додати матеріал

приховати рекламу

Призма

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

Реферат з геометрії

на тему:

"Призма"

Зміст
\ T "Загол1; 1; Загол2; 2" 1. Короткий огляд розвитку геометрії .............................................. ............................. GOTOBUTTON _Toc355845835 _Toc355845835 3
1.1 Загальний історичний огляд .............................................. ........................................ GOTOBUTTON _Toc355845836 _Toc355845836 3
1.2. Про розвиток геометрії в Стародавній Греції до Евкліда ........................................ GOTOBUTTON _Toc355845837 _Toc355845837 5
2. Призма ................................................. .................................................. ......................... GOTOBUTTON _Toc355845838 _Toc355845838 10
2.1 Площа поверхні призми .............................................. ................................. GOTOBUTTON _Toc355845839 _Toc355845839 11
2.2. Призма і піраміда ............................................... .................................................. . GOTOBUTTON _Toc355845840 _Toc355845840 13
2.3. Піраміда і площа її поверхні ............................................. ..................... GOTOBUTTON _Toc355845841 _Toc355845841 15
2.4. Вимірювання обсягів ................................................ ................................................. GOTOBUTTON _Toc355845842 _Toc355845842 16
2.5. Про піраміді і її обсязі ............................................. ............................................. GOTOBUTTON _Toc355845843 _Toc355845843 17
2.6. Про призмі і паралелепіпеді .............................................. ................................... GOTOBUTTON _Toc355845844 _Toc355845844 18
2.7. Паралелепіпед ................................................. .................................................. .... GOTOBUTTON _Toc355845845 _Toc355845845 19
3. Симетрія в просторі ............................................... ......................................... GOTOBUTTON _Toc355845846 _Toc355845846 24
Призма (креслення ).............................................. .................................................. ............... GOTOBUTTON _Toc355845847 _Toc355845847 25
Завдання ................................................. .................................................. .............................. GOTOBUTTON _Toc355845848 _Toc355845848 26
Література ................................................. .................................................. ..................... GOTOBUTTON _Toc355845849 _Toc355845849 30

Визначення. Багатогранник, дві грані якого - однойменні багатокутники, що лежать у паралельних площинах, а будь-які два ребра, не лежать в цих площинах, паралельні, називається призмою.
1. Короткий огляд розвитку геометрії
1.1 Загальний історичний огляд
Перші геометричні поняття виникли в доісторичні часи. Різні форми матеріальних тіл спостерігав людина в природі: форми рослин і тварин, гір і звивин річок, кола і серпа Місяця і т. п. Однак людина не тільки пасивно спостерігав природу, але практично освоював і використовував її багатства. У процесі практичної діяльності він накопичував геометричні відомості. Матеріальні потреби спонукали людей виготовляти знаряддя праці, тесати брили каміння і будувати житла, ліпити глиняний посуд і натягувати тятиву на цибулю. Звичайно, десятки і сотні тисяч разів натягували люди свої луки виготовляли різні предмети з прямими ребрами і т. п., поки поступово дійшли до абстрактного поняття прямої лінії. Приблизно те саме можна сказати про інших основних геометричних поняттях. Практична діяльність людини служила основою тривалого процесу вироблення абстрактних понять, відкриття найпростіших геометричних залежностей і співвідношень.
Початок геометрії було покладено в давнину при вирішенні суто практичних завдань. З часом, коли накопичилася велика кількість геометричних фактів, у людей з'явилося потреба узагальнення, з'ясування залежності одних елементів від інших, встановлення логічних зв'язків і доказів. Поступово створювалася геометрична наука. Приблизно в VI - V ст. до н. е.. в Стародавній Греції в геометрії почався новий етап розвитку, що пояснюється високим рівнем, якого досягла суспільно-політичне і культурне життя в грецьких державах. Твори, що містять систематичний виклад геометрії, з'явилися в Греції ще в V до н.е., але вони були витіснені "Початками" Евкліда.
Геометричні знання приблизно в обсязі сучасного курсу середньої школи були викладені ще 2200 років тому в "Засадах" Евкліда. Звичайно, викладена в "Засадах" наука геометрія не могла бути створена одним ученим. Відомо, що Евклід у своїй роботі спирався на праці десятків попередників, серед яких були Фалес і Піфагор, Демокріт і Гіппократ, Архіт, Теетет, Евдокс та ін Ціною великих зусиль, виходячи з окремих геометричних відомостей, накопичених тисячоліттями в практичній діяльності людей, ці великі вчені зуміли протягом 3 - 4 століть привести геометричну науку до вищого ступеня досконалості. Історична заслуга Евкліда полягає в тому, що він, створюючи свої "Начала", об'єднав результати своїх попередників, упорядкував і привів в одну систему основні геометричні знання того часу. Протягом двох тисячоліть геометрія вивчалася в тому обсязі, порядку і стилі, як вона була викладена в "Засадах" Евкліда. Багато підручники елементарної геометрії в усьому світі представляли (а багато хто й досі представляють) собою лише переробку книги Евкліда. "Почала" протягом століть були настільною книгою найвидатніших учених.
У XVII ст. Декарт завдяки методу координат зробив можливим вивчення властивостей геометричних фігур за допомогою алгебри. З цього часу почала розвиватися аналітична геометрія. У XVII - XVIII ст. зароджується і розробляється диференційна геометрія, що вивчає властивості фігур за допомогою методів математичного аналізу. У XVIII-XIX ст. розвиток військової справи та архітектури призвело до розробки методів точного зображення просторових фігур на плоскому кресленні, у зв'язку з чим з'являються нарисна геометрія, наукові основи якої заклав французький математик Г. Монж, і проективна геометрія, основи якої були створені в працях французьких математиків Д. Дезарга і Б. Паскаля (XVII ст.). У її створенні найважливішу роль зіграв інший французький математик - Ж. В. Понселе (XIX ст.).
Корінний перелом в геометрії вперше провів в першій половині ХІХ ст. великий російський математик Микола Іванович Лобачевський, який створив нову, неевклідову геометрію, звану нині геометрією Лобачевського.
Відкриття Лобачевського було початком нового періоду в розвитку геометрії. За ним пішли нові відкриття німецького математика Б. Рімана і ін
В даний час геометрія тісно переплітається з багатьма іншими розділами математики. Одним з джерел розвитку та утворення нових понять у геометрії, як і в інших галузях математики, є сучасні завдання природознавства, фізики і техніки.
1.2. Про розвиток геометрії в Стародавній Греції до Евкліда
Учені й філософи Стародавньої Греції сприйняли і переробили досягнення культури і науки Стародавнього Сходу. Фалес, Піфагор, Демокріт, Евдокс та ін їздили в Єгипет і Вавілон для вивчення музики, математики та астрономії. Не випадково зачатки грецької геометричній науки пов'язані з іменем Фалеса Мілетського, засновника іонійської школи. Іонійці, що населяли територію, яка межувала зі східними країнами, першими запозичили знання Сходу і стали їх розвивати. Вчені іонійської школи вперше піддали логічній обробці і систематизували математичні відомості, запозичені у стародавніх східних народів, особливо у вавілонян. Фалесу, голові цієї школи, Прокл та інші історики приписують чимало геометричних відкриттів. Про ставлення Піфагора Самоського до геометрії Прокл пише в своєму коментарі до "Початкам" Евкліда наступне: "Він вивчав цю науку (тобто геометрію), виходячи від перших її підстав, і намагався отримувати теореми за допомогою суто логічного мислення". Прокл приписує Піфагору, крім відомої теореми про квадраті гіпотенузи, ще побудова п'ятьох правильних багатогранників:
1) тетраедр, який має 4 грані, 4 вершини, 6 ребер (мал.);
2) куб - 6 граней, 8 вершин, 12 ребер (мал.);
3) октаедр - 8 граней, 6 вершин, 12 ребер (мал.);
4) додекаедр - 12 граней, 20 вершин, 30 ребер (мал.);
5) ікосаедр - 20 граней, 12 вершин, 30 ребер (мал.).
Грані додекаедра є правильними п'ятикутниками. Діагоналі ж правильного п'ятикутника утворюють так званий зірчастий п'ятикутник (мал.) - фігуру, яка служила емблемою, розпізнавальним знаком для учнів Піфагора. Відомо, що піфагорейський союз був одночасно філософською школою, політичною партією і релігійним братством. Згідно з легендою, один піфагорієць захворів на чужині і не міг перед смертю розплатитися з доглядають його господарем будинку. Останній намалював на стіні свого будинку зірчастий п'ятикутник. Побачивши через кілька років цей знак, інший мандрівний піфагорієць довідався про те, що трапилося у господаря і щедро винагородив його.

Достовірних відомостей про життя та наукової діяльності Піфагора не збереглося. Йому приписується створення вчення про подібність фігур. Він, ймовірно, був серед перших учених, які розглядали геометрію не як практичну і прикладну дисципліну, а як абстрактну логічну науку.
У школі Піфагора було відкрито існування несумірних величин, тобто таких, відношення між якими неможливо виразити ніяким цілим чи дробовим числом. Прикладом може служити відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони, рівне Ц2. Число це не є раціональним (тобто цілим або відношенням двох цілих чисел) і називається ірраціональним, тобто нераціональним (від латинського ratio - відношення).
Піфагорійці не знали інших чисел, крім раціональних. Побудувавши діагональ квадрата, сторона якого дорівнює 1, вони констатували, що вона не може бути виражена ніяким числом, тому що для них не було інших чисел, крім цілих і дробових. Цей факт привів у велике збентеження піфагорійців, так як в основі їхньої філософії лежало поняття про число як основу всіх речей і явищ природи. Але ось ця велика основа - число - не в змозі висловити довжини простого відрізка в простій фігурі - діагоналі квадрата. Ось чому відкриття несумірних величин було великим ударом по вченню Піфагора і піфагорійці довго його тримали в суворій таємниці. Згідно з переказами, учень Піфагора, який розкрив публічно цю таємницю, був покараний богами і загинув під час аварії корабля. Відкриття несумірних величин було важливим поворотним пунктом у розвитку античної математики. Дізнавшись, що існують відносини величин, що не виражаються ніякими раціональними числами, давньогрецькі вчені стали представляти величини не арифметично, а геометрично, не числами, а відрізками. Таким чином, виникла геометрична алгебра, а потім і теорія відносин Евдокса.

2. Призма
Розглянемо довільний багатокутник, наприклад, п'ятикутник АВСD (див. креслення на стор 25), який лежить в площині a. Розглянемо тепер паралельний перенос, який визначається деяким ненульовим вектором V, не лежать в площині. Образом площині a буде паралельна їй площину b. Образом багатокутника Ф буде багатокутник Ф1 = A 1 B 1 C 1 D 1 E 1, що лежить в площині b. Спрямовані відрізки AA 1, BB 1 будуть паралельні, тому що кожний з них зображує один і той же вектор V. Багатогранник ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 називають призмою.
Визначення 1. Багатогранник, дві грані якого - однойменні багатокутники, що лежать у паралельних площинах, а будь-які два ребра, не лежать в цих площинах, паралельні, називається призмою.
Багатокутники Ф і Ф1, що лежать у паралельних площинах, називають підставами призми, а інші грані - бічними гранями.
Поверхня призми, таким чином, складається з двох рівних багатокутників (підстав) і паралелограма (бічних граней). Розрізняють призми трикутні, чотирикутні, п'ятикутні і т.д. в залежності від числа вершин підстави.

Якщо бічне ребро призми перпендикулярно площини її основи, то таку призму називають прямою; якщо бічне ребро призми перпендикулярно площини її основи, то таку призму називають похилій. У прямий призми бічні грані - прямокутники. Перпендикуляр до площин підстав, кінці якого належать цим площинам, називають висотою призми. На рис. відрізок A 1 O - висота зображеної призми.
Визначення 2. Пряма призма, основою якої служить правильний багатокутник, називається правильною призмою.
Бічне ребро прямої призми, в тому числі і правильної, тобто її висота. На малюнку зображено правильна шестикутна призма та її розверстка; висота цієї призми дорівнює її бічного ребра. Відрізок, кінці якого - дві вершини, які не належать одній грані призми, називають її діагоналлю. Відрізок B 1 D (див. рис.) - Діагональ призми. Перетин призми з площиною, що проходить через два бічних ребра, які не лежать в одній грані, називають діагональним перерізом призми.
2.1 Площа поверхні призми
Поверхня багатогранника складається з кінцевого числа багатокутників (граней). Площа поверхні багатогранника є сума площ усіх його граней. Площа поверхні призм (S пр) дорівнює сумі площ її бічних граней (площі бічної поверхні S бік) та площ двох підстав (2 S осн) - рівних багатокутників: S пр = S бік +2 S осн.
Теорема. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра її перпендикулярного перетину і довжини бічного ребра.
Дано: АС 1 - довільна n-вугільна призма (на малюнку в Як приклад зображена чотирикутна призма), a ^ AA 1,   A 2 B 2 C 2 D 2 - перпендикулярний переріз (перетин призми площиною, перпендикулярної бічному ребру), l - довжина бічного ребра.
Довести: S-пліч = Р Чl, де Р - периметр перпендикулярного перетину.
Доказ. S пліч = S AA 1 B 1 B + S BB 1 C 1 C + S CC 1 D 1 D + ...
1444442444443
                                                           n доданків
Кожна бічна грань призми - паралелограм, основа якого - бічне ребро призми, а висота - сторона перпендикулярного перетину.
Тому
S-пліч = lA 2 B 2 + lB 2 C 2 + lC 2 D 2 +...=( A 2 B 2 + B 2 C 2 + C 2 D 2 +...) l = P Чl.
S-пліч = Р Чl.
Теорема доведена.

Слідство. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її заснування і висоти.
Дійсно, у прямої призми підставу можна розглядати як перпендикулярний переріз, а бічне ребро є висота.
2.2. Призма і піраміда
Подібно до того, як трикутник у розумінні Евкліда не є порожнім, тобто являє собою частину площини, обмежену трьома неконкурентними (тобто не пересічними в одній точці) відрізками, так і багатогранник у нього не порожній, не порожній, а чим -то заповнений (по-нашому - частиною простору). В античній математиці, однак, поняття абстрактного простору ще не було. Евклід визначає призму як тілесну фігуру, укладену між двома рівними і паралельними площинами (підставами) і з бічними гранями - паралелограм. Для того щоб це визначення було цілком коректним, слід було б, однак, довести, що площині, що проходять через пари непаралельних сторін підстав, перетинаються по паралельним прямим. Евклід вживає термін "площину" як у широкому сенсі (розглядаючи її необмежено продовженою в усі напрямки), так і в сенсі кінцевої, обмеженій її частини, зокрема межі, подібне до використання їм терміну "пряма" (в широкому сенсі - нескінченна пряма і в вузькому - відрізок). У XVIII ст. Тейлор дав таке визначення призми: це багатогранник, у якого всі грані, крім двох, паралельні одній прямій.
Піраміду Евклід визначає як тілесну фігуру, обмежену площинами, які від однієї площини (підстави) сходяться в одній точці (вершині). Его визначення піддавалося критиці вже в давнину, наприклад, Героном, що запропонував таке визначення піраміди: це фігура, обмежена трикутниками, що сходяться в одній точці, і підставою якої служить багатокутник.
Найважливішим недоліком цього визначення є використання невизначеного поняття підстави. Тейлор визначив піраміду як багатогранник, у якого всі грані, крім однієї, сходяться в одній точці. Лежандр в "Елементах геометрії" так визначає піраміду: "Тілесна фігура, утворена трикутниками, що сходяться в одній точці і закінчується на різних сторонах плоского підстави". Після цього формулювання роз'яснюється поняття підстави. Визначення Лежандра є явно надмірною, тобто містить ознаки, які можна вивести з інших. А ось ще одне визначення, яке фігурувало в підручниках ХІХ ст.: Піраміда - тілесний кут, пересічений площиною.
Ще в давнину існували два шляхи визначення геометричних понять. Перший вів від фігур вищого порядку до фігур нижчого. Такої точки зору дотримувався, зокрема, Евклід, визначає поверхню як кордон тіла, лінію - як кордон поверхні, кінці ж лінії - як точки. Другий шлях веде, навпаки, від фігур нижчого вимірювання до фігур вищого: рухом точки утворюється лінія, аналогічно з ліній складається поверхню і т. д. Одним з перших, який з'єднав обидві ці точки зору, був Герон Олександрійський, який писав, що тіло обмежується поверхнею і разом з цим може бути розглянуто як утворене рухом поверхні. У з'явилися пізніше протягом століть підручниках геометрії приймалася за основу то одна, то інша, а іноді і обидві разом точки зору.
2.3. Піраміда і площа її поверхні
Визначення. Багатогранник, одна з граней якого - багатокутник, а інші грані - трикутники із загальною вершиною, називається пірамідою.
На малюнку зображені п'ятикутна піраміда SABCDE і її розгортка. Трикутники, що мають спільну вершину, називають бічними гранями піраміди; загальну вершину бічних граней - вершиною піраміди; багатокутник, якому не належить ця вершина, - підставою піраміди; ребра піраміди, які сходяться в її вершині, - бічними ребрами бенкету-
МЗС. Висота піраміди - це відрізок перпендикуляра, проведеного через її вершину до площини підстави, з кінцями у вершині і на площині основи піраміди. На малюнку відрізок SO - висота піраміди.
Визначення. Піраміда, основа якої - правильний багатокутник і вершина проектується в його центр, називається правильною.
На малюнку зображено правильна шестикутна піраміда.
2.4. Вимірювання обсягів
Обсяги зернових комор та інших споруд у вигляді кубів, призм і циліндрів єгиптяни і вавилоняни, китайці та індійці обчислювали шляхом множення площі основи на висоту. Однак древньому Сходу були відомі в основному лише окремі правила, знайдені дослідним шляхом, якими користувалися для знаходження обсягів для площ фігур. У більш пізній час, коли геометрія сформувалась як наука, був знайдений загальний підхід до обчислення обсягів багатогранників.
Серед чудових грецьких вчених V - IV ст. до н.е., які розробляли теорію обсягів, були Демокріт з Абдери і Евдокс Кнідський.
Евклід не застосовує терміна "обсяг". Для нього термін "куб", наприклад, означає і обсяг куба. В ХI книзі "Почав" викладені серед інших і теореми наступного змісту.
1. Паралелепіпеди з однаковими висотами і рівновеликими основами рівновеликі.
2. Ставлення обсягів двох паралелепіпедів з рівними висотами дорівнює відношенню площ їх підстав.
3. У рівновеликих паралелепіпедах площі підстав обернено пропорційні висот.
Теореми Евкліда відносяться тільки до порівняння обсягів, оскільки безпосереднє обчислення об'ємів тіл Евклід, ймовірно, вважав справою практичних посібників з геометрії. У творах прикладного характеру Герона Олександрійського є правила для обчислень об'єму куба, призми, паралелепіпеда і інших просторових фігур.
2.5. Про піраміді і її обсязі
Термін "піраміда" запозичений з грецької "піраміс" або "пірамідос". Греки в свою чергу запозичили це слово, як вважають, з єгипетської мови. У папірусі Рінда зустрічається слово "пірамус" в сенсі ребра правильної піраміди. Інші вважають, що термін бере свій початок від форм хлібців в Стародавній Греції "пірос" - жито). У зв'язку з тим, що форма полум'я іноді нагадує образ піраміди, деякі середньовічні вчені вважали, що термін походить грецького слова "бенкет" - вогонь. Ось чому в деяких підручниках геометрії XVI ст. піраміда названа "огнеформное тіло".
У Стародавньому Єгипті гробниці фараонів мали форму пірамід. У III тисячолітті до н.е. єгиптяни споруджували ступінчасті піраміди, складені з кам'яних блоків, пізніше єгипетські піраміди придбали геометрично правильну форму, наприклад піраміда Хеопса, висота якої сягає майже 147 м, та ін Всередині пірамід знаходилися поховальні склепи і коридори.
Згідно Архімед, ще в V до н.е. Демокріт з Абдери встановив, що об'єм піраміди дорівнює одній третини обсягу призми з тим же підставою і тієї ж заввишки. Повне доведення цієї теореми дав Евдокс Кнідський в IV до н.е.
У "Началах" Евкліда доводиться, що в рівновеликих пірамідах площі підстав обернено пропорційні відповідним висот. Перше безпосереднє обчислення об'єму піраміди, що дійшло до нас, зустрічається у Герона Олександрійського.
Цікаво відзначити, що в давніх документах зустрічаються правила для визначення обсягу усіченої піраміди, о ні правил обчислення обсягу повної піраміди. У "Московському папірусі" є завдання, озаглавлена ​​"Дії з усіченою пірамідою", в якій викладається вірне обчислення обсягу однієї усіченої піраміди. У вавилонських клинописних табличках також не зустрічається обчислення об'єму піраміди, але зате в них є багато прикладів обчислення об'єму усіченої піраміди.
2.6. Про призмі і паралелепіпеді
У пам'ятках вавілонської і староєгипетської архітектури зустрічаються такі геометричні фігури, як куб, паралелепіпед, призма. Найважливішим завданням єгипетської та вавілонської геометрії було визначення обсягу різних просторових фігур. Це завдання відповідала необхідності будувати будинки, палаци, храми та інші споруди.
Частина геометрії, в якій вивчаються властивості куба, призми, паралелепіпеда та інших геометричних тіл і просторових фігур, здавна називається стереометрії; Слово це грецького походження ("стереос" - просторовий, "метрео" - вимірюю) і зустрічається ще у знаменитого давньогрецького філософа Аристотеля. Стереометрія виникла пізніше, ніж планіметрія. Евклід дає наступне визначення призми: "Призма є тілесна (тобто просторова) постать, укладена між площинами, з яких дві протилежні рівні і паралельні, решта ж - паралелограми". Тут, як і в багатьох інших місцях, Евклід вживає термін " площину "не в сенсі безмежно продовженої площині, а в сенсі обмеженою її частини, межі, подібно до того як" пряма "означає в нього і відрізок прямої.
Термін "призма" грецького походження і буквально означає "відпиляної" (тіло).
Термін "паралелепіпедна тіло" зустрічається вперше у Евкліда і означає дослівно "Паралель-площинне тіло". Грецьке слово "кубос" вживається Евклідом в тому ж сенсі, що і наше слово "куб"
2.7. Паралелепіпед
Визначення. Призма, основа якої - паралелограм, називається паралелепіпедом.
Відповідно до визначення паралелепіпед - це чотирикутна призма, всі грані якої - паралелограми (мал.). Паралелепіпеди, як і призми, можуть бути прямими і похилими. На малюнку зображено похилий паралелепіпед, а на малюнку - прямий паралелепіпед.
Прямий паралелепіпед, підставою якого служить прямокутник, називають прямокутним паралелепіпедом. У прямокутного паралелепіпеда всі грані - прямокутники. Моделями прямокутного паралелепіпеда служать класна кімната, цегла, сірникова коробка.

Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають загальний кінець, називають його вимірами. Наприклад, є сірникові коробки з вимірами 15, 35, 50 мм. Куб - прямокутний паралелепіпед з рівними вимірами. Всі шість граней куба - рівні квадрати.
Розглянемо деякі властивості паралелепіпеда.
Теорема. Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
Дано: АС 1 (мал.) - довільний паралелепіпед, В 1 D - його діагональ, точка О - середина цієї діагоналі.
Довести: Z 0 (AC 1) = AC 1.
Доказ. Розглянемо центральну симетрію Z 0 з центром в точці О. Центральна симетрія - переміщення (зберігає відстані), що відображає кожен промінь на протилежний йому промінь. Тому
B 1 = Z 0 (D), B 1 C 1 = Z 0 (DA), DA = B 1 C 1, C 1 = Z 0 (A).
Аналогічно можна показати, що точки D 1 і В, А 1 і С також центрально-симетричні. Таким чином, симетрія відображає поверхню паралелепіпеда на себе. Середина паралелепіпеда також відображає на себе (паралелепіпед можна розглядати як перетин напівпровідників
просторів, утворених площинами його граней, а переміщення відображає перетин фігур на перетин їх образів).
Таким чином, центральна симетрія Z 0 відображає паралелепіпед на себе: Z0 (AC1) = AC1. Теорема доведена.
З теореми безпосередньо випливають важливі властивості паралелепіпеда:
1. Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею навпіл; зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
Так, на малюнку A 1 O = OC, B 1 O = OD, D 1 O = OB, AO = OC 1, а також MO = ON, де M `A 1 B 1 C 1 D 1, N` ABCD, O `MN.
2. Противолежащие грані паралелепіпеда паралельні і рівні.
Так, на малюнку AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C, (AA 1 D 1) П (BB 1 C 1).
Розглянутими властивостями володіє довільний паралелепіпед. Доведемо одна властивість прямокутного паралелепіпеда.
Теорема. Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадрата трьох його вимірів.
Дано: АС 1 - прямокутний паралелепіпед, ч AB ч = a, ч AD ч = b, ч AA 1ч = c - його вимірювання, ч AC 1ч = d - довжина його діагоналі.
Довести: d 2 = a 2 + b 2 + c 2.
Доказ. Введемо систему координат так, як показано на малюнку, прийнявши за її початок вершину А, за довільний базис трійку векторів V, b, c. Тоді вектор AC має координати (a; b; c), і, отже,
є
ч AC ч 2 = d 2 = a 2 + b 2 + c 2.
Теорема доведена.

3. Симетрія в просторі
Теорема, в якій стверджується, що всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці О, в якій вони діляться навпіл (рис), нагадує аналогічну пропозицію з планіметрії: діагоналі паралелограма перетинаються в точці О, що є їх серединою (мал.). Точка О - це центр симетрії паралелограма. Аналогічно називають і точку Про центром симетрії паралелепіпеда, так як вершини А і С 1, В і D 1, С і А 1, D і В 1 симетричні відносно точки О. Вперше поняття центру симетрії зустрічається у ХVI ст. в одній з теорем Клавіуса, яка говорить: якщо паралелепіпед розтинають площиною, що проходить через центр, то він розбивається навпіл і, навпаки, якщо паралелепіпед розтинають навпіл, то площина проходить через центр. Лежандр, який вперше ввів в елементарну геометрію елементи вчення про симетрії, говорить тільки про симетрії відносно площини і дає наступне визначення: дві точки A і B симетричні відносно площини a, якщо остання перпендикулярна до АВ в середині цього відрізка. Лежандр показує, що у прямого паралелепіпеда є 3 площині симетрії, перпендикулярні до ребер, а у куба 9 площин симетрії, з яких 3 перпендикулярні до ребер, а інші 6 проходять через діагоналі граней.

Призма

Завдання

Література
1. Глейзер Г.Д. Геометрія. Навчальний посібник для старших класів. М., Просвітництво, 1994.
2. Погорєлов А.В. Геометрія. Навчальний посібник для 7-11 класів. М., Просвітництво, 1992.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат | 55,3кб. | скачати

Схожі роботи:
Призма і паралелепіпед
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru