додати матеріал


Оптимізаційні моделі міжгалузевого балансу

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст:
Зміст .. 2
Введення .. 3
§ 1. ЗАГАЛЬНА лінійних оптимізаційних моделей .. 4
Побудова моделі. 4
Оптимальні оцінки і аналіз оптимального плану. 6
Вплив зміни обмежень. 8
Включення в оптимальний план додаткових виробничих способів. 12
§ 2. Оптимізаційна модель НА ОСНОВІ МАТРИЦІ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ .. 14
Модель міжгалузевого балансу як окремий випадок оптимізаційних моделей. 14
Графік оптимізаційної моделі. 16
Оптимізаційна модель міжгалузевого балансу продукції і виробничих потужностей. 17
§ 3. Оптимізаційні МІЖГАЛУЗЕВІ МОДЕЛІ З ВИРОБНИЧИМИ СПОСОБАМИ .. 24
Теорема 1. При позитивному векторі кінцевої продукції Y 0> 0 виробляються всі продукти і кожен продукт виробляється тільки одним способом. 25
Теорема 2. Базис оптимального плану, а отже, і вибір «кращих» способів залишаються постійними при будь-яких змінах позитивного вектора Y 0. 27
Другий варіант моделі (максимізація кінцевої продукції в заданому асортименті при обмежених трудових ресурсах). 29
Варіанти моделі з різними умовами максимізації кінцевої продукції. 31
§ 4. Розширені Оптимізаційні МІЖГАЛУЗЕВІ МОДЕЛІ 34
Висновок .. 42

Введення:
У даному рефераті розглянуті проблеми побудови та використання оптимізаційних моделей міжгалузевого балансу.
Аналізувалися в даному рефераті оптимізаційні міжгалузеві моделі характеризуються двома специфічними властивостями. По-перше, в оптимальний план включається тільки по одному способу для кожного виробленого виду продукції незалежно від того, яка кількість способів вводиться в умови завдання. По-друге, обсяги і структура використовуваної кінцевої продукції не мають жодного впливу на вибір виробничих засобів і визначення суспільно необхідних витрат на виробництво продукції.
Хоча виявлені властивості створюють значні зручності при проведенні оптимізаційних розрахунків та аналізі оптимальних рішень, вони не є адекватним відображенням властивостей реальної економіки. Дані властивості моделей обумовлені тим, що вибір виробничих способів здійснюється з позицій найбільш ефективного використання тільки одного обмеженого ресурсу - праці. Рішення, одержувані за допомогою розглянутих моделей, повинні інтерпретуватися як умовно-оптимальні, тобто отримані в припущенні, що трудові ресурси є єдиним дефіцитним ресурсом в народному господарстві. Ці умовно-оптимальні рішення повинні потім коректуватися з урахуванням використання інших обмежених ресурсів.

§ 1. ЗАГАЛЬНА лінійних оптимізаційних моделей
Лінійна оптимізаційна модель загального вигляду вперше була сформульована і досліджена Л. В. Канторовичем. Вона отримала назву основного завдання виробничого планування. Дана модель є окремим випадком абстрактної моделі оптимального планування народного господарства, в якій цільова функція і всі обмеження є лінійними.
. Ивод: кніе: зайві ускладнення моделі (9.________________________________________________________________________________________________ Побудова моделі.
У народному господарстві є безліч виробничих способів ψ Î N; x ψ   - Інтенсивність застосування способу ψ; А = s ψ) - вектор виробничого способу ψ, компоненти якого означають випуск продукції і витрати ресурсів при одиничній інтенсивності його застосування. Всі безліч інгредієнтів s   Î М розбивається на дві підмножини:
· Продукти та відтворювані ресурси (продукти для проміжного і кінцевого використання) s 1   Î М 1;
· Невідтворювані ресурси s 2   Î М 2;
Основні обмеження лінійної моделі виробництва необхідно конкретизувати лише щодо структури кінцевої продукції.
У складі кінцевої продукції виділимо постійну і змінну частини:    Постійна частина включає мінімально необхідні обсяги продукції для невиробничого споживання (це можуть бути обсяги, досягнуті в минулому періоді), накопичення, відшкодування вибуття основних фондів »зовнішньоторговельного обміну і т. д. Змінна частина кінцевої продукції максимізується в заданому асортименті відповідно до умов:

де - Число комплектів змінної частини кінцевої продукції, - Кількість продукції s 1   в одному комплекті.
Загальна модель має наступний вигляд:
(1)
Умови (1) з моделі (1) означають баланси виробництва і розподілу продукції, умови (2) - баланси невідтворюваних ресурсів.
Для того щоб задача (1) мала рішення, необхідно, щоб, по-перше, матриця випуску та матеріальних витрат виробничих способів мала властивість, аналогічним властивості продуктивності матриці - А) міжгалузевого балансу (тобто забезпечувала б можливість отримання позитивної кінцевої продукції) і, по-друге, щоб значення не були надто великими, тобто такими, щоб при виконувалися обмеження (2).
Важливою якісною характеристикою оптимального плану моделі (1) є число застосовуваних виробничих способів (змінних ).
З теорії лінійного програмування відомо, що оптимальний план задачі у випадку його одиничності і невирожденості містить стільки позитивних основних і додаткових (призводять нерівності до равенствам) змінних, скільки є обмежень. При цьому число позитивних основних змінних дорівнює числу обмежень, які в оптимальному плані звертаються в рівності.
Одиничність і невирожденості оптимального плану можна розглядати як типове властивість моделі (1). Очевидно також, можна прийняти допущення, що в оптимальний план включається мінлива . Звідси випливає, що якщо п - число видів продукції і т - число невідтворюваних ресурсів, то максимальне число застосовуваних виробничих способів одно п + т - 1 (із загального числа N). Насправді ж число застосовуваних способів дорівнюватиме п 1 + m 1   - 1, де n 1 і m 1 - число видів продукції і ресурсів, за якими в оптимальному плані нерівності перетворюються в рівності (п 1 ≤ n, m 1   ≤ m).
Оптимальні оцінки і аналіз оптимального плану.
Моделі (1) відповідають оптимальні оцінки всіх видів продукції    і невідтворюваних ресурсів . Їх економічна інтерпретація випливає з аналізу загальних властивостей оптимальних оцінок народногосподарської моделі.
Оцінка характеризує зменшення максимального числа комплектів кінцевої продукції при збільшенні постійної частини кінцевої продукції виду   s 1 на «малу одиницю». Оцінка показує приріст максимального числа комплектів при збільшенні ресурсу s 2 на «малу одиницю».
Співвідношення, що визначають значення оптимальних оцінок, виводяться з умов двоїстої задачі.
Всі оцінки ненегативні. При цьому оцінки хоча б одного виду продукції і хоча б одного виду ресурсів повинні бути позитивні (в іншому випадку план, щодо якого розраховані оцінки, може бути поліпшений).
Для кожного виробничого способу виконуються співвідношення
(2)
означають, що сумарна оцінка продукції, що випускається не перевищує сумарної оцінки всіх витрачених ресурсів.
З умов доповнює нежорстких слід:
якщо (3)
якщо (4)
якщо (5)
якщо (6)
якщо (7)
якщо (8)
Крім того, при виконується рівність
Якщо асортиментні коефіцієнти пронормовані так, що то значення оцінок продукції коливаються навколо одиниці (якщо оцінки деяких видів продукції менше одиниці, то оцінки будь-яких інших видів продукції більше одиниці).
При використанні оптимізаційних моделей у плануванні ніколи не обмежуються розрахунком тільки одного оптимального варіанту. Необхідно аналізувати, які зміни відбудуться в оптимальному плані, якщо змінюються деякі вихідні дані. Такий аналіз особливо важливий тому, що вихідна інформація для народногосподарських моделей не може визначатися строго однозначно. Аналіз оптимального плану повинен показувати шляхи коригування та доповнення вихідної інформації.
Розглянемо деякі, напрямки аналізу оптимального плану.
Вплив зміни обмежень.  
Залежності максимального значення цільової функції (максимуму числа комплектів кінцевої продукції) від зміни параметрів обмежень і (Кожного окремо) безпосередньо характеризуються значеннями оптимальних оцінок продукції і ресурсів. Пропорційна зміна (збільшення або зменшення) всіх параметрів обмежень не змінює значень оцінок. При збільшенні оцінки ростуть (до тих пір, поки існує рішення задачі). При збільшенні оцінки знижуються (до нуля).
Можливості еквівалентної взаємозамінності кінцевої продукції і ресурсів в обмеженнях моделі визначаються рівнянням
(9)
Слід зауважити, що кількісні співвідношення еквівалентної взаємозамінності, що випливають з рівняння (9), справедливі тільки за таких значеннях і , Які не змінюють значень оптимальних оцінок.
Для того щоб проаналізувати вплив зміни обмежень на інтенсивність застосування різних виробничих способів, здійснимо впорядкування умов завдання.
Будемо виходити з того, що для оптимального плану (п 1 + m 1) обмежень виконуються як рівності, а решта (п - n 1) + (т - m 1) обмежень виконуються як строгі нерівності. Перенумеруем всі вихідні обмеження так, щоб перші (п 1 + m 1) обмежень виконувалися як рівності, а решта - як нерівності.
Вище ми прийшли до висновку, що в оптимальному плані позитивними будуть змінні (п 1 + m 1   - 1) виробничих способів і змінна . Змінимо нумерацію змінних так, щоб позитивні змінні способів зайняли перші місця (вектор X 1),   a   за ними - мінлива .
Тоді матриця моделі може бути представлена ​​у вигляді такої блочної матриці:

Введемо нове позначення для вектора обмежень: b = . Перенумеруем компоненти цього вектора відповідно до нової нумерації обмежень: b = .
Для оптимального плану справедливе рівняння:
,
звідки
(10)
Позначимо перші (п 1 + m 1   - 1) рядків матриці    через B 11, а останній рядок - через β 11. Тоді
(11)
(12)
Формули (11) і (12) характеризують залежності оптимальних інтенсивностей виробничих способів і максимального числа комплектів від "жорстких" обмежень задачі. Коефіцієнти матриці B 11 є аналогами коефіцієнтів повних потреб у продукції моделі міжгалузевого балансу. Проте ці коефіцієнти можуть мати різні знаки, також як і коефіцієнти вектора β 11.
З (11) і (12) виводяться формули коригування інтенсивностей застосовуваних способів і числа комплектів кінцевої продукції при зміні обмежень:
(13)
(14)
Однак формули (13) і (14) вірні тільки при збереженні базису оптимального плану задачі (набору векторів, що відповідають позитивним змінним). З лінійного програмування відомо, що базис оптимального плану не змінюється, поки змінні, що увійшли в оптимальний план, будуть ненегативні. Це означає, що в аналізованій моделі умовами збереження базису оптимального плану є
(15) або (16)
(17)
З цих умов знаходяться межі допустимих змін кожної компоненти вектора b   і області допустимих змін одночасно кількох компонент вектора b. Збереження базису оптимального плану є також умовою незмінності оптимальних оцінок.
Включення в оптимальний план додаткових виробничих способів.
Як вже зазначалося, типовим властивістю оптимального плану моделі є використання (п 1 + Т 1 - 1) виробничих способів. Може виявитися, що велика частина наявних виробничих способів (із загального числа N> n 1 + т 1 - 1) не буде використовуватися і переважна частина продукції буде вироблятися невеликим числом способів. Така ситуація є небажаною з точки зору маневреності, надійності, адаптивності плану. У зв'язку з цим цікаво вивчити, до яких наслідків призводить включення в оптимальний план додаткових способів.
Ефективність виробничих способів ψ вимірюється оцінками виробничих способів:
. (18)
Для способів, що ввійшли в оптимальний план, Δ ψ = 0. Для способів, які не увійшли до оптимальний план, Δ ψ ≤ 0 (а в разі єдиності оптимального плану Δ ψ суворо негативні). Оцінки Δ ψ показують, наскільки зменшиться значення цільової функції при включенні в оптимальний план раніше не входив до нього способу з одиничною інтенсивністю. Якщо ж інтенсивність вводиться способу дорівнює x ψ, то значення цільової функції зменшиться на Δ ψ x ψ.
Розглянемо, як вплине включення додаткових способів (вектора Х 2) на інтенсивності застосування оптимальних (базисних) способів (вектор X 1. Додавши до вектора b 1   твір - A 12 X 2, отримаємо на основі (11)
,
звідки
(19)
Зауважимо також, що формула зміни максимального числа комплектів кінцевої продукції при включенні вектора Х 2 має вигляд:
(20)
Формули (19) і (20) справедливі при збереженні базису оптимального плану, тобто за умов

За допомогою оцінок способів (18) можна вивчати доцільність включення в умови народногосподарського завдання нових способів. Новий спосіб φ буде ефективним (тобто може увійти в оптимальний план), якщо Δ φ ≥ 0. Ця умова може бути використано для проектування нових ефективних виробничих способів.
Розглянуті напрями і методи аналізу оптимального плану є універсальними для всіх лінійних оптимізаційних моделей. Однак у більш приватних моделях економіко-математичний аналіз може виявляти і специфічні властивості оптимальних рішень.
§ 2. Оптимізаційна модель НА ОСНОВІ МАТРИЦІ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ
Загальна лінійна оптимізаційна модель побудована на основі матриці таких виробничих способів, що кожен з них може випускати декілька видів продукції, кожний вид продукції може випускатися декількома способами.
Далі ми розглянемо більш приватні оптимізаційні моделі, що зберігають деякі специфічні припущення моделі міжгалузевого балансу: спочатку - моделі, в яких кожен спосіб випускає тільки один продукт і кожен продукт випускається тільки одним способом, а потім - моделі, в яких зберігається тільки перше із зазначених припущень. Така послідовність аналізу моделей обрана для того, щоб «перекинути міст» між моделями міжгалузевого балансу і оптимізаційними моделями народного господарства й простежити зміну властивостей рішень (збалансованих і оптимальних) при зміні передумов моделі та включення до неї нових умов.
Модель міжгалузевого балансу як окремий випадок оптимізаційних моделей
Оптимізаційні моделі в порівнянні з балансовими являють собою більш досконалий тип моделей соціалістичної економіки. Однак було б неправильно протиставляти їх одне одному. По-перше, основні умови балансових моделей обов'язково включаються до оптимізаційні моделі. По-друге, балансові моделі можуть інтерпретуватися і досліджуватися як окремий випадок оптимізаційних моделей.
Спробуємо сформулювати модель міжгалузевого балансу на мові оптимізаційних завдань. Розглянемо систему рівнянь міжгалузевого балансу виробництва і розподілу продукції спільно з обмеженням по трудових ресурсів виробничої сфери:
(21)
Основне завдання планових розрахунків за допомогою цієї моделі полягає в тому, щоб при заданому векторі Y 0 = ( ) І наявних трудових ресурсах L знайти вектор необхідних обсягів виробництва X = (x j). Покажемо, що це завдання можна представити у вигляді задачі лінійного програмування:
(22)
Ця задача відрізняється від (21) тільки тим, що допускається одержання кінцевої продукції понад заданих мінімальних обсягів, а витрати трудових ресурсів мінімізуються. Очевидно, що реальним економічним умовам відповідають тільки такі рішення X * = (x *), при яких .
Задачі (22) відповідає двоїста задача, за допомогою якої знаходяться оптимальні оцінки продукції :
(23)
Оптимальний план X * задачі (22) характеризується наступними властивостями:
· Він єдиний;
· Якщо Y 0> 0 (або Y 0   0 і А - неразложимая матриця), то Х *> 0;
· Баланси виробництва і розподілу продукції виконуються суворо як рівності, тобто надлишки кінцевої продукції не проводяться;
· Оптимальний план X * не залежить від коефіцієнтів цільової функції t J   ≥ 0.

x 2
Q

L

A
L *
x 1
На рис. 1 видно, що оптимальний план завжди є вершиною «дзьоба» за будь-яких допустимих нахилах цільової функції. Обидві завдання (і пряма, і двоїста) завжди мають єдине рішення, якщо матриця А продуктивна і   Y 0 0. При цьому рішення прямої оптимізаційної задачі зводиться до розв'язання системи рівнянь і тому воно не залежить від значень коефіцієнтів мінімізіруемой функції. Рішення двоїстої задачі знаходиться із системи рівнянь і   тому воно не залежить від коефіцієнтів мінімізіруемой функції. При цьому оптимальні оцінки продукції дорівнюють коефіцієнтам повних трудових витрат.
Рівність функціоналів прямий і двоїстої задачі має місце при будь-яких позитивних значеннях t j    і . Воно означає, що сумарна оцінка всієї кінцевої продукції дорівнює сумі трудових витрат у народному господарстві.
Оптимізаційна модель міжгалузевого балансу продукції і виробничих потужностей.
При аналізі можливостей використання моделі міжгалузевого балансу в плануванні зазначалося, що при короткостроковому плануванні найбільш суттєвими обмеженнями зростання виробництва є наявні виробничі потужності.
Рішення моделі повинна відповідати умовам x j N j, де N j   - Максимально можливий вихід продукції j з виробничих потужностей планованого року. Так само, як і в § 1, включимо в модель умови оптимізації кінцевої продукції (27), позначаючи вектор асортиментних коефіцієнтів приросту кінцевої продукції , А вектор заданих обсягів кінцевої продукції Q = (q i).
У векторно-матричних позначеннях модель має вигляд:,
(24)
Рішення моделі існує, якщо значення компонент вектора Q   задані не дуже великими. Оптимальний план звертає першу групу умов строго в рівності (невигідно виробляти надкомплектні надлишки кінцевої продукції). Тому в подальшому аналізі виходимо з того, що - А) X   - = Q, звідки
(25)
Оскільки , То при умова Х ≥ 0 завжди виконується. Внаслідок цього завдання скорочується:

Вектор являє собою коефіцієнти повних потреб у продукції для отримання одного комплекту кінцевої продукції; є вектор максимально можливих обсягів продукції для отримання змінної частини кінцевої продукції. Очевидно, що
(26)
Визначивши , Знаходимо X * = β + (E   - A) -1 Q.
Таким чином, визначається «вузьким» місцем у системі виробничих потужностей. Як правило, потужність тільки одного виду продукції буде використана повністю. Оптимальна оцінка потужності з цього виду продукції (k) дорівнює .
Виявлення дефіцитної потужності служить сигналом для її максимального розширення в планованому році за рахунок концентрації будівництва на пускових об'єктах, додаткових поставок устаткування, зміни спеціалізації відповідних підприємств і режиму їх роботи (змінності) і т. д.
Для визначення програми першочергових заходів з розширення виробничих потужностей доцільно впорядкувати потужності з їх дефіцитності.
Для кожного виду потужності розрахуємо показник , Що характеризує максимальне число комплектів кінцевої продукції, яку можна отримати з потужності виду j за умови необмеженість інших потужностей. Упорядкувавши ряд чисел , Починаючи з , Отримаємо послідовність потужностей, упорядковану за ступенем їх дефіцитності. При новій нумерації різниці    покажуть приріст числа комплектів кінцевої продукції після «розшивки» k-го   «Вузького» місця в системі виробничих потужностей.
За моделлю (24) можна проводити багатоваріантні розрахунки, що показують вплив зміни параметрів а ij, , N j   на обсяги виробництва і кінцевої продукції. У результаті таких розрахунків виявляється група стійко дефіцитних потужностей, на розширення яких ресурси повинні спрямовуватися в першу чергу. Важливим напрямом розвитку моделі є безпосередній облік в ній елементів випадковості і невизначеності. Розроблено та експериментально апробовано модель, в якій виробничі потужності N i розглядаються як випадкові незалежні величини.
Моделі з обмеженнями по загальних ресурсів.
Розглянемо модель, у якій баланси виробництва і розподілу продукції доповнюються обмеженнями за загальними невідтворюваних ресурсів:
(27)
Підставляючи (25) в обмеження щодо загальних ресурсів, отримуємо

або
(28)
де = ( s) = (E - А)   -1 - Вектор повних витрат ресурсів на один комплект приросту кінцевої продукції, - Вектор ресурсів, які можуть використовуватися для отримання змінної частини кінцевої продукції.
З (28) випливає:
(29)
Максимальне число комплектів досягається, як правило, при повному використанні тільки одного ресурсу (k). Тоді тільки оцінка цього ресурсу буде позитивна: , A оптимальні оцінки всіх видів продукції будуть пропорційні коефіцієнтам повних витрат дефіцитного ресурсу: .   Якщо ж в оптимальному плані використовуються повністю кілька ресурсів, то система оптимальних оцінок ресурсів та продуктів буде неєдиний.
Повне використання тільки одного виду ресурсів (або наявність лише одного «вузького» місця) як типове властивість оптимального рішення не обов'язково пов'язано з умовами максимізації кінцевої продукції в заданому асортименті. Для порівняння розглянемо модель, в якій умови максимізації змінної частини кінцевої продукції задані у вигляді ЦФП:
(30)
Висловлюючи X   через Y, приходимо до скороченої моделі:
(31)
де F = f (Е - А) - 1 - матриця коефіцієнтів повних витрат ресурсів, .
Оптимальне рішення цієї моделі завжди існує і є єдиним. Оптимальний план Y * є точка дотику найбільш віддаленої від початку координат поверхні байдужості і опуклого багатогранника, утвореного умовами . Якщо ця поверхня байдужості стосується вершини багатогранника, то це означає повне використання декількох ресурсів. Очевидно, що у разі застосування ЦФП ймовірність того, що точкою оптимуму буде вершина багатогранника, вище, ніж у випадку застосування асортиментного критерію. Однак цілком можливо, що максимум u (Y)   досягається на одній з граней багатогранника, тобто при повному використанні тільки одного ресурсу.
Таким чином, загальною властивістю розглянутих у цьому параграфі моделей є те, що оптимальний план найчастіше досягається при повному використанні тільки одного ресурсу. А це означає, що тільки один вид ресурсів впливає на формування оптимального рішення. Дана властивість не адекватно економічної реальності; воно обумовлено недоліком моделей.
У моделях (24), (27), (30) майже відсутні можливості маневрування ресурсами, що мають різну дефіцитність. По кожному виду продукції задається тільки один виробничий спосіб, а тому технологія виробництва не реагує на виявляються в процесі оптимізації співвідношення наявності ресурсів і потреб у них. Завдяки коригуванню вихідних даних на основі аналізу оптимальних рішень цей недолік можна долати лише частково.
Напрошується висновок про те, що оптимізаційні моделі народного господарства повинні включати умови вибору між різними способами-виробництва однойменної продукції.
§ 3. Оптимізаційні МІЖГАЛУЗЕВІ МОДЕЛІ З ВИРОБНИЧИМИ СПОСОБАМИ
Перший варіант моделі (мінімізація витрат праці на виробництво заданої кінцевої продукції).
Побудуємо модель, що представляє собою безпосереднє узагальнення моделі міжгалузевого балансу, записаної у формі (22). У моделі передбачається можливість вибору між різними виробничими способами. Нехай кожен вид продукції виробляється кількома способами , Де T j = {1, ... , S j}.   При цьому кожним способом випускається тільки один продукт. Введемо нові позначення:
- Обсяг виробництва продукції j способом j;
- Коефіцієнт прямих витрат продукції i   на виробництво одиниці продукції j способом j;
- Витрати праці на одиницю продукції j, виробленої способом j.
Модель має вигляд:
  (32)
Модель (32) завжди має рішення, якщо виконуються умови, аналогічні умові продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат моделі міжгалузевого балансу. Наприклад, одне допустиме рішення може бути отримано, якщо включити в план по одному способу для кожного виду продукції, а всі інші змінні вважати рівними нулю. Так може бути складено систем рівнянь міжгалузевого балансу виробництва і розподілу продукції, кожна з яких має рішення, якщо матриця продуктивна.
Аналіз моделі дозволяє виявити ряд її цікавих специфічних властивостей.
Теорема 1. При позитивному векторі кінцевої продукції Y 0> 0 виробляються всі продукти і кожен продукт виробляється тільки одним способом.
Доказ. Нагадаємо, що ми виходимо з припущення, що оптимальний план - єдиний. Введемо в умови додаткові змінні Δ y i (надлишки кінцевої продукції понад мінімально необхідних обсягів ), Що перетворюють нерівності в рівності.
У кожному i-му рівнянні

позитивними є лише коефіцієнти при змінних Х. Але оскільки всі , То і всі , Тобто оптимальному плані повинні проводитися всі види продуктів.
Максимальне число позитивних змінних в оптимальному плані одно п (числу рівнянь). Отже, в кожній сумі змінних позитивної може бути тільки одна змінна. Інакше кажучи, в оптимальному плані кожен продукт виробляється тільки одним способом.
Слідство. З теореми випливає, що оскільки число можливих позитивних змінних вичерпується змінними способів виробництва, то всі Δ y i   в оптимальному плані дорівнюють нулю. Іншими словами, оптимальний план звертає вихідні нерівності строго в рівності.
Введемо додаткові позначення: X * - оптимальний план моделі (кожна його компонента є інтенсивність застосування якогось «кращого» способу виробництва); A * - матриця коефіцієнтів матеріальних витрат, складена із способів, які увійшли в оптимальний план.
Матриця А * аналогічна матриці А міжгалузевого балансу з тією лише різницею, що замість середньозважених коефіцієнтів з різних способів у ній представлені коефіцієнти лише «кращих» способів. Матриці A * і - А *)   володіють тими ж економіко-математичними властивостями, що і матриці міжгалузевого балансу. Серед цих властивостей відзначимо, зокрема, існування матриці (Е - А *) -1 ≥ 0. Елементи матриці (Е - А *) -1     є коефіцієнтами повних потреб у випуску продукції для отримання одиниці кінцевої продукції в оптимальному плані. Оптимальний план задовольняє наступній системі рівнянь:
(E - A) X * = Y 0   або X * = (E - A) -1 Y 0.
Теорема 2. Базис оптимального плану, а отже, і вибір «кращих» способів залишаються постійними при будь-яких змінах позитивного вектора Y 0.
Доказ. Для того щоб базис оптимального плану залишався незмінним при змінному векторі Y 0, достатньо - відповідно до (15), - щоб виконувалася умова
(E - A *) -1 Y 0 ≥ 0.
Оскільки матриця (E - A *) -1 ≥ 0, умова (E - A *) -1 Y 0 ≥ 0 виконується завжди при будь-якому Y 0 ≥ 0 і тим більше при Y 0> 0.
Нехай для деякого Y 0> 0 отримано рішення X *. Базис отриманого рішення (Е - А *) залишається незмінним і тоді, коли вектор Y 0 буде змінюватися будь-яким чином в позитивній області (0 <   Y 0 <+ ∞). Якщо базис оптимального плану - неразложимая матриця, то теорема поширюється на випадок Y 0 ≥ 0.
Це означає, що обчисливши матрицю (E - A *) -1   для одного варіанта кінцевої продукції, можна неодноразово використовувати її для розрахунку виробничої програми при інших варіантах кінцевої продукції.
З завдання, двоїстої до (32), випливає, що для способів, що ввійшли в оптимальний план , Виконуються умови

Тому вектор оптимальних оцінок продукції V * = ( ), Що характеризують мінімально необхідний приріст трудових витрат у народному господарстві при збільшенні кінцевої продукції, визначається рішенням системи рівнянь
V * = V * A * + t * або V * = t * (A - V *) -1.
Бачимо, що оптимальні оцінки продукції в розглянутій моделі рівні коефіцієнтам повних трудових витрат, обчислених за кращими виробничим способам для кожного виду продукції.
Слідство. Оптимальні оцінки не змінюються при будь-яких змінах позитивного вектора Y 0.
При незмінних коефіцієнти виробничих способів оптимальні оцінки змінюються лише при зміні базису оптимального плану. Теорема 2 доводить, що в моделі (32) базис оптимального плану залишається постійним при будь-яких змінах вектора Y 0 в позитивній області, отже, не змінюються і оптимальні оцінки [1].
Сталість оцінок    полегшує їх використання в різних планово-економічних розрахунках, зокрема, при коригуванні вектора Y 0.
Другий варіант моделі (максимізація кінцевої продукції в заданому асортименті при обмежених трудових ресурсах).
Розглянемо іншу можливу постановку міжгалузевої моделі з виробничими способами: провести максимальне число комплектів кінцевої продукції при обмежених трудових ресурсах:
(33)
Неважко встановити, що моделі (32) та (33) є взаємним. У першій моделі фіксуються і мінімізуються затрати праці, а в другій моделі максимізується z   при фіксованому ресурсі праці.
Звідси випливає, що якщо z 0 = max z   або , То в
Відповідно до теореми взаємності оптимальні плани завдань збігаються, трудові ресурси використовуються повністю, а оптимальні оцінки продукції пропорційні. Зберігаються і всі властивості оптимального плану та оптимальних оцінок моделі (32):
· В оптимальному плані виробляються всі продукти і кожен продукт виробляється тільки одним способом (для цього має виконуватися одна з умов: або матриця способів неразложима, або всі );
· Вибір кращих способів і оптимальні оцінки не залежать від завдань по кінцевій продукції (асортиментних коефіцієнтів);
· Не проводиться «надлишків» кінцевої продукції.
Відзначимо важливий новий властивість: набір виробничих способів в оптимальному плані і значення оптимальних оцінок не залежать від величини наявного ресурсу. Дійсно, оскільки L є єдина відмінна від нуля компоненту вектора обмежень задачі, то зміна L   означає розтягування або стиснення вектора обмежень. Але таке перетворення не впливає на базис оптимального плану.
Вектор обсягів виробництва виявляється через матриці коефіцієнтів повних витрат, сформованих з «кращих» способів:
Х = (Е - A *) -1 α z   = Β * z, (34)
де β * = (Е - А *) -1 α - вектор потреб у випуску продукції для отримання одного комплекту кінцевої продукції.
Максимальне число комплектів z * знаходиться з рівності t * (E - A *) -1 α z   = Τ * z = L, звідки
(35)
де τ * = t * (Е - А *) -1 α - повні трудові витрати для отримання одного комплекту кінцевої продукції.
Підстановка (35) в (34) дає
(36)
тобто максимальне число комплектів та обсяги виробництва прямо пропорційні кількості наявних трудових ресурсів. Оптимальна оцінка трудових ресурсів є постійною величиною.
У моделі умови максимізації кінцевої продукції можуть бути сформульовані так само, як в моделях (1), (24), (27). З урахуванням даного уточнення приходимо до моделі:
(37)
Зазначені вище властивості оптимального плану та оптимальних оцінок повністю зберігаються. Однак рішення задачі (37) існує не завжди, тому що наявних трудових ресурсів може бути недостатньо для виконання надмірно високих завдань q i.
Варіанти моделі з різними умовами максимізації кінцевої продукції.
З теореми 2 випливає, що зміна обсягів і структури кінцевої продукції (при збереженні Y   ≥ 0) не робить ніякого впливу на вибір кращих виробничих способів. Це дозволяє розчленувати процес оптимізаційних розрахунків та аналізу оптимальних рішень на три стадії:
· Знаходження кращих виробничих способів і мінімальних витрат праці при заданому векторі кінцевої продукції на основі моделі (32);
· Визначення обсягів і структури змінної частини кінцевої продукції (можна використовувати різні критерії та умови максимізації);
· Розрахунок збалансованого плану виробництва, що забезпечує випуск всієї кінцевої продукції при обмежених трудових ресурсах.
В якості прикладу розглянемо модель, що включає умови максимізації змінної частини кінцевої продукції у вигляді ЦФП:

Вирішивши завдання (32) з Y 0 = Q, визначимо матрицю А *, а також вектор оптимальних оцінок продукції, рівних коефіцієнтам повних витрат, обчислених за кращими виробничим способам, V * = Т *, а також потреби в трудових ресурсах для забезпечення постійної частини кінцевої продукції T * Q   і залишок трудових ресурсів для випуску змінної частини кінцевої продукції .
На другій стадії вирішується завдання максимізації ЦФП при обмежених трудових ресурсах:
(38)
Рішення задачі (38) дає вектор .
Слід звернути увагу на цікавий результат, що характеризує співвідношення граничних корисних ефектів продукції і витрат праці на її виробництво. Відповідно до умов Куна - Таккера
(39)
Таким чином, в оптимальному плані розглянутої моделі граничні корисні ефекти використовуваної кінцевої продукції пропорційні суспільно необхідним затратам праці на виробництво продукції. Оптимальні оцінки продукції в моделі (32) рівні коефіцієнтам повних трудових витрат, обчислених за кращими виробничим способам, і є постійними величинами. Вони впливають на вибір оптимальної структури кінцевої продукції (вектора ); Ця структура «підбирається» так, щоб відносини (39) вирівнялися за всіма видам кінцевої продукції. Але вибір структури кінцевої продукції не робить ніякого впливу на значення оптимальних оцінок продукції.
На третій стадії розрахунків за моделлю знаходимо вектор обсягів виробництва ; Він буде збалансований з наявними трудовими ресурсами.
Аналогічним чином проводяться розрахунки за моделлю, що включає інші можливі критерії та умови максимізації кінцевої продукції.
Таким чином, що аналізувалися в даному параграфі оптимізаційні міжгалузеві моделі характеризуються двома специфічними властивостями. По-перше, в оптимальний план включається тільки по одному способу для кожного виробленого виду продукції незалежно від того, яка кількість способів вводиться в умови завдання. По-друге, обсяги і структура використовуваної кінцевої продукції не мають жодного впливу на вибір виробничих засобів і визначення суспільно необхідних витрат на виробництво продукції.
Хоча виявлені властивості створюють значні зручності при проведенні оптимізаційних розрахунків та аналізі оптимальних рішень, вони не є адекватним відображенням властивостей реальної економіки. Дані властивості моделей обумовлені тим, що вибір виробничих способів здійснюється з позицій найбільш ефективного використання тільки одного обмеженого ресурсу - праці. Рішення, одержувані за допомогою розглянутих моделей, повинні інтерпретуватися як умовно-оптимальні, тобто отримані в припущенні, що трудові ресурси є єдиним дефіцитним ресурсом в народному господарстві. Ці умовно-оптимальні рішення повинні потім коректуватися з урахуванням використання інших обмежених ресурсів.

§ 4. Розширені Оптимізаційні МІЖГАЛУЗЕВІ МОДЕЛІ
Проведений в § 2, 3 аналіз спрощених оптимізаційних міжгалузевих моделей дозволяє зробити важливий висновок про правила побудови оптимізаційних моделей народного господарства. Одностороннє розвиток моделі (наприклад, тільки збільшення числа враховуються ресурсів або тільки, збільшення числа включаються в модель виробничих способів) виявляється малорезультативним, так як значна частина вводиться в модель інформації не впливає на оптимальне рішення. Очевидно, конструкція моделі повинна бути «збалансована».
З урахуванням цього висновку доповнимо умови моделей з виробничими способами (32), (37) обмеженнями по ряду невідтворюваних ресурсів, позначаючи - Витрати ресурсу s   на виробництво одиниці продукції j способом ψ j. Отримаємо пару взаємних оптимізаційних моделей.
Перша з них (мінімізація витрат праці на виробництво заданої кінцевої продукції) є розвитком моделі (32):
(40)
Друга модель (максимізація кінцевої продукції при обмежених ресурсах) є узагальненням моделі (27) (з обмеженнями по ресурсах, але тільки з одним виробничим способом по кожному продукту) і моделі (37) (з декількома виробничими способами, але тільки з одним обмеженим ресурсом) :
(41)
Модель (41) відрізняється від загальної лінійної оптимізаційної моделі (1) тільки структурою виробничих способів: у кожному способі випускається по одному виду продукції.
З специфічних властивостей найпростіших моделей з виробничими способами в моделях (40) і (41) зберігається тільки одне: в оптимальному плані всі співвідношення виробництва і розподілу продукції виконуються як строгі рівності, тобто надлишки кінцевої продукції не проводяться.
У оптимальний план моделей (40) і (41) можуть входити кілька способів по кожному продукту. Якщо оптимальний план єдиний, то число додатково використовуваних способів (понад п)   не може перевищувати числа враховуються ресурсів (крім трудових ресурсів). Наприклад, якщо в умови завдання додатково включається обмеження по одному ресурсу, то лише один продукт може здійснюватися двома способами, а у виробництві всіх інших продуктів може застосовуватися тільки по одному способу. Якщо ж у завдання включається декілька видів ресурсів, то можливості їх повного використання залежать від різноманітності виробничих способів, тобто від диференціації коефіцієнтів витрат на різні ресурси (повинні бути способи, що розрізняються співвідношеннями коефіцієнтів трудомісткості, фондомісткості і т. д.).
Набір способів, що використовуються в оптимальному плані, залежить від величин r s. При цьому можна виявити зв'язок з оптимальним планом найпростішої моделі. Збільшення наявних ресурсів (крім трудових) підвищує ефективність тих способів, які є «кращими» в умовах найпростішої моделі.
На відміну від найпростіших моделей з § 3 набір виробничих способів в оптимальних планах моделей (40) і (41) залежить від умов щодо кінцевої продукції. Зі зміною величин , A також при введенні в модель інших критеріїв та умов максимізації кінцевої продукції одні виробничі способи замінюються в оптимальному плані іншими; змінюються також і значення оптимальних оцінок продукції і ресурсів. Це означає, що в розширених оптимізаційних міжгалузевих моделях достатньо повно відображаються прямі і зворотні зв'язки сфери виробництва і сфери споживання.
Основне прикладне призначення оптимізаційних міжгалузевих моделей типу (40), (41) - розрахунки і аналіз варіантів короткострокових (річних) планів розвитку народного господарства. Застосування для цієї мети статичних моделей виправдане перш за все тому, що для найближчого планового року виробничі потужності (забезпечення основними виробничими фондами) майже повністю зумовлюються потужностями на початок року та станом заділів капітального будівництва.
Інша справа в перспективному плануванні. Вже при розрахунках на n-річний період необхідно враховувати, що виробничі потужності (основні виробничі фонди) останнього року значною мірою залежать від введення потужностей (основних фондів) у плановому періоді. Тому просто фіксувати розміри потужностей (або основних фондів) для останнього року планового періоду так само, як для найближчого планового року, неможливо.
Однак статична модель може бути пристосована для розрахунків варіантів перспективного плану. Для цього до умов моделі (40) або (41) для останнього року планового періоду необхідно додати обмеження по капіталовкладеннях, витрачаються на приріст продукції за весь плановий період, а безліч виробничих способів розділити на дві групи: способи виробництва на потужностях, що діяли на початок планового періоду, і способи виробництва на потужностях, введених в плановому періоді.
Нехай - Обсяг виробництва продукції j способом ψ j, що отримується в останньому році з виробничих потужностей, що діяли на початок планового періоду;
- Обсяг виробництва продукції j способом ψ j, що отримується в останньому році з виробничих потужностей, введених в плановому періоді;
- Максимально можливий обсяг виробництва продукції j способом ψ j, який може бути отриманий в останньому році з виробничих потужностей, що діяли на початок планового періоду;
H - ліміт виробничих капіталовкладень на весь планований період;
- Коефіцієнти витрат на виробництво продукції в останньому році на потужностях, що діяли до початку планового періоду;
    - Коефіцієнти витрат на виробництво продукції в останньому році на потужностях, введених в плановому періоді;
- Витрати капіталовкладень на приріст одиниці продукції j способом ψ j на нових потужностях.
Тоді умови статичної моделі для останнього року планового періоду запишуться таким чином:
(42)
Дана модель являє собою деяке ускладнення моделі (41). Вона може використовуватися на попередніх етапах розробки перспективного плану і при цьому повинна підкріплюватися обгрунтуваннями ліміту виробничих капіталовкладень Н і розрахунками динаміки розвитку народного господарства за проміжними років планового періоду.
Значення статичних оптимізаційних міжгалузевих моделей не обмежується тим, що вони можуть використовуватися як самостійний інструмент планових розрахунків.
Статичні моделі для окремих часових відрізків є складовими частинами моделей, які об'єднують умови розвитку народного господарства за ряд років. Тому побудова і аналіз статичних моделей - це неминучий етап розробки більш складних динамічних моделей.
Висновок:
Основна проблема економічного планування полягає в необхідності розподілити обмежену кількість необхідних ресурсів кожному підприємству (галузі) так, щоб вони виконували виробничі плани, і уникати виникнення «вузьких» місць в економіці. Таким чином теорія міжгалузевого балансу, виведена в умовах планово-директивної економіки і призначена для тотального державного регулювання економіки, може знайти своє застосування і в ринковій економіці. Побудова оптимізаційних моделей міжгалузевого балансу дозволяє в умовах обмеженості ресурсів знаходити найбільш ефективні комбінації ресурсів для максимізації кінцевого продукту.
Література:
А. Г. Гранберг «Математичні моделі в соціалістичній економіці», Москва 1978.


[1] Завдання обчислення оптимальних оцінок в рамках розглянутої моделі відноситься до того рідкісного класу екстремальних задач, оптимальний план яких не залежить від коефіцієнтів цільової функції.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Економіко-математичне моделювання | Реферат
109.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Модель динамічного міжгалузевого балансу
Складання регіонального міжгалузевого балансу виробництва і розподілу продукції
Оптимізаційні методи вирішення економічних завдань
Сутність і сфера міжгалузевого управління
Адміністративно правове регулювання у сфері міжгалузевого упра
Адміністративно-правове регулювання у сфері міжгалузевого управління
Економічний потенціал і географія базово міжгалузевого паливо
Статті балансу
Актив балансу
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru