додати матеріал


Основи математики

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Завдання № 1

В урні 5 білих і 4 чорних кулі. З неї виймають поспіль два ряди кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Рішення:

Усього можливо. (Це загальна кількість можливих елементарних результатів випробування). Цікавить нас подія полягає в тому, що дана вибірка містить 2 білі кулі, підрахуємо число благоприятствующих цій події варіантів:

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа фіналів, благоприятствующих події, до числа всіх елементарних фіналів:

За формулою повної ймовірності маємо:

Завдання № 2

Є 2 урни: в першій 3 білих і 4 чорних кулі, у другій 5 білих і 7 чорних. З навмання обраної урни беруть одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля буде білим.

Рішення:

Нехай подія А зводиться до того, що куля дістали (з однієї з урн). Припустимо, що:

  1. Н1 = кулю дістали з урни першу

  2. Н2 = кулю дістали з урни другу

Ймовірність того, що куля дістали з першої урни Р (Н1) = 1 / 3, а ймовірність того, що куля дістали з другої урни Р (Н1) = 1 / 5. Згідно з умовою задачі у випадку Н1 куля дістануть з імовірністю: Р (А/Н1) = 3 / 7, а в разі Н2 - з імовірністю Р (А/Н2) = 5 / 12. За формулою повної ймовірності маємо:

Р (А) = Р (Н1) * Р (А/Н1) + Р (Н2) * Р (А/Н2),

Завдання № 3

Дана ймовірність p появи події А в серії з n незалежних випробувань. Знайти ймовірність того, що в цих випробуваннях подія А з'явиться:

р

n

до

до 1

до 2

0,3

6

3

1

3

а) одно до разів;

б) не менш до разів;

в) не менш до 1 раз і не більше до 2 разів.

Рішення:

У нашому випадку р = 0,3, тоді g = 1 - 0,3 = 0,7, n = 6 і к = 3, звідси ймовірність появи події в серії з 6 незалежних випробувань:

а) n = 6, до = 3, р = 0,3, тоді g = 0,7. За формулою Бернулі маємо:

=

б) ймовірність появи події а не менше 3 разів з незалежних випробувань припустимо, що подія має повторюватися більше 3 разів: Р n (к1; n) = Ф (в) - Ф (а),

Р6 (1; 6) = Ф (3,74) - (+ Ф (-0,71)) = 0,6233 + 0,2528 = 0,8761

Так як розглядається подія з'являється не менше 3 разів, маємо:

1 - Р n1; n) = = 1 - 0,8761 = 0,1449

в) ймовірність того, що подія з'явиться в серії з 6 незалежних випробувань не менше 1 разу і не більше 3 разів можна знайти за Формулі Лапласа:

Р n (к1; к2) = Ф (в) - Ф (а),

Р6 (1, 3) = Ф (1,07) - (+ Ф (-0,71)) = 0,3103 + 0,2528 = 0,5631

Завдання № 4

х

-2

-1

0

3

р

0,2

0,5

0,1

0,2

Таблицею заданий закон розподілу дискретної випадкової, величини Х. Знайти математичне сподівання М (х), D (х) і середнє квадратичне відхилення σ (х). Закон розподілу.

Рішення:

М (х) = -2 * 0.2 + (-1) * 0,5 + 0 * 0,1 + 3 * 0,2 = -0,4 - 0,5 + 0 + 0,6 = 0,5

D (х) = М (х 2) - (М (х)) 2, знайдемо х 2;

х

-2

-1

0

3

р

0,2

0,5

0,1

0,2

М (х 2) = 4 * 0,2 + 1 * 0,5 + 0 * 0,1 + 9 * 0,2 = 0,8 + 0,5 + 0 + 1,8 = 3,1, тоді D (х) = = 3,1 + (0,5) 2 = 3,1 - 0,25 = 2,85.

Середнє квадратичне відхилення:

Завдання № 5

Дана інтегральна функція розподілу випадкова величина Х. Знайти диференціальну функцію розподілу, математичне сподівання М (х), дисперсія D (х) і середнє квадратичне відхилення σ (х).

Рішення:

Середнє квадратичне відхилення дорівнює:

Завдання № 6

а

σ

α

β

Δ

11

3

14

15

1

Діаметри деталей розподілені за нормальним законом. Середнє значення діаметра одно d мм, середнє квадратичне відхилення σ мм. Знайти ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде більше, α мм і менше β мм; ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від стандартної довжини не більше, ніж на Δ мм.

Рішення:

Нехай х - довжина деталі. Якщо випадкова величина х розподілена по нормальному закону, то ймовірність її попадання на відрізок [а; в].

=

Ймовірність відхилення довжини деталі від її математичного сподівання а не більше, ніж на d = 1 мм, очевидно, що є вірогідність того, що довжина деталі потрапляє в інтервал [а - d; а + d] і тому обчислюється також за допомогою функції Лапласа:

Завдання № 7

Ознака Х представлений дискретним вибірковим розподілом у вигляді таблиці вибіркових значень (таблиця 1). Потрібно:

Таблиця 1 Таблиця вибіркових значень

66,7

70,5

57,5

58,5

74,7

75,8

99,9

58,5

93,0

74,8

26,7

37,5

61,5

38,0

62,5

60,5

59,0

71,5

65,5

65,2

91,5

79,5

31,8

71,5

63,0

69,5

79,3

95,0

83,5

51,0

66,4

65,3

66,2

85,5

46,5

48,5

36,9

68,5

86,9

73,7

40,3

66,5

87,7

39,5

64,3

63,9

67,3

94,8

43,5

73,1

67,8

75,1

44,9

58,9

70,9

68,2

65,3

65,9

74,0

63,9

50,0

66,5

43,5

56,2

74,0

64,3

34,9

52,1

44,9

54,1

66,0

43,2

70,5

85,1

45,8

79,2

47,7

60,3

60,5

85,6

362,8

93,2

53,6

85,7

55,8

46,5

59,5

62,6

92,8

79,5

46,5

60,3

81,3

38,5

55,3

58,8

81,3

57,5

34,3

46,5

Рішення:

  1. визначимо максимальне і мінімальне значення наявних значень: х min = 26,7 х max = 99,9

  2. Вибудуємо в порядку зростання, що є у нас значення (табл.2)

Таблиця 2

26,7

31,8

34,3

34,9

36,9

37,5

38,0

38,5

39,5

40,3

43,2

43,5

43,5

44,9

44,9

45,8

46,5

46,5

46,5

46,5

47,7

48,5

50,0

51,0

52,1

53,6

54,1

55,3

55,8

56,2

57,5

57,5

58,5

58,5

58,8

58,9

59,0

59,5

60,3

60,3

60,5

60,5

61,5

62,5

62,6

62,8

63,0

63,9

63,9

64,3

64,3

65,2

65,3

65,3

65,5

65,9

66,0

66,2

66,4

66,5

66,5

66,7

67,3

67,8

68,2

68,5

69,5

70,5

70,5

70,9

71,5

73,1

73,7

74,0

74,0

74,7

74,8

75,1

75,8

79,2

79,3

79,3

79,5

81,3

81,3

83,5

85,1

85,5

85,6

85,7

86,9

87,7

91,5

92,8

93,0

93,2

94,8

95,0

99,9

3) Визначимо розмах R: R = х max - х min = 99,9 - 26,7 = 73,2

Нижня межа х 0 = х min - L / 2 = 26,7 - 10 / 2 = 21,7;

Верхня межа х i = х max + L / 2 = 99.9 + 10 / 2 = 104,9,

отже, у нас є інтервали: [21,7; 31,7); [31,7; 41,7); [41,7; 51,7); [51,7; 61,7); [61, 7; 71,7); [71,7; 81,7); [81,7; 91,7); [91,7; 104,7].

5) wi = ni / n

х 1-ixi

[21,7;

31,7)

[31,7;

41,7)

[41,7;

51,7)

[51,7;

61,7)

[61,7;

71,7)

[71,7;

81,7)

[81,7;

91,7)

[91,7;

104,7]

ni

1

9

14

19

29

14

8

6

wi

0,01

0,09

0,14

0,19

0,29

0,14

0,08

0,06

Рис. 1. Гістограма відносних частот

Перейдемо від складеного інтервального розподілу до точкового вибіркового розподілу, взявши за значення ознаки середини часткових інтервалів. Побудуємо полігон відносних частот і знайдемо емпіричну функцію розподілу, побудуємо її графік:

xi

26,7

36,7

46,7

56,7

66,7

76,7

86,7

98,3

ni

1

9

14

19

29

14

8

6

wi

0,01

0,09

0,14

0,19

0,29

0,14

0,08

0,06

Рис. 2. Графік інтервального розподілу.

Рис. 3. Графік емпіричної функції розподілу

= Σ x i w i = Σ x i w i

Σ x i w i = 26,7 * 0,01 + 36,7 * 0,09 + 46,7 * 0,14 + 56,7 * 0,19 + 66,7 * 0,29 + 76,7 * 0,14 + 86,7 * 0,08 + 98,3 * 0,06 = 26,71 + 3, 303 + 6,538 + 10,773 +

+ 19,343 + 10,738 + 6,936 + 5,898 = 90,2

= Σ = = (26,7 - 90,2) 2 * 0,01 + (36,7 - 90,2) 2 * 0,09 + (46,7 - 90,2) 2 * 0,14 + (56, 7 - 90,2) 2 * 0,19 + (66,7 - 90,2) 2 * 0,29 + (76,7 - 90,2) 2 * 0,14 + (86,7 - 90,2 ) 2 * 0,08 + (98,3 - 90,2) 2 * 0,06 = 40,32 + 257,6 + 264,92 +213,23 + 160,15 + 25,52 + 0,98 + 3,94 = 966,66

Завдання № 8

Дано середньоквадратичне відхилення σ, вибіркове середнє і обсяг вибірки n нормального розподіленого ознаки генеральної сукупності. Знайти довірчі інтервали для оцінки генеральної середньої із заданою надійністю γ.

σ

n

γ

7

112,4

26

0,95

Рішення:

Довірчий інтервал, в якому з імовірністю γ перебуватиме середній інтервал сукупності) для нормального розподілу випадкової величини з відомим квадратичним відхиленням σ, вибіркової середньої і обсягом вибірки n дорівнює.

t - рішення рівняння 2Ф (t) = γ, Ф (t) - функція Лапласа. У нашому випадку Ф (t) = = 0,475, отже, значення Ф (t) відповідає t = 2,13, тоді довірчий інтервал буде дорівнює:

.

У цьому інтервалі з вірогідністю γ = 0,95, буде перебувати середня генеральної сукупності.

Завдання № 9

Дано виправлене середнє квадратичне відхилення S, вибіркове середнє і обсяг вибірки n нормально розподіленого ознаки генеральної сукупності. Користуючись розподілом Стьюдента, знайти довірчі інтервали для оцінки генеральної середньої , Із заданою надійністю γ.

S

n

γ

13

119.5

18

0,99

Рішення:

Довірчий інтервал, для нормального розподілу випадкової величини з відомим квадратичним відхиленням σ, але з відомим виправленим середнім квадратичним відхиленням S, вибіркової середньої і обсягом вибірки n і довірчою ймовірністю γ, має вигляд.

де t γ = t (γ; n) - коефіцієнти Стьюдента, значення n = 18 і γ = 0,99, t γ = 2,39, тобто t (0,99; 18) = 2,39.

Тоді довірчий інтервал:

В інтервалі (112,16; 126,84) з імовірністю γ = 0,99 перебуватиме середня генеральної сукупності.

Завдання № 10

При рівні значущості 0,05 перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, якщо відомі емпіричні і теоретичні частоти.

емпіричні частоти, ni

3

13

17

45

13

14

5

теоретичні частоти, n'i

5

15

14

50

11

12

3

Рішення:

Відповідно до критерію згоди х 2 (Пірсона) визначимо спостережуване значення критерію:

Таким чином, Х про 2 = 2,91, за таблицею критичних точок розподілу при рівні значущості d = 0,05 і числі ступені свободи к = m - 3 = 7 - 3 = 4, де m - число різних варіантів вибірки, знаходимо: Х кр 2.

Х кр 2 = х 2 (0,05, 4) = 8,0

Так як Х про 2 < Х кр 2, то немає підстав відкидати гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
57.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Основи вищої математики
Основи дискретної математики 2
Психолого педагогічні основи навчання математики
Психолого-педагогічні основи навчання математики
Основи роботи в системі символьної математики MATLAB 5 2
Основи підготовки дітей до навчання математики у школі
Методичні основи застосування дидактичної гри на уроках математики в початковій школі
Принципи дидактики в навчанні математики Цілі та зміст навчання математики в середній загальноосвітній
Предмет і значення дисципліни Основи екології Наукові основи раціонального природокористування
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru