додати матеріал

приховати рекламу

Про один аналог завдання Біцадзе Самарського для змішано складеного рівняння

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

Бабаєв Х.
Про один аналог завдання Біцадзе-Самарського
для змішано-складового рівняння.
РЕФЕРАТ
У даній роботі для змішано-складового рівняння ставиться і досліджується одна нелокальну крайова задача, яка є деяким аналогом завдання Біцадзе-Самарського. Єдиність рішення досліджуваної задачі доводиться принципом максимуму, а існування рішення доводиться зведенням досліджуваної задачі до еквівалентної їй інтегрального рівняння.
Бібліографія 4 назви

Про один аналог завдання Біцадзе-Самарського
для змішано-складового рівняння
У перші в роботі [1] була поставлена ​​і іcследована нелокальну крайова задача для еліптичних рівняння, яка є узагальненням задачі Діріxле. У даній роботі іcследуется один з аналогів цієї задачі для рівняння.

Нехай: Д область обмежена відрізками OB, BE, AE, OC, AC, прямиx x = 0, y = 1, x = 1, x + y = 0, xy = 1, де А, B, O, C, E точки з координатами (1; 0), (0; 1), (0, 0), ( ; ), (1; 1) відповідно.
Завдання. Знайти регулярне в області Д / OА рішення рівняння (1) довлетворяющее крайовим
(2)
(3)
(4)
(5)
умов та умов склеювання
(6)
Де -Завдання функції, причому -Відомі постійні; постійна β задовольняє нерівності -Внутрішня нормаль.
Будь-яке регулярне рішення рівняння (1) в області
представлено у вигляді
(7)
де z (X, У)-регулярне рішення рівняння
(8)
W (y)-двічі безперервно дифференцируемая функція.
Без обмеження спільності можна припустити, що W (0) = 0б W (1) = 0, спершу наводимо доказ єдиності рішення досліджуваної задачі.

Теорема. Якщо то функція U (Х, У) = 0 в області Д.
Доказ. На підставі (2), (7) завдання редукується до визначення регулярного рішення рівняння (8) при У> ​​0 задовольняє крайовим умовам
φ (У)-W (У), Z ( ) = Φ (У)-W (У)
де U (1, У) = φ (У), U ( ) = Φ (У) (9)
З (6) слід

Враховуючи (3) і умова (9) отримаємо:
L φ (x)
спільне рішення рівняння (1) в області Д = {(X, y) Є D, y <0} дається відомою формулою Даламбера

реалізуючи умова (10) з (11) маємо
φ (x)
або φ (x) -
звідси φ (x + y) -
тоді з (11) отримаємо U (X, Y) = φ (X + Y) - (12)
Використовуючи (4) (ψ (X) ≡ 0) з (12) знайдемо
φ d + φ (13)
диференціюючи вираз (13) маємо
* φ + φ = 0
поділяючи на (X) ≠ 0 отримаємо
φ (x) + φ = 0 (14)
предпологая

маємо: φ (x)-L (x) φ (βx) = 0 (15)
функціональне рівняння (15) не має нетривіальних рішень.
Дійсно застосовуючи метод ітерації знаходимо
φ (х) = L (х) φ (βx)
φ (βx) = L (βx) · φ ( )
φ (β x) = L (β x) φ (β x)
з цих рівностей маємо
φ (х) = L (x) L (βx) ... L (β x) φ (β x) (16)
(0 ≤ x ≤ 1)
з (16) випливає, що при n → ∞ функція φ (х) ≡ 0
Отже з (12) отримаємо
U (X, Y) = - (1) + (XY)
Звідси
Або
Позначимо U (X, 1) = ψ (X). тоді умова (5) набуде вигляду
U (x, y ) =
Отже з (7)

тепер неважко переконатися, що функція Z (X, Y) не досягає максимуму на лінії У = 1. З умов

випливає, що Z (X, Y) не досягає максимуму (мінімуму) та на відрізках OB і OA.
Функція Z (Х, Y) не досягає максимуму (мінімум) і на відрізку АЕ. Дійсно, якщо Z (X, Y) досягає максимуму (мінімуму) на АЕ, то з умови Z (X , Y) = φ (Y)-W (Y)
Слід зазначити, що цей максимум (мінімум) має реалізуватися і всередині області, що суперечить відомим властивостям рішень еліптичних рівнянь.
Отже Z (X, Y) ≡ 0 у області Д , W (Y) ≡ 0 при 0 ≤ Y ≤ 1. U ≡ 0 і в області Д (Завдання Коші).
Таким чином U (X, Y) ≡ 0 у області Д.
Тепер переходимо до доказу існування рішення досліджуваної задачі.
Реалізуючи умова (3) маємо:
φ (x) + ψ (X) -
тоді з (11) отримаємо
φ (Х + У) + ψ (Х + Y) - (1) + (XY) (18)
використовуючи умову (4) після простих перетворень приходимо до функціонального рівняння.
Φ (х)-L (x) φ (βx) = δx (19)
Де δ (x) =
Єдине рішення функціонального рівняння (19) можна знайти застосуванням методу ітерації.
Таким чином невідома функція φ (х) визначена єдиним чином. З (18) знайдемо
U (X, 0) + U (X, 0) = (X) (20)
Де відома функція

регулярне в області Д рішення рівняння (8) задовольняє крайовим
умовам
задається формулою [2]:

Звідси знаходимо (X, 0):

22)
виключаючи (Х, о) з формул (20), (22) для визначення V (х) отримуємо інтегральне рівняння Фредгольма другого роду, розв'язність якого випливає з єдиності рішення досліджуваної задачі.
Зауважимо що V (x) містить невідомі функції ψ (Х), W (У). Підставляючи значення V (Х) у формулу (21) і реалізуючи крайові умови

. Для визначення невідомих функцій ψ (Х), W (У) маємо систему інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду, яка однозначно вирішити.

Література.
1. Біцадзе А. І., Самарський А. А. з деяких найпростіших узагальненнях найпростіших лінійних еліптичних крайових задач. -Докл. АН СРСР, 1969 Т 189, N4,-c.739-740.
2. Базаров Д. Про деякі нелокальних крайових задачах для модельних рівнянь рівнянь другого порядку. -Изв. вузів. Математика, 1990, N3.
3. Джуран Т. Д. Крайові задачі для рівнянь змішаного і змішано-складового типів. Ташкент: ФАН, 1979-238с
4. Салахідінов М. С., Толіпов А. Деякі крайові задачі для рівнянь змішаного типу з однією і двома лініями виродження. / / Диференціальні рівняння, 1972 р. Т. 8, № 1 c 134-142
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Завдання | 24.7кб. | скачати

Схожі роботи:
Про один аналог завдання Біцадзе-Самарського для змішано-складового рівняння
Роман Уласа Самоука Марія один з найдовершеніших творів про трагічну долю України про голод
Рівняння Максвела для Т, ТЕ, ТМ хвиль
Диференціальні рівняння для електричного кола
Проект програмного модуля для знаходження кореня рівняння
Формули можливо невідомі для рішень рівняння Піфагора
Різницеві схеми для рівняння переносу на нерівномірних сітках
Розробка програмного забезпечення для пошуку коренів біквадратні рівняння
Зонна модель твердого тіла Рівняння Шредінгера для кристала
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru