додати матеріал


Область визначення функції

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Федеральне агентство з освіти

Середньої професійної освіти

«Професійний ліцей № 15»

Кафедра: Верстатник (металообробка)

Контрольна робота

по курсу: «Математика»

на тему: «Область визначення функції»

Виконав студент гр. Т 102

Бахір Я.А.

Перевірив: Корнілова Н.Г.

Воткінськ

2010

1. Вирішити нерівність

x 2 - 3 x +5

x -1

Рішення.

Для вирішення нерівностей, права частина яких - нуль, а ліва - алгебраїчна дріб, тобто, нерівностей виду використовуємо метод інтервалів.

Позначимо f (x) x 2 -3 x +5 і знайдемо область визначення

x-1

D (f) функція f (x). Для цього визначимо нулі знаменника функції:

x-1 = 0, x = 1, D (f )=(-; 1) (1;).

Знайдемо нулі функції f (x). Для цього вирішимо рівняння:

x 2 - 3 x +5 x 2 -3 x +5 = 0 (1)

x -1 x -1 = 0 (2)

Вирішуючи рівняння (1), отримаємо:

x 2 - 3 x +5 = 0, D = (-3) 2 -4 1 5 = 9-20 <0 - рівняння не має рішень.

Функція f (x) неперервна на множині D (f) і не має нулів. Точка 1 розбиває область визначення на проміжки знакопостоянства значень функції. Визначимо знак значення функції f (x) на кожному проміжку знакопостоянства.

Для цього достатньо визначити знак значення функції в будь-якій точці проміжку:

f (0) 0 2 -3 0 +5 f (2) = 2 2 -3 2 +5

    1. 2-1

Відзначимо, для наочності, на малюнку проміжки знакопостоянства значень функції f (x) і запишемо вирішення даного нерівності:

f (x) <0 f (x)> 0

f (x)> 0, xc (1;).

Відповідь: (1;).

2. Вирішити нерівність

Log 5 (3 x +1) <2

Рішення.

Використовуючи властивості логарифмів позитивних чисел

log a a = 1

m log a b = log a b m

перетворимо нерівність до найпростішого логарифмическому нерівності виду

log a f (x) <log a g (x)

Log 5 (3x +1) <2, log 5 (3x +1) <2log 5 травня, log 5 (3x +1) <log 5 5 2.

При a> 1 функція y = log a t в області визначення D (log a), що задається нерівністю t> 0, монотонно зростає, тобто, якщо t 1> t 2> 0, то log a t 1> log a t 2. Враховуючи це, запишемо потім, використовуємо формулу переходу від найпростішого логарифмічного нерівності до подвійного нерівності:

Якщо a> 1, то

Log a f (x) <log a g (x) ó 0 <f (x) <g (x)

log 5 (3x +1) <log 5 5 2, 0 <3x + 1 <5 2, -1 <3x <25 - 1,

11

3 <x <8, x з 3; 8.

1

Відповідь: 3, 8.

3. Знайдіть всі рішення рівняння

sinx cosx - v 3 cosx = 0, належать відрізку | 0; 2 п |.

Рішення.

Розкладемо на множники ліву частину рівняння і, враховуючи умову задачі, що x з | 0; 2п |, в результаті отримаємо наступну систему:

sinx cosx - v3cosx = 0, cosx (sinx-v3) = 0.

| Cosx = 0

| Sinx - v 3 = 0

0 <x <2п

Використовуючи формулу вирішення найпростішого тригонометричного рівняння

cos f (x) = 0 ó f (x) = п + п n, nc Z 2

Вирішимо рівняння (1):

cosx = 0, x = п + п n, n з Z

Підставляючи (4) в подвійне нерівність (3), отримаємо:

0 <п + п n <2п, п <п n <2п п

222, п <п n <3п 1 <n <3

2 п п 2 п, 2 2.

Так як n з Z, то n = 0 і n = 1. Підставляючи n = 0 і n = 1

в рівняння (4), отримаємо:

sinx = v 3 - рішень немає, так як - 1 <sinx <1 при будь-яких значеннях x.

Відповідь: п 3п

2, 2.

4. Знайдіть найменше значення функції

f (x) = 3 x 2 -18 x +7 на проміжку [-5; -1].

Рішення.

Функція неперервна і диференційована в кожній точці проміжку | -5; -1 |.

Найменше (і найбільше) значення неперервної на відрізку функції можуть досягатися або на кінцях відрізка, або в критичних точках, що належать цьому відрізку.

Знайдемо похідну f (x) функції f (x), використовуючи властивості похідної (теореми про диференціюванні суми функцій і про винесення постійного множника за знак похідної) і формулу диференціювання статечної функції: (f (x) + g (x)) = f ( x) + g (x)

(X m) = m x m -1

C = 0

f (x) = (3x 2-18x +7) = 3 (x 2) -18 x +7 = 3 2x 2-1 -18 x 1-1 +0 = 6x-18.

Для знаходження критичних точок складемо і розв'яжемо рівняння:

f (x) = 0

6x-18 = 0, x = 3 c [-5; -1].

Так як критична точка не належить відрізку [-5; -1], то обчислимо значення функції f (x) тільки на кінцях відрізка [-5; -1] і з них виберемо найменше значення:

f (x) = 3 x 2 -18 x +7,

f (-5) = 3 (-5) 2 -18 (-5) +7 = 75 +90 +7 = 172,

f (-1) = 3 (-1) 2 -18 (-1) +7 = 3 +18 +7 = 28.

Найменшим з обчислених значень функції є число 28:

min f (x) = f (-1) = 28.

[-5; -1]

Відповідь: min f (x) = f (-1) = 28.

[-5; -1]

5. Знайдіть всі функції, які мають одну і ту ж похідну: f (x) = x +5 sinx

Рішення.

Знайдемо область визначення D (f) функції f (x):

D (f) = (- ~;~).

Всі функції, що мають похідну, рівну f (x), називають безліччю всіх первісних F (x) функції f (x) на деякому проміжку (в даному випадку, на області визначення D (f) = (- ~;~)) або, як це загальноприйнято в математиці, невизначеним інтегралом функції f (x) на зазначеному проміжку і (загальноприйнято) позначають:

| F (x) dx = F (x) + C

Використовуючи властивості невизначеного інтеграла

| (F (x) + g (x)) dx = | f (x) dx + | g (x) dx

| Af (x) dx = a | f (x) dx

і таблицю невизначених інтегралів

x m +1

| X m dx = m +1 + C, де m = -1

| Sinx dx =-cosx + C

отримаємо:

F (x) = | f (x) dx = | (x + 5 sinx) dx = | xdx + 5 | sinx dx = 1 +1 + 5 (- cosx) + C = 2-5cosx + C.

x 1 +1 x 2

Відповідь: F (x) = 2 -5 cosx + C.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
24.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Диференціальне числення функції Область визначення Елементарні функції Означення функції
Поняття множини Змінні та постійні величини Функція область визначення Лінії та поверхні рів
Біржа визначення види та функції 2
Біржа визначення види і функції
Аналіз області визначення функції
Визначення поняття завдання та функції логістики
Визначення державної служби Структура та функції
Матеріальна відповідальність ознаки функції задачі і правове значення визначення розмірів
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru