додати матеріал


Похідна диференціал і інтеграл

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Контрольна робота
з вищої математики
Зміст:

1. Межі послідовностей і функцій. 2
2. Похідна і диференціал. 3
3 Геометричні викладу і диференційовані обчислення (побудова графіків) 4
4. Невизначений інтеграл. 7
5. Визначений інтеграл. 9
6. Функції декількох змінних, диференційованих числень. 11
Література. 12

1. Межі послідовностей і функцій

Числовою послідовністю називається числова функція, визначена на множині натуральних чисел. Поставити числову послідовність означає задати закон, за яким можна визначити значення будь-якого члена послідовності, знаючи його порядковий номер п; для цього достатньо знати вираз загального або п-го члена послідовності у вигляді функції його номера: .
В основі всіх положень математичного аналізу лежить поняття межі числової послідовності. Число А називається границею числової послідовності , Якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа e існує такий номер , Що залежить від обраного e, починаючи з якого всі члени послідовності відрізняються від А по модулю менше, ніж на e, тобто
при .
Якщо послідовність має межу А, то вона називається збіжної (до числа А) і цей факт записують наступним чином:
.
Нехай функція визначена в деякому околі точки . Виберемо в деякій околиці цієї точки яку-небудь послідовність сходящуюся до точки : . Значення функції у вибраних точках утворюють послідовність , І можна ставити питання про існування межі цієї послідовності.
Число А називається границею функції в точці , Якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу, відмінних від , Відповідна послідовність значень функції збігається до числа А, т. е.
.
Можливо інше визначення границі функції в точці: число А називається межею функції при , Якщо для будь-якого позитивного числа e можна вказати інше позитивне число d (залежне від вибору e) таке, що абсолютна величина різниці буде менше e, коли абсолютна величина різниці буде менше , Але більше нуля
, Якщо при .
Таким чином, перше визначення границі функції засноване на понятті межі числової послідовності, і його називають визначенням на «мові послідовностей». Друге визначення носить назву «мовою ».
Крім поняття границі функції в точці, існує також поняття границі функції при прагненні аргументу до нескінченності: число А називається межею функції при , Якщо для будь-якого числа існує таке число d, що при всіх справедливо нерівність : .
Теореми про межі функцій є базою для загальних правил знаходження границь функції. Можна показати, що арифметичні операції над функціями, які мають межу в точці , Призводять до функцій, також мають межу в цій точці.
Приклади
Знайти межа функції
Рішення: Маємо невизначеність виду . Для її розкриття розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на загальний множник , Який при не дорівнює нулю. У результаті невизначеність буде розкрита.

2. Похідна і диференціал

Нехай функція визначена в деякому околі точки .
Похідною функції в точці називається границя відношення , Коли (Якщо ця межа існує). Похідна функції в точці позначається
.
Наприклад, вираз слід розуміти як похідну функції в точці .
Визначення похідної можна записати у вигляді формули
. (4.1)
Межа (4.1) може не існувати. У цьому випадку говорять, що функція не має похідної в точці . Якщо межа (4.1) дорівнює , То говорять, що функція має в точці нескінченну похідну.
У різних завданнях (у тому числі й економічних) похідна функції інтерпретується як швидкість зміни величини y щодо x. Геометричний зміст похідної полягає в тому, що - Це тангенс кута нахилу дотичної до графіка в точці .
Знаходження похідної функції називається диференціюванням цієї функції. Якщо функція в точці х має кінцеву похідну, то функція називається диференційованою в цій точці.
Зазначимо правила диференціювання, які зводять обчислення похідних одних функцій до обчислення похідних інших (більш простих) функцій.
Якщо функції диференційовні в точці , То сума, різниця, твір і приватне цих функцій також диференційовні в точці , І справедливі такі формули
.
Якщо функція має обернену функцію і в точці похідна , То зворотна функція диференційована в точці і або .
Якщо функція диференційована в точці і , То складна функція також диференціюється в і вірна наступна формула
або .
Приклад.
Знайти похідну функції
Рішення:

3 Геометричні викладу і диференційовані обчислення (побудова графіків)

Функція , Визначена в усіх точках проміжку , Називається зростаючою (спадною) в цьому проміжку, якщо для будь-яких двох значень аргументу, що належать цьому проміжку, більшого з них відповідає більше (менше) значення функції, тобто,
якщо то при
- Зростаюча, - Спадна.
З даного визначення випливає, що для зростаючої функції приріст аргументу і функції має один і той же знак, в силу чого їх ставлення позитивно: . Для спадної функції ці прирости мають різні знаки, в силу чого . Ті значення аргументу, при яких функція досягає своїх найбільших і найменших в порівнянні з близькими значень, називаються точками максимуму і мінімуму (точками екстремуму).
Точка називається точкою максимуму (мінімуму) безперервної функції , А значення називається максимумом (мінімумом) цієї функції, якщо існує деяка околиця точки така, що значення функції в будь-якій точці цієї околиці буде менше (більше), ніж її значення в самій точці , Тобто менше (більше), ніж максимум (мінімум) (Рис. 1).
у max у
min
f (х 0) f (х 0)
Про х 0 - d х 0 х 0 + d х Про х 0 - d х 0 х 0 + d х
точка максимуму
точка мінімуму
Рис. 1
З визначень точок екстремуму слід, що поза d-околі точки екстремуму поведінку функції довільно, тобто поняття максимуму і мінімуму функції носять характер локальних (місцевих), а не абсолютних понять.
Щоб встановити ознаки зростання і спадання і ознаки екстремуму функцій, розглянемо ряд важливих теорем математичного аналізу, на які спираються всі подальші дослідження функцій.
Рекомендується дослідження функцій проводити в певній послідовності.
1. Знайти область визначення функції; точки розриву та їх характер; вертикальні асимптоти графіка.
2. Визначити можливий тип симетрії функції (парність, непарність функції); точки перетину графіка функції з осями координат, тобто вирішити рівняння і .
3. Знайти похилі і горизонтальні асимптоти графіка функції.
4. Використовувати першу похідну для визначення області зростання та спадання і екстремумів функції.
5. Використовувати другу похідну для визначення ділянок опуклості і угнутості графіка і точок перегину.
6. Побудувати графік функції з урахуванням проведеного дослідження.
Приклад. Провести повне дослідження функції

Рішення:
Проведемо повне дослідження функції, використовуючи наступну схему:
  1. знайти область визначення функції;
  2. досліджувати на парність і непарність функцію;
  3. знайти точки розриву функції;
  4. знайти асимптоти (вертикальні, похилі і горизонтальні) графіка функції;
  5. знайти точки перетину графіка функції з координатними осями;
  6. дослідити функцію на монотонність (вказавши інтервали зростання і зменшення) і екстремум;
  7. визначити інтервали опуклості і угнутості графіка функції, точки перегину;
  8. при необхідності обчислити значення функції у додаткових точках;
  9. побудувати схематично графік функції, використовуючи результати отримані в пунктах 1-8.
Областю визначення функції є безліч .
Так як і , То функція не є ні парною, ні непарною.
Функція зазнає розрив у точці .
Знайдемо асимптоти графіків функції:
а). Пряма є вертикальною асимптотой, тому що
,
б). Знаходимо похилі і горизонтальні асимптоти (горизонтальні асимптоти є окремим випадком похилих асимптот) ,
де ;

Таким чином, пряма є єдиною похилій асимптотой і на , І на .
Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат.
а) З віссю : , , Тобто точка перетину з віссю - .
б) З віссю : , , Тобто точка перетину з віссю - .
6. Досліджуємо функцію на зростання, спадання і екстремум. Для цього знайдемо похідну функції.

З отримуємо , Звідки , .
+ _ +
______________________________________ X
-3 11
Так як на інтервалах і похідна позитивна, тобто , То графік функції на вказаних інтервалах зростає. Так як на інтервалі похідна негативна, тобто , То на зазначеному інтервалі графік функції убуває.
Так як при переході через точки , похідна функції змінює знаки і ці точки входять в область визначення функції, то , - Точки локального екстремуму. Причому точка локального мінімуму: (Так як при переході через неї похідна змінює знак з "+" на "-"); - Точка локального максимуму: (Так як при переході через неї похідна змінює знак з "-" на "+").
7. Досліджуємо графік функції на опуклість, увігнутість і визначимо точки перегину. Для цього знайдемо другу похідну функції.

Очевидно, що в інтервалі друга похідна менше нуля, тобто , І в цьому інтервалі графік функції є опуклим вгору. В інтервалі друга похідна більше нуля, тобто , І в цьому інтервалі графік функції є опуклим донизу (увігнутим).
Незважаючи на те, що при переході через точку друга похідна змінює знак, вона не є точкою перегину, так як не входить в область визначення функції, тобто функція в ній не визначена. Таким чином, точок перегину у графіка функції немає.
З отримуємо , Звідки , .
+ _ +
______________________________________ X
-3 11
Так як на інтервалах і похідна позитивна, тобто , То графік функції на вказаних інтервалах зростає. Так як на інтервалі похідна негативна, тобто , То на зазначеному інтервалі графік функції убуває.
Так як при переході через точки , похідна функції змінює знаки і ці точки входять в область визначення функції, то , - Точки локального екстремуму. Причому точка локального мінімуму: (Так як при переході через неї похідна змінює знак з "+" на "-"); - Точка локального максимуму: (Так як при переході через неї похідна змінює знак з "-" на "+").

4. Невизначений інтеграл

Часто виникає завдання, зворотній тій, яка вирішувалася в диференціальному численні, а саме: дана функція , Знайти функцію , Таку, що .
Функція називається первообразной для даної функції на деякому проміжку Х, якщо для будь-якого виконується рівність
.
Наприклад, нехай , Тоді за первісну можна взяти , Оскільки .
В основі інтегрального числення лежить теорема про загальному вигляді первообразной: якщо - Первообразная для функції на проміжку Х, то все Первісні для функції мають вигляд , Де С - довільна постійна.
Вираз виду описує всі Первісні для функції . Дійсно, для будь-якої постійної З
.
Нехай поряд з даною первообразной функція - Також первообразная для . Тоді повинні виконуватися рівності
,
звідки . Отже, різниця цих первісних буде тотожно дорівнює константі або .
Дія знаходження первісної називається інтегруванням функції.
Доведена теорема дозволяє ввести основне поняття інтегрального числення: якщо - Первообразная для , То сукупність функцій , Де С - довільна стала, називається невизначеним інтегралом від функції , Який позначається наступним чином
.
Геометрично невизначений інтеграл представляє собою сімейство плоских кривих , Званих інтегральними.
Для того, щоб перевірити, чи правильно виконано інтегрування, треба взяти похідну від результату і переконатися, що отримана підінтегральна функція . Як всяка зворотна операція, інтегрування - більш складна дія, ніж диференціювання.
Наведемо основні властивості невизначеного інтеграла:
1. похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції
;
2. невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від доданків функцій
;
3. постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла
.
Значення інтегралів від основних елементарних функцій виходять з формул диференціювання цих функцій. Наведемо таблицю основних інтегралів:
1) ;
7) ;
2) ;
8) ;
3) ;
9) ;
4) ;
10)
5) ;
11) ;
6) ;
12) .
Інтеграли, що містяться в цій таблиці, називаються табличними.
Приклад. Знайти невизначений інтеграл. Результат інтегрування перевірити диференціюванням

Рішення: Для знаходження невизначених інтегралів можна скористатися як методом заміни змінної, так і методом внесення під знак диференціала. Покажемо обидва методи.
1. Скористаємося методом заміни змінної. Введемо нову змінну t за формулою . Тоді або . Тоді

Після заміни змінної скористалися властивістю невизначеного інтеграла: постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла, і так як , То прийшли до табличного інтегралу , Де і .
2. Вирішимо цей приклад методом внесення під знак диференціала. Помічаючи, що і те, що Фундаментальний вираз можна представити у вигляді
,
внесемо під знак диференціала . Для цього випишемо диференціал цієї функції . Тоді

Після внесення під знак диференціала функції прийшли до табличного інтегралу , Де і .
3. Результат інтегрування перевіримо диференціюванням. Для цього знайдемо похідну

Таким чином, похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, отже, інтеграл від даної функції знайдений, вірно.

5. Визначений інтеграл

Визначення певного інтеграла. Нехай функція задана на відрізку [а, b]. Розіб'ємо відрізок [а, b] на п довільних частин точками
.
Точки, що розділяють відрізок [а, b] на часткові відрізки довжиною , Називаються точками розбиття. Усередині кожного часткового відрізка виберемо довільну точку . Створюємо суму творів
,
звану інтегральною сумою для функції на відрізку [а, b]. Геометричний сенс величини s зображений на рис. 2 .. Це сума площ прямокутників з підставами і висотами .
При цьому числа a і b називаються відповідно нижньою і верхньою межами, вираз - Фундаментальний вираз, - Подинтегральной функцією.
Визначений інтеграл чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої вертикальними прямими при , Віссю Ох та графіком невід'ємної і безперервного функції . У цьому полягає його геометричний зміст.
Якщо припустити, що - Продуктивність праці в момент t, то буде чисельно дорівнює обсягу виробленої продукції за проміжок , Тобто певного інтегралу можна надати економічний сенс.
у
У
М i

m i
А
Про х 0 = а х i х i +1 b = х n х

Рис. 2
Межа інтегральної суми при прагненні до нуля, що не залежить від способу вибору точок і точок , Називається визначеним інтегралом від функції на [а, b] і позначається

Визначений інтеграл має ряд властивостей, аналогічних властивостям невизначеного інтеграла:
1) постійний множник можна виносити за знак інтеграла;
2) інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій (властивість лінійності).
Крім того, визначеному інтегралу притаманні властивості, що не мають аналогів в теорії невизначених інтегралів:
3) інтеграл від постійної величини дорівнює цій постійній, помноженої на довжину відрізка інтегрування
;
4) при зміні місцями меж інтегрування інтеграл змінює лише знак
;
5) інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю
;
6) для будь-яких чисел а, b і c має місце рівність
.
Приклад. Обчислити визначений інтеграл з точністю до двох знаків після коми

Рішення:
Скористаємося методом заміни змінної. Введемо нову змінну t за формулою . Тоді або . Здійснимо перерахунок меж інтегрування, використовуючи вигляд заміни. Підставимо нижня межа інтегрування старої змінної у вираз і знайдемо нижня межа інтегрування нової змінної . Аналогічно, підставляючи верхня межа інтегрування старої змінної , Знайдемо верхня межа інтегрування нової змінної . Тоді

6. Функції декількох змінних, диференційованих числень

До цих пір розглядалися функції однієї змінної х. У разі залежності параметрів якогось процесу або явища від багатьох факторів вводиться поняття функції декількох змінних.
Нехай кожному набору значень n змінних величин з множини M, званих незалежними змінними, з якого-небудь закону ставиться у відповідність деяке число z, зване залежної змінної. Тоді кажуть, що задана функція кількох змінних .

z                             
y
O
x
M
Рис. 3
Функція однієї змінної зображується на площині у вигляді лінії. У випадку двох змінних область визначення M функції являє собою деяку множину точок на координатній площині Про xy і тоді графіком функції є деяка поверхню (рис. 3).
Наведемо приклади функцій кількох змінних.
1. Функція виду , Де - Постійні числа, називається лінійною або гиперплоскостью -Мірному просторі.
2. Функція виду , Де - Постійні числа, називається квадратичною формою від змінних .
При розгляді функцій в n-мірному просторі широко використовується геометричний мову, хоча буквальне розуміння геометричних термінів можливо тільки при п = 2 і п = 3.
Далі для наочності будемо розглядати функції двох змінних ( ), Хоча практично всі поняття і теореми, сформульовані для , Переносяться на випадок . Основні поняття математичного аналізу, введені для функції однієї змінної, переносяться на випадок двох змінних. Так, число А називається межею функції в точці , Якщо для будь-якого числа можна знайти число таке, що для всіх точок з d-околі точки М виконується нерівність . Для позначення межі функції в точці використовується символіка
.
Околом точки називається коло, що мiстить точку М.
У випадку функції двох змінних аргумент може прагнути до граничної точці з різних напрямків на площині, тому слід говорити про межі функції в точці вздовж певних ліній.
Функція називається безперервної в точці , Якщо межа функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто . Геометричний сенс безперервності функції при очевидний: графік функції являє собою в точці безперервності суцільну поверхню в деякому околі цієї точки.
Приклад. Знайти екстремум функції двох змінних z = x 2 + y 2, x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].

Рішення.
Необхідна умова екстремуму = 2х = 0, = 2у = 0, звідки координати стаціонарної точки (х ст, біля ст) = (0, 0).
Другі похідні А = = 2; В = = 0; С = = 2. Так як AC - B 2 = 4> 0, то в точці (0, 0) - локальний мінімум.
Значення функції в точці мінімуму z (0, 0) = 0.

Література:

  1. Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. - М.: Джангар, 2000. - 864 с.
  2. Гордон В.А., Шмаркова Л.І. Короткий курс математики / Навчальний посібник. - Орел: ОрелГТУ, 2000. - 96 с.
  3. Демидович Б.П. Збірник завдань і вправ з математичного аналізу: М.: Наука, 1972.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
101.5кб. | скачати


Схожі роботи:
Диференціал функції його геометричний зміст Лінеаризація функції Диференціал складної функції
Похідна Фреше та похідна Гато
Диференціал 5
Електричний диференціал
Задачі геометричного і фізичного характеру що приводять до диференціальних рівнянь Диференціал
Похідна 5
Марш і похідна охорона 2
Похідна за напрямом Градієнт
Марш і похідна охорона
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru