додати матеріал


Прикладний системний аналіз мережевий аналіз та календарне планування проектів метод прогнозного

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

В.К. Буторін, В. В. Карпов
ПРИКЛАДНОЇ СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ:
МЕРЕЖЕВИЙ АНАЛІЗ і календарного планування ПРОЕКТІВ,
МЕТОД прогнозного графа
Кемерово 2002

УДК 681.51
ISBN 5-87057-123-1
Рецензенти:
В.К. Буторін, В. В. Карпов
Прикладний системний аналіз: мережевий аналіз та календарне планування проектів, метод прогнозного графа: Учеб. посібник. / Под ред. к. т. н. В.К. Буторіна. НФІ КемГУ. - Новокузнецьк, 2002. 59 с.
ISBN 5-87057-123-1
Розглядаються постановки завдань і практичні аспекти використання методів мережевого аналізу і календарного планування проектів з використанням теорії графів. Описується мінімізація часу виконання та загальної вартості проекту. Розглядається метод прогнозного графа. Алгоритми прийняття рішень ілюструються на конкретних прикладах. Наведено вправи для виконання практичних робіт.
Призначено для студентів спеціальностей "Прикладна інформатика в економіці" (351400), "Автоматизовані системи обробки інформації та управління" (220200).
УДК 681.51
ISBN 5-87057-123-1
ã Новокузнецький філія-інститут
Кемеровського державного
університету, 2002
ã К.К. Буторін, В. В. Карпов, 2002

Зміст
"1-1" 1. Мережний аналіз та календарне управління
"1-1" Вступ
"1-1" 1.1. Мережеві графи
"1-1" 1.2. Стрілочні графи
"1-1" 1.3. Вершинні графи
"1-1" 1.4. Аналіз критичного шляху
"1-1" 1.5. Аналіз критичного шляху із застосуванням вершинних графів
"1-1" 1.6. Аналіз критичного шляху із застосуванням стрілочних графів
"1-1" 1.7. Вартість проекту
"1-1" 1.8. Мінімізація загальної вартості проекту
"1-1" 1.9. Виконання проекту з мінімальними витратами
"1-1" 1.10. Невизначеність часу виконання проекту
"1-1" 1.11. Розподіл ресурсів
"1-1" 1.12. Графіки ресурсів
"1-1" Висновок
"1-1" Вправи
"1-1" 2. Метод прогнозного графа
"1-1" Список літератури

1.СЕТЕВОЙ АНАЛІЗ і календарного планування ПРОЕКТІВ
Введення
Мережевий аналіз - це метод планування робіт проектного характеру, тобто робіт, операції в яких, як правило, не повторюються. Цей метод можна застосовувати наприклад, при складанні календарного плану виконання операцій, що входять в програму інсталяції комп'ютерної системи певною компанії, або операцій, які є складовими частинами поліпшення обстановки офісу. Процеси інсталяції комп'ютерних систем або поліпшення обстановки офісу в даній компанії можуть протікати безперервно, однак, навряд чи два будь-яких проекту виявляться абсолютно однаковими.

Методи мережевого аналізу дозволяють здійснити аналіз проекту, яких включає в себе велику кількість взаємопов'язаних операцій. Ми можемо визначити ймовірну тривалість виконання робіт, їх вартість, можливі розміри економії часу або грошових коштів, а також те, виконання яких операцій не можна відкласти, не затримавши при цьому термін виконання проекту в цілому. Важливою є і проблема забезпечення ресурсами. Методи мережевого аналізу можуть бути використані при складанні календарного плану виконання операцій, що задовольняє існуючих обмежень на забезпечення ресурсами.

Аналіз будь-якого проекту здійснюється в три етапи:
1. Розчленування проекту на ряд окремих робіт (або операцій), з яких потім складається логічна схема. Під операцією розуміється діяльність або процес, виконання яких вимагає витрат тимчасових і / або інших ресурсів.
2. Оцінка тривалості виконання кожної операції; складання календарного плану виконання проекту та виділення робіт, які визначають завершення виконання проекту в цілому.
3. Оцінка потреб кожної операції в ресурсах; перегляд плану виконання операцій з урахуванням забезпечення ресурсами або перерозподіл грошових або інших ресурсів, що поліпшить план. Розглянемо кожен з цих етапів окремо.
1.1 Мережеві графи
Першим кроком в аналізі будь-якого проекту є складання списку входять до нього операцій. Деталі такого списку залежать від специфіки конкретного проекту. Тим не менш у всіх випадках необхідно виділити безпосередньо попередню операцію чи операції. Безпосередньо попередніми називаються операції, виконання яких повинно бути закінчено перш, ніж може початися дана операція. Наприклад, при будівництві будинку дах не може бути збудована до того моменту, поки не закінчиться зведення стін.
Після того як складено список, логічна послідовність виконання операцій може бути проілюстрована за допомогою графа. Існують різні типи графів, але найбільш широке застосування отримали так звані вершинні та стрілочні графи. Однак кожен з них має свої переваги і недоліки, і вибір того чи іншого графа є питанням особистих уподобань або ж визначається метою створення і використання даного графа.
1.2 Стрілочні графи
У цьому типі графів (рис. 1) кожна операція представлена ​​стрілкою. Довжина стрілок значення не має. Напрям стрілки відображає хід часу і зазвичай вказується зліва направо. Початок і закінчення кожної операції називаються подіями і зображуються на графі кружечками або вузлом.

2
1
А



Попереднє Операції Подальше
подія (початок) подія (закінчення)
Рис. 1. Зображення операції на стрілочному графі
Операції позначають буквою або словом, а події - числом. Оскільки будь-яка операція характеризується парою подій, її можна також позначати за допомогою чисел, які відповідають цим подіям. Наприклад, на рис. 1 операція А означає те ж саме, що й операція (1, 2). Одного вузла може відповідати (входити або виходити з нього) кілька операцій. Подія, зображуване на графі за допомогою вузла, не вважається доконаним до тих пір, поки не закінчені всі вхідні в нього операції. Операція, що виходить з деякого вузла, Не може початися до тих пір, поки не буде досягнуто початкова подія, тобто поки не будуть завершені всі операції, що входять в вузлове початкова подія.
Якщо операція С не може бути розпочата до моменту закінчення робіт А і В, логічну схему даної ситуації можна представити графічно так (див. рис. 2).
Початковим подією для С є кінцева подія для А і В. Істотно, що в стрілочному графі зберігається логічна залежність операцій. Іноді, щоб досягти цього, необхідно включити в граф одну або більше фіктивних логічних операцій.
Фіктивна логічна стрілка вводиться в граф, якщо необхідно відобразити, що деяка подія не може з'явитися раніше іншої події, а за допомогою звичайних стрілок, відповідних операцій, цього зробити не можна. Функція фіктивної логічної операції полягає в тому, щоб показати послідовність появи подій.
1
                                     
3
4
А З

2
У

Рис. 2. Логічні взаємозв'язки в стрілочному графі
Фіктивним логічним операціям ставиться у відповідність нульова тривалість виконання, а зображуються вони зазвичай пунктиром. Наприклад, якщо роботу З не можна почати перш, ніж завершиться операція А, а роботу Про не можна почати до тих пір, поки не завершаться роботи А і В, відповідний стрілочний граф буде виглядати наступним чином:
Крім того, у стрілочних графах для уникнення неоднозначності використовуються фіктивні операції ідентифікації. У деяких пакетах прикладних програм, що використовуються в мережевому аналізі, операції позначаються не за допомогою літер або слів, а числами, що позначають відповідні їм події. Якщо ж дві чи більше операцій виконуються одночасно і мають одні й ті ж початкове і кінцеве події, то комп'ютер не зможе відрізнити їх один від одного і не сприйме вводиться вихідну інформацію. Як показано на рис. 4, включення фіктивної операції ідентифікації дозволяє вирішити дану проблему. На практиці прийнято нумерувати події таким чином, щоб номер кінцевого події був більше, ніж номер початкового події.

1
5
2
А З
Фіктивна логічна
операція
6
4
3
У D

Рис. 3. Використання в стрілочному графі
фіктивної логічної операції
Перший крок після складання списку операцій, що входять в проект, полягає в тому, щоб створити таблицю операцій, у якій відбиваються всі операції, а також операції, безпосередньо їм передують.
У даний список не включаються фіктивні логічні операції або операції ідентифікації. На основі отриманого списку будується стрілочний мережевий граф, що включає дійсні та фіктивні операції і відображає встановлені взаємозв'язки між ними. Після того, як закінчено побудова вихідного графа, можна виявити і виключити з розгляду непотрібні фіктивні операції. Потім для поліпшення логічної схеми вихідний граф можна модифікувати і перекомпонувати.
2


Фіктивна операція
ідентифікації
3
3
1
1
А

Замінюється на

Рис. 4. Використання в стрілочному графі фіктивної операції ідентифікації
Непотрібні фіктивні логічні операції можна виявити за допомогою простого практичного правила. Якщо єдиною операцією, що виходить з деякого вузла, є фіктивна логічна операція, то по всій ймовірності без неї можна обійтися.
Приклад 1. Компанія "Еврика" - це промислова фірма, яка уклала контракт про виробництво партії верстатів, призначених до використання великим підприємством взуттєвої промисловості для масового виробництва взуття. Нижче перераховані операції, які необхідно виконати в процесі розробки і виробництва цих верстатів (табл. 1).
Потрібно зобразити операції за допомогою стрілочного графа.
Рішення.
Мережевий граф повинен починатися з єдиного початкового події, яке показано на рис. 5 кружечком, і закінчуватися єдиним кінцевим подією. Побудова графа ми почали з першої події. З цієї події починаються всі операції, яким не передують ніякі види робіт. Починати побудову корисно з зразкового ескізу майбутнього графа:
   F     G
5 9 10 12
А BCEKL
1 2 3 4 7 13 14
DH I
6 Серпень 1911
J
Рис. 5. Приблизний ескіз графа для прикладу 1

Таблиця 1. Таблиця операцій для задачі з прикладу 1
ОПЕРАЦІЇ
Безпосередньо
попередня
операція
А Складання кошторису витрат
У Узгоджені оцінки
З Купівля власного обладнання
D Підготовка конструкторських проектів
E Будівництво основного цеху
F Монтаж обладнання
G Випробування обладнання
H Визначення типу моделі
I Проектування зовнішнього корпусу
J Створення зовнішнього корпусу
K Кінцева збірка
L Контрольна перевірка
-
A
B
B
D
C, E
F
D
D
H, I
G, J
K
Відповідно до наведеної вище таблицею необхідно ретельно, переходячи від однієї операції до іншої, перевірити побудований в першому наближенні граф.
               A B C F G K L
1 2 3 5 8 9 10 11
                                                   D       E                      J
7 Квітень Фіктивна операція
                                                              H          I                        ідентифікації
6
Рис.6. Новий креслення стрілочного графа для прикладу 1
Приклад 2. Компанія "Еврика" є учасником іншого проекту, деталі якого наведено нижче. Зобразимо цей проект за допомогою стрілочного графа.
Рішення
Побудова починаємо з початкового події, позначеного гуртком 1. З таблиці випливає, що існують три операції - А, В і С, яким не передує жодна з операцій. Тому з початкового події виходять три стрілки. На перший погляд таблиця операцій виглядає надзвичайно простий, проте відобразити притаманну їй логіку з допомогою мережного графа досить важко, внаслідок чого ми змушені використовувати три фіктивні логічні операції (див. рис. 7).
Таблиця 2. Таблиця операцій для прикладу 2
Операція
Безпосередньо
Попередня
операція
Операція
Безпосередньо
попередня
операція
A
B
C
D
-
-
-
A, B
E
F
G
H
B, C
C
D, E
F, G
4


          2
                                      
1 5 6 7 8
                          
3
Рис. 7. Стрілочний граф для прикладу 2
1.2 Вершинні графи
У цьому типі мережевих графів операції представлені вузлами графа, а стрілками зображуються їх взаємозв'язку. У таких графах не виникає необхідності вводити фіктивні операції. Як і в попередньому випадку, протягом часу слід зображати в напрямку зліва направо.
Приклад 3. Звернувшись до даних з прикладу 2, модифікуємо отриману в цьому прикладі схему, поставивши у відповідність операціями вузли графа.

                                                A
                                                                        D
Початковий BG
вузол E                                              H
                                                C                                              F
Рис. 8. Вершинний граф
Кожен з описаних типів графів має свої переваги і недоліки. Зазвичай не має принципового значення, яка із систем використовується. Якщо в стрілочні графи доводиться вводити досить велику кількість фіктивних операцій, то набагато більш привабливим є вибір вершинного графа. Нижче наведено порівняння двох видів зображення операцій та їх основних особливостей (див. рис. 9).
Ситуація Рядковий граф Вершини графа
Операція QPQ
залежить 1 2 3 PQ
від операцій P, Q
Операція Х 1 Р X Р
залежить 4 березня X
від операцій P, Q 2 QQ


Операція Х, Y 1 Р X 4 Р X
залежить 3
від операцій P, Q 2 QY 5 QY


Операція Х 1 Р 2 X 5 Р X
залежить
від операції P, 3 Q 4 Y 6 QY
Операції Y залежить від
операцій Р і Q
Рис. 9. Порівняння мережевих стрілочного і вершинного графів

1.3 Аналіз критичного шляху
Після того як проведена ідентифікація операцій, можна оцінити їх тривалість. На основі тривалості виконання кожної операції та керуючись логічною схемою, можна знайти час виконання проекту в цілому. На даному етапі передбачається, що тривалість виконання кожної операції є фіксованою величиною, не відчуває впливів невизначеності. В останньому розділі глави ми розглянемо питання про те, які поправки слід внести в цей аналіз, щоб врахувати невизначеність часу виконання операцій. У кожному графі існує кілька можливих шляхів. Загальний час, необхідне для того, щоб пройти якийсь шлях, є сума часу виконання всіх операцій, які належать даному шляху. Тривалість виконання всього проекту займає найбільше часу. Більш тривалі операції називаються критичними. Будь-яка затримка терміну початку або закінчення виконання цих робіт потягне за собою затримку строку виконання проекту в цілому. Критичні операції утворюють безперервний ланцюг, що проходить через весь граф. Цей ланцюг критичних операцій називається критичним шляхом. У кожному графі знайдеться, принаймні, один критичний шлях.
Для того щоб знайти загальну тривалість виконання проекту, потрібно визначити тривалість критичного шляху. У більшості графів ідентифікувати всі йдуть крізь граф шляху, щоб виявити серед них той, який займає найбільший час, досить важко. Існують два можливі методи, які дозволяють відстежувати рух часу в графі:
1. Визначення для кожної операції найбільш ранніх термінів початку і закінчення її виконання.
2. Визначення для кожної події найбільш раннього терміну його настання. Слід зазначити, що другий метод може використовуватися тільки в стрілочних графах.
1.4 Аналіз критичного шляху із застосуванням вершинних графів
Приклад 4. У табл. 3 вказана тривалість виконання кожної операції проекту, про який йшла мова в прикладах 2 і 3 Визначимо загальну тривалість виконання проекту. Вершинний граф, відповідний даному проекту, був побудований в прикладі 3.
Таблиця 3. Операції та їх тривалість для прикладу 4
Операція
Безпосередньо
Попередня
Операція
Час, днів
A
B
C
D
T
F
G
H
-
-
-
A, B
B, C
C
D, E
F, G
8
10
6
8
9
14
14
6
Рішення
Припустимо, що кожна з вихідних операцій А, В і С починається в нульовий момент часу. Це найбільш ранній термін початку цих Е5 операцій. Найбільш ранній термін, до якого їх виконання може бути завершено, визначається таким чином:
Найбільш ранній термін закінчення ЕР = ЕS + Тривалість операції.
Зазвичай знайдені значення цих термінів наносяться безпосередньо на граф, однак, ми занесемо їх спочатку в таблицю, щоб продемонструвати методику проведення розрахунків.
Таблиця 4. Розрахунок найбільш ранніх термінів початку закінчення операцій для прикладу 4
Операція
Тривалість, днів
Найбільш ранній термін початку
Найбільш ранній термін закінчення
Коментарі
A
B
C
D
E
F
G
H
8
10
6
8
9
14
14
6
0
0
0
10
10
6
19
33
0 +8 = 8
0 +10 = 10
0 +6 = 6
10 +8 = 18
10 +9 = 19
6 +14 = 20
19 +14 = 33
33 +6 = 39
Не можна почати, поки не завершені А і В
Не можна почати, поки не завершені В і С
Не можна почати, поки не завершена З
Не можна почати, поки не завершені D і E
Не можна почати, поки не завершені F і G
Ключ
0 8 позначення ЕS EF
A 8 операції тривалість
3 11 жовтня 1916 LS LF
D 8
0 10 11 19 19 33
Початковий B 10 G 14
Вузол 0 10 10 19 19 33 33 39
E 9 H 6
0 6 10 19 6 20 33 39
C 6 F 14
4 10 19 33
Рис. 10 Вершини графа для прикладу 4

Найбільш ранні терміни початку і закінчення операцій занесені в вершинний граф, зображений на рис. Неважко помітити, що операція Н завершиться на 39-й день, отже, це значення дає нам шукану тривалість виконання проекту в цілому.
Таблиця 5. Розрахунок найбільш пізніх термінів початку і закінчення
операцій для прикладу 4
Операція
Тривалість,
днів
Найбільш
Пізній термін закінчення
Найбільш
Пізній
Термін
Почала
Коментарі
H
G
F
E
D
C
B
A
6
14
14
9
8
6
10
8
39
33
33
19
19
10
10
11
39-6 = 33
33-14 = 19
33-14 = 19
19-9 = 10
19-8 = 11
10-6 = 4
10-10 = 0
11-8 = 3
G потрібно завершити до настання більш пізнього строку початку H
F потрібно завершити до настання більш пізнього строку початку H
E потрібно завершити до настання більш пізнього строку початку G
D потрібно завершити до настання більш пізнього строку початку G
C потрібно завершити до настання більш пізнього строку початку Е і F.
В потрібно завершити до настання більш пізнього строку початку D і E. Потрібно використовувати найменший з цих термінів, рівним 10 дням.
А потрібно завершити до настання більш пізнього строку початку D

На даному етапі ми ще не можемо визначити критичні операції. Щоб це здійснити, необхідно для кожної операції розрахувати два терміни, їй відповідні, а саме найбільш пізній термін початку LS і найбільш пізній термін закінчення LF операції. У даному випадку процедуру розрахунків ми почнемо з останньої операції в графі і припустимо, що найбільш пізній і найбільш ранній терміни її закінчення збігаються. Потім вирахуванням з цієї величини тривалості виконання операцій знаходимо найбільш пізній термін її початку. Хід виконання розрахунків показаний в табл. 5.
Критичною є операція, для якої справедливі наступні співвідношення:
ЕS = LS і ЕF = LF,
тобто операція, для якої не існує резерву часу між найбільш раннім терміном її початку і найбільш пізнім терміном її закінчення. Неважко, помітити, що в нашому прикладі критичними є операції В, Е, G і Н. Шлях у вершинному графі, що з'єднує ці операції, називається критичним шляхом. У нашому прикладі критичним є шлях В-Е-G-Н.
1.5 Аналіз критичного шляху із застосуванням стрілочних графів
Наведена вище методика аналізу аналогічним чином може використовуватися. і для стрілочних графів. Значення термінів ЕS, ЕF, LS і LF записуються у графі вздовж стрілок, відповідних операцій:
[ES, EF] A
1 2
[LS, EF]
Рис. 11. Нанесення на стрілочний граф термінів, відповідних операцій

Можна провести подібний аналіз у термінах строків настання кожної події. Проводиться розрахунок найбільш раннього терміну, до якого може завершитися кожну подію. Цей термін називається найбільш раннім терміном події (earliest event time - ЄЕТ). Загальна тривалість виконання проекту визначається ЄЕТ кінцевого вузла графа. ЄЕТ вихідної події дорівнює нулю.
Для того щоб виявити критичні операції, необхідно, починаючи з кінця графа, обчислити найбільш пізні терміни подій (1аtest еvent time - LЕТ), до яких події можуть закінчитися. Події, для яких виконуються співвідношення
LEТ початку-ЕЕTокончанія + тривалість = О або
ЕЕТначала - LETокончанія + тривалість = О,
є критичними.
Приклад 5. Застосувавши ЄЕТ і LЕТ, повторимо завдання з прикладу 4 за умови, що тривалість виконання фіктивних операцій дорівнює нулю. Рішення
В першу чергу для кожної події обчислимо значення найбільш раннього терміну. Якщо деякого події відповідає більш однієї операції, постає проблема вибору відповідного значення. Оскільки подія вважається незавершеним доти, поки не буде завершено виконання всіх складових його операцій, слід вибрати найбільше з значень.

Таблиця 6. Розрахунок значень ЄЕТ для прикладу 5
Вузол
ЄЕТ, днів
Коментарі
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0 +10 = 10
0 +6 = 6
0 +8 = 8
або
10 +0 = 10 *
10 +0 = 10 *
або
6 +0 = 6
10 +8 = 18
або 10 +9 = 19 *
19 +14 = 33 *
або 6 +14 = 20
33 +6 = 39
Початкова подія
ЄЕТ вузла 1 + тривалість операції В
ЄЕТ вузла 1 + тривалість операції З ЄЕТ вузла 1 + тривалість операції О. ЄЕТ вузла 2 + тривалість фіктивної операції. Вибирається максимальний термін, тобто 10 днів
ЄЕТ вузла 2 + тривалість фіктивної операції. ЄЕТ вузла 3 + тривалість фіктивної операції. Вибирається максимальний термін, тобто 10 днів
ЄЕТ вузла 4 + тривалість операції D ЄЕТ вузла 5 + тривалість операції Є. Вибирається максимальний термін, тобто 19 днів
ЄЕТ вузла б + тривалість операції З
ЄЕТ вузла 3 + тривалість операції Р. Вибирається максимальний термін, тобто 33 дні
ЄЕТ вузла 7 + тривалість операції Н
* Вибране значення ЄЕТ
Отримані значення термінів наносяться на стрілочний граф, як це показано на рис. 12.
ЄЕТ останньої події одно 39 днів, які також визначають загальну тривалість виконання проекту.
Щоб визначити критичні операції, будемо рухатися по графу починаючи з кінцевого вузла і обчислюючи LЕТ кожної події. Припустимо, що для кінцевого події ЄЕТ = LЕТ. Якщо в деякий вузол входить більше однієї стрілки, то виникає проблема вибору значення LЕТ. Так як подія повинна завершитися до терміну, який відповідає всім найбільш пізнім строками початку подій, які виходять з цього сайту для LЕТ, слід вибрати найменше значення.
Знайдені значення термінів наносяться на стрілочний граф, зображений на рис. 12.
0
11
Підпис: 11
10
4 - найбільш ранній - найбільш пізній                                                                                               термін події, термін події
A
8
D
8
10
(Стандартний термін, днів)
10
Підпис: 10          2
33
Підпис: 33
33
0
B
10
                                      
G
14
19
E
9
19
10
39
H
6
0
 

0
Підпис: 0
10
Підпис: 10
C
6
1 5 6 7 8
39
Підпис: 39
0
F
14
                          
 

10
Підпис: 10
6
3
Рис. 12. Стрілочний граф для прикладу 5 із зазначенням ЄЕТ і подій
Операція є критичною, якщо для неї справедливі наступні співвідношення:
ЕЕТначала = LETначала і ЕЕТокончанія = LЕТокончанія
LEТокончанія - EETначала - Тривалість = 0.
З малюнка 12 видно, що критичними, як і раніше, є операції В, Е, G і Н. Будь-які уповільнення на критичному шляху приведуть до затримки терміну виконання, всього проекту. Тим часом для некритичних шляхів можна допустити деякі затримки при виконанні складових їх операцій або переглянути графік їх виконання. Запас часу, який існує в схемі проекту, називається резервом часу.
Розрізняють декілька видів резерву часу, що виникають під впливом різних дій, які надає запас часу на схему виконання проекту.
Загальним резервом називається кількість часу, на яке можна збільшити тривалість операції в результаті продовження терміну її виконання або перегляду плану, не впливає на тривалість виконання проекту в цілому. Вільним резервом називається кількість часу, на яке можна збільшити тривалість операції в результаті продовження терміну її виконання або перегляду плану, не надає впливу на найбільш ранній термін виконання будь-якої наступної операції. Іноді використовують третій вид, так званий незалежний резерв часу. Він не робить ніякого впливу на попередні або наступні операції. Для будь-якої операції
Загальний резерв часу = LЕTокончанія - ЕЕТначала - Тривалість, також
Вільний резерв часу = ЕЕТокончанія - ЕЕТначала - Тривалість
Незалежний резерв = ЕЕТокончанія-LETначала - Тривалість.
Іноді буває корисно зобразити на графі наявний резерв часу, особливо якщо план виконання операцій необхідно переглянути. У цьому випадку одним з можливих методів є графік Ганта.
Таблиця 7. Розрахунок значень ЄЕТ для прикладу 5
Вузол
LET, днів
Коментар
8
7
6
5
4
3
2
1
39
39-6 = 33
33-14 = 19
19-9 = 10
19-8 = 11
10-0 = 0 *
або
33-14 = 19
10-0 = 10 *
або
11-0 = 11
11-8 = 3
або
10-10 = 0 *
або 10-6 = 4
Кінцевий вузол LЕТ = ЄЕТ
LЕТ вузла 8 - тривалість операції Н
LЕТ вузла 7 - тривалість операції G
LЕТ вузла б - тривалість операції Е
LЕТ вузла 6 - тривалість операції D
LЕТ вузла 5 - тривалість фіктивної операції або LЕТ вузла 7 - тривалість операції F. Вибирається мінімальний термін, тобто 10 днів
LЕТ вузла 5 - тривалість фіктивної операції або LЕТ вузла 4 - тривалість фіктивної операції Вибирається мінімальний термін, тобто 10 днів
LЕТ вузла 4 - тривалість операції А чи LЕТ вузла 2 тривалість операції В або LЕТ вузла 3 - тривалість операції З Вибирається мінімальний термін, тобто Про днів
* Вибране значення LЕТ.

Приклад 6. За даними прикладу 5 для кожної операції знайдемо спільну резерв часу.
Операції, загальний резерв часу яких дорівнює нулю, є критичними. На рис. 13 побудований графік Ганта, і відзначені, можливо найбільш ранні терміни початку операцій.
Таблиця 8. Розрахунок резерву часу операцій для прикладу 5 (днів)
операція
LET закінчення
LET початку
тривалість
Загальний резерв часу
A
B
C
D
E
F
G
H
11
10
10
19
19
33
33
39
0
0
0
10
10
6
19
33
8
10
6
8
9
14
14
6
3
0
4
1
0
13
0
0
Стандартні терміни
Стандартні терміни


З F
20 червня



B E G H
10 19 33 39
Операції
A D
18 Серпня


10 20 30 40
Дні
Рис. 13. Графік Ганта для прикладу 5
1.6 Вартість проекту
Загальна вартість проекту залежить від вартості виконання кожної операція, а також від будь-яких додаткових змінних або постійних витрат. Так як необхідно завершити всі операції, незалежно від того, є вони критичними чи ні, загальна вартість виконання операцій являє собою арифметичну суму окремих значень вартості кожної операції.
Можна знижувати тривалість виконання деяких операцій за допомогою додаткових ресурсів. Непрямим наслідком такого заходу є збільшення вартості цих операцій. Однак якщо операція критична, то економія часу її виконання може призвести до загальної економії часу виконання проекту в цілому, а отже, і до зниження загальної вартості проекту.
Можливий найменший термін, до якого можна завершити операцію, отримав назву критичного терміну. ​​У деяких випадках завершити операцію можна тільки або до стандартного, або до критичного терміну їх виконання, але не між ними. Іноді, навпаки, існує можливість поступово зменшувати час виконання операції до того моменту, поки не буде досягнутий критичний термін її виконання. Розглянемо, як діє зменшення часу виконання операцій на календарний план, і вартість виконання проекту, беручи до уваги дві різні цілі:
1. Мінімізацію загального часу виконання проекту;
2. Мінімізацію загальної вартості проекту.
1.7 Мінімізація загальної тривалості проекту з мінімальними додатковими витратами
Для цієї мети необхідно володіти інформацією про вартість кожної операції, будь-якому можливому зменшенні часу її виконання і про додаткові витрати, пов'язаних зі зниженням часу виконання операції.
Приклад 7. Звернімося до даних прикладу 2. Нижче наводиться додаткова інформація про вартість операцій і можливе зменшення часу їх виконання.
Показники критичних значень відображають мінімальний час, за який можна виконати операцію, і загальну вартість виконання операції протягом цього часу. Необхідно зробити вибір між стандартними значеннями часу й витрат і їх критичними значеннями. Практично неможливо отримати економію часу виконання операції в один день при пропорційному зростанні її вартості. Крім вартості кожної операції необхідно врахувати вартість будівельного майданчика, складову 1000 руб. на день.
1. Яке мінімальний час, протягом якого можна завершити проект?
2. Яка відповідна мінімальна додаткова вартість?
Рішення
Мінімальний час можна знайти, розрахувавши для всіх, як критичних, так і некритичних операцій, критичний час їх виконання. Нижче зображений стрілочний граф, побудований в прикладі 2. На граф нанесені значення ЄЕТ і LЕТ, виявлені на підставі критичних значень часу виконання операцій.
Неважко помітити, що ЄЕТ вузла 8 дорівнює 28 дням, тому мінімальний час виконання проекту також становить 28 днів. Критичний шлях залишається незмінним: В-Е-G-Н.
Загальну вартість можна знайти з наступного рівняння:
Загальна вартість = Критична вартість операцій + 28 х
х Вартість будівельного майданчика у день = 102 750 руб. +
+ 28 х 1000 руб. = 130750 руб.

Таблиця 9. Значення стандартних і критичних термінів і відповідних витрат виконання операцій для прикладу 7
ОПЕРА-ція
Непосредст-венно предше-ціалу ОПЕРАЦІЇ
СТАНДАРТНЕ ЗНАЧЕННЯ
Критичне значення
ЧАС-НІ, ДНІВ
СТОЇМО-СТІ, РУБ.
Часу, днів
Вартості, руб.
A
B
C
D
E
F
G
H
-
-
-
A, B
B, C
C
D, E
F, G
8
10
6
8
9
14
14
6
7500
8500
6000
13000
14000
14500
13500
5500
4
8
5
5
6
11
10
4
9000
11000
7000
16000
16500
18000
18750
6500
ЗАГАЛЬНІ ВИТРАТИ ви-полнения ОПЕРАЦІЙ
82500
102750
A
4
0
9
Підпис: 9
8
4 - найбільш ранній - найбільш пізній                                                                                   термін події, днів термін події, днів
D
5
8

8
Підпис: 8          2
24
Підпис: 24
24
0
B
8
                                      
G
10
14
E
6
14
8
28
H
4
0
 

0
Підпис: 0
8
Підпис: 8
C
5
1 5 6 7 8
28
Підпис: 28
0
F
11
                          

8
Підпис: 8
5
3
Рис. 14. Стрілочний граф для прикладу 7 із зазначенням критичного часу
Між тим знайдене значення вартості виконання проекту в зазначений час не є мінімальним, оскільки необхідності використовувати критичні значення для некритичних операцій немає. Некритичними є операції А, С, D і F. Тому необхідно знайти ефект від використання відповідних цими операціями некритичних значень показників. У випадку, якщо існує можливість відновити їх стандартну тривалість, не збільшуючи при цьому загальну тривалість виконання проекту, можна буде одночасно досягти і економію вартості в результаті використання її некритичних значень.
Критичні значення для операції А можна не використовувати, оскільки збільшення тривалості її виконання до 8 днів не змінює ЄЕТ вузла 4, і, отже, не робить впливу на виконання інших операцій календарного плану. Використання некритичних значень для операції А дозволяє досягти економії, складовою 1500 руб.
Збільшення тривалості операції С з 5 до 6 днів призведе до збільшення значення ЄЕТ вузла 3 до 6, проте не зробить впливу на ЄЕТ вузлів 5 і 7. Внаслідок цього тривалість виконання проекту залишиться незмінною. Використання некритичних значень, що відповідають операції С, дозволить отримати економію 1000 руб.
Якщо використовувати некритичні значення показників операції D, то ЄЕТ вузла 6 зросте до 16 днів. Вузол 6 належить критичному шляху, тому для того, щоб досягти мінімального загального часу виконання проекту, що становить 28 днів, необхідно застосовувати критичні значення часу та вартості операції D.
Використання некритичних значень для операції F не змінить ЄЕТ вузла 7 і не призведе до збільшення тривалості проекту в цілому. Використовуючи для F некритичні значення, ми зможемо досягти економії, складовою 3500 руб.
Мінімальна вартість виконання проекту за 28 днів становитиме:
130750 - 1500 (А) - 1000 (З) - 3500 (Р) = 124 750 руб.
Вартість виконання проекту в стандартні терміни дорівнює:
82500 (вартість операцій) + 39 000 (вартість будівельного майданчика) = = 121 500 руб
Отже, додаткова вартість, пов'язана із завершенням виконання проекту на 11 днів раніше, буде дорівнює:
124750 - 121500 = 3250 руб.
Приклад 8. Звернемося до даних прикладу 1. У табл. 10 наводиться додаткова інформація про вартість операцій і можливе скорочення часу їх виконання.
Змінні накладні витрати становлять 300 руб. на тиждень протягом усього часу виконання проекту.
1. Визначити стандартні значення загального часу виконання та загальної вартості проекту.
2. Знайти мінімальний час, за який можна виконати даний проект, і відповідне йому мінімальне значення вартості.
Таблиця 10. Стандартні і критичні значення термінів виконання та вартості операцій для прикладу 8
Операція
Стандартне значення
Можливе скорочення часу, тижнів
Крітічес-кое час, тижнів
Додаткові витрати скорочення часу на тиждень, руб.
Часу, тижня
Вар-тість,
руб.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
2
1
4
6
3
3
4
2
3
8
2
2
400
0
200
450
700
200
600
0
250
600
450
200
1
0
2
4
2
2
3
0
1
4
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
4
1
1
400
0
125
175
250
200
125
0
200
100
250
150
Вартість операцій 4050

20
15
12
3
2
0
0
Підпис: 0
13
Підпис: 13
3
Підпис: 3
2
Підпис: 2
20
Підпис: 20
16
Підпис: 16
L
2
K
2
G
4
F
3
C
4
B
1
A
2
              
D 6
E
3
24
J
8
1 2 3 5 8 9 10 11
22
24
Підпис: 24
22
Підпис: 22
I
3
                                                  
9
H
2
7 Квітень
12
0
12
Підпис: 12
9
Підпис: 9                                                                                     
6
12
12
11
11


Рис. 15. Стрілочний граф для прикладу 8 із зазначенням стандартних термінів
- Найбільш ранній    - Найбільш пізній
термін події, термін події (стандартний термін, днів)
Рішення
На рис. 15 відтворений стрілочний граф, побудований в прикладі 1. Для кожної операції на графі вказані значення ЄЕТ і LЕТ. Стандартний термін виконання проекту складає 24 тижні, а відповідний йому критичний шлях має наступний вигляд:
А-B - D -1 -]-К-L.
Загальна вартість проекту становить:
4050 (вартість операцій) + 24х300 (змінні накладні витрати) = 11250руб.
Щоб визначити мінімальний час, потрібний для виконання проекту в цілому, кожної операції поставимо у відповідність мінімальний термін її завершення. На рис. 16 показані значення цих термінів і підсумкові значення ЄЕТ і LЕТ.
Мінімальна тривалість проекту становить 12 тижнів. У даному випадку критичними виявляються наступні шляхи:
А-B - D -1 -]-К-L і А-B - D-Н-]-К-L.
Перевіримо, чи можна, використовуючи некритичні значення для деяких некритичних операцій, отримати економію грошових коштів.

Таблиця 11. Використання некритичних значень показників для некритичних операцій з прикладу 8
Опера-ція
Зміна тривалості-ності
Ефект
Е
F
G
З
Збільшення на 2 тижні
Збільшення на1 тиждень
Збільшення неможливо
Збільшення на 2 тижні
ЄЕТ вузла 5 стає рівним 7 тижнях; ЄЕТ вузла 8 стає рівним 8 тижнях, не впливаючи при цьому на ЄЕТ вузла 9, що належить критичному шляху; інших впливів немає. Е виконується в стандартний термін
ЄЕТ вузла 8 стає рівним 9 тижнях. Операції Е, F і G стає критичними.
На вузол 5 не чиниться жодного впливу. З виконується в стандартний термін.
Некритичними є операції С, Е, F і G. Тривалість операцій у даному прикладі можна змінювати за інтервалами в один тиждень, оскільки одиницею виміру тривалості є тиждень. У першу чергу розглянемо операції, які, якщо використовувати їх некритичні значення, | можуть принести найбільшу економію грошових коштів. Операції будемо розглядати в такому порядку: Е (250 руб.), F (200 руб.), І С (125 руб.) Або G (125 руб.).
Мінімальна вартість виконання проекту за 12 тижнів склала:
(4050 (стандартна вартість операцій) + 1 • 400 (А) + 4 • 175 (В) + 1 • 200 (F) + 3 • 125 (G) + 1 • 200 (I) + 4 • 100 (J) + 1 • 250 (К) + 1 • 150 (L) (граничні витрати) + 12 • 300 (змінні накладні витрати) = 4050 + 2675 + 3600 = 10325 руб.

10
6
5
2
1
0
0
Підпис: 0
8
Підпис: 8
2
Підпис: 2
1
Підпис: 1
10
Підпис: 10
9
Підпис: 9
L
1
K
1
G
1
F
1
C
2
B
1
A
1
            
12
E
1
D 2
J
4
1 2 3 5 8 9 10 11
11
12
Підпис: 12
11
Підпис: 11
I
2
                                        
4
H
2
7 Квітень
6
0
6
Підпис: 6
4
Підпис: 4                                                                    
6
6
6
Підпис: 6


Рис. 16. Стрілочний граф для прикладу 8 із зазначенням критичних термінів
- Найбільш ранній    - Найбільш пізній
термін події, термін події (стандартний термін, днів)
1.8 Виконання проекту з мінімальними витратами
Якщо виконання проекту вимагає оплати змінних накладних витрат, таких, наприклад, як витрати, пов'язані з обладнанням будівельного майданчика, то може виявитися вигідним зниження тривалості виконання проекту. Оскільки самі ці скорочення тягнуть за собою певні витрати, необхідно підвести баланс. Економія часу може бути досягнута тільки в тому випадку, якщо скоротити тривалість критичних операцій. Критичні значення повинні використовуватися тільки за тим критичним операціями, за якими величина економії накладних витрат перевищує вартість виконання операції за критичний час.
Приклад 9. Звернувшись до даних прикладу 7, визначимо мінімальну вартість проекту і відповідний час його виконання. Передбачається, що операції можна виконувати або в стандартні, або у критичний термін, але не в проміжку між ними.
Рішення
Використовуючи граф, побудований в прикладі 5 для стандартних термінів виконання операцій, перерахуємо всі критичні операції і відповідні їм показники максимально можливої ​​економії часу і чистої економії вартості.
Таблиця 12. Розрахунок мінімальної вартості проекту для прикладу 9
Опера-ція
Кількість днів економії для критичної-ського часу
Додат-кові вартість критично кого часу, руб.
Економія, руб.
Чиста економія, руб.
Коментарі
У
Або Е
Або Е і D
G
Н
2
1 *
3
4
2
2500
2500
5500
5250
1000
2.1000
1.1000
3.1000
4.1000
2.1000
-500
-1500
-2500
-1250
+1000
Критичні значення не використовуються
Критичні значення не використовуються
Критичні значення
не використовуються
Критичні значення
не використовуються
Використовуються критичні
значення. Зниження тривалості проекту
з 39 до 37 днів
* Досягти економії, що дорівнює 3 днях, не можна, оскільки в цьому випадку шлях А-DG-Н стає критичним. Тому загальна тривалість знижується тільки на один день. Якщо ж використовувати критичні значення одночасно для Е і О, досягається економія часу, яка дорівнює 3 днях. Проте відповідна вартість стає рівною: 2500 руб. + 3000 руб., Тобто така економія часу не доцільна.
Мінімальна вартість проекту дорівнює: 121500 - 1000 = 120500 руб. Відповідне час його виконання становить 37 днів.
1.9 Невизначеність часу виконання операцій
У наведених вище методах аналізу передбачалося, що час виконання операцій точно відомо. Однак на практиці терміни виконання операції зазвичай є досить невизначеними. Керуючий виробництвом може висунути деякі припущення про те, скільки часу буде потрібно для виконання кожної роботи, але не може передбачити можливі труднощі або затримки виконання. Невизначеність термінів виконання операцій означає, що загальна тривалість проекту також схильна до невизначеності.
Вибір методу, що дозволяє врахувати цю невизначеність, залежить від типу проекту та природи невизначеності. Якщо можна визначити мінімальну і максимальну тривалість кожної операції, то їх розраховують з допомогою показників очікуваної (середньої) тривалості і очікуваного часу виконання проекту. Алгоритм, який отримав найбільш широке застосування, називається методом оцінки та перегляду проектів (Project Е v а1 uation and Reiew Technique - PERT). При обчисленні очікуваного часу виконання проекту методом РЕRТ використовуються показники очікуваного часу виконання операцій. Частина, що залишилася алгоритму аналогічна описаним вище алгоритмам, що застосовуються у випадках, коли час виконання операцій є фіксованою величиною.
Якщо час виконання операцій піддається впливу невизначеності, то велике значення набувають некритичні шляху в графі, коли можуть змінюватися терміни виконання всіх операцій. На практиці може виявитися, що шлях, який на основі очікуваних значень термінів вважався некритичним, стає критичним відповідно до результатів методу визначення критичного шляху.
В основу методу РЕRТ покладена передумова про проведення тривалості операції. Передбачається, що час виконання кожної окремо взятої операції апроксимується p-розподілом. Якщо це правда, то розподіл часу виконання проекту в цілому є нормальним. Метод РЕRТ може застосовуватися при аналізі конкретного проекту тільки в разі виконання даної передумови. Графік р-розподілу зображений на рис. 17. Можливе найменший час виконання операції називають оптимістичним терміном (а), а можливе найбільший час її виконання - песимістичним терміном (b).
Піку розподілу відповідає найбільш ймовірний час виконання операції (m). Необхідно зробити оцінку кожного з цих трьох термінів для всіх операцій, які входять в граф.
Виходячи з цих трьох значень можна знайти очікувану тривалість операції (t) та її дисперсію. Очікувана тривалість операції визначається наступним чином:

Відповідна дисперсія очікуваної тривалості визначається за формулою:


Щільність
ймовірності


Термін виконання
а m b
Оптимістичний Песимістичний
Найбільш ймовірний
Рис. 17. Стандартне b-розподіл для часу виконання операцій
Час виконання проекту можна знайти безпосередньо з графа, використовуючи для цього очікувані значення тривалості операцій. Передбачається, що час виконання проекту в цілому розподілено за нормальним законом.
У припущенні, що терміни виконання операцій не залежать один від одного, середнє значення нормального розподілу визначається як сума математичних сподівань тривалості критичних операцій, а дисперсія - як сума їх дисперсій. Отримане нормальний розподіл можна використовувати для оцінки ймовірності завершення проекту до заздалегідь встановленої дати.
Алгоритм методу РЕRТ аналогічний аналізу мережевого графа з фіксованими значеннями тривалості операцій.
1.Составіть список всіх операцій, що входять в проект, із зазначенням безпосередньо попередніх операцій, а також оптимістичного, найбільш ймовірного і песимістичного термінів їх виконання.
2. Побудувати мережевий граф.
3.В припущенні, що час виконання будь-якої операції апроксимується р-розподілом, оцінити для кожної операції очікуваний час її виконання і його дисперсію.
4. Використовуючи очікувані значення термінів виконання операцій, знайти тривалість проекту в цілому.
5. Визначити критичні операції і критичний шлях.
6. За допомогою значень дисперсії для критичних операцій оцінити дисперсію очікуваної тривалості всього проекту.
Приклад: Процес створення і серійного виробництва нового виду продукту компаній "НЕВА" включає в себе наступні операції (див. табл. 13).
1. Визначимо очікуване число тижнів, необхідне для виконання проекту.
Які операції є критичними?
2. Яка ймовірність того, що виконання проекту займе більше 16 тижнів?
Таблиця 13. Таблиця операцій та термінів їх виконання для прикладу 10
Опера-ція
Безпосереднім-ного, предшест-ють
операції
Терміни виконання операцій, тижнів
Оптимісти-ний, a
Найбільш ймовірний, m
Песимісти-ний, b
A
B
C
D
E
F
G
H
I
-
A
-
C
B, D
E
B, D
G
F, H
1,5
2
1
1,5
0,5
1
3
3
1,5
2
2,5
2
2
1
2
3,5
4
2
2,5
6
3
2,5
1,5
3
7
5
2,5
Рішення
Очікувані терміни виконання операцій і відповідні дисперсії наведені в таблиці 14.
Нижче наведено мережевий граф із зазначенням очікуваної тривалості кожної операції (див. рис. 18).
Розрахунок очікуваного терміну виконання проекту в цілому проводиться звичайним способом. Як показано на рис. 18, виконання проекту передбачається здійснити за 15 тижнів. Критичними є операції А, В, G, Н і I. Наведемо для порівняння інші можливі шляхи у графі:
2
2
6
11


F
2
B
3
E
1
A
2
15
Підпис: 15
13
Підпис: 13
5
Підпис: 5
0
0
Підпис: 0
15
13
5
5 лютого
I
2


G
4
C
2
H
4
D
2
1 4 7 8


9
Підпис: 9
3
Підпис: 3
9
2
3 червень
Рис. 18. Стрілочний граф із зазначенням очікуваних строків виконання операцій для прикладу 10
- Найбільш ранній    - Найбільш пізній
термін події, термін події (очікуваний термін, днів)
А, В, Е, F, I - займає 10 тижнів,
С, D, Е, F, I - займає 9 тижнів,
С, D, G, H, I - займає 14 тижнів.
Слід зазначити, що шлях - С, D, G, Н, I - займає час, який менше виконання критичного шляху всього на один тиждень. Тому невеликі зміни часу виконання деяких операцій можуть призвести до зміни критичного шляху.
Дисперсія очікуваного часу виконання всього проекту визначається як сума дисперсій критичних операцій:
s 2 = s 2 A + s 2 B + s 2 G + s 2 H + s 2 I
отже,
s 2 = 1 / 36 + 16/36 + 6 / 36 +4 / 36 + 1 / 36 = 38/36 = 1,11 тижнів 2
Стандартне відхилення часу виконання проекту складе:
= 1,03 тижнів
Імовірність того, що виконання проекту займе більше 16 тижнів, можна знайти таким чином: Шістнадцять тижнів складають z стандартних відхилень від середнього, де:

По таблиці стандартного нормального розподілу знаходимо:
Р (z> 0,97) = 0,166.
Отже, ймовірність того, що виконання проекту займе більше 16 тижнів, дорівнює 16,6%.
Таблиця 14. Розрахунок очікуваних строків виконання операцій та їх дисперсій за даними прикладу 10
Операція
Очікуваний термін виконання
Дисперсія, тижнів 2
A
B
З
D
E
F
G
H
I



2
1
2
4
4
2



= 1 / 36
= 1 / 36
= 4 / 36
= 16/36
= 4 / 36
= 1 / 36

f (T)


15 16 T, тижнів
Рис. 19. Розподіл часу виконання проекту для прикладу 10
1.10 Розподіл ресурсів
Мережевий граф відображає логічну послідовність виконання операцій, що входять в проект. Ні в одному з видів аналізу, розглянутих нами вище, не приймалися до уваги будь-які обмеження на забезпечення ресурсами. Вихідний календарний план виконання операцій складався за умови, що всі необхідні ресурси є в достатній кількості. Однак така ситуація має місце далеко не завжди, а якщо це так, то використання ресурсів відповідно до потреб, зазначеними у вихідному календарному плані, може виявитися неекономічним.
Метод складання календарного плану з урахуванням забезпечення ресурсами залежить від конкретних цілей осіб, які здійснюють контроль за ходом виконання проекту. Наприклад, питанням першорядної важливості може виявитися завершення проекту до визначеного терміну безвідносно до витрат ресурсів - такі плани обмежені за часом. І навпаки, в умовах обмеженості в коштах на виконання проекту відводиться певна кількість ресурсів, тоді як термін виконання не приймається в розрахунок - такі плани обмежені по ресурсах. У даному контексті до ресурсів можна віднести робочу силу, обладнання, сировина, грошові кошти, виробничі площі і т.д.
Перед тим як приступити до виконання проекту, керуючий виробництвом повинен чітко сформулювати критерій, відповідно до якого буде здійснюватися розподіл ресурсів. В якості такого критерію можна вибрати:
1. Максимальне використання ресурсів. Оцінити використання ресурсів можна через відповідний коефіцієнт:
Коефіцієнт використання = Загальна кількість використовуваних ресурсів
Загальна кількість наявних ресурсів
2. Мінімізацію максимальних потреб у ресурсах.
3. Мінімізацію максимальних змін потреб у ресурсах.
Крім названих, існує безліч інших критеріїв. Існує також безліч можливих методів вирішення проблеми розподілу ресурсів, таких, як, наприклад, евристичні методи, методи лінійного та інших видів математичного програмування. Розглянемо один з найпростіших алгоритмів, в якому використовуються графіки ресурсів та "метод проб і помилок".
1.11 Графіки ресурсів
Якщо загальна потреба в деякому ресурсі визначається на основі постійних інтервалів, наприклад, за один день чи за один тиждень, то можна побудувати графік ресурсу. Ресурси, необхідні для здійснення кожної роботи, складаються з усіх робіт, що виконуються одночасно, у припущенні, що кожна робота починається в найбільш ранній термін її виконання. Необхідно побудувати окремі графіки по кожному виду ресурсу. На рис. 20 схематично зображено графік ресурсу "робоча сила". Як випливає з наведеного графіка, іноді потреби в робочій силі перевищують її наявність, але в той же час загальне число необхідних людино-годин не перевершує їх наявної кількості.
Якщо потреба в ресурсі перевищила його ліміт, необхідно або вкласти в проект додаткову кількість ресурсу, або переглянути календарний план виконання операцій. Іноді в таких ситуаціях необхідно затримати термін виконання проекту. Незважаючи на те, що деякі операції проекту не мають явної логічно послідовною взаємозв'язку, одночасне їх виконання часто виявляється неможливим внаслідок обмежень на ресурси. Це обмеження можна відобразити на графіку ресурсу, якщо провести лінію, відповідну готівкового кількості даного ресурсу. Такий прийом дозволить не планувати виконання певних операцій на один і той же період.


Потреби
в робочій силі
20
15
10 Наявність

5


5 10 15 20 Час, тижня
Рис. 20. Графік ресурсу "робоча сила"
Приклад 11. Компанія з обмеженою відповідальністю "ТРАСТ" уклала контракт на проведення робіт з асфальтування стоянки автомобілів. Менеджер проекту встановив, що дана робота складається з восьми основних операцій. Наведемо детальний опис цих операцій:

Таблиця 15. Операції для прикладу 11, із зазначенням термінів виконання та потреб у робочій силі
Операція
Попередні
Операції
Час, днів
Число осіб, необхідну для виконання операції
A
B
C
D
E
F
G
H
-
-
-
A
C
B, E
C
F, G
3
6
7
8
4
3
10
3
1
1
2
2
1
2
2
1
Зважаючи на необхідності термінового виконання робіт на інших ділянках, "ТРАСТ" може виділити тільки чотирьох чоловік для проведення робіт на автомобільній стоянці. Визначимо, скільки часу займе проведення робіт і як слід розподілити робітників. Припустимо, що кожен з робітників може виконувати будь-яку операцію.
Рішення
Припустивши, що всі операції починаються в найбільш ранній термін, побудуємо відповідний графік "робочої сили". Після цього можна скласти календарний план виконання операцій, що задовольняє обмеженню на кількість працівників. Спочатку побудуємо мережевий граф і визначимо критичний шлях.

12
3
Підпис: 12


D
6
A
3
4
20
B
6
11
14
F
3
H
3
0
20
Підпис: 20


0
Підпис: 0
C
7
G
10
1 3 5 6
E 4
17
17
Підпис: 17


7
Підпис: 7
7
2
Рис. 21. Стрілочний граф для прикладу 11
- Найбільш ранній - найбільш пізній
термін події, термін події (стандартні терміни, днів)
Час виконання проекту в цілому, якщо не брати до уваги забезпечення ресурсами, становить 20 днів. Критичний шлях виглядає наступним чином: С - G - Н.
У припущенні, що виконання всіх операцій починається в найбільш ранні терміни, подивимося графік Ганта і відповідний графік ресурсу. Графік Ганта відбиває розподіл резерву часу на момент закінчення кожної операції. З його допомогою ми можемо визначити, які операції виконуються одночасно і по яких операціях можна змінити календарний план їх виконання таким чином, щоб ці зміни не призвели до затримки виконання проекту в цілому.
A D
(1) 3 (2) 11
B
(1) 6
E F
(1) 11 (2) 14
C G H
(2) 7 (2) 17 (1) 20
операції робоча сила


5 10 15 20 день
Рис. 22. Графік Гангу для прикладу 11

З графіка ресурсу слід, що ліміт, що дорівнює чотирьом робочим, перевищується, коли виконання операції D потрапляє в проміжок між 3 і 11 днями здійснення проекту. Переглянути календарний план і повністю задовольнити потреби в робочій силі, відповідні операції D, не можна. Для виконання критичних операцій С і D потрібні дві людини, тому операція D не може бути розпочата протягом 17 днів, тобто до тих пір, поки не закінчиться виконання інших некритичних операцій.
Якщо операцію D відкласти на 12 днів, то в дні з 12 по 14 потреба в робочих все ще буде перевищувати їх наявність: у ці дні будуть виконуватися операції G (2 особи), F (2 людини) і (2 особи). У цьому випадку доведеться або залучити до роботи: одного робочого додатково на вказаний період, або відкласти операцію D до моменту, коли буде завершена операція F, тобто до 14-го дня. При останньому варіанті буде мати місце затримка у виконанні проекту, рівна двом дням. Таким чином, його тривалість зростає з 20 до 22 днів.
Потреби
в робочій силі 5
A D D
+ + D +
B B + E F
+ + C + +
C C G G G H
для найбільш ранніх 4 квітня Наявність робочих
термінів початку операцій 3

2
1


5 10 15 20 Дні
Рис. 23. Графік ресурсу для прикладу 11, відповідний найбільш раннім термінами початку виконання операцій.

Висновок
Мережевий аналіз використовується при розробці та плануванні проектів. Він припускає розбивку проекту на окремі види робіт чи операції. Логічний взаємозв'язок між операціями зображується за допомогою мережного графа. На основі значень термінів виконання операцій проводиться розрахунок загальної тривалості проекту, можливих термінів початку і закінчення кожного виду робіт і визначаються операції, належать критичного шляху.
Операції в мережевих графах можна зображувати або за допомогою стрілок, або за допомогою вузлів. Альтернативним методом зображення мережі операцій є графік Ганта, в якому використовується шкала часу.
У більшості проектів певні види робіт можуть бути виконані в більш стислі терміни, однак, це вимагає додаткових витрат. Відповідні показники називаються критичними термінами та критичними витратами. Вони можуть використовуватися при складанні календарних планів реалізації проектів за "мінімальний час" чи з "мінімальною вартістю".
Терміни виконання операцій можуть бути схильні до впливу невизначеності. У цьому випадку для аналізу проекту можна використовувати метод оцінки та перегляду проектів (РЕRТ), заснований на припущенні про апроксимації термінів виконання операцій р-розподілом з мінімальним значенням а, найбільш вірогідним значенням m і максимальним значенням b. Очікувана тривалість операції в методі РЕRТ розраховується за наступною формулою:
, А відповідна дисперсія дорівнює
Тривалість виконання проекту має нормальний розподіл, середнє значення якого дорівнює сумі значень очікуваних строків виконання операцій, що належать критичного шляху. Дисперсія даного нормального розподілу є сума дисперсій критичних операцій. Розподіл часу виконання проекту в цілому використовують у розрахунках ймовірності завершення проекту до заздалегідь заданого терміну.
В аналіз проектів можна включити також питання, пов'язані з наявністю і розподілом ресурсів. Для визначення напрямів перегляду календарного плану виконання операцій і досягнення конкретної мети застосовуються графіки Гангу і графіки ресурсів.

Вправи
Вправа 1
Компанія з обмеженою відповідальністю "МR" розробляє будівельний проект невеликого масштабу. Основні операції проекту, відповідні їм безпосередньо попередні операції і час їх виконання наведені в таблиці:
операція
Безпосередньо попередня операція
Тривалість, тижнів
A
B
C
D
E
F
G
-
-
A, B
B
C
D
E, F
4
6
7
3
4
5
3
Потрібно:
1. Дати ілюстрацію проекту за допомогою стрілочного мережевого графа.
2. Визначити критичні операції і загальну тривалість виконання проекту.
Вправа 2
Використовуючи дані вправи 1:
1. Дати ілюстрацію проекту за допомогою вершинного графа;
2. На основі графа, побудованого в п.1, визначити вплив на хід виконання проекту затримки операції D на чотири тижні.
Вправа 3
У Чартерском Інституті підготовки фахівців з прийняття кількісних рішень (СIQDМ) діє щорічна програма читання лекцій співробітникам інституту. Підготовка програми на наступний рік ведеться співробітниками ректорату інституту, починаючи з осені минулого року. Ця програма містить детальні відомості про лекторів та їх лекціях, а також список членів інституту. Нижче перераховані операції, що входять у процес підготовки програми, із зазначенням відповідних безпосередньо попередніх операцій.


Операція
Носредствен-но предшест-відний операція
Стан-дартної час, днів
Крити-чеський час, днів
Додаткові-тільні іздежкі, руб.
А Вибір дат проведення лекцій
У Призначення лекторів та узгодження лекційних тим
З Підготовка для програми рекламних матеріалів
D Оновлення списку студентів, що навчаються заочно
Е Підготовка списку оплачуваних співробітників
F Роздруківка програми та списку членів на принтері
G Коригування надрукованих програми та списку членів
Н Друк і розкладка програми по екземплярах
I Отримання роздрукованого на комп'ютері списку адрес членів інституту
J Розсилка програми
-
A
-
-
D
B, C, E
F
G
E
H, I
5
20
15
15
30
10
10
15
5
5
5
10
10
5
25
5
5
10
2
2
-
100
150
200
50
100
50
75
50
50
Якщо в процесі підготовки програми буде зайнято стандартне число співробітників ректорату, відповідне штатним розкладом, то, як було оцінено, кожна операція буде виконана в зазначені вище стандартні терміни. При цьому передбачається, що управлінський персонал працює 5 днів на тиждень. Скільки існує можливість прийняти на роботу кілька тимчасових працівників додатково на допомогу основного персоналу на цей період. Тривалість виконання операцій в цих умовах визначається критичними термінами, значення яких, а також відповідні значення додаткових витрат, пов'язаних з виконанням операцій у критичні терміни, вказані вище. Для простоти розрахунків передбачається, що всі операції можуть бути виконані тільки або в стандартні, або в критичні терміни.
Потрібно:
1. Зобразити даний проект за допомогою мережного графа.
2. Визначити загальний час, необхідний для підготовки та розсилання програми, за умови, що тимчасові працівники не будуть прийняті на роботу в цей період. Які операції є критичними?
3. Яке впливає на загальну тривалість проекту той факт, що час, необхідний, моє для отримання рекламних матеріалів, було оцінено неправильно, і насправді ця операція займає 30 днів?
4. Яке значення можливого найменшого терміну, до якого можна закінчити підготовку та розсилку програми? Яка мінімальна додаткова вартість завершення проекту до цього терміну?
Вправа 4
Компанія з обмеженою відповідальністю "Верікс" виконує замовлення, отриманий від її споживача. Необхідна інформація наведена нижче



Операція
Безпосеред-ньо предшест-ють операції
Термін, днів
Вартість для очікуваної тривалості, руб.
Оптимістичний
Найбільш ймовірний
Песимістичний
A
B
C
D
E
F
G
H
-
-
-
A
B
C
D, E
G, F
3
4
4
5
2
10
3
1
4
7
5
6
2,5
10,5
4
2
5
10
6
7
6
14
5
9
1000
1400
2000
1200
900
2500
800
300
Непрямі витрати, пов'язані з виконанням проекту, становлять 300 руб. на день. У контракті, укладеному з споживачем, обумовлено, що якщо замовлення не буде виконано протягом 15 днів, сума штрафу складе 100 руб. за кожний наступний день.
Потрібно:
1. Побудувати мережевий граф. Яке очікуване значення часу виконання усього проекту? Яке значення відповідної вартості?
2. Який шлях в графі є критичним? Прокоментуйте тривалості некритичних шляхів.
3. Яка ймовірність того, що проект буде завершений без виплати штрафів?
Вправа 5
Компанія "Гомер" має намір заснувати дочірню видавничу компанію. У нижченаведеної таблиці наведені необхідні операції, їх взаємозалежності і тривалість.
операція
Безпосередньо
попередня операція
Тривалістю-ність, тижнів
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
-
A
A
A
B
D
D
G
C, E, F
G, I
3
4
2
6
3
2
4
7
5
3
Потрібно:
1. Визначити очікуваний час виконання проекту в цілому.
2. У припущенні, що для виконання кожної операції у встановлені терміни потрібно одна людина, визначити скориговану очікувану тривалість проекту за умови, що в розпорядженні компанії для виконання даної роботи є тільки дві людини, кожен з яких може виконати будь-яку з операцій.
Вправа 6
Адміністрація компанії "Сатурн" збирається реалізувати дослідницький проект з вивчення характеристик нового продукту. Підсумком виконання проекту повинен бути звіт, який містить рекомендації щодо випуску нового продукту. Нижче наведені операції, які необхідно здійснити в процесі виконання дослідницького проекту.
Потрібно:
1. Побудувати мережевий граф, що відображає наведені вище операції та їх взаємозв'язку. Визначити критичний шлях і найменшу тривалість виконання проекту.
2. У припущенні, що початком виконання проекту служить нульовий момент часу, а кожна операція починається з найбільш раннього терміну, побудувати графік, який зображає потреби в персоналі на будь-який момент часу.
3. Адміністрація компанії прийняла рішення, що на виконання викладеного проекту в будь-який момент часу буде виділено не більше 9 чоловік персоналу. Опишіть, як слід виконувати проект в даних умовах за найменший час. Протягом якої кількості тижнів у виконанні проекту братимуть участь всі 9 осіб персоналу?
Операція
Опис
Безпосеред-ньо предшест-ють операції
Очікуваний час виконання, тижнів
Потреби в персоналі
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Первинні розробки Дослідження ринку
Отримання технічних
стандартів
Створення зразка
Підготовка ринкової бази
Розрахунок вартості Випробування продукту Вибірковий контроль
Оцінки ціни
Підсумковий звіт
-
-
A
A
A
C
D
B, E
H
F, G, I
5
3
2
5
3
2
4
6
2
6
3
2
2
5
3
2
5
4
1
2
Вправа 7
1 вересня кожного року адміністрація компанії з обмеженою відповідальністю "Селком" складає бюджет на наступний рік. Було встановлено, що процес складання бюджету включає в себе наступні етапи (див. таблицю).
Складання бюджету необхідно закінчити до кінця грудня, таким чином, адміністрація має періодом в 17 робочих тижнів.
Потрібно:
1. Побудувати мережевий граф, що відображає послідовність виконання етапів, включених у підготовку бюджетів. Чи можна закінчити цей процес протягом 17 тижнів?
2. Якщо б треба було скоротити час, відведений на складання бюджетів, на які етапи слід було б звернути увагу і чому?
3. Поясніть відмінність між поняттями загального, вільного і незалежного резерву часу. Доведіть, що вільний резерв часу етапу 1 дорівнює трьом тижнях, причому дві з них - це незалежний резерв часу.
Етап
Попередні етапи
Час, тижнів
А Оцінений ставок заробітної плати
У Розробка прогнозів ринку
З Визначення цін продажів
D Складання бюджету для обсягів продажів
Е Складання бюджету доходів від продажу
F Складання бюджету витрати на продаж
G Складання бюджету обсягів виробництва
Н Складання бюджету накладних витрат
I Складання бюджету трудових ресурсів
J Складання бюджету сировини
До Складання бюджету виробничих площ та обладнання
L Вироблення прогнозу загального прибутку
-
-
-
B
C, D
A, D
D
A
A, G
G
G
E, F, H, I, J, K
2
4
3
3
1
3
6
4
2
3
5
1
Вправа 8
Деякий проект включає в себе 10 операцій, тривалість і взаємозв'язку яких вказані нижче.
Тривалість операцій F і Н є невизначеною, оскільки на даній стадії її оцінка викликає деякі труднощі.
Потрібно:
1. Побудувати відповідний мережевий граф, що відображає взаємозв'язку між 10 операціями.
2. Визначити мінімальний час, потрібний для реалізації проекту, не враховуючи при цьому вплив операцій F і Н.
3. Якщо б виникла необхідність закінчити виконання проекту за 19 днів, які обмеження накладало б ця умова на тривалість операцій F і H?
4. Після проведення подальших досліджень було встановлено, що очікуваними термінами виконання операцій F і Н є два дні і один день відповідно. Крім того, можна припустити, що невизначеність у тривалості цих двох операцій можна апроксимувати за допомогою розподілу Пуассона. Виходячи з цієї інформації, знайдіть ймовірність того, що виконання проекту займе не більше 19 днів. У нижченаведеної таблиці наведені деякі значення ймовірностей, відповідні розподілу Пуассона:

Середнє значення, m
Імовірність
0
1
2
3
4 і більше
1
2
0,368
0,135
0,368
0,271
0,184
0.271
0,061
0,180
0,019
0,143


Операція
Тривалість, днів
Безпосередньо попередні операції
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
6
1
2
1
1
1
4
5
-
A
A
B
D
B
C
F, G
E, H
I
Вправа 9
Фірма "Джілет" випускає ряд засобів для догляду за волоссям і для гоління, включаючи небезпечні бритви. Її конкурент організував недавно виробництво нового виду небезпечних бритв, які за останні шість місяців придбали велику популярність на споживчому ринку, що зробило зворотний вплив на обсяги продажів фірми "Джілет". Адміністрація прийняла рішення про якнайшвидше впровадження у виробництво конкурентоспроможної продукції і доручила головному бухгалтеру скласти план розробки нового продукту і впровадження його на споживчий ринок.
Перший крок, зроблений бухгалтером при розробці цього проекту, полягав у визначенні основних завдань, які необхідно вирішити в процесі створення нового продукту. Ці завдання перераховані нижче. Він справив також оцінку часу, який займе вирішення кожного завдання, та виявив завдання, які їй передують.
1. Побудуйте мережевий граф, що відображає логічну послідовність вирішення зазначених завдань, та визначте, який період часу пройде з моменту розробки плану до налагодження серійного випуску нової продукції (можна припустити, що випуск продукції на національному рівні буде мати місце відразу ж після складання його плану).
Завдання
Час, тижнів
Попередні завдання
А Створення нової продукції
У Створення упаковки
З Підготовка виробничих потужностей
D Одержання сировини і матеріалів
Е Випуск дослідної партії продукції
F Упаковка
G Прийняття рішення про вибір пробного ринку збуту
Н Упаковка дослідної партії
I Постачання продукції на пробний ринок збуту
J Продаж продукції на пробному ринку збуту
До Оцінка результатів впровадження продукції на ринок
L Планування випуску продукції на національному рівні
8
4
4
2
3
2
1
2
3
4
3
4
-
-
A
A
C, D
B
-
E, F
H, G
I
J
K
2. Розрахуйте значення резерву часу, що відповідають кожній з некритичних операцій.
3. Час, який буде потрібно для виконання завдань А, В, D, К і L, піддається впливу невизначеності, тому для одержання найбільш вірогідних значень термінів виконання цих операцій, які наведені вище, були розроблені такі оцінки оптимістичних і песимістичних термінів:
Завдання
Оптимістичний термін, тижнів
Песимістичний термін, тижнів
A
B
D
K
L
5
2
1
2
2
13
6
4
6
8
З урахуванням наведеної вище інформації визначте очікуваний час, яке пройде до моменту серійного випуску продукції, і ймовірність того, що цей період перевищить 35 тижнів (слід ввести передумову про те, що тривалість проекту в цілому апроксимується нормальним розподілом).

2. МЕТОД прогнозного графа
Цей метод запропонований академіком В. М. Глушковим на основі узагальнення, з одного боку, згаданого вище методу Дельфи, а з іншого - методу мережевого планування і служить для визначення ймовірності настання тих чи інших подій і оцінки ймовірного їхнього настання. Практичну реалізацію він отримав в методиці, розробленої колективом авторів та затвердженої Держкомітетом з науки і техніки Ради Міністрів СРСР.
Метод пройшов перевірку при прогнозуванні розвитку широкого комплексу науково-технічних робіт в області технічних засобів систем обробки інформації.
Згідно з ним будується мережа взаємопов'язаних подій (цілей) - прогнозний граф, що служить основним матеріалом для виявлення та аналізу можливих шляхів вирішення генеральної мети науково-технічної політики в тій чи іншій області, сформульованої виходячи із загальнодержавних інтересів.
Розглянемо послідовність розробки науково-технічного програмного прогнозу за допомогою даного методу.
Перш за все, складається перелік кінцевих цілей (набір проблем або типів подій) S 1, S 2 ,...., S m, оцінка досягнення яких становить завдання прогнозу.
Всім цілям апріорно (способом, викладеним нижче) придаются ваги a 1, a 2 ,..., a k ​​у відповідності з їх відносною значимістю для досягнення генеральної мети.
Потім складається попередній список проміжних цілей S m +1, S m +2 ,..., S m + n і попередній граф їх співпідпорядкованості. Для цього експертам щодо кожної з цілей S l (l = l, 2, .., m) задається питання: вкажіть проміжні цілі S l 1, S l 2, .. ., S lnj, які було б корисно досягти для прискорення досягнення мети S l. Тут n j - означає число проміжних цілей, висунутих експертом j для вирішення мети l, причому j = 1,2, ... , S i, де k i - кількість експертів, що оцінюють мету S l. Для кожної з цілей кількість проміжних цілей дорівнює:
k l
n i = Σ n j
j = 1
З розширенням списку проміжних цілей таке ж питання задається щодо кожної з них, оскільки кожна проміжна мета в свою чергу є вихідною проблемою для проміжних цілей наступного рівня.
Визначення проміжних цілей для кожної цілі S i (i = l, 2 ,..., m, m +1 ,..., m + n) продовжується до тих пір, поки не з'являться цілі, для яких немає відповідних проміжних цілей ( або проблема вирішена, або не може бути вирішена - не видно шляхів її вирішення).
У підсумку складається попередній список проміжних цілей.
Поєднуючи стрілками кожну з проміжних цілей S l 1, S l 2, .. ., S lnj, корисних для досягнення мети S i (i = l, 2 ,..., m + n), з цією останньою метою, отримуємо попередній граф підпорядкованості. Основою побудови його служать логічні зв'язки: проміжні цілі S l 1, S l 2, .. ., S lni -> Експерт Е j (яка висунула ці проміжні цілі для вирішення мети S i) -> мета S i.
Графічно ці зв'язки зображуються у вигляді орієнтованих дуг, спрямованих від проміжних цілей до експерта (висунув ці цілі) та від експерта до відповідної проблеми.
Орієнтовані дуги графа інтерпретують роботи, а вершини графа - цілі експертів. Таким чином, попередній граф співпідпорядкованості проміжних цілей; іншими словами, безліч попередніх передумов для всіх цілей S i (i = l, 2, ..., m + n) являє собою багаторівневу ієрархічну структуру з загальним числом вершин:
M = m + n + k,
де М - загальне число вершин у графі;
m + n - число вихідних проблем і проміжних цілей;
k - кількість експертів.
На наступному етапі залучається широке колектив експертів, котрий розбивається на відносно невеликі підгрупи для оцінки кожної з цілей S 1, S 2 ,..., S m + n. Кожному з експертів, оцінюючому мета S i надсилається анкета з формулюванням цієї мети і списком всіх її попередніх передумов. З цього списку експерт повинен вибрати ті цілі, досягнення яких він вважає неодмінною умовою для досягнення мети S i (i = 1,2,..., M + n), і доповнити його відсутніми на його погляд цілями.
Назвемо сукупність всіх проміжних цілей, виставлених експертом j для мети i, передумовою ij.
Експерт оцінює час, необхідний для досягнення мети S i за умови, що всі цілі передумови ij вже досягнуті. Ця оцінка (позначимо її через t ij), як і в методі Дельфи, припускає можливість нескінченного значення, тобто мета ніколи не може бути досягнута. Зрозуміло, в цьому випадку передумова ij передбачається порожній. Крім того, експерт дає якісну оцінку своєї компетентності (стосовно до даної мети) і ступеня впевненості у своєму прогнозі. Ці оцінки переводяться у вагові коефіцієнти β ij і γ ij, твір яких β ij - γ ij = δ ij являє собою вага даного одиничного прогнозу.
Експертові пропонується також назвати прізвища кількох фахівців, яких він вважає за доцільне залучити для прогнозу по події S i (i = 1,2 ,..., m + n). Ті експерти, прізвища яких були вказані їх колегами, отримують добавку Δ β ij до самооцінки своєї власної компетентності β ij тим більшу, чим частіше згадувалися їхні прізвища. Тепер необхідно для кожної цілі S i визначити передумови з набором оцінок. Загалом це має виконуватися періодично (наприклад, один раз на півтора року).
Заповнені анкети обробляються, будується граф співпідпорядкованості цілей. Для будь-якого експерта j, оцінює мета S i, всі цілі передумови ij з'єднуються стрілками з метою S i аналогічно тому, як було описано.
Побудований граф перевіряється на відсутність циклів. Якщо в ньому виявляються петлі, то їх усувають, провівши додаткову роботу з експертами (хоча в ряді випадків можна працювати і з неусунуті петлями). Так, зрештою, виходить прогнозний граф.
Систематизуючи отриманий в результаті проведення експертизи масив вихідних даних, виявляють адекватні умови, об'єднують деякі умови в один, а також штучно заземлюють частина умов у графі, після чого початкові дані та зв'язку в графі кодуються для машинної обробки.
Аналіз прогнозного графа включає в себе:
1) пошук циклів і тупикових подій в прогнозному графі;
2) ранжування подій в прогнозному графі;
3) обчислення імовірнісних і тимчасових характеристик;
4) варіювання імовірнісних і тимчасових характеристик.
Події в прогнозному графі (тобто вершини його, з'єднані дугами) - це проблеми (вихідні і проміжні цілі) та експерти.
Граф повинен задовольняти таким умовам:
- У ньому не повинно бути подій, з яких не виходить жодного зв'язку, якщо тільки ці події не завершальні (що мають порожні передумови ij);
- У ньому не повинно бути подій, в які не входить жодного зв'язку, якщо тільки ці події не вихідні мети (проблеми);
- У ньому не повинно бути замкнутих контурів, тобто не повинно бути зв'язків, що з'єднують будь-яку подію з ним же самим;
- У ньому не повинно бути подій, що мають однакові шифри. Тому перше, що слід зробити при аналізі графа, - виявити всі помилки, допущені при його складанні.
Розглянемо порядок пошуку тупикових подій і циклів. Подія, в який не входить ні одна робота і яке не є вихідним подією для даного графа, називається тупиковим подією першого роду. Подія ж, з якого не виходить ні одна робота і яке не є кінцевим для даного графа, є тупиковим подією другого роду.
Вихідна інформація формується у вигляді деякого масиву (подія і зв'язку - роботи), потім шляхом послідовного вибору кодів зв'язку та виділення з них кодів початкових подій створюється новий масив, що містить початкові події з ознаками робіт, що виходять з цих подій. Нарешті, виділяються кінцеві події, їх включають до сформованої масив з ознаками робіт, що входять в ці події.
Після перегляду всіх зв'язків-робіт вхідної інформації сформований масив буде включати всі події графа з відповідними ознаками вхідних і вихідних зв'язків. При цьому ознаки тупикових подій першого і другого роду візьмуть, наприклад, відповідно наступний вигляд: 01 і 10. Ознакою кодів всіх нетупікових умов буде в цьому випадку сполучення 11. У результаті перегляду ознак всіх подій, записаних в сформований масив, виявляться тупикові події першого та другого роду.
Згідно з даним алгоритмом початкові і кінцеві події графа забезпечені відповідними ознаками.
Припустимо, є прогнозний граф з М вершинами і N дугами. На вершинах m = l, 2, ... , М даного графа визначається функція

1, якщо вершина належить контуру або шляху, який починається
φ (m) = на контурі;
0, у противному випадку.
Обчислюють φ (m) рекурентним чином при пoмощі послідовності
Допоміжних функцій ψ k (m) ≤ ψ k -1, m = 1,2, ..., M збіжної до φ (m): ψ k 0 (m) ≡ ψ k 0 (m) ≡ φ (m) при деякому кінцевому k 0. Будується функція ψ k (m) наступним чином.
Покладемо ψ 0 (m) ≡ 1, a ψ k -1 (m) обчислена. Обчислюємо ψ k (m) наступним чином: послідовно переглядаємо список дуг (i, j), i та j - Початок і кінець дуги. Якщо ψ k -1 (i) = 0, то переходимо до наступної дузі. В іншому випадку якщо ψ k -1 (i) = 1, то ψ k (j) = 1. Всім ψ k (m), не визначеним після повного перегляду списку дуг, приписують значення 0.
Розглянемо геометричний зміст цього рекурентного побудови. Спочатку значення ψ 1 (m) = l отримує кожна вершина, до якої входить хоча б одна дуга. Отже, ψ 1 (m) = 0 на тих вершинах, куди не входить жодна дуга. Ці вершини виключаються з подальшого розгляду, так як вони не можуть лежати на контурі або на шляху, що виходить з контура.
Граф скорочується за рахунок виключення дуг, що виходять з початкових вершин (тобто вершин, не мають що входять до них дуг). Але в ньому з'являються нові початкові вершини, оскільки з графа виключаються всі незамкнуті шляху, що виходять з початкових вершин (тобто ми підійдемо до контуру, якщо він є в графі).
Якщо φ (m) = 0 (т = 1, 2 ,..., М), то контурів у графі немає. Якщо ж φ (m) ≠ 0, то граф містить контури. У цьому випадку будується функція:
1, якщо вершина належить контуру або шляху, який починається
φ * (m) = на контурі;
0, у противному випадку.
Щоб обчислити функції φ * k, потрібно побудувати послідовність по дугах зі зворотним орієнтацією точно так само, як послідовність ψ k.
Вершини, в яких ф (т) = ф * (т) =* 1, належать одному з контурів.
Розглянемо порядок ранжирування подій у графі з метою перетворення вихідної інформації до вигляду, зручного для обчислення часових та імовірнісних характеристик. Використовуємо для цього одну з модифікацій стандартних способів ранжирування подій, що застосовуються в мережевому плануванні.
Безліч подій у графі розбивається на шари, починаючи з рівня подій, які не мають передумов i, j (так звана «земля» - події класу ko). Подія S i належить до рівня ρ, якщо всі його передумови належать меншим рівнями та хоча б одна - в точності рівню ρ - 1 (ρ = 1, 2,..., q,...), починаючи з «заземленого рівня» (клас k 0 ), q - число рівнів в графі).
Обчислення тимчасових характеристик виробляють за такою формулою:

де t (S i) - час звершення події S, графа;
t j - час звершення події S i відповідно до варіанту експерта j (j = l, 2,..., R i);
V j - вага експерта j;
R i - кількість експертів, що оцінюють подію S i в графі (i = 1, 2,..., Т + п).
Тимчасові характеристики для кожного варіанта (експерта j) визначаються так:
t j (S i) = max t (S ir) + t ij,
де t j (S i) - час реалізації проблеми S i відповідно до варіанту експерта j;
t (S ir) - час звершення висунутих експертом j умов S ir Îj передумові;
t ij - умовний час, заданий експертом;
S ir - подія, що входить до передумову i, j мети Si (r = l, 2 ,..., nj).
Аналогічно (з незначними змінами) обчислюються і вартісні характеристики.
Імовірнісні характеристики розраховують наступним чином.
1. Вірогідність звершення умов, висунутих Еj експертом при наявності значення абсолютних ймовірностей подій «заземленого рівня» (порожні ij - передумови):
Pеj (S ir) = P (S i1 Λ S i2 Λ ... Λ S inj) = p i1 · p i2 · ... · p inj,
де p i 1, p i 2, ..., p inj - абсолютні ймовірності звершення окремих умов, висунутих експертом j;
n ij - кількість умов, висунутих j-м експертом; P е j (S ir) - ймовірність виконання ij передумови.
2. P е j (S ir) - ймовірність звершення події S i аналізованого експертом j при передумові ij;
pij - Умовна ймовірність, виставлена ​​Е j експертом:
p е ​​j (S i) = p е j (S ir) pij.
3. Для всіх пар експертів визначаються умовні ймовірності:

де p (Е p / Е l) обчислюється за загальними формулами теорії ймовірностей. Наприклад:
Si = (Е 1 (S 2, S 3, S 4), Е 2 (S 3, S 4, S 5));
p (Е 1 Λ Е 2) = p ((S 2 Λ S 3 Λ S 4) Λ (S 3 Λ S 4 Λ S 5)) = p (S 2 Λ S 3 Λ S 4 Λ S 5) =
= P 2 · p 3 · p 4 · p 5;

Якщо для будь-яких пари експертів p (Е р / Е l) або р (Е l / Е р) ≥ 0,5, то проводиться усереднення ймовірностей за формулою:
V р Ú l = min (V р, V l)

(P, l = 1, 2, ..., k).
Після цього присвоюється
p (Е p), якщо p (Е p / Е l) £ р (Е l / Е р);
p (Е р Ú Е l) =
p (Е l) у противному випадку.
Зауважимо, що усереднення починається з тих пар експертів, які мають максимальне значення умовних взаємних ймовірностей (серед рівнозначних порядок байдужий).
Значення p Е р V Е l і V p V l розглядається як дані нового експерта (ймовірність і вага експерта). Оцінка p (Е р Ú Е l) служить для перенесення раніше отриманих значень умовних ймовірностей на нового експерта. Обидва первинних експерта з процедури виключаються. Якщо після проведення всіх усереднень залишається один експерт, то значення p Е р V Е l, отримане після усереднення останньої пари, присвоюється p (S i). Якщо залишається більше одного експерта, то оцінка p (S i ) Обчислюється за формулою
            r
p (S i ) = 1-П (1 - p ρ ),
            ρ = 1
де r - Число що залишилися експертів;
p ρ - Ймовірності залишилися експертів (ρ = 1, 2,..., R), що в попередніх позначеннях відповідає р Еру Е l (Не треба плутати її з оцінкою p (Е p v Е l);
p (S i ) - Ймовірність звершення події S i , Аналізованого експертами j (j = 1, 2,..., K i ).
На практиці при проведенні експертизи за методом прогнозного графа виявилося, що експертам досить важко здійснити оцінку ймовірності, тому було визнано доцільним перейти до однієї оцінці - за часом, зробивши оцінку похідною від нього.
Для кожної цілі S i (i = l, 2 ,..., т + п) знаходиться експериментальний закон розподілу ймовірності P i (t) її досягнення не пізніше, ніж на час t (Рахуючи від справжнього моменту).
З цією метою повинна бути вирішена система рівнянь

де p i (T) - закон розподілу ймовірності досягнення мети S до часу t;
p ijr (t) - закон розподілу ймовірності часу досягнення проміжних цілей S ir, що входять до ij передумови мети S i;
t ij - відносна оцінка часу звершення цілей за умови виконання ij передумов;
i = 1, 2 ,..., (m + n) (m + n - кількість подій в графі);
j = 1, 2,. . ., R i (R i - кількість експертів, що беруть участь в оцінці мети);
r = 1, 2,. .., П j j - Число проміжних цілей, що входять до передумову ij);
δ ij = β ij - γ ij - вага відповідного передбачення;
β ij - оцінка власної компетентності експерта;
γ ij - ступінь впевненості в прогнозі.
Суми в чисельнику і знаменнику поширені на всіх експертів, які брали участь в оцінці мети S i. Граф співпідпорядкованості називається правильним, якщо з цієї системи рівнянь однозначним чином можуть бути знайдені всі функції p i (T).
Так, зокрема, буде, якщо всі цілі розбиваються на непересічні класи k 0, k 1 ,..., k i таким чином, що передумови ij для мети S i з деякого класу k r (r = 0,1, ..., l) можуть складатися лише з цілей, що належать k p <p <_ r. Для класу k 0 це означає, очевидно, відсутність будь-яких передумов. Залежність p ijr (t - t ij) визначають виходячи з абсолютних оцінок ймовірності звершення, які задаються для заземлених подій (класу k 0). Дане рівняння для подій цього класу набуває форми:

де Q (x) - функція, що дорівнює нулю при негативних значеннях аргументу і рівна одиниці при нульовому або позитивному аргументі.
Член δ ij Q (t - t ij) з'являється в сумі кожного разу, коли експерт j дає оцінку часу t ij досягнення мети S i, не супроводжуючи її ніякими умовами (з порожньою передумовою ij).
Оцінки часу в прогнозах зазвичай даються лише цілими числами (днів, місяців або років). При цьому функцію розподілу p i (T) зручно задавати векторами p i (1), p i (2) ,..., p i (Τ), де τ - перше значення t ij , Для якого p i (T) досягає максимального значення (зазвичай це значення дорівнює одиниці).
Для знайдених експериментальних розподілів знаходяться звичайні статистичні характеристики: середні значення (чи медіани), середньоквадратичні відхилення (чи квартили). Так як розподіл несиметрично, у ряді випадків необхідно розглядати ліві і праві середньоквадратичні відхилення.
Середнє значення для розподілу p i (t) обчислюється за формулою

E i = Σ τ (p i (Τ) - p i (Τ - 1)),
τ = 1
Для знаходження медіани M i і відстаней від медіани до квартилей p i q i " передбачається, що між зазначеними значеннями в цілочисельних точках функції розподілу змінюються за лінійним законом.
Мірою уточнення прогнозу з якої-небудь мети S i може служити абсолютна величина приросту будь-якої заходи розкиду розподілу p i (t), наприклад його середньоквадратичного відхилення σ i. Мінімальний розкид виходить, якщо розподіл p i (t) замінити розподілом p 'i (t) = Q (t - E i), тобто таким розподілом, що p i '(t) = 0 при t < E i і p i '= 1 при t ≥ E.
Коефіцієнтом інформаційної значущості цілі S i служить величина

де D i s k - приріст, одержуване середньоквадратичним відхиленням розподілу p k (t) при заміні розподілу p i (t) на розподіл
p 'i (T) = Q (t - E t).
Сума береться по всім кінцевим цілям.
До поняття інформаційної значущості наближається поняття важливості (за строками) проміжної мети. Коефіцієнтом важливості (по термінах) цілі t називають величину

де a k - відносна вага кінцевих подій,
D i E k - приріст математичного очікування часу досягнення S k - й (кінцевої) мети за умови зсуву на одну одиницю вліво розподілу p i (t), т. тобто при заміні функції p i (t) функцією p i (t +1).
Наведені коефіцієнти мають велике значення при перекладі прогнозів у план. Планом досягнення мети є будь-який підграф прогнозного графа, побудований таким чином: перша вершина плану - мета S i ; Далі вибирається одна з передумов ij; S i 1, S i 2 ,..., S inj і для кожної з них повторюється той самий процес, що і для вершини S i, поки не перестануть виходити нові вершини. Всі побудовані таким чином вершини (крім S i) називають проміжними цілями даного плану.
Оскільки в загальному випадку мета може мати багато планами для її досягнення, то на безліч планів для досягнення будь-якої даної мети вводять поняття близькості, визначивши тим чи іншим методом відстань між планами. У роботі дається один з можливих визначень: відстань z (А 1, A 2) між двома планами А 1 і А 2 приймається рівним
z (А 1, А 2) = 1 - N 1 / N 2,
де N 1 - Число елементів у перетині множин цілей планів А 1 і А 2;
N 2 - Число елементів в їх об'єднанні.
Отримавши близькі плани, проводять повторну експертизу, спрямовану на те, щоб зробити їх повністю співпадаючими. Якщо в результаті подібних дій для якої-небудь кінцевої мети вдалося отримати єдиний план, то можна прийняти його в якості узагальненого мережевого графіка для організації фактичної роботи (досягнення даної мети).
Коли ж отримати єдиний план не вдається, виникає проблема виборів у множині активних планів. Критерієм такого вибору може послужити, наприклад, те, що переважна більшість експертів схилилося до якогось одному плану, причому між ними є й більше згоду за термінами досягнення мети. Ознакою такої згоди може служити мала величина розкиду розподілу pi (t) для кінцевої мети даного плану, обчисленого за тими передбаченнями, які вкладаються в рамки розглянутого плану.
Якщо проблему вибору вирішити не вдається, то можна здійснити частковий переклад прогнозу до плану, в якомусь сенсі найкращий з точки зору досягнення поставлених цілей. Для цього в безлічі проміжних цілей, для яких проблема вибору може бути вирішена, вибираються цілі з максимальними значеннями коефіцієнтів важливості і для них здійснюється переклад частин прогнозного графа в мережеві графіки.
Коефіцієнт інформаційної значущості необхідний для вибору тих проміжних цілей, на які в першу чергу слід звернути увагу з точки зору уточнення прогнозу. Відповідно до цього коефіцієнтом будується і вся подальша робота з експертами: збільшується, скажімо, число експертів по цілях з великої інформаційної значимістю; експертів постачають додатковою інформацією і так далі.
Основою отримання вихідних даних для проведення відповідних прогностичних розрахунків служать таблиці експертних оцінок. Їх форма повинна забезпечити найбільш швидкий і повний збір інформації. Складаються вони з кількох частин.
Перша частина містить звернення до експерта з метою ввести експерта в суть роботи, до якої він залучається. Коротко описуються мета і завдання застосовуваної методики прогнозування, роль експерта в її реалізації. Бажано, щоб експерт поставив себе у становище безпосереднього учасника подій. Слід порекомендувати експертові, не обмежуватися лише сферою своєї спеціальності, сміливо висувати пропозиції та вимоги навіть за рамками компетентності. Строго обмовляється необхідність чіткості і ясності формулювань.
Друга частина містить опис проблеми, запропонованої експерту для аналізу.
Третя представляє собою набір науково-технічних умов і оцінок, висунутих експертом. Тут же експерту пропонується назвати інших фахівців, які могли б взятися за здійснення сформульованих умов, для кожної умови окремо. Кожна умова або набір умов, висунутих експертом, оцінюється ним за кількома параметрами.
Рекомендується оцінювати такі основні параметри:
1) проміжок часу (Т) в роках від моменту виконання висунутих експертом умов до вирішення даної проблеми;
2) витрати на вирішення запропонованої проблеми без урахування витрат на здійснення умов: форма завдання оцінок витрат повинна дозволяти експертам однозначно розуміти зміст цих оцінок, що значно зменшує розкид значень експертних оцінок;
3) ступінь впевненості експерта у вирішенні прогнозованої проблеми на основі висунутих їм сприяли;
4) стадія розробки запропонованої для оцінки проблеми.
Тимчасові оцінки (1 і 4), оцінки витрат (2) служать критеріями вибору шляхів вирішення проблем. Оцінка ступеня впевненості (3) використовується як ваговий коефіцієнт при оцінці ймовірності реалізації якої-небудь проблеми до певного терміну і також служить певною мірою критерієм відбору шляхів вирішення проблем.
Конкретна прогнозна розробка визначає кількість основних і додаткових параметрів і форми їх завдання.
Експертні оцінки умов і параметрів об'єкта прогнозування служать основними вихідними даними для інформаційно-логічних та кількісних розрахунків. Крім того, експерту пропонується сформулювати організаційно-економічні умови, необхідні для вирішення проблеми, а також зауваження і окрема думка.
Опитування експертів з метою побудови прогнозного графа проводиться в кілька турів, в ході яких події та логічні зв'язки уточнюються і деталізуються.
Завдання першого туру експертизи - складання попереднього списку проміжних цілей і попереднього графа їх співпідпорядкованості для реалізації сформульованої вихідної проблеми. Експерти для вирішення цього завдання відбираються виходячи з каталогу фахівців, складеного в результаті попереднього дослідження предпрогнозной орієнтування. Цей відбір в залежності від характеру об'єкта прогнозування може проводитися як евристично, так і з залученням формальних процедур.
У результаті проведення його отримують набір умов, на основі аналізу яких складається попередній список проміжних цілей.
У процесі обробки і порівняльного аналізу додаткових даних (зарубіжних прогнозів, результатів інших методів прогнозування, наприклад екстраполяції, і т. д.) список проміжних цілей може бути розширений. Остаточна форма, в якій повинні бути представлені проміжні цілі, залежить від характеру об'єкта прогнозування. Такою формою може бути список проміжних цілей у вигляді класифікатора першого туру як один з можливих варіантів структури прогнозованого об'єкта (системи, пристрої і т. д.). У процесі формування цього списку визначаються діапазони значень характеристик для кожної з проміжних цілей.
Таким чином, результатом першого туру експертизи є граф співпідпорядкованості і список проміжних цілей. Останні служать об'єктом при проведенні експертизи другого туру.
До участі у другому турі експертизи залучається ширше коло експертів, ніж у першому: провідні фахівці у відповідних галузях науки і техніки. Ця група експертів формується на основі рекомендацій експертів початкової групи; використовуються і дані вищезгаданого каталогу фахівців.
Проведення другого туру експертизи розкриває безліч науково-технічних і організаційно-економічних умов для реалізації проміжних цілей, отриманих у результаті проведення першого туру, первинної обробки та аналізу цих умов. Складається попередній список проміжних цілей другого туру і відповідний їм граф співпідпорядкованості. Повторно звертаючись до частини експертів, уточнюють формулювання умов використання результатів інших джерел інформації. Після цього остаточно допрацьовується список проміжних цілей, які служать в свою чергу вихідним матеріалом для формулювання проблем проведення експертизи третього туру і так далі.
Ланцюжок турів триває до тих пір, поки всі висунуті експертами умови (або достатня їх кількість, наприклад 75% всієї кількості не опиняться «заземленими»), тобто умови вже виконані або для їх виконання немає необхідності проводити науково-технічні дослідження та розробки . Кількість турів експертизи визначається конкретною прогнозної розробкою.
У результаті всіх турів експертизи будується інформаційна модель вирішення вихідної проблеми, що служить основою побудови прогнозного графа. Це - мережева схема, яка відображає процес опитування експертів, тобто експерти першого туру оцінюють вихідну проблему, потім умови, висунуті ними після відповідної обробки, оцінюються як проблеми експертами другого туру і так далі до закінчення експертизи.
Щоб побудувати прогнозний граф, проводять аналіз адекватності умов, шукають цикли і безвихідь, виявляють «заземлені» умови, об'єднують декілька умов в одне. Умови обробляють як після кожного туру експертизи, так і після проведення всієї експертизи.
Після закінчення експертизи формується основний масив вихідних даних для обробки графа (набори умов і зв'язку між умовами).
Отже, прогнозний граф є мережну схему, яка відображатиме процес реалізації умов. Перший рівень його охоплює умови, що здійснені або здійснюються («заземлені»), наступний містить умови, виконання яких залежить від здійснення умов першого рівня, і так далі Самий верхній рівень - це кінцева мета, вихідна проблема.
А тепер потрібно зробити якісне дослідження прогнозного графа з метою:
а) узагальнення та аналізу містяться в ньому варіантів (альтернатив) вирішення окремих проблем;
б) оцінки висунутих умов на перспективність.
Це дослідження здійснюється групою управління прогнозної розробкою з залученням найбільш кваліфікованих фахівців. У його завдання входять:
оцінка можливих альтернатив вирішення проблеми, які важко визначити на формальному рівні;
виділення науково-технічних умов, загальних для всіх виявлених альтернатив;
виділення науково-технічних умов, специфічних для кожної окремої альтернативи;
додаток умов реалізації окремих альтернатив у випадку, якщо відомості про них з яких-небудь причин не вдалося отримати на етапах розробки прогнозу.
Для подальшого аналізу графа і прийняття рішень особливе значення має процедура виділення загальних умов в альтернативних шляхах досягнення мети прогнозування. Ці загальні умови не залежать від альтернативи і їх ще до остаточних висновків за прогнозом можна включати в план науково-дослідних висновків і дослідно-конструкторських робіт.
Для формування набору можливих варіантів, що ведуть до розв'язання вихідної проблеми на основі тимчасових, вартісних та імовірнісних характеристик і визначення показників відносної важливості та інформаційної значущості окремих науково-технічних подій з точки зору вирішення вихідної проблеми, необхідно провести кількісний аналіз прогнозного графа. Він включає в себе:
пошук циклів і тупикових умов у прогнозному графі (для первинної обробки масиву вихідних даних та підготовки його для подальшої обробки);
ранжування подій в прогнозному графі (для перекладу попередньо обробленої інформаційної моделі в прогнозний граф);
обчислення імовірнісних, тимчасових і вартісних характеристик (для визначення ймовірності звершення умов до певного терміну, мінімальних, середніх і максимальних часових і вартісних оцінок кожної умови, починаючи з початкових);
варіювання імовірнісних і тимчасових характеристик (для оцінки відносної важливості кожної умови в прогнозному графі, щоб вирішити вихідну проблему за коефіцієнтом інформаційної значущості та коефіцієнтом важливості).
Такі чотири типи питань, відповіді на які і чекають від колективу експертів.
Отримані прогнозні дані повинні бути ретельно перевірені на внутрішню несуперечливість. Зіставляючи їх з закордонними прогнозами, судимо про повноті охоплення істотних факторів і очікуваних можливостей в досліджуваній області. У результаті формується гіпотеза про прийдешню світову рівні об'єкта прогнозування (і його окремих елементів).
Отримані за допомогою якісного аналізу структурні та функціональні угруповання послідовностей рішень поєднуються з результатами кількісного аналізу прогнозного графа, здійснюється синтез варіантів науково-технічної стратегії, спрямованих на вирішення вихідної проблеми.
Синтез прогнозних даних (підсумкова формулювання гіпотез) повинен вбирати в себе досить широку гаму варіантів, що знаходяться між самою обережною і самої сміливої ​​науково-технічної стратегією, аналізуючи варіанти імовірнісних і тимчасових характеристик науково-технічних умов на прогнозному графі, враховуючи положення різних подій в системі причинно -наслідкових зв'язків і різний вплив їх на досягнення поставленої мети.

Список літератури
1. Еддоус М., Стенсфілд Р. Методи прийняття рішень / Пер. з англ. під ред. Член-кор. РАН І.І. Єлисєєвій. - М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997. - 590 с.
2. Введення в економіко-математичне моделювання. Лотів А.В. - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1984. - 392 с.
3. Економіко-математичні методи і моделі: Учеб. посібник / Н. І. Холод, А. В. Кузнєцов, Я. М. Жіхаре та ін; Під заг. Ред. А. В. Кузнєцова. 2-е вид. - Мн.: БГЕУ, 2000. - 412 с.
4. Моделювання систем, що розвиваються. Глушкова В. М., Іванов В. В., Яненко В. М. - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1993. - 350 с.

Карпов Валерій Віталійович
ПРИКЛАДНОЇ СИСТЕМНИЙ АНАЛІЗ:
МЕРЕЖЕВИЙ АНАЛІЗ і календарного планування ПРОЕКТІВ, МЕТОД прогнозного графа
Навчальний посібник
Під рекдакціей В.К. Буторіна
Вид. осіб. Серія ЛР № 020464 від 09.06.1997г.
Ліцензія видана КемГУ (650043, м. Кемерово, вул. Червона, 6)
Підписано до друку р.
Формат паперу 60х90 1 / 16. Папір писальний. Друк на різографі GR3750.
Ум. печ. л. . Тираж 500 прим. Замовлення
Новокузнецький філія-інститут
Кемеровського державного університету
654041, м. Новокузнецьк, вул. Ціолковського 15а.
Видавничий центр НФІКемГУ
Ціна договірна
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Економіко-математичне моделювання | Книга
350.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Календарне планування на виробництві
Календарне планування гр 8 Казка
Системний аналіз
Системний аналіз
Системний аналіз об`єкта
Системний аналіз безпеки
Оперативно-календарне планування з технічної підготовки нового автомобіля
Системний аналіз управлінських проблем
Системний аналіз у зовнішній політиці
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru