2 I)> (5 х2 1) та (3 х - 1)> 5 рівносильні.
У початкових класах формується поняття про рівняння і нерівності, їх області визначення, безлічі рішень, рівносильних перетвореннях. Покажемо на прикладах, як можна побудувати навчання щодо їх формування.
Приклад 1. Учням пропонується записати за допомогою рівняння вирішення такого завдання. Скільки дітей взяло яблука, якщо у вазі лежало 10 яблук і кожен з дітей взяв по 2 яблука і залишилося у вазі два яблука?
Учні записують 10 - 2 х == 2 і визначають, що замість "х" можна підставити числа 1, 2, 3, 4, 5 (знаходять область визначення). Підбором вони переконуються, що х == 4 є коренем рівняння.
Приклад 1. Для відпрацювання умінь знаходити область визначення і безліч рішень нерівності учням можна запропонувати відповісти на запитання: "Які числа можна підставити в нерівність 8 - х <3 замість" х "і за яких з них нерівність перетворюється на правильне числове нерівність?" (Замість "х" можна взяти будь-яке число, яке менше 9; при х = б, 7, 8 виходить правильне числове нерівність).
Приклад 3. Для формування понять про рівносильні рівняння (нерівностях) та їх властивості учням можна запропонувати наступне завдання.
Знайдіть область визначення і безліч рішень нерівності 8 - х <3 (1), Користуючись нерівністю (1), не вирішуючи нерівності 8-х + 4 <3 + 4 (2) і (8 - х) • 2 <3 • 2 ( 3), знайдіть їх області визначення і безліч рішень.
IX. Функція: область визначення, область значень, способи завдань.
Визначення. Функцією називається така залежність змінної у від змінної X, при якій кожному значенню х відповідає єдине значення у. Значення, які може приймати х називаються областю визначення функції. Значення, які приймає у називаються областю значень функції.
Якщо функціональна відповідність задається на числовому безлічі, то ми маємо числову функцію.
Числову функцію, як і будь-яку іншу, можна задати аналітично, парами, таблицею, графом, графіком на координатній площині. Наприклад, функція у = 2х-1 задана аналітично.
У початкових класах функція найчастіше задається словесно (у вигляді тексту завдання) таблицею, виразом, парами.
У початкових класах вчитель повинен формувати в учнів поняття про область визначення функції, області значень функції, однозначності відповідності, способи завдання функції.
Приклад. Дітям пропонується записати у вигляді виразу рішення наступного завдання.
Скільки кілограмів крупи, розфасованої в пакети по 2 кг залишилося перенести дітям, якщо було 20 пакетів, і кожна дитина бере один пакет?
Діти, записуючи 20 - 2 X, вчаться ставити функцію аналітично.
Для відпрацювання умінь знаходити область визначення вчитель пропонує знайти найбільшу кількість дітей, яке необхідно для перенесення крупи.
Для відпрацювання умінь знаходити область значень функції вчитель пропонує відповісти на питання завдання, якщо х = 1, 2, 3; ... ; 10. При цьому учні вчаться ставити функцію парами і таблицею:
х
1
2
3
10
20-2х
18 '
16
14
0
Для формування поняття про однозначності функціонального відповідності вчитель задає питання: "Чи може залишитися 10 кг крупи, якщо її переносили троє хлопців, шестеро хлопців?" Аналогічна робота повинна проводитися не тільки при вирішенні різних завдань, у тому числі і задач на пряму і зворотну пропорційність , але і при вивченні виразів із змінними.
2.3. Реалізація основних положень дослідно-експериментальної методики.
Експериментальна перевірка основних положень даного дослідження проводилася на базі навчально-виховного комплексу «Евпаторийская середня загальноосвітня фізико-математична школа I - III ступенів № 6 - дошкільний навчальний заклад № 31 1-В (26 чоловік) і 1-Г (26 осіб) класи. Під час експериментального дослідження аналізувалися отримані результати, вносилися необхідні корективи.
Об'єкт дослідження - процес формування математичних понять в учнів початкових класів.
Предмет дослідження - організація навчальної діяльності з формування математичних понять з використанням розумового прийому класифікації у молодших школярів.
Гіпотеза дослідження базується на припущенні про те, що систематичне і цілеспрямоване формування і використання прийому розумової діяльності класифікації буде сприяти більш глибокому та свідомому засвоєнню математичних понять молодшими школярами.
Мета дослідження - полягає в обгрунтуванні і реалізації методики формування системи математичних понять у молодших школярів з використанням прийому класифікації.
Експериментальне дослідження складалося з констатуючого, аналітико-пошукового, формуючого та заключного етапів.
Мета констатуючого етапу експерименту полягала у з'ясуванні рівня сформованості математичних понять у молодших школярів.
Для реалізації методики були підготовлені відповідні дидактичні матеріали і методичні вказівки.
Експериментальне дослідження в експериментальному 1-В та контрольному 1 - Г класах з метою визначення рівня сформованості понять у молодших школярів було проведено тестування, за переробленої методикою Л. С. Виготського.

За методикою Л. С. Виготського

Тест № 1
Завдання полягає в наступному: школяреві показували одну фігуру (№ 5) червоного кольору, певної форми (експериментальне поняття гацун), і просили її запам'ятати. Після цього фігура - зразок забиралася, і перед дитиною викладався набір з 16 фігур (див. Додаток А рис.1) відрізняються за формою (2 види), за кольором (червоний і зелений), за величиною (2 варіанти), і дитині пропонувалося вибрати ту фігуру, яку йому показували. Час проведення - 5 хвилин.
У правильності відповіді учень міг переконатися, перевернувши фігуру (відзначена +), при неправильній відповіді він повинен пояснити, чому це не та фігура.
Тест № 2
«Знайди прямокутник»
Завдання полягає в наступному: на столі викладаються чотирикутники (див. Додаток А, рис. 3), учень повинен вибрати з них всі прямокутники (підвести під поняття прямокутник), які для складнощі були різних варіантів: у формі смужки, покладені на висоту, а так само в тому вигляді, до якого школярі вже звикли. Час - проведення 5 хвилин.
Ці експериментальні завдання допомагали вивчити такі особливості учнів, як уміння відволікатися від несуттєвих ознак одиничних предметів, одночасний аналіз предметів за кількома ознаками (підставами), вміння дотримати координацію обсягу і змісту класифікуються класів об'єктів, утримувати в свідомості визначення поняття (як сукупність суттєвих ознак).
За результатами методики були визначені три рівні сформованості у дітей математичних понять: низький, середній і високий.
Перший (найнижчий) рівень виконання підведення під поняття спирається на односторонній елементарний аналіз, на класифікацію, або що носить глобально-недиференційований характер, або що спирається тільки на одну ознаку, не можуть визначити навіть дві ознаки для експериментального поняття, і тому роблять безліч помилкових виборів, поперемінно орієнтуючись то на колір, то на форму. Ці діти не утримують позитивне і негативне підкріплення, в результаті чого не можуть здійснити класифікацію за заданими ознаками, підвести під поняття.
Для другого рівня характерно те, що підведення під поняття проходить з опорою на класифікацію, яка вже диференційована, але здійснюється не відразу, а в результаті вправ. Учні на цьому рівні не здатні побачити зв'язок між підкріпленими ознаками, аналіз ведеться то по одному (форма), то по іншому (колір) ознакою, вони повертаються до непідкріплених ознаками і не можуть утримати всі підкріплені. Між підкріпленими ознаками не можуть встановити зв'язок. Ці діти здатні здійснити класифікацію, підвести під поняття, але лише допустивши кілька помилкових виборів.
Третій рівень грунтується на всебічному аналізі та синтезі, класифікація проходить по всіх заданим підставах, учні встановлюють як позитивні, так і негативні зв'язку, міцно утримують підкріплені ознаки і відкидають непідкріплені, не повертаючись до них, таким чином, підводять під поняття. Характерно те, що при виборі фігурок учні з цим рівнем володіння прийомом класифікація намагаються формулювати в словах ті ознаки (підстави), на які треба спиратися при підведенні під поняття. За виконання завдання на третьому рівні нараховувалося 2 бали, на другому - 1 бал, на першому - балів не нараховувалося.
Результати експерименту наведені в таблиці (табл. 2.1 та 2.2), вони дають підставу вважати, що для кожного учня характерний певний рівень сформованості математичних понять і прийому класифікації, а також необхідності роботи з їх формування.
Таблиця 2.1
Результати констатуючого експерименту (1 - Г).

Прізвище, ім'я учнів

Рівень сформованості понять
1
Андронова Анастасія
II
2
Андросюк Дмитро
II
3
Атем Разім
I
4
Бабешко Тетяна
I
5
Боймістрюк Роман
I
6
Болік Георг
III
7
Васильєва Людмила
II
8
Вашкевич Наталія
II
9
Воропаєв Вова
II
10
Данилов Микита
II
11
Дашкова Валентина
I
12
Дорогін Іван
II
13
Андронова Анастасія
II
14
Андросюк Дмитро
II
15
Атем Разім
I
16
Бабешко Тетяна
I
17
Боймістрюк Роман
I
18
Болік Георг
III
19
Васильєва Людмила
II
20
Вашкевич Наталія
II
21
Воропаєв Вова
II
22
Данилов Микита
II
23
Дашкова Валентина
I
24
Дорогін Іван
II
25
Дубровіна Оксана
I
26
Яблоненко Саша
I
З 26 учнів в контрольному класі низький рівень сформованості понять показало 10 учнів (39%), середній - 12 (46%), високий - 4 (15%).

Таблиця 2.2
Результати констатуючого експерименту (1 - В).

Прізвище, ім'я учнів

Рівень сформованості понять
1

Абляметова Ельнара

II
2
Аджі-Аметов Ескандер
II
3
Алексєєва Валерія
II
4
Боков Ахмед
III
5
Боков Тимур
I
6
Бутенко Сергій
II
7
Васильєв Михайло
III
8
Галкіна Тетяна
II
9
Голуб Дарина
I
10
Загоруй Олексій
I
11
Іванщік Ірина
II
12
Кириченко Олександр
II
13
Кенджаев Елемдар
III
14
Корягін Всеволод
II
15
Котеленець В'ячеслав
I
16
17
Нікітін Микита
Незамаев Іван
I
I
18
Мартиненко Таміла
I
20
Маслюк Дарина
II
20
Салміна Ксенія
II
21
Соловйов Юрій
II
22
Сейдаметова Керім
III
23
Таранщук Ілля
III
24
Толосіенко Тимофій
I
25
Яблунева Вікторія
I
26
Яценко Станіслав
II
З 26 учнів в експериментальному класі низький рівень сформованості понять показало 9 учнів (35%), середній - 12 (46%), високий - 5 (19%).
Своєрідність виконання завдання на першому рівні можна розкрити на прикладі Таміла М.
Після показу зразка Таміла бере першу зелену фігуру, за формою відповідну зразком, виділивши, таким чином, перший суттєвий ознака - форму. Побачивши після перевертання фігурки, що знаку «+» на ній немає (тобто отримавши негативне підкріплення), дівчинка вибирає фігурку іншої форми зеленого кольору. Після цього вона випадково взяла потрібну фігурку (гацун), але при наступному виборі знову-таки взяла до уваги тільки одна ознака (колір) - вибрала червону фігурку, яка за формою була схожа на зразок.
І надалі Таміла не могла об'єднати дві ознаки, характерні фігурі-зразком, і в силу цього робила безліч помилкових виборів, поперемінно орієнтуючись то на колір, то на форму. Результати виконання завдання Таміла виглядали у вигляді вибору наступних фігурок: № 6, 8, 5, 11, 9, 14,2, 10, 15, 1, 12, 13, 3. Процес вибору у Таміли затягнувся тому, що вона не реагувала на позитивне і негативне підкріплення, не утримувала їх пам'яті в процесі виконання завдання. У результаті Таміла не змогла підвести під поняття гацун.
При виконанні завдання тесту «Знайди прямокутник» Таня правильно визначила, що таке прямокутник, проте не керувалася цим визначенням, а фактично спиралася на загальне враження від форми фігур.
У результаті замість 12 прямокутників ця учениця обрала тільки 7, вона не вибирала прямокутники, які за співвідношенням сторін різко відрізнялися від прямокутних фігур, зазвичай демонструються в класі (вона не взяла прямокутні фігурки, вузькі, довгі і короткі). У той же час Таня помилково віднесла до групи прямокутників 4 квадрати і ромб, знову керуючись загальним враженням від зовнішнього вигляду.
Такі особливості виконання завдань, на підставі яких було встановлено перший рівень сформованості понять.
Типовим представником групи учнів, які виявили під час проходження тесту другий рівень сформованості понять, є Сергій Б.
Спочатку Серьожі вибрав фігурку зеленого кольору, що має форму зразка, потім червону, але іншої форми. Не отримавши підкріплення, Сергій продовжив пошуки, і наступну фігурку він вибрав фігуру-зразок (гацун), проте не побачив зв'язку між підкріпленими ознаками, а тому аналіз продовжував вести то по одному (форма), то по іншому (колір) підставі, повертаюся до непідкріплених ознаками і утримуючи не всі підкріплені.
На п'ятій пробі він вибрав зелену фігурку форми-зразка і знову, отримавши негативне підкріплення, став аналізувати вибрані фігурки: «Остання не та фігура, тому що вона зелена, четверта не та фігура, тому що вона без даху, а третя та. А, я знаю - це повинна бути фігурка червоного кольору і з дахом ». Виконав Сергій завдання так: № 10, 7, 5, 11, 12,9 (див. рис. 2).
Можна сказати, що цей учень зумів підвести під поняття, проте допустив кілька помилкових виборів, тому що не відразу встановив підстави класифікації.
Завдання тесту «Знайди прямокутник» Сергію виконав більш успішно, ніж Таміла. Він керувався не тільки загальним враженням від форми фігур, але й істотними ознаками (наявність 4 прямих кутів, і правильне співвідношення сторін). Проте Сергій не побачив істотні ознаки у вузьких і довгих прямокутниках: «Ці фігурки як смужки, вони не прямокутники», - заявив Сергій. З 12 прямокутників він вибрав 10, не взявши при цьому жодної схожої фігури (квадрат, ромб).
Своєрідність виконання завдання на третьому рівні можна розкрити на прикладі Керім С.
Приступивши до виконання завдання, Керім насамперед зазначила, що є фігурки різні за формою, за кольором і величиною. Першу фігуру вона взяла гацун, але прийняла до уваги, мабуть, не всі підстави за якими має відбуватися підведення під поняття, так як другу фігурку точно такої ж форми і величини, але зеленого кольору.
Отримавши негативне підкріплення (не гацун), Керім задумалася і стала порівнювати вибрані фігурки за трьома ознаками (формою, величиною і кольором): «Формою вони однакові, як будиночки, величиною теж, тільки кольором різні, знак« + »поставлений на червоній фігурці, значить, треба вибирати червоні. Ой, я тепер знаю, це фігури червоні з кришечкою, різні за величиною ». Після цього вона впевнено вибрала всі потрібні фігурки. Результат рішення у Керім виглядав так: № 5, 12, 4, 8, 10.
Таким чином, Керім самостійно сформулювала експериментальне поняття «галун», підпорядковуючи процес мислення поставленому завданню.
При виконанні завдання тесту «Знайди прямокутник» Керім успішно застосувала визначення поняття «прямокутник», це було обумовлено, умінням Керім утримувати комплекс істотних ознак прямокутника (даних у визначенні) і при виборі конкретної фігур вона ними керувалася. Вона відволікалася від несуттєвих ознак (величини, співвідношення довжини і сторони сторін). Давши визначення, вона швидко і правильно відібрала всі прямокутники, при чому неоднаковий зовнішній вигляд не заважав процесу підведення під поняття.
За результатами даної діагностики можна зробити висновок про необхідність і значущості формування у молодших школярів математичних понять з використанням розумового прийому класифікації, розробки системи завдань, як засобу організації навчально-пізнавальної діяльності школярів, спрямованих на формування математичних понять.
На аналітико-пошуковому етапі експерименту була вивчена педагогічна, методична література з проблеми формування математичних понять у молодших школярів, узагальнено досвід, внесені корективи.
На наступному етапі дослідження проводився формуючий експеримент, мета якого - встановити вплив розумового прийому класифікації на формування математичних понять у молодших школярів.
При цьому ми виходимо із загальної робочої гіпотези дослідження, яка полягає в тому, що систематичне і цілеспрямоване формування і використання прийому розумової діяльності класифікації буде сприяти більш глибокому та свідомому засвоєнню математичних понять молодшими школярами. Основними завданнями роботи з формування математичних понять у молодших школярів є виявити вплив навчання школярів розумовому прийому класифікації на формування математичних понять; визначити умови ефективного формування математичних понять в процесі розв'язання завдань із застосуванням розумового прийому класифікації.
Формуючий експеримент здійснювався на базі навчально-виховного комплексу «Евпаторийская середня загальноосвітня фізико-математична школа I - III ступенів № 6 - дошкільний навчальний заклад № 31 у період проходження переддипломної практики С14 січня по 5 березня 2004 року.
При формуванні в молодших школярів математичних понять з опорою на розумовий прийом класифікації були виявлені труднощі, які необхідно враховувати. Вони полягали в наступному:
- Оволодіння розумовою прийомом класифікації вимагає вироблення певних дій (визначення мети класифікації, вибір підстави, розподіл по цій підставі безлічі понять на непересічні підмножини);
- Оволодіння математичними поняттями вимагає не тільки відтворення визначення, але застосування його на практиці. Для успішного засвоєння математичних понять учень повинен пройти всі необхідні етапи засвоєння:
- Мотиваційний (постановка проблеми);
- Складання схеми (показ процесу рішення);
- Наочна фіксація (складання схем, опор);
- Робота за схемами (робота з моделями, предметами);
- Робота з описами.
Учні далеко не завжди зможуть відразу запам'ятати всі ланки введених знань і всі умови для підведення об'єкта під поняття. Ось чому їх робота повинна супроводжуватися зовнішньої, наочної фіксацією знань і формованої діяльності.
1. Ознаки прямокутники:
1) чотирьох кутник;
2) паралельні сторони рівні;
3) прямий кут.
2. Логічне правило роботи з ознаками:
1) Якщо всі ознаки «+», відповідь «+».
1. +
2. + +
3. +
2) Якщо хоча б одна ознака «-», відповідь «-».
а) 1. + Б) 1. ?
2. +? 2. - -
3. - 3. +
3) Якщо хоча б одна ознака «?» І немає ознак «-», відповідь буде «?».
+
? ?
+
3. Припис з виконання завдання:
1) Прочитайте завдання.
2) Перейдіть умова і питання завдання.
3) Прочитайте перша ознака поняття.
4) Перевірте, чи є він у даного об'єкта.
5) Позначте результат за допомогою знаків «+», «-», «?».
6) Виконайте те ж саме з подальшими ознаками.
7) Порівняйте отримані результати з логічним правилом.
8) Запишіть відповідь за допомогою «+», «-», «?».
При цьому важливо, щоб всі використовувані характеристики були зафіксовані, чітко виділені і надалі перебували в розпорядженні учнів. Для цього використовується дошка, різні таблиці, пам'ятки. Наприклад:
Таблиця 2.3
Істотні ознаки фігур
Поняття
Бат
Грудень
РОЦ
МУП
Площа підстави




Висота




Логічна схема розпізнавання
Таблиця 2.4
Площа підстави
+
+
-
-
+
?
-
?
?
Висота
+
-
+
-
?
+
?
-
?
Відповідь
+
-
-
-
?
*
-
-
?
У результаті роботи над цими завданнями учні не тільки запам'ятають без спеціального заучування ознаки поняття і логічне правило підведення під поняття, а й навчаться правильно застосовувати те і інше, тобто освоять один з логічних прийомів роботи з поняттями. Діти відразу засвоюють цілу систему понять, в даному випадку - штучних (бат, груд, РОЦ, МУП), які були розглянуті нами при аналізі узагальненості дії. Кожне поняття характеризується двома істотними ознаками: величина площі основи і висоти. Діти мають мірки, за якими визначають, велика чи маленька площа (висота). Міркою для площі служить монетка. Якщо фігурка вміщується на монетку, значить, «денце» (підстава) маленьке, якщо не вміщається - «денце» велике. Еталоном висоти служить сірник: якщо «зростання» менше або дорівнює сірнику-фігурка низька, у неї «маленький зріст»; якщо висота перевершує сірник - висока, у неї «велике зростання».
У другій таблиці представлено логічне правило розпізнавання в розгорнутому вигляді, де передбачені всі поєднання ознак, з якими зустрінеться дитина в процесі роботи.
Занадто довго затримувати учнів на етапі зовнішніх практичних дій не слід. Як тільки вони навчилися їх виконувати правильно, треба дії переводити в теоретичну форму: вчити учнів оперувати ознаками поняття і логічним правилом без опори на зовнішні предмети. Тепер учні називають ознаки по пам'яті. Для аналізу їм тепер вже даються не предмети і моделі, а їх опису. Так, якщо ми продовжимо роботу з поняттям прямокутник, то на етапі внешнеречевих дій учням можна запропонувати завдання такого типу: «Дан чотирикутник з рівними паралельними сторонами. Чи буде ця фігура прямокутником? »До задачі не дається ні креслення, ні моделі. Учні навчаються тепер аналізувати словесні умови. Вони читають (або слухають) і виділяють те, що стосується першої ознаки. Якщо завдання дано у вигляді, то учні повинні підкреслити слово «чотирикутник» і поставити знак того, що перша ознака є: «1. + ». Таким же чином йде робота з другою ознакою. Після цього учні визначають, що ж у них вийшло: перша ознака є, друга ознака так само відомий, «2. + ». Третя ознака не відомий. «3. ? »
Результати роботи з ознаками фіксуються зазвичай на папері, але можуть і просто називатися. Для оцінки отриманих результатів учні тепер вже згадують логічне правило підведення, доводять вірність своєї відповіді. При цьому вони весь час спираються саме на ті властивості предметів, які істотні для поняття. При такому навчанні у всіх учнів формується вміння виділяти в предметах істотні властивості і на їх основі вирішувати, підходять предмети під дане поняття або не підходять.
Для ефективного формування математичних понять необхідна спеціально організована робота над розумовим прийомом класифікації, яка становить внутрішню структуру поняття, його механізм, це дозволить забезпечити успішність оволодіння ними.
Мета підсумкового експерименту: дослідити вплив запропонованої системи роботи на рівень сформованості математичних понять з використанням розумового прийому класифікації в експериментальному (1-В) і контрольному (1-Г) класі.
З метою виявлення рівня сформованості математичних понять учням 1-В (експериментального) і 1-Г (контрольного) класів була запропонована методика Л. С. Виготського зі зміненими завданнями.
Тест № 1
Завдання полягає в наступному: школяреві показували одну фігуру (№ 6) зеленого кольору, певної форми (експериментальне поняття нат), і просили її запам'ятати. Після цього фігура - зразок забиралася, і перед дитиною викладався набір з 16 фігур (див. Додаток А рис.1) відрізняються за формою (2 види), за кольором (червоний і зелений), за величиною (2 варіанти), і дитині пропонувалося вибрати ту фігуру, яку йому показували. Час проведення - 5 хвилин.
У правильності відповіді учень міг переконатися, перевернувши фігуру (відзначена +), при неправильній відповіді він повинен пояснити, чому це не та фігура.
Тест № 2
«Знайди прямокутник»
Завдання полягає в наступному: на столі викладаються чотирикутники (див. Додаток А рис. 2), учень повинен вибрати з них всі квадрати (підвести під поняття квадрат), які для складнощі були різних варіантів: різного кольору, розміру. Час - проведення 5 хвилин.
Результати експерименту наведені в таблицях 2.5 та 2.6.
Таблиця 2.5
Результати підсумкового експерименту (1 - Г).

Прізвище, ім'я учнів

Рівень сформованості понять
1
Андронова Анастасія
II
2
Андросюк Дмитро
II
3
Атем Разім
I
4
Бабешко Тетяна
II
5
Боймістрюк Роман
I
6
Болік Георг
III
7
Васильєва Людмила
II
8
Вашкевич Наталія
II
9
Воропаєв Володимир
II
10
Данилов Микита
II
11
Дашкова Валентина
I
12
Дорогін Іван
II
13
Дубровіна Оксана
I
14
Злобін Сергій
III
15
Калініна Дарина
II
16
Красиков Алла
II
17
КОЛМИКОВА Альона
III
18
Лисак Юрій
I
19
Ляшок Дарина
II
20
Менаджіева Венера
I
21
Сосько Рита
II
22
Сейдаметова Ленара
II
23
Філліпова Софія
II
24
Еміросанов Ельдар
I
25
Емірометова Фаріда
I
26
Яблоненко Олександр
I
Таблиця 2.6
Результати підсумкового експерименту (1 - В).

Прізвище, ім'я учнів

Рівень сформованості понять
1

Абляметова Ельнара

II
2
Аджі-Аметов Ескандер
II
3
Алексєєва Валерія
II
4
Боков Ахмед
III
5
Боков Тимур
I
6
Бутенко Сергій
III
7
Васильєв Михайло
II
8
Галкіна татьяна
II
9
Голуб Дарина
I
10
Загоруй Олексій
II
11
Іванщік Ірина
II
12
Кириченко Олександр
II
13
Кенджаев Елемдар
III
14
Корягін Всеволод
III
15
Котеленець В'ячеслав
I
16
Нікітін Микита
II
17
Незамаев Іван
II
18
Мартиненко Таміла
II
19
Маслюк Дарина
II
20
Салміна Ксенія
II
21
Соловйов Юрій
III
22
Сейдаметова Керім
III
23
Таранщук Ілля
I
24
Толосіенко Тимофій
I
25
Яблунева Вікторія
II
26
Яценко Станіслав
II
У результаті було встановлено, що рівень сформованості математичних понять у 1-В (експериментальний) класі наступний: низький рівень показало 6 учнів (23%), середній - 14 (54%), високий - 6 (23%); в 1 - Г (контрольний) класі: низький рівень сформованості понять показало 9 учнів (35%), середній - 13 (50%), високий - 4 (15%). Таким чином, проаналізувавши отримані результати в контрольному та експериментальному класах, ми можемо переконатися в ефективності запропонованої системи. Отримані дані наочно представлені і в графіках 2.1. - 2.3., Вони дозволяють судити про динаміку формування математичних понять з використанням розумового прийому класифікації.

УКЛАДЕННЯ І ВИСНОВКИ
1. Під час роботи над дипломним проектом було вивчено стан даної проблеми і виявлено наступне: у психолого-педагогічній теорії велика увага приділяється математичним поняттям і прийомам розумової діяльності, однак конкретної програми роботи над розумовими прийомами, які повинні бути сформовані при вивченні даного предмета немає, тому робота над розвитком логічного мислення школярів йде без знання системи необхідних прийомів. Освіта і становлення понять - складний процес, в якому застосовуються такі прийоми розумової діяльності, як аналіз, синтез, порівняння, класифікація, узагальнення, абстрагування. Таким чином, ці прийоми складають внутрішню структуру поняття, його механізм і не оволодівши ними учні відчувають труднощі в засвоєнні системи математичних понять.
2. У початкових класах вперше кожне поняття вводиться наочно, шляхом спостереження конкретних предметів або практичного оперування. Вчитель спирається на знання і досвід дітей, які вони придбали ще в дошкільному віці. Ознайомлення з математичними поняттями фіксується за допомогою терміна або терміна і символу. Математичні поняття служать опорним моментом в пізнанні дійсності та є своєрідним підсумком пізнання. Тому поняття є однією з головних складових у змісті будь-якого навчального предмета початкової школи, в тому числі - і математики. Понятійне мислення формується у початкових класах і розкривається, удосконалюється протягом всього життя.
3. При формуванні математичних понять у молодших школярів необхідно дотримуватися наступні методичні вимоги:
- Робота повинна вестися цілеспрямовано й усвідомлено, в основі якої мають лежати принципи системності й послідовності;
- Необхідний облік характеру досліджуваного матеріалу і порівнюваних об'єктів;
- Врахування вікових, індивідуальних особливостей учнів, рівня їх розвитку.
4. Розуміння і своєчасне використання вчителем тих чи інших видів визначень математичних понять - одна з умов формування в учнів твердих знань про ці поняття. В організації навчальної діяльності молодших школярів у процесі формування математичних понять особливу роль відіграє прийом класифікації. Цей прийом розумової діяльності є засобом упорядкування досліджуваних об'єктів, встановлення закономірних зв'язків між ними. Саме в цьому випадку класифікація виявляє суттєві подібності та відмінності між предметами. Класифікація грунтується на здатності бачити загальне в кожному конкретному одиничному випадку і має на меті уточнити, узагальнити знання про зв'язки та відносини між досліджуваними об'єктами. Застосування прийому класифікація на уроках дозволяє істотно розширити існуючі у практиці прийоми роботи.
5. Було виявлено три рівні володіння молодшими школярами математичними поняттями: низький, середній і високий. У процесі дослідно-експериментальної частини було встановлено, що систематичне і цілеспрямоване формування і використання прийому розумової діяльності класифікації сприяє глибокому і свідомому засвоєнню математичних понять молодшими школярами.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Державна національна доктрина. Затв. Указом Президента України от 17 апреля 2002 р.. № 347 / / Освіта, - 2002. - № 26.
2. Державна національна програма «Освіта. Україна XXI століття ". Затв. постановою Кабінету Міністрів України от 3 грудня 1993, № 896 / / Освіта, - 1993. - № 44-46.
3. Державний стандарт початкової загальної ОСВІТИ. Затв. постановою Кабінету Міністрів України от 16.11.2000р. № 1717 / / Поч. школа. - 2001. - № 1. - С. 28.
4. Слєпкань З.І., Шкіль М.І., Дороговцев А.Я. та ін. Концепція базової математічної ОСВІТИ в Україні .- К.: мін. осв. України, Інститут системних досліджень, 1993. - 31 с.
5. Авер'янов О.М. Системне пізнання світу: Методологічні проблеми. - М.: Політвидав, 1985. - 263 с.
6. Актуальні проблеми початкового навчання математики в початкових класах / Моро М.І., Пишкало А.М. и др. - М.: Педагогіка, 1977 .- 247 с.
7. Бабанський Ю.К. Оптимізація навчально-виховного процесу. - М.: Просвещение, 1982. - 192 с.
8. Бертон В.А. Принципи навчання і його організація. - М.: Учпедгиз, 1934с.
9. Білоколонний Н. В. Iнтелактуальній розвиток школярiв на уроках мови. / / Початкова школа - 1998. - № 1.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
491.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Формування розумового прийому порівняння у молодших школярів у процесі вирішення різнорівневих
Система інтегрованих уроків як засіб розумового розвитку молодших школярів
Формування розумового при ма порівняння у молодших школярів у процесі вирішення різнорівневих
Педагогічні основи використання загадок як засобу розумового виховання молодших школярів
Формування геометричних понять у молодших школярів
Гармонізація фізичного і розумового розвитку молодших школярів в процесі фізичного виховання
Формування у молодших школярів граматичних понять роду числа і відмінка іменників
Етнопедагогіческіе афористика у формуванні культури міжнаціонального спілкування молодших школярів
Взаємозвязок учбової і позакласної роботи у формуванні природничих знань молодших школярів

Нажми чтобы узнать.
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru