додати матеріал


Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 7-9 класів на прикладі підручників з алгебри під ред

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерство Освіти і науки Російської Федерації
Вятський Державний Гуманітарний Університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Випускна кваліфікаційна робота
Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 7 - 9 класів
(На прикладі підручників з алгебри під ред. Г. В. Дорофєєва)
Виконала студентка V курсу математичного факультету
Нікіфорова М.А.
SHAPE \ * MERGEFORMAT / Підпис /
Науковий керівник
к.п.н., доцент Крутіхін М.В.
SHAPE \ * MERGEFORMAT / Підпис /
Рецензент
к.п.н., доцент Ситникова І.В.
SHAPE \ * MERGEFORMAT / Підпис /
Допущена до захисту в ГАК
Зав. кафедрою   SHAPE \ * MERGEFORMAT Крутіхін М.В.
«      »   SHAPE \ * MERGEFORMAT
Декан факультету   SHAPE \ * MERGEFORMAT Варанкіна В.І.
«      »   SHAPE \ * MERGEFORMAT
КІРОВ
2004

Зміст \ t "Стіль5; 1; Стіль6; 2"
Введення ................................................. .................................................. ... 3
§ 1. Теоретичні основи вивчення функціональної лінії в курсі алгебри основної школи ........................................ .................................................. ......... 6
1.1. Цілі місце і вивчення функціональної лінії ......................... 6
1.2. Аналіз шкільної програми ............................................... ..... 9
1.3. Підходи до вивчення поняття «функція »................................ 10
1.4. Функціональна пропедевтика ................................................ . 11
1.5. Введення поняття функції, способів її завдання і досліджень-ня ....................................... .................................................. ............ 12
§ 2. Методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії за підручниками «Математика. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних. 7 клас »,« Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних »для 8 і 9 класів під редакцією Г.В. Дорофєєва ................................................. ................................. 16
2.1. Характеристика комплекту підручників під редакцією Г.В. Дорофєєва 16
2.2. Методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії в 7 класі ......................................... .................................................. ......... 18
2.3. Методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії у 8 класі ......................................... .................................................. ......... 19
2.4. Методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії в 9 класі ......................................... .................................................. ......... 39
2.5. Дослідне викладання ................................................ .............. 53
Висновок ................................................. .............................................. 55
Список літератури ................................................ .................................. 57
Додаток 1 ................................................ ........................................... 61
Додаток 2 ................................................ ........................................... 69

Введення
Поняття функції є одним з важливих понять математичної науки і становить велику цінність для шкільного курсу математики. Російський математик і педагог А. Я. Хинчин вказував, що поняття функціональної залежності має стати не тільки одним з важливих понять шкільного курсу математики, але тим основним стрижнем, проходить від елементарної арифметики до вищих розділів алгебри, геометрії і тригонометрії, навколо яких гуртується все математичне подання.
В даний час з'явилося багато нових шкільних підручників з математики. При вивченні в основній школі деякі вчителі зараз використовують навчальний комплект з алгебри під редакцією Г.В. Дорофєєва. Методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії з даного підручника ще не розроблені, тому робота по створенню таких методичних рекомендацій вельми актуальна. При цьому запропоновані в даній роботі методичні рекомендації можуть бути використані для будь-якого діючого підручника з алгебри. Це сприяє розвитку інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів; розвитку різних форм розумової діяльності, а також посилює підготовку по темі.
Мета дослідження полягає у вивченні функціональної лінії в курсі алгебри 7-9 класів та розробці методичних рекомендацій з вивчення даної теми за підручниками алгебри під редакцією Г.В. Дорофєєва.
Об'єктом дослідження є процес навчання алгебри в 7-9 класах.
Предметом дослідження є процес вивчення функціональної лінії в курсі алгебри 7-9 класів за підручниками алгебри під редакцією Г.В. Дорофєєва.

Гіпотеза.
Вивчення функціональної лінії буде більш ефективним, в тому випадку коли:
1) у 5-6 класах проводиться функціональна пропедевтика;
2) поняття «функція» вводиться конкретно-індуктивним шляхом, при використанні генетичного підходу;
3) дослідження конкретних функцій, тобто вивчення її властивостей, проводиться комбінованим методом;
4) істотне увага приділяється формулюванні властивостей на різних мовах (словесному, графічному, аналітичному);
5) використовується функціональна символіка.
Підручники з алгебри за редакцією Г.В. Дорофєєва дають можливість для здійснення цих рекомендацій.
Для реалізації поставлених цілей вирішувалися наступні завдання:
1) З'ясувати роль, зміст і місце функціональної лінії в різних навчальних комплектах з математики. Визначити способи дослідження функцій в кожному з розглянутих підручників.
2) Виявити особливості навчального комплекту з алгебри під редакцією Г.В. Дорофєєва.
3) Проаналізувати підручники [36], [35], [34] та розробити методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії в даних підручниках.
4) Розробити уроки з теми «Лінійна функція, її властивості і графік», так як саме ця функція вивчається першої та є базовою в дослідженні властивостей функцій.
5) Показати можливості розвитку функціональної лінії в позакласній роботі.
6) Здійснити дослідне викладання.
Для досягнення поставлених цілей використовувалися такі методи дослідження:
1) Вивчення математичної, методичної та психолого-педагогічної літератури.
2) Аналіз шкільної програми з математики.
3) Аналіз навчальних комплектів з алгебри для 7-9 класів.
4) Дослідне викладання.
5) Спостереження за учнями під час проведення факультативних занять з математики.

§ 1. Теоретичні основи вивчення функціональної лінії в курсі алгебри основної школи.
1.1. Цілі місце і вивчення функціональної лінії.
Цілі:
1. Жодне з інших понять не відображає явищ реальної дійсності з такою безпосередністю і конкретністю, як поняття функціональної залежності. Учень буквально на кожному кроці зустрічається з різними застосуваннями функціональної залежності, в тому числі зображеною у вигляді графіків і діаграм, читання та складання яких передбачає певне функціональне мислення.
2. Це поняття, як жодне інше втілює в собі риси сучасного математичного мислення, привчає мислити величини в їх змінності і взаємозв'язку, таким чином, ідея функції сприяє засвоєнню учнями основ діалектичного світогляду.
3. Поняття функції - це основне поняття вищої математики, тому якість підготовки учнів середньої школи до засвоєння математики вищої школи багато в чому залежить від того, наскільки твердо і повно дане поняття вивчено в школі.
4. Багато понять шкільного курсу математики будуються на понятті функції, а також вирішення багатьох завдань, безпосередньо не пов'язаних з поняттям функції, використовують знання про неї. Ідея функції може бути використана і в геометрії.
Отже, вивчення поняття функції - це не тільки одна з найважливіших цілей викладання математики в школі, але й засіб, що дає можливість зв'язати загальною ідеєю різні курси математики, встановити зв'язок з іншими предметами (фізикою, хімією),
Місце вивчення функціональної лінії в різних підручниках:
У шкільних підручниках місце вивчення функцій різному.
У підручниках [10], [12], [14] в 7 класі вводяться поняття функції (як залежність однієї змінної від іншої), аргументу, області визначення функції, графіка функції, розглядаються способи завдання функції. Там же вивчається пряма пропорційність, лінійна функція і статечні функції виду у = х 2, у = х 3, їх властивості та графіки. У 8 класі розглядаються зворотна пропорційність і функція . У 9 класі вводяться поняття зростаючій і зменшення функцій, парності і непарності функцій. Розглядаються квадратична функція (її графік і властивості), найпростіші перетворення графіків (на прикладі квадратичної функції) і статечна функція з натуральним показником.
У підручниках [11], [13], [15] поняття функції вводиться в 7 класі, як залежність однієї змінної від іншої. Але тут не вводиться поняття аргументу, області визначення функції, а розглянуті тільки способи завдання функції і графік функції. Після цього вивчаються пряма пропорційність і лінійна функція, їх графіки. У 8 класі розглядається квадратична функція, спочатку вивчається графік і властивості функції потім і . У 9 класі вводяться поняття області визначення функції, зростання і спадання функції, парність і непарність функції. Розглядаються зворотна пропорційність і статечна функція .
У підручниках [2], [5], [8] функція починає вивчатися в 7 класі. Тут розглядаються лінійне рівняння з двома змінними та його графік, лінійна функція, пряма пропорційність і функція , Їх графіки. Учні вчаться знаходити найбільше і найменше значення цих функцій на заданому проміжку. Вводиться поняття про безперервних і розривних функціях, роз'яснюється запис , А також вводиться функціональна символіка. У 8 класі розглядаються наступні функції: , , , та їх графіки. У 9 класі вводяться визначення функції, способи завдання функції, область значення, область визначення функції, властивості функцій: монотонність, обмеженість, найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку, парність і непарність. Дано наочно-геометричні уявлення про безперервність і опуклості функції. Проведено огляд властивостей і графіків відомих функцій: , , , , , , . А так само розглянуті функції і , Їх властивості та графіки, побудова графіка функції за відомим графіком функції . Крім того, в 9 класі введено елементи теорії тригонометричних функцій і , Їх властивості та графіки.
У підручниках [1], [4], [7] вивчення функціональної лінії починається в 7 класі. Тут вводиться поняття функції, таблиця значень і графік функції, пропорційні змінні. Учні знайомляться з прямою пропорційністю, з лінійною функцією, з функцією їх властивостями і графіком, а також з графіком лінійного рівняння з двома змінними. У 8 класі вивчається функція , У 9 класі розглядається квадратична функція і функція (Особлива увага приділяється нагоди n = 3).
У підручниках [3], [6], [9] вивчення функціональної лінії починається у 8 класі. Вводяться поняття функції, її графіка, розглядаються функції , , , Пряма пропорційність, лінійна функція, квадратична функція, їх властивості та графіки. У 9 класі вивчається статечна функція . Крім того, тут можуть бути розглянуті функції , , , і . Але цей матеріал не є обов'язковим для вивчення. На цьому вивчення функціональної лінії (в основній школі) в даному комплекті закінчується.
Отже, можна зробити висновок, що в підручниках [2], [5], [8] функціональна лінія є провідною (тут розглянуті поняття і функції, яким не надається значення в інших підручниках, наприклад, безперервність і опуклість, функції , , ). В інших підручниках (вище розглянутих) увага приділяється іншим змістовно-методичним лініях, а значення функціональної лінії в цих підручниках помірне. У розглянутих підручниках зміст і місце вивчення даної змістовної лінії відрізняється не суттєво.
У різних підручниках використовуються різні способи дослідження функції.
У підручниках [10], [12], [14] застосовується комбінований метод в 7 і 8 класі, а в 9 класі - аналітичний. У підручниках [11], [13], [15], [1], [4], [7] використовується комбінований метод, у підручниках [2], [5], [8] - графічний метод.
1.2. Аналіз шкільної програми.
Функціональна лінія - це одна з провідних ліній у шкільній математиці, знайомство з нею починається в 5 класі, а закінчується в 11 класі. В основній школі відбувається вивчення таких понять, як функція, область визначення функції, способи завдання функції, графік функції, зростання і спадання функції, збереження знака на проміжку, найбільше та найменше значення функції, парна і непарна функції.
Вивчаються лінійна функція у = кх + b, статечні функції виду у = х 2, у = х 3, квадратична функція у = ах 2 + b х + с, обернена пропорційність , функція, яка містить знак модуля , А також функції і , Де n - натуральне число.
Крім того, розглядаються найпростіші перетворення графіків функцій.
Після вивчення функціональної лінії в основній школі учні повинні:
Ø розуміти, що функція - це математична модель, що дозволяє описувати й вивчати різноманітні залежності між реальними величинами, що конкретні типи функцій описують велику різноманітність реальних залежностей;
Ø правильно вживати функціональну термінологію (значення функції, аргумент, графік функції, область визначення, зростання тощо) і символіку; розуміти її при читанні тексту, у мові вчителя, у формулюванні завдань;
Ø знаходити значення функцій, заданих формулою, таблицею, графіком, вирішувати зворотну задачу;
Ø знаходити за графіком функції проміжки зростання та спадання функції, проміжки знакопостоянства, знаходити найбільше і найменше значення;
Ø будувати графіки функцій - лінійної, прямої і зворотної пропорційності, квадратичної функції;
Ø інтерпретувати в нескладних випадках графіки реальних залежностей між величинами, відповідаючи на поставлені питання.
1.3. Підходи до вивчення поняття "функція".
Виділяють два підходи до введення визначення поняття функції:
1. Генетичний підхід.
2. Логічний підхід.
Генетична трактування поняття функції заснована на розробці і методичному освоєнні основних рис, що увійшли в поняття функції приблизно до середини XIX століття. Найбільш суттєвими поняттями, які при цьому трактуванні входять в систему функціональних уявлень, служать змінна величина, функціональна залежність змінних величин, формула (виражає одну змінну через деяку комбінацію інших змінних), правило, декартова система координат.
Генетичне розгортання функції має ряд переваг. У ньому підкреслюється «динамічний» характер поняття функціональної залежності, легко виявляється модельний аспект поняття функції щодо вивчення явищ природи. Таке трактування природно пов'язується з іншим змістом курсу алгебри, оскільки більшість функцій, які у ньому, виражається аналітично або таблично.
Генетична трактування поняття функції містить також риси, які слід розглядати як обмежувальні. Одним із дуже істотних обмежень є те, що змінна при такому підході завжди неявно (або навіть явно) передбачається пробігають безперервний ряд числових значень. Тому в значній мірі поняття зв'язується тільки з числовими функціями одного числового аргументу (визначеними на числових проміжках), тобто відбувається звуження обсягу поняття функції.
Логічна трактування поняття функції виходить з положення про те, що будувати навчання функціональним уявленням слід на основі методичного аналізу поняття алгебраїчної системи. Функція при такому підході виступає у вигляді відношення спеціального виду між двома множинами, що задовольняє умові функціональності. Початковим етапом вивчення поняття функції стає виведення його з поняття відносини. Підхід заснований на трактуванні поняття функції більш пізнього часу: друга половина XIX ст. - XX ст.
Логічний підхід охоплює безлічі різної природи. Таке визначення за структурою просте, дозволяє чітко дати деякі визначення, пов'язані з функціональної лінії, які при генетичному підході зробити нелегко (зворотна функція і так далі).
Таким чином, якщо генетичний підхід виявляється недостатнім для формування функції як узагальненого поняття, то логічний виявляє певну надмірність. Відзначимо, що відмінності в трактуваннях функції виявляється з найбільшою різкістю при введенні цього поняття. У подальшому вивченні функціональної лінії відмінності поступово стираються, оскільки вивчається в курсах алгебри і початків аналізу не саме поняття функції, а в основному конкретно задані функції і класи функцій, їх різноманітні додатки в задачах.
В даний час у шкільному курсі математики використовується генетичний підхід.
1.4. Функціональна пропедевтика.
Основні завдання пропедевтики вирішують функціональні вправи. Частина таких вправ розглядається в початкових класах, основна увага їм повинно бути приділено в 5-6 класах.
Види вправ:
1) Вправи зі змінними, наприклад, обчислення значень буквених виразів при різних значеннях змінних. Такі завдання поступово приводять до поняття функції і готують учнів до засвоєння аналітичного способу задання функції. При вирішенні таких вправ обчислення краще записувати у формі таблиці, що готує учнів до засвоєння табличного способу задання функції.
2) Вправи на складання формул при вирішенні завдань і навпаки завдань по готових формулами.
3) Вправи на зміну результатів дій залежно від зміни компонентів, наприклад, як змінюється сума, якщо доданок змінюється на стільки-то.
4) Вправи на координатній прямій, координатної площини і в читанні графіків.
У 5 класі учні повинні вміти вирішувати 2 завдання: зображати крапку по координаті і знаходити координату точки на промені, а в 6 класі ці завдання переносяться на координатну площину.
1.5. Введення поняття функції, способів її завдання і дослідження.
Введення поняття функції.
Для введення поняття функції використовується конкретно-індуктивний шлях, тому корисно використовувати метод проблемного викладу, розібрати кілька завдань з підкресленням істотних ознак поняття (одна змінна залежить від іншої, однозначна залежність). Приклади повинні бути різноманітними за змістом, несуттєві ознаки повинні змінюватись (несуттєвим є спосіб завдання функції: формула, графік, таблиця). Необхідно підібрати контрприклад для різних способів завдання функції, виділити критерій, за яким можна визначити, чи є залежність функціональної (при кожному способі завдання).
Критерії:
Ø Якщо залежність задана таблицею, то в першому рядку не повинно бути однакових чисел.
Ø У випадку, коли функція задана графічно, то будь-яка пряма, паралельна осі Оу, повинна перетинати графік не більш ніж в одній точці.
Ø Якщо функція задана аналітично, то потрібно стежити за одиничністю значень відповідних залежностей, наприклад, .
При введенні поняття «функція» слід звернути увагу на перехід від однієї форми завдання функції до іншої. У школі, як правило, він здійснюється за схемою: аналітична модель ® таблиця ® графік. Для введення конкретних функцій краще використовувати схему: словесна модель ® таблиця ® графік ® аналітична модель.
Дуже важливо, щоб учні розуміли, що одна і та ж функція може бути задана і формулою, і таблицею, і графіком, але не всяка (деякі функції, задані графічно, не можуть бути задані формулою, наприклад, кардіограми).
При введенні запису необхідно, щоб учні розуміли зміст літери f, яка означає закон відповідності.
Способи дослідження функцій:
Зміст цієї навчальної завдання полягає в тому, щоб засобами, якими володіють учні в цей час, встановлювати всі властивості функції.
Виділяють три способи дослідження функції: аналітичний (дослідження елементарними засобами та дослідження за допомогою похідної), графічний і комбінований метод.
Результатом аналітичного методу є побудова графіка функції. При дослідженні використовуються рівняння і нерівності.
При графічному методі по точках будується графік, і з нього зчитуються властивості.
Комбінований метод використовується у двох значеннях:
1) частину властивостей обгрунтовується аналітично, а частина - графічно;
2) спочатку будується графік по точках, зчитуються властивості, а потім вони доводиться без будь-якої опори на графік.
Необхідно вже в основній школі чітко розмежовувати мови, на яких розглядаються властивості функцій: словесний, графічний, аналітичний.

Схема для читання властивостей функції :
Властивості функції
Аналітично це означає
Графічно це означає
1. Область визначення
Змінна х у формулі може приймати значення ...
Це безліч абсцис ...
2. Область значень
Змінна у у формулі може приймати значення ...
Це безліч ординат точок графіка ...
3. Нулі функції
при х = ... (корені рівняння)
Це абсциси точок перетину графіка з віссю Ох
4. Функція приймає значення:
а) більше а
б) менше а
а) , Якщо х ...
б) , Якщо х ...
а) Графік розташований вище прямої у = а при х =...
б) Графік розташований нижче прямої у = а при х =...
5. Функція приймає значення, рівні значенням функції
, Якщо х =...
Графік функції перетинає графік функції , При х =...
6. Функція приймає значення
а) більше значень функції
б) менше значень функції
а) , Якщо х ...
б) , Якщо х ...
а) Графік функції розташований вище графіка функції , При х =...
б) Графік функції , Розташований нижче графіка функції , При х =...
7. а) функція зростає на множині М
б) функція спадає на множині М
Нехай х 1, х 2 Î М,
а) якщо , То
б) якщо , То
а) зі збільшенням абсцис точок на безлічі М графік функції «піднімається» вгору.
б) зі збільшенням абсцис точок на безлічі М графік функції «опускається» вниз.

Схема вивчення конкретних функцій:
1. Розглянути конкретні ситуації (або завдання), що призводять до цієї функції.
На цьому етапі вивчення учні повинні переконається в доцільності вивчення даної функції, виходячи з міркувань практики або необхідності подальшого розвитку теорії.
2. Сформулювати визначення цієї функції, дати запис функції формулою, провести дослідження входять в цю формулу параметрів.
На цьому етапі вивчення учні отримують чітке уявлення про дану функції, про її характеристичних властивості, що виділяють дану функцію з безлічі інших.
3. Ознайомити учнів з графіком даної функції.
На цьому етапі учні вчаться зображувати досліджувану функцію графічно, відрізняти за графіком дану функцію від інших, заданих графіком функцій, встановлювати вплив параметрів на характер графічного зображення функції.
4. Дослідити функцію на основні властивості: області визначення і значень, зростання й убування, проміжки знакопостоянства, нулі, екстремуми, парність або непарність (або відсутність цих властивостей), періодичність, обмеженість, безперервність.
5. Використовувати вивчені властивості функцій при вирішенні різних завдань, зокрема рівнянь і нерівностей.
Цей етап є етапом закріплення основних понять і теоретичних положень, пов'язаних з досліджуваною функцією, а також етапом формування відповідних умінь і навичок.
Ця методична схема є своєрідним планом - програмою для вивчення будь-якої функції, але потрібно мати на увазі, що зміст матеріалу і практика навчання вносять в неї відповідні корективи.
Отже, при вивченні функціональної лінії необхідно у 5-6 класі проводити функціональну пропедевтику. Поняття «функція» краще вводити конкретно-індуктивним шляхом, при використанні генетичного підходу, а дослідження конкретних функцій проводити комбінованим методом.
А зараз перейдемо до розгляду конкретного навчального комплекту з алгебри.
§ 2. Методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії за підручниками «Математика. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних. 7 клас »,« Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних »для 8 і 9 класів під редакцією Г.В. Дорофєєва.
2.1. Характеристика комплекту підручників під редакцією Г.В. Дорофєєва.
Підручники [36], [35], [34] продовжують лінію навчальних комплектів [37], [32] і розвивають ідеї, які закладені в загальній концепції курсу математики. Перехід до підручників [36], [35], [34] можна здійснити, як після підручників [37], [33], так і після інших підручників з математики для 5-6 класів, так як зміст алгебраїчного і арифметичного блоків збігаються з змістом інших підручників для 7-9 класів.
У підручниках математики [36], [35], [34] теоретичний матеріал викладено досить цікаво, в них міститься багато фактів з історії математики, що робить його ще більш цікавим. У даних підручниках міститься багато відомостей, які наведені без доказів, але є і багато задач на доказ.
Що стосується системи завдань, то в даному навчальному комплекті він розділений на дві частини за рівнем складності. У першій частині (її позначають буквою «А») вміщено вправи, які вимагають від учнів лише умінь вирішувати за алгоритмом, а у другій частині («В») дані вправи, при рішенні яких потрібно вміння мислити і аналізувати. В основному в кожній групі «В» (в кінці) міститься завдання-дослідження. Хотілося б відзначити, що в підручниках [36], [35], [34] формулювання вправ цікаві, різноманітні і в них простежується практична спрямованість і зв'язок з іншими науками (наприклад, фізикою і геометрією). Багато уваги приділено обчислювальної культури учнів, забезпечена рівнева диференціація в навчанні.
Підручник [36] є безпосереднім продовженням підручників [37] та [33]. У ньому отримують подальший розвиток арифметична, алгебраїчна та ймовірнісно-статистична лінії курсу. Підручник [35] продовжує лінію навчальних комплектів [37], [33] [36]. У цьому підручнику приділено багато уваги формуванню обчислювальної культури учнів, забезпечена рівнева диференціація в навчанні алгебри. Підручник містить велику кількість різноманітних вправ і додатковий матеріал у рубриці «Для тих, кому цікаво». Подальший розвиток отримує ймовірнісно-статистична лінія курсу. Підручник [34] завершує безперервний курс математики для 5-9 класів загальноосвітніх шкіл. У підручниках, зміст яких повністю відповідає сучасним освітнім стандартам, враховані результати досвіду викладання математики останніх десятиліть, а також відображені сучасні методичні та педагогічні тенденції - посилено увагу до формування обчислювальної культури в її сучасному розумінні, а також до навчання логічним прийомам рішення задач. Включений новий для російської школи матеріал - елементи статистики та теорії ймовірностей.
У даному навчальному комплекті передбачена роль і місце алгебраїчної пропедевтики. Постійно використовується літерна символіка. Перетворення буквених виразів, рішення задач за допомогою рівнянь віднесені до 7 класу, де вікове розвиток учнів у більшому ступені відповідає діяльності з виконання формальних операцій.
Ще однією особливістю курсу є те, що частина матеріалу (функція, тотожність, равносильность рівнянь) автори переносять з 7 класу в 8, 9 класи. У старших класах основної школи рівень абстрактного мислення набагато вище, ніж у 7 класі, саме тому перенесення виправданий.
У курсі починають вивчати нову змістовну лінію «Аналіз даних», що продиктовано самим життям, так як імовірнісний характер багатьох явищ дійсності багато в чому визначає поведінку людини. Тому шкільний курс математики має формувати відповідні практичні орієнтири, озброювати учнів загальної ймовірнісної інтуїцією, конкретними способами оцінки даних.

Методичними особливостями навчального комплекту є:
Ø забезпечення рівневої диференціації;
Ø зміст матеріалу організовано так, що відбувається неодноразове повернення до всіх принципових питань, причому на кожному наступному етапі учні піднімаються на більш високий рівень;
Ø відбувається опора на наочно-образне мислення.
Отже, можна зробити висновок, що даний комплект відрізняється посиленою увагою до арифметики, до формування обчислювальної культури в її сучасному розумінні: це прикидка і оцінка результатів дій, перевірка їх на правдоподібність. Особлива увага приділяється навчанню арифметичним і логічним прийомам рішення текстових завдань. Кожна глава даного навчального комплекту містить пункти: «Для тих, кому цікаво», «Питання для повторення», «Завдання для самоперевірки».
2.2. Методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії в 7 класі.
Початковий ознайомлення з поняттям функції відбувається у 8 класі. Проте вже в 7 класі автори підручника розглядають такі функції, як лінійна, статечні функції виду у = х 2, у = х 3, функція , Їх графіки (вводять назви цих графіків).
Дані висловлювання вони називають залежністю чи зв'язком абсциси і ординати точки (поняття абсциси і ординати даються перед розглядом даних функцій). Також наведені деякі властивості графіків функцій (симетричність, розташування параболи відносно осі абсцис, торкання графіка осі абсцис). Даються поняття гілок і вершини параболи. Ці функції розглянуто в розділі «Координати та графіки».
Таким чином, можна зробити висновок, що в даному підручнику роль функції ослаблена, тому що в деяких підручниках поняття функції вводиться в 7 класі, і розглядаються деякі приватні види функцій (лінійна, зворотної пропорційності і т.д.). Наприклад, у підручниках [10], [12] в 7 класі розглянута лінійна функція.
2.3. Методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії у 8 класі.
У 8 класі підручника [35] функціональної лінії присвячена одна глава «Функції».
Тут розглядаються такі пункти:
1. Читання графіків.
2. Що таке функція.
3. Графік функції.
4. Властивості функцій.
5. Лінійна функція.
6. Функція та її графік.
Глава присвячена введенню поняття функції, формування уявлень про властивості функцій, а також вивчення лінійної функції та функції . Виклад питання про функції будується на базі досвіду, набутого учнями при вивченні різних залежностей між величинами, і великого запасу графіків, знайомих восьмикласників до цього моменту.
При вивченні глави акцент робиться не стільки на визначення поняття функції, скільки на введення нової мови, на оволодіння учнями новою термінологією і символікою. Необхідно відзначити, що новий мова постійно зіставляється з уже освоєним, тобто увага звертається на уміння переформулювати завдання або питання з мови функцій на мову графіків або рівнянь і навпаки. Так, в ході вивчення матеріалу школярі вчаться розуміти еквівалентність таких формулювань, як: «знайдіть нулі функцій »,« Визначте, у яких точках графік функції перетинає вісь х »,« знайдіть корені рівняння ».
При викладі матеріалу багато уваги приділяється графіками реальних залежностей, важливе місце займають практичні роботи, питання і завдання прикладного та практичного характеру. Учні отримують деякі уявлення про швидкість росту або зменшення функції. Особливістю викладу матеріалу є його прикладна спрямованість. При вивченні лінійної функції явно формулюється думка про те, що за допомогою цієї функції описуються процеси, що протікають з постійною швидкістю, вводиться ідея апроксимації. У ході вирішення завдань учні моделюють за допомогою досліджуваних функцій найрізноманітніші реальні ситуації.
Приблизне розподілення навчального матеріалу:
(Всього на тему відводиться 14 годин)
Номер і назва пункту
Число уроків
5.1. Читання графіків
2
5.2. Що таке функція
2
5.3.Графік функції
2
5.4. Властивості функцій
2
5.5. Лінійна функція
3
5.6. Функція та її графік
2
Залік
1
У першому пункті «Читання графіків» розглядається три приклади.
Приклад 1: Батьки вимірювали зростання сина кожні два роки від 2 до 12 років. Вийшли такі результати:
Вік (роки)
2
4
6
8
10
12
Зріст (см)
82
102
108
120
126
132
Далі йдеться про те, що батьки побудували графік зростання сина і пояснюється, як потрібно побудувати цей графік. Потім за графіком визначається, коли хлопчик ріс швидше, а коли повільніше.
Цей приклад дозволяє повторити відомий з курсу 7 класу матеріал (розділ 5, пункт 5.3 [3]) і продемонструвати учням, як на графіку відображається зміна швидкості росту. Розбираючи цей приклад, слід звернути увагу на різні масштаби по осях. Питання про швидкість росту в різні періоди часу, обговорюваний у тексті, слід розібрати детально, так як до цього прикладу учні звернуться знову при вивченні лінійної функції.
Два інших прикладу демонструють можливість подання на одному кресленні відразу декількох графіків: зміни ваги двох дітей, бігу трьох спортсменів. Розглядаючи ці графіки, школярі вчаться зіставляти різні характеристики зображуваних процесів і витягувати найрізноманітнішу інформацію, причому не тільки кількісну.
При вивченні цього пункту треба дати учням можливість активно попрацювати з графіками, так як для них графік є опорним чином при засвоєнні понять (таких, наприклад, як властивості функцій). У ході аналізу графіків розібрати всі властивості функцій, які будуть вивчатися в наступних пунктах.
Система вправ.
Більша частина вправ - це завдання, в яких за відомим графіками потрібно відповісти на серію питань. Також тут наведено вправи, де з даної таблиці потрібно побудувати графік і проаналізувати його (наприклад, будується графік температури, а проаналізувати необхідна зміна температури протягом місяця). Крім того, є завдання, в яких описана конкретна ситуація і дано кілька графіків, учням необхідно вибрати, на якому з графіків описана ця ситуація.
При виконанні окремих вправ (за вибором вчителя) корисно пропонувати учням самим вигадувати питання за графіками або ж розповідати, яку додаткову інформацію можна отримати з цього графіка.
Коментарі до деяких вправ:

№ 691. Турист протягом 30 хв дійшов від табору до озера, розташованого в 2 км від табору, і, пробувши там 40 хв, повернувся назад. На всю прогулянку він витратив півтори години. На якому з графіків (рис. 1) зображено описана ситуація? (На вертикальній осі зазначено відстань туриста від табору.)
Рис. 1
Цю вправу потрібно обов'язково розібрати з учнями, так як саме при вирішенні таких вправ у учні формується вміння зіставляти функцію і її графік.
№ 693. Олег і Петро змагалися на дистанції 200 м в 50-метровому басейні. Графіки їх запливів показані на малюнку 2. По горизонтальній осі відкладено час, а по вертикальній - відповідну відстань плавця від старту.
1) Використовуючи графіки, дайте відповідь на питання:
а) Скільки часу витратив кожен спортсмен на перші 50 м, на всю дистанцію? Рис. 2
б) Хто виграв змагання? На скільки секунд він обігнав суперника?
в) На скільки метрів відстав програв від переможця до моменту фінішу?
2) Прокоментуйте докладно весь хід змагань.
У цій вправі можна порадити учням перед відповіддю на поставлені питання розглянути графіки. Доцільно запитати їх, що позначає кожна ланка зображених на малюнку ламаних (відрізок ламаної описує рух спортсмена на 50-метрівці). Можна запропонувати акуратно олівцем позначити вершини ламаних літерами, що допоможе не заплутатися при відповіді на запитання.
Додатково, наприклад, можна запитати, за скільки метрів від фінішу Петро обігнав Олега; за скільки секунд кожен спортсмен проплив половину дистанції; на скільки секунд швидше Олег проплив перше 50-метрівку та ін Корисно запропонувати учням самим придумати питання за графіком.
Виконання завдання 2 можна обіграти у формі змагання коментаторів спортивного змагання.
№ 694. Використовуючи графіки, зображені на рис. 2, побудуйте в одній системі координат графіки руху цих самих спортсменів, відклавши по горизонтальній осі час руху, а по вертикальній - відстань, що проплив спортсмен з початку запливу.
1) Визначте за графіком:
а) середню швидкість руху кожного спортсмена на першій 100-метрівці;
б) середню швидкість руху кожного спортсмена на всій дистанції.
2) Поясніть, що, з точки зору змісту завдань, означають точки перетину графіків на рис. 2 і на вашому малюнку.
Тут потрібно порадити учням, що перш ніж будувати новий графік, доцільно, використовуючи графік на рис. 2, скласти таблицю значень нової залежності.
У другому пункті «Що таке функція» вводяться поняття функції, а також деякі пов'язані з ним поняття: залежна і незалежна змінні, аргумент (незалежну змінну називають аргументом), область визначення функції (всі значення, які може приймати аргументу, утворюють область визначення функції) . З цього моменту починає використовуватися функціональна символіка . Розглядаються способи завдання функції - графічно, аналітично, таблично.
Функція трактується як залежна змінна, значення якої однозначно визначаються значеннями іншої змінної (змінну у називають функцією змінної х, якщо кожному значенню х з деякого числового безлічі відповідає одне певне значення змінної у). Таким чином, можна зробити висновок, що для введення поняття функції використовується генетичний підхід.
Мета вивчення даного пункту - це ознайомлення учнів з різними ситуаціями, в яких вживається термін «функція», введення нового словника і навчання його застосування. У тексті спеціально підкреслюється багатозначність слова «функція» і широкий діапазон його застосування в математиці - для позначення і залежною змінною, і самої залежності, і правила, за яким встановлюється залежність між змінними.
Особливістю прийнятого підходу є його явний прикладний характер (саме поняття функції вводиться і ілюструється на основі залежностей, узятих з реального життя). Звертається увага на деякі відмінності в застосуванні символіки в математиці і у фізиці, обговорюється питання про звуження області визначення функції в практичних завданнях - фізичних, геометричних і т.д.
Система вправ.
У даному пункті містяться вправи на завдання формулами функцій, що описують найрізноманітніші реальні ситуації (це не нова для учнів робота, вони вже багато разів ставили залежності за допомогою формул). У ході виконання зазначеної групи вправ школярі опановують новими поняттями і освоюють введену термінологію. Частина вправ цього пункту спрямовані на засвоєння функціональної символіки (при виконанні деяких з них учням доведеться переводити на символічну мову змістовні твердження про функції, тобто вчиться різними способами виражати одну і ту ж думку). Крім того, є завдання, де по даному значенню аргументу необхідно знайти значення функції і, навпаки, за значенням функції знайти значення аргументу з використанням формули і графіка.
Коментарі до деяких вправ:
№ 700. Число діагоналей p опуклого багатокутника є функцією числа його сторін n. Задайте цю функцію формулою. Яка її область визначення? Заповніть таблицю, в якій дані деякі значення аргументу n і функції p:
p
5
10
n
14
54
Проінтерпретіруйте отримані результати на геометричному мовою.
У цьому завданні від учнів потрібно застосувати деякі знання з геометрії.
Розглянемо, як складається ця функція.
Кожна з п вершин з'єднується діагоналлю з усіма іншими вершинами багатокутника, крім двох сусідніх, тобто з (п - 3) вершинами. Помноживши п на , Отримаємо подвоєне число діагоналей багатокутника (так як кожна діагональ при такому способі підрахунку порахована двічі). Щоб отримати число діагоналей багатокутника, треба це твір розділити на 2. Отримуємо формулу, що виражає кількість діагоналей багатокутника через число його сторін: .
Область визначення функції: п - натуральне число, п ≥ 4.
Останнє завдання вимагає від учнів уміння пояснювати числовий результат. Коментарі можуть бути різними, наприклад: «Якщо в багатокутнику 14 діагоналей, то у нього сім сторін», «У семикутника 14 діагоналей» і так далі.
№ 710. Дана функція Знайдіть значення цієї функції для значення аргументу, рівного -3; -2; 0; 0,1; 5.
Основна складність для учнів - визначити, в яку формулу підставляти задані значення аргументу. Тому корисно спочатку запропонувати учням назвати кілька значень х, для яких значення функції обчислюється за формулою , І знайти значення функції для кого-небудь з названих значень х. Потім нехай учні назвуть кілька значень х, для яких значення функції дорівнює 5.
Вправа варто виконувати докладно - для кожного з даних чисел визначити, до якого з проміжків воно належить і за якою формулою треба вести обчислення ( отже, і т.д.).
№ 711. Дана функція Знайдіть значення цієї функції при значенні аргументу, що дорівнює:
а) ; ; ;
б) ; ; .
Це завдання аналогічно завданням № 710, але в обчислювальному відношенні важче. Корисно ввести докладний запис:
б) = ;
, ;
, .
№ 717. Нехай , . Знайдіть:

а) ;
в) .

Це більш складне задні на розуміння символічних записів, на їх розкодування. У пункті в) учні фактично мають справу зі складною функцією. Однак тут, звичайно, це поняття не вводиться.
Щоб зрозуміти сенс такого запису, як , Треба просто уважно її прочитати, а саме: значення функції f при значенні аргументу, що дорівнює . Тепер ясно, як знайти значення цього виразу: , .
У результаті вивчення пункту учні повинні розуміти і правильно вживати функціональну термінологію (функція, аргумент, область визначення функції), записувати функціональні співвідношення з використанням символічного мови ( ). У нескладних випадках виражати формулою залежність між величинами, знаходити за формулою значення функції, відповідне даному аргументу, і аргумент, якому відповідає дане значення функції.
У третьому пункті «Графік функції» спочатку введені нові позначення для числових проміжків, які вже розглядалися в 7 класі і задавалися за допомогою нерівностей: відрізок, інтервал, промінь (замкнутий і відкритий). Таким чином, з цього моменту учні можуть користуватися будь-яким з позначень. Наприклад, безліч чисел, великих 2, можна позначати двома способами: х> 2 і (2; + ∞).
Після цього вводиться власне матеріал, пов'язаний з графіками функцій. Розглянуті в пункті два завдання є центральними на даному етапі вивчення матеріалу. Перша - це знаходження за допомогою графіка значення функції, відповідного заданому значенню аргументу, а також значень аргументу, яким відповідає дане значення функції. Друга - це побудова графіків функцій по точках.
Приклад, що розглядається в ув'язненні, допомагає роз'яснити, що не всяке рівняння або графік задають функцію.
Система вправ.
У цьому пункті містяться вправи на визначення приналежності точки графіком, на зіставлення графіків і функціональних залежностей, на визначення точок перетину графіка з осями координат, на доказ (наприклад: доведіть, що графік функції цілком розташований у верхній півплощині). Велику увагу у вправах приділяється також побудови графіків функцій, заданих самими різними формулами, по точках, за допомогою складання таблиць значень.
Коментарі до деяких вправ:
№ 721. А) На малюнку 3 зображено графік деякої функції. Складіть за графіком таблицю значень функції на проміжку [-1; 2] з кроком . Відтворіть цей графік у зошиті.

б) Функція задана графіком (рис. 4). Складіть таблицю значень функції на проміжку [-1; 5] з кроком 0,5. відтворіть цей графік у зошиті.
Рис. 3 Рис. 4
При виконанні таких вправ змінюється форма завдання функції без зміни способу завдання. Воно корисно для формування вміння читати і будувати графік функції. При виконанні цієї вправи, для попередження помилок, слід звернути увагу учнів на масштаб по осі х і по осі у. Слід також зауважити, що при побудові графіка в зошити можна взяти інший масштаб, наприклад, збільшити графік, прийнявши за одиницю 4 клітки.
№ 724. Складіть таблицю значень функції та побудуйте її графік:
а) , Де ;
б) , Де .
Квадратична функція ще не вивчалася. Тому, щоб акуратно побудувати графік, треба взяти досить багато точок з даного проміжку, наприклад, розглядати значення х з кроком 0,1 (або 0,2). Для полегшення роботи можна скористатися калькулятором. Було б добре, якби робота виконувалася на міліметровому папері.
Перш ніж скласти таблицю значень функції, корисно звернути увагу на те, що відрізок і симетричний, тому складання таблиці може бути скорочено. Якщо самі учні не помітять цієї особливості формули, можна навести їх на цю думку.
№ 738. На рис. 5 зображені графіки функцій , , і . Для кожного графіка вкажіть відповідну формулу.

Рис. 5
Щоб співвіднести графік з відповідною йому функцією, потрібно використовувати різні ознаки. Так, графік I цілком розташований нижче осі х. Це означає, що при всіх значеннях аргументу функція приймає негативні значення. Значить, цим графіком може відповідати одна з формул або (Вираз, що стоять в правих частинах, набувають від'ємних значень при всіх значеннях х). Щоб вибрати з них потрібну, обчислимо ординату точки перетину відповідного формулою графіка з віссю у. Отримаємо, що графік функції проходить через точку (0; -1). Значить, графіку I відповідає саме ця формула. Графіку II відповідає формула , Графіку III - формула і графіку IV - формула, .
У результаті вивчення даного пункту школярі вчаться описувати графічну ситуацію по-різному, використовуючи геометричний, алгебраїчний, функціональний мови. Наприклад: «функція у = f (x) приймає значення, рівне 0, при х = - 1 і х = 2», «графік функції у = f (x) перетинає вісь х в точках з абсциссами, рівними -1 і 2» , «рівняння f (x) = 0 має корені -1 і 2». Тобто, учні повинні розуміти еквівалентність відповідних формулювань і вільно переходити від однієї з них до іншої.
У наступному пункті «Властивості функцій» розглянуті такі властивості функції:
1) область визначення;
2) найбільше і найменше значення функції;
3) нулі функції;
4) проміжки знакопостоянства;
5) проміжки зростання та спадання функції.
Мета даного пункту - це показати наочно за допомогою графіків сенс вводяться понять. Формалізація властивостей функцій віднесена до старших класів. Тут же важливо, щоб учні правильно вживали нові терміни, розуміли, як зазначені властивості відображаються на графіку, і вміли за графіком відповідати на питання, що стосуються властивостей функцій.
Зауважимо, що засвоєння властивостей функцій і, як наслідок, виконання завдань на встановлення властивостей функції за її графіком, традиційно викликає труднощі в учнів. Найбільш часто учні плутають проміжки зростання або убування з проміжками, на яких функція приймає позитивні або негативні значення. Параболу, гілки якої спрямовані вгору (вниз), багато хто вважає графіком зростаючою (спадною) функції. Для попередження подібних помилок необхідно, щоб властивості функцій сприймалися учнями осмислено, а не формально. Цьому може допомогти звернення до змістових графіками, наприклад, до графіка температури. Учням варто роз'яснити, що як за графіком температури легко з'ясувати потрібну інформацію, так і графік будь-якої функції наочно відображає всі її властивості. Той великий досвід роботи з графіками реальних залежностей, який придбали учні до даного моменту, допоможе їм перекинути місток від змістовних завдань, пов'язаних з графіками, до графіків довільних функцій.
Система вправ.
Тут міститися вправи, в яких за графіком функції необхідно відповісти на питання, що стосуються властивостей функції, на зіставлення графіків і функціональних залежностей; вправи, в яких за відомим властивостям функції необхідно задати формулу цієї функції; вправи на знаходження нулів функції (в ході виконання яких природним чином повторюється матеріал, пов'язаний з рішенням рівнянь - лінійних, квадратних, рівнянь вищих ступенів, рівнянь, які вирішуються на основі рівності нулю твору). Крім того, є вправи на побудову графіків функцій за відомими її нулях (при вирішенні таких вправ повторюються графіки залежностей, що вивчалися в 7 класі).
Коментарі до деяких вправ:
№ 740. На малюнку 6 зображено графік функції , Областю визначення якої є відрізок [-2, 2]. Використовуючи графік, дайте відповідь на питання:
1) Чи є у функції найбільше або найменше значення, і якщо є, то чому воно дорівнює? При якому значенні аргументу функція приймає це значення?
2) Вкажіть нулі функції.
3) Вкажіть проміжки, на яких функція приймає позитивні значення; негативні значення.
Вкажіть проміжки, на яких функція зростає; убуває. Рис. 6
№ 741. На малюнку 7 зображені графіки функцій, визначених на множині всіх чисел. Які властивості кожної з функцій можна з'ясувати за допомогою її графіка?

Рис. 7
Учні можуть помилково подумати, що функція, графік якої зображено на рис. 7 а), має найбільше і найменше значення. У цьому випадку можна запропонувати їм знайти за графіком якесь значення функції, більше 4 і менше -2. На відміну від функції на рис. 7 а), функція, графік якої зображено на рис. 7 б), має найменше значення, воно дорівнює -3.
При виконанні цієї вправи можна запропонувати учням позмагатися: хто з них зможе вказати більше властивостей.
№ 743. Числа -3; 5; 0,5 є нулями функції . Переконайтеся в справедливості цього твердження. Сформулюйте цей факт іншими способами, використовуючи слова «графік», «значення функції», «рівняння».
Мета вправи - у навчанні перекладу з однієї мови на іншу, вмінню висловити одне і те ж твердження різними способами. Переконатися в справедливості твердження можна, підставивши дані числа в формулу. Еквівалентні формулювання можуть бути, наприклад, такими: «графік функції f (x) перетинає вісь х в точках (-3; 0), (5; 0), (0,5; 0)», або «функція приймає значення, рівне 0, при х, що дорівнює -3; 5; 0,5 », або« числа -3; 5; 0,5 є корінням рівняння ».
№ 746. Накресліть графік якої-небудь функції, нулями якої є числа:

а) -3,5; 0; 4;
б) -5; -1; 2,5; 4,5.

Можна виконувати це завдання парами - сусіди по парті обміняються своїми графіками, і кожен з них проконтролює, чи правильно відповів на питання його напарник. Доповнити вправу можна завданням: перерахувати всі властивості функції, які можна з'ясувати за запропонованим графіком.
№ 752. Графік якої функції зображено на малюнку 8?
,
,
, Рис. 8
.
Якщо використовувати нулі функцій, то можна тільки відкинути функцію . Для решти трьох потрібно знайти точку перетину їх графіків з віссю у.
Робота скоротиться, якщо заздалегідь помітити, що при підстановці нуля замість х у другу формулу виходить негативне число і, значить, ордината точки перетину відповідного графіка з віссю у менше нуля, а на запропонованому графіку вона більше нуля. Залишається вибрати з двох, що залишилися функцій h (x) і р (х).
Графік функції h (x) перетинає вісь у в точці (0; 14), а р (х) - у точці (0; 7). Значить, на малюнку зображено графік функції h (х).
У п'ятому пункті «Лінійна функція» дано поняття лінійної функції (функція, яку можна задати формулою виду y = kx + l, де k і l - деякі числа, називається лінійної) і її графіка (графіком лінійної функції є пряма).
Лінійна функція - це перша конкретна функція, з якою ознайомлюються учні. Так як учні вже вміють будувати графік залежності, заданої формулою у = kx + l (глава 4, пункти 4.1 та 4.2), то цей графік служить опорою при введенні всіх понять і властивостей.
У ході вивчення даного пункту розглядається велика кількість прикладів реальних процесів і ситуацій, що описуються лінійною функцією (у тому числі і прямої пропорційністю), тому учні повинні прийти до розуміння того, що величини різної природи можуть бути пов'язані між собою залежністю одного і того ж виду. Це важливо при формуванні уявлень про математичне моделювання, а також про практичну значимість математичних знань.
Властивості лінійної функції вводяться в пункті на основі конкретних графіків (розташування графіка в координатних площинах, проміжки зростання та спадання лінійної функції). Учні знайомляться ще з однією важливою властивістю лінійної функції - описувати процеси, що протікають з постійною швидкістю.
Новою для учнів є ідея лінійної апроксимації, яка дозволяє зв'язати функціональний матеріал з питаннями статистики. На конкретних прикладах, з опорою на графіки, учні знайомляться з залежностями, які не є лінійними, але наближено можуть бути задані лінійними функціями, що дозволяє робити певні прогнози, отримувати наближену числову інформацію.
Цей матеріал не є обов'язковим для засвоєння всіма учнями (не входить в обов'язкові результати навчання) і в класах з невисокою математичної підготовки може бути опущений.
Система вправ.
Через систему вправ учні будують графік лінійної функції, визначають її властивості і продовжують виробляти навик побудови графіків кусково-заданих функцій. При цьому вони знайомляться з новою для них ситуації, коли графік має розриви.
Коментарі до деяких вправ:
№ 763. Андрій планує попрацювати під час літніх канікул, і у нього є дві можливості. На роботі А він буде отримувати 20 р. на день. На роботі В он в перший день отримає 10 р., А потім щодня отримуватиме 20 р. Який варіант вигідніший? Складіть формулу залежності отриманої суми грошей у від числа робочих днів х для варіантів А і В. В одній системі координат побудуйте прямі, яким належать точки графіка кожної з функцій, і відмітьте ці точки для . Чи існує значення x, у яких значення у рівні?
Для варіанта А формула очевидна. При складанні формули для варіанту У учні можуть помилитися і запропонувати формулу . У цьому випадку, щоб побачити характер залежності між у і х, можна скласти таблицю, в якій будуть записані суми, одержувані за кожний з декількох перших днів роботи.
День
1
2
3
4
...
х
Заробіток
(Руб.)
10
10 +20


...
10 +20 -1)
У результаті отримуємо формулу у = 20 х - 10.
Перш ніж будувати прямі, доцільно обговорити, який масштаб слід вибрати, щоб малюнок був зрозумілим і акуратним. По осі х зручно прийняти дві клітини за одиницю (один день), а по осі у - дві клітини за 20 одиниць (20 руб.).
Відповідь на останнє запитання завдання негативний. Корисно звернути увагу учнів на те, що його можна отримати і, не вдаючись до побудови графіків. Вже з отриманих формул видно, що прямі паралельні, тому що мають однакові кутові коефіцієнти, тому ні при якому значенні х, значення функцій не будуть рівні.
№ 776. Літак почав зниження на висоті 8500 м. На графіку (рис. 9) показана зміна його висоти над землею в перші 20 хв зниження. Перекреслив малюнок у зошит і підберіть пряму, навколо якої укладаються ці точки. Визначте, скільки приблизно хвилин тривало зниження літака і яка його середня швидкість зниження (в м / хв). Рис. 9
Перекреслення графіків у зошит надзвичайно корисно для вдосконалення навичок роботи з координатною площиною. Прямі, які проведуть учні, будуть різними, тому і відповіді можуть дещо відрізнятися, однак навряд чи розбіжність буде істотним. Час зниження літака буде коливатися від 28 хв до 30 хв. Для знаходження середньої швидкості зниження потрібне 8500 м розділити на отриманий час зниження. Сильним учням можна запропонувати як індивідуального завдання записати рівняння побудованій ними прямій.
У результаті вивчення матеріалу учні повинні вміти будувати графік лінійної функції, визначати, зростаючій чи спадної вона є, знаходити за допомогою графіка проміжки знакопостоянства. У нескладних випадках вони повинні вміти моделювати реальну ситуацію, описану лінійною функцією (записувати відповідну формулу, будувати графік цієї залежності, враховуючи особливості області її визначення), інтерпретувати графіки реальних процесів, що складаються з відрізків, в тому числі визначати, на якій ділянці процес протікав швидше або повільніше.
В останньому пункті «Функція », Як і у всіх попередніх пунктах голови, виклад матеріалу починається з аналізу прикладів реальних залежностей. Учні розглядають залежність часу руху пішохода від його швидкості, довжини сторони прямокутника заданої площі від довжини іншого його боку, кількості товару, яку можна купити на певну суму грошей, від ціни цього товару. Узагальнюючи ці приклади, приходять до визначення функції (Званої зворотної пропорційністю).
Всі властивості і графік функції у підручнику розглядаються на прикладі конкретних функцій ( ). По точках будується графік даної функції і вводиться його назва (гіпербола). З властивостей виділяють тільки область визначення, проміжки спадання і зростання функції і робиться зауваження, що графік даної функції не перетинає координатні осі.
Дослідження проводиться докладно для першого випадку, коли k> 0, а на другому випадку (k <0) наведено лише кінцеві висновки і результати.
Традиційно побудова графіка оберненої пропорційності викликає в учнів труднощі. Багато хто будують його недбало, не дотримуючись симетрії гілок, гілки бувають дуже короткі, дуже часто в роботах учнів одна з гілок гіперболи спочатку наближається, наприклад, до осі х, а потім віддаляється від неї. Для попередження подібних помилок дуже важливо проаналізувати особливості графіка, звернувши увагу учнів на те, що графік складається з двох гілок, симетричних один одному щодо початку координат. Кожна гілка гіперболи в міру віддалення від початку координат стає все ближче і ближче до осей, але не перетинає їх. Нескінченне наближення гілок до осей координат можна проілюструвати в ході невеликого числового досвіду: наприклад, підставити в формулу замість х кілька досить великих чисел у порядку їх зростання і поспостерігати, як змінюється при цьому значення у. Таке міні-дослідження проводиться і в тексті підручника.
Система вправ.
При виконанні вправ повторюється весь матеріал, вивчений у розділі, - властивості функцій, функціональна символіка, графік лінійної функції.

Коментарі до деяких вправ:
№ 785. Графіком який з функцій , , є гіпербола? Побудуйте цю гіперболу.
Учні повинні пояснити свою відповідь, наприклад, так: функції і є лінійними (можна попросити обгрунтувати це твердження), їх графіки - прямі. Функція - Це функція виду при k = 3, графіком такої функції є гіпербола.
№ 792. Знайдіть координати якої-небудь точки, що належить графіку функції і що знаходиться від осі х на відстані, меншій, ніж 0,1; 0,01.
Це завдання необхідно перевірити на наступному уроці.
Рішення. Точки, що знаходяться від осі х на відстані, рівному 0,1, лежать на прямих. У = 0,1 і у = -0,1. Зобразивши схематично графік функції і прямі у = 0,1 і в = - 0,1, отримаємо, що перша пряма перетне праву гілку гіперболи в деякій точці А, а друга перетне ліву гілку в точці В. Вони будуть знаходитися на відстані 0,1 від осі х. Всі точки, що лежать на гіперболі правіше точки А, будуть ближче до осі х, ніж точка А, і, значить, на відстані, меншій, ніж 0,1. Те ж саме можна сказати про всі точках гіперболи, що знаходяться лівіше точки В.
Ордината точки А дорівнює 0,1. Знайдемо її абсцису, підставивши це значення замість змінної у в формулу. Вона дорівнює 50. Вибравши якесь значення абсциси, більше 50, наприклад 55, знайдемо точку з цією абсцисою, що належить графіку функції і задовольняє нашого умові: , Це точка з координатами .
Оскільки в задачі потрібно вказати координати якої-небудь однієї точки гіперболи, що знаходиться на відстані, меншій, ніж 0,1 від осі х, то відповідь на питання вже отримано. Однак, корисно зауважити, що точка лівої галузі гіперболи, симетрична знайденої, - точка також знаходиться від осі х на відстані, меншій 0,1. Число 55 було взято як приклад, очевидно, що відповіді учнів будуть різнитися. Для самоперевірки корисно запропонувати учням вказати відстань від знайденої ними точки до осі х і переконатися в тому, що воно менше 0,1. Так, в даному випадку . Аналогічні міркування можна провести для відстані, рівного 0,01. Цілком можливо, що деякі учні будуть вирішувати цю задачу методом проб, підбираючи потрібне значення х. Таке рішення цілком припустимо, але все-таки корисно показати їм і наведене тут міркування.
№ 793. Побудуйте графік функції:

а) ;
б) .

Це завдання є досить важким для восьмикласників. За зразок можна взяти міркування, проведене при побудові графіка   в 7 класі (підручник [1], розділ 5, пункт 5.4).
Наведемо ці міркування:
При х = 0 функція не визначена. Проаналізуємо формулу окремо для позитивних і негативних чисел.
Модуль позитивного числа дорівнює самому числу. Значить, при х> 0 виконується рівність . Модуль негативного числа дорівнює протилежного йому числа. Значить, при х <0 формула приймає вигляд . Тому умова можна записати наступним чином:
Таким чином, потрібно побудувати графік кусково-заданої функції.
У результаті вивчення цього пункту учні повинні вміти будувати і читати графік функції .
2.4. Методичні рекомендації щодо вивчення функціональної лінії в 9 класі.
У підручнику 9 класу міститься одна глава, присвячена функціях: «Квадратична функція».
Ця глава розділена на п'ять пунктів, чотири з яких присвячені функціональної лінії:
1. Яку функцію називають квадратичної.
2. Графік і властивості функції .
3. Зрушення графіка функції вздовж осей координат.
4. Графік функції .
5. Квадратні нерівності.
Основні цілі цієї глави - ​​познайомити учнів з квадратичною функцією як з математичною моделлю, яка описує багато залежності між реальними величинами, навчити будувати її графік і читати по ньому властивості цієї функції, сформувати вміння використовувати дані графіка для вирішення квадратних нерівностей.
Вивчення теми починається із загального знайомства з функцією у = ах 2 + bх + с. На готовому кресленні виявляються основні особливості її графіка. У невеликому історичному екскурсі «розкривається» геометричне «походження» параболи і наводяться приклади використання її властивостей в техніці. Цей вступний фрагмент, супроводжуваний серією різноманітних завдань, робить подальше вивчення теми усвідомленим і цілеспрямованим.
Далі виклад матеріалу здійснюється наступним чином: спочатку розглядаються властивості і графік функції у = ах 2. Потім вивчається питання про графіки функцій у = ах 2 + q, у = а (х + р) 2, у = а (х + р) 2 + q, які виходять за допомогою зсуву вздовж осей координат «стандартної» параболи у = ах 2. Нарешті, доводиться теорема про те, що графік будь-якої функції виду у = ах 2 + bх + с може бути отриманий шляхом зрушень вздовж координатних осей параболи у = ах 2.
Тепер учні за коефіцієнтами квадратного тричлена ах 2 + bх + с можуть представити загальний вид відповідної параболи і обчислити координати її вершини.
У системі вправ значне місце відводиться завданням прикладного характеру. Завершується тема розглядом питання про рішення квадратних нерівностей, використовуваний при цьому прийом заснований на використанні графіків.
Приблизне розподілення навчального матеріалу
(Всього на тему відводиться 20 год)
Назва пунктів у підручнику
Число уроків
2.1. Яку функцію називають квадратичної
3
2.2. Графік і властивості функції у = ах 2
3
2.3. Зрушення графіка функції у = ах 2 вздовж осей координат
4
2.4. Графік функції у = ах 2 + bх + з
5
2.5. Квадратні нерівності
4
Залік
1
Вивчення першого пункту «Яку функцію називають квадратичної» переслідує дві мети:
1) створення початкових уявлень про графік квадратичної функції, знайомство з параболою як з геометричною фігурою;
2) повторення деяких загальних відомостей про функції, відомих учням з курсу 8 класу.
Цей пункт дуже важливий для усвідомленого вивчення подальшого матеріалу. При роботі з теоретичною частиною і виконанні завдань учні повинні будуть проводити спостереження, висувати гіпотези, міркувати, доводити, переходити від однієї системи термінів до іншої.
Спочатку наводиться визначення квадратичної функції (квадратичною функцією називають функцію, яку можна задати формулою виду , Де a, b і c - деякі числа, причому a ≠ 0), яке ілюструється прикладами залежностей з геометрії та фізики. Автори роблять зауваження, що дана функція необов'язково повинна складатися з трьох доданків, головне, щоб було доданок, що містить квадрат незалежної змінної.
Потім зазначається, що графік будь квадратичної функції - це парабола і наведені різні види парабол (з життя).
Після цього розглядається побудова графіка функції . Тут же вводиться поняття області значень функції.
При цьому спочатку міркування проводяться з використанням геометричної термінології і з опорою на графік, а потім ті ж самі факти формулюються на алгебраїчному мовою. Таким чином, формування таких понять, як найменше (або найбільшу) значення квадратичної функції, необмеженість зверху (або знизу) відбувається з опорою на наочні уявлення. Автори підручника помічають, що міркування, проведені для конкретної функції у = х 2-2х - 3, носять загальний характер.
Далі розглядається графік квадратичної функції, яка описує реальний процес, а у вправах дана серія питань, на які в подібних випадках повинні відповідати учні.
Після цього розглядається параболоїд (фігура, отримана обертанням параболи навколо осі симетрії) і наводяться приклади параболоїда (наприклад, фари автомобіля). Теоретична частина пункту завершується розповіддю про особливості параболічних дзеркал.
Система вправ:
Ø вправи на відновлення навички використання функціональної символіки, а також прийомів знаходження значення у по заданому значенню х (і навпаки) з використанням формули і графіка;
Ø вправи на оволодіння одним з алгоритмів побудови графіка квадратичної функції (вершини, осі параболи і за допомогою симетричних точок).

Коментарі до деяких вправ:
№ 184. Знайдіть на малюнку 10 графік функції , Де . Запишіть на символічній мові затвердження та перевірте, чи правильно, чи воно:
а) Чи правда, що g (2)> 0, g (-1) <0, g (3,5)> 0;

б) вкажіть кілька значень х, при яких g (х)> 0, g (х) <0.
Рис. 10
Зазначення. Учні повинні сформулювати загальне твердження: якщо точка графіка розташована вище осі х, то g (x)> 0; якщо точка лежить нижче осі х, то g (x) <0.
№ 186. Знайдіть нулі функції або покажіть, що їх немає:

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

У кожному разі опишіть отриманий результат на геометричному мовою. Спробуйте схематично зобразити відповідну параболу в координатній площині.
Зазначення. Учням ще невідомо про залежність напрямку гілок параболи від знаку першого коефіцієнта квадратного тричлена, тому і відповідь про розташування графіка по ідеї повинен бути неоднозначним. Таким рішенням можна обмежитися на даному етапі вивчення теми. У той же час з сильними учнями обговорення питання доцільно продовжити. Бути може, хтось із них, розглядаючи рис. 10 і ладу графіки по точках, зверне увагу на те, що при а> 0 гілки параболи спрямовані вгору. Потрібно сказати, що це вірне умовивід, але воно потребує доказу. Проте з'ясувати становище параболи не складно.
№ 187. Доведіть, що:
а) числа -4 і 3 є нулями функції ;
б) функція не має коренів.
У кожному разі сформулюйте завдання інакше, використовуючи слова: «рівняння» і «корінь рівняння», «тричлен» і «корінь тричлена», «графік функції» і «точка перетину».
Рішення.
а) Можна переконатися підстановкою, що при і х = 3 значення тричлена дорівнює нулю, а можна вирішити рівняння .
б) Достатньо показати, що дискримінант тричлена від'ємний.
У другому пункті «Графік і властивості функції », Як і в попередньому, ставляться дві мети: знайомство з окремим випадком квадратичної функції у = ах 2 і розвиток уявлень про загальні властивості функцій.
Спочатку розглядається випадок . Окремо виділено випадок і робиться зауваження, що з цією функцією учні вже зустрічалися ( ). Далі будуються два графіки функцій і . Потім робиться зауваження, що у цих парабол гілки спрямовані вгору, вершиною служить початок координат, а вісь симетрії - вісь ординат і обмовляється, що такими властивостями володіє графік будь квадратичної функції при а> 0.
Після чого учням пропонується розглянути малюнок, на якому зображені три графіки функцій , , і оцінюється «крутизна» цих графіків. Потім розглядається функція при а <0 і будується графік функції . Порівнюючи графіки функцій і робиться висновок про те, що графік другої функції можна отримати з графіка першої функції симетрією відносно осі абсцис. Далі знову в одній системі координат побудовані графіки , , і звертається увага, що гілки будь-параболи при а <0 спрямовані вниз. Потім робиться висновок: графіком функції , Де а ≠ 0, є парабола з вершиною в початку координат; її віссю симетрії служить вісь ординат; при а> 0 гілки параболи спрямовані вгору, при а <0 гілки спрямовані вниз.
Теоретична частина пункту завершується розглядом властивостей функції у = ах 2 для випадку а>   0. Властивості «зчитуються» з графіка, фактично вони виходять в результаті перекладу геометричних фактів на «мову функцій». Це добре видно з таблиці, вміщеній на с.92 підручника [34]:

Особливості графіка
Властивості функції
1. Графік стосується осі абсцис на початку координат: точка О (0; 0) - нижня точка графіка
1. При х = 0 функція приймає найменше значення, рівне 0
2. Гілки параболи необмежено йдуть вгору, вони перетинають будь-яку горизонтальну пряму, розташовану вище осі х
2. Будь-яке невід'ємне число є значенням функції. Область значень функції - проміжок
3. Графік симетричний щодо осі у
3. Протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції
4. На проміжку графік йде вниз; на проміжку графік йде вгору
4. На проміжку функція спадає; на проміжку функція зростає
Хотілося б відзначити, що схема для читання властивостей функції (запропонована в методиці вивчення функцій) реалізована в даній таблиці.
Для квадратичної функції при а <0 учням пропонується самостійно сформулювати властивості.
Система вправ.
Більша частина вправ - це завдання на побудову графіків функцій виду . Кожне з вправ супроводжується серією питань, серед яких є завдання на визначення приналежності точки графіком, найбільшого і найменшого значень функції на заданому проміжку, на обчислення координат точок перетину графіка з деякою горизонтальної прямої, на визначення проміжків зростання та спадання функції та ін Корисним з точки зору засвоєння теоретичних питань є вправа на співвіднесення формул і графіків. Крім того, є вправи на побудову графіків кусково-заданих функцій, в яких беруть участь функції виду . Будувати графіки функцій, заданих на різних проміжках різними формулами, учням доводилося і в 7, і в 8 класі.
Коментарі до деяких вправ:
№ 202. Побудуйте графік функції:

а)
б)
в)

Для кожної функції вкажіть проміжок зростання і проміжок убування.
Зазначення. Учні роблять менше помилок, якщо діють наступним чином: спочатку будують графік першої функції на всій області визначення, викреслюючи його тонкою лінією, і потім обводять жирно ту частину, яка відповідає вказаному проміжку. Потім точно так само тонкою лінією викреслюють графік другої функції і жирно обводять потрібну його частину.
№ 203. Відомо, що графік квадратичної функції, заданої формулою виду , Проходить через точку С (-6; -9).
а) Вкажіть ординати точки графіка, яка симетрична точці С.
б) Знайдіть коефіцієнт а.
в) Вкажіть координати яких-небудь двох точок, одна з яких належить графіком, а інша - ні.
Зазначення. Можна схематично зобразити параболу , Що проходить через точку С (-6; -9), показати точку параболи, симетричну точці С, провівши відповідну горизонталь.
№ 205. Вкажіть координати будь-якої точки графіка функції , Розташованої:
а) вище прямої у = 1000;
в) вище прямої у = 1200 і нижче прямої у = 1500.
Зазначення. Вимога завдання потрібно перевести на алгебраїчний мову. Так, якщо крапка повинна бути розташована вище прямої у = 1000, то це означає, що повинна виконуватись нерівність у> 1000. Далі завдання можна вирішити простим підбором.
№ 209. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

а) і ;
б) і ;
в) і ;
г) і .

Зазначення. Ідея вправи полягає в тому, щоб учні самостійно узагальнили знання про симетрії графіків таких функцій як, наприклад, у = 2 х 2 і в = -2 х 2, і застосували їх у новій ситуації. У кожному випадку потрібно будувати графік першої функції і за допомогою симетрії відносно осі х отримувати графік другої функції. Можна сформулювати і записати загальне твердження: графіки функцій у = f (x) і в = - f (x) симетричні відносно осі х. Справді, при будь-якому х з області визначення функцій їх значення - протилежні числа. Значить, кожній точці графіка функції y = f (x) відповідає симетрична їй щодо осі х точка графіка , І навпаки.

№ 211. (Задача-ісследованіе.)
1) Побудуйте параболу .
2) У цій же системі координат проведіть пряму d, рівняння якої у = -1, і відзначте крапку F (0; 1).
3) Відзначте на параболі кілька точок з цілими координатами і для кожної з них обчисліть відстань до точки F і до прямої d.
4) Зробіть висновок з отриманих результатів.
5) Доведіть, що всі крапки параболи рівновіддалені від точки F і прямої d.
Зазначення. Потрібно взяти довільну точку параболи (х; ) І скласти вирази для знаходження відстаней від цієї точки до точки F і прямої d.
В основу цього завдання покладено визначення параболи як геометричного місця точок, що знаходяться на однаковій відстані від даної точки і від даної прямої, що не проходить через цю точку. Це визначення еквівалентно тому, що (у неявному вигляді) використовується у шкільному курсі: парабола - це лінія, яка є графіком рівняння у = ах 2.
Обов'язковою результатом вивчення даного пункту слід вважати вміння формулювати твердження про те, що являє собою графік функцій у = ах 2, зображувати цей графік схематично для а>   0 і а <   0 і будувати його по точках для конкретного значення а. Вільне володіння цими опорними знаннями необхідно для засвоєння подальшого матеріалу. Школярі повинні знати ще й про симетрії графіків функцій у = ах 2 щодо осі х при протилежних значеннях а, і про зміну «крутизни» параболи при зміні а.
У наступному пункті «Зрушення графіка функції вздовж осей координат »розглядається зсув функції . Спочатку будується графік функції , А потім цей графік зсувається (вгору, вниз, вправо, вліво) і визначається, яку функції задає цей графік. Потім робляться висновки:
1. Щоб побудувати графік функції , Потрібно перенести параболу вздовж осі у на q одиниць вгору, якщо q> 0, або на одиниць, якщо q <0. При цьому вершина параболи опиниться в точці
2. Щоб побудувати графік функції , Потрібно перенести параболу вздовж осі х на р одиниць вліво, якщо р> 0, або на одиниць вправо, якщо р <0, при цьому вершина параболи опиниться в точці .
Ці формулювання учні запам'ятовувати не зобов'язані. Розуміння суті питання краще перевірити при виконанні конкретних завдань.
Після цього розглядається кілька прикладів, а потім робиться висновок про те, як побудувати графік функції (З графіка функції за допомогою паралельних переносів вздовж осей абсцис та ординат в залежності від знаку чисел q і р).
Система вправ.
Більша частина вправ націлена не тільки на відпрацювання навичок побудови графіків функцій виду у = ах 2   +   q і в = а (х + р) 2, але і на вміння розпізнавати тип формули, а також використовувати графічні міркування для дослідження властивостей функцій. Крім того, є вправи на побудову графіків функцій виду у = а (х + р) 2   +   q і y = ax 2   +   + с. Збільшувати кількість вправ такого типу недоцільно, відпрацювання відповідних умінь тут не передбачається (більше того, з основною масою учнів це навряд чи можливо). Також у цьому пункті міститися задачі з параметром (в деяких завданнях параметр присутній неявно); завдання, які передбачають перенесення прийомів побудови графіків за допомогою зрушень уздовж осей на функції інших видів; побудова графіків кусково-заданих функцій.

Коментарі до деяких вправ:
№ 215. Побудуйте графік функції:

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

Для кожної функції вкажіть проміжок зростання і проміжок убування, а також найбільше (або найменше) значення.
Зазначення. Корисно спочатку зобразити графік схематично. (У подальшому учні будуть робити це в думках, що є дуже важливим умінням, «організуючим» діяльність з побудови графіка і попереджає помилки.)
№ 219. З наведеного списку функцій

;
;
;
;
;
.

виберіть ті, які:
а) приймають тільки позитивні значення (вкажіть найменше значення функції);
б) приймають тільки негативні значення (вкажіть найбільше значення функції).
Зазначення. Вправа варто виконувати, спираючись на схематичний графік.
№ 233. Параболу у = х 2 зрушили на кілька одиниць вздовж осі х так, що вона пройшла через точку М. Запишіть формулу, що відповідає новій параболі, якщо точка М має координати:

а) х = 0, у = 4;
б) , У = 4.

Скільки рішень має задача в кожному випадку?
Зазначення. Оскільки нова парабола отримана в результаті зсуву вздовж осі х параболи у = х 2, то вона може бути задана формулою виду у = (х + р) 2. Підставивши в цю формулу координати точки М і вирішивши вийшло рівняння, знайдемо значення р . У кожному випадку завдання має два рішення. Результат корисно проілюструвати, побудувавши відповідні графіки.
№ 238. В одній системі координат побудуйте графіки функцій:
а) , , ;
б) , , ;
в) , , .
Зазначення. Передбачається, що учні побачать можливість побудови графіків шляхом зсуву початкового графіка вздовж осей координат.
У результаті вивчення цього пункту учні повинні знати, за допомогою яких зрушень вздовж координатних осей з графіка функції у = ах 2 можна отримати параболу, що задається рівняннями , , , Уміти в конкретних випадках будувати ці параболи або зображати їх схематично (відзначивши вершину, провівши вісь симетрії, показавши напрямок гілок).
У четвертому пункті «Графік функції »Завершується знайомство з квадратичною функцією.
Тут розглядається алгоритм побудови графіка функції . Стверджується, що графік даної функції можна отримати з графіка функції за допомогою паралельних переносів вздовж координатних осей. Що доводиться з допомогою представлення функції у вигляді (На основі конкретного прикладу).
Далі робляться висновки про те, що графік функції - Це така ж парабола, що і парабола , У неї той же напрям гілок, вершиною параболи служить крапка з координатами і , А віссю симетрії - вертикальна пряма .
На закінчення цього пункту розібрані два приклади, в яких надані зразки міркувань. У першому розглядається новий прийом побудови параболи, і з опорою на графік описуються властивості даної квадратичної функції. У другому прикладі розглядається задача фізичного змісту.
Система вправ.
Вправи спрямовані, перш за все, на формування вміння будувати графік функції і читати за графіком її властивості. Є вправа, в якому міститься план побудови графіка. Власне це той же план, яким учні користувалися раніше, але тепер вони по-новому будуть виконувати перший його пункт - знаходження координат вершини параболи. Потрібно також домагатися акуратного креслення параболи (вони часто виходять у учнів «незграбними»). Треба зауважити, що знаходження точок перетину параболи з віссю х не є обов'язковою вимогою при її побудові. У той же час бажано відзначати точку перетину з віссю у (а також симетричну їй точку). Велике місце відводиться завданням прикладного характеру, які надзвичайно важливі з точки зору демонстрації застосовності властивостей квадратичної функції. Крім того, як і в попередніх пунктах, тут є завдання з параметром.
Коментарі до деяких вправ:
№ 247. Графік функції y = f (x) перетинає осі координат в точках А, В і С. Знайдіть невідому координату кожної з цих точок, якщо:
а) ; А (0; ...), У (...; 0), З (...; 0);
б) ; А (0; ...), У (...; 0), З (...; 0);
в) ; А (0; ...), У (...; 0), З (...; 0);
г) ; А (0; ...), У (...; 0), З (...; 0);
Зазначення. Не слід обмежуватися формальними обчисленнями; корисна буде геометрична інтерпретація. Учні повинні зрозуміти, що буквою А позначена точка перетину графіка з віссю у, а буквами В і С - точки перетину з віссю х. В якості додаткового завдання можна запропонувати показати положення цих точок в координатній площині і схематично зобразити параболу (у випадках а), в) і г)).

№ 254. Побудуйте графік функції:

а) ;
б) ;
в) ;
г) .

Зазначення. У правій частині кожного рівняння записано добуток двох лінійних множників; іншими словами, права частина - це квадратний тричлен, розкладений на множники. Тому графіком кожної із заданих функцій є парабола.
Очевидно, що для побудови графіків недоцільно переходити до рівняння виду   і обчислювати координати вершини за формулами. Простіше відзначити точки заходу параболи з віссю х і знайти абсцису вершини як середину відрізка з кінцями в цих точках. Напрямок гілок параболи легко з `ясувати, визначивши (усно) знак коефіцієнта при х 2.
№ 267. (Задача-ісследованіе.) Дослідіть, як впливає на графік зміна одного з коефіцієнтів a, b і з в рівнянні параболи. Для цього:
1) в одній системі координат накресліть параболи   для с = 0, 1, 2, 4 і з = -1; -2; -4;
2) в одній системі координат накресліть параболи для b   = 0, 1, 4, 5 та й b = -1; -4; -5;
3) в одній системі координат накресліть параболи для а = ; 1, 2, 3.
Вказівка: Завдання цікава, але досить трудомістка. Її можна розбити на три самостійні завдання і запропонувати їх різним учням. Результати можна буде обговорити в групах, до яких увійдуть учні, що виконували одне і те ж завдання, а потім, після уточнення висновків, познайомити з ними інших.
У результаті вивчення цього матеріалу учні отримують зручний спосіб знаходження координат вершини параболи: їх можна обчислювати за формулами. Цю формулу учні повинні вивчити напам'ять. У той же час, формулу для обчислення ординати вершини пам'ятати не обов'язково, її можна знайти, підставивши значення відомої абсциси в рівняння параболи.
На цьому розгляд функціональної лінії в основній школі за підручниками математики [36], [35], [34] закінчується.
У цих підручниках функціональна лінія не є провідною. Поняття функції вводиться лише у 8 класі. Для визначення поняття «функція» використовується генетичний підхід, і його введення здійснюється конкретно-індуктивним шляхом. Дослідження конкретних функцій відбувається графічно.
Але треба зауважити, що в кінці кожного розділу цих підручників міститься пункти «Для тих, кому цікаво», в деяких з них міститься матеріал, що стосується функціональної лінії. Тут розглянуті такі теми:
Ø Геометрична інтерпретація нерівностей з двома змінними.
Ø Ціла та дробова частина числа.
Ø Застосування властивостей квадратичної функції під час вирішення завдань.
Ø Графіки рівнянь, що містять модулі.
Ø Графік дробово-лінійної функції.
2.5. Дослідне викладання.
Перед тим, як проводити дослідне викладання, я вивчила відповідну математичну і методичну літературу. Після чого були розроблені і проведені факультативні заняття по темі «Графіки функцій, аналітичний вираз яких містить знак абсолютної величини».
Дослідне викладання здійснювалося у 2003 році в школі № 2 п. Червона Поляна Вятско-Полянського району.
Мною було проведено три факультативних заняття в 9 класі:
1) Графік функції .
2) Графік функції .
3) Графік функції .
Детальний опис цих факультативів міститься у додатку 2.
Мета даного факультативного курсу - підготовка учнів до конкурсних іспитів з математики до навчальних закладів, продовження освіти, підвищення рівня математичної культури.
Факультатив будується як поглиблене вивчення питань, передбачених програмою основного курсу. Поглиблення реалізується на базі навчання методам і прийомам розв'язування математичних завдань, що потребує логічного і операційної культури, що розвивають науково-теоретичне та алгоритмічне мислення учнів.
Тематика завдань не виходить за рамки основного курсу, але рівень їх підвищений, що істотно перевищує обов'язковий.
Дані факультативи складені для, проведення 1 годину в тиждень, в 9 класі, після того, як вивчені лінійна функція, обернена пропорційність квадратична функція, функція, яка містить знак абсолютної величини. Ці факультативи можна проводити і в 8 класі, після вивчення лінійної функції (прибрати з прикладів зворотну пропорційність і квадратичну функцію), потім повернуться до цієї теми після вивчення зворотної пропорційності і в 9 класі після вивчення квадратичної функції, тобто здійснювати концентричне вивчення даної теми.
Заняття проводилися для учнів, які цікавляться математикою, бажаючих отримати нові знання з математики. Хотілося б зауважити, що було нелегко організувати учнів на відвідування факультативів, оскільки факультативні заняття в школі не проводилися. Крім того, учні сильно завантажені навчанням, що теж зіграло негативну роль.
Дана тема давалася учням непросто, виникала плутанина з побудова функцій виду і . Але, незважаючи на це даний факультативний курс викликав інтерес у учнів.

Висновок
Місце вивчення функціональної лінії в підручниках з алгебри 7-9 класів різному. У розглянутих в даній роботі підручниках функціональна лінія не є провідною, за винятком навчального комплекту А.Г. Мордкович. У ньому цієї лінії відводиться чільне місце. Введення поняття «функція» у всіх підручниках здійснюється конкретно-індуктивним шляхом, при використанні генетичного підходу. Для дослідження конкретних функцій у більшості підручників застосовується комбінований метод.
У навчальному комплекті [36], [35], [34] теоретичний матеріал викладено досить цікаво, міститься багато фактів з історії математики. Але в цих підручниках міститься багато відомостей, які наведені без доказів, хоча є і багато задач на доказ.
Хотілося б відзначити, що в цих підручниках формулювання завдань цікаві, різноманітні і в них простежується практична спрямованість і зв'язок з іншими науками (наприклад, фізикою і геометрією). Багато уваги приділено обчислювальної культури учнів, забезпечена рівнева диференціація в навчанні.
У підручниках [36], [35], [34] функціональна лінія не є провідною. Поняття функції вводиться лише у 8 класі. Для визначення поняття «функція» використовується генетичний підхід, і його введення здійснюється конкретно-індуктивним шляхом. Дослідження конкретних функцій відбувається графічно.
Мета, з якою проводилося дослідження, досягнута: була проаналізована функціональна лінія в курсі алгебри 7 - 9 класів і розроблені методичні рекомендації з вивчення даної теми з навчального комплекту під редакцією Г.В. Дорофєєва.
У ході дослідження були вирішені такі завдання:
1) Проаналізовано математична, навчально-методична та психолого-педагогічна література, виконаний аналіз шкільної програми з математики.
2) Розроблена методика вивчення функціональної лінії в курсі алгебри 7-9 класів.
3) Виявлено роль і місце функціональної лінії в різних навчальних комплектах з математики для 7-9 класів.
4) Виявлено особливості підручників [36], [35], [34].
5) Складено уроки з теми «Лінійна функція, її властивості і графік».
6) Показано можливість розвитку функціональної лінії на позакласній роботі (було складено 3 факультативних заняття).
7) Було проведено дослідне викладання з метою апробації розробленої методики.

Список літератури
1. Алгебра. 7 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофєєв. - М.: Дрофа, 1999.
2. Алгебра. 7 клас: У двох частинах. Ч. 1: Підручник для загаль. установ / О.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2000.
3. Алгебра. 7 клас: Підручник для загаль. установ / С.М. Нікольський, М.К. Потапов і др. - М.: Просвещение, 2001.
4. Алгебра. 8 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофєєв. - М.: Дрофа, 2001.
5. Алгебра. 8 клас: У двох частинах. Ч. 1: Підручник для загаль. установ / О.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2000.
6. Алгебра. 8 клас: Підручник для загаль. установ / С.М. Нікольський, М.К. Потапов і др. - М.: Просвещение, 2000.
7. Алгебра. 9 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофєєв. - М.: Дрофа, 1999.
8. Алгебра. 9 клас: У двох частинах. Ч. 1: Підручник для загаль. установ / О.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2000.
9. Алгебра. 9 клас: Підручник для загаль. установ / С.М. Нікольський, М.К. Потапов і др. - М.: Просвещение, 2001.
10. Алгебра. Учеб. для 7 класу середньої школи / Ю.М. Макаричєв, Н.Г. Міндюк та ін; під ред. Теляковського. - М.: Просвещение, 1999.
11. Алгебра. Учеб. для 7 класу середньої школи / Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін и др. - М.: Просвещение, 2000.
12. Алгебра. Учеб. для 8 класу середньої школи / Ю.М. Макаричєв, Н.Г. Міндюк та ін; під ред. Теляковського. - М.: Просвещение, 1999.
13. Алгебра. Учеб. для 8 класу середньої школи / Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін и др. - М.: Просвещение, 2001.
14. Алгебра. Учеб. для 9 класу середньої школи / Ю.М. Макаричєв, Н.Г. Міндюк та ін; під ред. Теляковського. - М.: Просвещение, 2000.
15. Алгебра. Учеб. для 9 класу середньої школи / Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін и др. - М.: Просвещение, 2001.
16. Гайдуков І.І. «Абсолютна величина». - М.: Просвещение, 1968.
17. Гончаров В.А. Арифметичні вправи і функціональна пропедевтика в середніх класах школи / / Математика в школі. - 1996. - № 3. - С. 7-14.
18. Для тих, хто працює за підручниками Г.В. Дорофеєва і І.Ф. Шаригіна / / Математика. - 1999. - № 15. - С. 2-8.
19. Дорофєєв Г.В. та ін Про підручнику «Алгебра і початки аналізу» для профільного курсу математики в X класі / / Математика в школі. - 2003. - № 10. - С. 38-43.
20. Євстаф'єва Л.П., Карпо А.П. Математика 8 клас: Дидактичні матеріали до підручника «Математика 8. Алгебра. Опції. Аналіз даних »під ред. Г.В. Дорофєєва. - 2-е вид., Стереотип. - М.: Дрофа, 2000.
21. Карпо А.П. Євстаф'єва Л.П., Математика: 7 клас: Дидактичні матеріали до підручника «Математика 7. Алгебра. Арифметика. Аналіз даних »під ред. Г.В. Дорофєєва. - М.: Дрофа, 1999.
22. Карпо А.П. Євстаф'єва Л.П., Математика: 7 клас: Робочий зошит до підручника «Математика 7. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних »під ред. Г.В. Дорофєєва. - М.: Дрофа, 1999.
23. Козлова Г.М. З досвіду викладання за навчальним комплекту «Математика 5» / / Математика в школі. - 2002. - № 3. - С. 49 - 52.
24. Колганов І.Л. Застосування лінійної функції до вирішення завдань оптимізації / / Математика в школі. - 2000. - № 5. - С. 62 - 64.
25. Колягін Ю.М., Луканкін Г.Л., Норкушін Є.Л. та ін Методика викладання математики в середній школі: Приватні методики. Учеб. посібник для студентів фіз.-мат. фак. пед. ін-ів. - М.: Просвещение, 1977.
26. Кузнєцова Л.В. та ін Методичні матеріали до нового підручника для IX класу / / Математика в школі. - 2000. - № 6. - С. 27-33.
27. Кузнєцова Л.В. та ін Методичні матеріали до нового підручника / / Математика в школі. - 1997. - № 3. - С. 34 - 39.
28. Кузнєцова Л.В. та ін Тематичний і підсумковий контроль у VII - IX класах за підручниками за редакцією Г.В. Дорофєєва / / Математика в школі. - 2002. - № 5. - С. 17-25.
29. Кузнєцова Л.В. та ін Тематичний і підсумковий контроль у VII - IX класах за підручниками за редакцією Г.В. Дорофєєва / / Математика в школі. - 2002. - № 9. - С. 33-38.
30. Кузнєцова Л.В., Ковальова Г.І. Методичні вказівки до теми «Функції» / / Математика в школі. - 2002. - № 3. - С. 31 - 41.
31. Кузьмін М.К. Побудова графіка функції / / Математика в школі. - 2003. - № 5. - С. 61-62.
32. Лейкина Т. Кілька зауважень по роботі з підручником «Математика 7» під ред. Г.В. Дорофєєва / / Математика. - 1999. - № 38. - С. 23-25, 27.
33. Математика. 6 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна. - М.: Дрофа, 1998.
34. Математика. Алгебра. Опції. 9 Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва. - М.: Дрофа, 2000.
35. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 8 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва. - М.: Дрофа, 1999.
36. Математика. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних. 7 клас: Учеб. для загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва. - М.: Дрофа, 1997.
37. Математика: Учеб. для 5 класу загальноосвітніх навч. закладів / Г.В. Дорофєєв, С.Б. Суворова та ін; під ред. Г.В. Дорофєєва, І.Ф. Шаригіна. - М.: Просвещение, 2000.
38. Методика викладання математики в середній школі. Загальна методика. Учеб. посібник для студентів пед. ін-ів. А.Я. Блох, Є.С. Канін, Н.Г. Килина та ін; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр - М.: Просвещение, 1985.
39. Методика викладання математики в середній школі: Приватна методика. Учеб. посібник для студентів. пед. ін-ів з фіз.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусєв, Г.В. Дорофєєв і ін; Сост. В.І. Мішин. - М.: Просвещение, 1987.
40. Мінаєва С.С., Рослова Л.О. Математика. 8: Робоча зошит до підручника під ред. Г.В. Дорофеєва і І.В. Шаригіна «Математика 8. Алгебра. Опції. Аналіз даних ». - М.: Дрофа, 2000.
41. Моторина Л.І. Урок за темою «Функція та її графік »/ / Математика в школі. - 1998. - № 5. - С. 24-27.
42. Перші уроки з навчального комплекту «Математика 5-8» під ред. Г.В. Дорофеєва і І.Ф. Шаригіна / / Математика. - 1999. - № 27. - С. 9-14.
43. Програми для загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв: Математика. 5-11 кл. / Укл. Г.М. Кузнєцова, Н.Г. Міндюк. - М.: Дрофа, 2002. 320с.
44. Суворова С.Б., Кузнєцова Л.В., Мінаєв С.С. Методичні матеріали до нового підручника / / Математика в школі. - 1998. - № 4. - С. 28 - 37.
45. Суворова С.Б., Тернопіль О.М. Методичні вказівки до теми «Квадратична функція» / / Математика в школі. - 2002. - № 9. - С. 12-28.
46. ​​Факультативні заняття з математики у школі: Методичні рекомендації / Укл. М.Г. Лускин, В.І. Зубарєва. - К.: ВДПУ, 1995.

Додаток 1
Урок № 1
Тема: Лінійна функція її графік.
Цілі уроку:
1. Освітні:
Ø повторити визначення функції, способи завдання функції;
Ø познайомитися з лінійною функцією, як з математичною моделлю, яка описує різноманітні залежності між реальними величинами;
Ø навчити будувати графік лінійної функції.
2. Виховні:
Ø забезпечити інтерес учнів шляхом акцентування елементу новизни: учні знайомляться з новою закономірністю, яка описує різноманітні залежності між реальними величинами;
Ø стимулювати інтерес учнів до математики шляхом дослідження;
Ø виховання уважності і акуратності через побудову графіка лінійної функції.
3. Розвиваючі:
Ø формувати у школярів прийом узагальнення при введенні поняття "функція";
Ø показати на прикладі особливості проведення дослідження - виявлення закономірностей і висунення гіпотез;
Ø показати зв'язок математики з фізикою;
Ø формувати вміння порівняти наявну формулу із загальною формулою лінійної функції;
Ø закріпити обчислювальні навички при заповненні таблиці.
Ø розвиток математичної мови (стислість, точність, лаконічність).
Обладнання: [10], [35].
Опис уроку:
Введення поняття лінійної функції можна мотивувати розглядом кількох прикладів (бажано, щоб серед цих прикладів містилися такі, в яких коефіцієнти k і b негативні або дорівнювати нулю).
Приклад 1: Якщо тіло рухається з постійним прискоренням 0,2 см / сек 2, а його початкова швидкість дорівнювала 4 м / сек, то залежність швидкості руху vсм / сек) від часу руху tсек) виражається формулою v = 4 + 0,2 t.
Приклад 2: Учень купив зошити по 10 р.. за штуку і ручку за 5 р. Задайте формулою залежність вартості покупки від числа зошитів.
Учні повинні отримати формулу у = 10 х + 5.
Приклад 3: У повному баку легкового автомобіля 30 л. бензину. На кожний кілометр шляху в середньому витрачається 0,1 л. Кількість літрів бензину r, яке залишиться в баку після s км шляху, виражається формулою .
Приклад 4: Поїзд рухається з Москви до Санкт-Петербург зі швидкістю 120 км / год. який шлях пройде поїзд за t годин?
Учні повинні отримати формулу в = 120 t.
Після розгляду цих прикладів вчитель повинен звернути увагу учнів на те, що отримані в цих прикладах формули за структурою однакові, а відрізняються лише літерами і числовими коефіцієнтами, тобто величини різної природи фактично пов'язані між собою однією і тією ж залежністю. Можна запропонувати учням самим зробити цей висновок. Далі потрібно зробити висновок, що ці, а також багато інших процеси описуються лінійною функцією, яка є їхньою спільною математичної моделлю. Після цих висновків вводиться визначення лінійної функції: функція, яку можна задати формулою виду , Де k і b - деякі числа, називається лінійною. Після введення визначення перевірити, що ця формула дійсно задає функцію, тобто треба перевірити однозначність операцій.
Необхідно звернути увагу учнів на те, що коефіцієнти k і b можуть бути, як позитивними, так і негативними (приклад 3). Так само ці коефіцієнти можуть бути нульовими (приклад 4), в цьому випадку лінійна функція носить особливу назву. Якщо b = 0, то формула приймає вигляд і називається прямий пропорційністю, а якщо k = 0, то і лінійна функція називається постійною.
Після цього можна перейти до вправ на відпрацювання поняття «лінійна функція».
1. Встановіть, чи задає формула лінійну функцію, і назвіть, чому дорівнюють коефіцієнти k і b:

a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) ;
m) ;
n) .

2. (№ 293, [10]). Довжина прямокутника х см, а ширина на 3 см менше. Задайте формулами залежність периметра прямокутника від його довжини і залежність площі прямокутника від довжини. Яка з цих залежностей є лінійною функцією?
Потім можна перейти до вправ на виведення первинних наслідків. У даному випадку - це вправи на конструювання лінійної функції.
Задайте лінійну функцію, якщо відомі коефіцієнти k і b:

a) k = 5, b = 1;
b) k = -2,5, b = 0;
c) k = 10, b = -4,3;
d) k = -5, b = -11;
e) k = 0; b = 6,2;
f) k = -4,1; b = 15.

Після цього можна розібрати вправу, в якому за відомим аргументу треба знайти значення функції і навпаки за відомим значенням функції знайти аргумент:
№ 756 ([35]). Дана лінійна функція .
а) Знайдіть , , , ; .
б) Знайдіть значення х, при якому , , , .
Потім розглядається питання про графік лінійної функції. Тут можна запропонувати побудувати декілька графіків (коефіцієнти k і b мають бути, і позитивними, і негативними, і рівними нулю) і зробити висновок, що графіком лінійної функції є пряма. Звернути увагу учнів на те, що для побудови графіка лінійної функції досить знати дві точки. Це можна пов'язати з геометрією: через дві точки можна провести пряму і при тому тільки одну.
Побудувати два або три графіка прямої пропорційності.
Приклад 5: Побудувати графіки функцій , і .
Зробити висновки, що графік прямої пропорційності проходить через початок координат і що графік функції можна отримати з графіка функції за допомогою паралельного перенесення.
Аналогічно побудувати декілька графіків постійних функцій і зробити висновок, що графік постійної функції паралельний осі х.
Потім розібрати кілька прикладів на побудову графіка лінійної функції:
1. (№ 759 [35]). Побудуйте графік функції:
а) , Де ;
г) , Де .
2. (№ 324, [10]). Побудуйте графік прямої пропорційності у = 2 х. Знайдіть значення за допомогою графіка:
a) яке значення приймає функція при х, що дорівнює 2 2,5; 3; 4;
b) при якому х значення функції дорівнює 7.
На закінчення уроку можна розглянути прикладне значення лінійної функції: застосування лінійної функції у фізиці. Багато фізичні процеси описуються за допомогою лінійної функції, наприклад, при равнопеременном русі швидкість є лінійною функцією часу: v = v 0 + at.
Для домашнього рішення можна запропонувати наступні вправи:
1. (№ 757, [35]). Знайдіть значення лінійної функції при вказаних значеннях аргументу і заповніть таблицю:
x
-2,5
-1
0
1,5
8
10
f (x)
2. (№ 759, [35]). Побудуйте графік функції:
б) , Де ;
в) , Де .
3. (№ 762, [35]). У вас є 10 р., І є два способи збільшити цю суму: щодня додавати до неї 5 р. або щодня додавати до неї 2 р. Складіть для кожного випадку формулу залежності наявної суми грошей у від кількості днів х. В якому випадку сума буде збільшуватися швидше?
Урок № 2
Тема: Властивості лінійної функції.
Цілі уроку:
1. Освітні:
Ø повторити визначення лінійної функції;
Ø згадати властивості функцій, відомі учням до цього часу;
Ø вивчити властивості лінійної функції;
Ø навчитися читати властивості лінійної функції за графіком;
Ø навчитися співвідносити графік функції з даною формулою.
2. Виховні:
Ø стимулювати інтерес до математики через вирішення завдань, пов'язаних з життєвими ситуаціями;
Ø виховання наполегливості, працьовитості через рішення складних завдань.
3. Розвиваючі:
Ø показати зв'язок математики з статистикою;
Ø вчитися досліджувати функцію за її графіком (відкрити залежність між коефіцієнтами лінійної функції та її властивостями: зростанням та убуванням);
Ø розвивати в учнів математичну мову.
Обладнання: [10], [35].
Опис уроку:
Перш, ніж формулювати властивості, потрібно побудувати декілька графіків лінійної функції. Можна розглянути наступні властивості: область визначення, область значень, зростання і спадання функції. Учні повинні спробувати самостійно сформулювати ці властивості.
1) Область визначення лінійної функції - це будь-яке дійсне число, тобто проміжок .
2) Безліч значень лінійної функції - це всі значення, які приймає залежна змінна.
3) Якщо k> 0, то лінійна функція є зростаючою, якщо k <0, то лінійна функція є спадною.
Точки перетину з осями координат і проміжки знакопостоянства доцільніше знаходити на конкретному прикладі. Не варто витрачати час на виведення цих формул з формули .
У сильних класах можна звернути увагу учнів на те, що лінійна функція використовується в статистиці, а саме там використовується ідея лінійної апроксимації (наближення).
Для закріплення вивченого матеріалу доцільно розглянути наступні вправи:
1. Знайдіть нулі функції і проміжки знакопостоянства:

a) ;
b) .

2. (№ 758, [4]). Побудуйте графік лінійної функції. У кожному разі, вкажіть: 1) зростаючій чи спадної є функція; 2) при яких значеннях х значення функції рівні 0; більше 0; менше 0.

а) ;
б) ;
в) .

3.
I
II
IV
III
у
х
1
(№ 760, [35]). На малюнку 1 зображено графіки лінійних функцій. Зіставте кожну з них з однією з формул: , , , .
4. (№ 766, [35]). На якому з малюнків (мал. 2) зображено графік руху пішохода, який йшов з постійною швидкістю? Знайдіть швидкість руху цього пішохода. Рис. 1

Рис. 2
5. (№ 763, [35]). Андрій планує попрацювати під час літніх канікул, і у нього є дві можливості. На роботі А він буде отримувати 20 р. на день. На роботі В он в перший отримає 10 р., А потім щодня отримуватиме 20 р. Який варіант вигідніший? Складіть формулу залежності отриманої суми грошей у від числа робочих днів х для варіантів А і В. В одній системі координат побудуйте прямі, яким належать точки графіка кожної з функцій, і відмітьте ці точки для . Чи існує значення x, у яких значення у рівні?
Для домашнього рішення можна запропонувати наступні вправи:
1. (№ 755, [35]). Микола заробив в канікули 200 р.., Працюючи на пошті. Він витрачає ці гроші в середньому по 5 р., В день. Запишіть формулу, яка має залежність залишилася у нього суми грошей у від числа минулих днів х. поясніть, чому ця функція є лінійною. Вкажіть область визначення функції. Зростаючій чи спадної є функція? Знайдіть значення функції при х = 1; 10; 25. в кожному разі поясніть з точки зору умови, що ви знаходите.
2. (№ 758, [35]). Побудуйте графік лінійної функції. У кожному разі, вкажіть: 1) зростаючій чи спадної є функція; 2) при яких значеннях х значення функції рівні 0; більше 0; менше 0.

г) ;
д) ;
е) .

3. (№ 755, [35]). Сума кутів опуклого багатокутника, має п сторін, обчислюється за формулою М = 180 ° п - 360 °. Поясніть, чому ця функція є лінійною. Вкажіть область визначення функції. Зростаючій чи спадної є функція? Знайдіть суму кутів опуклого багатокутника при п = 3; 4; 10.
На наступних уроках вирішити вправи на закріплення вивченого матеріалу. У сильних класах можна взяти завдання на лінійну апроксимацію.

Додаток 2
Розвивати функціональну лінію можна і на факультативних заняттях. У багатьох школах функція, яка містить знак абсолютної величини не вивчається, а якщо й вивчається, то недостатньо добре. Тому мета цих факультативів полягає у вивченні функції, яка містить знак абсолютної величини більш детально.
Факультатив 1.
Тема факультативного заняття: Графік функції .
Опис заняття:
Необхідно пояснити учням, що графік функції симетричний щодо координатної осі Оу. Тому досить побудувати графік функції для , А потім добудувати його ліву частину, симетричну правою щодо осі ординат.
Якщо графіком функції , Є крива, зображена на рис. 1, то графіком функції буде крива, зображена на рис. 2.
Рис. 1 Рис. 2
Після цього вчитель розбирає три приклади на дошці.
Приклад 1. Побудувати графік функції .
а) Будуємо графік функції для .
б) Будуємо для частина графіка, симетричну побудованої щодо осі ординат.
Приклад 2. Побудувати графік функції .
а) Будуємо графік функції для .
б) добудовуємо для частина графіка, симетричну побудованої щодо осі ординат.
Приклад 3. Побудувати графік функції .
Зауважимо, що .
а) Для будуємо графік функції . Відомо, що це парабола, звернена гілками вгору. Вісь ординат вона перетинає в точці (0; -3). Вісь абсцис перетинає в точках (- 2; 0) і (6; 0). Вершина параболи знаходиться в точці (2; - 4).
б) добудовуємо для частина графіка, симетричну побудованої щодо осі ординат.
Далі можна помітити, що для побудови графіка функції можна застосувати інший спосіб. За визначенням абсолютної величини числа, дану функцію можна представити сукупністю двох функцій:
Отже, можна будувати графіки самостійно на правій і лівій півплощині.
Потім можна запропонувати учням вирішити самостійно наступні приклади (але з подальшим розбором).
Побудувати графіки функцій.

1. .
2. .
3. .
4. .

Домашнє завдання:
Побудувати графіки функцій:

1. .
2. .
3. .
4. .

Факультатив 2.
Тема факультативного заняття: Графік функції .
Опис заняття:
Заняття можна почати з перевірки домашнього завдання, а потім перейти до вивчення нової теми.
Під абсолютною величиною функції (Тобто під записом ) Прийнято розуміти функцію вида:

Звідси випливає практичне правило побудови графіка функції .
а) Будуємо графік функції .
б) На ділянках, де графік розташований в нижній півплощині, будуємо криві, симетричні побудованим щодо осі абсцис. Значить, на проміжках , (B; c), (d; + ∞) графік функції залишається без змін, а на проміжках (a; b) і (c; d) графік знизу перетворюється вгору симетрично осі абсцис.
Після вивчення нової теми вчитель розглядає два приклади.
Приклад 1. Побудувати графік функції .
а) Будуємо графік функції .
б) Графік нижній півплощині перетворюємо вгору симетрично осі абсцис.
Приклад 2. Побудувати графік функції .
а) Будуємо графік функції . Графіком цієї функції буде парабола, що перетинає осі координат в точках (0; - 6), і (3; 0), що має вершину в точці і звернена гілками вгору.
На ділянці, де , Креслимо графік пунктиром.
б) симетричний пунктирною кривою щодо осі абсцис добудовуємо лінію графіка даної функції.
Після цього учням пропонується вирішити самостійно наступні приклади, але з подальшим розбором.
Побудувати графіки функцій.

1. .
2. .
3. .

Домашнє завдання:
Побудувати графіки функцій:
1. . 2. . 3. .
Факультатив 3.
Тема факультативного заняття: Графік функції .
Опис заняття:
Заняття можна почати з перевірки домашнього завдання, а потім перейти до вивчення нової теми.
Графік цієї функції може бути побудований в наступному порядку:
а) Будуємо графік функції для .
б) Будуємо графік функції для (Або будуємо криву графіка, симетричну побудованої щодо осі ординат, так як дана функція парна).
в) Ділянки графіка, розташовані в нижній півплощині, перетворюємо на верхню полуплоскость симетрично осі абсцис.
Потім розібрати приклад.
Приклад: Побудувати графік функції .
а) Будуємо графік функції при .
а)
б)
в)
б) Будуємо графік функції .
в) Будуємо графік функції .
Після цього запропонувати учням самостійно вирішити наступні приклади з подальшим розбором на дошці.
Побудувати графіки функцій.
1. . 2. . 3. .
Домашнє завдання:
Побудувати графіки функцій:
1. . 2. . 3. .
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
332.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 9 липня класів на прикладі підручників з алгебри під ред
Вивчення функцій та їх графіків на елективної курсі з алгебри у 9 класі
Навчання рішенню завдань на відсотки в курсі алгебри основної школи
Методика викладання теми Тригонометричні функції в курсі алгебри і початків аналізу
Фізичні моделі при вивченні інтеграла в курсі алгебри і початків аналізу в 10-11 класах
Фізичні моделі при вивченні інтеграла в курсі алгебри і початків аналізу в 10 11 класах
-Алгебри та їх застосування
Основна теорема алгебри
Абелеві універсальні алгебри
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru