Розвиток математики
Введення
"Математика розум до ладу приводить"М. Ломоносов
Історія розвитку математики - це не тільки історія розвитку математичних ідей, понять і напрямків, але це й історія взаємозв'язку математики з людською діяльністю, соціально-економічними умовами різних епох.
Становлення і розвиток математики як науки, виникнення її нових розділів тісно пов'язане з розвитком потреб суспільства у вимірах, контролі, особливо в областях аграрної, промислової та оподаткування. Перші області застосування математики були пов'язані зі спогляданням зірок і землеробством. Вивчення зоряного неба дозволило прокласти торгові морські шляхи, караванні дороги в нові райони і різко збільшити ефект торгівлі між державами. Обмін товарами приводив до обміну культурними цінностями, до розвитку толерантності як явища, що лежить в основі мирного співіснування різних рас і народів. Поняття числа завжди супроводжувалося і нечисловими поняттями. Наприклад, один, два, багато ... Ці нечислові поняття завжди захищали сферу математики. Математика надавала закінчений вигляд всіх наук, де вона застосовувалася. У Європі склалося поділ на гуманітарні та природничі науки за ступенем впливу математики на ці частини.
1. ПЕРІОД Елементарна математика
Наші початкові уявлення про число і формі належать до дуже віддаленої епохи стародавнього кам'яного віку. Числові терміни повільно входили у вжиток рибалок, мисливців, а потім землевласників і торговців.З дійшли до нас математичних документів Сходу можна зробити висновок, що в Древньому Єгипті були сильні розвинені галузі математики, пов'язані з вирішенням економічних завдань. Папірус Райнда (бл. 2000 р. до н.е.) починався з обіцянки навчити "зробленому й обгрунтованому дослідженню всіх речей, розумінню їхніх сутностей, пізнанню всіх таємниць".
Фактично викладається мистецтво обчислення з цілими числами і дробами, в яке присвячувалися державні чиновники для того, щоб уміти вирішувати широке коло практичних задач, таких, як розподіл заробітної плати між відомим числом робочих, обчислення кількості зерна для приготування такого-то кількості хліба, обчислення поверхонь і обсягів і т.д. Далі рівнянь першого ступеня і найпростіших квадратних рівнянь єгиптяни, мабуть, не пішли. Весь зміст відомої нам єгипетської математики переконливо свідчить, що математичні знання єгиптян призначалися для задоволення конкретних потреб матеріального виробництва.
Єгиптяни користувалися двома системами письма. Одна - ієрогліфічна - зустрічається на пам'ятниках і могильних плитах, кожен символ зображує який-небудь предмет. В іншій системі - ієратичне - використовувалися умовні знаки, які сталися з ієрогліфів в результаті спрощень і стилізацій. Саме ця система частіше зустрічається на папірусах.
Ієрогліфічна система числення має підставу 10 і не є позиційною: для позначення чисел 1, 10, 100 і т.д. в ній використовується різні символи, кожен символ повторюється певну кількість разів, і, щоб прочитати число, потрібно підсумувати значення всіх символів, що входять до його запис. Таким чином, їх порядок не грає ролі, і вони записуються або горизонтально, або вертикально.
Ієратичне система числення також десяткова, але спеціальні додаткові символи допомагають уникнути повторення, прийнятого в ієрогліфічній системі.
Математика Вавилона, як і єгипетська, була викликана до життя потребами виробничої діяльності, оскільки вирішувалися задачі, пов'язані з потребами зрошення, будівництва, господарського обліку, відношеннями власності, численням часу. Зберігся документи показують, що, базуючись на 60-річної системі числення, вавілоняни могли виконувати чотири арифметичних дії, існували таблиці квадратних коренів, кубів кубічних коренів, сум квадратів і кубів, ступенів даного числа, були відомі правила підсумовування прогресій. Чудові результати були отримані в області чисельної алгебри. Рішення задач проводилося за планом, задачі зводилися до єдиного «нормального" виду і потім вирішувалися за загальними правилами. Зустрічалися задачі, що зводяться до рішення рівнянь третього ступеня й особливих видів рівнянь четвертого, п'ятого і шостого ступенів.
Вавилонська система числення є комбінацією шестидесятеричной і десяткової систем із застосуванням позиційного принципу; в ній використовуються лише два різних символу: один позначає одиницю, другий - число 10; всі числа записуються за допомогою цих двох символів з урахуванням позиційного принципу. У самих древніх текстах (близько 1700 р. до н.е.) не зустрічається жодного символу для позначення нуля; таким чином, чисельне значення, яке надавалося символу, залежало від умов завдання, і один і той же символ міг позначати 1, 60, 3600 або навіть 1 / 60, 1 / 3600
Греки на протязі одного-двох сторіччя зуміли опанувати математичною спадщиною попередників, але вони не задовольнялися засвоєнням знань; греки створили абстрактну і дедуктивну математику. Вони були, перш за все, геометрами, імена яких і навіть твори дійшли до нас. Це Фалес Мілетський, школа Піфагора, Гіппократ хіоського, Демокріт, Евдокс, Аристотель, Евклід, Архімед, Аполон.
Мілетська школа, що заклала основи математики як доказової науки - одна з перших античних математичних шкіл. Вона існувала в Іонії наприкінці V-IV ст. до н.е; основними діячами її були Фалес (ок.624-547 рр.. до н.е.), Анаксимандр (бл. 610-546 рр.. до н.е.) і Анаксимен (ок.585-525 рр.. до н.е.).
Основоположником Пифагорийский школи був Піфагор Самоський (580-500 до н.е.).
Головною заслугою піфагорійців в галузі науки є істотний розвиток математики, як за змістом, так і за формою. За змістом - відкриття нових математичних фактів. За формою - побудова геометрії та арифметики як теоретичних, доказових наук, які вивчають властивості абстрактних понять про числа і геометричних формах.
Дедуктивне побудова геометрії стало потужним стимулом її подальшого зростання.
Піфагорійці розвинули і обгрунтували планиметрию прямолінійних фігур: вчення про паралельні лінії, трикутники, чотирикутники, правильних багатокутниках. Отримала розвиток елементарна теорія кола і круга.
Наявність у піфагорійців вчення про паралельні лінії говорить про те, що вони володіли методом докази від протилежного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців в планіметрії є доказ теореми Піфагора.
Числа в піфагорійців виступають основними універсальними об'єктами, до яких передбачалося зводити не тільки математичні побудови, але і все різноманіття дійсності. Фізичні, етичні, соціальні і релігійні поняття одержали математичне фарбування. Науці про числа й інші математичні об'єкти приділяється основне місце в системі світогляду, тобто фактично математика об'являється філософією.
Хоч як великі заслуги піфагорійців у розвитку змісту та систематизації геометрії та арифметики, проте всі вони не можуть зрівнятися із зробленим ними ж відкриттям несумірних величин. Це відкриття стало поворотним пунктом в історії античної математики.
Елейський школа - це одна з найдавніших шкіл, у працях якої математика і філософія достатньо тісно і різнобічно взаємодіють. Основними представниками елейської школи вважають Парменіда (кінець VI - V ст. До н.е.) і Зенона (перша половина V ст. До н.е.).
У силу тісного взаємозв'язку загальних філософських уявлень із фундаментальними математичними положеннями удар, нанесений Зеноном по філософських поглядах, істотно торкнувся системи математичних знань. Цілий ряд найважливіших математичних побудов, що вважалися до цього, безсумнівно, істинними, у світлі зеноновскіх побудов виглядали як суперечливі.
Значно складніше було побудувати систему фундаментальних положень математики, в якій би виявлені Зеноном протиріччя не мали б місця. Це завдання вирішив грецький математик Демокріт, розробивши концепцію математичного атомізму. Керуючись положеннями математичного атомізму, Демокріт проводить ряд конкретних математичних досліджень і досягає видатних результатів (наприклад, теорія математичної перспективи і проекції). Видає досягненням Демокріта в математиці явилася також його ідея про побудову теоретичної математики як системи. У зародковій формі вона являє собою ідею аксіоматичної побудови математики, що потім була розвита в методологічному плані Платоном і одержала логічно розгорнуте положення в Аристотеля.
За допомогою математичних відносин Платон намагався охарактеризувати деякі явища суспільного життя. Платон істотно спирався на математику при розробці основних розділів своєї філософії: у концепції "пізнання - пригадування", навчанні про сутність матеріального буття, про устрій космосу, у трактуванні соціальних явищ і т.д. Математика зіграла значну роль у конструктивному оформленні його філософської системи.
Найбільший філософ давнини Аристотель (384-322 рр. до н. Е.) в математиці, по - видимому не проводив конкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були піддані їм глибокому філософському аналізу, що послужило методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків. До часів Аристотеля теоретична математика досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання про необхідність впорядкування самого знання, про засоби засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основні розділи: «освіченість» і «наукове знання справи».
Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу в якості ілюстрацій загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.
В Аристотеля чітко сформульовані логічні принципи дедуктивного побудови математичної дисципліни. Щоб щось доводити, робити логічні висновки, потрібно спиратися на якісь попередні положення, вже доведені раніше. Тому для побудови строгої математичної теорії необхідно перерахувати деякі припущення, на які можна спиратися при доказі.
Ці принципи особливо чітке втілення отримали у великому творінні Евкліда (III ст. До н.е.) «Начала», текст якого дійшов і до нашого часу. На дві тисячі років «Начала» Евкліда стали енциклопедією, місце якого визначається не стільки власними його науковими дослідженнями, скільки педагогічними заслугами. Величезна заслуга Евкліда полягає в тому, що він підвів підсумок побудови геометрії і надав викладу досконалу форму.
З арифметики поступово виростає теорія чисел. Створюється систематичне вчення про величини і вимірі. Процес формування поняття дійсного числа виявляється досить тривалим.
Протягом 5-го, 4-го, 3-го тисячоліть до н.е. нові і більш досконалі форми суспільства складалися на основі злагоду громад, що існували на берегах великих річок Африки і Азії.
Східна математика виникла як прикладна наука, що мала на меті полегшити календарні розрахунки розподілу врожаю і збору податків. На початку головною справою були арифметичні розрахунки і вимірювання. Проте з плином часу з арифметики виросла алгебра, а з вимірів виникли зачатки теоретичної геометрії.
На Сході виникла система, заснована на десятковій системі числення зі спеціальними знаками для кожної десяткової одиниці вищого розряду - системі, яка нам знайома, завдяки римському обчисленню, заснованому на тому ж принципі. Саме на сході визначено значення π.
Протягом останніх сторіч 2-го тисячоліття до н.е. в басейні Середземного моря та прилеглих до нього областях дуже багато що змінилося в політиці. Підсумком був розквіт грецького поліса - самоврядного міста - держави. Саме в цій атмосфері народилася сучасна математика.
Наступним був період Олександрії. Одне з найбільших творів цього періоду стало «Велике зібрання» Птолемея. Там ми знаходимо теорему про чотирикутники, вписаному в коло. У «Сферика» Менелая ми знаходимо теорему про трикутник в узагальненому для сфери вигляді. Але, тим не менш, Олександрійська школа повільно вмирала разом із занепадом античного суспільства.
Найбільш розвиненою частиною римської імперії завжди був схід. Землеробство заходу було екстенсивним, ніколи не мало в своїй основі зрошення і це сприяло астрономічних досліджень. Мало рухлива цивілізація західної римської імперії зберігалася протягом століть.
Протягом перших століть західного феодалізму навіть у монастирях не дуже високо ставлять математику. Там вона зводилася лише до скромної арифметиці церковного призначення.
Італійські купці відвідували схід і знайомилися з його цивілізацією. Вони прагнуть познайомитися з наукою і мистецтвами більш давньої цивілізації, щоб використовувати їх у своїй власній новій системі. А в 12-13 століттях ми бачимо вже зростання банківської справи і зачатки капіталістичної форми виробництва. Одним з учених цього періоду був Леонардо з Пізи (Фібоначчі). Він написав свою «Книгу Абака», заповнену алгебраїчними і арифметичними відомостями, зібраними під час подорожі. У книзі «Практика геометрії» Леонардо розповідає про те, що він відкрив у галузі геометрії і тригонометрії. Інтерес до математики став поширюватися на північні міста. Спочатку це був практичний інтерес, і протягом декількох століть арифметику і алгебру поза університетами викладали майстри, які зазвичай не знали класиків, але зате навчали бухгалтерії та навігації.
Математика розвивалася головним чином у зростаючих торгових містах. Городян цікавив рахунок, арифметика, обчислення. Типовий для цього періоду Йоганн Мюллер, ведуча математична фігура 15-го сторіччя. Він перевів Птолемея, Герона, Архімеда. Він поклав багато праці на обчислення тригонометричних таблиць, склав таблицю синусів з інтервалом в одну хвилину. Значення синусів розглядалися як відрізки, які представляли полухорди відповідних кутів у колі, тому вони залежали від довжини радіуса.
Розвиток аналізу отримало потужний імпульс, коли була написана «Геометрія» Декарта. Вона включила в алгебру всю область класичної геометрії. Декарт створив аналітичну геометрію. Ферма і Паскаль стали засновниками математичної теорії ймовірностей. Поступове формування інтересу до завдань, пов'язаних з вірогідністю, відбувалося передусім під впливом страхової справи.
Період елементарної математики закінчується, коли центр ваги математичних інтересів переноситься в область математики змінних величин. Ще в математиці Стародавнього світу на матеріалі вивчення тригонометричних функцій і при складанні їх таблиць формуються уявлення про функціональну залежності. Таким чином, весь період до 17 ст. залишається періодом елементарної математики.
У цілому ж математика пройшла гігантський шлях у цей період від зародження рахунку на пальцях до найскладніших теорем.
2. ПЕРІОД СТВОРЕННЯ МАТЕМАТИКИ ЗМІННИХ ВЕЛИЧИН. СТВОРЕННЯ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ, Диференціальне і інтегральне числення
У XVII ст. починається новий період історії математики - період математики змінних величин. Його виникнення пов'язане, перш за все, з успіхами астрономії й механіки.Кеплер у 1609-1619 рр.. відкрив і математично сформулював закони руху планет. Галілей до 1638 створив механіку вільного руху тіл, започаткував теорію пружності, застосував математичні методи для вивчення руху, для відшукання закономірностей між шляхом руху, його швидкістю і прискоренням. Ньютон до 1686 р. сформулював закон всесвітнього тяжіння.
Першим рішучим кроком у створенні математики змінних величин була поява книги Декарта «Геометрія». Основними заслугами Декарта перед математикою є введення ним змінної величини і створення аналітичної геометрії. Перш за все, його цікавила геометрія руху, і, застосувавши до дослідження об'єктів алгебраїчні методи, він став творцем аналітичної геометрії.
Аналітична геометрія починалася з введення системи координат. На честь творця прямокутна система координат, що складається з двох пересічних під прямим кутом осей, введених на них масштабів вимірювання і початку відліку - точки перетину цих осей - називається системою координат на площині. У сукупності з третьою віссю вона є прямокутної декартової системою координат у просторі.
До 60-х років XVII ст. були розроблені численні метол для обчислення площ, обмежених різними кривими лініями. Потрібен був тільки один поштовх, щоб з розрізнених прийомів створити єдине інтегральне числення.
Диференціальні методи вирішували основне завдання: знаючи криву лінію, знайти її дотичні. Багато задач практики приводили до постановки оберненої задачі. У процесі виконання завдання з'ясовувалося, що до неї застосовні інтеграційні методи. Так була встановлена глибокий зв'язок між диференціальними та інтегральними методами, що створило основу для єдиного обчислення. Найбільш ранньою формою диференціального й інтегрального числення є теорія флюксій, побудована Ньютоном.
Математики XVIII ст. працювали одночасно в галузі природознавства і техніки. Лагранж створив основи аналітичної механіки. Його праця показав, як багато результатів можна отримати в механіці завдяки потужним методам математичного аналізу. Монументальний твір Лапласа «Небесна механіка» підвело підсумки всіх попередніх робіт у цій області.
XVIII ст. дав математики потужний апарат - аналіз нескінченно малих. У цей період Ейлер ввів у математику символ f (x) для функції і показав, що функціональна залежність є основним об'єктом вивчення математичного аналізу. Розроблялися способи обчислення приватних похідних, кратних і криволінійних інтегралів, диференціалів від функцій багатьох змінних.
У XVIII ст. з математичного аналізу виділився ряд важливих математичних дисциплін: теорія диференціальних рівнянь, варіаційне числення. У цей час почалася розробка теорії ймовірностей.
У Древній Русі набула поширення схожа з греко-візантійської система числових знаків, заснована на слов'янському алфавіті. Слов'янська нумерація в російській математичній літературі зустрічається до початку 18 століття, але вже з кінця 16 століття цю нумерацію все більш витісняє прийнята нині десяткова позиційна система.
Найбільш древнє відоме нам математичне твір належить до 1136 і належить новгородському ченцеві Кирику. Воно присвячене арифметико-хронологічним розрахунками, які показують, що в той час на Русі вміли вирішувати складне завдання обчислення пасхалій (визначення на кожен рік дня настання свята паски), яка зводиться у своїй математичної частини до рішення в цілих числах невизначених рівнянь першого ступеня. Арифметичні рукописи кінця 16-17 століть містять, крім опису слов'янської та арабської нумерації, арифметичні операції з цілими позитивними числами, а також докладний виклад правил дії з дробами, потрійне правило і рішення рівнянь першого ступеня з одним невідомим допомогою правила помилкового положення. З метою практичного використання спільних правил в рукописах розглядалося багато прикладів реального змісту, і викладався так званий дощані рахунок - прототип російських рахунків. Подібним же чином була побудована й перша арифметична частина знаменитої «Арифметики» Л. Ф. Магницького (1703). У геометричних рукописах, в більшості своїй переслідували також практичні цілі, містилося виклад правил визначення площ фігур і об'ємів тіл, часто наближених, використовувалися властивості подібних трикутників і теорема Піфагора.
Виникнення в Росії систематичної наукової роботи нерозривно пов'язане з установою Академії Наук. Якщо, на думку Петра, в молоду Академію повинні були бути притягнуті виключно видатні вчені, які "зовсім і грунтовно справу свою розуміють", то математики в цьому відношенні особливо пощастило.
Важко сказати, кого слід вважати першими російськими математиками, але якщо мати на увазі людей, вільно володіли сучасним математичним аналізом і писали роботи з цього предмету, то цими первістками російської математики були, мабуть, С. К. Котельников і С. Я. Румовскій.
С. К. Котельников самостійним творчістю не займався, хоча й написав щось на зразок основного курсу математики, але обмежився виданням першого тому. Крім того Котельников написав ще грунтовний підручник геодезії.
Що стосується Румовскій, то він присвятив себе астрономії. Займаючи протягом 30 років кафедру астрономії, він багато займався теоретичною і практичною діяльністю. Він сприяв становленню російської картографії, надрукував каталог астрономічних пунктів, організувавши спостереження за проходженням Венери по диску сонця в 1769 році. Деякі твори Румовскій були присвячені чистої математики, як, наприклад, "Скорочена математика".
До самого кінця XVIII століття висуваються ще деякі російські математики, так само, як і їх попередники, які не внесли ще серйозних вкладів в науку, але грунтовно вивчили математику, що викладали її в різних навчальних закладах і опублікували ряд творів. Сюди відноситься в першу чергу Василь Іванович ВисКоватий. Висковатов опублікував кілька мемуарів у виданнях Академії, а також керівництво з елементарної алгебри. Він переклав і видав "Основи механіки" Босс і випустив нове видання алгебри Ейлера.
Сучасником Вісковатова був Семен Омелянович Гур'єв, обраний до Академії у 1800 році. Він вже робить сміливу спробу покращувати Евкліда. У 1798 році він випустив твір "Досвід удосконалення елементів геометрії". Автор долучається тут до того класу математиків, яких не задовольняють міркування Евкліда.
На початку XIX століття була створена особлива комісія для складання "Морського курсу", тобто ряду підручників для учнів морського кадетського корпусу. Перший том був написаний Вісковатова, а другий належав Гур'єва. Але цей твір являє собою не просто пересічний підручник, а носить на собі печатку самостійної думки і прагнення систематизувати і науково розробити матеріал.
Одночасно стали з'являтися освічені математики і в провінції. Ми назвемо лише Осиповського, що приїхав до Петербурга з Володимира. Він видав "Курс математики" в чотирьох томах. Це було перше російське повне керівництво з математики, що не уступає багатьом гарним іноземним творів на той час. Більшість російських математиків, що зайняли в першій половині XIX століття кафедри математики в російських університетах, вчилися з цього керівництву.
На початку другої чверті XIX століття в Росії з'являються вже вчені, що зайняли почесне місце в європейській науці. Якщо ми назвали Котельникова та Румовскій первістками російської математики, то первістками російського математичного творчості, того творчості, яке залишає глибокий слід у науці, були В. Я. Буняковський, М. В. Остроградський і Н. І. Лобачевський.
Буняковський і Остроградський були учнями французьких математиків і залишилися вірними їх заповітам протягом всієї своєї діяльності. У цей час з'являється Лобачевський, який сповідував принципово іншу теоретичну основу математики. Діяльність Лобачевського нерозривно пов'язана з історією казанського університету, який був відкритий в 1805 році.
Увага цього глибокого мислителя було зосереджено на питаннях, що мають багатовікову історію. Як і сотні інших математиків, Лобачевський зацікавився постулатом Евкліда. Справа зводиться до того, що дві прямі на площині, одна з яких перпендикулярна січної, а інша нахилена до неї під гострим кутом, необхідно повинні перетнутися. Але довести цю аксіому ніхто не міг. Як і багато інших математики, Лобачевський почав з того, що запропонував два докази цього постулату, але незабаром він змушений був переконатися, що докази ці не витримують критики. Це не змусило, однак, залишити це питання. Навпаки, він продовжував наполегливо шукати доказ цього постулату і прийшов до переконання, що можлива інша геометрія, абсолютно відмінна від нашої, - геометрія, в якій зберігаються всі інші постулати Евкліда, крім постулату про паралельні лінії, який замінюється протилежним твердженням.
Лобачевський розвинув цю геометрію до тих же меж, до яких доведена Евклідова геометрія. Вона має свою тригонометрію і свою аналітичну геометрію. Саме в тій обставині, що Лобачевський розробляв свою систему, абсолютно не маючи конкретних образів, на яких він міг би перевірити свої висновки, довіряючи, таким чином, виключно тонкому аналізу абстрактній думки, і висловилася сила його генія.
У першій половині XIX століття не виробилася спадкоємна школа російських математиків, але молода російська математика вже у перший період свого розвитку дала видатних представників у різних галузях цій важкій науки, один з яких вже в першій половині століття вписав своє ім'я в історію людської думки.
У XIX столітті починається новий період у розвитку математики - сучасний. Накопичений в XVII і XVIII ст. величезний матеріал привів до необхідності поглибленого логічного аналізу і об'єднання його з нових точок зору. Зв'язок математики з природознавством набуває тепер більш складні форми. Нові теорії виникають не тільки в результаті запитів природознавства або техніки, а також із внутрішніх потреб самої математики.
Теорія груп веде свій початок з розгляду Лагранжем груп підстановок у зв'язку з проблемою розв'язності в радикалів алгебраїчних рівнянь вищих ступенів. Саме на цьому грунті були отримані результати Руффини і Абелем, що завершилися дещо пізніше тим, що французький математик Е. Галуа за допомогою теорії груп підстановок дав остаточну відповідь на питання про умови розв'язності в радикалів алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня. У середині XIX ст. англійський математик А. Келлі дав загальне «абстрактне» визначення групи. Норвезька математик С. Лі розробив теорію неперервних груп.
Посилено розробляється теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними і теорія потенціалу. У цьому напрямку працюють більшість великих аналітиків початку і середини XIX століття: К. Гаусс, Ж. Фур, С. Пуассон, О. Коші, П. Діріхле, М. В. Остроградський.
Диференціальна геометрія поверхонь створюється Гауссом і Петерсоном. Для вироблення нових поглядів на предмет геометрії основне значення мало створення Лобачевським неевклідової геометрії. Побудувавши неевклідова тригонометрію і аналітичну геометрію, він дав все необхідне для встановлення спільності і повноти системи аксіом цієї нової геометрії. Розвивалося довгий час і проективна геометрія, пов'язана з істотною зміною старих поглядів на простір. Плюккер будує геометрію, розглядаючи в якості основних елементів прямі, Грассман створює афінних метричну геометрію n-мірного простору.
Вже в гауссовой внутрішньої геометрії поверхонь диференціальна геометрія звільняється від нерозривному зв'язку з геометрією Евкліда.
Ф. Клейн підпорядковує всю різноманітність побудованих до цього часу «геометрій» просторів різного числа вимірювань ідеї вивчення інваріантів тієї або іншої групи перетворень. У 1879-1884 р.р. публікуються роботи Кантора з загальної теорії нескінченних множин. Тільки після цього могли бути сформульовано сучасні загальні уявлення про предмет математики, будову математичних теорій.
У другій половині XIX ст. починається інтенсивна розробка питань історії математики. Надзвичайний розвиток отримують в кінці XIX ст. і в XX ст. всі розділи математики, починаючи з найстарішого з них - теорії чисел. Німецькі і російський математик Є. І. Золотарьов закладають основи сучасної алгебраїчної теорії чисел. У 1873 р. Ш. Ерміт доводить трансцендентність числа ℮, а в 1882 р. Ф. Ліндеман - числа π. У Росії з теорії чисел блискуче розвивають О.М. Коркін, Г.Ф. Вороний, І.М. Виноградов і А.А. Марков. Продовжують розвиватися класичні відділи алгебри. Детально досліджуються можливості зведення рішень рівнянь вищих ступенів до рішення рівнянь можливо більш простого вигляду. Основними відділами, що залучають значні наукові сили, стають диференціальна і алгебраїчна геометрія. Диференціальна геометрія евклідового тривимірного простору отримує повний систематичний розвиток у роботах італійського математика Є. Бельтрамі, французького математика Г. Дарбу. Пізніше бурхливо розвивається диференціальна геометрія багатовимірних просторів. Цей напрямок геометричних досліджень створено роботами математиків Т.Леві-Чевіта, Е. Картана, Г. Вейля. Французькі математики глибоко розробляють теорію цілих функцій. Геометричну теорію функцій та теорію ріманових поверхонь розвивають А. Пуанкаре, Д. Гільберт, Г. Вейль, теорію конформних відображень - російські математики І. І. Привалов, М. О. Лаврентьєв, Г. М. Голузін. У результаті систематичного побудови математичного аналізу на основі суворої арифметичної теорії ірраціональних чисел і теорії множин виникла нова галузь математики - теорія функцій дійсної змінної.
Найбільшу увагу в області теорії звичайних диференціальних рівнянь залучають тепер питання якісного дослідження їх рішень. Всі ці дослідження отримали широкий розвиток в Росії. Якісна теорія диференціальних рівнянь послужила для Пуанкаре відправним пунктом для продовження лише ледь намічених Ріманом досліджень по топології многовидів.
Теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними ще наприкінці XIX ст. отримує істотно новий вид.
Аналітична теорія відступає кілька на задній план, тому що виявляється, що при вирішенні крайових задач вона не гарантує «коректності».
Значним доповненням до методів теорії диференціальних рівнянь при вивченні природи та вирішенні технічних завдань є методи теорії ймовірностей.
В кінці XIX ст. і в XX ст. велика увага приділяється методам чисельного інтегрування диференціальних рівнянь.
Таким чином, розроблені в першій половині XIX століття способи обгрунтування і методи математики дозволили математикам перебудувати математичний аналіз, алгебру, вчення про число і частково геометрію відповідно до вимог нової методології. Нова методологія математики сприяла подоланню кризи її основ і створила для неї широкі перспективи подальшого розвитку.
Подальший розвиток математики, аж до кінця 19-го - початку 20-го століть був в основному прагматичний характер, коли математика застосовувалася як ефективний засіб для розв'язування фізичних, астрономічних і інших прикладних завдань. У той же час ніколи не знімався питання про «законних» засобах побудови математичних понять і доказів. Зважаючи на відсутність самого поняття математичної логіки, головним інструментом доказів була інтуїція. Інтуїционізма, як певний напрям у математиці, виник на початку 20-го століття, в основному завдяки працям Л. Брауера і А. Гейтінга. У його основі лежить номіналістична тенденція обмежити математики лише такими поняттями, яким можна надати «реальний сенс».
До числа основних досягнень 20-го століття в області підстав математики слід віднести:
. Вироблення поняття формальної мови і формальної системи (обчислення) і породжується нею теорії.
. Створення математичної логіки у вигляді несуперечливої семантично повної формальної системи.
. Створення аксіоматізірованних формальних теорій арифметики, теорії множин, алгебраїчних систем та інших важливих розділів математики.
. Формальне уточнення понять алгоритму та обчислюваної функції.
. Арифметизації і занурення у формальну теорію таких важливих понять метаматематики, як довідність, несуперечність та ін, що дозволило вирішувати багато метаматематіческіе проблеми математичними засобами.
Перераховані досягнення зажадали усвідомлення і уточнення багатьох важливих математичних і метаматематіческіх понять таких, як мова, синтаксис і семантика математичних теорій та ін Все це дозволило поглянути на проблему підстав математики з нових позицій у порівнянні з попередніми часами.
Потреби розвитку самої математики, «математизація» різних галузей науки, проникнення математичних методів в багато сфер практичної діяльності, швидкий прогрес обчислювальної техніки призводять до переміщення основних зусиль математиків всередині сформованих розділів математики і до появи цілого ряду нових математичних дисциплін (наприклад, теорія алгоритмів, http : / / www.referatu.ru/1/30/216.htm теорія інформації, теорія ігор, дослідження операцій, кібернетика).
На основі завдань теорії керуючих систем, комбінаторного аналізу, графів теорії, теорії кодування виникла дискретна, або кінцева математика.
Питання про найкращий (в тому чи іншому сенсі) управлінні фізичними або механічними системами, описуваними диференціальними рівняннями, привели до створення математичної теорії оптимального управління, близькі питання про управління об'єктами в конфліктних ситуаціях - до виникнення і розвитку теорії диференціальних ігор.
Дослідження в області загальних проблем управління і пов'язаних з ними галузях математики в поєднанні з прогресом обчислювальної техніки дають основу для автоматизації нових сфер людської діяльності.
Висновок
Математичне моделювання, універсальність математичних методів обумовлюють величезну роль математики в самих різних областях людської діяльності.
Основою будь-якої професійної діяльності є вміння:
- Будувати і використовувати математичні моделі для опису, прогнозування та дослідження різних явищ;
- Здійснити системний, якісний і кількісний аналіз;
- Володіти комп'ютерними методами збору, зберігання і обробки інформації;
- Володіти методами вирішення оптимізаційних завдань.
Широке застосування знаходять математичні методи в природознавстві і суто гуманітарних науках: психології, педагогіки.
Можна сказати, що в недалекому майбутньому будь-яка частина людської діяльності буде ще більш широко використовувати у своїх дослідженнях математичні методи.
2. Рибников К.О.. Історія математики. М.: Наука, 1994.
3. Самарський О.А.. Математичне моделювання. М.: Наука, 1986.
4. Столл Р.Р.. Безліч, Логіка, Обчислювальна математика. М.: Просвещение, 1968.
5. Будівництво Д.Я.. Короткий нарис історії математики. М.: Наука, Фізматліт, 1990.
6. Тихонов О.М., Костомаров Д.П.. Розповіді про прикладній математиці. М.: Віта-Пресс, 1996.
7. Юшкевич А.П.. Математика в її історії. М.: Наука, 1996.
Диференціальні методи вирішували основне завдання: знаючи криву лінію, знайти її дотичні. Багато задач практики приводили до постановки оберненої задачі. У процесі виконання завдання з'ясовувалося, що до неї застосовні інтеграційні методи. Так була встановлена глибокий зв'язок між диференціальними та інтегральними методами, що створило основу для єдиного обчислення. Найбільш ранньою формою диференціального й інтегрального числення є теорія флюксій, побудована Ньютоном.
Математики XVIII ст. працювали одночасно в галузі природознавства і техніки. Лагранж створив основи аналітичної механіки. Його праця показав, як багато результатів можна отримати в механіці завдяки потужним методам математичного аналізу. Монументальний твір Лапласа «Небесна механіка» підвело підсумки всіх попередніх робіт у цій області.
XVIII ст. дав математики потужний апарат - аналіз нескінченно малих. У цей період Ейлер ввів у математику символ f (x) для функції і показав, що функціональна залежність є основним об'єктом вивчення математичного аналізу. Розроблялися способи обчислення приватних похідних, кратних і криволінійних інтегралів, диференціалів від функцій багатьох змінних.
У XVIII ст. з математичного аналізу виділився ряд важливих математичних дисциплін: теорія диференціальних рівнянь, варіаційне числення. У цей час почалася розробка теорії ймовірностей.
3. Розвиток математики в Росії у XVIII-XIX століттях
Математична освіта в Росії знаходилося в 9-13 століттях на рівні найбільш культурних країн Східної та Західної Європи. Потім воно було надовго затримано монгольською навалою. У 15-16 століттях у зв'язку зі зміцненням Російської держави і економічним зростанням країни значно зросли потреби суспільства в математичних знаннях. У кінці 16 століття і особливо в 17 столітті з'явилися численні рукописні керівництва з арифметики, геометрії, в яких викладалися досить великі відомості, необхідні для практичної діяльності (торгівлі, податкової справи, артилерійського справи, будівництва та ін.)У Древній Русі набула поширення схожа з греко-візантійської система числових знаків, заснована на слов'янському алфавіті. Слов'янська нумерація в російській математичній літературі зустрічається до початку 18 століття, але вже з кінця 16 століття цю нумерацію все більш витісняє прийнята нині десяткова позиційна система.
Найбільш древнє відоме нам математичне твір належить до 1136 і належить новгородському ченцеві Кирику. Воно присвячене арифметико-хронологічним розрахунками, які показують, що в той час на Русі вміли вирішувати складне завдання обчислення пасхалій (визначення на кожен рік дня настання свята паски), яка зводиться у своїй математичної частини до рішення в цілих числах невизначених рівнянь першого ступеня. Арифметичні рукописи кінця 16-17 століть містять, крім опису слов'янської та арабської нумерації, арифметичні операції з цілими позитивними числами, а також докладний виклад правил дії з дробами, потрійне правило і рішення рівнянь першого ступеня з одним невідомим допомогою правила помилкового положення. З метою практичного використання спільних правил в рукописах розглядалося багато прикладів реального змісту, і викладався так званий дощані рахунок - прототип російських рахунків. Подібним же чином була побудована й перша арифметична частина знаменитої «Арифметики» Л. Ф. Магницького (1703). У геометричних рукописах, в більшості своїй переслідували також практичні цілі, містилося виклад правил визначення площ фігур і об'ємів тіл, часто наближених, використовувалися властивості подібних трикутників і теорема Піфагора.
Виникнення в Росії систематичної наукової роботи нерозривно пов'язане з установою Академії Наук. Якщо, на думку Петра, в молоду Академію повинні були бути притягнуті виключно видатні вчені, які "зовсім і грунтовно справу свою розуміють", то математики в цьому відношенні особливо пощастило.
Важко сказати, кого слід вважати першими російськими математиками, але якщо мати на увазі людей, вільно володіли сучасним математичним аналізом і писали роботи з цього предмету, то цими первістками російської математики були, мабуть, С. К. Котельников і С. Я. Румовскій.
С. К. Котельников самостійним творчістю не займався, хоча й написав щось на зразок основного курсу математики, але обмежився виданням першого тому. Крім того Котельников написав ще грунтовний підручник геодезії.
Що стосується Румовскій, то він присвятив себе астрономії. Займаючи протягом 30 років кафедру астрономії, він багато займався теоретичною і практичною діяльністю. Він сприяв становленню російської картографії, надрукував каталог астрономічних пунктів, організувавши спостереження за проходженням Венери по диску сонця в 1769 році. Деякі твори Румовскій були присвячені чистої математики, як, наприклад, "Скорочена математика".
До самого кінця XVIII століття висуваються ще деякі російські математики, так само, як і їх попередники, які не внесли ще серйозних вкладів в науку, але грунтовно вивчили математику, що викладали її в різних навчальних закладах і опублікували ряд творів. Сюди відноситься в першу чергу Василь Іванович ВисКоватий. Висковатов опублікував кілька мемуарів у виданнях Академії, а також керівництво з елементарної алгебри. Він переклав і видав "Основи механіки" Босс і випустив нове видання алгебри Ейлера.
Сучасником Вісковатова був Семен Омелянович Гур'єв, обраний до Академії у 1800 році. Він вже робить сміливу спробу покращувати Евкліда. У 1798 році він випустив твір "Досвід удосконалення елементів геометрії". Автор долучається тут до того класу математиків, яких не задовольняють міркування Евкліда.
На початку XIX століття була створена особлива комісія для складання "Морського курсу", тобто ряду підручників для учнів морського кадетського корпусу. Перший том був написаний Вісковатова, а другий належав Гур'єва. Але цей твір являє собою не просто пересічний підручник, а носить на собі печатку самостійної думки і прагнення систематизувати і науково розробити матеріал.
Одночасно стали з'являтися освічені математики і в провінції. Ми назвемо лише Осиповського, що приїхав до Петербурга з Володимира. Він видав "Курс математики" в чотирьох томах. Це було перше російське повне керівництво з математики, що не уступає багатьом гарним іноземним творів на той час. Більшість російських математиків, що зайняли в першій половині XIX століття кафедри математики в російських університетах, вчилися з цього керівництву.
На початку другої чверті XIX століття в Росії з'являються вже вчені, що зайняли почесне місце в європейській науці. Якщо ми назвали Котельникова та Румовскій первістками російської математики, то первістками російського математичного творчості, того творчості, яке залишає глибокий слід у науці, були В. Я. Буняковський, М. В. Остроградський і Н. І. Лобачевський.
Буняковський і Остроградський були учнями французьких математиків і залишилися вірними їх заповітам протягом всієї своєї діяльності. У цей час з'являється Лобачевський, який сповідував принципово іншу теоретичну основу математики. Діяльність Лобачевського нерозривно пов'язана з історією казанського університету, який був відкритий в 1805 році.
Увага цього глибокого мислителя було зосереджено на питаннях, що мають багатовікову історію. Як і сотні інших математиків, Лобачевський зацікавився постулатом Евкліда. Справа зводиться до того, що дві прямі на площині, одна з яких перпендикулярна січної, а інша нахилена до неї під гострим кутом, необхідно повинні перетнутися. Але довести цю аксіому ніхто не міг. Як і багато інших математики, Лобачевський почав з того, що запропонував два докази цього постулату, але незабаром він змушений був переконатися, що докази ці не витримують критики. Це не змусило, однак, залишити це питання. Навпаки, він продовжував наполегливо шукати доказ цього постулату і прийшов до переконання, що можлива інша геометрія, абсолютно відмінна від нашої, - геометрія, в якій зберігаються всі інші постулати Евкліда, крім постулату про паралельні лінії, який замінюється протилежним твердженням.
Лобачевський розвинув цю геометрію до тих же меж, до яких доведена Евклідова геометрія. Вона має свою тригонометрію і свою аналітичну геометрію. Саме в тій обставині, що Лобачевський розробляв свою систему, абсолютно не маючи конкретних образів, на яких він міг би перевірити свої висновки, довіряючи, таким чином, виключно тонкому аналізу абстрактній думки, і висловилася сила його генія.
У першій половині XIX століття не виробилася спадкоємна школа російських математиків, але молода російська математика вже у перший період свого розвитку дала видатних представників у різних галузях цій важкій науки, один з яких вже в першій половині століття вписав своє ім'я в історію людської думки.
4.Основние ЕТАПИ СТАНОВЛЕННЯ СУЧАСНОЇ МАТЕМАТИКИ
В кінці XVII і в XVIII столітті всі зростаючі запити практики та інших наук спонукали вчених максимально розширювати область і методи досліджень математики. Поняття нескінченності, руху та функціональної залежності висуваються на перше місце, стають основою нових методів математики.У XIX столітті починається новий період у розвитку математики - сучасний. Накопичений в XVII і XVIII ст. величезний матеріал привів до необхідності поглибленого логічного аналізу і об'єднання його з нових точок зору. Зв'язок математики з природознавством набуває тепер більш складні форми. Нові теорії виникають не тільки в результаті запитів природознавства або техніки, а також із внутрішніх потреб самої математики.
Теорія груп веде свій початок з розгляду Лагранжем груп підстановок у зв'язку з проблемою розв'язності в радикалів алгебраїчних рівнянь вищих ступенів. Саме на цьому грунті були отримані результати Руффини і Абелем, що завершилися дещо пізніше тим, що французький математик Е. Галуа за допомогою теорії груп підстановок дав остаточну відповідь на питання про умови розв'язності в радикалів алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня. У середині XIX ст. англійський математик А. Келлі дав загальне «абстрактне» визначення групи. Норвезька математик С. Лі розробив теорію неперервних груп.
Посилено розробляється теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними і теорія потенціалу. У цьому напрямку працюють більшість великих аналітиків початку і середини XIX століття: К. Гаусс, Ж. Фур, С. Пуассон, О. Коші, П. Діріхле, М. В. Остроградський.
Диференціальна геометрія поверхонь створюється Гауссом і Петерсоном. Для вироблення нових поглядів на предмет геометрії основне значення мало створення Лобачевським неевклідової геометрії. Побудувавши неевклідова тригонометрію і аналітичну геометрію, він дав все необхідне для встановлення спільності і повноти системи аксіом цієї нової геометрії. Розвивалося довгий час і проективна геометрія, пов'язана з істотною зміною старих поглядів на простір. Плюккер будує геометрію, розглядаючи в якості основних елементів прямі, Грассман створює афінних метричну геометрію n-мірного простору.
Вже в гауссовой внутрішньої геометрії поверхонь диференціальна геометрія звільняється від нерозривному зв'язку з геометрією Евкліда.
Ф. Клейн підпорядковує всю різноманітність побудованих до цього часу «геометрій» просторів різного числа вимірювань ідеї вивчення інваріантів тієї або іншої групи перетворень. У 1879-1884 р.р. публікуються роботи Кантора з загальної теорії нескінченних множин. Тільки після цього могли бути сформульовано сучасні загальні уявлення про предмет математики, будову математичних теорій.
У другій половині XIX ст. починається інтенсивна розробка питань історії математики. Надзвичайний розвиток отримують в кінці XIX ст. і в XX ст. всі розділи математики, починаючи з найстарішого з них - теорії чисел. Німецькі і російський математик Є. І. Золотарьов закладають основи сучасної алгебраїчної теорії чисел. У 1873 р. Ш. Ерміт доводить трансцендентність числа ℮, а в 1882 р. Ф. Ліндеман - числа π. У Росії з теорії чисел блискуче розвивають О.М. Коркін, Г.Ф. Вороний, І.М. Виноградов і А.А. Марков. Продовжують розвиватися класичні відділи алгебри. Детально досліджуються можливості зведення рішень рівнянь вищих ступенів до рішення рівнянь можливо більш простого вигляду. Основними відділами, що залучають значні наукові сили, стають диференціальна і алгебраїчна геометрія. Диференціальна геометрія евклідового тривимірного простору отримує повний систематичний розвиток у роботах італійського математика Є. Бельтрамі, французького математика Г. Дарбу. Пізніше бурхливо розвивається диференціальна геометрія багатовимірних просторів. Цей напрямок геометричних досліджень створено роботами математиків Т.Леві-Чевіта, Е. Картана, Г. Вейля. Французькі математики глибоко розробляють теорію цілих функцій. Геометричну теорію функцій та теорію ріманових поверхонь розвивають А. Пуанкаре, Д. Гільберт, Г. Вейль, теорію конформних відображень - російські математики І. І. Привалов, М. О. Лаврентьєв, Г. М. Голузін. У результаті систематичного побудови математичного аналізу на основі суворої арифметичної теорії ірраціональних чисел і теорії множин виникла нова галузь математики - теорія функцій дійсної змінної.
Найбільшу увагу в області теорії звичайних диференціальних рівнянь залучають тепер питання якісного дослідження їх рішень. Всі ці дослідження отримали широкий розвиток в Росії. Якісна теорія диференціальних рівнянь послужила для Пуанкаре відправним пунктом для продовження лише ледь намічених Ріманом досліджень по топології многовидів.
Теорія диференціальних рівнянь з приватними похідними ще наприкінці XIX ст. отримує істотно новий вид.
Аналітична теорія відступає кілька на задній план, тому що виявляється, що при вирішенні крайових задач вона не гарантує «коректності».
Значним доповненням до методів теорії диференціальних рівнянь при вивченні природи та вирішенні технічних завдань є методи теорії ймовірностей.
В кінці XIX ст. і в XX ст. велика увага приділяється методам чисельного інтегрування диференціальних рівнянь.
Таким чином, розроблені в першій половині XIX століття способи обгрунтування і методи математики дозволили математикам перебудувати математичний аналіз, алгебру, вчення про число і частково геометрію відповідно до вимог нової методології. Нова методологія математики сприяла подоланню кризи її основ і створила для неї широкі перспективи подальшого розвитку.
Подальший розвиток математики, аж до кінця 19-го - початку 20-го століть був в основному прагматичний характер, коли математика застосовувалася як ефективний засіб для розв'язування фізичних, астрономічних і інших прикладних завдань. У той же час ніколи не знімався питання про «законних» засобах побудови математичних понять і доказів. Зважаючи на відсутність самого поняття математичної логіки, головним інструментом доказів була інтуїція. Інтуїционізма, як певний напрям у математиці, виник на початку 20-го століття, в основному завдяки працям Л. Брауера і А. Гейтінга. У його основі лежить номіналістична тенденція обмежити математики лише такими поняттями, яким можна надати «реальний сенс».
До числа основних досягнень 20-го століття в області підстав математики слід віднести:
. Вироблення поняття формальної мови і формальної системи (обчислення) і породжується нею теорії.
. Створення математичної логіки у вигляді несуперечливої семантично повної формальної системи.
. Створення аксіоматізірованних формальних теорій арифметики, теорії множин, алгебраїчних систем та інших важливих розділів математики.
. Формальне уточнення понять алгоритму та обчислюваної функції.
. Арифметизації і занурення у формальну теорію таких важливих понять метаматематики, як довідність, несуперечність та ін, що дозволило вирішувати багато метаматематіческіе проблеми математичними засобами.
Перераховані досягнення зажадали усвідомлення і уточнення багатьох важливих математичних і метаматематіческіх понять таких, як мова, синтаксис і семантика математичних теорій та ін Все це дозволило поглянути на проблему підстав математики з нових позицій у порівнянні з попередніми часами.
Потреби розвитку самої математики, «математизація» різних галузей науки, проникнення математичних методів в багато сфер практичної діяльності, швидкий прогрес обчислювальної техніки призводять до переміщення основних зусиль математиків всередині сформованих розділів математики і до появи цілого ряду нових математичних дисциплін (наприклад, теорія алгоритмів, http : / / www.referatu.ru/1/30/216.htm теорія інформації, теорія ігор, дослідження операцій, кібернетика).
На основі завдань теорії керуючих систем, комбінаторного аналізу, графів теорії, теорії кодування виникла дискретна, або кінцева математика.
Питання про найкращий (в тому чи іншому сенсі) управлінні фізичними або механічними системами, описуваними диференціальними рівняннями, привели до створення математичної теорії оптимального управління, близькі питання про управління об'єктами в конфліктних ситуаціях - до виникнення і розвитку теорії диференціальних ігор.
Дослідження в області загальних проблем управління і пов'язаних з ними галузях математики в поєднанні з прогресом обчислювальної техніки дають основу для автоматизації нових сфер людської діяльності.
Висновок
Математичне моделювання, універсальність математичних методів обумовлюють величезну роль математики в самих різних областях людської діяльності.
Основою будь-якої професійної діяльності є вміння:
- Будувати і використовувати математичні моделі для опису, прогнозування та дослідження різних явищ;
- Здійснити системний, якісний і кількісний аналіз;
- Володіти комп'ютерними методами збору, зберігання і обробки інформації;
- Володіти методами вирішення оптимізаційних завдань.
Широке застосування знаходять математичні методи в природознавстві і суто гуманітарних науках: психології, педагогіки.
Можна сказати, що в недалекому майбутньому будь-яка частина людської діяльності буде ще більш широко використовувати у своїх дослідженнях математичні методи.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Лаптєв Б.Л.. М. І. Лобачевський і його геометрія. М.: Просвещение, 1976.2. Рибников К.О.. Історія математики. М.: Наука, 1994.
3. Самарський О.А.. Математичне моделювання. М.: Наука, 1986.
4. Столл Р.Р.. Безліч, Логіка, Обчислювальна математика. М.: Просвещение, 1968.
5. Будівництво Д.Я.. Короткий нарис історії математики. М.: Наука, Фізматліт, 1990.
6. Тихонов О.М., Костомаров Д.П.. Розповіді про прикладній математиці. М.: Віта-Пресс, 1996.
7. Юшкевич А.П.. Математика в її історії. М.: Наука, 1996.