Розвиток логічного мислення учнів при вирішенні завдань на побудову

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ФЕДЕРАЦІЇ
БЛАГОВІЩЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДПГОГІЧЕСКІЙ УНІВЕРСИТЕТ
Фізико-математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Розвиток логічного мислення учнів
ПРИ ВИРІШЕННІ ЗАДАЧ НА ПОБУДОВА (НА ПЛОЩИНІ)
Дипломна робота
Виконала: Гулевич Катерина
Володимирівна
студентка 5 курсу ОЗО
Науковий керівник:
Щуренкова І.К.
Старший викладач кафедри
алгебри і геометрії
Робота захищена
«____» __________________ 2007р.
Оцінка
________________________________
Голова ДАК
________________________________
(Підпис)
Благовєщенськ 2007

ЗМІСТ
  ВСТУП. 4
1. Логічне мислення ТА ЙОГО РОЗВИТОК ПРИ НАВЧАННІ МАТЕМАТИКИ 7
1.1. Мислення: його закономірності та умови розвитку. 7
1.2. Математичне мислення. 15
1.2.1. Загальна характеристика розвивається математичного. 15
мислення школярів. 15
1.2.2. Основні компоненти математичного мислення та дидактичні шляхи їх розвитку в учнів. 28
1.3. Розвиток мислення при навчанні математики. 42
1.3.1. Засоби і умови розвитку мислення. 42
1.4. Розвиток логічного мислення при навчанні математики. 47
1.4.1. Актуальність проблеми розвитку логічного мислення учнів. 47
1.4.2. Історія проблеми розвитку логічного мислення учнів. 51
1.4.3. Зміст проблеми розвитку логічного мислення при навчанні математики в школі. 53
1.4.4. Шляхи вирішення проблеми розвитку логічного мислення учнів. 55
1.5. Розвиток логічного мислення в геометрії. 58
1.5.1. Завдання викладання геометрії в школі. 58
1.5.2. Креслення вчить думати. 60
2. МЕТОДИКА НАВЧАННЯ ВИРІШЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ НА ПОБУДОВА, З МЕТОЮ РОЗВИТКУ логічного мислення учнів 64
2.1. Роль завдань в навчання, роль завдань у розвиток логічного мислення. 64
2.1.1. Загальне поняття завдання. 64
2.1.2. Роль задач у навчанні математики. 65
2.1.3. Роль математичних завдань у розвитку мислення. 69
2.1.4. Значення геометричних задач. 72
2.1.5. Класифікація геометричних задач. 73
2.2. Характеристика задач на побудову. 76
2.2.1. Визначення завдання на побудову. 77
2.2.2. Деякі питання теорії геометричних побудов. 79
2.2.3. Виконання геометричних побудов. 83
2.2.4. Про деякі питання методики навчання рішенню задач на побудову. 85
2.2.5. Введення задач на побудову. 86
2.2.6. Етапи рішення задачі на побудову. 89
2.2.7. Методи розв'язування задач на побудову. 103
2.3. Вплив завдань на побудову на розвиток логічного мислення. 119
3. ПЕДАГОГІЧНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ. 121
3.1. Задум експерименту. Програма експерименту. 121
3.2. Опис проведення експерименту і його результати. 124
ВИСНОВОК. 136
БІБЛІОГРАФІЯ .. 137
ДОДАТКИ .. 141


ВСТУП

У програмі з математики для середньої загальноосвітньої школи, розробленої у відповідність з основними напрямами реформи загальноосвітньої школи, підкреслюється, що розвиток логічного мислення учнів є однією з основних цілей курсу геометрії.
Чи можна вважати, що «знає» і мислячий »людина - одне і те ж?
Щороку першого вересня з першим дзвінком мільйони дітей сідають за парти, щоб оволодіти знаннями. Протягом складних років вони засвоюють складну систему наукових відомостей, навчаються їх аналізувати, порівнювати, узагальнювати, застосовувати до вирішення навчальних, практичних завдань.
«Вік живи - вік учись» - говорить народна мудрість. Але школа повинна не тільки формувати в учнів міцну основу знань, умінь і навичок, а й максимально розвивати їм розумову активність: вчити мислити, самостійно оновлювати та поповнювати знання, свідомо використовувати їх при рішення теоретичних і практичних завдань.
Розвиток розумової активності відбувається в процесі засвоєння знань, проте не всяке засвоєння забезпечує цю активність. Необхідна його особлива організація, при якій учні розвивають своє мислення, інтереси, схильності.
Розвиток розумової активності при засвоєння знань - важливе джерело формування особистості учня.
Тема дипломної роботи: Розвиток логічного мислення учнів при рішення задач на побудову (на площині).
Актуальність дипломної роботи полягає в тому, що проблема розвитку логічного мислення повинна мати своє відображення в шкільному курсі геометрії в силу недостатності підготовки учнів у цій частині, в силу великої кількості логічних помилок, що допускаються учнями усеваемого змісті геометричного матеріалу.
Об'єктом дослідження є навчально-виховний процес.
Предмет дослідження - геометричні задачі на побудову.
Гіпотеза дипломного дослідження полягає в тому, що розвитку логічного мислення сприяє рішення геометричних задач, і зокрема задач на побудову.
Проблема дослідження полягає в особливій організації процесу навчання вирішення геометричних задач на побудову, при якій через рішення цих завдань учні будуть активно розвивати логічне мислення.
Мета дослідження: визначення оптимальних умов і конкретних методів розвитку логічного мислення при рішення задач на побудову.
Виділяючи етапи досягнення мети дослідження, ми поставили наступні завдання:
Дати характеристику мислення як психологічного процесу і розглянути його види;
Виділити шляху розвитку мислення при навчання учнів в середній школі;
З'ясувати яку роль відіграють навчальні завдання у навчання математики, зокрема, в геометрії.
Дати характеристику завдань на побудову і з'ясувати, як вони впливають на розвиток логічного мислення;
Розробити систему уроків з рекомендаціями з розвитку логічного мислення через рішення задач на побудову.
Методами дослідження є:
Дослідження психологічної та методичної літератури;
Досвід роботи в 7-х класах (геометрія) загальноосвітньої школи;
Спостереження за навчальною діяльністю учнів в 7 - 9 класах загальноосвітньої школи.
Практична значимість роботи полягає у використанні розроблених уроків з рекомендаціями при вивчення учнями теми «Геометричне побудова» на уроках геометрії в середній школі.
Структура диплому визначена логікою і послідовністю поставлених завдань. Дипломна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків і додатку.
У першому розділі розкривається необхідність виховання в учнів творчої особистості, з метою розвитку логічного мислення. У ній розкриваються поняття: мислення, математичне мислення, логічне мислення і його розвиток.
Друга глава присвячена розвитку мислення учнів на уроках геометрії через рішення геометричних задач, зокрема задач на побудову.
У третьому розділі описується педагогічний експеримент - його задум, програма, проведення та отримання результату.

1. Логічне мислення ТА ЙОГО РОЗВИТОК ПРИ НАВЧАННІ МАТЕМАТИКИ

1.1. Мислення: його закономірності та умови розвитку.

Дитина прийшла до школи вчитися - здобувати знання. Звичайно, вона вивчить необхідні правила і закони, зуміє переказати те, про що дізнається. Але дитина повинна навчитися також, застосовувати свої знання в нових, несподіваних ситуаціях, знаходити свої, нестандартні відповіді на виникаючі питання, виявляти протиріччя і самому ставити питання. Його успіхи в школі будуть залежати від бажання дізнаватися нове, від віри у свої сили і від уміння працювати - думати.
Розумова робота - це передусім активне осмислення матеріалу, будь-якої інформації, будь то пояснення вчителя практична дія, книга чи граф спостереження за тваринами або телевізійна передача. Активне осмислення, а не пасивне сприйняття і заучування, ми пов'язуємо з процесом мислення. Мислення включає в себе такі дії, як встановлення відносин між новою інформацією і відомою, зв'язку теоретичних положень і понять з особистим досвідом людини, критичний аналіз висловлюваної ідеї та оцінювання отриманих результатів. Ці дії спираються на вміння подумки уявити собі ситуацію, простежити можливі її зміни чи зміни окремих об'єктів під впливом тих чи інших впливів, на здатність передбачати результати і відповідно планувати свої дії, висувати гіпотези і перевіряти їх, пояснювати спостережувані явища і факти, обгрунтовувати свої рішення . Усім цим дитина повинна оволодіти під час навчання.
Коли діти приходять до школи, вони вже багато чого вміють. Вже в дошкільному віці на основі маніпулювання з предметами у дітей замість хаотичних проб і помилок з'являється система пробують дій, які виступають як послідовні кроки у досягненні мети. Пояснимо це на прикладі. На столі лежить іграшка, яку дитина хоче дістати, але не може дотягнутися. Її можна дістати за допомогою прикріпленого до столу важеля - зігнутої палиці з ручкою на кінці. Але коли дитина тягне ручку важеля на себе, іграшка відсувається. Треба зробити зворотний рух - від себе, тоді іграшка придвинется. Рішення цієї задачі здійснюється в практичному плані і є прикладом наочно-дієвого, практичного мислення, яке охоплює всі випадки безпосередніх дій з предметами.
Формування умінь оперувати образами предметів або їх частин пов'язують з розвитком наочно-образного мислення. Наочно-образне мислення характеризується тим, що рішення певних завдань може бути здійснено в плані уявних уявлень, без участі практичних дій. Іншими словами, ситуація перетвориться лише в плані образу. Як показали психологічні дослідження, здатність діяти «в умі» починає формуватися у дітей без спеціального навчання до шести років. Її становлення та розвиток, аж до уявного моделювання складних ситуацій та планування послідовності дій (як, наприклад, у разі уявного програвання можливих ходів і відповідей на них партнера при грі в шахи), припадає на шкільний вік.
Наступний вид мислення, на який падає найбільше навантаження, - словесно понятійне мислення, що використовує поняття і оперує мовними засобами для позначення дійсності. З його допомогою здійснюються спілкування людей, опис і пояснення матеріалу, усвідомлення досягнутого і багато іншого. Його розвиток починається з оволодіння мовою та вмінням говорити і розуміти чужу мову, а продовжується в шкільні роки, разом з розвитком системи наукових понять. Слід розрізняти мовної і понятійний аспекти, особливо у дітей. Відображення у мові - це вже не образне відображення, але воно може бути ще й не понятійним. Дитина користується тими ж словами, що і дорослий, але за цими словами в нього стоїть інший зміст. Це справедливо і по відношенню до дорослого, коли мова йде про будь-яку області дійсності, яку людина погано знає і відповідні поняття у нього не склалися.
Наочно-дієве, наочно-образне і словесно-понятійне мислення розвиваються у взаємозв'язку один з одним. Перетворення об'єктів, що здійснюються в процесі зовнішньої, практичної діяльності, відтворюються потім у плані уявлень. Наочно-образне мислення дозволяє відобразити взаємодію декількох предметів, відтворюючи різноманіття сторін об'єкта в їх фактичних зв'язках (прикладом може служити будь-яка схема або картина). Коли результати практичної і пізнавальної діяльності отримують своє словесне вираження, це дає можливість їх усвідомити зробити надбанням інших людей, забезпечує спадкоємність знань. (Хоча деякі властивості предметів, а також дії буває важко описати словесно. Спробуйте, наприклад, описати, як ви копаєте землю.) В образі реальність представлена ​​ширше, ніж те, що ми безпосередньо спостерігаємо. А в понятті, навпаки, якась частина спостережуваних ознак опущена і виділені істотні зв'язки і відносини.
Всі три види мислення співіснують і в дорослої людини, забезпечуючи рішення різних завдань. Практичні дії з предметами і наочні уявлення про дійсність складають основу словесно-понятійного мислення.
Різні види мислення мають спільні риси. У якому б плані ні протікало мислення, він завжди пов'язаний із відкриттям людиною нового для нього знання, з розкриттям внутрішніх властивостей предметів і їх відносин. У процесі мислення завжди відбувається виділення основних, суттєвих властивостей предметів і явищ і відволікання від несуттєвих і випадкових, що визначає його узагальнений характер. Залежно від рівня узагальнень розрізняють емпіричне і теоретичне мислення. У першому випадку мислення пов'язане з життєвими, ситуативними узагальненнями, у другому з науковими поняттями, що мають певну змістову структуру.                                
Мислить людина, з його емоціями, установками, прагненнями та бажаннями, його особливостями мислення (що вважає за краще працювати в практичному або образному плані, оперувати теоретичними конструкціями або конкретними фактами і т. п.).
Як же здійснюється процес мислення!
Мислення починається з виникненням проблеми, питання, завдання.
Завдання, що виступає як предмет розумової діяльності, з'являється, коли людина стикається з яким-небудь труднощами, перешкодою, нерозумінням, і охоплює, як правило, не окремий предмет, а цілу ситуацію. Вона може стосуватися соціальних питань, взаємин між людьми або проблем самої людини, її поведінки або будь-якій області його діяльності, включаючи навчальні та ігрові завдання. Психологічно завдання має істотну особливість - вона повинна бути прийнята людиною, тобто повинна сприйматися ним як проблема, у вирішенні якої він зацікавлений. В основі цього лежить пізнавальна потреба. Об'єктивно існуюче протиріччя або пропоноване людині вимога може не викликати у нього потреби в розумовій діяльності. Він буде прикладати всі зусилля, щоб її уникнути, знайде відмовки або просто не побачить для себе в ситуації жодного завдання. Тому не будь-яке завдання і не будь-яке питання, поставлене вчителем, веде до процесу мислення. Коли учень сам відчує необхідність у нових знаннях, побачить, що не може з допомогою відомих йому засобів досягти бажаного результату (раніше застосовувалися їм методи «не працюють»), тоді і виникає розумова задача, звана психологами проблемною ситуацією.
Умовою виникнення проблемної ситуації є пізнавальна потреба в невідомому людині знанні чи способі дії. Якщо наявних у нього знань достатньо, щоб виконати завдання, або він може застосувати вже відомий йому спосіб, проблемна ситуація не виникає, як не виникає вона і в тих випадках, коли наявних знань недостатньо для виявлення проблеми, для розуміння того, що з'явилася проблема. Тому процес мислення завжди особистісно забарвлений: він починається з появи перешкоди, труднощі, значимого для людини і викликає бажання чи розуміння необхідності його подолати.
Рішення розумової задачі, або проблемної ситуації, протікає як пошук істотного з точки зору завдання відношення об'єктів, яке служить ключем до її вирішення. Для цього роблять аналіз умов завдання, те, що дано і що відомо, і його вимог, тобто бажаного результату. Невідоме в проблемній ситуації стає метою дії і розкривається як шукане завдання. Психологічні дослідження процесу мислення показали, що визначення шуканого пов'язано з неодноразовим обстеженням елементів проблемної ситуації для виявлення їх зв'язків з шуканим. При цьому відбувається послідовне узагальнення властивостей аналізованих об'єктів, що дозволяє планувати шляхи вирішення завдання, передбачаючи майбутній результат. Це дає можливість уточнити первісний задум рішення: невідоме, яке спочатку виступає як нечітке освіта, шляхом безперервного його зіставлення з відомим та узагальнення попереднього досвіду і вимог, що задаються проблемною ситуацією, набуває визначеність.
У разі складних проблем на шляху до досягнення результату виділяється система цілей: крім загальної мети, тобто шуканого, що визначається всієї проблемної ситуацією в цілому, виділяються проміжні цілі, пов'язані з попередніми етапами роботи, найближчі, більш легко досяжні і більш віддалені. Цільове планування будь-якої діяльності на основі передбачення майбутнього результату складає центральну ланку розумового процесу. Воно безпосередньо пов'язане з розвитком образного мислення.
Характеристика креслення-завдання показує, що завдання на побудову діляться на два суттєво різних види:
Завдання «метричні», в яких потрібно побудувати геометричний образ за даними елементам, які мають певні розміри, але не визначеними по положенню на площині. Отже, і необхідний у задачі геометричний образ може займати довільне положення на площині (приклад 1).
Завдання «положення», в яких побудова необхідного геометричного образу виконується на основі даних елементів, з яких хоча б один визначений за положенням на площині. Отже, і необхідний геометричний образ повинен займати певну посаду на площині (щодо даних елементів, приклад 2).

2.2.2. Деякі питання теорії геометричних побудов.

У теорії геометричних побудов кожен інструмент виконує властиву тільки йому операцію. Опис цієї операції є його абстрактною характеристикою і дає можливість вказати на ті елементи креслення, які можуть бути побудовані при одноразовому використанні того чи іншого інструмента.
Зазвичай на практиці кілька «абстрактних» інструментів об'єднуються в один (наприклад, креслярський трикутник є комбінацією односторонньої лінійки, прямого і двох гострих кутів). Часто також один інструмент використовується для виконання двох (або декількох) абсолютно різних операцій (наприклад, лінійка використовується для побудови прямої, що проходить через дві задані точки, і загальних дотичних до двох даними окружностях). Це дає можливість значно скоротити число використовуваних інструментів.
Зазначимо характерні операції для найбільш поширених в шкільній практиці креслярських приладів і на ті елементи креслення, які можуть бути отримані при одноразовому їх використанні.
  Циркуль. Характерна для циркуля операція - проведення окружності даними (або довільним) радіусом з центром у даній (або довільної) точці.
Таким чином, циркулем можуть бути побудовані:
а) окружність даного радіуса з центром в даній точці (радіус може бути заданий двома крапками);
б) дуга окружності даного радіуса з центром в даній точці.
Лінійка. Характерна операція для креслярської лінійки - проведення прямої через дві дані точки.
На практиці лінійкою користуються також для побудови до даної окружності дотичній (рис. 8), що проходить через задану поза її точку, і для побудови загальних зовнішніх і внутрішніх дотичних до двох кіл.

Рис. 8
Теоретично ці операції так ж суворі, як і проведення прямої через дві дані точки. Практична точність в більшості випадків цілком задовільна. Цей прийом часто використовується в креслярських роботах і при розмітці. Отже, за допомогою лінійки можуть бути побудовані:
а) пряма, що проходить через дві дані точки;
б) відрізок прямої, обмежений двома даними точками;
в) промінь, що проходить через цю точку і має початок в іншій даній точці;
г) дотична до даної окружності, що проходить через дану поза кола точку;
д) зовнішні і внутрішні дотичні до двох даними колами.
Креслярський трикутник має всі властивості односторонньої лінійки. Отже, за допомогою креслярського трикутника можуть бути отримані ті ж елементи, що і за допомогою лінійки, а також пряма, що проходить через цю точку і утворює з даної прямий кут, рівний одному з кутів креслярського трикутника.
Транспортир. Характерною операцією для транспортира є побудова точки, що лежить на промені, що проходить через дану на прямий точку і створюючому заданий кут з цієї прямої (рис. 9).

Рис. 9
Абстрактна характеристика кожного інструмента може бути використані для з'ясування питання про можливість розв'язання задач на побудову тими чи іншими інструментами.
З цією метою в теорію геометричних побудов вводиться поняття класу конструктивних елементів. До цього класу належать усі задані елементи, а також: пряма, якщо вона визначається двома конструктивними точками; окружність, якщо вона визначається конструктивним центром і конструктивним радіусом (пара конструктивних точок); точка, що лежить на промені, що проходить через задану на конструктивній прямий точку і створюючому з цієї прямої заданий кут, і, нарешті, точки, які є перетином конструктивних ліній (прямих і кіл).
Очевидно, що кожен набір інструментів має свій клас До конструктивних елементів.
На підставі цього може бути встановлений наступний критерій розв'язності задачі на побудову.
Якщо шуканий елемент (або елементи) належить класу К, який визначається вибраним набором інструментів, то завдання є розв'язною при виконанні цими інструментами кінцевого числа операцій.
Звідси, природно, випливає, що можливість використання великої кількості різних інструментів розширює, взагалі кажучи, клас конструктивних елементів і тим самим збільшує число завдань, що допускають точне рішення.
У теорії геометричних побудов питання про необхідність залучення довільних елементів для вирішення (точного або наближеного) завдань на побудову розглядається в ряді робіт; на підставі теореми, яка каже, що за наявності серед заданих елементів двох різних точок клас конструктивних елементів, отриманий при використанні циркуля і лінійки , утворює рахункове, всюди щільна множина, доводиться, що будь-яка задача на побудову може бути вирішена за допомогою циркуля і лінійки без залучення довільних елементів або точно, або наближено з будь-яким ступенем точності, якщо серед заданих елементів є принаймні дві різні точки.

2.2.3. Виконання геометричних побудов.

Навчання учнів геометричним побудовам переслідує дві мети: навчання виконання власне геометричних побудов та навчання розв'язання задач на побудову.
Природно, що кожному з цих питань у різних класах повинно бути приділено різне увагу. Розглянемо перший з них.
У VI класі основна увага звертається на навчання учнів виконанню найпростіших геометричних побудов і їх систематичного використання при формуванні та закріпленні найважливіших понять: перпендикулярність і паралельність прямих, найголовніші лінії в трикутнику, симетрія відносно прямої і т. д.
До кінця VI класу учні повинні отримати вже досить міцні навички у вирішенні ряду конструктивних завдань, включених в програму VI класу, цінних з практичної точки зору і необхідних для подальшого вивчення матеріалу.
До цих побудов відносяться різні прийоми побудови відрізка, рівного даному, масштабною лінійкою або циркулем і лінійкою (немасштабні); дії над відрізками (в тому числі поділ відрізка навпіл) за допомогою масштабної лінійки або циркуля і лінійки (немасштабні); наближене поділ кута навпіл циркулем ; побудова кута, рівному даним, транспортиром або циркулем і лінійкою; побудова прямого кута креслярським трикутником; дії, що здійснюються над кутами малкою, транспортиром, циркулем і лінійкою (немасштабні); побудова паралельних і перпендикулярних прямих різними прийомами.
Уміння фактично виконувати зазначені вище побудови є абсолютно необхідною умовою для подальшого успішного навчання рішенню конструктивних завдань, так як тільки за цієї умови учні, вирішуючи завдання, зможуть приділити увагу змістом і методами їх вирішення, а не тільки техніці виконання самого побудови.
Крім того, оволодіння поруч побудов сприяє кращому засвоєнню нових понять. Так, наприклад, для засвоєння таких важливих понять, як висота трикутника, симетрія відносно прямої і т.д., необхідно, щоб учні вміли будувати прямі кути, перпендикулярні прямі і т. д.
Правильно виконаний креслення має велике значення для відшукання плану розв'язування задач на обчислення і доказ, і навпаки, невірно виконаний креслення часто не дозволяє «побачити» потрібні співвідношення. Більш того, невірний креслення часто спрямовує думку учнів по невірному шляху.
У VII класі перед учителем стоять більш широкі задачі з вивчення та використання геометричних побудов, в тому числі розв'язання задач на побудову. Триває навчання виконання деяких нових побудов і проводиться систематичне закріплення придбаних в VI класі умінь; як і раніше, геометричні побудови використовуються при формуванні та закріпленні геометричних понять, а також для доказу існування деяких геометричних фігур. (Початок цієї роботи, доказ існування визначених об'єктів, проводилося в VI класі; поняття медіани, бісектриси, висоти трикутника, паралельних прямих вводилися там на основі побудови.)
Новими побудовами для учнів VII класу є: побудова центрально-симетричних фігур, розподіл відрізка на рівні частини, побудова кола по трьох її точкам, поділ дуг окружності на рівні часта, поділ дуг і хорд кола навпіл, проведення дотичної до кола через дану точку.
Всі ці побудови, виконання яких в більшості випадків грунтується на матеріалі, вивченому в VI класі, використовуються потім при вирішенні конструктивних завдань. Необхідно, щоб учні вміли фактично виконувати їх за будь взаємному положенні заданих елементів.
У VII класі продовжується формування умінь учнів вибирати різні прийоми побудови в залежності від умови задачі. Так, наприклад, перед ними може бути поставлено питання, яким способом вони будуть проводити через дану точку дотичну до даної окружності, якщо:
а) точка лежить поза кола і центр кола невідомий,
б) точка лежить на колі і центр кола невідомий,
в) точка лежить на колі, а центр кола знаходиться поза креслення.
Побудова дотичних для всіх цих випадків учні не повинні заучувати. Вони повинні лише уявляти, як треба вчинити в залежності від умови задачі, які співвідношення між шуканими і даними, елементами треба використовувати для побудови.
У VIII класі число нових побудов вельми обмежена - це поділ відрізка в даному відношенні, побудова фігур, подібних даними, побудова кутів за заданим значенням їх тригонометричних функцій і побудова правильних багатокутників. Таким чином, основна увага тут приділяється закріпленню раніше вивчених побудов і розв'язання задач на побудову.

2.2.4. Про деякі питання методики навчання рішенню задач на побудову.

При вирішенні з учнями завдань на побудову виникають великі методичні труднощі. Справа в тому, що при цьому зазвичай переслідують дві мети; вирішити це завдання і разом з тим навчити школярів розв'язувати задачі на побудову взагалі, тобто познайомити їх із загальними підходами до вирішення завдань, показати, як шляхом аналізу шуканої фігури, міркувань, припущень відшукується рішення задачі.
Ця друга завдання значно складніше, ніж перша, і її реалізація вимагає від вчителя великому кропіткої і систематичної роботи, особливо в середній школі, так як рішення задач на побудову - абсолютно новий для учнів вид роботи. У багатьох випадках відшукання ходу рішення нового завдання є для учнів невеликим відкриттям і в той же час дослідженням.
Труднощі посилюється ще й тим, що часто знаходження рішення завдання представляє собою досить складний процес, що вимагає від учнів великої уваги. Для того щоб ця робота протікала успішно, необхідно, щоб учні зацікавились рішенням завдань, щоб вони зрозуміли, наскільки цікава ця робота. Тому завжди слід заохочувати прояв учнями винахідливості, ініціативи, самостійності у відшуканні рішення.
З перших уроків геометрії, підбиваючи учнів до розв'язання задач на побудову, треба забезпечувати їм деяку самостійність, а тоді, коли це необхідно, направити думку учнів на бажаний шлях. Іноді, може бути, навіть слід створити в учнів ілюзію самостійності з тим, щоб додати їм впевненості у роботі, зацікавити їх вирішенням завдань.
Міра самостійності в роботі, що виконується учнями, повинна визначатися вчителем, виходячи з їхнього віку, підготовки, складності розв'язуваної задачі.

2.2.5. Введення задач на побудову.

Продумуючи систему роботи з навчання школярів геометричним побудовам, особливу увагу слід приділити методиці навчання розв'язуванню задач на побудову.
Для підготовки учнів до можливо більш самостійним рішенням завдань на побудову доцільно в ряді випадків спочатку пропонувати учням завдання підготовчого характеру. Вони можуть бути як на побудову, так і на обчислення, і на доказ. Нижче наводяться три приклади використання допоміжних завдань.
Приклад:
Через вершину даного кута провести пряму, що утворить з його сторонами рівні кути.
Кут АВС дорівнює 62 0. Через вершину кута проведена пряма МN, перпендикулярна його бісектрисі. Обчислити кути, які утворює ця пряма зі сторонами кута.
Приклад:
Через точку Р, дану всередині кута АВС, провести пряму, що відсікає від сторін кута рівні відрізки.
Сторони кута пересічені прямий, перпендикулярної його бісектрисі. Довести, що відрізки сторін кута, відсікаються цієї прямої, рівні.
Приклад:
Дві точки А і В знаходяться по один бік прямої L. На пряме L знайти таку точку С, щоб сума відстаней АС і ВС була найменшою.
Відрізок АС перпендикулярний прямій L і ділиться у точці перетину з цієї прямої навпіл. Точка В знаходиться на прямій L. Довести, що точка В знаходиться на однаковій відстані від точок А і С.
Така підготовча робота важлива на початку навчання рішенню завдань тому, що в учнів VI-VII класів ще дуже слабкі зв'язки між різними фактами, що вивчаються в геометрії. Крім того, на перших порах не можна допускати нагромадження труднощів. Необхідно роботу учнів зробити насиченою, але посильною.
Іноді корисно від вирішення практичного завдання перейти до задачі на побудову. Тут деяка сюжетна завдання (а отже, більш зрозуміла) буде зведена до математичної.
У деяких випадках до однієї і тієї ж задачі полізло звертатися кілька разів, з тим щоб показати учням різні способи її вирішення.
У ряді випадків різні за змістом практичні задачі зводяться до однієї і тієї ж математичної. Так, рішення наступних двох завдань зводиться до вирішення першого завдання попереднього прикладу.
В якому місці слід побудувати переправу, щоб відстань від пункту А до пункту В було найменшим (рис. 19).
Шириною ріки в даному випадку нехтуємо.
Промінь із джерела світла А відбиває від екрану Е так, що відбитий промінь проходить через точку В. Знайти точку екрану, в якій відбився промінь світла.
Ще приклад (перше завдання - геометрична, три наступні - практичні):
Дві точки А і В розташовані по один бік прямої МN. На цій прямій знайти таку точку С, щоб АСМ = ВСN.
В яку точку потрібно направити промінь світла з точки А, щоб він, відбившись від непрозорого екрану а, потрапив в точку В (рис 20)?

Рис. 19 Рис. 20
В яку точку потрібно направити пружний куля А, щоб він, відбившись від пружної стінки, пройшов через точку В (рис. 20)?
До двох точках А і В підвішена гнучка нерозтяжна нитку, на яку надіто важке кільце. Знайти положення рівноваги кільця на нитки.
Часто виявляється, що математична задача досить проста, але якщо вкласти у неї практичний зміст, то вона стає недоступною. Тому корисно в VI-VIII класах розглядати з учнями приклади того, як різні практичні завдання зводяться до однієї і тієї ж математичної.
Велике освітнє значення має ознайомлення учнів з приладами, застосовуваними на практиці при вирішенні деяких конструктивних завдань. Зазвичай ця робота проводиться після вирішенні відповідних задач на побудову. Так, наприклад, після розгляду властивості перпендикуляра, проведеного до хорди через її середину, учням пропонується знайти центр зображеної на кресленні кола (можливий порядок вирішення завдання дано на рис. 21 і 22).

Рис. 21


Рис. 22

2.2.6. Етапи рішення задачі на побудову.

Аналіз.
Аналіз - це важливий етап вирішення завдання, оскільки тут ми складаємо план побудови, по суті, знаходимо рішення. Встановлюються такі залежності між даними і шуканими елементами, які дають можливість побудувати шукану фігуру. При навчанні рішенню завдань па побудова доцільно підкреслювати аналогію, яка між відшуканням рішення завдань із математики, алгебри та геометрії ні обчислення і доказ і аналізом задач на побудову. Учень не повинен вважати, що для знаходження рішень завдань на побудову потрібні абсолютно нові прийоми. Тому слід допомогти учням побачити аналогію в застосовуваних прийомах для відшукання вирішенні задач на побудову і завдань з інших дисциплін.
При вирішенні завдань з алгебри на складання і рішення рівнянь ми встановлюємо такі залежності між шуканими і даними величинами. Спочатку уважно вивчається умову задачі, розглядається сенс тієї чи іншої даної величини. Для більш важких завдань використовуємо ілюстрації у вигляді креслення або схеми. Припускаючи завдання вирішеною, ми деяку величину позначаємо буквою х (або іншою буквою) і вважаємо її відомою. Встановлюємо залежності між цією величиною і величинами, даними в умові завдання, причому з різноманіття різних залежностей вибираємо ті, які дозволять вирішити завдання, в даному випадку скласти рівняння.
Зробимо подібний аналіз задачі на побудову: «Побудувати трикутник, знаючи підставу, менший кут при основі і різниця двох інших сторін».
Щоб знайти рішення, потрібно спочатку вивчити умову задачі, подивитися, які елементи шуканого трикутники дані. Для цього накреслимо довільний трикутник А 1 В 1 З 1 (рис. 25) і відзначимо елементи, відповідні даними за умовою. Нехай це буде сторона А 1 З 1 і кут З 1 А 1 В 1. Але на кресленні немає різниці двох інших сторін. А так як для вирішення завдання ми повинні врахувати всі дані, то потрібно показати і різницю.

Рис. 25
Це можна зробити чотирма способами: на меншій стороні відкласти більшу від точки З 1 або від точки В 1 або на більшій відкласти меншу і знову відкладати як від точки В 1, так і від точки А 1. Якщо різниця буде близько точки В 1, то тоді ці не пов'язані між собою і не можна намітити план рішення. Якщо ж У 1 А 1 відкладемо від точки В 1 на В 1 С 1, то дані: підстава, кут при основі і різниця двох інших сторін - будуть пов'язані між собою, але і цей зв'язок не дає можливості намітити план рішення, вона недостатньо жорстка , щоб побудувати, відновити фігуру Д 2 C 1 A 1 B 1. Найкраще ввести різницю, відкладаючи B 1 D 1 = B 1 C 1, так як в цьому випадку ми вже зможемо відновити фігуру З 1 А 1 Д 1. Конкретизувавши таким чином дані завдання, приступаємо до складання плану рішення.
Побудувавши в довільній прямий відрізок, рівний підставі, отримаємо дві вершини трикутника: А 1 і С 1. Знаючи кут З 1 А 1 В 1, ми можемо знайти і положення точки D 1, де D 1 А 1 = В 1 А 1 - В 1 С 1. Залишається розглянути, як побудувати точку В 1 знаючи положення точки D 1. Так як С 1 У 1 = В 1 D 1, то точка В 1 рівновіддалена від точок З 1   і D 1,   тому вона повинна лежати на перпендикуляре Р 1 Q 1, проведеному до відрізка З 1 D 1   через його середину. Точка перетину прямої Р 1 Q 1 і променя А 1 D 1 і буде точкою В 1. Отже, приходимо до наступного побудови. На довільній прямій відкладаємо відрізок, рівний підставі, і будуємо кут, рівний даному, одна з сторін якого містить побудований відрізок, а вершина збігається з кінцем цього відрізка. На другій стороні кута відкладаємо відрізок, рівний різниці двох інших сторін трикутника, і будуємо геометричне місце точок, рівновіддалених від відповідних решт підстави і побудованого відрізка. Точку перетину цього геометричного місця зі стороною кута, що містить різниця, з'єднуємо з кінцем підставі і отримуємо шуканий трикутник.
З цього прикладу видно, що при знаходженні розв'язку задачі на побудову, як і для арифметичних завдань, застосовується аналітико-синтетичний метод. Слідуючи від питання задачі, враховуємо, які елементи нам відомі, і, навпаки, вихідні дані комбінуємо так, щоб побудувати шукану фігуру. Назва етапу аналіз не означає, що для відшукання рішення застосовується тільки аналітичний метод, подібно до того як і при доказі, яке іноді називають синтезом, не завжди застосовується синтетичний метод міркування. При розборі завдання, при знаходженні шляхів її вирішення аналіз і синтез знаходяться у постійній взаємодії, доповнюють і перевіряють один одного.
Аналіз завдання пов'язаний з вихідним кресленням, тому його необхідно виконувати акуратно, а фігура повинна мати найбільш загальну форму. Якщо мова йде про трикутник, то потрібно брати різносторонній трикутник; про трапеції, то не равнобочная трапецію; якщо про чотирикутнику взагалі, то і креслимо чотирикутник, який не був би ні параллелограммом, ні трапецією. Якщо, наприклад, вирішуючи завдання на побудову трикутника, виберемо для аналізу рівносторонній трикутник, то учні замість потрібних залежностей між даними і шуканими елементами можуть використовувати і інші зв'язки, які виникнуть у них під враженням рівностороннього трикутника.
Креслення необхідно виконувати акуратно креслярськими інструментами, і лише після набуття навичок у кресленні відрізків без лінійки можна виконувати його від руки. Навички виконання креслень чи малюнків від руки особливо необхідні для учнів, які в майбутньому будуть мати справу з технікою, де вони повинні вміти робити ескізи деталей. З цим вони не зможуть впоратися, не маючи найпростіших навичок технічного малювання і креслення.
Креслення повинен строго відповідати умові завдання. У ряді випадків доцільно при аналізі побудова креслення починати не з даних, а з шуканих елементів фігури. Якщо, наприклад, шукана коло по умові стосується деякої прямої і деякої кола в даній на ній точці, то й на кресленні для аналізу ми повинні бачити їх стосуються. Отже, спочатку треба побудувати коло, що зображає шукану, і прибудувати стосуються її довільні пряму і коло.
Таким чином, для відшукання рішення завдань на побудову перший час необхідно використовувати навички, набуті учнями під час вирішення арифметичних завдань, а потім вже і навички, набуті при вирішенні основних завдань на побудову та інших математичних задач. Використовуємо також теоретичний матеріал, у тому числі і спеціальні методи геометричних побудов.
Побудова.
1. Другий етап розв'язання задач на побудову складається з двох частин: 1) перерахування у порядку всіх елементарних побудов, які потрібно виконати, згідно з аналізом, для вирішення завдання, 2) безпосереднє виконання цих побудов на кресленні за допомогою креслярських інструментів. Дійсно, вирішити задачу за допомогою тих чи інших інструментів - означає вказати кінцеву сукупність елементарних, допустимих для даних інструментів, побудов, виконання яких у певній послідовності дозволяє дати відповідь на питання завдання. Наприклад, допустимими побудовами, які визначають поняття «з допомогою циркуля і лінійки», є наступні: 1) побудова прямої, що проходить через дві дані точки, 2) побудова точки перетину двох даних прямих; 3) побудова кола даного радіуса при заданому центрі; 4) побудова точок перетину двох даних кіл; 5) побудова точок перетині даної прямий і даної окружності.
Вже при вирішенні найпростіших завдань ми зустрічаємося з такими випадками, коли послідовність елементарних побудов, потрібних для побудови шуканої фігури, вказана, а практично здійснити їх не можна. Наприклад, потрібно побудувати трикутник за трьома сторонами. Завжди можна вказати послідовність побудов для вирішення цього завдання, але якщо одна із сторін більше суми двох інших, то трикутника не отримаємо. І в стереометрії при вирішенні конструктивних завдань ми не завжди можемо, наприклад, виконати побудова площини або сфери так, як ми будуємо на площині прямі та кола. І тоді головним є вже не фактичне побудова, а вказівку, в якій послідовності потрібно виконувати певні побудови, щоб вирішити завдання. Наприклад: «Через цю точку А провести пряму, паралельну даній прямій МN, не. проходить через точку А ». Для цього через точку А і пряму М N   проводимо площину і в ній через точку А проводимо пряму, паралельну прямій М N. Завдання вважається вирішеною, хоти ці побудови ми виконати не можемо.
2. Перерахування елементарних побудов в розділі «Побудова» не завжди є повторенням аналізу. При аналізі ми знаходимо лише план рішення (як і при вирішенні арифметичних завдань), а потім вже здійснюємо його, записуючи в формі питань з виконаними відповідними діями, недостатньо лише встановити, як ми будемо вирішувати завдання, а потрібно привести і саме рішення.
І при вирішенні конструктивних завдань, намітивши план побудові, потрібно ще вказати, як воно виконується, тому що нерідко одне й те ж побудова, вказане в аналізі, можна здійснити різними способами.
Рішення однієї і тієї ж задачі декількома способами посилює інтерес учнів до завдань на побудову і свідоме ставлення до вирішення таких завдань. Якщо вирішувати завдання на побудову весь час по заздалегідь вказаним методам, то цим самим сковуються винахідливість та ініціатива учнів у знаходженні різних і оригінальних способів рішення і їм важко навчитися самостійно вирішувати конструктивні завдання. Вони застосовують в першу чергу знання досліджуваного матеріалу і навички, отримані при вирішенні завдань, що передують даній. Якщо вирішувалися завдання, що вимагають застосування певного методу, то і для запропонованого завдання вони винайдуть той же знайомий їм шлях рішення, навіть якщо він нераціональний. Вказівка ​​вчителя на існування більш простого способу не дає належного ефекту, оскільки запропоноване вчителем рішення здається учням штучним, якого вони самі не змогли б знайти.
Звичайно, якщо це робити до того як учні придбають міцні навички в знаходженні рішень різними способами, то результати виявляться негативними. Увага учнів кожного разу буде розпорошуватися між усіма способами, і вони жодного з них не засвоять грунтовно, щоб застосовувати його досить свідомо.
Різними способами добре вирішувати завдання в кінці навчального року, при повторенні курсу геометрії, коли учні вже мають достатні навички у вирішенні задач на побудову. Завдання, що допускає різні способи рішення, краще ставити на будинок, щоб вони не тільки вирішили, а й знайшли найбільш просте рішення.
Сам учитель повинен вибирати той спосіб вирішення, який є найкращим і з теоретичної і з методичної точок зору. Не можна керуватися тільки простотою побудови, поняттям геометрографіі. Слід враховувати не тільки труднощі виконання побудови, але й труднощі аналізу, докази і дослідження.
3. З наведених прикладів видно, що рішення не завжди зводиться до елементарних побудов, а найчастіше до так званим основним побудов або основним завданням на побудову. Подібно до того, як при доведенні теорем використовуються і результати раніше вивчених теорем, а не тільки аксіом, так і при вирішенні задач на побудову при аналізі та описі побудови використовуються раніше розв'язані задачі. Завдання, рішення яких у подальшому часто використовується, зазвичай відносять до основних завдань на побудову. Перелік основних завдань на побудову визначається підручником, але треба пам'ятати, що завдання на побудову може або не може бути віднесена до основних і залежно від ступеня підготовки учнів.
У середній школі недоцільно при вирішенні кожної задачі вимагати від учнів в письмовій або усній формі докладного опису побудов. Такий опис, особливо в VI-VII класах, вимагає великої затрати часу. Інтерес учнів до розв'язання задач на побудову знижується, бо головною трудністю стає виклад рішення, яке зводиться іноді до цілих «творам».
Якщо аналіз завдання виконано досить докладно, то і при усному поясненні до рішення, і в письмових роботах досить, якщо учень вказує, наприклад: «Будуємо прямокутний трикутник по гіпотенузі і катету», - і вірно виконує це побудова. Вчитель завжди в змозі перевірити, чи правильно виконав учень побудова, якщо навіть опис і відсутній. Нерідко, розібравши з учнями умову задачі і намітивши план побудови, пропонуємо учням виконати це побудова в зошитах, не вимагаючи будь-яких пояснень у письмовій формі.
Важлива і мета, для досягнення якої вирішується та чи інша задача на побудову. Якщо на даному уроці, наприклад, головна мета вирішення завдань - навчання відшукання рішень, то ми прагнемо навчити учнів аналізувати умову задачі, вміти бачити на кресленні потрібні фігури і наявні відносини між фігурами та їх елементами. У такому випадку нема чого ускладнювати роботу вимогою докладного опису побудови. Вся увага учнів повинно бути зосереджено на головному, і не потрібно розпорошувати його на другорядні питання, що не мають прямого відношення до поставленої мети.
Якщо на перших порах рішення задач на побудову ми завжди вимагаємо безпосереднього виконання побудови інструментами, то нерідко, коли переконані, що всі учні класу зуміють виконати креслення за допомогою інструментів, дозволяємо учням вказувати лише план побудові, виконуючи креслення від руки, а іноді просто обмежуємося лише складанням плану побудови, тобто аналізом, або з проведенням ще дослідження.
4. З введенням геометричного матеріалу в курс арифметики учні вже в V класі набувають навички в застосуванні таких інструментів, як лінійка, циркуль, креслярський трикутник, знайомляться з пристроєм і застосуванням транспортира. При кресленні секторних діаграм, а також на уроках географії вони закріплюють свої знання про пристрій транспортира та набувають навичок у застосуванні його для вимірювання кутів і для побудови заданих кутів. На уроках праці в шкільних майстернях п'ятикласники при розмітці застосовують лінійку, циркуль, косинець. Ці навички закріплюються в VI класі при вивченні першої теми курсу геометрії «Основні поняття».
При вивченні властивостей прямої учні виконують побудови всіляких прямих через одну, дві, три, чотири точки. Виконуючи необхідні побудови, вони переконуються, що через одну точку можна провести скільки завгодно прямих, через дві - тільки одну, через три точки можна провести три прямі або тільки одну, чотири точки можуть визначати тільки одну пряму, або чотири прямі, або шість прямих. Це сприяє розвитку просторових уявлень.
Учні повинні придбати міцні навички у виконанні дій над відрізками і у виконанні накладення одного відрізка на інший, що істотно важливо для подальшої роботи. Тут вони закріплюють навички в застосуванні лінійки та циркуля, так як часто потрібно вміти «взяти» відрізок циркулем, відкласти його на довільній прямий, порівняти відрізки шляхом накладення одного на інший. Застосування транспортира, причому не тільки в якості малки, але і для вимірювання кутів, полегшує засвоєння розділу «Порівняння кутів. Дії над кутами: додавання, віднімання, множення на ціле число. Бісектриса кута ».
Доказ.
1. Після того як фігура побудована, необхідно встановити, чи задовольняє вона умовами завдання, тобто показати, що фігура, отримана з даних елементів певним побудовою, задовольняє всім умовам завдання. Значить, доказ істотно залежить від способу побудови. Одну й ту ж задачу можна вирішувати різними способами, в залежності від наміченого при аналізі плану побудови, а тому, і доведення у кожному випадку буде своє, Розглянемо завдання: "Побудувати трапецію, з чотирьох сторін» (рис. 26).
Рис. 26
Провівши СК | | ВА, рішення задачі зводимо до побудови трикутника КС D за трьома сторонами: дві рівні бічних сторонах трапеції (АК = КС), а К D = А D - НД Побудуємо трикутник КС D, і, вважаючи бік А D побудованої, доповнимо його до трапеції різними способами:
1) Проведемо ЗС | | А D і, відклавши менше підставу, з'єднаємо отриману точку В з А Доказ зведеться до встановлення рівності: АВ = КС.
2) Якщо провести АВ | | КС і ВС | | А D, то тоді вже треба довести, що АВ = КС і ВС = АК.
3) Якщо провести пряму СВ | | D А    і на ній знайти точки В і В 1, віддалені від А на відстані, рівному бічній стороні, то в цьому випадку точка В 1 буде сторонньої і лише точка В буде шуканої, причому доказ (ВС = АК) вже ускладнюється.
4) Якщо відшукувати точку В, як точку перетину кіл (А; АВ) і (С; СВ), то з двох точок В і В 2 тільки точка В буде шуканої.
Третій і четвертий випадки підкреслюють необхідність доказу. В аналізі ми знаходимо необхідні умови, яким має підкорятися побудова, щоб отримати потрібну фігуру. Треба ще встановити, що знайдені необхідні умови є і достатніми, тобто, що побудована фігура задовольняє всім вимогам задачі.
2. При вирішенні простих завдань, коли всі умови задачі знаходять безпосереднє відображення в плані побудови, немає необхідності доводити, що фігура, отримана з даних елементів такою побудовою, є шуканої. Наприклад: «Побудувати трикутник за двома сторонами та кутом між ними». Тут доказ зводиться до простої перевірки, чи такі взяли сторони, як дані, і чи буде побудований кут дорівнює даному. У подібних завданнях доказ є зайвим, бо правильність рішення забезпечується відповідністю побудови аналізу і даними умови задачі.
Але іноді не всі умови відображаються в плані аналізу і при побудові. Наприклад, у випадку (3) точка В дійсно повинна лежати на ПС і відстояти від точки А на даному відстані. Але цього недостатньо, так як відрізок АВ повинен бути паралельним СК.
Так як доказ залежить від обраного рішення, то, не ознайомившись з аналізом і побудовою, не можна сказати, правильно плі неправильно проведено доказ.
3. Доказ не просто залежить від аналізу та побудови, між ними існує взаємозв'язок і взаємозумовленість. Побудова проводиться за планом, складеним при аналізі. Таких планів можна вказати кілька. Побудова і доказ є своєрідним критерієм правильності та раціональності складеного плану. Якщо план не здійснимо наявними інструментами або ж побудова виявляється нераціональним, ми змушені шукати новий план рішення. Аналогічним чином і доказ, і дослідження впливають на аналіз, зумовлюючи нерідко вибір плану рішення.
4. Для спрощення докази доцільно пропонувати учням і такі завдання на доказ, що служать для розвитку математичного мислення або для поповнення обсягу знань, але й можуть бути використані при вирішенні задач на побудову. Наприклад, при вивченні приватних видів паралелограма вирішуємо завдання:
1) Якщо у паралелограма діагоналі взаємно перпендикулярні, то такий паралелограм є ромб.
2) Якщо в паралелограма діагональ ділить один з кутів навпіл, то такий паралелограм є ромб.
3) Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то такий паралелограм є прямокутник і т. п.
При вирішенні задач на побудову методом подібності, вибравши центр подібності і знайшовши коефіцієнт подібності, виконуємо подібне перетворення багатокутника, подібного шуканого, майже завжди не тим способом, який викладений в підручнику А. П. Кисельова, і кожен раз змушені проводити окреме доказ, що отриманий багатокутник - шуканий. Доцільно ознайомити учнів з загальноприйнятим способом побудові, заснованим на тому, що у гомотетічних багатокутників подібні попарно паралельні. Завдяки цьому при вирішенні майже всіх задач на побудову багатокутників методом подібності доказ, що отриманий багатокутник шуканий, значно спрощується.
5. Хоча доказ при вирішенні задач на побудову проводиться аналогічно доказу теорем, з використанням аксіом, теорем і властивостей геометричних фігур, між ними є і деякі відмінності. При доведенні теорем в більшості випадків без праці виділяють умова і висновок. При вирішенні задач на побудову вже важче знайти дані, на підставі яких можна довести, що побудована фігура є шуканої. Тому при вирішенні конструктивних завдань у класі доцільно іноді спеціально виділяти, що дано і що потрібно довести. Наприклад, при вирішенні завдання: "Побудувати ромб по двох його діагоналях» пропонуємо учневі записати, що дано (діагоналі взаємно перпендикулярні і, перетинаючись, діляться навпіл) і що потрібно довести (сторони рівні). Однак при вирішенні завдань вдома і в контрольних роботах ми не вимагаємо оформлення доведення з виділенням окремо умови і висновку.
Немає потреби вимагати проведення особливого докази в задачах, де правильність рішення очевидна. А іноді, якщо навіть правильність рішення і не вбачається безпосередньо, вчитель, з огляду на призначення розв'язуваних завдань, може не вимагати докази, попередивши про це учнів.
Дослідження.
Сутність і значення дослідження.
Кожне завдання на побудову включає в себе вимогу побудувати геометричну фігуру, що задовольняє певним умовам, які в більшості своїй задаються розмірами або призначеному деяких геометричних образів. Умови задач формулюються у найзагальнішому вигляді, а тому вихідні дані є як би параметрами, які приймають всілякі допустимі значення.
Допустимі значення визначаються найбільш природним чином. У задачі: «Побудувати трикутник за двома сторонами а і b і куту С між ними »допустимими значеннями для а і b будуть всілякі відрізки, які можна характеризувати позитивними числами, їх довжинами, а кут С може приймати всілякі значення від 0 ° до 180 °.
У задачі: «Побудувати коло, що стосується довжиною кола в даній на ній точці і даної прямої» пряма може займати будь-яке положення на площині; окружністю також може бути будь-яка окружність на площині, але так як окружність характеризується становищем центру та величиною радіуса, то можна сказати , що центром даної кола може бути будь-яка точка площини, а радіусом - будь-який відрізок, довжина якого 0 <R <∞. (Іноді розглядають і спрямовані кола, тоді вже радіус може бути і недодатні чистому, але подібні випадки зазвичай обмовляються в умові завдання.) Точка також може займати довільне положення, але вже не на площині, а на даній кола, тому що вона обов'язково повинна належати їй.
Іноді неможливість побудови шуканої фігури очевидна, якщо хоч один з цих елементів не належить області допустимих значень. Наприклад: «Побудувати трикутник за двома сторонами а і b і куту між ними в 240 ° ». Таке завдання рішення не має, так як будь-який кут трикутника завжди менше 180 °.
Але якщо всі дані належать відповідної області існування, то в більшості випадків різноманіття можливих положень, характер зміни даних призводить, як і в алгебрі при вирішенні завдань з параметричними даними, до постановки питань: За яких даних задача не має рішення? Як змінюється відповідь при певному характері зміни даних? Якими мають бути значення вихідних даних, щоб отримати намічений відповідь? і т. п.
При аналізі, а значить, і при побудові завжди виходимо з припущення, що шукана фігура існує, не враховуючи всього різноманіття даних, їх розмірів та взаємних співвідношень. Рішення задачі на побудову вважається закінченим, якщо вказані необхідні і достатні умови, при яких знайдене рішення є відповіддю на завдання. Значить, ми повинні встановити, при всякому чи виборі даних завдання має рішення і якщо має, то скільки. Наприклад: «Побудувати коло, що проходить через три дані різні точки». Якщо дані точки не лежать на одній прямій, то завдання має рішення і до того ж тільки одне, якщо ж точки лежать на одній прямій, то завдання рішення не має.
Якщо при певному поєднанні даних спільне рішення не стосується, то необхідно дати нове рішення, яке часто не незначно відрізняється від загального чи є його виродженим випадком. Іноді план вирішення зберігається, за його здійснення за допомогою інструментів виконується не так, як у загальному випадку.
У середній школі зазвичай обмежуються лише двома моментами: 1) з'ясовують число рішень в залежності від даних і 2) змінюють або спрощують рішення для окремих випадків. Щоправда, для деяких завдань в дослідженні дається ще й відповідь па питання: за яких умов шукана фігура задовольняє тим чи іншим додатковим умовам. Наприклад: «Близько даного трикутника описати коло. З'ясувати, коли центр цього кола знаходиться всередині трикутника, поза трикутника або належить одній з його сторін ». Відповідь на останнє питання також дається при дослідженні.
Дослідження є складовою частиною рішення. Рішення задачі на побудову можна вважати закінченим, якщо дізнаємося, скільки шуканих фігур отримаємо за певних даних, і, зокрема, зазначено, коли не отримаємо шуканий геометричний образ. Але дослідження в задачах на побудову, як і дослідження при вирішенні інших завдань з математики, має і загальноосвітній значення.
У процесі дослідження учні вправляються в практичному застосуванні діалектичного методу мислення. Вони бачать, що зміна даних задачі викликає зміна шуканої фігури. Ми маємо справу не з закостенілими, а до мінливих геометричними образами, зміна одних величин обумовлено зміною інших.
Для правильного проведення дослідження потрібно мати добре розвиненим логічним мисленням. Значить, з іншого боку, дослідження задач на побудову є гарним матеріалом для розвитку логічного мислення учнів.
Зауважимо, що і при вирішенні завдань на доказ або обчислення учням нерідко потрібно для побудови правильного креслення також проводити дослідження. Часто необхідно попередньо з'ясувати, який вид даного трикутника (гострокутий або тупокутний), які сторони прийняти рівними даними відрізкам. Наприклад, при вирішенні завдання: «Визначити периметр рівнобедреного трикутника із сторонами в 7 см і 3 см » спочатку потрібно встановити, що підставою є відрізок довжиною 3 см , а не 7 см .
Нерідко вже при аналізі задач на побудову ми змушені враховувати різні положення даних і шуканих елементів. Наприклад, вирішуючи завдання: «Дана коло і на ній три крапки М, N і Р, в яких перетинаються з окружністю (при продовженні) висота, бісектриса і медіана, що виходять з однієї вершини вписаного трикутника. Побудувати цей трикутник », в першу чергу потрібно з'ясувати, що точка N (відповідає бісектрисі) розташована між М і Р, розглядаючи дугу MP, меншу півкола.
Наведемо ще такий приклад: «На колі дано дві точки А і В. З цих точок провести дві паралельні хорди, сума яких дана». Рішення завдання легко звести до побудови вписаною трапеції із заданою сумою підстав, вершинами якої є точки А і В. Але рішення залежить від того, чи буде АВ бічною стороною трапеції або її діагоналлю. Знову аналіз включає в себе елементи дослідження.
Незважаючи на необхідність та доцільність дослідження при вирішенні задач на побудову, йому і в школі, і в методичній літературі приділяється недостатньо уваги. Велика увага приділяється зазвичай вирішити його - аналізу. Аналіз - основний етап при вирішенні задач на побудову: не знайшовши вирішення, не можна провести ні побудови, ні докази, ні дослідження. Але за труднощі виконання дослідження є не менш складним етапом. Найбільша кількість помилок допускається саме при дослідженні.

2.2.7. Методи розв'язування задач на побудову.

Метод геометричних місць.
1. Поняття «геометричне місце точок», що є синонімом поняття «множина», одного з основних понять сучасної математики, вводиться в елементарній геометрії виключно через його наочності, образності; слово «місце» як би відповідає на питання, де «поміщаються» точки, які мають такі або іншим властивістю.
Знання геометричних місць точок, що володіють певним властивістю, полегшує знаходження рішення для багатьох практичних завдань. Наприклад, для вирішення завдань на поєднання кіл і прямих, з якими учні зустрічаються досить часто на уроках праці в шкільних майстернях при обпилювання криволінійних поверхонь (виготовлення дуги для лобзика, викрутки, гайкового ключа і т. п.), при виготовленні приладів, посібників для школи, які вони часто роблять не за кресленнями, а за технічними малюнків, не виконуючи деталювання кожної деталі, необхідно знати відповідні геометричні місця. Без знання геометричних місць центрів кіл, що стосуються даних прямих або кіл при певних обмеженнях, семикласники не зможуть на уроках креслення зрозуміти способи розв'язання задач на сполучення кутів дугами, пару кола з прямою за допомогою дуги даного радіуса і т.п.
Слід враховувати, що поняття «геометричне місце точок» необхідно і в курсі алгебри при вивченні графіків найпростіших функцій у VII-VIII класах. Графік функції визначається як геометричне місце точок площини, координати яких є відповідними значеннями аргументу і функції. Поняття графіка необхідно і в курсі фізики, де в останні роки все більше значення набуває графічний метод.
У VI-VII класах не можна відмовлятися і від рішення задач на побудову методом геометричних місць, одним з основних методів конструктивної геометрії.
Вирішуючи завдання на побудову, учні вчаться застосовувати свої знання, бо вони мають самі відповідати на поставлені питання. В даний час головним завданням вчителів математики є не стільки повідомлення математичних фактів, визначень, формул, теорем, скільки необхідність вчити дітей мислити, вчити їх самостійно працювати.
2. Учні VI класу не відразу свідомо, глибоко засвоять поняття «геометричне місце точок». Важливо, щоб вони з даними словами пов'язували більш повну групу геометричних фігур, щоб поняття охоплювало цілий клас, а не один - два окремі приклади. Учні повинні бачити різні приклади геометричних місць точок у різних формулюваннях, щоб на основі аналізу та синтезу усвідомити спільність цього поняття, що охоплює великий клас геометричних фігур, створити собі відповідне подання про це поняття.
Важким для розуміння шестикласників є і абстрактне поняття «множина». Наведені приклади множин (безліч учнів, дерев в саду і т.п.), в більшості своїй, є скінченні множини, а майже всі геометричні місця точок, що розглядаються в шкільному курсі геометрії, є нескінченними точковими множинами.
3. Поняття геометричного місця точок, які мають деяким властивістю, вводимо на прикладі геометричного місця точок, рівновіддалених від двох даних точок. Після вивчення ознак рівності прямокутних трикутників вирішуємо завдання: «Знайти точку, рівновіддаленість від двох даних точок А і В» (рис. 27).
Рис. 27
Учні зазвичай вказують лише точку О, середину відрізка АВ. А чи немає на площині ще точок, рівновіддалених від А і В? При побудові за допомогою циркуля не-скількох таких точок учні самостійно пригадують властивість точок осі симетрії і кажуть, що точок, рівновіддалених від А і В, буде багато, всі вони лежать на осі симетрії даних точок А і В.
Можна безпосередньо, грунтуючись на ознаках рівності прямокутних трикутників, довести, що будь-яка точка, рівновіддалена від даних точок А і В, лежить на їх осі симетрії, тобто на перпендикуляре, проведеному до відрізка АВ через його середину, і навпаки, будь-яка точка цього перпендикуляра рівновіддалена від точок А і В.
Після цього даємо визначення геометричного місця точок, які мають деяким властивістю, як множини всіх точок, які мають цією властивістю, і тільки таких точок, і пропонуємо учням сформулювати результат розв'язання задачі та записати в зошиті, що геометричне місце точок, рівновіддалених від двох точок, є вісь симетрії даних точок.
Тут вперше зустрічаємося не з окремою, фіксованою крапкою, а з будь-якою точкою прямій. До цього учні майже завжди мали справу з нерухомими, визначеними по положенню точками, а тут точка може переміщатися деяким чином, але весь час вона володіє певною властивістю. Тому більшу користь надасть учням наочний посібник з нерухомими точками А і В і переміщається по їх осі симетрії точкою О, з'єднаної гумкою з точками А і В, за допомогою якого добре роз'яснити зміст виразу: «Будь-яка точка осі симетрії рівновіддалена від А і В».
Примітка. Включення до визначення зайвих з наукової точки зору слів «і тільки таких точок» викликано педагогічними міркуваннями. В іншому випадку у визначенні явно не виділяється необхідність докази двох взаємно зворотних теорем для затвердження, що та або інша фігура є геометричним місцем точок, які мають певною властивістю.
4. Доцільно в якості домашнього завдання до цього уроку запропонувати учням повторити визначення кола (§ 12 за підручником М. М. Нікітіна). Тоді на уроці, уточнивши, що всі точки окружності знаходяться від центра на одній і тій же відстані, а всяка точка, взята всередині (поза) кола, перебуває від її центру на відстані, меншій (більшому) радіусу, робимо висновок, що коло можна розглядати як геометричне місце точок площини, що знаходяться на даному відстані R від даної точки О.
Пропонуємо учням самостійно знайти всі точки, що знаходяться від даної точки О на відстані, меншій ніж R. І при розборі цього завдання підкреслюємо, що геометричним місцем точок може бути пряма, окружність і навіть коло, а в подальшому буде показано, що геометричним місцем точок, володіють деякими властивістю, може бути промінь, відрізок прямій, дві прямі або дві окружності і навіть окремі точки. Розбираючи такі конкретні приклади, ми показуємо учням різноманітність видів тих множин точок, які можуть бути геометричними місцями точок.
Потім треба показати учням, що один і той же геометричне місце точок може зустрічатися в різних формулюваннях, для чого порівнюємо, наприклад, відоме їм геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок, з такими, як геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців дачного відрізка ; геометричне місце вершин рівнобедрених трикутників із загальним підставою (середина підстави вже виключається).
5. Застосовуючи ці геометричні місця точок, вирішуємо завдання методом геометричних місць, починаючи з найпростішої задачі. Які ж завдання вважати найпростішими?
Суть методу геометричних місць полягає в наступному:
1) Рішення задачі зводимо до відшукання точки, що задовольняє певним умовам.
2) відкидаємо одне з цих умов, отримаємо геометричне місце точок, що задовольняють залишилися умов.
3) відкидаємо потім яке-небудь іншу умову, одержимо нове геометричне місце точок, що задовольняють іншим умовам.
4) Бажаєма точка, яка задовольняє всім умовам, є точкою перетину отриманих геометричних місць.
Яке завдання ні візьмемо, одночасно другий і третій етапи відсутнім не можуть, бо тоді це не була б завдання на метод геометричних місць. Але без одного з цих етапів можна обійтися, якщо в умові вказати геометричну фігуру, якій повинна належати шукана точка. Щоб уникнути і першого етапу, досить завдання сформулювати у вигляді: «Знайти точку ...».
Отже, найпростішими завданнями на метод геометричних місць будуть завдання такого типу: «На який-небудь фігурі знайти точку, яка задовольняє певним умовам.
Метод осьової симетрії.
1. Осьова симетрія - це перший із видів руху, перетворення, з яким учні зустрічаються в систематичному курсі геометрії.
В даний час в геометрії велике значення мають конструктивні навички, за допомогою яких учні оволодівають методами перетворення одних геометричних фігур в інші, і поступово знайомляться з важливою ідеєю геометричного перетворення, що є аналогом функціональної залежності в геометрії.
Курси алгебри і арифметики підпорядковані одній ідеї, ідеї функціональної залежності. Ми прагнемо виховувати в учнів функціональне мислення, вміння знаходити закони зв'язків між величинами. Підкоривши курс геометрії ідеї геометричних перетворень, аналогу функціональної залежності, підкоряємо весь виклад курсу математики однієї керівної ідеї.
У новій програмі з геометрії значну увагу приділено геометричним перетворенням, тобто такими операціями, коли кожній точці однієї фігури за деяким законом ставиться у відповідність певна точка іншої фігури. У середній школі з геометричних перетворень розглядаються різні види рухів, а також подібність фігур.
Вивчення руху в середній школі принесе відчутні плоди, якщо ці перетворення стануть основою курсу геометрії, а не придатком, органічно не пов'язаним з ним. Рух має бути однією з основних методів доказу багатьох теорем геометрії в VI-VII класах. Більш того, ідея руху може бути покладена в основу побудови значної частини курсу геометрії. Матеріал, що викладає набуває кінематичний характер, значно полегшується розуміння учнями освіти і побудови геометричних фігур. Застосовуючи поняття осьової симетрії, можна значно удосконалити шкільний курс геометрії. Наприклад, застосування властивостей осі симетрії дозволяє досить просто викласти три ознаки рівності трикутників, спеціальні випадки рівності прямокутних трикутників та ряд інших тем з глави «Трикутники».
2. Різні види рухів дають можливість вирішувати практично важливі задачі на побудову, доказ і завдання обчислювального характеру. Тому всі виклад має супроводжуватися вправами, серед яких перевагу слід віддавати завданням на побудову і на доказ. Потрібно вирішувати і завдання на обчислення, особливо з практичним змістом, але в більшості випадків при вирішенні таких завдань геометрична сторона питання в значній мірі поглинається арифметичними і алгебраїчними операціями.
3.   Відомо, що усвідомлені знання можуть бути отримані тільки в процесі активної і творчої діяльності самостійно або під керівництвом вчителя. При вивченні осьової симетрії є великі можливості залучити учнів до формування самого поняття. Дійсно, учні неодноразово спостерігали в житті приклади симетричних фігур, багато хто з таких предметів вони малювали або виготовляли на уроках у початковій школі і в V класі: вирізали симетричні фігури з паперу, малювали симетричні орнаменти, листя і квіти, виготовляли симетричні предмети з дерева і металу , застосовуючи симетричні інструменти.
Аналізуючи ці знайомі учням приклади, особливо приклади предметів, які були об'єктом або знаряддям трудa учнів у шкільних майстернях, на уроках домоводства або суспільно корисної праці, ми поступово формуємо уявлення про симетричних фігурах.
Частина робіт (виготовлення мотики, планки для граблів і т. п.), що вимагають побудови точок, симетричних щодо певної осі, учні виготовляють до вивчення відповідного матеріалу в курсі геометрії. тому при поясненні осьової симетрії, щоб підкреслити значення цього поняття, як симетричних фігур використовували посібники, виготовлені учнями цього ж класу в шкільних майстернях, причому вибирали завжди два однотипних посібники 9молоткі, стамески), одне з яких зроблено акуратно, точно за кресленням, а другий такий, у якого всі розміри витримані, але порушена симетричність. Спільними зусиллями учні з'ясували, чому друге посібник вийшло поганим, і як потрібно було правильно зробити розмітку.
4. У шкільному курсі геометрії вираз «симетрія» має двоякий сенс: воно позначає і вид руху (перетворення) і властивість плоскої фігури, яка має симетрією, яка при відповідному русі переходить сама в себе. Це відмінність ми повинні враховувати, бо у викладанні доводиться мати справу з кожним з цих тлумачень симетрії. І одне із завдань вчителя - домогтися того, щоб учні сприйняли симетрію як один із способів перетворення однієї фігури в іншу, а не як властивість нерухомої фігури.
Тому після введення визначення симетричних щодо осі точок, увагу учнів перемикаємо на практику побудови взаємно симетричних щодо осі фігур, для чого вирішуємо завдання види:
1) Побудувати точку, симетричну даній точці щодо даної прямої.
2) Побудувати відрізок (пряму), симетричний даному відтинку (прямий) щодо даної прямої.
3) Побудувати трикутник, симетричний даному трикутнику щодо даної прямої.
4) Побудувати коло, симетричну даної окружності щодо даної прямої.
5) Побудувати трикутник, симетричний даному прямокутному трикутнику щодо а) його катета; б) його гіпотенузи.
При вирішенні цих завдань одночасно встановлюємо і рівність взаємно симетричних відрізків, кутів та інших фігур, ілюструючи наші твердження перегинання креслення по осі симетрії, що допомагає знайти і зробити зрозумілим спосіб вирішення задачі. Наприклад, при вирішенні завдань такого типу: «Дано дві прямі. Знайти на них точки, симетричні щодо третьої прямий »дуже зручно нанести всі три прямі на кальку і перегнути креслення по третій прямій. Тоді рішення завдання стає очевидним і зрозумілим для всіх учнів. Таким же чином вирішуємо завдання: а) Дано пряма і трикутник. Знайти на одній прямій і на контурі трикутника точки, симетричні один одному щодо іншої прямої, б) Дано коло і трикутник. Знайти на колі і на контурі трикутника точки, симетричні один одному щодо даної прямої.
Щоб показати учням важливість і необхідність умінь і навичок у побудові симетричних щодо осі точок, крім розбору відомих вже їм прикладів, корисно виконати розмітку якого-небудь виробу, який потрібно буде виготовляти найближчим трясучи.
5. Навчання повинно вестися так, щоб учні засвоїли знання не як ізольовані, відірвані від інших, а як підготовлені попередніми знаннями, і які природно включаються в наступні. Тому надалі, де тільки можливо, слід використовувати поняття і властивості осьової симетрії і правила побудови симетричних фігур при вивченні нових геометричних образів і при вирішенні доступних учням завдань на побудову.
Знання властивостей симетричних щодо осі фігур дозволяє розглядати рішення основних задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки до вивчення ознак рівності трикутників і поняття геометричного місця точок. Самі побудови є для учнів зрозумілими і природними.
Дійсно, щоб побудувати точку, симетричну відносно деякої прямої даній точці А, не лежить на цій прямій, побудуємо дві окружності, що проходять через точку А з центрами в довільних точках О 1, і О 2 даної прямої. Так як для кіл дана пряма є віссю симетрії, то друга їх спільна точка А 1 буде шуканої точкою. Але цим самим ми вирішили і завдання: «Через точку А, що не лежить на даній прямій, пронести перпендикуляр до цієї прямої,
Аналогічним чином вирішується і завдання про побудову осі симетрії двох даних точок; одночасно отримуємо рішення задачі про розподіл даного відрізка навпіл.
Так як бісектриса кута є вісь симетрії його сторін, то для побудови її досить знайти на сторонах кута дві точки, симетричні відносно шуканої вісі, якими будуть точки, що знаходяться на рівних відстанях від вершини кута, що належить осі симетрії. У результаті завдання звелася до попередньої з тією лише різницею, що достатньо знайти одну точку осі, тому що друга точка - вершина кута - нам відома.
Цим же побудовою вирішується і завдання про проведення до прямої перпендикуляра через дану на ній крапку, тому що шуканий перпендикуляр по суті є бісектриса розгорнутого кута з вершиною в даній точці.
Застосування осьової симетрії значно спрощує і полегшує засвоєння таких розділів теми «Коло», як властивість діаметру, перпендикулярного до хорди, властивість дуг, укладених між паралельними хордами. Без великої витрати часу можна ретельно розглянути дуже важливий для додатків питання про взаємне розташування кіл, якщо звернути увагу учнів на симетричність спільних точок двох кіл щодо їх лінії центрів. Учні зможуть самостійно вказати необхідні і достатні умови дотику двох кіл, що потрібно при вивченні відповідних геометричних місць центрів кіл, що стосуються даної.
У VII-VIII класах метод осьової симетрії часто застосовується разом з іншими методами.
Метод центральної симетрії.
1. Протягом двох років ми знайомили учнів з центральною симетрією приблизно так, як у підручнику М.М. Нікітіна. Розглядали побудова і властивості точок, відрізків і трикутників, симетричних відповідним даними фігурам щодо деякої точки О. Потім розглядали питання про центр симетрії паралелограма, вирішуючи попередньо завдання: «Якщо параллелограмме через точку О перетину його діагоналей провести довільну пряму, то відрізок прямої, укладений між його сторонами, ділиться у точці О навпіл ». Отримавши відповідний висновок про центр симетрії паралелограма, вводимо поняття центрально-симетричних фігур, підкреслюючи, що кожній точці М фігури, що має центр симетрії у точці О, відповідає інша точка М 1 цієї ж фігури, що відстоїть від О на таку ж відстань, як і крапка М, і що лежить на прямій МО.
Вирішували такі завдання на побудову із застосуванням центральної симетрії;
1) Побудувати трикутник за двома сторонами і медіані, проведеної до третьої сторони.
2) Дан кут і точка Р всередині нього. Провести через цю точку пряму так, щоб відрізок її, укладений між сторонами кута, ділився в даній точці навпіл.
У більшості учнів не створювалося правильного уявлення про застосування тут центральної симетрії, вони розглядали ці рішення, як рішення задач доповненням шуканих трикутників до паралелограмів.
Причини того, що це поняття виявилося важким при такому викладі, наступні: по-перше, поняття центральної симетрії точок і фігур вводилося формально, без активної участі учнів у формуванні цього поняття, по-друге, приклади задач на побудову для ілюстрації застосування центральної симетрії підібрані невдало, по-третє, в курсі геометрії за усталеною традицією центральна симетрія не знаходить належного застосування.
2. Результати виявилися значно кращими, коли поняття центральної симетрії почали вводити так само, як і поняття осьової симетрії. Пояснення цього поняття супроводжувалося показом відповідних наочних посібників, а також виробів, для яких учні даного класу виконували розмітку, приймаючи точку перетину базисних ліній за центр симетрії і відкладаючи на одній і тій же прямій по різні від цієї точки боку рівні відрізки.
Потім вирішуємо завдання такого типу: «Побудувати точку (відрізок, трикутник), симетричну даній точці (відрізку, трикутнику) щодо даного центру О», встановлюючи це рівність центрально-симетричних відрізків і трикутників. Щоб учні зрозуміли, що будь-які центрально-симетричні фігури рівні, пропонуємо їм накреслити довільну прямолінійну фігуру і знайти центрально-симетричну їй фігуру по відношенню до деякого центру. Повертаючи одну з них на 180 о біля центру О, учні переконуються, що ці фігури збігаються. Потім, як і в попередньому варіанті, вводимо поняття центрально-симетричних фігур, розглядаючи попередньо симетрію паралелограма. Щоб показати вкладення центральної симетрії до розв'язання задач на побудову, підбираємо завдання, для вирішення яких потрібно застосувати дійсно центральну симетрію, а не доповнення до паралелограма.
Метод паралельного переносу.
У середній школі множення рухів не розглядається, і ми не можемо вводити паралельний перенос як добуток двох відображень близько паралельних осей, а змушені виходити з властивостей паралелограмів.
Доцільно з паралельним перенесенням знайомити учнів у процесі вирішення завдань па побудова при вивченні теми «Чотирикутники».
Є завдання обчислювального характеру і на доказ, що вимагають проведення прямих, паралельних бічній стороні трапеції, або в яких вже проведена така пряма, наприклад:
1) У трапеції ABCD з вершини У проведена пряма, паралельна боці CD, до зустрічі в точці Е з більшою підставою А D. Периметр трикутника АВЕ дорівнює 1м, а дліма ED дорівнює 3дм. Визначити периметр трапеції.
2) Довести, що в рівнобедреної трапеції кути при основі рівні. Для вирішення цього завдання учні проводять пряму, паралельну бічній стороні, щоб звести доказуване пропозицію до властивості рівнобедреного трикутника.
Але перенесення частини фігури, штучно відокремленою від інших елементів, для учнів більш складний, ніж перенесення всієї фігури. Тому можна було б починати з вирішення завдання, що вимагає перенесення окружності. У цих завданнях дуже проста побудова, так як фактично потрібно переміщати в заданому напрямку на даний відстань лише одну точку - центр кола. Але при такому рішенні учні не бачать, як переміщуються точки окружності, бо допустимо обертання кола біля центру, а це може призвести до неправильного розуміння паралельного переносу. Наприклад, у відомому посібнику І. І. Александрова першим прикладом на метол паралельного перенесення є завдання: «Між двома колами провести відрізок ХУ, що ділиться навпіл в даній точці А». Наведене там рішення показує, що замість паралельного переносу кола фактично виконано відбиття від точки А, яке можна в даному випадку розглядати як твір паралельного перенесення і повороту кола навколо свого центру на 180 °.
Таким чином, при вирішенні завдань па побудова ми застосовуємо метод паралельного переносу, сутність якого полягає в наступному: при аналізі якусь постать піддаємо паралельного переносу на деяку відстань в певному напрямку, в результаті чого отримуємо допоміжну фігуру, побудова якої чи очевидно, або не становить труднощів. Після цього проводимо зворотній перенос і отримуємо потрібну фігуру. Тут же роз'яснюємо, що паралельний перенос фігури на деяку відстань означає, що всі її точки зміщуються на однакову відстань у певному напрямку. Отже, для визначення паралельного переносу потрібно знати напрямок і величину переносу.
Паралельним перенесення можна задати вектором переносу, яким одночасно визначав би й напрямок і інтервал даного перенесення, але поняття вектора для семикласників невідомо, тому ми змушені виділяти окремо напрямок і величину переносу. Надалі при вирішенні всіх завдань па побудова методом паралельного переносу вимагаємо від учнів вказувати як напрям переносу, так і відстань, на яке переміщається кожна точка фігури.
Метод подібності.
1. Поняття про подібність фігур в курсі геометрії VIII класу зазвичай ілюструється численними прикладами подібних фігур, що зустрічаються в побуті, в науці і техніці. Використовується і наявний в учнів досвід застосування подібності при виготовленні планів і карт на уроках географії; при проведенні мензульной зйомки, якщо вона була проведена до вивчення цієї теми; при виконанні робочих креслень на уроках креслення; при розмітці деталей у шкільних майстернях за кресленнями, виконаним в деякому масштабі.
Для кращого засвоєння методу подібності при вивченні теоретичного матеріалу необхідно проводити підготовчу роботу, зокрема, роз'яснювати, хоча б у найпростіших випадках (трикутники, паралелограми), умови, що визначають форму фігури з точністю до подібності. Так як учні повинні вміти виконувати побудови допоміжних фігур, подібних шуканим, то потрібно повторити вивчені раніше методи і прийоми геометричних побудов, особливо, метод геометричних місць, що можна зробити при вивченні пропорційності відрізків в зв'язку з новим матеріалом.
Учні, повторивши матеріал, що відноситься до методу геометричних місць, легше сприймають метод подібності. При вирішенні задач методом подібності, як і при вирішенні задач методом геометричних місць, відкидаємо одна з умов, в результаті чого завдання стає невизначеною. Її рішенням при застосуванні методу геометричних місць є нескінченна безліч крапок, що задовольняють залишилися умовами, а у випадку методу подібності отримуємо безліч фігур, об'єднаних однією властивістю; всі вони подібні шуканої фігури. Взявши одну з них, ми за допомогою подібного перетворення, з огляду на раніше відкинуте умова, отримуємо шукану фігуру. Ця аналогія допомагає краще засвоїти метод подібності.
2. При вивченні поняття «центр подібності» і при побудові багатокутника, подібного даним, роз'яснюємо учням, що відповідні точки завжди лежать на одній прямій, що проходить через центр подоби, а пряма, не проходить через центр подоби, перетвориться в паралельну їй пряму. Після того як учні ознайомляться з побудовою багатокутника, подібного даним, розбираємо сутність методу подоби, вирішуючи нескладне завдання, в якій були б яскраво виражені характерні ознаки цього методу. Наприклад: «Побудувати трикутник, знай два його кута А і С і висоту h b».
Це завдання можна вирішити різними способами, наприклад методом паралельного переносу або методом геометричних місць. Розібравши пропоновані учнями рішення і повторивши сутність застосовуваних методів, вказуємо на можливість вирішення ще одним способом: із застосуванням подоби фігур.
Якщо не враховувати висоту шуканого трикутника, то за двома даними кутах ми можемо побудувати нескінченну безліч трикутників, але всі вони будуть подібні шуканого. Побудуємо один з них, наприклад трикутник А 1 В 1 З 1 (рис. 50).

Рис. 50
Щоб з'ясувати, чи буде він шуканим, проведемо висоту B l D 1 і порівняємо її з даною заввишки. У загальному випадку отримана висота не буде дорівнює даної. Якщо, наприклад, B l D 1 менше даної висоти в два рази, значить, і сторони трикутника потрібно збільшити в два рази, бо подібні висоти у подібних трикутниках ставляться як подібні сторони. Якщо висота B l D 1 більше даної в кілька разів, тоді потрібно у стільки ж разів зменшити і сторони трикутника. Отже, трикутник А 1 В 1 З 1 потрібно подібно перетворити так, щоб висота була дорівнює даному відтинку h b, для чого достатньо визначити коефіцієнт подібності і вибрати центр подоби. Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню даної висоти до настроєної висоті B l D 1, тобто . За центр подоби виберемо, наприклад, точку B 1, тоді дуже легко побудувати точку, що відповідає крапці D 1, для чого досить відкласти відрізок B 1 D = H в. Провівши пряму СА | | З 1 А 1, отримаємо шуканий трикутник АВ 1 З, який дійсно задовольняє всім умовам завдання.
Побудови, що виконуються із застосуванням транспортира і трикутника, прості, доказ і дослідження елементарні, і вся увага учнів концентрується на з'ясуванні сутності нового для них способу розв'язання задач на побудову.
Повторюємо вирішення завдання: не враховуючи висоти, за даними кутах побудували трикутник, подібний шуканого; враховуючи потім задану висоту, подібно перетворили побудований трикутник у шуканий. Такий спосіб вирішення завдання називається методом подібності. Цим методом можна вирішувати лише такі завдання па побудова, умови яких можна розбити на дві частини, одна з яких визначає фігуру з точністю до подібності (два утла трикутника), а друга частина умови визначає розміри фігури (висота).
Таким чином, метод подібності при вирішенні задач на побудову полягає в наступному; відкинувши умова, що визначає розміри фігури, за рештою умов будуємо фігуру, подібну шуканої; враховуючи потім раніше відкинуте умова, подібно перетворюємо побудовану фігуру в шукану.
Алгебраїчний метод.
1. Одним з важливих методів, що застосовуються в шкільному курсі геометрії, є алгебраїчний метод розв'язання задач на побудову. Вже в VI-VII класах учні неодноразово застосовували алгебру при вирішенні завдань обчислювального характеру та завдань на доказ з метою спрощення рішення. Алгебра дає дуже зручний і гарний спосіб вирішення геометричних питань аналітичним шляхом.
У VI класі доцільно розповісти, що деякі відомості з алгебри були відомі ще в глибоку давнину, але питання алгебри не відділялися від питань арифметики і геометрії. Пізніше грецькі вчені, такі, як Піфагор, Евклід, які займалися переважно геометрією, отримали значні результати і в алгебрі. Але багато алгебраїчні тотожності доводили ними геометрично. На дошці в якості прикладу ілюструємо доказ тотожності: (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2    (Рис. 56).
Рис. 56
Площа квадрата, побудованого на сумі відрізків а і b, дорівнює сумі площ двох квадратів зі сторонами а і b і площ двох прямокутників зі сторонами а і b. У IX ст. н. е.. узбецький
учений Мухаммед-бен-Муса аль-Хорезмі написав книгу «Хісаб ал-джебр вал-мукабала», поява якої з'явилося як би моментом оформлення науки алгебри. Надалі алгебра отримала своє самостійне розвиток і почала надавати велику допомогу при вирішенні різних завдань інших математичних дисциплін, в тому числі і геометрії.
2. Алгебраїчний метод розв'язання задач на побудову розглядається як подальше розширення застосування алгебри до геометрії. Як відомо, він полягає в наступному. Припустивши завдання вирішеною: 1) Встановлюємо, який, чи які відрізки (в окремих випадках кути або дуги) потрібно визначити, щоб вирішити завдання, і позначаємо довжини цих відрізків через х, y, z, ..., а довжини даних відрізків - через а , b, с, ..., тобто вводимо позначення. 2) З умови задачі, користуючись відомими геометричними співвідношеннями між шуканими і даними відрізками, складаємо рівняння або систему рівнянь. 3) Вирішуємо це рівняння або систему рівнянь. 4) Досліджуємо отримані формули для невідомих відрізків по умові завдання. 5) Будуємо за допомогою інструментів шукані відрізки, виражені отриманими формулами через ці відрізки. Після того як невідомі побудовані, виконуємо побудови, які закінчили б рішення, проводимо доказ і дослідження.
Перші чотири етапи відомі учням, так як при рішенні геометричних задач на обчислення і алгебраїчних на складання рівнянь завжди виділялися такі ж етапи. Це говорить про те, що завдання на побудову, які вирішуються таким методом, можна розглядати як узагальнення завдань обчислювального характеру, а з іншого боку, при застосуванні алгебраїчного методу всяка завдання на побудову замінюється спочатку завданням на обчислення, так що кожна задача на побудову, розв'язувана цим методом, є, по суті, і завданням на обчислення.
4. Доцільність розгляду цього методу в середній школі не визначається лише тим, що учні ознайомляться з ще одним видом завдань, для вирішення яких застосовується алгебра. Алгебраїчний метод вирішення окремих, навіть складних завдань на побудову більш доступний учням, бо досить отримати відповідну формулу для визначення шуканої величини, щоб стало ясним всі рішення задачі.
Алгебраїчний метод дозволяє легко встановити умови можливості розв'язання задачі, а також наявність певного числа рішень при тих чи інших значеннях і положеннях даних.
5. Проте в середній школі не слід надмірно захоплюватися цим методом за рахунок інших важливих розділів. Потрібно вирішувати доступні та цікаві для учнів завдання.

2.3. Вплив завдань на побудову на розвиток логічного

мислення.

У програмі з математики для середньої загальноосвітньої школи, розробленої відповідно до Основних напрямів реформи загальноосвітньої і професійної школи, підкреслюється, що розвиток логічного мислення учнів є однією з основних цілей курсу геометрії.
При вивченні геометрії розвиток логічного мислення учнів здійснюється в процесі формування понять, доведення теорем, рішення задач.
При вивченні геометричних побудов, перш за все, доводиться долати труднощі логічного порядку. В умовах школи для подолання цих труднощів абсолютно необхідно супроводжувати логічні конструкції фактичними побудовами за допомогою певних інструментів (лінійка, креслярський трикутник, циркуль), а також зображеннями, виконуваними від руки.
Весь процес вирішення задачі на побудову супроводжується виконанням відповідних креслень («креслення-завдання», «креслення-нарис», «креслення-побудова», «креслення для дослідження»).
Рішення задач на побудову розвиває логічне і активне мислення учнів. Ні одні завдання не сприяють так розвитку в учнях спостережливості та правильності мислення, представляючи в той же час для них і найбільшу привабливість, як геометричні задачі на побудову.
Дійсно, завдання обчислювального характеру в планіметрії, не потребують в більшості своїй допоміжних побудов і складних логічних міркувань, служать для закріплення фактичного матеріалу: формулювань теорем, властивостей фігур і т.п. щоб розвивати логічне мислення учнів, а цим зробити їх знання більш систематизованими, міцними і глибокими, вирішуються завдання на доказ.
Велике значення для логічного розвитку учнів мають і задачі на побудову. Наявність аналізу, докази і дослідження при вирішенні більшості таких завдань показує, що вони являють собою багатий матеріал для вироблення в учнів навичок правильно мислити і логічно міркувати. При вирішенні задач на побудову вони мають справу не з конкретною певної фігурою, а повинні створити необхідну фігуру, подвергающуюся різних змін в процесі вирішення. Розкриваючи взаємозв'язки між даними елементами, бачимо, як зі зміною одних змінюються інші і навіть уся фігура.
Весь комплекс, що складається з чотирьох стадій рішення задач на побудову (аналіз, побудова, доказ, дослідження), є гарною школою рішення і дослідження проблем в галузі точних наук. У процесі вирішення таких завдань розвивається увага, наполегливість, ініціатива і винахідливість.
Логічні труднощі головним чином пов'язані з проведенням аналізу та дослідження задачі. Відомі методи розв'язання задач на побудову вивчаються тут, перш за все як засобу аналізу.

3. ПЕДАГОГІЧНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ

3.1. Задум експерименту. Програма експерименту.

Серед учнів 10-го класу був проведений тест на виконання логічних операцій над геометричними об'єктами.
Тест призначений для виявлення вміння виконувати основні логічні операції над геометричними фігурами (аналогії, класифікації, побудова закономірності) і розрахований на роботу з учнями старших класів, студентами математичних факультетів.
Матеріалом завдань є плоскі геометричні фігури (кути, многокутники, кола, комбіновані форми).
Дані тестування можуть використовуватися викладачами математики, практичними психологами для відбору в математичні класи і школи для розробки корекційних навчальних програм з метою диференціації учнів.
Тест призначений для діагностики розумового розвитку учнів підліткового і юнацького віку; дозволяє виявляти індивідуально-психологічні відмінності в оволодінні логічними операціями з геометричними об'єктами. Він містить три набору завдань (субтестів) на виконання «аналогії», «класифікації», «закономірності побудови» геометричних об'єктів, у якості яких виступають кути, трикутники, чотирикутники, неоднорідні «комбіновані фігури». Кожен субтест складається з 12 варіантів завдань, що відрізняються ускладненням матеріалу.
O CHOBHOE ЗМІСТ І ПРИЗНАЧЕННЯ ТЕСТУ
Як вже зазначалося, пропонований тест може бути використаний для діагностики розумового розвитку учнів. Критерієм цього розвинена служить успішність (правильність) виконання логічних операцій: «аналогії», «класифікації», «закономірності побудови» геометричних об'єктів. Робота з тестом припускає, що випробуваний знає основні ознаки (властивості) геометричних фігур, вміє ними користуватися. Проте тест не передбачає перевірку програмних вимог до засвоєння навчального матеріалу (знання теорем, аксіом, правил вирішення завдань тощо). Він не орієнтований також на перевірку графічних знань, умінь. Всі завдання тесту даються в готовому вигляді. Випробуваний виконує необхідні логічні операції, спираючись на сприйняття об'єктів (у вигляді площинних зображень), заданих графічно.
Виконання завдань тесту передбачає уявне перетворення геометричних об'єктів. Однак зміст і характер цих перетворень тесту не визначається побудовою завдання. Тому випробуваний може прийти до правильної відповіді, використовуючи різні уявні перетворення. При груповому тестуванні визначається кількість правильно виконаних завдань в цілому і в кожному субтесте окремо. Враховується також час, витрачений на виконання, як окремого завдання, так і загального їх обсягу. При індивідуальному тестуванні можна оцінити не тільки результативність виконання завдань тесту, але й сам процес роботи. Наприклад, встановити, як виконує випробуваний геометричні перетворення об'єктів: орієнтується на зміну величини, просторового положення об'єктів, здійснює повороти, добудовування фігури, довільно виділяє вписані і описані фігури, змінює співвідношення "фігури і фону" і т.д. Отримання таких відомостей про роботу піддослідних важливо для виявлення їх індивідуальних можливостей для побудови корекційного навчання. Однак це пов'язано з використанням додаткових методів: спеціально організованої бесіди, контролем за кожним етапом виконуваного перетворення, їх аналізом, що не може (і не повинно) забезпечуватися груповим тестуванням.
Даний тест розроблений як груповий. Він дозволяє виявляти й оцінювати кожного учня з загальної результативності його роботи. Однак дуже високі (низькі) результати можуть бути піддані більш ретельного і змістовного аналізу, що потребує індивідуальної роботи експериментатора з кожним учнем.
Своїм змістом тест «ЛОГО» забезпечує аналіз успішності виконання трьох основних логічно операцій.
У першому субтесте («аналогія») випробуваному пропонується три однорідних геометричних об'єкта. Між першим і другим об'єктами є певний зв'язок, яку випробовуваний повинен виявити. Повідомляється, що між третім і одним з чотирьох об'єктів, пропонованих на вибір, існує аналогічна зв'язок. Випробуваний повинний знайти з чотирьох об'єктів той, який відповідає за аналогією третьому. Цей субтест містить чотири варіанти завдань, що відрізняються типом геометричних об'єктів, кожен з яких представлений у трьох різних видах.
У другому субтесте («класифікація») пропонується п'ять геометричних об'єктів, чотири з яких об'єднані однією загальною ознакою. П'ятий («зайвий») об'єкт, який не підходить до інших, потрібно знайти. Субтест також має декілька варіантів завдань, що відрізняються типом геометричних об'єктів, представлених різним чином.
У третьому субтесте випробуваному пропонується три геометричних об'єкта, розташованих у певній закономірності. Необхідно знайти і використовувати цю закономірність, підібрати до трьох об'єктах четвертий, який продовжував би дану закономірність. Субтест містить чотири варіанти завдань, що відрізняються поступовим ускладненням типу геометричного об'єкта (один об'єкт, їх поєднання, складність конфігурації).
Таким чином, кожен субтест містив 12 завдань. Одна форма тесту складалася з 36 завдань. Всього за двома еквівалентним формам було розроблено 72 завдання.
Тест «ЛОГО» дозволяє диференціювати учнів за вмінням виконувати основні логічні операції над геометричними об'єктами (фігурами), що є суттєвим для оволодіння математикою. Він може використовуватися при відборі учнів у математичні школи, класи з поглибленим вивченням цього предмета, для оцінки логічного мислення учнів. Оскільки оперування геометричними об'єктами істотно не тільки при засвоєнні математики, але становить основу проекційного креслення, тест може використовуватися на заняттях графічними дисциплінами.
На роботу з тестом відводиться 45 хвилин. Перед початком роботи повідомляється її мета і порядок.

3.2. Опис проведення експерименту і його результати.

Опис і приклад роботи з субтестом 1.
Вам пропонуються три геометричних об'єкта. Між першим і другим об'єктом існує певний зв'язок. Між третім і одним із чотирьох об'єктів, пропонованих на вибір, існує аналогічна, та ж сама зв'язок. Цей геометричний об'єкт вам слід знайти і написати на листку паперу відповідну йому літеру.
Приклад:

Правильна відповідь - г). Його потрібно записати.
Субтест 1. ЗАВДАННЯ 1
1

2

3

Субтест 1. ЗАВДАННЯ 2.
1

2

3

Субтест 1. ЗАВДАННЯ 3.
1

2

3

Субтест 1. ЗАВДАННЯ 4.
1

2

3

Опис і приклад роботи з субтестом 1.
Вам пропонуються ПЯЧЬ геометричних об'єктів. чотири з них об'єднані загальною ознакою. п'ятий об'єкт до них не підходить. Його потрібно знайти і написати на листку паперу відповідну йому літеру.
Приклад:

Правильна відповідь - в. Його потрібно записати.
СУБТЕСТ2. ЗАВДАННЯ 1
1

2

3

Субтест 2. ЗАВДАННЯ 2.
1

2

3


Субтест 2. ЗАВДАННЯ 3.
1

2

3


Субтест 2. ЗАВДАННЯ 4.
1

2

3

Опис і приклад роботи з субтестом 3.
Вам пропонуються три геометричних об'єкти, розташованих на основі певної закономірності. Вам потрібно вибрати з представлених внизу варіантів відповідей четвертий об'єкт, який продовжував би дану закономірність побудови геометричного ряду, і написати на листку паперу відповідну йому літеру.

Приклад:

Правильна відповідь - а. Його потрібно записати.
ФОРМА А. Субтест 3. ЗАВДАННЯ 1.
1

2

3


Субтест 3. ЗАВДАННЯ 2.
1

2

3


Субтест 3. ЗАВДАННЯ 3.
1

2

3


Субтест 3. ЗАВДАННЯ 4.
1

2

3

КЛЮЧ ДО ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ

Обробка результатів тестування
За підсумками кількісної обробки тесту отримали наступні результати:
Прізвище учня
Кількість правильно виконаних завдань
Процентне відношення
Антонова К.
10
28%
Колосова Н.
10
28%
Михайлюк К.
18
50%
Назарова А.
20
56%
Петрова К.
16
44%
Платонова Ю.
21
58%
Трофімова О.
12
33%
Далі ми провели якісну обробку тестування, з'ясувавши:
1. Вид завдань (на величину, форму і тип оперування образами), який викликає найбільшу кількість помилок;
2. Вид діяльності (створення образу, оперування образами), що викликає найбільшу кількість помилок.
За результатами якісного аналізу ми виділили завдання, які при вирішенні цікавить учнів труднощі. Протягом трьох тижнів ми з учнями розбирали і прорешівалі завдання, подібні завданням з тіста «ЛОГО».
У кінці третього тижня тест «ЛОГО» було проведено повторно і отримали наступні результати.
Прізвище учня
Кількість правильно виконаних завдань
Процентне відношення
Антонова К.
25
69%
Колосова Н.
23
64%
Михайлюк К.
32
89%
Назарова А.
28
78%
Петрова К.
25
69%
Платонова Ю.
34
94%
Трофімова О.
30
83%
Порівнявши результати першого і другого тестування можна зробити висновок: при періодичному стимулюванні логічного мислення відсоток його розвитку підвищився.
Таким чином, щоб максимально підвищити відсоток розвитку логічного мислення, потрібно безперервно виконувати стимулюючі вправи, збільшуючи їх складність.

ВИСНОВОК

Вивчивши і проаналізувавши психологічну та методичну літературу ми виконали наступні завдання:
1. Виділили шляху розвитку математичного мислення учнів;
2. Дали характеристику завдань на побудову і описали їх вплив на розвиток логічного мислення школярів;
3. Розробили систему уроків з рекомендаціями з розвитку логічного мислення через рішення задач на побудову.
У результаті спостереження за навчальною діяльністю учнів у 7-9 класах загальноосвітньої школи можна підвести підсумки: геометричні побудови грають серйозну роль в математичній підготовці школяра. Жоден вид завдань не дає стільки матеріалу для розвитку математичної ініціативи і логічних навичок учнів як геометричні задачі на побудову. Ці завдання зазвичай не допускають стандартного підходу до них і формального сприйняття їх учнями.
Завдання на побудову зручні для закріплення теоретичних знань учнів з будь-якого розділу шкільного курсу геометрії.
Наявність аналізу, докази і дослідження при вирішенні задач на побудову показує, що вони являють собою багатий матеріал для вироблення в учнів навичок правильно мислити і логічно міркувати.
У результаті проведеного педагогічного експерименту можна зробити висновок про те, що розвитку логічного мислення в учнів сприяє систематичне нарешіваніе, починаючи з найпростіших, поступово переходячи до більш складних завдань.
Завдання на побудову - це завдання, які значно частіше за інші вражають красою, оригінальністю і в багатьох випадках простотою знайденого рішення, що викликає до них підвищений інтерес.

БІБЛІОГРАФІЯ

Александров, О. Д. Геометрія: Навчальний посібник для студ. вузів, які навчаються за спец. «Математика» / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. - М.: Наука, 1990. - 672 с.
Александров, О. Д. Підстава геометрії: Учеб. посібник для вузів за спец. «Математика». - М.: Наука, 1987. - 288 с.
Александров, І. І. Збірник геометричних задач на побудову за рішеннями. Посібник. Вид. 19-е, - М.: УЧПЕД Гіз, 1954. - 176 с.
Антонов, Н. С. Сучасні проблеми методики викладання математики: Зб. статей. Навчальний посібник для студентів мат. і фіз.-мат. спец. пед. ін-тів / Укл. Н.С. Антонов, В.А. Гусєв. - М.: Просвещение, 1985. - 304 с.
Аргунов, Б. І. Геометричні побудови на площині. Посібник. / Б.І. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: УЧПЕД Гіз, 1955. - 268 с.
Атанасян, Л. С. Курс елементарної геометрії. Ч I. Планіметрія.: Навчальний посібник. / Л.С. Атанасян та ін
Блудов, В. В. До вивчення теми «Геометричні побудови» (у школі) / В.в. Блудов / / Математика в школі. - 1994 - № 4 - с. 14-15.
Боженкова, Л. І. Алгоритмічний підхід до задач на побудову методом подібності / Л.І. Боженкова / / Математика в школі. - 1991 - № 2 - с. 23-25.
Брушлинский, А. В. Загальна психологія: Учеб. посібник для студентів пед. ін-тів / О.В. Брушлинский, В.П. Зінченко, А.В. Петровський та ін; Під редакцією А.В. Петровського - 3-е изд., Перераб. і доп. - М.: Просвещение, 1986. - 464 с., Іл.
Брушлинский, А. В. Психологія мислення і проблемне навчання. - М.: Знание, 1983. - 96 с.
Буловацкій, М. П. Урізноманітнити види завдань: [Про розвиток мислення на уроках математики] / / Математика в школі. - 1988 - № 5 - с. 37-38.
Варданян, С. С. Завдання оп планіметрії з практичним змістом: Книга для учнів 6-8 класів середньої школи. / Під ред. В.А. Гусєва. - М.: Просвещение, 1989.
Векслер, С. І. Знайти і подолати помилку: [Про розвиток мислення школярів на уроках математики] / / Математика в школі. - 1989 - № 5 - с. 40-42.
Виноградова, Л. В. Методика викладання математики в середній школі: навч. посібник / Л.В. Виноградова - Ростов-на-Дону: Фенікс, 2005 - 252 с., Іл.
Груденов, Я. І. Психолого-дидактичні основи методики навчання математики. - М.: Педагогіка, 1987.
Груденов, Я. І. Удосконалення методики роботи вчителя математики - М.: просвітництво, 1990. - 224 с., Мул
Гусєв, В. А. Методика навчання геометрії / В.А. Гусєв, В.В. Орлов, В.А. Панчищини та ін; під ред. В.А. Гусєва. - М.: Видавничий центр «Академія» - 2004. - 368 с.
Гусєв, В. А. Викладання геометрії в 6-8 класах: Зб. статей / Упоряд. В.А. Гусєв - М.: Просвещение, 1979. - 287 с.
Далингер, В. А. Креслення вчить думати: [До методики шк. курсу геометрії] / / Математика в школі. - 1990 - № 4 - с. 32-36.
Дьюї, Дж. Психологія і педагогіка мислення - М.: Просвещение, 1999.
Зетель, С. І. Геометрія лінійки і геометрія циркуля, 1957.
Клименченко, Д. В. Завдання на побудову трикутників за деякими даними точками. / Д.В. Клименченко, Т.Д. Цікунова / / Математика в школі. - 1990 - № 1 - с. 19-21.
Костовський, А. М. Геометричні побудови одним циркулем, 1984.
Кушнір, І. А. Про один спосіб розв'язання задач на побудову. / / Математика в школі. - 1984 - № 2 - с. 22-25.
Мазаник, А. А. Задачі на побудову з геометрії у восьмирічній школі, 1967.
Маслова, Г. Г. Методика навчання рішенню задач на побудову у восьмирічній школі, 1961.
Мішин, В. І. Методика викладання математики в середній школі: Приватна методика; сост. В.І. Мішин. - М.: Просвещение, 1987. - 414 с.
Нікітіна, Г.Н. перевіримо побудова. / / Математика в школі. - 1988 - № 2 - с. 55-56.
Овеза, А. Особливості міркувань в додатках математики: [Про розвиток логічного мислення на уроках математики] / / Математика в школі. - 1991 - № 4 - с. 45-48.
Петров, К. Метод гомотетии у вирішенні завдань / / Математика в школі. - 1984 - № 1 - с. 63-64.
Пічуріна, Л. Ф. Виховання школярів у процесі навчання математики: з досвіду роботи. Збірник / сост. Л.ф. Пічуріна - М.: Просвещение, 1981 - 159 с.
Погорєлов, А. В. Геометрія в 7-9 класах: (Метод. рекомендації до викладання курсу геометрії за навч. Посібника А. В. Погорєлова): Посібник для вчителя. - М.: Просвещение, 1990 - 334 с., Іл.
Погорєлов, А. В. Геометрія: Підручник для 7-11 класів середньої школи. - 4-е вид. - М.: Просвещение, 1993 - 383 с.
Погорєлов, А. В. Елементарна геометрія / О.В. Погорєлов. - 3-е вид., Доп. - М.: «Наука», 1977 - 279 с., Іл.
Сенніков, Г. П. Рішення задач на побудову в VI-VIII класах: посібник для вчителів, 1955.
Смогоржевський, А. С. Лінійка в геометричних побудовах, 1957.
Степанов, В. Д. Актуальні питання навчання геометрії в середній школі: Межвуз. СБ наук. тр / Володимир. держ. пед. ін-т ім. П.І. Лебедєва-Полянського; [ред. кол.: В.Д. Степанова (відп. ред.) Та ін] - Володимир: ВГПІ, 1989 - 94 с., Іл.
Столяр, А. А. Методика викладання математики в середній школі: Загальна методика / Учеб. посібник за спец. «Математика» і «Фізика»; сост. А.А. Столяр, Р.С. Черкасов. - М.: просвітництво, 1985 - 336 с.
Тесленко, І.Ф. Про викладання геометрії в середній школі: (За навч. Посібника О. В. Погорєлова "Геометрія 6-10») Кн. для вчителя. - М.: Просвещение, 1985 - 95 с., Іл.
Фетісов, О. І. Методика викладання геометрії в старших класах середньої школи / за ред. А.І. Фетісова: посібник для вчителя - М.: Просвещение, 1967 - 272 с.
Фурман, А.В. вплив особливостей проблемної ситуації на розвиток мислення учнів. / / Питання психології, 1985 - № 2 - с. 68-72.
Четверухін, Н. Ф. Зображення фігур в курсі геометрії: посібник для вчителів та студентів - М.: УЧПЕД Гіз, 1958.
Четверухін, Н. Ф. Методи геометричних побудов, 1952.
Чистякова, Г. Д. Мислення: його закономірності та умови розвитку. / / Біологія в школі - 1989 - № 5 - с. 18-21.
Чистякова, Г. Д. Вчити думати: [Про розвиток мислення школярів] / / Біологія в школі - 1989 - № 6 - с. 23-26.
Шерпао, Н. В. Графічна система для геометричних побудов. / / Математика в школі. - 1988 - № 5 - с. 44-48.
Якиманська, І. С. Знання і мислення школяра. - М.: Знання, 1985 - 80 с.
Якиманська, І. С. Психологічні основи математичної освіти: навч. посібник для студ. вузів - М.: Академія, 2004 - 319 с.

ДОДАТКИ

ТЕМА 1. ЩО ТАКЕ ЗАВДАННЯ НА ПОБУДОВА.
ПОБУДОВА ТРИКУТНИКА ДАНИМИ СТОРОНАМИ (1 Ч)
Коментар для вчителя
У результаті вивчення пунктів учні повинні:
знати алгоритм вирішення задачі па побудова трикутника за трьома сторонами;
вміти його застосовувати при вирішенні конкретних завдань з числовими або геометрично заданими умовами.
Методичні рекомендація до вивчення матеріалу
Учні вже знайомі з курсу математики VI класу з рішенням задачі на побудову трикутника за трьома сторонами. Тому вивчення нового матеріалу можна почати з розв'язання задачі 17 (1):
«Побудуйте трикутник з даними сторонами а = 2 см , B = 3 см , З = 4 см ».
Побудований трикутник позначити Δ АВС, звернувши увагу учнів на традиційне відповідність позначень, - сторона а лежить проти кута А, b -Проти У, с - проти С.
Потім можна показати учням, що сторони трикутника можуть бути задані геометрично - даними відрізками а, b, с (рис. 1), і розібрати з ними спільний алгоритм розв'язання задачі.

Рис. 1
Слід звернути також увагу учнів, що остання фраза в рішенні: "Трикутник АВС має боку, рівні а, b, с - є не що інше, як доказ того, що побудований саме шуканий трикутник. Після цього можна запропонувати учням розв'язати задачу:
«Побудуйте рівносторонній трикутник по його боці».
Примірне планування вивчення матеріалу
У класі - провести коротку бесіду про те, що таке завдання на побудову, розібрати рішення завдання 5.1. Вирішити завдання 17 (1), 19; будинку - питання 10, завдання 17 (2), 18.
Вказівки до завдань
До пункту відносяться завдання 16 - 20.
19. Задачу рекомендується вирішити в класі. Якщо вона буде задана на будинок, то слід дати вказівку: рішення почати з побудови кола.

Рис. 2
Дано: а, b, R.
Рішення. Проведемо коло даного радіуса (рис. 2). Виберемо на колі точку С і з цієї точки як з центру зробимо два засічки радіусами а і b. Отримаємо точки А і В. Δ АВС шуканий. У нього дані попони ЗС = а, АС = b. Описана окружність має радіус R.
Для того щоб завдання мала рішення, сторони а і b повинні бути менше діаметра окружності (a <2 R, b <2 R).
20. Дано: R, точки А, В.
Рішення. Проведемо два кола радіуса R з центрами в точках А і В. Точки перетину цих кіл є центрами шуканої окружності.
Дослідження. Якщо АВ> 2 R, то завдання не має рішення.
Якщо АВ = 2R, то завдання має одне рішення: центр кола - середина відрізка АВ.
Якщо АВ <2 R, то завдання має два рішення: обидві точки перетину проведених кіл служать центрами шуканих кіл.
На прикладі цього завдання учням можна дати уявлення про етап дослідження, про різній кількості рішень задач на побудову. Для цього доцільно вирішити завдання 20 в класі, заготовивши на дошці три вихідних малюнка: відрізок, рівний R, і точки А і В, причому: 1) АВ <2R; 2) АВ = 2R; 3) АВ> 2 R. Рішення біля дошки одночасно проводиться силами трьох учнів.
Примітка. Завдання можна запропонувати учням також після вивчення теореми 5.6, вирішивши се за допомогою методу геометричних місць.
ТЕМА 2. ПОБУДОВА УГЛА, рівний даному (1 год)
Коментар для вчителя
У результаті вивчення пункту учні повинні:
знати алгоритм задачі на побудову кута, рівного даному;
вміти застосовувати алгоритм при вирішенні задачі на побудову трикутників за двома сторонами та кутом між ними, по стороні і двом кутам і т. п.
Методичні рекомендації до вивчення матеріалу
Почати вивчення нового матеріалу можна з рішення задачі на побудову трикутника типу 21 (1, а):
«Побудуйте трикутник АВС по двом сторонам і куту між ними: АВ = 5 см , АС = 6 см , А = 40 0 ».
Вирішення цього завдання знайоме учням з курсу математики VI класу.
Потім можна запропонувати учням вирішити ту ж задачу, однак дані задати геометрично:
«Побудуйте трикутник АВС по двох сторонах с, b і куту між ними »(Рис. 3).

Рис. 3
Для того щоб вирішити цю задачу, нам треба побудувати кут А, рівний даному куті .
Далі учням викладається алгоритм розв'язання задачі 5 (2).
Після цього можна запропонувати учням розв'язати задачу:
«Побудуйте рівнобедрений трикутник по підставі і куті, прилеглої до підставі».
Примірне планування вивчення матеріалу
У класі - розібрати вирішення завдань 5 (2), 21 (1 а, 2 б), 22 (2); будинку - питання 11. завдання 22 (1). 23.
Вказівки до завдань
До пункту належать завдання 21-23.

ТЕМА 3. ПОБУДОВА бісектрисі кута.
Розподілу відрізка навпіл (1 год)
Коментар для вчителя
У результаті вивчення пунктів учні повинні:
знати алгоритми розв'язання задач на поділ кута і відрізка навпіл;
вміти вирішувати нескладні завдання па побудова з використанням цих алгоритмів.
Методичні рекомендації до вивчення матеріалу
1 °. При викладі учням рішення задачі 5.3 (побудова бісектриси кута) можна більш детально зупинитися на доведенні того факту, що в результаті побудови дійсно вийшли рівні утли.
У самому справі, Δ АВ D = Δ АСD по третьому ознакою рівності трикутників. З їх рівності випливає, що DAB = DAC (рис. 4).

Рис. 4 Рис. 5
2 про. При вирішенні завдання на поділ відрізка навпіл (задача 5.4) відрізки АС, ВС, АС 1 і ВС 1 будуються рівними відрізку АВ (рис. 5). При доведенні цей факт не враховується. Дійсно, рівність трикутників САС 1 і СВС 1 по третьому ознакою можна довести і без цього. Можна довести, що точка О - середина відрізка АВ і з урахуванням конкретного побудови, даного в навчальному посібнику. Наведемо цей доказ. За побудовою АС = СВ = АС 1 = З 1 В = АВ, т. е. Δ АСВ і ΔАС 1 У рівносторонні; отже, САВ = З 1 АВ = 60 °, а САС 1 = 120 о. Δ АСС 1 рівнобедрений, АСС 1 = АС 1 С = (180 0 - 120 0): 2 = 30 0, ВСО = АСВ - АСС 1 = 60 0 - 30 0 = АСС 1, т. е. СО - бісектриса кута С в трикутник АВС: отже, вона медіана: ВО = АТ.
3 0. Для закріплення вивчених прийомів побудови можна дати наступні завдання:
1. Дан трикутник. Побудуйте одну з його медіан (завдання 28).
2. Побудуйте з допомогою циркуля і лінійки утли 60 ° і 30 ° (завдання 25).
Примірне планування вивчення матеріалу
У класі - розібрати вирішення завдань 5.3 та 5.4, вирішити завдання 25, 28; будинку - питання 12, 13, завдання 24, 28 (ще дві медіани).
Вказівки до завдань
До пунктів належать завдання 24-29.

ТЕМА 4. Побудова перпендикулярних прямої (1 год)
Коментар для вчителя
У результаті вивчення пункту учні повинні:
знати алгоритм побудови перпендикулярної прямої;
вміти його застосовувати при вирішенні нескладних завдань на побудову.
Методичні рекомендації до вивчення матеріалу
1 0. Можна запропонувати учням інший доказ справедливості виконаного построениЯ.
Перший випадок (рис. 6) (точка О лежить на прямій а). Відрізки АТ = ОВ, А С = СВ з побудови. Отже, Δ АВС рівнобедрений, а СО - медіана цього трикутника, тобто висота (теорема 3.5): СО АВ.
Другий випадок (рис. 7) (точка О не лежить на прямій).
Δ АОО 1 = Δ ВГО 1 по третьому ознакою. З рівності цих трикутників випливає: АОС = ВОС. У равнобедренном Δ АОВ ОС - бісектриса і, отже, висота.

Рис. 6 Рис. 7
2 °. Відразу після розбору завдання 5.5 можна виконати з учнями такі вправи;
1) Дан трикутник. Побудуйте одну з його висот (частина завдання 28).
2) Побудуйте прямокутний трикутник за його катетів.
3) Завдання 30.
Рішення задачі 30 є складовою частиною рішення задач 31-34.
Примірне планування вивчення матеріалу
У класі - провести самостійну роботу, розібрати рішення задачі 5.5, вирішити завдання 30; будинку - питання 14, завдання 28 (дві інші висоти).
Завершальним етапом процесу мислення є осмислення того, що одержано, його оцінка та обгрунтування. Осмислення дозволяє співвіднести рішення задачі з системою понять: підвести його під певну категорію або конкретизувати раніше відоме положення, розкрити механізм взаємодії об'єктів, явищ. Тим самим було мислення просувається на більш високий рівень узагальнення. Оцінка отриманого результату дозволяє визначити, наскільки він відповідає поставленому завданню, повністю або частково її вирішує. У ході обгрунтування рішення виділяються його сильні і слабкі сторони, допущені помилки. Перевірка, критика, контроль характеризують мислення як свідомий процес. Критичність мислення виявляється також у чутливості до проблем, умінні їх розпізнавати.
Таким чином, мислення - це завжди активний процес перетворення ситуації, що має особистісну значимість для людини, процес, що включає в себе елементи творчості, пов'язані з новизною розв'язуваної задачі, уявне оперування образами, усвідомлення та оцінку підсумків роботи. Уміння думати означає розвиток всіх цих компонентів мислення.
Ступінь складності розв'язуваної задачі визначає рівень активності мислення.
Розумові завдання розрізняються за своєю складністю залежно від різних факторів. Звичність або незвичність ситуації визначає, чи можна застосувати вже відомий спосіб дій або необхідний пошук нових знань. У першому випадку роль мислення невелика, у другому мислення стає творчим.
Чим більш стандартним і типовим для даного об'єкту є його якість, потрібне для вирішення проблемної ситуації, чим більше воно відповідає його звичайному застосуванню, тим легше вирішується розумова задача. Так, ми не замислюємося, коли користуємося гирею як мірою ваги. Це її прямий і звичне призначення. Щоб використовувати гирю як засіб для забивання цвяха, треба перш побачити в ній важкий предмет, тобто виділити її внутрішня властивість. Це повертання предмета все новими сторонами, вичерпання з нього нової інформації, при якому предмет включається в різні системи зв'язків і відносин з іншими предметами, характеризує активну, творчу сторону мислення. Найбільш творчими є завдання, вирішення яких пов'язане з відкриттям нового, раніше невідомого людині знання: способу розв'язання задачі, виявлення закономірності або деякої залежності між явищами і пр.
Важливу роль відіграє також і те, в якому вигляді сформульовано завдання: дано її в наочному практичному плані, допускає дії з предметами, наочному, але символічному (малюнок, креслення і т. п.) або словесному. Порівняйте рішення шахової задачі за допомогою дошки та стоять на ній фігур, на папері з умовним позначенням дошки і фігур, шляхом одного тільки її словесного опису. Складність процесу мислення значно вище в третьому випадку, коли весь процес пошуку рішення протікає цілком у розумовому плані.
У шкільному віці під впливом навчання мислення проходить складний шлях розвитку від емпіричного мислення, яке оперує конкретними уявленнями одиничних предметів і часто спирається на випадкові ознаки предметів, до теоретичного мислення, що використовує наукові поняття і відносини між ними. Опановуючи знаннями, дитина вчиться розчленовувати злиті в сприйнятті ознаки предметів і явищ, виділяти серед них однорідні, що характеризуються певною спільністю. Зростає кількість суджень, в яких наочні моменти зводяться до мінімуму. Відбувається оволодіння узагальненим понятійним змістом наукового знання, формується вміння міркувати гіпотетично, критично рассматривав свої судження як що потребують перевірки і обгрунтування. Аналіз задач починається з попереднього уявного їх вирішення.
Які бувають недоліки в розвитку мислення!
На всіх етапах розвитку мислення, незалежно від виду мислення, тобто від того, на якому рівні узагальнення знань протікає процес, зустрічаються одні і ті ж недоліки, що призводять до помилкових рішень. Перший - здійснення занадто широких узагальнень, що веде до збіднення знань та їх формальному засвоєнню. Другий - усвідомлення лише частини ситуації, коли увага звертається лише на окремі елементи ситуації, як правило, більш знайомі, на основі яких будується пояснення матеріалу і робляться висновки. Третій - спрямованість процесу мислення на обгрунтування судження про ситуацію, що виникла на основі стандартного, звичного підходу без аналізу специфіки ситуації, що розглядається, схожість якої з відомими може бути тільки гаданим. Четверте джерело помилок пов'язаний з необхідністю звертатися до більш широкого поданням, частиною якого служить розглянута ситуація, включати її у досить широкий контекст, щоб виявити справжні зв'язки між предметами, їх причинну зумовленість. Всі ці недоліки виникають через невміння управляти процесом мислення. Навчитися думати - це означає опанувати тими вміннями - елементами розумового процесу, які забезпечують виявлення проблеми, пошук її вирішення, усвідомлення досягнутого. Це також означає навчитися контролювати процес мислення.
Розвиток мислення як вміння думати пов'язано із залученням дітей в активну діяльність, що дозволяє придбати необхідні навички дослідження проблемної ситуації і визначення невідомого, навички висування і перевірки гіпотез, аналізу отриманих результатів.
Залучення дітей до активної розумової діяльності сприяє проблемно-діалогічний метод навчання. При цьому методі процес засвоєння знань протікає не у формі викладу матеріалу вчителем і постановки їм питань, на які діти повинні відповідати, а в формі обговорення проблеми - діалогу учнів з учителем. У ході такого діалогу під керівництвом учителя діти самостійно досліджують ситуацію, визначають ті знання, які їм необхідні для з'ясування зв'язків і відносин між елементами ситуації. Роль вчителя полягає в підтримці активності дітей, акцентуванні їхньої уваги на суттєвих питаннях розглянутого матеріалу. При цьому слід звертати особливу увагу на ті перераховані вище моменти, які служать джерелами помилок, і прагнути забезпечити повний облік тієї інформації, якою володіють учні, включаючи їхні знання, встановлення як можна більш широких зв'язків з відомим, точність узагальнення. Дуже важливо, щоб діти вчилися доводити процес рішення до кінця: не тільки знаходили будь-яке рішення, але і вміли його пояснити на доступному їм рівні, виділити його переваги і недоліки.
Проблемно-діалогічний метод навчання, надаючи дітям, можливість на початку вивчення кожної теми вільно задавати й обговорювати будь-які питання по досліджуваному матеріалу, дозволяє їм виділити і чітко сформулювати основні проблеми даної теми. Причетність дітей до постановки проблем робить їх індивідуально значущими, стимулює пізнавальну активність, пов'язану з рішенням намічених проблем, залучає дітей до дослідницької діяльності.
Поряд з цим корисні і спеціальні завдання, що дозволяють дітям окремо тренувати ті вміння, про які йшла мова: шукати невідому, задавати питання, будувати здогади і припущення, передбачати наслідки, встановлювати подібність і відмінність предметів і явищ і т. д.
Суттєвим моментом у розвитку мислення дітей є атмосфера, яка заохочує їх пізнавальну активність, схвалення різних її проявів. У такій атмосфері діти починають вірити в можливості свого розуму, здатність вирішувати проблеми.

1.2. Математичне мислення.

1.2.1. Загальна характеристика розвивається математичного

мислення школярів.

Роль математичного мислення в процесі навчання
Ефективність і якість навчання математики визначаються не тільки глибиною і міцністю оволодіння школярами системою математичних знань, умінь і навичок, передбачених програмою, а й рівнем їх математичного розвитку, ступенем підготовки до самостійного оволодіння знаннями, сформованість умінь виявляти, засвоювати й запам'ятовувати основне з того великого обсягу інформації, що містить шкільний курс математики.
Таким чином, у школярів повинні бути сформовані певні якості мислення, тверді навички раціонального навчальної праці, розвинений пізнавальний інтерес. Тому природно, що серед багатьох проблем удосконалення навчання математики в середній школі велике значення має проблема формування в учнів математичного мислення.
Специфіка математики така, що вивчення цього навчального предмета, мабуть, найбільш сильно впливає на розвиток мислення школярів. У самому справі, розвиток мислення школярів тісно пов'язане з формуванням прийомів мислення в процесі їх навчальної діяльності. Ці прийоми мислення (аналіз, синтез, узагальнення, абстрагування і т. д.) виступають також як специфічні методи наукового дослідження, особливо яскраво проявляються при навчанні математики (і зокрема, при вирішенні завдань).
«Рішення завдань - зовсім не привілей математики. Все людське пізнання є не що інше, як безперервний процес постановки та вирішення все нових і нових завдань, питань, проблем. І лише тоді людина засвоїть наукові формули і положення, коли побачить у них не просто фрази, які належить запам'ятати, а перш за все з працею знайдені відповіді на живі питання, на питання, природно виростають із життя. Ясно, що людина, що побачила в теоретичній формулою ясну відповідь на цікавий його питання, проблему, труднощі, цю теоретичну формулу не забуде. Йому не потрібно буде її зазубрювати, він її запам'ятає легко і природно. А й забуде - не біда, завжди виведе знову, коли йому зустрінеться ситуація - завдання з тим же складом умов. Це і є розум ».
Тому, на відміну від традиційного навчання, сучасне навчання характеризується прагненням зробити розвиток мислення школярів керованим процесом, а основні прийоми мислення - спеціальним предметом засвоєння.
У процесі еволюції математики-науки та методики математики природно змінилося той зміст, який вкладався у поняття «математичне мислення», істотно зросла роль проблеми розвитку мислення в процесі навчання математики.
Безсумнівно, між системою навчання та ходом розумового розвитку учнів існує тісний взаємозв'язок, що підкоряється певним закономірностям, пошуки яких є в даний час однієї з центральних проблем педагогічної психології.
Практика шкільного навчання наполегливо вимагає від вчителя проводити конкретну роботу щодо розвитку в учнів математичного мислення.
Математична освіта являє собою складний процес, основними цільовими компонентами якого є: а) засвоєння школярами системи математичних знань; б) оволодіння школярами певними математичними вміннями і навичками; в) розвиток мислення учнів.
Ще не так давно вважалося, що успішна реалізація першої та другої з цих цілей математичної освіти автоматично спричинить за собою успішну реалізацію та третьої мети, тобто вважалося, що розвиток математичного мислення відбувається у процесі навчання математики стихійно (спонтанно). У якійсь мірі це вірно, але тільки в якійсь мірі!
Математичне мислення є не тільки одним з найважливіших компонентів процесу пізнавальної діяльності учнів, а й таким компонентом, без цілеспрямованого розвитку якого неможливо досягти ефективних результатів у оволодіння школярами системою математичних знань, умінь і навичок.
Що таке математичне мислення?
На жаль, в даний час в психології мислення не виявилося єдиного підходу до трактування мислення, до пояснення тих «механізмів», що ним керують. У педагогічній психології відсутня загальноприйнята концепція, на основі якої навчання і розвиток школярів (зокрема, математичні навчання і розвиток) могло бути організоване завідомо ефективно.
У сучасній психології мислення розуміється як «соціально обумовлений, нерозривно пов'язаний з промовою психологічний процес пошуків і відкриття істотно нового, процес опосередкованого і узагальненого відображення дійсності в ході її аналізу і синтезу. Мислення виникає на основі практичної діяльності з чуттєвого пізнання і далеко виходить за його межі ».
Відомо, що будь-яка пізнавальна діяльність починається з відчуттів і сприймань, переходячи потім в мислення (спочатку на 1 рівні уявлень, а потім на рівні понять). Поняття, виступаючи одночасно і як форми відображення реальних об'єктів, і як засобу уявного, ідеалізованого їх відтворення, конструювання (тобто як особливе розумове дія), утворюють мікроелементи наукового знання. Людина продовжує пізнавати навколишній світ опосередковано, виявляючи такі властивості досліджуваного реального об'єкта і такі його зв'язки з іншими об'єктами, які їм безпосередньо не сприймаються, не відчуваються і не спостерігаються. Так виникають елементи наукового знання.
«Науки в їх сучасному вигляді ... не мають своїм предметом самі речі і їхні безпосередні прояви. Їх пізнання вимагає побудови спеціальних теоретичних абстракцій, виділення якої-небудь певної зв'язку речей і перетворення її в особливий предмет вивчення ».
Тим самим розширюється коло пізнання людиною різних явищ реальної дійсності, що в свою чергу веде до розширення його сприйнять і уявлень.
Під математичним мисленням будемо знижувати, по-перше, ту форму, в якій проявляється діалектичне мислення у процесі пізнання людиною конкретної науки математики або у процесі застосування математики в інших науках, техніці, народному господарстві і т. д., по-друге, ту специфіку , яка обумовлена ​​самою природою математичної науки, що застосовуються нею методів пізнання явищ реальної дійсності, а також тими загальними прийомами мислення, які при цьому використовуються.
Очевидно, що математичне мислення повністю відповідає тій характеристиці, яка властива мислення взагалі. Разом з тим «вчити специфічно людського мислення - значить вчити діалектиці ...». Остання характеризується усвідомленням мінливості, подвійності, суперечливості, єдності, взаємозв'язку і взаємозалежності понятті і співвідношень. Мислити діалектично, крім того, означає проявляти здатність до непересічно різнобічного підходу при вивченні об'єктів і явищ, при вирішенні виникаючих при цьому проблем; для діалектичного мислення характерні також розуміння відмінностей між висновками достовірними та ймовірними (правдоподібними) і усвідомлення єдності і протилежності в прояві кінцевого і нескінченного.
Однією з різновидів діалектичного мислення є мислення науково-теоретичне (або мислення абстрактне). Відзначаючи, що «всі наукові (правильні, серйозні, не безглузді) абстракції відображають природу глибше, вірніше, повніше».
В.В. Давидов, котрий досліджував питання формування науково-теоретичного мислення у школярів, показав, що «лише таке математичне, фізичне та інше теоретичне мислення може істинно відобразити свій об'єкт, яке виступає як логічне мислення, переробне свій досвідчений матеріал в категоріях логіки ... Так, лише задаючи людині змістовне узагальнення, можна вважати, що він буде орієнтуватися саме на істотні властивості речі і виокремлювати їх з маси несуттєвих властивостей, тобто буде мати «чуттям процесу». Критерій же такого узагальнення (як і всіх інших категорій) формулює діалектична логіка, яка виступає тим самим і головним «критерієм» теоретичного мислення ... »
Таким чином, повноцінне математичне мислення є, перш за все, мислення діалектичне.
Математичне мислення, будучи мисленням діалектичним, є разом з тим мислення природничо і тому володіє багатьма властивостями, притаманними останньому.
Природничо мислення може бути охарактеризоване з боку відповідних йому умінь здійснювати поетапне вирішення наукових проблем. Сукупність таких умінь визначає так званий природно науковий метод пізнання, який складається з наступних елементів: розуміння проблеми; точне визначення її та відмежування від інших проблем; вивчення всіх ситуацій, пов'язаних з даною проблемою; планування пошуку рішення проблеми; вибір найбільш вірогідною гіпотези, планування і проведення експерименту з перевірки гіпотези; проведення контрольного експерименту; висновки та їх обгрунтування, вибір оптимального способу вирішення; поширення висновків на нові ситуації, в яких діють ті ж фактори.
Багато конкретні методи навчання природничих наук розробляються відповідно до її зазначеним методом пізнання; характеристика його основних етапів, специфіка відповідних цим етапам умінь можуть і повинні враховуватися і в навчанні математики, зокрема при постановці навчальних математичних задач з прикладної спрямованістю.
Про якості наукового (математичного) мислення
Математичне мислення має свої специфічні риси й особливості, які обумовлені специфікою досліджуваних при цьому об'єктів, а також специфікою методів їхнього вивчення.
Перш за все, відзначимо, що математичне мислення часто характеризують проявом так званих математичних здібностей. У психолого-дидактичній і методичній літературі до структури математичних здібностей включаються багато якостей розумової діяльності, іменовані або як власне математичні здібності (В. А. Крутецький), або як особливості мислення математика (А. Н. Колмогоров), бо як якості розуму (До . К. Платонов), або як компоненти навченості (3. І. Калмикова) і т.д.
Існує загальна думка про активну роботу у процесі математичного мислення певних якостей мислення (наприклад, гнучкість, просторова уява, вміння виділяти істотне й т. д.), які в рівній мірі можуть бути співвіднесені як до математичного мислення, так і до мислення фізичному, технічному і т. д., тобто до наукового мислення взагалі.
Ці особливості мислення ми будемо називати якостями наукового мислення. Вони представляють особливу дидактичну значимість: формування їх у школярів сприяє не тільки успішному навчанню математики, а й успішному навчанню інших предметів природничо-математичного циклу.
Остання думка підтверджується результатами досліджень радянського педагога Ю. К. Бабанського, який показав, що успішність навчання школярів тісно пов'язана з сформірованностио y них таких якостей мислення, як самостійність мислення (коефіцієнт кореляції 0,89), вміння виділяти суттєве (0,87), раціональність мислення (0,85), гнучкість мислення (0,85), логічність мови (0,85), критичність мислення (0,84), залежність успішності навчання від рівня розвитку пам'яті та уваги виявилася меншою.
До числа таких якостей наукового мислення відносяться гнучкість (нешаблонность), оригінальність, глибина, цілеспрямованість, раціональність, широта (узагальненість), активність, критичність, доказовість мислення, організованість пам'яті, чіткість і лаконічність мови і запису.
Всі ці якості мислення сильно корелюють один з одним, часто виступають в органічній єдності. Тому ранжування їх за значимістю досить важко, та й навряд чи доцільне дидактичної точки зору. Важливіше спробувати охарактеризувати їх прояви практично.
Будемо вважати характерним для прояву гнучкості мислення вміння доцільно варіювати способи вирішення пізнавальної проблеми, легкість переходу від одного шляху вирішення проблеми до іншого, вміння виходити за межі звичного способу дії, знаходити нові способи вирішення проблем при зміні задаються умов; вміння перебудовувати систему засвоєних знань у міру оволодіння новими знаннями та накопичення досвіду.
Таким чином, гнучкість мислення виявляється у швидкості орієнтування в нових умовах, в умінні бачити нове у відомому, виділяти істотне, що виступає у прихованій формі. Цікаво відзначити, що А. Ейнштейн вказував на гнучкість мислення як на характерну рису творчості.
Антиподом гнучкості мислення є відсталість мислення, частіше звана шаблонністю мислення або психологічної інерцією.
Знання та досвід дуже часто відтворюються свідомістю за певними, звичним для даного індивідуума «уторованим шляхах». Виникає нахил до якогось конкретного методу або способу мислення, бажання слідувати відомій системі правил у процесі вирішення завдань, - шаблонність мислення.
Шаблонність мислення є досить серйозною перешкодою винахідництва і взагалі творчої діяльності; нерідко шаблонність мислення виступає як наслідок навчання. І дійсно, досвід показує, що шаблонність мислення вельми характерна для багатьох школярів (як часто, наприклад, школярі починають вирішувати незнайому їм завдання тим способом, який їм «першим прийшов в голову»). Саме на подолання цього до а пра ці мислення спрямовані відомі евристики типу: «Забудь про те, що знаєш», «Пам'ятай, що методів багато, а не один», «Не йди второваним шляхом» і т. п.
З шаблонністю мислення пов'язаний і ефект, званий функціональної стійкістю, згідно з яким у більшості випадків об'єкти, що використовуються в даній ситуації в звичних для них функції, не використовуються в новій якості.
Цим, зокрема, пояснюються ті труднощі, які пов'язані з переосмислення школярами умови задачі, що є необхідною передумовою її успішного вирішення. Ось один з характерних прикладів.

рис. 1
Паралельні прямі АВ і CD пересічені прямий EF, величина одного з внутрішніх кутів при точці О (рис. 1) дорівнює 130 °. ОМ - бісектриса цього кута. Визначити величину кута, утвореного нею з прямою CD.
Тут пряма ОМ виступає одночасно і як бісектриса, і як січна. Її роль як бісектриси кута створює функціонального стійкість, з якої учні часто вагаються в: використанні цієї прямої в якості січної.
Слід зазначити, що шаблонність мислення, притаманна багатьом школярам, ​​має як негативний, так і позитивний характер. Вона рятує школяра від необхідності заново засвоювати ті чи інші операції, вирішувати завдання тих типів, які неодноразово їм зустрічаються, безумовно, позитивно позначається на результатах навчання.
Однак шаблонність мислення заважає школярам мислити оригінально, відокремлювати головне від другорядного, відшукувати нові шляхи вирішення завдань, застосовувати відомі їм знання у новій ситуації. Зрозуміло, що все це не сприяє розвитку творчих потенцій школяра.
Тож у навчанні математики дуже важливо допомагати школярам долати цей «психологічний бар'єр», розвивати в них гнучкість мислення.
Вищий рівень розвитку нешаблонного мислення проявляється в оригінальності мислення, яка в шкільному навчанні математики, як правило, виступає у незвичності способів вирішення відомих учням завдань. Оригінальність мислення, частіше за все, виявляється як наслідок глибини мислення. Глибина мислення характеризується вмінням проникати в сутність кожного з досліджуваних фактів, у їх взаємозв'язку з іншими фактами; виявляти специфічні, приховані особливості в досліджуваному матеріалі (в умові завдання, способі її вирішення, результат); умінням конструювати моделі конкретних ситуацій. Глибину мислення нерідко називають умінням виділяти істотне.
Відомо, що пізнання регулюється по двох каналах відображення реальної дійсності (об'єкта пізнання): за досить вузькому каналу відображення самого об'єкта і вельми широкому каналу відображення його фону (сукупності пов'язаних з цим об'єктом різних властивостей його самого та інших, пов'язаних з ним об'єктів); при цьому другий канал часто функціонує несвідомо. Це викликано тим, що знання та досвід відкладаються в пам'яті (і відтворюються в ній) своєрідними комплексами понять і уявлень - «готовими фрагментами відповідей» на відповідні питання. У процесі відтворення згадується не тільки те, що потрібно згадати, а й багато даремні в даній ситуації положення, так чи інакше пов'язані у свідомості з основним об'єктом.
Процес відділення фону від самого об'єкта - складний процес. Величина фону в значній мірі залежить від тих умов, в яких відбувається вивчення об'єкта, так само як і від умінь вивчити цей об'єкт в його істотних властивостях досить глибоко. Тому глибину мислення (уміння виділяти істотне) правомірно вважають якістю, формування якого у школярів є найважливішою умовою успішності навчання математики.
Таким чином, глибина мислення проявляється насамперед у вмінні відокремити головне від другорядного, виявити логічну структуру міркування, відокремити те, що строго доведено, від того, що прийнято «на віру», витягати з математичного тексту головне з того, що в ньому сказано ( і не більше того), і т.д.
Антиподом глибини мислення є поверхня мислення. Саме цим можна пояснити звичайне для учнів утруднення, що виникає у них при відповіді на таке запитання: «Чи є послідовність виду 2,2,2, ... прогресією, якщо є, то який?» Засвоївши поверхнево визначення прогресії, учні не розуміють, що відповідь на це питання є абсолютно повністю залежить від того, обумовлена ​​чи у визначенні можливість рівності нулю різниці (чи одиниці знаменника прогресії).
Цілеспрямованість мислення характеризується прагненням здійснювати розумний вибір дій при вирішенні будь-які проблеми, постійно орієнтуючись на поставлену тією проблемою мета, а також у прагненні відшукати найбільш найкоротші шляхи її досягнення.
Наявність у школярів цієї якості мислення особливо важливо при пошуку плану розв'язування математичних задач, при вивченні нового матеріалу і т. д.
Цьому сприяють спеціально підібрані вчителем задачі, що вводять у вивчення нової теми, за допомогою яких перед учнями розкривається доцільність її вивчення і послідовність розгляду відносяться до неї питань.
Цілеспрямованість мислення дає можливість більш економічного вирішення багатьох завдань, які звичайним способом вирішується якщо не складно, то занадто довго.
Цілеспрямованість мислення тісно пов'язана з таким моральним якістю особистості, як допитливість, своєрідним антиподом якого є цікавість. В основі того й іншого якості особистості лежать умовні рефлекси, в силу яких виборча активність людини завжди має цілеспрямований, навмисний характер.
Перше з цих якостей (допитливість) збагачує знання і досвід людини саме в силу своєї цілеспрямованості; цікавість, перетворюючись на самоціль, гасить прагнення людини до пізнання, як тільки його задоволено. Тож у навчанні математики слід всіляко заохочувати допитливість учнів і не заохочувати цікавість.
«Щоб навчатися, нам потрібно тільки розуміти те (пристосовуватися до того), чого нас вчать. Але, щоб з користю застосовувати знання, треба вміти задавати питання типу: «Чи так це?», «Чому?» - І особливо найпотужніший з них: «А що, якщо ...?» Чоло-пек, який постійно задає такі питання, вже не просто вчиться ».
Антиподом цілеспрямованості є безцільність мислення. Як вже зазначалося, цілеспрямованість мислення дає можливість більш економічного вирішення багатьох завдань, які звичайним способом вирішуються якщо не складно, то занадто довго. Тим самим цілеспрямованість мислення сприяє прояву такої якості, як раціональність мислення, що характеризується схильністю до економії часу і засобів для вирішення поставленої проблеми, прагненням відшукати оптимально просте в даних умовах рішення задачі, використовувати в ході вирішення схеми, символіку та умовні позначення.
Раціональність мислення часто виявляється при наявності широти мислення, яка характеризується здатністю до формування узагальнених способів дій, що мають широкий діапазон переносу і застосування до приватних, нетиповим випадків; вміння охопити проблему в цілому, не випускаючи при цьому мають значення деталей; узагальнити проблему, розширити область програми результатів, отриманих в процесі її дозволу. Тому широту мислення часто називають узагальненістю мислення.
Ця якість мислення проявляється в готовності школярів взяти до уваги нові для них факти в процесі діяльності у відомій (знайомій їм) ситуації.
Широта мислення учнів проявляється також у вміння класифікувати і систематизувати досліджувані математичні факти, узагальнювати їх, використовувати узагальнення і аналогію як методи розв'язання задач.
Антиподом широти мислення є вузькість мислення. Саме цим, наприклад, пояснюється поширена помилка учнів, які вважають одиницю простим числом, і т. п.
Усі розглянуті вище якості мислення можуть проявитися лише за умови прояву активності мислення, яка характеризується сталістю зусиль, спрямованих на вирішення певної проблеми, бажанням обов'язково вирішити поставлену проблему, вивчити різні підходи до її вирішення, дослідити різні варіанти постановки цієї проблеми в залежності від зміни умов та т.д.
Активність мислення в учнів проявляється також у бажання розглянути різні способи вирішення однієї і тієї ж задачі, різні визначення одного і того ж математичного поняття, звернутися до дослідження отриманого результату і т.п.
Якість мислення, яке є антиподом даному качествy, є пасивність мислення. Відзначимо, що пасивність мислення є однією з основних причин слабкого математичного розвитку деяких школярів і, зокрема, формального засвоєння змісту навчання математики.
У числі якостей наукового мислення важливе місце займає критичність мислення, яка характеризується вмінням оцінити правильність обраних шляхів вирішення поставленої проблеми, одержувані при цьому результати з точки зору їх достовірності, значимості.
У процесі навчання математиці це якість мислення в учнів проявляється схильністю (і умінням) до різного виду перевірок, грубим прикидками знайденого (шуканого) результату, а також до перевірки умовиводів, зроблених за допомогою індукції, аналогії і інтуїції.
Критичність мислення школярів проявляється також у розумі-ми знайти і виправити власну помилку, простежити заново всі викладки або хід міркування, щоб натрапити на протиріччя, що допомагає усвідомити причину помилки.
Відзначимо, що антипод даної якості мислення - некритичність ще властива багатьом учням середньої школи.
З критичністю мислення тісно пов'язана доказовість мислення, що характеризується вмінням терпляче й скрупульозно ставитися до збирання фактів, достатніх для винесення якого-небудь судження; прагненням до обгрунтування кожного кроку розв'язання задачі, вмінням відрізняти результати достовірні від правдоподібних; розкривати справжню причинність зв'язку посилки і укладання.
Нарешті, до числа важливих якостей наукового мислення відноситься організованість пам'яті.
Пам'ять кожного школяра є необхідною ланкою в його пізнавальної діяльності, залежить від її характеру, цілей, мотивів і конкретного змісту.
Організованість пам'яті означає здатність до запам'ятовування, довготривалого збереження, швидкого і правильного відтворення основної навчальної інформації та впорядкованого досвіду.
Зрозуміло, що у навчанні математики слід розвивати у школярів як оперативну, так і довгострокову пам'ять, навчати їх запам'ятовування найбільш суттєвого, загальних методів і прийомів вирішення завдань, докази теорем; формувати вміння систематизувати свої знання і досвід.
Антиподом цього якості мислення є неорганізованість пам'яті, з якої відбувається як запам'ятовування несуттєвою навчальної інформації, так і забування основною. Правда, при забуванні дрібних і незначних фактів стає можливим запам'ятовувати досить велику за обсягом і багату за змістом інформацію.
Організованість пам'яті дає можливість дотримуватися принцип економії в мисленні. Тому недоцільно завантажувати пам'ять учнів непотрібною чи незначною інформацією, не накопичувати у них досвід навчальної діяльності, непотрібною для подальшого. Так, наприклад, до недавнього часу школярі «розучували» рішення типових текстових задач, які не мають великого пізнавального значення; це дуже негативно позначалося і на розвитку їх пам'яті.
Досвід показує, що організованість пам'яті формується у школярів особливо ефективно, якщо запам'ятовування будь-яких фактів грунтується на розумінні цих фактів. Тому зубріння школярами численних правил є не тільки непродуктивною діяльністю, але й просто шкідливою.
У процесі навчання математики розвитку і зміцненню пам'яті школярів сприяють: а) мотивація вивчення; б) складання плану навчального матеріалу, що підлягає запам'ятовуванню; в) широке використання в процесі запам'ятовування порівняння, аналогії, класифікації і т. п.
Такі якості наукового мислення, як ясність, точність, лаконічність мови і запису, не потребують особливих коментарів.

1.2.2. Основні компоненти математичного мислення та дидактичні шляхи їх розвитку в учнів.

Конкретне мислення
Специфіка математичного мислення проявляється не тільки в тому, що йому притаманні всі якості наукового мислення, а й у тому, що для нього характерні особливі форми (різновиди прояви мислення), які в ході їх опису звичайно виділяються спеціальними термінами: конкретне і абстрактне мислення, функціональне мислення, інтуїтивне мислення і т.п.
Так як в процесі навчання математики зазвичай використовуються так звані конкретно - індуктивні або абстрактно-дедуктивні методи навчання, то, природно, виникає необхідність (з дидактичних міркувань) говорити про конкретний (предметному) або абстрактному мисленні школярів.
Конкретне (предметне) мислення - це мислення в тісній взаємодії з конкретною моделлю об'єкта.
Розрізняються дві форми конкретного мислення:
1) неоперативне (спостереження, чуттєве сприйняття);
2) оперативне (безпосередні дії з конкретною моделлю об'єкта).
Неоперативне конкретне мислення найчастіше проявляється у дошкільнят і молодших школярів, які мислять лише наочними образами, сприймаючи світ лише на рівні уявлень. Те, що школярі на цьому рівні розвитку не володіють поняттями, яскраво ілюструється дослідами психологів школи Ж. Піаже. Розглянемо деякі з них:

1. Дітям демонструються дві посудини (рис. 2, а) однакової форми і розмірів, що містять порівну темну рідину. Діти легко встановлюють рівність рідин в першому і другому посудині. Далі, на очах у дітей рідину з однієї судини переливають у інший більш високий і вузький (рис. 2, б) і пропонують порівняти кількість рідини в цій посудині і залишився недоторканим. Діти стверджують, що в новому посудині рідини стало більше.
2. Дітям демонструють квіти: волошки і маки (наприклад, 20 маків і 3 волошки) і питають, чого більше: квітів або маків? І хоча діти начебто б знають, що і волошки і маки суть квіти, вони відповідають, що маків більше.
3. Через порожнисту непрозору трубку (рис.3) на очах у дітей пропускають дріт з фіксованими на ній кульками (червоним, білим, синім, зеленим), поки всі кульки не сховаються в трубці.
Діти спостерігають порядок «входження» кульок у трубку. Потім починають зворотний рух дроту, пропонуючи дітям назвати колір кульки, який тепер вийде першим, другим і т. д. Діти зазвичай називають кульки в тому порядку, в якому вони «входили» в трубку.
Справа в тому, що неоперативне мислення дітей ще безпосередньо і повністю підпорядковане їх сприйняття і тому вони поки не можуть відволіктися, абстрагуватися за допомогою понять від деяких найбільш кидаються в очі властивостей розглянутого предмета. Зокрема, думаючи про перший посудині (див. перший досвід Ж. Піаже), діти дивляться на новий посудину і їм видається, що рідина в ньому займає більше місць а, ніж раніше (рівень рідини став вище).
Їхнє мислення, що протікає у формі наочних образів, призводить до висновку (слідуючи за сприйняттям), що рідини в судинах стало непоровну.
У процесі навчання математики в середній і старшій ланці школи вплив на неоперативне конкретне мислення учнів проявляється при використанні різних наочних »посібників, діафільмів, кіно і телебачення.
Повертаючись до описаних вище трьом дослідам Ж. Піаже, відзначимо, що сам Піаже пояснює помилкові відповіді дітей відсутністю у них здібностей до особливих розумових операцій (сталість цілого, стійке ставлення частини до цілого і оборотність), без формування яких неможливо оволодіння поняттям натурального числа.
Разом з тим Ж. Піаже стверджує (і це твердження узгоджується з думками багатьох радянських психологів), що оперативне конкретне мислення є більш дієвим для підготовки дітей до оволодіння абстрактними поняттями. Самостійна розумова діяльність виділяється саме в міру розвитку практичної діяльності, що лежить в основі розвивається психіки дитини.
Конкретне мислення відіграє велику роль в утворенні абстрактних понять, у конструюванні особливих властивостей математичного мислення, розвиток яких сприяє пізнанню математичних абстракцій.
Тому психологи рекомендують широко використовувати різні дидактичні посібники (наприклад, геоплан Гаттеньо, лінієчки Кюзінера і т. п.), з якими школярі можуть діяти безпосередньо в процесі навчання. У процесі навчання математики роль конкретного мислення особливо велика в молодших і середніх класах. З метою розвитку в учнів цього типу мислення, крім традиційного застосування наочних засобів у навчанні, необхідно вчити школярів загальним міркуванням на конкретних (приватних) прикладах.
У старших класах міра конкретного в процесі пізнання убуває, в той час як саме конкретне змінює свою форму, на зміну конкретній приходить абстрактне, яке має виступати як доцільне узагальнення конкретного.
Особливо корисно використовувати це положення при введенні в нову тему. У навчальному посібнику І. К. Андронова і А. К. Окунєва таким шляхом розглядається, наприклад, питання про введення поняття про тангенс гострого кута (вирішується завдання про доцільний нахилі даху будівлі, потім вводиться поняття тангенса кута нахилу і, нарешті, вивчені кругові функції застосовуються до визначення відстані Земля - ​​Місяць).
Сприяючи розвитку в учнів неоперативного конкретного мислення, корисно пам'ятати про те, що постійне звернення до наочним уявленням може іноді виявитися шкідливим. Так, наприклад, надмірне захоплення наочністю викладання почав стереометрії може загальмувати формування в учнів просторового уяви.
Абстрактне мислення
Абстрактне мислення тісно пов'язане з розумової операцією, званої абстрагуванням. Нагадаємо, що абстрагування має двоїстий характер: негативний (відволікаються від деяких сторін або властивостей досліджуваного об'єкта) і позитивний (виділяють певні сторони чи властивості цього самого об'єкта, що підлягають вивченню).
Тому, абстрактним мисленням називають мислення, яке характеризується умінням подумки відволіктися від конкретного змісту досліджуваного об'єкта на користь його загальних властивостей, що підлягають вивченню.
Абстрактне мислення може виявлятися в процесі навчання математики:
а) в явному вигляді. Наприклад, розглядаючи в курсі геометрії поняття геометричного тіла, ми явно відволікаємося від і всіх властивостей реальних тіл, крім форми, розмірів і положення в просторі;
б) в неявному вигляді. Наприклад, при рахунку предметів. конкретного безлічі ми неявно відволікаємося від властивостей кожного; окремого предмета, вважаючи, що всі предмети однакові (тотожні).
Абстрактне мислення можна підрозділити на:
1) аналітичне мислення;
2) логічне мислення;
3) просторове мислення.
1. Аналітичне мислення характеризується чіткістю окремих етапів у пізнанні, повним усвідомленням, як його змісту, так і вживаних операцій. Воно проявляється в процесі навчання через:
а) аналітичний спосіб докази теорем і розв'язання задач (щоб дізнатися, треба знати);
б) рішення задач методом рівняння;
в) дослідження результату рішення деякої задачі і т.п.
У свою чергу, спонукаючи школярів до згаданої вище математичної діяльності, вчитель може сприяти розвитку в учнів аналітичного мислення.
Аналітичне мислення не виступає ізольовано від інших видів абстрактного мислення; на окремих етапах мислення воно може лише превалювати над тими видами, з якими воно виступає спільно. Цей вид мислення тісно пов'язаний з розумовою операцією аналізу.
2. Логічне мислення характеризується звичайно умінням виводити наслідки з даних передумов, умінням вичленовувати окремі випадки з деякого загального положення, умінням теоретично передбачати конкретні результати, узагальнювати отримані висновки і т. п. Відомо, що розвиток логічного мислення школярів у процесі навчання математиці є предметом особливої ​​турботи вчителів та методистів. У процесі навчання математики логічне мислення виявляється (і розвивається) у учнів, перш за все в ході різних математичних висновків: індуктивних (повна індукція) і дедуктивних, в ході доказів теорем, обгрунтувань рішення задачі тощо
3. Просторове мислення характеризується вмінням подумки конструювати просторові образи або схематичні конструкції досліджуваних об'єктів і виконувати над ними операції, що відповідають тим, які повинні були бути виконані над самими об'єктами.
Відомо, що невисокий рівень розвитку просторової уяви та мислення, учнів зазвичай є для них каменем спотикання при вивченні стереометрії, так як воно не формується відразу, для його успішного розвитку зазвичай потрібно копітка попередня підготовка учнів. Певною мірою розвитку просторового мислення сприяє використання у навчанні таких технічних засобів навчання, як кінофільми, діафільми, діапозитиви, кодоскоп.
Широке застосування наочних посібників (зокрема, анагліфів) при вивченні стереометрії, звичайно, в якійсь мірі сприяє розвитку в учнів просторового мислення (і уяви).
З цим типом мислення тісно пов'язана здатність учнів висловити за допомогою, який - небудь схеми той чи інший математичний об'єкт, операції або відношення між об'єктами. Схеми, які при цьому складаються, можуть мати найрізноманітніший характер.
Інтуїтивне мислення
«Інтуїція (лат. intuito - пильна всматріваніе) - особливий спосіб пізнання, що характеризується безпосереднім осягненням істини. . . До області інтуїції прийнято відносити такі явища, як раптово знайдене рішення задачі, довго не поддававшейся логічним зусиллям, миттєве знаходження єдино вірного способу уникнути небезпеки, швидке і несвідомо відгадування задумів чи мотивів поведінки людини і т. д. »
У сучасній педагогіці специфіку інтуїтивного мислення в його відмінності від аналітичного мислення намагався розглянути Дж. Брунер. «Можна більш конкретно охарактеризувати аналітичне та інтуїтивне мислення. Аналітичне мислення характеризується тим, що його окремі етапи чітко виражені і думаючий може розповісти про них іншій людині. Таке мислення зазвичай здійснюється з відносно повним усвідомленням як його змісту, так і складових його операцій ...
На противагу аналітичному, інтуїтивне мислення характеризується тим, що в ньому відсутні чітко визначені етапи. Воно має тенденцію грунтуватися, перш за все, на згорнутому сприйнятті всієї проблеми відразу. Людина досягає відповіді, який може бути правильним або помилковим, не усвідомлюючи при цьому (якщо взагалі таке усвідомлення має місце) той процес, за допомогою якого він отримав шуканий відповідь ... Зазвичай інтуїтивне мислення грунтується на знайомстві з основними знаннями в даній області і з їх структурою, і це дає йому можливість здійснюватися у вигляді стрибків, швидких переходів, з пропуском окремих ланок; ці особливості вимагають перевірки висновків аналітичними засобами - індуктивними або дедуктивними ».
У процесі традиційного шкільного навчання математики інколи основна увага приділяється точному відтворенню школярем отриманих ним знань. Тому нерідко своєрідна відповідь обдарованого учня цінується менше, ніж добре завчений відповідь іншого. У першому випадку, хоча учень не в змозі чітко викласти хід своїх думок, він приходить до правильного результату, показуючи хороше уміння застосовувати свої знання, у другому - учень багато і правильно говорить, але по суті не вміє користуватися поняттями, вираженими в його мові.
Часто викладання математики будується саме так. Школяр вчиться не стільки розуміти математичні відносини, скільки просто застосовувати певні схеми або правила без розуміння їх значення і зв'язку. Після такого невдалого початку навчання учень приходить до переконання, що найважливіше - бути «точним», хоча точність належить швидше до обчислень, ніж взагалі до математики. Американський педагог-психолог Д. Брунер пише, що «... Бути може, самим разючим прикладом такого підходу є початкове виклад евклідової геометрії учнями середньої школи у вигляді ряду аксіом і теорем без будь-якої опори на безпосередній досвід оперування простими геометричними формами. Якби дитина раніше опанував поняттями і доступними йому способами дій у вигляді "інтуїтивної» геометрії, то він зміг би більш глибоко засвоїти зміст теорем і аксіом, які йому пояснюються пізніше ».
В даний час розвиток інтуїтивного мислення привернуло увагу багатьох прогресивних педагогів-математиків. На роль інтуїції у навчанні математики вказує А. Н. Колмогоров, Який пише: «... Скрізь, де це можливо, математики прагнуть зробити досліджувані ними проблеми геометрично наочними.
... Геометричне уяву, або, як кажуть, «геометрична інтуїція», грає велику роль при дослідній роботі майже у всіх розділах математики, навіть самих абстрактних. У школі зазвичай з особливим працею дається наочне уявлення просторових фігур. Треба, наприклад, бути вже дуже гарним математиком (в порівнянні із звичайним шкільним рівнем), щоб, закривши очі, без креслення ясно уявити собі, який вигляд має перетин поверхні куба з площиною, що проходить через центр куба і перпендикулярної однієї з його діагоналей ».
Правда, значення інтуїції не можна переоцінювати. Звичайно, людина з добре розвиненою здатністю до інтуїтивного мислення зазвичай володіє певними математичними здібностями, але сама по собі інтуїція не може забезпечити доброго знання предмета.
Д. Брунер висловлює думку, що «може бути, перш за все, потрібно створити інтуїтивне розуміння матеріалу і тільки тоді знайомити учнів з більш традиційними і формальними методами дедукції і докази».
Те ж саме відзначає і Е. Кастельнуово в книзі «Дидактика математики».
Говорячи про навчання геометрії, вона вказує, що треба зробити так, щоб курсу «раціональної» геометрії передував курс "інтуїтивної» геометрії. Цей курс має бути побудований таким чином, щоб до 14 років діти мали повне уявлення про світ геометричних фігур і питання, вивчені на початку на інтуїтивній основі, були потім повторені з більш абстрактної точки зору, тобто пропонується метод дії з об'єктом, а не метод спостереження над ним.
Автор ставить питання: «Якщо очевидно, що треба починати з викладу курсу інтуїтивною геометрії, виходячи з конкретного розвитку понять і властивостей, то який сенс слід надавати опорі на конкретне?» І наводить приклад, що розповідає про різному підході до конкретного: уявімо, що з дітьми 11 років ми вивчаємо квадрат. Щоб дати визначення цієї фігури, втім, вже відомої всім дітям цього віку, виходячи з конкретного, можна вирізати квадрати з аркуша паперу і дати дітям завдання спостерігати за сторонами і діагоналями вирізаних квадратів. Можна навести приклади предметів, що мають форму квадратів, порівняти квадрати з іншими видами чотирикутників. Все це робиться для того, щоб учень зміг самостійно дати визначення. Вирушаючи від невеликого числа спостережень нерухомих фігур, учень 11 років, як правило, не здатний зробити це самостійно.
Автор пропонує інший, більш природний шлях, використовуючи не спостереження над об'єктом, а дії з об'єктом.
Дітям дають рівні між собою планки і гвинти для їх скріплення. Скріпивши планки, учні помічають, що фігура, яку вони отримали, може зміняться, перетворюватися в ромб.
Якщо зосередити увагу дитини на елементах, які не змінюються і які змінюються при переході від однієї фігури до іншої, то він зможе інтуїтивно відчути сталість суми величин кутів і зміна суми довжин діагоналей через розгляд граничних випадків, коли ромб «прагне» до відрізка. У цьому випадку спостереження за великим числом фігур утворюються при перетворенні квадрата, призводить до характеристики і квадрата через ромб і, отже, до визначення фігури.
Д. Брунер задає питання: «Чи є більш імовірним розвиток інтуїтивного мислення учня в тих випадках, коли викладач сам мислить інтуїтивно? .. Здається неймовірним, щоб учень міг розвинути у себе або мав довіру до інтуїтивного методу мислення, якщо він ніколи не бачив, як його ефективно використовують дорослі. Учитель, який готовий по здогаду давати відповідь на питання, задане класом, і потім піддати свою здогадку критичному аналізу, бути може, з великим успіхом сформує у своїх учнів уміння користуватися інтуїцією, ніж той вчитель, який аналізує всі свої враження заздалегідь ...
... Чи слід стимулювати учнів до здогадів? Як створювати ситуації, що вимагають напруги інтелектуальних процесів? Можливо, що є певні умови, в яких здогадки бажані й можуть деякою мірою сприяти нормуванню інтуїтивного мислення. Такі здогадки потрібно дбайливо розвивати. Однак у школі висунення припущення часто важко карається і якось асоціюється з лінощами учнів. Звичайно, нікому б не сподобалося, якщо б наші учні не мілини здійснювати інших інтелектуальних операцій, крім здогадок, як за здогадками завжди повинні слідувати перевірка і підтвердження в тій мірі, в якій це необхідно ... Чи не краще для учнів будувати здогади, ніж позбавлятися дару мови, коли вони не можуть негайно дати правильну відповідь? »
Тому в процесі навчання математики слід всіляко заохочувати в учнів бажання і здатність до здогаду. При цьому слід щоразу звертати увагу учнів на те, що кожна гіпотеза, висунута за допомогою здогадки, потребує перевірки на правдоподібність і в обгрунтуванні (якщо вона не буде спростовано яких-небудь прикладом).
Інтуїтивне мислення нерідко виявляється в процесі умовиводів за аналогією.
Так, наприклад, нехай нам відомо, що центр ваги однорідного трикутника збігається з центром ваги трьох його вершин (тобто трьох матеріальних точок однакової маси, поміщених у трьох вершинах трикутника).
Знаючи це, ми можемо припустити, що центр ваги однорідного тетраедра збігається з центром ваги його чотирьох вершин. Така здогадка є «здогад за аналогією». Знаючи, що трикутник і тетраедр схожі один на одного у багатьох відношеннях, ми і висловлюємо цю здогадку. Надаємо читачеві самостійно перевірити, наскільки вірна висловлена ​​тільки що здогад.
Функціональне мислення, що характеризується усвідомленням динаміки загальних і приватних співвідношень між математичними об'єктами або їх властивостями (і умінням це використовувати), яскраво проявляється у зв'язку з вивченням однієї з провідних ідей шкільного курсу математики - ідеї функції.
Як відомо, одним з центральних вимог початковій стадії міжнародного руху за реформу математичної освіти (очолюваного Ф. Клейном) була вимога звертати особливу увагу на розвиток у школярів функціонального мислення, найбільш характерними рисами, якого є:
а) подання математичних об'єктів у русі, зміні;
б) операційно-дієвий підхід до математичних фактами, оперування причинно-наслідковими зв'язками;
в) схильність до змістових інтерпретацій математичних фактів, підвищена увага до прикладних аспектів математики.
Як показують дослідження, наочно кінематичні та фізичні уявлення, що лежать в основі функціонального мислення, органічно зливаються з формально-логічними компонентами мислення.
Одним із засобів розвитку функціонального мислення можуть служити системи завдань на математичний вираз і дослідження конкретних ситуацій з яскраво вираженим «функціональним Змістом».
У загальному випадку рішення такої задачі містить в собі три моменти:
1. У досліджуваному явищі виділяють основні, суттєві зв'язки, відкидаючи другорядні, несуттєві деталі, вводять різного роду спрощення та допущення.
2. Зв'язавши об'єкти, які виступають в досліджуваному явищі, з числами або геометричними образами, переходять від залежностей між цими об'єктами до математичних співвідношенням - формулами, таблицями, графіками.
3. Отримані математичні співвідношення досліджують, користуючись вже відомими, виробленими і вивченими математичними правилами дій над ними, а результати дослідження тлумачать у термінах і поняттях досліджуваного явища.
На жаль, на практиці через нестачу часу нерідко доводиться обмежуватися неповними завданнями, що містять тільки деякі з перерахованих вище елементів. Якими саме, залежить від віку учнів і переслідуваних вчителем цілей.
Неважко виявити, що різновиди математичного мислення є не чим іншим, як специфічними формами - прояви діалектичного мислення в процесі вивчення математики. Можна, наприклад, вказати на той факт, що так зване функціональне мислення є адекватним усвідомленню мінливості, взаємозв'язку і взаємозалежності математичних понять і співвідношень, що характерно для діалектичного мислення.
Відомо також, що поряд із завданням розвитку логічного мислення, що становить одну із завдань навчання математиці, в шкільному навчанні повинна вирішуватися не менш важлива, хоча і більш загальна задача - завдання виховання логічної грамотності. Зміст поняття «логічна грамотність» доставляють такі логічні знання й уміння, які дають можливість для успішного навчання в школі, для подальшого навчання та самоосвіти, для успішної суспільно корисної практичної діяльності та повсякденному житті. Дослідження Л. Микільської показали, що від випускників середньої школи потрібно оволодіння наступними логічними знаннями і вміннями: вміння визначати відомі поняття, класифікувати, розуміти зміст основних логічних зв'язок, розпізнавати логічну форму математичних пропозицій, доводити твердження і виявляти логічні помилки, організовувати свою діяльність відповідно з внутрішньою логікою ситуації, мислити критично, послідовно, чітко і повно, володіти основними розумовими прийомами. Неважко виявити, що в поняття логічної грамотності вкладаються не тільки відповідні знання та вміння, а й сформованість багатьох якостей наукового мислення. Тому завдання виховання логічної грамотності правомірно розглядається як важливий елемент загальної культури мислення.
Розвиток же логічного мислення учнів у процесі навчання математиці є, перш за все, розвиток теоретичного мислення, яке являє собою один з найважливіших аспектів розвитку діалектичного мислення. Справді, не тільки в ході навчання і розвитку, а й під час виховання, і особливо в процесі формування діалектико-матеріалістичного світогляду школярів, передбачається цілеспрямована робота вчителя з розвитку логічного мислення, заснована на самому змісті навчального матеріалу і його методології. Кінцевим підсумком навчання будь-якого предмета (у тому числі й математики) повинно бути підведення учнів до найбільш загальних філософських висновків про види і форми існування матерії. При цьому важливо, щоб ці висновки і узагальнення були зроблені самими учнями у процесі міркування над логікою тих чи інших посилок і наслідків, в процесі вивчення конкретного навчального предмета, під керівництвом вчителя.
Таким чином, з наукової точки зору говорити про вищевказані типах мислення як про компоненти, властивих тільки математичного мислення, було б невірно.
Разом з тим з дидактичних позицій виділення цих компонентів математичного мислення можливо і навіть доцільно, тобто цілеспрямована робота вчителя з формування у школярів функціонального, логічного, інтуїтивного і т. д. мислення реалізує завдання математичного розвитку учнів у цілому.
Використання умовної термінології дає можливість орієнтувати вчителя на ту чи іншу сторону розвитку математичного мислення у школярів у відповідних методичних рекомендаціях. Так, звернемося ще раз, наприклад, згаданого раніше. Говорячи про необхідність розвитку в учнів абстрактного мислення, можна рекомендувати вчителеві, що приступив до викладання систематичного курсу геометрії, почати з розгляду реальної ситуації - завдання проведення трубопроводу між двома пунктами. Сам трубопровід є реальний об'єкт, що володіє самими різними, важливими в практичному сенсі властивостями: вагою окремих ланок, якістю металу, розмірами, формою, довжиною, якістю покриття, пропускною спроможністю і т. д.
Починаючи проектувати будівництво трубопроводу, інженер-конструктор, перш за все, буде цікавитися протяжністю і трасою, за якою він буде прокладений. На цьому рівні конструктор відволікається від всіх інших властивостей цього об'єкта, звертаючи увагу лише на названі вище властивості; виникає абстрактна модель трубопроводу у вигляді геометричної лінії. Керуючись оптимальними умовами ефективної роботи трубопроводу, інженер починає вивчати питання про необхідну для цього формі і розмірах трубопроводу, не цікавлячись тепер тим, по якій трасі він буде прокладений. Виникає нова абстрактна модель цього ж об'єкта, представлена ​​у вигляді геометричного тіла. Виконроб, який керує обкладкою трубопроводу ізоляційним матеріалом (або забарвленням трубопроводу, що захищає його від корозії), має справу вже з іншого абстрактної моделлю трубопроводу: він розглядає його як геометричну поверхню. Вирішення цієї та інших аналогічних їй завдань встановлює корисність розгляду серед різноманітних властивостей об'єкта таких властивостей, як розміри, форма і положення в просторі. Виникає ціла галузь наукового знання про об'єкти реальної дійсності, в якій вивчаються саме ці властивості реальних об'єктів, звана геометрією.
Таким чином, теза В. І. Леніна про те, що «діалектика речей створює діалектику ідей ...», має відношення, але тільки до аналізу природи абстракції, але і до методів навчання математики. Говорячи про те, що в процесі навчання математики необхідно розвивати абстрактне мислення школярів, ми, зокрема, маємо на увазі широке використання методичних прийомів, аналогічних вищенаведеним.
До складу математичного мислення включаються мислить мулові вміння, адекватні відомих методів наукового пізнання. У практиці навчання математики від виступають не стільки як методи математичної діяльності, скільки як комплекс засобів, необхідних для засвоєння у ч ащіміся математики та розвитку у них якостей, притаманних математичному мисленню. Ці розумові вміння можуть проявитися (і формуватися) у навчанні на рівнях емпіричного і науково-теоретичного мислення.
Поряд зі специфікою математичного мислення справедливо P3Дічать специфіку фізичного, технічного, гуманітарного та інших видів мислення. Саме в силу цієї специфіки в процесі пізнання конкретних наук (і навчання конкретним навчальних предметів) активізується розвиток того чи іншого компоненту мислення взагалі, посилюється роль того чи іншого прийому розумової діяльності, того чи іншого методу пізнання.
Формування математичного мислення школярів передбачає, таким чином, цілеспрямований розвиток на предметі математики всіх якостей, притаманних природничо мисленню, комплексу розумових умінь, що лежать в основі методів наукового пізнання, в органічній єдності з формами прояву мислення, зумовленими специфікою самої математики, з постійним акцентом на розвиток науково-теоретичного мислення.
У процесі навчання математики природно приділяти особливу увагу розвитку в учнів якостей мислення, специфічних для мислення математичного. За умови, що проблемі розвитку мислення школярів при вивченні інших навчальних предмета буде приділено належну увагу, небезпека одностороннього розвитку мислення школярів не виникає. Розвивальне навчання, здійснюване при вивченні інших навчальних предметів, неминуче призведе до посилення розвитку тих компонентів мислення, які з точки зору математичної освіти вважаються другорядними.
Органічне поєднання і підвищена активність різноманітних компонентів мислення взагалі і різних його якостей проявляються в особливих здібностях людини, що дають йому можливість успішно здійснювати діяльність творчого характеру в найрізноманітніших галузях науки, техніки і виробництва. Так звані математичні здібності - це певна сукупність деяких якостей творчої особистості, сформованих (і застосовуються) у процесі математичної діяльності.
Сукупність здібностей, властивих творчої особистості, що реалізуються в процесі мислення, називають творчим мисленням.

1.3. Розвиток мислення при навчанні математики.

1.3.1. Засоби і умови розвитку мислення.

Розглядаючи питання про засоби та умови розвитку мислення, визначимо ці поняття. Під умовами, відповідно до теорії діяльності, розуміють все те, що впливає на характер і ефективність діяльності, а під засобом - такі умови, якими суб'єкт діяльності може довільно і мимоволі оперувати в процесі реалізації мети.
Серед теорій, що розглядають проблеми розвитку мислення, інтелекту, слід виділити ассоцианистской теорію, що стоїть біля витоків багатьох інших теорій розвитку (Д. С. Виготський, С. Л. Рубінштейн та ін.) Мислення, згідно з цією теорією, - це процес.
Розумовий процес ділиться на акти, етапи, кожен з яких має результативне вираз - «продукт». Останній включається у подальший перебіг процесу. Предметом психологічного дослідження є не продукт, а процес, процесуальне мислення.
Внутрішні закономірності мислення - це закономірності розумових операцій аналізу, синтезу, порівняння, узагальнення, абстрагування і т.д. та їх взаємозв'язків.
Відповідно до цієї теорії і учень і вчений опановують новими знаннями за допомогою розумових операцій, форми і рівень яких різні. У міру формування операцій формується інтелект.
Кожен навчальний предмет має свою специфіку, і кожна розумова операція переломлюється через специфіку змісту предмета. Ці операції не залучаються ззовні, вони породжуються процесом мислення в результаті аналізу задачі, її умов.
Одним з ключових моментів пошуку рішення задачі, згідно теорії, що розглядається, є перенесення вже наявного способу вирішення на нове завдання. Перенесення рішення передбачає аналітико-синтетичну діяльність щодо розв'язуваної і вирішеною завдання. Використання допоміжної завдання може бути здійснене тільки при достатньому аналізі основного завдання. Розкриття спільного в обох задачах - необхідна умова перенесення. Перенесення не здійснюється вирішальним у силу наступних обставин: не знає, забув допоміжну задачу, не вміє в задачах знайти спільне, недостатня узагальненість результату вирішеною завдання. Якщо, наприклад, учні, які вивчили теорему Піфагора, не можуть перенести її умови на ситуацію, пов'язану з ромбом, значить, ними не проведена аналітико-синтетична діяльність з аналізу завдання, виділенню головного, визначального метод розв'язання задачі.
Змістом процесу перенесення є аналіз через синтез, тобто розгляд ситуації з різних точок зору.
Говорячи про теорії розвивального навчання не можна не сказати про теорію Д.Б. Ельконіна - В.В. Давидова, що отримала особливо широке поширення в початковій школі, в тому числі при навчанні математики. Ця теорія поступово завойовує своє місце і в середній школі. У чому суть даної концепції? У чому виражається ефект розвитку і за рахунок чого він виходить?
Вихідні установки концепції Д.Б. Ельконіна - В.В. Давидова стосуються всіх сторін навчання. Це - створення умов для розвитку особистості дитини, зміна змісту навчання, зміна форм роботи з дітьми. Зміна змісту курсу диктується основним положенням концепції - вивченням змісту на рівні теоретичного узагальнення. Теоретичні знання, згідно з концепцією, повинні відображати внутрішні істотні зв'язки матеріалу, не дані в рамках чуттєвого досвіду. Провести змістовне узагальнення - значить відкрити деяку закономірність, взаємозв'язок особливих і одиничних явищ, відкрити закон становлення внутрішньої єдності цього цілого. Теоретичні узагальнення виникають не шляхом простого порівняння предметів, а з допомогою виявлення генетичної основи всіх конкретних проявів цілісної системи.
Основна форма організації вивчення матеріалу в цій теорії - постановка і рішення навчальних завдань у рамках проблемного підходу. Поняття «навчальна завдання» введена авторами концепції. Вона означає узагальнене знання, узагальнене вміння. Приклади узагальнених знань: як влаштовано визначення поняття, чому необхідні невизначені поняття, як влаштована дедуктивна теорія. Приклади узагальнених умінь / аналізувати умову задачі, складати прийом рішення типового завдання, застосовувати будь-яке правило на практиці, читати математичну книгу і багато іншого.
Навчальна завдання істотно відрізняється від численних приватних завдань, що входять до програми того чи іншого класу при традиційному навчанні. При вирішенні навчального завдання школяр спочатку оволодіває загальним способом вирішення приватних завдань на рівні теоретичного узагальнення. Завдання вирішується для всіх однорідних випадків відразу. Дозвіл навчальної задачі завжди закінчується побудовою програми, розпорядження, алгоритму - отриманням орієнтовної основи для вирішення подібних завдань.
Ця орієнтовна основа є підставою для аналізу умови, планування, здійснюваних учнем під час вирішення приватних завдань, для рефлексивних дій, для розвитку відповідних особливостей мислення, які є показниками розвиненого мислення.
Отже, кожна з розглянутих концепцій пропонує свій шлях розвитку мислення, свій шлях організації навчання, свої форми і методи роботи, свій підхід до змісту матеріалу. Видається, що, по-перше, на практиці навчання не можна виходити з однієї, нехай навіть дуже ефективною, концепції. Процес навчання багатогранний, тому необхідний підхід до нього з точок зору різних теорій, різних концепцій. По-друге, теорії розвивального навчання не тільки не суперечать один одному, але мають багато спільного. Всі вони припускають навчання учнів орієнтування у невизначених ситуаціях, аналізу цих ситуацій, уточненню цілей, пошуку виходу зі скрутної ситуації, усвідомлення шляхів виходу із ситуації.
Розглянуті теорії можуть знайти своє місце в процесі навчання - в організованому процесі передачі старшим поколінням молодшому свого досвіду.
Багато педагогів і психологи як найважливішого показника розвитку особистості виділяють наявність систематизованих знань, накопичення фонду знань відносять до однієї з найважливіших завдань розумового виховання, вважають, що якщо школа не домагається від учнів глибоких, міцних знань, то вона не може розвивати мислення і творчі здібності . Знання як предмет навчання є лише однією з цілей навчання, але цей така мета, у якій концентруються інші цілі навчання. Без знань не може бути умінь. Знання є передумовою, засобом і результатом творчості. Без глибоких систематизованих знань неможливе формування світогляду. Досить повний і систематизований запас знань про навколишній світ є найважливішим показником розвитку особистості учня. Знання - не тільки фонд для здійснення мислення. Засвоєння змісту не є акт простого присвоєння знань. Усвідомлення змісту навіть при пред'явленні його в готовому вигляді пояснювально-ілюстративним методом передбачає розуміння його внутрішньої логіки, різних взаємозв'язків елементів знань, співвіднесення нових знань з наявною системою знань, її доповнення, зміна. Засвоєння знань при будь-яких методах навчання передбачає здійснення розумових операцій, закладених у змісті, результатом виконання яких і є усвідомлення змісту. Логіка вмісту в значній мірі визначає логіку пізнання. І розвиток відбувається при всіх формах передачі знань, хоча й різною мірою. При передачі знань також передбачається і діяльність прогнозування при сприйнятті матеріалу, передбачення взаємозв'язків у цьому матеріалі. Відбувається зіставлення нового з власним досвідом, критичний його аналіз. Виникають різні аналогії. І якщо учень вперше в будь-якому змістів зустрічається, наприклад, зі ставленням транзитивності і розуміє його у відповідному контексті, то це хоч і невелике, але просування у розвитку його мислення.
Отже, створення системи знань, наявність цієї системи є і умовою, і засобом, і показником розвитку мислення.
Але знання важливі не самі по собі. Важливо функціонування знання в мисленні, вироблення власних практичних рішень під впливом знань. Необхідно дбати не просто про систему знань, а про інтеграцію знань в таку систему, яка відповідає логіці вирішення завдань. Гнучкість, рухливість, узагальненість, усвідомленість, систематизованість знань набувається і виявляється в застосуванні знань, в уміннях застосовувати знання.
Уміння є опанування «технологією» діяльності, тобто процесом її побудови, контролю, корекції й оцінки. Багато педагогів і психологи під розвитком особистості суб'єкта розуміють процес становлення його готовності до самостійної організації своєї роботи відповідно з виниклими або поставленими завданнями різного рівня складності, в тому числі виходять за рамки раніше засвоєного. А готовність суб'єкта до самостійної діяльності безпосередньо залежить від сформованості вмінь.
Якщо виходити з класифікації умінь, що розділяє вміння на організаційні, практичні та інтелектуальні, то останні можна розділити на загальні та спеціальні.
У зв'язку з нашим підходом до аналізу процесу мислення серед загальних інтелектуальних умінь виділимо вміння щодо здійснення окремих розумових операцій, формально-логічні вміння, що характеризуються значною мірою жорсткості, алгорітмічності, і вміння евристичного пошуку.
Тоді до першої групи умінь можна віднести вміння узагальнювати, порівнювати, аналізувати і т. д. До другої групи - вміння міркувати доказово, пред'являючи аргументи для підтвердження кожного факту, правильно формулювати визначення понять, підводити під визначення, розпізнавати властивості і ознаки, і багато іншого . До умінь вести евристичний пошук можна віднести вміння видозмінювати мета, розбивати завдання на підзадачі, розглядати один і той самий об'єкт з різних сторін, виділяти окремі випадки для одержання загальної закономірності і т.д.
До другої групи умінь - спеціальних можна віднести вміння з використання координатного, векторного методу розв'язання задач, уміння вирішувати завдання за допомогою складання рівнянь і т.д.

1.4. Розвиток логічного мислення при навчанні математики.

1.4.1. Актуальність проблеми розвитку логічного мислення учнів.

Про актуальність проблеми розвитку логічного мислення школярів можна говорити в різних аспектах.
По-перше, проблема розвитку логічного мислення повинна мати своє відображення в шкільному курсі математики в силу недостатності підготовки учнів у цій частині, в силу великої кількості логічних помилок, що допускаються учнями усваиваемом змісті шкільного курсу математики, де пред'являються найбільш високі вимоги в порівнянні з іншими шкільними предметами за логічної організації матеріалу.
По-друге, необхідно чітко поставити, сформулювати проблему в силу того, що різні автори під розвитком логічного мислення на увазі різні завдання. У статтях, рекомендаціях, як правило, піднімаються окремі аспекти, обший завдання розвитку логічного мислення. Є необхідність в цілому сформулювати проблему.
Існують різні трактування термінів «логіка мислення», «логічне мислення». У педагогіці, в методиці викладання математики ці поняття окремими авторами розуміються дуже широко як забезпечення зв'язків у думках. Таке розуміння охоплює і логіку пошуку нового знання (діалектичну логіку) і логіку оформлення наявного знання і логіку здорового глузду. Також має місце змішання елементарних психологічних операцій процесу мислення і логічних форм. Нерідко до логічних операцій відносять елементарні операції мислення: аналіз, синтез, порівняння тощо
Крім того, часто поняття діалектичне та логічне мислення чітко не розділяються.
У даному викладі прийнята точка зору на логічне мислення як відмінне від діалектичного, творчого, мислення пошуку нового знання.
У реальному процесі мислення творче і логічне мислення тісно переплетені, взаємопроникають, але нетотожні.
З метою вивчення проблеми розвитку логічного мислення ці два поняття доцільно розділити. Тоді логічне мислення - мислення, яке проходить у рамках формальної логіки, що відповідає вимогам формальної логіки. Логічне мислення у такому розумінні не є творчим, тому що згідно із законами та правилами формальної логіки не можна вивести з посилок нічого такого, що не було б у цих посилках укладено. Ця думка міститься в словах англійського філософа Д. Локка про те, що силогізм в кращому випадку є лише мистецтво вести боротьбу за допомогою того невеликого знання, яке у нас є, не додаючи до нього нічого. Відомі математики, вивчали процес відкриття нового знання (Ж. Адамара, А. Пуанкаре), психологи, які вивчали процес мислення (Я. О. Пономарьов, А. Ф. Есаулов та інші), поділяють творче і логічно мислення. Логічні міркування припускають відсутність стрибка думки, пропуску окремих ланок у міркуванні і всього міркування, тобто осяяння, інсайту, інтуїції.
Завдання розвитку логічного мислення учнів ставиться і певним чином вирішується в масовій школі. У всіх шкільних програмах з математики як одна з цілей навчання предмета відзначена - розвиток логічного мислення. Ще століття тому Л.М. Толстой відзначав, що математика має своїм завданням не лічити, але навчання людської думки при обчисленні.
Але програми з математики поки що не містять розшифровки цієї мети. Тому кожен вчитель розуміє її по-своєму і по-своєму її вирішує. Представляється, що є необхідність усвідомлювати проблему розвитку логічного мислення у всій широті і багатогранність і вміти її реалізовувати в звичайному навчальному процесі, не залучаючи додаткового змісту, лише розставляючи в звичайному навчальному матеріалі певні акценти.
Вироблення вмінь учнів логічно мислити протікає швидше, якщо навчання належним чином організовано, якщо усвідомлюються окремі логічні форми. З усвідомленням окремих логічних форм людина починає більш чітко мислити і висловлювати свої думки в мові.
Існуючий стан справ у засвоєнні норм логічного мислення не може вважатися задовільним у масовій школі, тому що деякі учні, випускники шкіл допускають численні логічні помилки при визначенні понять, їх класифікації, плутають пряму і зворотну теореми, властивості і ознаки понять, не вміють підводити під визначення, не вміють будувати заперечення висловлювань і т. д. Наведемо приклади типових помилок учнів. Наприклад, при обгрунтуванні, що трикутник зі сторонами 3,4,5 є прямокутним, називається теорема Піфагора, а не їй зворотна. При визначенні понять невірно вказується родове поняття: «Діаметр - пряма, що проходить через центр кола». Невірно або не повністю вказуються видові відмінності: «Паралелограм - це такий чотирикутник, у якого бічні сторони рівні». Відсутня родове поняття або видову відмінність: «Середня лінія трапеції - це відрізок», «Паралелограм - це коли сторони паралельні». Формулювання визначень надлишкові: «Рівнобедрений трикутник - це трикутників якому сторони, що лежать проти рівних кутів, рівні».
Учні плутають визначення поняття, ознака, властивість. Замість ознаки, необхідного при вирішенні завдання, наводиться визначення або властивість, замість визначення - ознака і т.д.
Численні помилки спостерігаються при встановленні зв'язку між поняттями, при класифікації понять, при з'ясуванні, яка з двох теорем є наслідком іншої. Приклад невірної класифікації: «Прямі в просторі можуть бути паралельними, перпендикулярними, пересічними, перехресними». І т. д.
Як можна бачити, існує необхідність в процесі навчання звертати спеціальну увагу на розвиток логічного мислення. У цьому посібнику тема розвитку логічного мислення учнів розглядається після того, як основні питання курсу методики вивчені. Представляється, що коли предмет методики викладання математики лише починається, цілі розвитку логічного мислення при навчанні математики можуть бути лише позначені приблизно в тому плані, як це зроблено в програмі з математики.
У міру вивчення питань загальної та окремих методик проблема розвитку логічного мислення розкривається більш детально. Вимоги до формулювань визначень понять, до побудови доказів і т. д. розглядаються у відповідних темах. Проте розрізнені відомості необхідно систематизувати, узагальнити, поглибити, довести до такого рівня, щоб постанова цілей розвитку логічного мислення, постановка відповідних навчальних завдань не представляла б труднощів.
Чому проблема розвитку логічного мислення найчастіше піднімається в шкільному курсі математики? Існують методичні роботи з розвитку мислення, у тому числі і логічного, у шкільних курсах російської мови, історії і т. д. В російській мові, щоб захистити себе від можливих граматичних помилок, доводиться постійно міркувати логічно. Логічно мислити можна вчити через будь-яку науку, будь-який шкільний предмет. Але на шкільну математику в цьому плані лягає найбільше навантаження. Ні в одному шкільному предметі немає ланцюжків отримання нових суджень, тобто немає складних формальних доказів. В інших шкільних предметах докази фрагментарні, складаються з одного - двох кроків. Наявність багатокрокових доказів - один із проявів специфіки математики - науки і шкільного предмета. Відсутність повноцінного шкільного курсу математики істотно відбивається на логічному, і, відповідно, на загальному розвитку людини.
Особливої ​​актуальності проблема розвитку логічного мислення набуває у зв'язку з реалізацією ідей гуманізації та гумантарізаціі шкільної математичної освіти.

1.4.2. Історія проблеми розвитку логічного мислення

учнів.

Історія проблеми розвитку логічного мислення при навчанні математики пов'язана певним чином з проблемами строгості докази в самій науці математиці / Відомі з історії математики перші докази такими не є з сучасної точки зору. У древній індійській книзі Ганеші доказ формули площі кола обмежувалося малюнком (див. рис.4) і написом: «Дивись».

Рис. 4
Логіка формальних міркувань - формальна логіка дійшла до нашого часу з давніх часів завдяки роботам давньогрецького мислителя Арістотеля (384-322 рр. до н. Е.), в яких розроблено теорію дедукції, тобто правил логічного висновку, незалежних від змісту міркувань. Аристотелю належить відкриття формального характеру логічного висновку, що складається в тому, що в міркуваннях одні пропозиції виводяться з інших незалежно від їх змісту, в силу своєї певної структури, форми. Звідси і назва формальної логіки.
Формальна логіка виникає тоді, коли розвиток спеціальних наук і взагалі людського мислення зробило актуальним питання про те, як треба міркувати, щоб отримувати правильні висновки.
У зв'язку з появою неевклідової геометрії, усвідомленням проблеми несуперечності системи наукових знань виникає потреба у вдосконаленні апарату доказів! У IXX столітті в результаті застосування у формальній логіці математичних методів виникає математична логіка.
Математична логіка суттєво збагатила курс формальної логіки, ввівши велику строгість у математичні докази на підставі нових вимог до отримання нових суджень.
Відповідь на питання, чи займатися розвитком логічного мислення учнів, вітчизняні психологи та методисти давали однозначно позитивний на відміну від зарубіжних, наприклад, Ж. Піаже, який відстоював положення про незалежність розвитку логічних структур від навчання.
Методист І.А. Гибш, виділяючи аспекти проблеми розвитку логічного мислення, підкреслював необхідність формування умінь учнів: з підведення об'єктів під визначення, класифікації понять, виведення наслідків з визначення, розвитку умінь користуватися судженнями і умовиводами, отримувати нові висновки на підставі правил виводу і законів логіки, користуватися термінами « необхідно »і« досить », використовувати різні прийоми та види доказів. У недалекому минулому крайню точку зору в плані розвитку логічного мислення учнів відстоював методист А. А. Столяр, який вважав за необхідне на певному етапі навчання знайомити учнів з елементами математичної логіки.
У роботі І.Л. Микільської та Є.Є. Семенова виділені знання та вміння, якими, на думку авторів, випускник школи повинен володіти: вміти правильно формулювати визначення знайомого поняття, класифікувати, розуміти значення зв'язок «і» та «або», вміти будувати заперечення тверджень, що містять квантори, розуміти зміст термінів «якщо ..., то ...», «тоді і тільки тоді, коли», «не більше», «не менше» і т. д.

1.4.3. Зміст проблеми розвитку логічного мислення при навчанні математики в школі.

Основним завданням формальної логіки є відділення правильних способів міркування від неправильних. Міркування можна вважати вірним лише в тому випадку, якщо з істинних суджень - посилок не можна отримати помилкове судження - помилковий висновок. Міркування, що допускає отримання неправдивого висновку з істинних посилок, не тільки не розширює наші знання про навколишній світ, але доставляє про нього неправильну інформацію. Тому такі міркування неприпустимі.
Сукупність суспільної практики, що є критерієм істинності одержуваних суджень з наявних, вилилася в низку правил, законів, які залежать тільки від форми міркувань, від взаємозв'язків складових частин міркування, але не від їх змісту. Звідси зрозуміла важливість законів і правил висновку. Про форми мислення і правила виводу не ведеться розмови ні в одному шкільному предметі, хоча всі предмети їх широко використовують. І це, ймовірно, справедливо - не обов'язково знати закони травлення, щоб правильно перетравлювати їжу.
Говорячи про логічною складовою у навчанні учнів зупинимося на сенсі фрази, що логіка призводить думки в порядок, з'ясуємо, який зміст вкладав М.В. Ломоносов у відомі його слова про те, що математика розум до ладу приводить.
Встановити порядок на деякій множині об'єктів - значить пронумерувати їх. Існують визначення суворого і несуворого порядків. Можна встановити порядок на множині понять і на безлічі висловлювань. Порядок на безлічі понять визначається за допомогою відношення «передувати». Приклад: поняття відрізок передує поняттю багатокутник. Ніяке поняття не передує самому собі. Порядок на безлічі суджень можна встановити за допомогою відношення «слідувати», «бути слідством». Теорема про вписаному вугіллі трикутника випливає з теореми про суму кутів трикутника. Відношення «передувати» - ставлення суворого порядку, ставлення «слідувати» - приклад ставлення несуворого порядку.
Дедуктивний (аксіоматичне) побудова курсу математики і є наведення порядку на множині понять і суджень.
Чому важливо, щоб наявна в голові людини інформація була впорядкована? На це питання відповідь можна знайти в роботі А.А. Столяра: «Ця інформація може виявитися в думці людини невпорядкованою, тобто розмиті знання - ізольованими, непов'язаними між собою і тому малоефективними в якості вихідного матеріалу для отримання нових знань. По-друге, можливо також, ця інформація буде лежати «мертвим вантажем», тобто заповнювати лише пам'ять людини, але не перетворюватися їм, не використовуватися для отримання нових знань логічним шляхом, за допомогою міркувань ».
Аналіз змісту шкільного курсу математики дозволяє виявити ті логічні дії, які виконуються учнями, які вивчають дедуктивно побудований математичний курс. Номенклатура умінь може бути впорядкована наступним чином:
Учні повинні вміти:
♦ формулювати визначення понять з використанням різних зв'язок і кванторів;
♦ наводити приклади понять, підводити об'єкти під визначення різних логічних конструкцій;
♦ приводити контрприклади, тобто будувати заперечення визначень різних логічних конструкцій;
♦ розуміти відносини між двома поняттями;
♦ проводити класифікацію відомих понять;
♦ розуміти властивості конкретних відносин - рефлективність, симетричність, транзитивність - без вживання відповідної термінології;
♦ розуміти сенс термінів «слід», «отже», «якщо ..., то ... »;
♦ виділяти умови і укладання теореми;
♦ будувати заперечення тверджень різної структури;
♦ розрізняти властивості і ознаки понять;
♦ розуміти сенс докази, розрізняти правдоподібні і дедуктивні міркування;
♦ вміти проводити отримане доказ;
♦ розуміти еквівалентність окремих визначень, доводити це в окремих випадках;
♦ розуміти зміст термінів «хоча б один», «не більше», «не менше», «все», «деякі»;
♦ використовувати окремі методи доказу - метод від супротивного, повну індукцію, докази методом виключення;
♦ розуміти основні принципи побудови дедуктивної теорії.
Оволодіння перерахованими діями щодо впорядкування досліджуваного матеріалу і є змістом проблеми розвитку логічного мислення.

1.4.4. Шляхи вирішення проблеми розвитку логічного мислення учнів.

Для вирішення завдань розвитку логічного мислення не потрібно включення в курс додаткового математичного матеріалу. Завдання розвитку логічного мислення можна ставити і вирішувати на звичайному навчальному матеріалі.
У системі роботи вчителя з розвитку логічного мислення учнів можуть мати місце різні рівні.
I. Відсутність спеціально організованої вчителем роботи з розвитку логічного мислення. Організаційним чинником, що направляють в цьому випадку процес розвитку, є усваиваемое зміст предмету.
II. Організація діяльності учнів по усвідомленню логічною складовою змісту, що вивчається за допомогою спеціально підібраних вправ.
III. Організація спеціального навчання учнів засвоєнню прийомів логічного мислення в явному вигляді з виділенням їх операційних складових. Такими прийомами можуть бути: доказ методом від супротивного, підведення під визначення, підведення під поняття і багато іншого.
Відповідно рівням організації діяльності учнів відбувається засвоєння матеріалу на різних рівнях систематизації його в залежності від усвідомлення логічних взаємозв'язків у цьому матеріалі.
I. Рівень фрагментарних знань, відсутність усвідомлення взаємозв'язків між компонентами системи.
II. Рівень часткової логічної організації вивченого матеріалу, розуміння окремих його взаємозв'язків.
III. Рівень логічно організованих знань.
Останній рівень характеризується розумінням цілісності системи знань, розумінням місця окремих елементів системи знань у цій системі, тобто систематизацією вивченого матеріалу.
Наведемо приклади вправ, спрямованих на виділення логічною складовою досліджуваного матеріалу у відповідності з другим рівнем організації діяльності учнів.
ПРИКЛАД: При вивченні рівнобедреного і рівностороннього трикутника поряд з іншими завданнями можна запропонувати учням наступні питання:
- Вірно, чи сформульовано визначення: трикутник, у якого дві сторони рівні і два кути рівні, називається рівнобедреним?
- Чи правда, що всі трикутники є рівнобокими або рівностороннього?
-Чи правда, що кожен рівносторонній трикутник є рівнобедреним, деякі рівнобедрені трикутники є рівностороннім?
-Якими можуть бути нерівносторонні трикутники?
- Вірно, чи сформульована пропозиція: бісектриса кута рівнобедреного трикутника є його медіаною і висотою?
Як приклад прийому в рамках третього з виділених раніше рівнів розглянемо прийом з розпізнавання ознак і властивостей понять. Актуальність вивчення прийому в явному вигляді диктується великою кількістю помилок по змішуванню ознак і властивостей понять. Помилки допускаються не тільки починаючими вивчати курс геометрії, але й випускниками школи. І, навпаки, розуміння термінів властивість і ознака поняття дозволяє учням з'ясувати місце кожної теореми в системі теорем, систематизувати свої знання по кожному поняттю, допомагає правильно застосовувати вивчені теореми. Ситуації, в яких використовуються теореми, різні: властивості понять використовуються, коли є об'єкт, що належить поняттю, ознаки - коли необхідно під поняття підвести.
Плутанина властивостей і ознак обумовлена ​​тим, що крім як у математиці і, може бути, ще в медицині терміни «властивості» і «ознаки» ніде суворо не розділяються. Наприклад, в словнику російської мови дається таке формулювання: «Властивість - це якість, ознака, що становить відмітну особливість кого - чого - небудь.» (С. І. Ожегов. Тлумачний словник. М., 1998.) Або: «Властивість - то , що притаманне предметів, що відрізняє їх від інших предметів або робить їх схожими на інші предмети. »(М. І. Кондаков. Логічний словник. М., 1971.)
У математиці властивості розуміються як необхідні умови існування поняття, ознаки - як достатні або необхідні і достатні умови існування поняття. У шкільному курсі термін ознака завжди вживається як необхідна і достатня умова.
Найближче до шкільного розуміння термінів властивість і ознака є такі визначення, на які можна спертися при розмові з учнями. «Властивість - кожна з безлічі сторін речі або явища, виявляє у взаємодії даного предмета з іншими.» (Енциклопедичний словник. М., 1964.) «Ознака - показник, прикмета, знак, за якими можна дізнатися, визначити що-небудь». (СІ. Ожегов. Тлумачний словник. М., 1996.)
По суті справи властивість поняття, об'єкта - це все те, що можна сказати про об'єкт, вивчаючи його. Ознаки - це ті властивості, умови, за наявності яких об'єкт можна віднести до певного класу об'єктів, до поняття.
В якості прикладу розглянемо теорему Піфагора. Теорема описує прямокутний трикутник, тобто є властивістю прямокутного трикутника. Аналогічно, теорема «Ставлення периметрів подібних багатокутників одно коефіцієнту подібності цих багатокутників» описує наявні подібні багатокутники, тобто є їх властивістю.
Розглянемо формулювання теореми: «Чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно рівні, є параллелограммом». У цій теоремі умову попарного рівності протилежних сторін чотирикутника є прикметою, показником, знаком того, що чотирикутник є параллелограммом.
Умовна форма теореми дозволяє визначити формально, ознакою jc або властивістю деякого поняття є розглянута теорема. Якщо поняття знаходиться в умові теореми (якщо трикутник є прямокутним, то ...), - теорема висловлює властивість цього поняття. Якщо розглядається поняття знаходиться в ув'язненні теореми (..., то даний чотирикутник є параллелограммом), - теорема є його ознакою.
При цьому називати теорему ознакою чи властивістю безвідносно до поняття не можна, оскільки формальне кожну теорему можна вважати властивістю одного поняття і ознакою іншого. Наприклад, теорема «У подібних трикутниках відповідні кути рівні» є властивістю поняття подібні трикутники і ознакою рівності кутів. Деякі умови є як властивостями, так і ознаками одного й того самого поняття, наприклад, поділ діагоналей, навпіл у точці їх перетину для паралелограма.
Як будується теорія поняття? Спочатку дається формальне визначення поняття. Потім з визначення отримують в якості його наслідків різні властивості поняття. Потім будують зворотні пропозиції до окремих властивостях і перевіряють їх істинність. Так отримують ознаки. Часто для отримання ознак використовують не одне, а кілька властивостей.

1.5. Розвиток логічного мислення в геометрії.

1.5.1. Завдання викладання геометрії в школі.

Завдання викладання геометрії - розвинути в учнів три якості: просторова уява, практичне розуміння та логічне мислення.
Зрозуміло, в завдання курсу геометрії входить: дати учням, як це прийнято говорити, основні знання і вміння в галузі геометрії. Проте все ж головні, глибинні завдання викладання геометрії полягають у трьох зазначених елементах ...».
Таким чином, А. Д. Александров вказує на три основні завдання викладання геометрії в середній школі: поряд (точніше, за допомогою) з вивченням основних геометричних фактів і розвитком певних умінь і навичок, учнів головні задачі складають розвиток їх просторової уяви, логічного мислення і розуміння того, що геометрія вивчає, властивості реального світу. Ця точка зору знайшла яскраве втілення у пробних підручниках геометрії, написаних авторським колективом на чолі з академіком А.Д. Александровим.
Програма з геометрії дає такі ж цільові установки на викладання геометрії в середній школі. Таким чином, основними завданнями курсу геометрії є:
- Систематичне вивчення основних фактів геометрії, методів їх отримання та можливостей їх застосування;
- Розвиток умінь і навичок учнів, які забезпечують застосування отриманих знань для вивчення суміжних дисциплін і в сфері виробництва;
- Розвиток просторової уяви і логічного мислення учнів.
При цьому основою для розвитку просторової уяви і логічного мислення учнів є оволодіння ними основними фактами і методами геометрії.
У висловлюваннях ряду вчених і в підручниках, написаних ними, можна помітити певні акценти, які вони роблять на окремих задачах викладання геометрії в школі. Так, в академіка А. Д. Александрова - це «лід і полум'я» органічної єдності суворої логіки і живого сприйняття реального світу.
Академік А. В. Погорєлов на перше місце ставить розвиток логічного мислення учнів. Він пише: «Пропонуючи справжній курс, ми виходили з того, що головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учнів логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. Далеко не всі з закінчують школу будуть математиками, тим більше геометрами. Будуть і такі, які в їх практичній діяльності жодного разу не скористаються теоремою Піфагора. Проте навряд чи знайдеться хоча б один, якому не доведеться розмірковувати, аналізувати, доводити ».
Прагненням до форсованого розвитку логічного мислення учнів обумовлено в його підручнику «основне навчальний вимога» доводити все, особливо на початку навчання; підвищену увагу до строгості доказів «очевидних» фактів (наприклад, спи манних з відношенням «лежати між»); широке використання способу докази від противного з перших кроків навчання; свідомий відрив мислення від креслення як «ефективне навчальне засіб».

1.5.2. Креслення вчить думати.

У шкільному курсі геометрії виділяють три види креслень:
креслення, що ілюструють зміст вводиться поняття;
креслення, образно представляють умову задачі або розглянутого математичного пропозиції;
креслення, що ілюструють перетворення геометричних фігур.
Ми будемо розглядати головним чином роботу з кресленнями перших двох видів, оскільки вони мають більш широке застосування.
Формуючи в учнів уміння, працювати з кресленням, вчитель повинен пам'ятати, що якщо обмежуватися стандартними кресленнями, то школярі досить швидко почнуть пов'язувати сформоване поняття тільки з фігурами певного виду та положення. «Стандартний» креслення викликає в учнів невірні асоціації, в результаті яких у зміст поняття вносяться зайві ознаки, які є приватними ознаками демонстрованої фігури.
Ефективність формування в учнів понять, які можна уявити наочно, в значній мірі залежить від того, в якому вигляді відбулося перше знайомство з ним, тобто яким виявився перший зоровий образ, який став потім носієм даного поняття (сила першого враження). Тому на початку вивчення поняття треба показувати якомога більше креслень, в яких варіюються не істотні ознаки поняття.
Звичайно, на побудову різних варіантів одного і того ж креслення йде багато часу. Рекомендуємо поступити наступним чином. З шматка лінолеуму вирізати коло і закріпити його на класній дошці так, щоб він міг обертатися навколо свого центру. До цього кола приробити невелику ручку, за допомогою, креслення якої можна його повертати. Кожного разу вже побудований креслення вчитель захоче показати в іншому становищі, йому залишиться лише повернути коло, на якому креслення зображений. Це пристосування корисно ще тим, що дозволяє впроваджувати у свідомість учнів ту важливу думку, що при русі зберігаються основні властивості фігур.
Учні зазвичай звикають співвідносити будь-яку фігуру з одним поняттям, не вміючи переосмислити фігуру в плані іншого поняття. Для розвитку мислення учнів потрібно витратити багато зусиль на формування у ні вміння виокремлювати з елементів нові фігури, не згадані в тексті умови завдання В. І. Зикова зазначає: «Щоб усунути труднощі при виконанні операції переосмислення, слід звертати увагу учнів на випадок відповідності фігур двом і більше поняттями ».
Креслення та малюнки - ефективний засіб формування в учнів уміння помічати закономірності на основі спостережень, обчислень, перетворень, зіставлень. Звертаючись до вчителів математики, Д Пойа писав: «Результат творчої роботи математики - доказове міркування, доказ, але доказ відкривають за допомогою правдоподібних міркувань, за допомогою здогадки ... Викладач повинен показувати, що здогади в області математики можуть бути розумними, серйозними, відповідальними ... Давайте вчити здогадуватися! ».
При навчання рішенню геометричних завдань дуже важливо стежити за тим, щоб формулювання завдання допомогла учням зробити креслення. У шкільних підручниках текст, за допомогою якого сформульована задача або теорема, не завжди написаний доступним, зрозумілим мовою. Як показує практика, учням найважче даються такі тексти, в яких стислість досягається нанизуванням придаткових пропозицій або причетних обертів.
Особливе місце в розвитку мислення посідає навчання порівнянні, зокрема порівнянні факту, вираженого словесно, з його інтерпретацією на кресленні. Креслення може служити спростуванням якогось загального висловлювання. Навчаючись спростовувати невірні висловлювання, школярі поступово звикають до доказів. Наведемо три завдання, які фактично націлюють учнів на пошук контрприкладів.
11. Чи вірно твердження: «Будь-який чотирикутник, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні, є ромбом»?
12. Чи вірно твердження: «Будь-який чотирикутник, у якого два протилежні кути прямі, є прямокутником»?
13. Зобразіть на кресленні випадок, для якого невірно вислів: «Прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не мають жодної спільної точки». (Пропущено вказівку на те, що мова йде про двох прямих.).
У пропедевтическом курсі геометрії важливо виховувати у школярів розуміння необхідності того, щоб досліджувані факти доводили. Доцільно показувати школярам що v людей немає іншого шляху переконатися в істинності судження, як тільки довести його логічним шляхом. «Найкращі ретельні вимірювання - може сказати вчитель, - все-таки залишають привід для сумнівів, оскільки в них неминучі більші чи менші помилки. Довірятися очевидності теж не можна, так, як широко відомо, що зір людини дає неточну, а іноді і зовсім помилкову інформацію ».
Отже, різнобічна робота з кресленнями не тільки сприяє загальному розумовому розвитку школярів, але й підштовхує їх логічний розвиток, забезпечуючи менш болісний перехід від дослідно - індуктивного викладання пропедевтичного курсу геометрії до дедуктивності основного курсу геометрії.
Для підвищення ефективності розвиваючого навчання геометрії перед учнями слід систематично ставити серії завдань (або окремі завдання), які поряд з конкретними навчальними функціями несли б у собі (також в ролі ведучих) функції, спрямовані на формування у школярів елементів творчого математичного мислення.
В якості таких завдань можуть виступати, наприклад, завдання, при постановці яких або в процесі вирішення яких:
учням мотивується доцільність вивчення нового матеріалу, розумність визначень геометричних понять, корисність вивчення тих чи інших теорем;
учні побуждаются до самостійного відкриття того чи іншого геометричного факту, до обгрунтування того чи іншого положення, до встановлення можливості застосування вже засвоєних ними знань у новій для них ситуації;
учні підводяться до самостійного відкриття методів доведення теорем, загальних прийомів вирішення завдань, до встановлення нових зв'язків між відомими їм геометричними поняттями;
в учнів формуються вміння використовувати провідні методи наукового пізнання (досвід, спостереження, порівняння, аналіз, узагальнення і т. д.) як методи самостійного вивчення геометрії, розуміння ролі і місця індукції, аналогії дедукції в процесі пізнання;
учні виявляють взаємозв'язок геометрії та алгебри і з іншими предметами, встановлюють змістовні та структурні зв'язки між різними питаннями самого курсу геометрії, отримують можливість застосувати математичні знання до вирішення нематематичних завдань;
учні долучаються до самостійних пошукових досліджень (за допомогою вивчення результатів вирішення завдань, зміни умови задачі, можливих узагальнень задачі, відшукання інших способів її рішення і відбору того з них, який найбільш повно задовольняє заданим умовам, і т. п.);
в учнів формуються якості, властиві наукового мислення (активність, гнучкість, глибина, критичність, доказовість і т. п.), вміння висловлювати свою думку ясно і точно і т.д.


2. МЕТОДИКА НАВЧАННЯ ВИРІШЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ НА ПОБУДОВА, З МЕТОЮ РОЗВИТКУ ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ

2.1. Роль завдань в навчання, роль завдань у розвиток логічного мислення.

2.1.1. Загальне поняття завдання.

Вирішення багатьох завдань вимагає від людини добре розвиненої здатності до творчої діяльності або, принаймні, здібності й уміння відшукати більш-менш оптимальне в даних умовах рішення. Тому не дивно те велике значення, яке сучасна наука надає вивченню процесу людської діяльності, пошуків ефективних способів управління цією діяльністю, як у сфері виробництва, так і в навчанні.
«Майже завжди вивчення будь-якої людської діяльності - у праці або грі - можна проводити як вивчення ситуацій, в яких доводиться приймати рішення, тобто таких ситуацій, коли одна людина або група людей стикаються з необхідністю вибору якого-небудь одного з декількох дій (хоча б із двох). Тому вивчення людської діяльності можна в основному звести до вивчення поведінки людини в умовах виробленого ним вибору, тобто в умовах ситуацій, в яких потрібно ухвалювати рішення », тобто в процесі вирішення людиною різних завдань.
Проблема вирішення завдань як суто математичних, так і завдань, що виникають перед людиною в процесі його виробничої або побутової діяльності, вивчається здавна, проте до теперішнього часу немає загальноприйнятої трактування самого поняття завдання. «Поняття завдання зазвичай використовується тільки в обмеженому обсязі: кажуть про наукові (математичних, фізичних і т. п.) завданнях, про завдання в освіті, про завдання політичних, господарських, технічних. Загальне поняття завдання ще не вироблено ».
Головною причиною такого стану справ, безсумнівно, є, перш за все, об'єктивніше труднощі, пов'язані з характеристикою цього поняття в загальному вигляді. Разом з тим чимале значення має й та обставина, що до недавнього часу для більшості дослідників найбільшу практичну цінність представляло вивчення процес а рішення завдань людиною як важливої ​​поведінкової проблеми, а також шляхів підвищення ефективності процесу розв'язання задач людиною).

2.1.2. Роль задач у навчанні математики.

У процесі навчання математики завдання виконують, різноманітні »функції. Навчальні математичні завдання є дуже ефективним і часто незамінним засобом засвоєння учнями понять і методів шкільного курсу математики, взагалі математичних теорій. Велика роль завдань у розвитку мислення і в математичному вихованні учнів, у формуванні в них умінь і навичок у фактичних застосуваннях математики. Рішення задач добре служить досягненню всіх тих цілей, які ставляться перед навчанням математики. Саме тому для вирішення завдань використовується половина навчального часу уроків математики (700-800 академічних годин на IV-X класах). Правильна методика навчання розв'язання математичних задач грає істотну роль у формуванні високого рівня математичних знань, умінь і навичок учні.
У цій главі розглядаються загальні та найбільш важливі аспекти використання задач у навчанні математики, загальні методи, які застосовуються при вирішенні завдань, і т. д. Значна увага приділяється питанням організації навчання розв'язання задач на уроках, наводяться «практичні рекомендації, які можуть бути використані в процесі навчальної роботи над завданням.

Значення навчальних математичних завдань
При навчанні математики вирішуються, мають велике і багатостороннє значення.
1.2.1. Освітнє значення математичних задач. Вирішуючи математичну задачу, людина пізнає багато нового: знайомиться з новою ситуацією, описаної в задачі, із застосуванням математичної теорії до її вирішення, пізнає новий метод рішення або нові теоретичні розділи математики, необхідні для вирішення завдання, і т.д. Іншими словами, при рішенні математичних задач людина набуває математичні знання, підвищує свій математичний утворили. При оволодінні методом вирішення певного класу задач у людини формується вміння вирішувати такі завдання, а при достатньому тренуванні - і навик, що теж підвищує рівень математичної освіти.
1.2.2. Практичне значення математичних задач. При вирішенні математичних завдань учень навчається застосовувати математичні знання до практичних потреб, готується до практичної діяльності в майбутньому, до вирішення завдань, висунутих практикою, повсякденним життям. Майже у всіх конструкторських розрахунках доводиться вирішувати математичні завдання, виходячи із запитів практики. Дослідження та опис процесів та їх властивостей неможливе без залучення математичного апарату, тобто без рішення математичних задач. Математичні завдання вирішуються у фізиці, хімії, біології, опорі матеріалів, електро-і радіотехніці, особливо в їх теоретичних засадах, і ін
Це означає, що при навчанні математики учням слід пропонувати завдання, пов'язані із суміжними дисциплінами (фізикою, хімією, географією та ін), а також завдання з технічним і практичним, життєвим змістом.

1.2.3. Значення математичних завдань у розвитку мислення. Рішення математичних завдань привчає виділяти посилки і укладання, дані і шукані, знаходити спільне, і особливо в даних, зіставляти і протиставляти факти. При вирішенні математичних завдань, як вказував А. Я. Хинчин, виховується правильне мислення, і перш за все учні привчаються до повноцінної аргументації. Рішення завдання має бути повністю аргументованим, тобто не допускаються незаконні узагальнення, необгрунтовані аналогії, ставиться вимога повноти диз'юнкції (розгляд всіх випадків даної в задачі ситуації), дотримуються повнота і витриманість класифікації. При вирішенні математичних завдань в учнів формується особливий стиль мислення: дотримання формально-логічної схеми міркувань, лаконічне вираження думок, чітка розчленованість ходу мислення, точність символіки.
1.2.4. Виховне значення математичних задач. Перш за все, завдання виховує своєї фабулою, текстовим змістом. Тому фабула багатьох математичних задач істотно змінюється в різні періоди розвитку суспільства. Так, у російських дореволюційних задачниках і в завданнях, які вирішують сучасні школярі капіталістичних країн, сюжетне зміст багатьох математичних задач пов'язано з питаннями отримання вигоди при купівлі й перепродажу товару, розрахунків виграшу-програшу в азартній грі і т. п.
Виховує як фабула завдання, виховує весь процес навчання розв'язання математичних задач. Правильно поставлене навчання розв'язання математичних задач виховує в учнів чесність і правдивість, наполегливість у подоланні труднощів, повагу до праці своїх товаришів.
Роль задач у навчанні математики
Кожна конкретна навчальна математична задача призначається для досягнення найчастіше не однієї, а декількох педагогічних, дидактичних, навчальних цілей. І ці цілі характеризуються як Змістом завдання, так і призначенням, яке надає завданню вчитель. Дидактичні цілі, які ставить перед тією чи іншою завданням вчитель, визначають роль задач у навчанні математики. Залежно від змісту завдання і дидактичних цілей її застосування з усіх ролей, які відводяться конкретного завдання, можна виділити її провідну роль.
2.1. Навчальна роль математичних задач.
  Навчальну роль математичні завдання виконують при формуванні в учнів систем л знань, умінь і навичок з математики та її конкретним дисциплінам. Слід виділити кілька видів завдань з їх навчальною ролі.
1) Завдання для засвоєння математичних понять. Відомо, що формування математичних понять добре проходить за умови давчій і кропіткої роботи над поняттями, їх визначення »і властивостями. Щоб оволодіти поняттям, недостатньо вивчити його Визначення, необхідно розібратися в сенсі кожного слова у визначенні, чітко знати властивості досліджуваного поняття. Таке знання досягається, перш за все, при вирішенні завдань і виконання вправ.
2) Завдання для оволодіння математичної символікою. Однією з цілей навчання математики є оволодіння математичною мовою і, отже, математичної символікою. Найпростіша, символ і вводиться ще в початковій школі і в IV-V класах (знаки дій, рівності та нерівності, дужки, знаки кута і його величини, паралельності і т. д.). Правильного вживання досліджуваних символів треба навчати, розкриваючи при вирішенні завдань їх роль і призначення. Наведені далі завдання сприяють розумінню ролі дужок і вчать їх вірному вживання.
Істотне значення в оволодіння досліджуваної символікою має правильне її застосування при записі рішень завдань. Учитель повинен уважно стежити за грамотним застосуванням математичних символів у записах. Не можна визнати правильними такі, наприклад, записи:
«P <2 на 3», «Доведемо - Ність прямих a і b »та ін Варто було б записати у першому випадку:« p менше, ніж 2 на 3 », або« 2 - p = 3 », або« 2 - 3 = p », або« p + 3 = 2 »,« 2 - 3 = p », а у другому:« Доведемо, що a b ».
3) Завдання для навчання доказам. Навчання доказам - одна з найважливіших цілей навчання математики.
Найпростішими завданнями, з вирішення яких практично починається навчання доказам, є завдання-питання і елементарні завдання на дослідження. Вирішення таких завдань полягає у знаходженні відповіді на питання і доказі його істинності.
Завдання-питання зазвичай вимагають для свого рішення (докази істинності відповіді) встановлення однієї імплікації, одного логічного кроку від даних до доводить. Доказ ж при вирішенні більш складного завдання або доказ теореми являє собою ланцюжок кроків-імплікацій.
Метою рішення задач-питань є і усвідомлення, уточнення і конкретизація досліджуваних понять і зв'язків між ними. Завдання-питання необхідні також для засвоєння учнями введеної символіки і використовуваної мови. Приклади завдань-запитань:
5. х> у. Чи обов'язково x 2> у 2?
6. Чи можуть дві бісектриси трикутника бути перпендикулярними? А дві висоти?
Істотну роль у навчанні доказам грають вправи у заповненні пропущених слів, символів і їх поєднань в тексті готового докази. Аналогічні вправи досить часто застосовуються при вивченні російської мови, на уроках математики ж вони зустрічаються рідко, в підручниках і задачниках їх немає.

2.1.3. Роль математичних завдань у розвитку мислення.

1) Розумові вміння, сприйняття і пам'ять при вирішенні завдань. Рішення математичних завдань вимагає застосування численних розумових вмінь: аналізувати задану ситуацію, зіставляти дані і шукані, вирішуване завдання з вирішеними раніше, виявляючи приховані властивості заданої ситуації; конструювати прості математичні моделі, здійснюючи уявний експеримент; синтезувати, відбираючи корисну для вирішення завдання інформацію, систематизуючи її ; коротко і чітко, у вигляді тексту, символічно, графічно і т. д. оформляти свої думки; об'єктивно оцінювати отримані під час вирішення завдання результати, узагальнювати або спеціалізувати результати вирішення завдання, досліджувати особливі прояви заданої ситуації. Сказане говорить про необхідність враховувати при навчанні розв'язання математичних задач сучасні досягнення психологічної навички.
Дослідженнями радянських психологів встановлено, що вже сприйняття завдання різна в різних учнів даного класу. Здатний до математики учень сприймає і одиничні елементи задачі, і комплекси її взаємопов'язаних елементів, і роль кожного елемента в комплексі. Середній учень сприймає лише окремі елементи задачі. Тому при навчанні рішенню завдань необхідно спеціально аналізувати з учнями зв'язок і відносини елементів задачі. Так полегшиться вибір прийомів переробки умови завдання. При вирішенні задач часто доводиться звертатися до пам'яті. Індивідуальна пам'ять здібного до математики учня зберігає не всю інформацію, а переважно «узагальнені і згорнуті структури». Збереження такої інформації не завантажує мозок надлишковою інформацією, а запам'ятовувати дозволяє довше зберігати і легше використовувати. Навчання узагальнень при вирішенні завдань розвиває, таким чином, не тільки мислення, але й пам'ять, формує «узагальнені асоціації». При безпосередньому вирішенні математичних завдань і навчання їх вирішення необхідно все це враховувати.
2) Навчання мисленню. Ефективність математичних задач і вправ у значній мірі залежить від ступеня творчої активності учнів при їх вирішенні.
Власне, одне з основних призначень завдань та вправ і полягає в тому, щоб активізувати розумову діяльність учнів на уроці.
Математичні завдання повинні, перш за все, будити думку учнів, змушувати її працювати, розвиватися, вдосконалюватися. Говорячи про активізацію мислення учнів, не можна забувати, що при вирішенні математичних завдань учні не тільки виконують побудови, перетворення та запам'ятовують формулювання, а й навчаються чіткому мисленню, вмінню розмірковувати, зіставляти і протиставляти факти, знаходити в них спільне і відмінне, робити правильні умовиводи.
Правильно організоване навчання розв'язуванню задач привчає до повноцінної аргументації з посиланням у відповідних випадках на аксіоми, введені визначення і раніше доведені теореми. З метою привчання до достатньо повної та точної аргументації корисно час від часу пропонувати учням записувати розв'язання задач у два стовпці: зліва - ствердження, викладки, обчислення, справа - аргументи, тобто пропозиції, що підтверджують правильність викликаних тверджень, виконуваних викладкою і обчислень.
Зрозуміло, немає необхідності так записувати рішення кожної задачі, допустима і усна аргументація.
Дорослій людині, як у повсякденному житті, так і в професійному праці для прийняття правильних рішень виключно важливо вміти розглядати всі можливі випадки цієї ситуації. Це треба роз'яснювати і школярам. Важливо таке вміння і при вивченні математики, в іншому випадку неминучі помилки. Уміння ж передбачити всі можливі варіанти деякої ситуації свідчить про розвиненість мислення розглядає цю ситуацію.
Уміння міркувати включає в себе і вміння оцінювати істинність або хибність висловлювань, правильно складати складні висловлювання і судження, тобто логічно правильно вживати спілки «і», «або», заперечення «не». Навчання вірному застосуванню цих зв'язок допомагає вихованню в учнів математично грамотної мови, а мислення, як відомо, пов'язане з мовою, мовою людини.
Корисно навчити школярів, вірно, формулювати заперечення тих чи інших пропозицій. Таке вміння особливо важливо при вирішенні задач зведенням до суперечності.
Істотно для розвитку математичного мислення учнів формування умінь правильно виділяти посилки і укладання. Такі вміння формуються зазвичай при вирішенні завдань на доказ. На перших же порах необхідні вправи в розчленуванні
деяких пропозицій на досилання і висновку.
3) Завдання, які активізують розумову діяльність учнів. Ефективність навчальної діяльності з розвитку мислення багато в чому залежить від ступеня творчої активності учнів під час вирішення математичних завдань. Отже, необхідні математичні задачі і вправи, які б активізували розумову діяльність школярів. А. Ф. Есаулов поділяє задачі на наступні види: задачі, розраховані на відтворення (при їх вирішенні спираються на пам'ять та увагу); завдання, вирішення яких приводить до нової, невідомої до цього думки, ідеї; творчі завдання. Активізує і розвиває мислення учнів рішення задач двох останніх видів.

2.1.4. Значення геометричних задач.

Завдання є невід'ємною складовою частиною курсу геометрії в середній школі. Дійсно, позбавлений завдань курс елементарної геометрії представляв би собою лише групу теорем розміщених більш-менш послідовно. Користі від вивчення такого курсу дуже мало.
По-перше, учням довелося б у «визубрівать» зміст цих теорем, оскільки школярі не бачили б ніякого застосування досліджуваного матеріалу. Був би порушений відомий дидактичний принцип свідомості навчання.
По-друге, такий курс не був би пов'язаний з іншими дисциплінами, які входять до програми середньої школи, в тому числі і з іншими математичними дисциплінами.
По-третє, такий курс ні в найменшій мірі не сприяв би розвитку просторових уявлень учнів.
По-четверте, такий курс не дав би школярам підготовки до вирішення навіть найпростіших практичних завдань.
Тому весь шкільний курс геометрії повинен бути насичений різними вправами. Як би не мінялися програма і кількість годин, відводимо на вивчення геометрії, рішення завдань залишається найважливішою частиною курсу.
Зрозуміло, мова йде не про довільному наборі завдань. Завдання є першою формою застосування знань, отриманих школярами в процесі вивчення геометрії. Тому пропоновані завдання повинні відповідати підготовці учнів, причому мова йде не тільки про відповідність загальному (програмі, підручником), але і про облік знань конкретного класу, особливостей виробничого навчання і т. д.
Проте завдання грають не тільки допоміжну роль - закріплювати знання вивченого теоретичного матеріалу, але і навчальну роль у процесі вирішення завдань школярі знайомляться з методами математичного міркування, розширюють кругозір.
При підготовці до теми уроку вчитель особливу увагу звертає на підбір вправ. Основним джерелом для підбору завдань є стабільний задачник. Однак він не може бути єдиним джерелом. Ввідний книзі не можна помістити достатньої кількості вправ і для ведення індивідуальної роботи як з тими учнями, які тимчасово стали у навчанні, так і з тими, хто визначив своїх товаришів, і для повторення матеріалу (в кінці теми, чверті, навчального року і для проведення контрольних робіт).
Тому вчителі використовують, крім стабільного задачника, інші збірники вправ, окремі статті з досвіду викладання, що містять підбір вправ до окремих тем курсу, а також самі складають геометричні задачі.

2.1.5. Класифікація геометричних задач.

Як відомо, вправи в геометрії в залежності від умови і завдання ділять на три групи: завдання, на обчислення, доведення і на побудову.
У задачах на обчислення потрібно висловити невідомі величини (відрізки, кути, площі, об'єми) або їх стосунки через відомі параметри. Якщо параметри дані в загальному вигляді, то результат виходить в буквах, якщо ж умова містить числові значення параметрів, відповідь доводиться до числа.
Іноді умова таке, що потрібно спочатку вирішити завдання в загальному вигляді, а потім підставити в отриманий вираз значення параметрів. Але часом, незалежно від вимог умови, завдання доцільно вирішити в загальному вигляді. Таким чином, рішення «в буквах» і «в числах» не протиставляються одне одному, вони є лише двома формами подання невідомих величин через відомі.
В задачах на доказ необхідно встановити наявність певних співвідношень між елементами аналізованої постаті: рівність чи нерівність відрізків, кутів, паралельність або перпендикулярність прямих, площин і т. д. Іноді завдання цього типу можуть бути оформлені і як завдання на обчислення; наприклад, довести, що деякий кут дорівнює 45 °, що обсяг однієї фігури в стільки-то разів більше обсягу іншої фігури і т. п.
Менш поширені завдання на дослідження. У таких вправах результат заздалегідь не повідомляється. Потрібно з'ясувати чи лежить певна точка на даній прямій (на даній площині), чи перетинаються дані окружності, * паралельні чи дані прямі і т. п., визначити, який виданих відрізків більше, до якої з сторін трикутника ближче дана точка. Встановити залежність між перерахованими в умову елементами фігури.
Обидві форми завдань на доказ важливі.
В задачах на побудову невідомі величини визначаються в результаті виконання ряду геометричних побудов (з допомогою допустимих геометричних інструментів або в обумовленій проекції). Як правило, мова йде про побудову геометричної фігури за деякими даними про неї. У стереометрії нерідко замість відрізків і кутів дається зображення (наприклад, піраміди), на якому потрібно виконати побудову (наприклад, знайти перетин), тобто елементи фігури задаються їх положення (на проекційному кресленні).
Ми провели серед учнів анкетування для того, щоб з'ясувати, як вони ставляться до вирішення завдань на побудову.
Анкета.
1. Що вам більше подобається:
а) алгебра
б) геометрія
2. Які геометричні задачі ви зазвичай вирішуєте успішніше:
а) на побудову
б) на доказ
3. Чи можете працювати методом «в уяві», тобто створювати образи предметів, подумки представляти їх собі з різних сторін, не спираючись на наочні зображення (картинки, креслення, схеми)?
а) так
б) немає
4. Як ви використовуєте креслення у вирішенні геометричній завдання?
а) в основному на першому етапі роботи для мене розібратися в кресленні - це вже вирішити завдання, на другому етапі записую хід міркувань
б) звертаюся до креслення періодично: чергую роботу з кресленням і оформлення кожного смислового шматка рішення
5. Що становить для вас великих труднощів при засвоєнні геометрії:
а) представити в розумі («по уяві») потрібний образ (предмет, креслення, малюнок)
б) відновити в розумі хід міркувань в якій-небудь теоремі або вирішеною раніше завдання
6. При вирішенні геометричній завдання «середньої» для вас складності чи потрібен вам креслення?
а) більшість завдань можу вирішити в думці, без креслення
б) мені було б достатньо мати перед очима креслення з підручника
в) завжди зручніше мати власний креслення в зошиті, на якому можна зробити додаткові побудови, позначки, позначення
г) краще, коли є кілька варіантів креслень: так легше уявити завдання «з різних сторін»
7. Як ви ставитеся до необхідності побудови креслення до задачі?
а) це трата часу, майже завжди можу обійтися без креслення
б) креслю з задоволенням, намагаюся виконати креслення як можна точніше, це допомагає вирішити задачу
в) не дуже люблю креслити, але намагаюся зробити чіткий грамотний креслення, це полегшує вирішення завдання
г) креслення, напевно, потрібен, але не варто довго їм займатися, цілком достатньо якщо він приблизно відповідає умовам завдання
д) креслення не обов'язковий, зручніше робити начерки на чернетці і з ними працювати.
Обробка результатів
Кількість учнів
\ S
Питання
Висновки: За результатами проведеної анкети можна виділити наступні факти:
1. Більшість учнів відчувають неприязнь до виконання креслення.
2. При вирішенні завдань «середньої» складності учням недостатньо користуватися кресленням з підручника чи зображеним на дошці, а їм необхідно кожному виконати креслення в своєму зошиті.
3. Для учнів становить велику труднощі не тільки виконання креслення, а й самостійна запис рішення. Тому рішення задачі розбивається на етапи; обговорюючи рішення за кресленням учням необхідно давати час записати його хід після кожного етапу.
4. Усі учні без винятку не можуть подумки створити образ предмета і розглянути його з різних сторін «в уяві».
5. Як підсумком усіх цих фактів можна відзначити те, що учні більше воліють займатися алгеброю, ніж геометрією.

2.2. Характеристика задач на побудову.

У викладанні математики велике значення набувають питання, пов'язані з навчанням учнів геометричним побудовам (виконання найбільш поширених геометричних побудов та навчання розв'язання задач на побудову).
Вирішуючи завдання на побудову, учні набувають перші теоретичні та практичні засади «графічної грамотності», знайомляться з найбільш уживаними прийомами їх вирішення, з інструментами, використовуваними в різних умовах роботи (про креслярсько-конструкторській практиці, при розмітці, при виконанні побудов на місцевості). У них розвиваються просторову уяву, конструктивні здібності, кмітливість, винахідливість, тобто такі якості, які необхідні працівникам багатьох професій.
Доказ правильності рішення задачі та її дослідження сприяють кращому засвоєнню учнями теоретичного матеріалу, розвитку їх логічного мислення.
Навчання геометричним побудов в школі мала до останнього часу багато недоліків. Так, учні пізно знайомилися з геометричними побудовами (у VI класі ними займалися лише наприкінці навчального року). Прийоми рішення завдань на побудову часто не відповідали вимогам практики: як правило, вивчалися побудови, здійснюються виключно циркулем і лінійкою, а інші креслярські інструменти практично не використовувалися; мало приділялося уваги поширеним побудов, хоча обгрунтування їх відповідало програмі з геометрії та доцільність застосування цих побудов на уроках математики, креслення та інших предметів не викликала сумніву; при розгляді геометричних побудов не приділялося належної уваги встановленню зв'язку між прийомами побудов (на папері, при розмітці, на місцевості) та використанням відповідних інструментів.

2.2.1. Визначення завдання на побудову.

Завданням на побудову називається пропозиція, яке вказує, за якими даними, якими засобами (інструментами) і який геометричний образ (точку, пряму, окружність, трикутник, сукупність крапок і т. д.) потрібно знайти (накреслити, побудувати на площині, намітити на місцевості і т. п.) так, щоб цей образ задовольняв певним умовам.
Будемо вважати засобами побудови циркуль і односторонню лінійку; питання про доповнення цих інструментів креслярським прямокутним трикутником буде розглянуто далі.
Завдання на побудову може бути виражена за допомогою креслення-завдання. Креслення-завдання включає в себе дані елементи і вимога завдання. Розглянемо приклади.
1. Побудувати трикутник за основою а, кутку при підставі В = β і висоті на підставу h а (рис.6)
2. Побудувати коло даного радіуса r, що проходить через дві дані точки А і В (мал. 7).
Креслення-завдання виділяє з елементів площині дані елементи. При цьому можливі два випадки: 1) дані елементи є вже побудованими (приклад 2, точки А і В), і в цьому випадку переміщення їх по площині неможливо (дані елементи визначені за становищем), 2) дані елементи лише можуть бути побудовані (приклад 1 - відрізки а і h а, кут В, приклад 2 - відрізок r); в цьому випадку мається на увазі, що елементи можуть бути побудовані в «будь-якому місці» площини (дані елементи не визначені за становищем).
Розв'яжіть задачу на побудову за допомогою циркуля та лінійки - значить звести її до кінцевої сукупності п'яти елементарних побудов, які заздалегідь вважаються здійсненними:
1) побудова прямої лінії через дві відомі точки:
Дано: Дано:

Побудувати трикутник Побудувати коло
АВС радіуса r, що проходить
через точки А і В
Рис. 6 Рис. 7
2) побудова точки перетину двох відомих прямих (якщо ця точка існує);
3) побудова кола відомого радіуса з центром у відомій точці;
4) побудова точок перетину відомої прямий і відомої кола (якщо ці точки існують);
5) побудова точок перетину двох відомих кіл (якщо такі точки існують).
Термін «відомий елемент» означає, що цей елемент або дано, або отриманий в попередніх побудовах, або обраний довільно.
Відомості до кожного завдання до елементарних побудов практично незручно, тому що робить рішення громіздким. Іноді зручніше зводити завдання до так званим основним побудов. Вибір деяких побудов в якості основних певною мірою довільний.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
532.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Розвиток логічного мислення в учнів на уроках інформатики
Розвиток логічного мислення учнів у процесі вивчення геометрії
Рішення задач на побудову в курсі геометрії основної школи як засіб розвитку логічного мислення
Чисельні методи при вирішенні завдань
Розвиток логічного мислення
Актуалізація різного типу знань при вирішенні психологічних завдань
Розвиток логічного мислення на уроках математики
Метод моделювання розвитку психічної діяльності при вирішенні навчальних та ігрових завдань
Розвиток логічного мислення молодших школярів у процесі малювання з натури
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru