додати матеріал


Перпендикуляр

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Хід уроку.
Діяльність вчителя
Діяльність учня
- Ми завершили вивчення великої теми курсу стереометрії «Перпендикулярність прямих і площин». Як ця тема у нас з'явилася?

- Добре. У планіметрії ми вивчали перпендикулярність прямих. А які об'єкти можуть бути перпендикулярні у просторі?
- Так! Тому і тема називається «Перпендикулярність прямих і площин».
- У планіметрії ми розглядали різні випадки розташування двох прямих щодо наявності у них спільних точок, зокрема перпендикулярність прямих. За аналогією з вивченням теми «Паралельність прямих і площин», ми припустили, що аналогічні поняття можна ввести і в стереометрії.
- Перпендикулярно в просторі можуть бути дві прямі, пряма і площина, дві площини.
- Що ж ми вивчали в темі «Перпендикулярність прямих і площин»?
- А які завдання вирішували?
- Ви бачите, який це великий матеріал, скільки в ньому різних теорем, задач. На його розгляд ми витратили 14 уроків. Що нам треба зробити тепер?
- А що означає привести знання в систему?
- Правильно. А як буде звучати тема сьогоднішнього уроку?
- Добре. Цілі ми вже сформулювали. Запишемо тему.
-Визначення перпендикулярності різних об'єктів, доводили ознаки і властивості перпендикулярності, способи знаходження відстаней і кутів між прямими, прямою і площиною, площинами.
- Доводили перпендикулярність об'єктів, знаходили відповідні відстані і кути.
- Привести отримані знання та вміння в систему і підготуватися до контрольної роботи.
- Виділити основні поняття, встановити взаємозв'язок між ними, а також виділити основні типи завдань і методи їх вирішення.
- Перпендикулярність прямих і площин.
- Перпендикулярність яких об'єктів ми вивчили?
- Будемо працювати з таблицею.
<Відкриває заголовок таблиці 1>
- Отже, в темі ми виділили три блоки, пов'язані з перпендикулярно. Згадаймо, визначення перпендикулярності кожної пари об'єктів і виділимо спосіб докази перпендикулярності кожної пари. Які прямі називаються перпендикулярними?
- Як можуть бути розташовані перпендикулярні прямі в просторі? <Відкриває відповідний малюнок>
- Який теоретичний факт, пов'язаний з перпендикулярно прямих ми вивчали?
- Сформулюйте її. <Відкриває рисунок>
- Поговоримо про перпендикулярність прямої і площини. Почнемо з визначення.
<Відкриває рисунок>
- У цій частині було доведено багато теорем, подумайте, які теореми ви б віднесли до неї. Називайте і формулюйте їх.
<Відкриває відповідні малюнки>
- У цю частину ми віднесемо теорему про три перпендикуляри і зворотну до неї.
А як ви думаєте чому?
-Молодець! Розглянемо останню частину. Які дві площини називаються перпендикулярними?
-Які факти можна віднести в цю частину?
- Правильно. Отже, тема «Перпендикулярність прямих і площин» з'явилася за аналогією з темою «Перпендикулярність прямих на площині». Я нагадаю вам, що багато визначення та теореми ви формулювали самі по аналогії з відомими визначеннями в планіметрії або узагальнюючи їх - замінюючи прямі на площині, промені на півплощині. При доведенні теорем в кожному наступному блоці використовувалися теореми попереднього блоку <показує стовпці> і теоретичні положення теми «Паралельність прямих і площин». Однак і перпендикулярність працює на паралельність - ми отримали нові властивості і ознаки паралельності прямих і паралельності площин. Подивіться на малюнки 7 і 8. Наприклад, сформулюйте ознака паралельності прямих по малюнку 7.
-Добре. Продовжите пропозицію: «Дві прямі в просторі перпендикулярні, якщо ...».
<Аналогічна робота проводиться для решти двох випадків>
- Перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин.
- Дві прямі в просторі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90 0.
- Вони можуть перетинатися і схрещуватися.
- Лема про перпендикулярність двох паралельних прямих третьою.
<Формулюють>
- Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.
- Ознака перпендикулярності прямої і площини <формулює>.
- Теорема про зв'язок між паралельними прямих і їх перпендикулярно до площини <формулює>.
- Теорема про зв'язок між паралельними двох площин і їх перпендикулярно до прямої <формулює>.
- Тому що вона доводиться за допомогою визначення прямої перпендикулярної до площини.
- Дві площини, що перетинаються називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90 0.
-Ознака перпендикулярності двох площин.
- Дві прямі в просторі паралельні, якщо вони перпендикулярні деякій площині.
Дві прямі в просторі перпендикулярні, якщо
- Одна з них перпендикулярна деякої прямої, а інша їй паралельна;
- Одна з них перпендикулярна деякій площині, а інша лежить у цій площині;
- Одна з них є похилій до деякої площини, а інша лежить у цій площині і перпендикулярна проекції першої прямої.
<Учні формулюють наступні евристики:
Пряма і площина в просторі перпендикулярні, якщо
- Пряма перпендикулярна двом пересічним прямим, які лежать в цій площині;
- Пряма паралельна деякої іншої прямої, перпендикулярної даній площині;
- Дана площина паралельна деякої іншої площини, перпендикулярної даної прямої.
Дві площини перпендикулярні, якщо одна з цих площин містить пряму, перпендикулярну другій площині. >
-Давайте тепер попрацюємо із завданням. Розглянемо наступну конфігурацію: дано рівносторонній трикутник АВС, через середину Про боку АВ проведено перпендикуляр ОD до площини АВС, побудовані відрізки DА, DВ, DС, ОС. Запишемо що дано. Завдання 1: знайдіть пари перпендикулярних прямих, прямої і площини, двох площин, виділіть теоретичний базис докази.
- Працюємо в парах. Перший ряд шукає пари перпендикулярних прямих, другий - перпендикулярних прямої і площини, третій ряд - пари перпендикулярних площин. Даю вам 5 хвилин.
- Почнемо з першого ряду. Робіть записи в зошиті. <Записи на дошці робить учень>
-Добре. Послухаємо тепер другий ряд.
-Третій ряд, будь ласка.
<Працюють>
<Учні називають по одній знайденої парі по черзі, називаючи те положення, яке використовували>
- DO ^ AB (DO ^ ABC, значить, за визначенням прямий, перпендикулярної площини, DO, зокрема, перпендикулярно АВ)
- DO ^ AC, DO ^ BC (аналогічно)
- DC ^ AB (по лемі, теоремі про три перпендикуляри, лемі).
-DO ^ ABC (за умовою).
-AB ^ COD, CO ^ ADB (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).
-DAB ^ ABC (за ознакою перпендикулярності площин)
-DOC ^ ABC (за ознакою перпендикулярності площин)
-DOC ^ ADB (за ознакою перпендикулярності площин).
- Ми знаємо, що вивчена тема дозволяє ввести метричні характеристики простору: відстані між об'єктами і кути між ними.
Давайте повторимо, як визначаються відстані між різними фігурами. <Відкриває заголовок: «Відстані у просторі»>
<Учитель відкриває по черзі кожен малюнок в таблиці>
-Що називається відстанню від точки до прямої?
-Які ще відстані можете назвати?
- Згадайте, як ми вирішували задачі про знаходження відстаней.
- Тобто рішення таких задач зводилося завжди до вирішення трикутників, тому відзначимо це у таблиці.
- Тепер згадаємо, які кути ми розглядали. <Відкриває заголовок: «Кути в просторі»>
- Опишіть це поняття.
<Відкриває відповідний малюнок>
- Які ще кути ви знаєте?
- Рішення задач на знаходження кутів теж зводиться до вирішення трикутників.
- Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, проведеного від цієї точки до даної прямої.
- Від точки до площини. Це довжина перпендикуляра, проведеного виданої точки до даної площини.
- Відстань між паралельними прямими. Це відстань від довільної точки однієї прямої до іншого.
- Між паралельними прямою і площиною. Це відстань від довільної точки прямої до площини.
- Між паралельними площинами - відстань від довільної точки однієї з площин до іншої.
- Між перехресними прямими-відстань між однією з цих прямих і площиною, проведеною через іншу пряму паралельно першою.
- Спочатку ми будували відрізок, довжина якого дорівнює шуканого відстані. Потім включали його в трикутник.
- Кут між прямими.
- Якщо прямі перетинаються, то кутом між ними називається найменший з кутів, утворених при їх перетині. Якщо прямі схрещуються, то треба провести прямі, паралельні даними через довільні точки простору і шукати кут між ними.
- Кут між прямою і площиною, що перетинає цю пряму і не перпендикулярну до неї - це кут між прямою та її проекцією на цю площину.
- І кут між площинами - це найменший двогранний кут, утворений при їх перетині.
- Повернемося до задачі. Знайдіть кути нахилу прямих DA, DB, DC до площини ABC. Будемо використовувати той же малюнок. Дві хвилини вам на роздуми.
- Почнемо з першого завдання.
- Як обчислювати кут ми тільки поговоримо, а обчислення зробите будинку. Продовжуй.
-Другий ряд, будь ласка.
-І останній кут?
-Вирішимо будинку.
-Наступне завдання. Знайдіть відстані від т. D до пл. АВС, від С до АDВ, від А до dос. Працюємо по рядах і по тому ж малюнку.
-Дуже добре! Тепер знайдіть відстані від точки D до прямих АВ, ВС, АС.
Це завдання будемо вирішувати на новому малюнку.
-Отже, почнемо.
-Далі. Перш ніж обчислювати, потрібно правильно побудувати шуканий відрізок. Нехай хто-небудь вийде до дошки і побудує його.
- Ми не знаємо як зобразити перпендикуляр з точки D до прямої НД У якій ще площині розташована пряма ВС?
- Чим є шукана пряма по відношенню до цієї площини?
- Тобто пряма ПС повинно бути перпендикулярна до похилої. Що це означає?
- А через яку точку пройде проекція похилої?
- Значить потрібно спочатку зобразити перпендикуляр з точки О до прямої НД Чи можемо ми це зробити?
- А якщо б ми і про трикутник АВС нічого не знали, то як би зобразили перпендикуляр з точки D до прямої ВС?
- Як знайти DК?
- Як знайти відстань від D до АС? Побудуйте його на дошці.
- Знайдіть лінійні кути двогранних кутів при ребрах АС і ВС. Це завдання № 7.
- Назвіть їх і доведіть.
-Як їх знайти?
- Так як ОD ^ АВС, то АТ - проекція похилої АD на площину АВС, отже ÐDАО - кут між DА і АВС.
- Його можна знайти з прямокутного трикутника АОD: DО дано, а АТ дорівнює половині АВ.
-Кут між DВ і АВС - це ÐDВО.
-Кут між DС і АВС - це ÐDСО.
- Так як DО - перпендикуляр, проведений з точки D до площини АВС, то DО - шукане відстань.
- Ми доводили, що СО ^ DАВ, значить СО-відстань від С до DАВ.
-АВ ^ dос, то АТ-відстань від А до dос.
Так як DО перпендикулярно АВ, то DО - відстань між D і прямої АВ.
-АВС.
- Похилої.
- Вона повинна бути перпендикулярною до проекції.
- Через точку О, так як вона проекція точки D.
- Так. Спочатку побудуємо перпендикуляр до ЗС, що проходить через точку А. Нехай М-середина ВС, тоді АМ - медіана правильного ΔАВС, а, отже, і висота. Проведемо ОК паралельно АМ, тоді ОК ^ ВС, і ОК-проекція DК на АВС. При цьому DК ^ ВС (по теоремі про три перпендикуляри). Тому DК-відстань від точки D до прямої НД
- Довільно.
- Його можна знайти з трикутника DОК. DО відомо, ОК дорівнює половині АМ, так як ОК - середня лінія ΔАМВ.
- Аналогічно, причому DL одно DК.
- Вони вже побудовані.
- ÐDКО - лінійний кут двогранного кута при ребрі ПС (за визначенням), так як ОК перпендикулярна ВС і DК перпендикулярна НД Аналогічно, ÐDLО - лінійний кут двогранного кута при ребрі АС.
- Наприклад, ÐDКО можна знайти з прямокутного трикутника DОК. А кут DLO дорівнює куту DКО.
- Це всі завдання, які ми планували вирішити на уроці.
- А тепер підіб'ємо підсумки сьогоднішньої роботи. Ми говорили про поняття перпендикулярності у просторі. Сказали, що перпендикулярними можуть бути дві прямі, пряма і площина, дві площини.
- Які типи завдань нами були розглянуті?
-Як ви думаєте яке значення має дана тема в курсі стереометрії?
-На доказ перпендикулярності об'єктів, завдання на знаходження відстані від точки до прямої, від точки до площини, завдання на знаходження кутів між прямою і площиною, між площинами.
-Дозволяє ввести метричні характеристики простору, тобто визначення кутів і відстаней між основними фігурами.
- Що ви тепер умієте робити?
- Необхідно пам'ятати, що кожне побудова потрібно обгрунтувати перш, ніж проводити обчислення.
- Ми вміємо доводити перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин; вирішувати основні завдання на обчислення відстаней і кутів, як щось знаходити відстань від точки до прямої і від точки до площини, знаходити кути між прямою і площиною, між площинами.
Будинки оформити рішення останньої задачі і підготуватися до контрольної роботи.

Відстані в просторі (Таблиця 1)
Від точки до прямої
Між паралельними прямими
Від точки до площини
Між паралель - них прямою і площиною
Між паралельними площинами
Між перехресними прямими


AM ^ α

AM ^ α

AM ^ β

AM ^ β
Рішення трикутників
Кути в просторі
Між прямими
Між похилій до площини і площиною
Між площинами

0 ° ≤ 90 °

0 ° <90 °

0 ° ≤ 90 °
Рішення трикутників

Перпендикулярність прямих і площин
Перпендикулярні
прямі
Перпендикулярні пряма і площина
Перпендикулярні
площині


Записи на дошці і в зошитах
Перпендикулярність прямих і площин

Дано: ΔАВС - рівносторонній,
О - середина АВ,
ОD ^ АВС.
АВ = 6см, ОD = 3см.
1. Знайти пари перпендикулярних прямих.
Рішення.
а) DO ^ AB, DO ^ AC, DO ^ BC (за визначенням прямий, перпендикулярної площині).
б) DC ^ AB (по лемі, теоремі про три перпендикуляри, лемі).
2. Знайти пари перпендикулярних прямої і площини.
Рішення.
а) DO ^ ABC (за умовою).
б) AB ^ COD, CO ^ ADB (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).
3. Знайти пари двох площин.
Рішення.
DAB ^ ABC, DOC ^ АВС, DOC ^ ADB (за ознакою перпендикулярності площин).
4.Найті кути між DA, DB, DC та площиною ABC.
Рішення.
Так як ОD ^ АВС, то АТ - проекція похилої АD на площину АВС, отже ÐDАО - кут між DА і АВС.
5. Знайдіть відстані від т. D до площини АВС, від С до D А В, від А до D ОС.
6. Знайдіть відстані від точки D до прямих АВ, ВС, АС.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Лекція
44.7кб. | скачати

© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru