додати матеріал


Нестандартний аналіз

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. Винниченка
Курсова робота
з курсу «Математика»
на тему: «Нестандартний аналіз»
Кіровоград
2003

ЗМІСТ
ВСТУП ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. Лейбніц і "ДАВНЯ ІСТОРІЯ" НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛІЗУ .... ... 4
2. РОБІНСОН І «НОВА ІСТОРІЯ» НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛІЗУ ... ... ... 8
3. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ ВЕЛИЧИНИ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
4. ГІПЕРДЕЙСТВІТЕЛЬНАЯ ПРЯМА ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16

5. ПРИКЛАД НЕАРХІМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЇ СИСТЕМИ ... ... ... ... ... ... .... ... ... .. 18

6. НОВІ ВИМОГИ ДО ГІПЕРДЕЙСТВІТЕЛЬНИМ ЧИСЛАХ І ОСНОВНА ГІПОТЕЗА ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21

7. СЛІДСТВА ОСНОВНИЙ ГІПОТЕЗИ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24

8. ПОБУДОВА СИСТЕМИ ГІПЕРДЕЙСТВІТЕЛЬНИХ ЧИСЕЛ ... ... ... ... ... ... 27
ЛІТЕРАТУРА ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .33

ВСТУП
Нестандартний аналіз виник в 1960 році, коли Абрахам Робінсон, фахівець з теорії моделей, зрозумів, яким чином методи математичної
логіки дозволяють виправдати класиків математичного аналізу XVII і XVIII ст., поставивши на сувору основу їхні міркування, що використовують "нескінченно великі" і нескінченно малі величини. Таким чином, мова йде не про якихось нових "нестандартних" методах, які не мають нічого спільного з традиційною математикою, а про розвиток нових засобів всередині стандартної (теоретико-множинної) математики.
Нестандартний аналіз залишився б цікавим курйозом, якби єдиним його застосуванням було обгрунтування міркувань класиків математичного аналізу. Він виявився корисним і при розвитку нових математичних теорій. Нестандартний аналіз можна порівняти з мостом, що перекинутий через річку. Споруда моста не розширює доступній нам території, але скорочує шлях з одного берега на інший. Подібним чином нестандартний аналіз робить докази багатьох теорем коротше.
Однак, можливо, головне значення нестандартного аналізу полягає в іншому. Мова нестандартного аналізу виявився зручним засобом побудови математичних моделей фізичних явищ. Ідеї ​​та методи нестандартного аналізу можуть стати важливою частиною майбутньої фізичної картини світу. У всякому разі вже сьогодні багато фахівців з математичної фізики активно використовують нестандартний аналіз у своїй роботі.
Нестандартний аналіз дозволяє з нової точки зору подивитися на багато міркування класиків математичного аналізу, що здаються несуворими, але приводять до успіху, і шляхом відносно невеликих уточнень зробити їх задовольняють сучасним критеріям строгості.
1. Лейбніц і "ДАВНЯ ІСТОРІЯ" НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛІЗУ
Вік нестандартного аналізу коливається (в залежності від точки зору) від двох з половиною десятків до трьох сотень років. Два з половиною десятки вийде, якщо вважати, що нестандартний аналіз зародився восени 1960 р., коли його засновник, Абрахам Робінсон, зробив доповідь на одному нз семінарів Прінстонського університету про можливість застосування методів математичної логіки до обгрунтування математичного аналізу. Триста років вийде, якщо вважати початком нестандартного анліз поява символів нескінченно малих dx, dy трактаті Лейбніца "Новий метод".
Важко сказати з упевненістю, наскільки насправді Лейбніц був близький до ідей нестандартного аналізу. Як пише сам Робінсон "історія предмета зазвичай пишеться в світлі його пізнішого розвитку. Вже більше ніж півстоліття всі огляди історії диференціального й інтегрального числень грунтувалися на впевненості в тому, що поняття нескінченно малих та нескінченно великих, якщо навіть і несуперечливо, марно для розвитку аналізу. У результаті в роботах цього періоду помітно відмінність між суворістю, з якою розглядаються ідеї Лейбніца та його послідовників, і поблажливістю, що проявляється до провісникам ідеї межі ". Характерно, наприклад, таке висловлювання Анрі Лебега від 3 грудня 1926 р. "Нескінченно малі були колись туманними сутностями, що зустрічалися в незрозумілих і неточних формулюваннях. Все роз'яснити згодом завдяки поняттю межі ".
Вважаючи, що ідеї Лейбніца та ідеї прихильників поняття граничного переходу мірялися подвійним стандартом при несправедливому відміні терезів правосуддя на користь межі, Робінсон пропонує багато в чому переглянути загальну картину виникнення і розвитку математичного аналізу від Ньютона і Лейбніца до Коші і Вейєрштрасса. Цей перегляд призводить до більш повного визнання заслуг Лейбніца, і сам Лейбніц переміщається, таким чином, з розряду геніїв третього класу в розряд геніїв другого класу (класифікація, запропонована Станіславом Лемом: у цій класифікації генії третього класу отримують прижиттєве, а генії більш високого класу - лише посмертне визнання).
Викладемо історико-математичні погляди Робінсона. Робінсон резюмує стандартний погляд на історію розвитку математичного аналізу в наступних словах: "Після тривалого періоду, протягом якого були визначені площі, обсяги і дотичні в різних приватних випадках, в другій половині сімнадцятого століття Ньютоном і (трохи пізніше, але незалежно) Лейбніцем була побудована загальна теорія диференціювання та інтегрування. Торкаючись обгрунтування введених ним понять, Ньютон звертався то до нескінченно малим, то до меж, то безпосередньо до фізичної інтуїції; його безпосередні послідовники вважали за краще останнє. З іншого боку, Лейбніц і його послідовники розвивали теорію виходячи з диференціалів першого та наступних порядків. Технічні зручності позначень, які використовували диференціали, привели до швидкого розвитку Аналізу та його додатків в Європі, де вони були прийняті. Проте внутрішні суперечності цієї концепції привели до усвідомлення того, що необхідні якісь інші підстави. Лагранж вважав, що йому вдалося знайти відповідний шлях, взявши за основу тейлоровское розкладання функції. Але перше строге обгрунтування математичного аналізу було дано лише Коші. Основою теорії Коші було поняття межі, яке, будучи вперше висунуто Ньютоном, згодом підтримувалося Даламбером. Більш формальний виклад методів Коші було дано Вейерштрасом (якого в деякій мірі передбачив Больцано). Після створення теорія меж використання нескінченно великих і безкінечно малих перетворилося на мовний зворот, який застосовується у висловах на кшталт "... прямує до нескінченності ". Подальший розвиток теорії неархімедових полів було цілком надано алгебри. "
Цей стандартний вдивися, але думку Робінсона, в деяких відносинах "повинен бути доповнений або навіть змінено". У доказательст цього Робінсон наводить велику кількість витягів з творів Лейбніца та інших згаданих вище авторів. Як вважає Робінсон, "... ставлення Лейбніца до нескінченно великим і нескінченно малим величинам в Аналізі в основному залишалося незмінним протягом двох останніх десятиліть його життя. Він повністю схвалював їх введення, але вважав їх "ідеальними елементами, подібними уявним числа. Ці ідеальні елементи підкоряються тим же законам, що й звичайні числа. Тим не менш вони являють собою не більш ніж зручні фікції, необхідні для полегшення міркувань і відкриттів. Завжди, при бажанні, можна виключити їх використання і повернутися до стилю античних математиків, розмірковуючи в термінах величин, досить великих (або малих) для того, щоб помилка була менше будь-який наперед заданої. Усе це чітко і неодноразово стверджується в творах Лейбніца ".
Наведемо тепер деякі з висловлювань Лейбніца, цитованих Робінсоном.
"... Потрібно сприймати нескінченне подібно до того, як це робиться в оптиці, коли сонячні промені вважаються приходять з нескінченно віддаленої точки і тому паралельними ... І коли є різні порядки нескінченного або нескінченно малих, то розуміються вони в тому ж сенсі, в якому земну кулю вважається точкою в порівнянні з відстанню до нерухомих зірок, а кулька в наших руках - крапкою в порівнянні з радіусом земної кулі, так що відстань до нерухомих зірок є нескінченно нескінченним або нескінченністю нескінченності по відношенню до діаметру кульки. Замість нескінченно великого або нескінченно малої кількості можна взяти кількість настільки велике чи мале, наскільки це потрібно, щоб помилка не перевищувала заданої. Відмінність від архімедовского стилю міркувань лише у виразах, які у нас більш безпосередні і краще пристосовані для мистецтва винаходити ".
"... Якщо хтось не бажає розглядати нескінченно великі і малі в строго метафізичному сенсі, як реально існуючі, він можег користуватися ними як« ідеальними поняттями », які скорочують міркування, подібно уявним коріння в звичайному аналізі ... Таким же чином представляють більше трьох вимірів ...- все це для встановлення ідей, здатних скорочувати міркування і спираються на реальностях.
Не слід все ж таки уявляти, що наука про нескінченному принижується цим поясненням і зводиться до фікціям, бо постійно залишається, кажучи мовою схоластики, сінкатегорематіческая нескінченність. Наприклад, залишається вірним, що 2 дорівнює 1 / 1 +1 / 2 +1 / 4 +1 / 8 +1 / 16 +1 / 32 і т. д., що є нескінченний ряд, у якому містяться одразу всі дробу з чисельником 1 і зі знаменниками, створюючими подвоюються геометричну прогресію, хоча тут вживають весь час лише звичайні числа і хоча не вводять ніякої нескінченно малою дробу чи дробу з нескінченним знаменником ... Правила кінцевого зберігають силу в нескінченному, як якщо б існували атоми ..., хоча вони зовсім не існують, бо матерія насправді ділена без кінця і, навпаки, правила нескінченного зберігають силу в кінцевому, як якщо б були метафізичні нескінченно малі, хоча в них і немає потреби і хоча поділ матерії ніколи не приходить до нескінченно малим частинкам. Це пояснюється тим, що все управляється розумом і що інакше зовсім не було б ні науки, ні правила, а це не узгоджувалося б з природою верховного початку ". (Цей вислів Лейбніца можна при бажанні розглядати як формулювання принципу переносу, що дає ще одну підставу називати його також "принципом Лейбніца".)
"... Непорівнянні величинами я називаю такі, одна з яких ніколи не зможе перевершити іншу, на яке кінцеве число її б ні помножити, так само як це розуміє Евклід ...".
Наведемо ще кілька цитат (на цей раз відсутніх у монографії Робінсона).
"... Новий Аналіз нескінченних розглядає не лінії і не числа, але величини взагалі, як це робить звичайна Алгебра. Цей Аналіз містить новий алгоритм, тобто новий спосіб складати, віднімати, множити, ділити, витягувати коріння, відповідний незрівняним величинам, тобто тим, які нескінченно великі чи нескінченно малі в порівнянні з іншими ... "
Методи Лейбніца панували в Європі протягом більш ніж 50 років. Проте в другій половині XVIII століття почалися пошуки альтернативних шляхів побудови аналізу. Лагранж пропонував розглядати розкладання функцій у степеневі ряди, припускаючи, що будь-яка або майже будь-яка функція може бути розкладена в такий ряд. Даламбер пропонував поняття межі в якості початкового для побудови математичного аналізу. Він писав:
"Кажуть, що одна величина лявляется межею інший, якщо друга може наблизитися до першого ближче, ніж на будь-яку задану величину ... Теорія меж є підставою справжньої Метафізики диференціального обчислення ... У диференційному численні мова йде не про нескінченно малих величинах, як це зазвичай стверджують, ідеться лише про переділи кінцевих величин ... Терміном "нескінченно мала» користуються лише як скороченням ... »
Ці висловлювання Даламбера виглядають як виклад сучасної точки зору на межі. Можна було б припустити, що з цього часу поняття нескінченно малих буде повністю усунено. Це, однак, не так. Коші, що розглядається зазвичай як засновник сучасного підходу до побудови аналізу, використовує поняття нескінченно малої величини. Намагаючись пояснити в сучасних термінах, що Коші називає "величиною", можна припустити, що величина - це функція з дійсними значеннями, визначена на впорядкованій множині без найбільшого елемента. Коші, однак, аж ніяк не зводить величини до функцій. Навпаки, він говорить про функції як про співвідношення, що зв'язує дві величини. У його викладі нескінченно малі і межі фігурують як рівноправні компоненти обгрунтування аналізу.
2. РОБІНСОН І «НОВА ІСТОРІЯ» НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛІЗУ
У 1961 р. з'явилася стаття А. Робінсона «Нестандартний аналіз» в Працях Нідерландської академії наук. У статті намічені як основні положення нестандартного аналізу, так і деякі його додатки (наприклад, до аналітичної механіки). У цій статті Робінсон, зокрема, писав: "Наша головна мета - показати, що ці моделі дають природний підхід до старої поважної проблеми побудови обчислення, що включає нескінченно великі і нескінченно малі кількості. Як добре відомо, використання нескінченно малих, наполегливо захищається Лейбніцем і без коливанні прийняте Ейлером, було дезавуйовано з появою методів Кошн, поставили математичний аналіз на тверду основу ".
Отже, до 1961 р. поняття нескінченно малої поятоянной величини, нескінченно малого числа, інтерпретувалося як у найкращому разі нестрогое, а в гіршому - безглузде. Робінсон вперше виявив, що цьому поняттю можна надати точний математичний сенс.
Протягом наступних восьми років вийшли в світ три монографії, показували б нестандартну теорію: в 1962 р. - книга У. Л. Дж. Люксембургу "Нестандартний аналіз. Лекції про робінсоновой теорії нескінченно малих та нескінченно великих чисел ", в 1966 р. - книга самого А. Робінсона" Нестандартний аналіз ", в 1969 р. - книга М. Маховер і Дж. Хіршфелд" Лекції про нестандартному аналізі "] (з 77 сторінок цих "Лекцій" дійсною прямий відведено трохи болеее двох: «нестандартний аналіз» розуміється тут у самому широкому сенсі).
Найбільший резонанс викликала книга Робінсона. У дев'яти перших розділах цієї монографії містилося як побудова необхідного логіко-математичного апарату, так і численні додатки - до диференціального і інтегрального числення, до загальної топології, до теорії функцій комплексного змінного, до теорії груп Лі, до гідродинаміці й теорії пружності.
У 1966 р. з'явилася стаття А.Р. Бернстейном і А. Робінсона, в якій вперше методами нестандартного аналізу було отримано рішення проблеми інваріантних просторів для поліноміальної компактних операторів. У нарисі П.Р. Халмош "Погляд у Гільбертів простір" як проблеми фігурує поставлена ​​К.Т. Смітом завдання про існування інваріантного підпростору для таких операторів Т в гільбертовому просторі , Для яких оператор компактний. А.Р. Бернстейном і А. Робінсоном методами нестандартного аналізу було доведено, що будь-який поліноміальної компактний оператор у гільбертовому просторі має нетривіальне інваріантне замкнутий підпростір.
Програми нестандартного аналізу в математиці охоплюють велику область від топології до теорії диференціальних рівнянь, теорії заходів і ймовірностей. Що стосується внематематіческіх додатків, то серед них ми зустрічаємо навіть додатки до математичній економіці. Багатообіцяючим виглядає використання нестандартного гильбертова простору для побудови квантової механіки. А в статистичній механіці стає можливим розглядати системи з нескінченного числа частинок. Крім застосувань до різних галузей математики, дослідження в області нестандартного аналізу включають в себе і дослідження самих нестандартних структур.
У 1976 р. вийшли одразу три книги по нестандартному аналізу: "Елементарний аналіз" і "Підстави обчислення нескінченно малих" Р. Дж. Кейслера і "Введення в теорію нескінченно малих" К. Д. Стройана і В. А. Дж. Люксембургу.
Бути може, найбільшу користь нестандарти методи можуть принести в галузі прикладної математики. У 1981 р. вийшла книга Р. Лутца і М. Гозе "Нестандартний аналіз: практичне керівництво з додатками". У цій книзі після викладу основних принципів нестандартного аналізу розглядаються питання теорії збурень.
В даний час нестандартний аналіз завойовує все більше визнання. Відбувся ряд міжнародних симпозіумів, спеціально присвячених нестандартного аналізу і його додатків. Протягом останнього десятиліття нестандартний аналіз (точніше, елементарний математичний аналіз, але заснований на нестандартному підході) викладався в ряді вищих навчальних закладів США.
3. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ ВЕЛИЧИНИ
Один з найбільш принципових моментів нестандартного аналізу полягає в тому, що нескінченно малі розглядаються не як змінні величини (тобто не як функції, які прагнуть до нуля, як вчать сучасні підручники), а як величини постійні. Такий підхід добре узгоджується як з інтуїцією натураліста, так і з реальною історією зародження математичного аналізу. Що стосується інтуїції, то досить розкрити будь-який підручник фізики, щоб натрапити на нескінченно малі збільшення, нескінченно малі обсяги і т.п. Всі ці величини мисляться, зрозуміло, не як змінні, а просто як дуже маленькі, майже рівні нулю. Було б неправильно вважати подібного роду інтуїцію притаманною лише авторам підручників фізики. Навряд чи якийсь математик сприймає (наочно) елемент дуги ds інакше, ніж "дуже маленьку дугу". Будь-який математик, складаючи відповідне диференціальне рівняння, скаже, що за нескінченно малий час dt точка пройшла нескінченно малий шлях dx, а кількість радіоактивної речовини змінилося на нескінченно малу величину dN.
Що ж стосується історії математичного аналізу, то в найбільш явній формі викладається підхід проявився у одного з основоположників цієї науки - Лейбніца. У травні 1984 р. виповнилося 300 років з того дня, як символи dx і dy вперше з'явилися на сторінках математичних публікацій, а саме в знаменитому мемуарі Лейбніца "Новий метод ...". Саме Лейбніц ясніше інших відчував нескінченно малі величини постійними (хоча й уявними, ідеальними) величинами особливого роду, і саме Лейбніц сформулював правила оперування з нескінченно малими у вигляді обчислення.
Які позитивні числа слід називати нескінченно малими?
Перший відповідь така: позитивне число e називається нескінченно малою, якщо воно менше всіх позитивних чисел. Однак нескінченно малих в цьому сенсі позитивних чисел не буває: адже якщо число менше всіх позитивних чисел і саме позитивно, воно повинно бути менше самого себе. Спробуємо виправити становище, зажадавши, щоб e було менше за всіх інших
позитивних чисел, але більше нуля, тобто щоб e було найменшим у множині позитивних чисел. На числової осі таке e повинні зобразити самої лівої точкою множини (0, + ¥). На жаль, числа e з зазначеними властивостями теж немає і не може бути: якщо e позитивно, то число e / 2 буде позитивним числом, меншим e. (Згідно звичайним властивостями нерівностей для всякого а> 0 виконуються нерівності 0 <а / 2 <а). Так що якщо ми не хочемо відмовлятися від звичних нам властивостей дійсних чисел (наприклад, від можливості розділити будь-яке число на 2 або від можливості помножити будь нерівність на позитивне число), але хочемо мати нескінченно малі числа, то наведене визначення нескінченної малості не годиться.
Більш витончене визначення нескінченної малості числа e> 0, яке ми будемо використовувати надалі, таке. Будемо складати число e з самим собою, отримуючи числа e, e + e, e + e + e, e + e + e + e і т. д. Якщо всі отримані числа виявляться менше 1, то число e і буде називатися нескінченно малим. Іншими словами, якщо e нескінченно мало, то скільки разів не відкладай відрізок довжини e вздовж відрізка довжини 1, до кінця не дійдеш. Наша вимога до нескінченно малому e можна переписати і в такій формі (поділивши на e): 1 <1 / e, 1 +1 <1 / e, 1 +1 +1 <1 / e, ...
Таким чином, якщо число число e нескінченно мало, то число 1 / e нескінченно велике в тому сенсі, що воно більше будь-якого з чисел 1, 1 +1, 1 +1 +1, 1 +1 +1 +1 і т. д . Так що якщо ми почнемо вимірювати відрізок довжиною 1 / e з допомогою еталона довжини (тобто відкладаючи послідовно відрізки одиничної довжини), то процесу вимірювання ніколи не закінчимо.
З вищевикладеного випливає, що існування нескінченно малих суперечить так званої аксіомі Архімеда, яка стверджує, що для будь-яких двох відрізків А і В можна відкласти менший з них (А) стільки разів, щоб в сумі отримати відрізок, що перевершує по довжині більший відрізок (В) .
Наведена формулювання стосується відрізків; якщо вважати (як це зазвичай робиться), що довжини відрізків є числами, ми приходимо до такого формулювання аксіоми Архімеда: для будь-яких двох чисел а і b, для яких 0 <а <b, одне з нерівностей а + а > b, a + а + a> b, ... обов'язково виконано. Надалі, кажучи про аксіомі Архімеда, ми будемо мати на увазі саме це формулювання. З неї видно, що в множині дійсних чисел (де ця аксіома виконується) нескінченно малих немає: щоб переконатися в цьому, досить покласти a = e, b = 1. Ми побачимо надалі, що насправді аксіома Архімеда рівносильна твердженням про відсутність нескінченно малих елементів, не рівних нулю.
Висновок - якщо ми хочемо розглядати нескінченно малі, потрібно розширити безліч R дійсних чисел до деякого більшого безлічі * R. Елементи цієї нової множини будемо називати гіпердействітельнимі числами. У ньому аксіома Архімеда не виконується і існують нескінченно малі (в сенсі останнього визначення) числа - такі, що хоч скільки їх складай з собою, сума буде весь час залишатися менше 1. Подібно до того як звичайний (або стандартний) математичний аналіз займається вивченням безлічі дійсних чисел R, нестандартний аналіз вивчає безліч гіпердействі-них чисел * R. Отримані при цьому результати використовуються для дослідження властивостей R. (Таким чином можуть бути отримані "нестандартні" докази властивостей звичайних дійсних чисел.)
Порядок на R архимедів, а на * R неархімедов: це означає, що в R аксіома Архімеда виконується, а в * R не виконується. З цієї причини стандартний (звичайний) аналіз, що вивчає R, називається ще архімедовим, а нестандартний аналіз, що вивчає * R, називають неархімедовим.
Для побудови нестандартного аналізу необхідно розширити безліч дійсних чисел до більш широкого безлічі гіпердействітельних чисел.
Але перш поговоримо про самих дійсних числах і їх походження.
До цих пір ми припускали відомим поняття дійсного числа. Поняття дійсного числа має довгу історію, що почалася ще в стародавній Греції (про що нагадує назву "аксіома Архімеда") і закінчилася лише в XIX столітті. Самою початкової і основної числової системою є, звичайно, система натуральних чисел. Натуральних чисел, однак, виявляється мало: намагаючись вирішити рівняння 3 + х = 2 в натуральних числах, ми виявляємо, що воно не має рішень і наше бажання визначити операцію віднімання виявляється незадоволеним. Тому ми розширюємо безліч натуральних чисел до множини цілих чисел. У цій процедурі для нас зараз важливо наступне: яким чином ми визначимо додавання і множення на цілих числах? Те, що 2 + 2 == 4, можна побачити, склавши дві купи по два яблука в одну. Але чому ми вважаємо, що (-2) + (-2) = (-4)? Чому ми вважаємо, що (-1) (-1) = 1?
Ці питання не так тривіальні, як може здатися. Знайти правильну відповідь буде легше, якщо сформулювати питання інакше: що поганого станеться, якщо ми будемо вважати, наприклад, що (-1) (-1) = (-1)? Відповідь проста: в цьому випадку добре відомі властивості додавання і множення натуральних чисел (комутативність, асоціативність тощо) не будуть виконуватися для цілих чисел. Можна показати, що звичайне визначення операцій над негативними числами єдино можливе, якщо ми хочемо зберегти звичні властивості операцій додавання і множення.
Тут слід зупинитися: які ж саме властивості додавання і множення ми хочемо зберегти? Адже якби ми хотіли зберегти всі властивості, то введення від'ємних чисел було б не тільки зайво, але і шкідливо: властивість "рівняння х +3 = 2 не має рішень", вірне для натуральних чисел, стає невірним для цілих! Якщо ж ми нічого не хочемо зберегти, то завдання стає настільки ж легкою, як і порожній: можна визначити операції з негативними числами як завгодно.
Повертаючись до історії розвитку поняття числа, ми бачимо, що введення від'ємних чисел не доставляє повного задоволення: рівняння 2x = 3 як і раніше не має рішення. Це спонукає ввести раціональні (дробові) числа. Але й цього недостатньо: від раціональних чисел доводиться перейти до дійсних. У результаті виходить послідовність множин NÌZÌQÌR (натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел; А Ì В означає, що будь-який елемент множини А належить множині B. У цій послідовності кожне наступне безліч включає в себе попереднє, при цьому були в попередньому операції тривають на наступне , більш широке, безліч, зберігаючи свої корисні властивості.
Ми хочемо продовжити цю послідовність ще на одні член, отримавши послідовність NÌZÌQÌRÌ * R, де * R - безліч гіпердействітельних чисел. Новий крок розширення буде мати багато спільного з попередніми: ми продовжимо на * R наявні в R операції, зберігши їх корисні властивості. Але будуть і 2 важливих відмінності.
По-перше, якщо розширення (перехід від R к * R) можна виконати багатьма різними способами: можна побудувати істотно різні множини * R, жодне з яких нічим не виділяється серед інших. У той жо час, всі попередні кроки нашого розширення числової системи від N до R були в деякому сенсі однозначні.
По-друге, є різниця в наших цілях. Якщо раніше (рухаючись від N до R) ми будували нову числову систему перш за все для того, щоб дослідити її властивості та її застосування, то побудована система * R призначається не стільки для того, щоб дослідити її властивості, скільки для того, щоб з її допомогою досліджувати властивості R. Втім відмінність і не таке велике: і раніше розширення числової системи було одним із способів отримання нових знань про старі об'єктах. Крім того, безліч * R можна розглядати, можливо, як відповідне фізичної реальності не меншою (і навіть більшою) мірою, ніж R.
Отже, необхідно розширити безліч R дійсних чисел до більшого безлічі * R, що містить нескінченно малі, зберігши при цьому всі корисні властивості R. Центральне питання полягає в тому, які саме властивості дійсних чисел ми бажаємо зберегти. Відповімо на це питання не відразу, почавши з найбільш простих властивостей дійсних чисел.
Перш за все, ми хочемо, щоб гіпердействітельние числа можна було складати, примножувати, віднімати і ділити, щоб ці операції мали звичайними властивостями, званими «аксіомами поля». Сформулюємо їх.
Серед гіпердействітельних чисел повинні бути виділені числа 0 і 1; визначені операції додавання, множення взяття протилежного, а також операція взяття зворотного. При цьому повинні виконуватися такі властивості:
(1) a + b = b + a (2) a + (b + c) = (a + b) + c (3) a +0 = a (4) a + (-a) = 0 (5) ab = ba
(6) a (bc) = (ab) c (7) a * 1 = a (8) a (b + c) = ab + ac (9) a * (1 / a) = 1 при a <> 0 .
Безліч з операціями, що володіють цими властивостями, називається полем. Вимоги (1) - (9) можна сформулювати так: * R повинне бути полем.
Кромеаріфметіческіх операцій, задамо на гіпердействітельних числах порядок. Для будь-яких двох різних гіпердействітельних чисел має бути визначено яке з них більше. При етоі повинні виконуватися такі властивості:
(10) якщо a> b, b> c, то a> c
(11) якщо a> b, то a + c> b + c для будь-якого з
(12) якщо a> b, c> 0, то ac> bc
якщо a> b, c <0, то ac <bc
Поле, в якому введено порядок з такими властивостями, називається впорядкованим полем. Вимоги (10) - (12) можна сформулювати так: * R має бути впорядкованим полем.
Ми хочемо, щоб серед гіпердействіетльних чисел були всі дійсні. При цьому операції і порядок на R і на * R повинні бути соглсовани. Ця вимога можна сформулювати так: упорядковане поле * R повинне бути розширенням упорядкованого поля R.
Що ж нового ми очікуємо від * R? Нескінченно малих.
Визначення. Елемент e> = 0 упорядкованого поля називається нескінченно малою, якщо e <1, e + e <1. e + e + e <1 і т.д. Негативне e називається нескінченно малою, якщо-e нескінченно мало.
Існування ненульових нескінченно Малх рівносильно порушення аксіоми Архімеда для гіпердействітельних чисел. Впорядковані поля, в яких справедлива аксіома Архімеда і немає нескінченно малих, називають архимедова упорядкованими. Ті поля, в яких аксіома Архімеда невернаі є нескінченно малі, називають неархімедово впорядкованими (неархімедовим).
У цих термінах треюованія можна сформулювати так: система гіпердействітельних чисел повинна бути неархімедово впорядкованим полем, що є розширенням упорядкованого поля дійсних чисел.
4. ГІПЕРДЕЙСТВІТЕЛЬНАЯ ПРЯМА
Припустимо, що неархімедово розширення упорядкованого поля дійсних чисел існує. Досліджуємо його властивості.
Нехай * R - неархімедово розширення R. Його елементи називаються гіпердействітельнимі числами. Серед них містяться і всі дійсні числа. Для відмінності тих гіпердействітельних чисел, які не є дійсними (елементи R) назвемо їх стандартними, а остальнгие гіпердействітельние (елементи * R \ R) - нестандартними. Тоді нескінченно малі є нестандартними, так як серед дійсних чисел нескінченно малих немає.
Нескінченно малі позитивні числа менше всіх стандартних позитивних чисел. Аналогічним чином негативні нескінченно малі числа більше всіх стандартних негативних чисел. Таким чином, якщо намагатися зобразити нескінченно малі числа на числовій прямій, то довелося б втиснути їх настільки близько до нуля, щоб всі позитивні стандартні числа виявилися праворуч, а негативні - зліва.
Вказана властивість може слугувати визначенням нескінченної малості: якщо число e> 0 менше за всіх стандартних позитивних чисел, то воно дуже мало.
Визначення. Гіпердействітельное число А> 0 називається нескінченно великою, якщо А> 1, А> 1 +1, А> 1 +1 +1,. ... (Від'ємне число В називається нескінченно великою, якщо такий його модуль)
Позитивне нескінченно велике число А більше будь-якого стандартного.
Аналогічним чином всяке негативне нескінченно велике гіпердействітельное число менше будь-якого стандартного.
Визначення. Гіпердействітельние числа, які не є нескінченно великими, будуть називатися кінцевими.
Твердження. Якщо s - кінцеве гіпердействітельное число, то знайдуться стандратное v і нескінченно мале e, для яких s = v + e. Таке уявлення єдино.
Визначення. Стандартної частиною st (x) кінцевого гіпердействітельного числа x називається таке стандартне v, що x = v + e для нескінченно малого e.
Гіпердействітельная пряма розбивається на 3 частини (зліва направо): негативні нескінченно великі, кінцеві, позитивні нескінченно великі. Розглянемо «кінцеву частину» гіпердейсьвітельной прямій. Поруч з кожним стандартним дійсним числом а розташована безліч нескінченно близьких до нього гіпердействітельних чисел, для яких а є стандратной частиною. Це безліч називають монадою стандартного числа а. Безліч кінцевих гіпердействітельних чисел розбите на непересічні класи - монади, що відповідають стандартним дійсним.
Сума і різниця нескінченно малих нескінченно малі, твір нескінченно малого і кінцевого гіпердействітельних чисел нескінченно мало.
Визначення. Два гіпердействітельних числа називаються нескінченно близькими, якщо їх різниця нескінченно мала.
З наведених вище властивостей нескінченно малих випливає, що ставлення нескінченної близькості є відношення еквівалентності. Це означає, що відношення нескінченно близькості рефлексивно (кожне x нескінченно близько самому собі), симетрично (якщо x Бескон близько до y, то y нескінченно близько до x) і транзитивне (якщо x Бескон близько до y, а y нескінченно близько до z, то x нескінченно близько до z). Будь-яке відношення еквівалентності розбиває безліч, на якому воно визначене на непересічні класи, причому будь-які два елементи одного класу еквівалентні, а будь-які два елементи різних класів не еквівалентні. Зокрема, наше ставлення розбиває * R на непересічні класи, причому елементи одного класу нескінченно близькі один до одного, а елементи різних класів - ні. Класи, що містять стандартні дійсні числа, представляють собою згадувані вище «монади».

5. ПРИКЛАД НЕАРХІМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЇ СИСТЕМИ

До цих пір мова йшла про гіпердействітельной прямий (а точніше, будь-якому неархімедовом розширенні упорядкованого поля дійсних чисел). Виникає питання - чи існує хоча б один такий распшреніе. Побудуємо таке розширення.
Основна ідея цього побудови може бути описана в одній фразі так: у нас немає об'єктів, але є імена для них; так оголосимо ж імена об'єктами! Ця (часто застосовується у математичній логіці) ідея конкретизується в нашому випадку наступним чином.
Ми знаємо, що в нашому (поки ще не побудованому і невідомо існуючому чи) розширенні повинне бути хоча б одне нескінченно мале позитивне гіпердействітельное число. Позначимо його через e. Оскільки гіпердействітельние числа можна множити один на одного (і, зокрема, на дійсні числа), то поряд з e в нашому розширенні будуть і числа 2e, 0,5 e і взагалі всі числа виду a e, де а - довільне стандартне дійсне число. Більш того, число e можна множити і на себе, тому в нашому розширенні будуть наявні e 2, e 3, 2e 2, Зe 2 +2 e +1, ... і взагалі все гіпердействітельние числа виду Р (e), де P - многочлен зі стандартними дійсними коефіцієнтами.
Безліч чисел такого виду замкнуто щодо складання, віднімання та множення. Це означає, що, складаючи, віднімаючи або перемножая два числа такого виду, ми знову отримаємо число такого ж виду. Але для гіпердействітельних чисел визначено ще й ділення. Тому в розширенні будуть і числа виду Р (e) / Q (e), де P і Q - многочлени зі стандартними дійсними коефіцієнтами. Після цього ми отримуємо безліч гіпердействптельних чисел, замкнутий щодо всіх арифметичних операцій: складаючи, віднімаючи, множачи або ділячи два дробу зазначеного виду за звичайними правилами, отримуємо дріб такого ж виду.
Таким чином, не маючи поки шуканого розширення, ми вже змогли назвати деякі його елементи, дати їм імена. Цими іменами є записи виду P (e) / Q (e), де e - деякий символ. Більше того, ми можемо судити і про те, яка з двох записів позначає більше число. Справді, достатньо вміти визначати, позначає чи даний запис позитивне, негативне або нульове число (оскільки а> b тоді і тільки тоді, коли a - b> 0). Знак дробу можна визначити по знаках чисельника і знаменника, отже достатньо вміти визначати знак P (e), де Р - многочлен. Це робиться так. Легко бачити, що знак величини a 0 + a 1 e + ... збігається зі знаком a 0, якщо a 0 <> 0. У самому справі, добавка a 1 e + ... нескінченно мала, а складаючи позитивне (негативне) число з нескінченно малим, ми отримуємо позитивний (відповідно негативне) число. Можливий, проте, випадок a 0 = 0. Будемо вважати для визначеності, що e - позитивне нескінченно мале. Винесемо з нашого многочлена e найбільшою можливою мірою, тобто представимо його у вигляді e k (a k + a k +1 e + ...), де a k вже відмінно від 0. Знак всього виразу визначається знаком вирази в дужках (при множенні на позитивне число знак не змінюється), а знак вираження в дужках (як ми вже бачили) визначається знаком числа a k..
По суті, ми вже побудували шукане неархімедово розширення. Потрібно лише подивитися на наші міркування з іншої позиції. До цих пір вираження P (e) / Q (e) розглядалися нами як імена «справжніх» гіпердействітельних чисел (взятих невідомо звідки). А тепер вони стануть самими гіпердействітельнимі числами. Розглянемо формальні вирази виду P (e) / Q (e), де e - деякий символ, P, Q - многочлени з дійсними коефіцієнтами, причому Q <> 0. Проголошуючи, що об'єктами, а в даному випадку гіпердействітельнимі числами, ми оголосимо імена, а в даному випадку висловлення, або запису виду P (e) / Q (e), ми були не зовсім точні. Справа в тому, що, очевидно, дві різні записи можуть виражати одне й те саме число (іншими словами, бути двома різними іменами одного і того ж числа): так, наприклад, природно вважати, що запис (e 2 -1) / ( e-1) виражає те ж саме число, що й (e +1) / 1.
Будемо називати два вирази P (e) / Q (e) і R (e) / S (e) еквівалентними, якщо P (e) * S (e) = R (e) * Q (e) (рівність розуміється як рівність многочленів, тобто як рівність коефіцієнтів при однакових ступенях). Легко перевірити, що це визначення дійсно задає відношення еквівалентності, розбиває всі вирази виду P (e) / Q (e) на класи. Ці класи ми і будемо називати гіпердействітельнимі числами. Додавання, віднімання, множення і ділення гіпердействітельних чисел визначаються за звичайними правилами. Так, наприклад, якщо a - клас, що містить P / Q, а b - клас, що містить R / S, то їх сумою називається клас, що містить (PS + RQ) / SQ, а твором - клас, що містить PR / QS. Легко перевірити, що це визначення коректно, тобто не залежить від вибору елементів P / Q в класі a і R / S в класі b (в результаті виходять різні представники одного і того ж класу). Аналогічним чином можна визначити взяття зворотного і протилежної, нуль і одиницю. Неважко перевірити, що всі аксіоми поля при цьому будуть виконані. Викладена конструкція добре відома в алгебрі: побудоване поле називається полем раціональних функцій з коефіцієнтами в R і позначається R (e).
Залишилося визначити лише порядок, вказавши, як вибрати з двох різних гіпердействітельних чисел (тобто з двох різних класів еквівалентних дробів) більше. Для цього потрібно відняти одне число з іншого і визначити, чи буде різниця (відмінна від нуля, оскільки числа різні) позитивною або негативною. Щоб визначити, чи буде відмінне від нуля число a позитивним чи негативним, візьмемо його представник P / Q. Тут P, Q відмінні від 0 (Q відмінно від нуля за визначенням, Р - тому що, за нашим припущенням, різниця не дорівнює 0) . Винесемо в чисельнику і в знаменнику e найбільшою можливою мірою:
P = e k (a k + a k +1 e + ...), Q = e l (b l + b l +1 e + ...), a k, b l відмінні від 0.
Число a буде позитивним, якщо a k, b l мають однакові знаки, і негативним, якщо вони мають різні знаки.
Побудоване упорядковане поле R (e) можна розглядати як розширення поля R: досить ототожнити дійсне число х з класом еквівалентних дробів, що містить дріб x / 1. Залишилося лише показати, що аксіома Архімеда не виконується, пред'явивши нескінченно малий елемент. Цим елементом буде, звичайно, e (точніше, клас, що містить e / 1). У самому справі, e + e + ... + E <1, так як різниця 1-ne позитивна (знак визначається вільним членом, а 1> 0).
Шукане розширення побудовано.
6. НОВІ ВИМОГИ ДО ГІПЕРДЕЙСТВІТЕЛЬНИМ ЧИСЛАХ І ОСНОВНА ГІПОТЕЗА
Ми побудували неархімедово розширення R (e) поля дійсних чисел. Новим вимогою до гіпердействітельним числах яляется наступне. Потрібно вміти обчислювати «значення» стандартних функцій (заданих спочатку як функції з дійсними аргументами і значеннями) на гіпердействітельних аргументах. Іншими словами, для кожної функції f: R ® R необхідно мати її «гіпердействптельний аналог» * f: R ® R. При цьому, значення * f на стандартних числах повинні збігатися з відповідними значеннями функції f. Іншими словами, * f має бути продовженням f. Такі аналоги були у нас для операцій додавання, віднімання, множення і ділення. Але цього мало: потрібні такі аналоги і для інших функцій.
Отже, для кожної стандартної функції f (функції з дійсними аргументами і значеннями) нам треба мати її гіпердействітельное продовження * f. Якщо від * f нічого не вимагати, то це тривіально: можна вважати, що у всіх дійсних точках * f приймає ті ж значення, що і f, а в нестандартних точках * f має які завгодно значення (наприклад, нулі). Ясно, однак, що від такого продовження ніякого толку немає:
Потрібно виділити деякий клас властивостей - клас тих властивостей, які ми хочемо зберегти. Правильний вибір цього класу має вирішальне значення для успіху нашого побудови системи гіпердействітельних чисел. Якщо цей клас буде дуже вузький, то від наявності продовжень * f не буде користі. Якщо ж, навпаки, він буде занадто широкий, то сама можливість побудови системи гіпердействітельпих чисел і визначення продовжень опиниться під загрозою.
Наше головне завдання - описати, які властивості стандартних функцій ми хочемо зберегти при переході від дійсних чисел до гіпердействітельним. Є дві можливості це зробити. Перша можливість полягає у застосуванні методів математичної логіки. Можна сказати, що при переході від дійсних чисел до гіпердействітельним зберігаються всі властивості, які можна висловити на «мові першого порядку». Друга можливість дозволяє обійтися більш «кустарними» засобами і не вдаватися до відомостей з логіки. Звичайно, при цьому ми будемо відчувати деякі незручності, використовувати обхідні маневри і т. п., але зате не потрібно знайомство з математичною логікою.
Ми припускаємо, що крім поля R дійсних чисел є більш широке упорядковане поле * R гіпердействітельних чисел, що включає R як підмножина (ще раз підкреслимо, що існування * R з потрібними властивостями є поки тільки гіпотезою, а не доведеним фактом). Нехай для кожної функції f з дійсними аргументами є її природне поширення, її «гіпердействітельний аналог» - функція з гіпердействітельнимі аргументами і значеннями. При цьому функція f може бути функцією не тільки одного дійсного аргументу, а й двох, трьох і т. д.; функція * f, зрозуміло, повинна мати те ж саме число аргументів. Для простоти ми поки не будемо розглядати часткових функцій і будемо вважати, що f (відповідно * f) визначена при всіх дійсних (відповідно гіпердействітельних) аргументах. Сформулюємо тепер наша вимога («аналоги володіють тими ж властивостями, що і вихідні функції») більш точно.
Будемо розглядати системи рівнянь виду t = s і нерівностей виду t ¹ s, ліві і праві частини яких містять якісь дійсні функції дійсних аргументів, дійсні константи і змінні - що-небудь на зразок
sin (cos (x)) = y + exp (z), z ¹ y-2x, [z] = y
Ця система містить змінні x, y, z, одномісні функції sin, cos, exp [] (ціла частина), двомісні функції (складання, віднімання, множення) і константу 2 (константи для одноманітності ми будемо вважати функціями нуля аргументів). Всі вхідні в систему функції мають за нашим припущенням гіпердействітельние аналоги. Позначимо їх * sin, * cos, * exp, * [], * +, *-, і напишемо систему
* Sin (* cos (x)) = y * + * exp (z), z ¹ y *- 2 * x, * [z] = y
яку природно назвати «гіпердействітельним аналогом вихідної».
В якості можливих значенні змінних цієї системи можуть фігурувати будь-які гіпердействітельние числа. Тим самим набуває сенсу питання про наявність чи відсутність гіпердействітельних рішень цієї системи. Оскільки ми припускаємо, що входять до неї функції є продовженнями відповідних функцій дійсного аргументу, то всяке (дійсне) рішення вихідної системи буде одночасно рішенням нової системи. Таким чином, якщо вихідна система має рішення, то і її гіпердействітельний аналог має рішення. Ми вимагатимемо і зворотного:
всяка система рівнянь і нерівностей, гіпердействітельний аналог якої має (гіпердействітельние) рішення, повинна мати дійсні рішення.
Введемо поняття терма. Виберемо рахунковий набір символів, елементи якого будемо називати змінними. Будемо називати термо будь-яку змінну, будь-яке дійсне число, а також будь-який вираз виду f (t 1, ..., t n), де f - функція п дійсних аргументів, а t 1 , ..., t n - побудовані раніше терми.
Системою (точніше, системою рівнянь і нерівностей) назвемо кінцевий набір записів виду t = s або t ¹ s, де t, s - терми. Визначимо тепер поняття рішення системи. Еслп в терм підставити дійсні числа замість змінних, то він придбає якийсь дійсне значення. Рішення системи - це такий набір значень змінних, при якому ліва і права частини любою рівності I t = s, що входить в систему, набувають одне і те ж значення, а ліва і права частини будь-якого нерівності t ¹ s, що входить в систему, - різні.
За нашим припущенням всяка функція з дійсними аргументами н значеннями має гппердействітельний аналог («природне продовження»). Поняття гіпердействітельного аналога легко поширюється на терми - щоб отримати аналог терма t, треба просто замінити всі вхідні в нього функції на їх гіпердействітельпие аналоги. Виконавши цю операцію з усіма термами, що входять в якусь систему S, ми отримаємо систему * S, яку природно також назвати гіпердействітельним аналогом системи S. Оскільки в неї входять функції з гіпердействітельнимі аргументами і значеннями, замість змінних можна підставляти довільні гіпердействітельние числа. Гппердейст-вительной рішенням системи * S назвемо такий набір гіпердействітельпих значень змінних, при яких виконані всі вхідні в неї рівняння і нерівності. Тепер можна сформулювати нашу вимогу до системи гіпердействітельних чисел і до гіпердействітельним аналогам наступним чином.
Нехай S - довільна система рівнянь і нерівностей, * S - її гіпердействітельний аналог. Якщо * S має (гіпердействітельние} рішення, то S повинна мати дійсні рішення.
Можливість побудови неархімедова упорядкованого розширення * R поля R і таких гіпердействітельних аналогів * f для всіх дійсних функцій f, які б задовольняли сформульованому вимогу, залишається поки за все, лише гіпотезою. (Ми будемо називати цю гіпотезу Основною гіпотезою.)

7. СЛІДСТВА ОСНОВНИЙ ГІПОТЕЗИ

Наведемо кілька прикладів, які показують, які наслідки можна вивести із сформульованої Основний гіпотези. Виявляється, що незважаючи на те, що сформульоване нами вимога одночасної розв'язності систем рівнянь і нерівностей здається вельми приватним, воно має найрізноманітніші слідства і достатньо для обгрунтувань значної частини міркувань з ги-пердействітельнимі числами.
Приклад 1. Нехай f - функція одного дійсного аргументу, приймаюча тільки значення 0 і 1. Доведемо, що функція * f приймає тільки значення 0 і 1. Для цього розглянемо систему
f (x) ¹ 0, f (x) ¹ 1,
яка за припущенням не має дійсних рішень. Отже, не має (гіпердействітельних) рішень і її аналог - система
* F (x) ¹ 0, * f (x) ¹ 1,
Приклад 2. Нехай f і g - функції одного дійсного аргументу, причому безлічі їх нулів збігаються. (Безліч нулів функції - безліч тих зна-чений аргументу, при яких значення функції дорівнює 0) У цьому випадку і безлічі гіпердействітельних чисел, які є множинами нулів функцій * f і * g, збігаються. Доведемо це. Справді, кожна із систем
(1) f (x) = 0, g (x) ¹ 0,
(2) g (x) = 0, f (x) ¹ 0,
не має дійсних рішень. Отже, не мають гііердействітельних рішень та їх аналоги. Тому будь-який гіпердействітельний нуль функції * f обо-в'я (щоб не бути рішенням аналога системи (1)) бути нулем і для * g і навпаки.
Цей приклад дозволяє визначити гіпердействітельние аналоги не тільки для функцій, але і для множин.
Нехай А - довільна множина дійсних чисел. Розглянемо довільну функцію f, для якої А - безліч нулів. (Така є: досить покласти, наприклад, f (x) = 0 при х Î А і f (x) = 1 при xÏA). Розглянемо тепер гіпердействітельний аналог * f функції f і безліч * А його (гіпердействітельних) нулів. Як ми бачимо, безліч * А не залежить від вибору функції f. Його ми і назвемо гіпердействітельним аналогом безлічі А.
Приклад 3. Ми можемо тепер дозволити включати системи поряд з рівностями t = s і нерівностями t ¹ s і запису виду sÎA, де s є терм, а А - множина дійсних чисел. При цьому рішеннями будуть такі набори (дійсних або гіпердействітельних) значень змінних, при яких виконані всі рівності та нерівності, а значення s належить безлічі А. Гіпердействітельним аналогом sÎA буде * sÎ * A, де * s - гіпердей-ствительно аналог терма s, а * A - аналог безлічі А (у зазначеному сенсі). Таким чином, у всякої системи рівностей, нерівностей та включень (тобто записів виду sÎA) з'являється гіпердействітельний аналог. Для таких систем залишається в силі властивість одночасної розв'язності: якщо гіпердействітельний аналог системи має (гіпердействітельние) рішення, то вихідна система має (дійсні) рішення. Щоб побачити це, досить замінити s Î A на a (s) = 0, де a - функція з дійсними аргументами і значеннями, безліччю нулів якої є A. Аналогічним чином можна додавати в систему і затвердження виду sÏA (що замінюється на a (s) ¹ 0).
Приклад 4. Нехай А - порожня множина. Доведемо, що * A - порожня множина.
Справді, система
х Î А
не має дійсних рішень, тому й система х Î * А не має (гіпердействітельних) рішень. Розглянувши систему х Ï А, отримуємо аналогічним чином, що якщо А містить всі дійсні числа, то * А містить всі гіпердействітельние числа. Таким чином, гіпердействітельним аналогом багатьох R буде безліч * R, так що наші позначення узгоджені.
УНадалі, замість того щоб говорити про систему S і її дійсних рішеннях, а також про систему * S і її гіпердействітельних рішеннях, будемо говорити про дійсні та гіпердействітельних рішеннях системи S (говорячи про гіпердойствітельних рішеннях системи S, ми насправді будемо мати на увазі гіпердействітельние рішення системи * S).
Приклад 5. Якщо A = BÇC, то * A =* BÇ * C. Справді, кожна із систем
х Î B, х Î С, х Ï А;
х Î A, х Ï B;
х Î A, х Ï С.
не має дійсних, і, отже, гіпердействітельних рішень. (Точніше, слід було б говорити про аналоги цих систем) Звідси отримуємо, що * У Ç * З Ì * A (перша система), * АÌ * С (друга) та * AÌ * C (третя), звідки випливає, що * AÌ * BÇ * C.
Наші вимоги до системи гіпердействітельних чисел складалися з двох частин. По-перше, * R має бути впорядкованим неархімедовим полем, розширюють R. По-друге, повинні існувати аналоги для всіх дійсних функцій, що задовольняють вимогу одночасної розв'язності систем рівнянь. Ці вимоги виявляються надлишковими:
той факт, що гіпердействітельние аналоги складання, множення і т. п. перетворюють * R в полі, можна вивести з вимоги одночасної розв'язності систем рівнянь.
8. ПОБУДОВА СИСТЕМИ ГІПЕРДЕЙСТВІТЕЛЬНИХ ЧИСЕЛ
Розглянемо питання про існування гіпердействітельних чисел. Точніше це питання слід сформулювати так: чи можна побудувати розширення множини дійсних чисел, для якого виконувалася б Основна гіпотеза. Основна гіпотеза вимагає, щоб:
(1) було деяке безліч R, для якого RÌ * R;
(2) для кожної функції f: R n ® R була деяка функція * f: * R n ® * R є продовженням вихідної;
(3) будь-яка система рівнянь і нерівностей, гіпердействітельний аналог який має (гіпердействітельние) рішення, мала дійсні рішення;
(4) * R містило нескінченно малі елементи, відмінні від нуля.
Покажемо, як цим вимогам можна задовольнити. Розглянемо один з можливих варіантів переходу від Q (множини раціональних чисел) до R (безлічі дійсних чисел). Розглядаються всілякі фундаментальні послідовності раціональних чисел, тобто такі послідовності, що для будь-якого e> 0 існує відрізок довжини e, що містить всі члени послідовності, окрім кінцевого числа. Дві такі послідовності x n і y n називають еквівалентними, якщо x n-y n прямує до 0 при п ® ¥. Це відношення еквівалентності розбиває фундаментальні послідовності на класи, які і називаються дійсними числами.
Ми досягнемо мети, якщо від послідовностей перейдемо до класів послідовностей, вважаючи, що дві послідовності x 0, x 1, x 2, .... і y 0, y 1, y 2, ... задають одне і те ж гіпердействітельное число, якщо x n = y n "для більшості натуральних чисел n".
Для наочності будемо уявляти собі, що проводиться голосування з питання "чи вважати послідовності x n і y n співпадаючими". У ньому голосуючими є натуральні числа, причому число п голосує "за", якщо
x n = y n, і "проти", якщо x n ¹ y n. Будемо вважати послідовності x n і y n співпадаючими, якщо більшість натуральних чисел голосують за це. Потрібно пояснити лише, як і система підрахунку голосів, тобто які безлічі натуральних чисел ми вважаємо "великими" (що містять "більшість" натуральних чисел), а які "малими" (що містять "меншість" натуральних чисел). Перерахуємо ті властивості, яким повинна задовольняти система підрахунку голосів, т. з. поділ множин натуральних чисел на великі і малі.
1. Будь-яке безліч натуральних чисел є або великим, або малим. Жодне безліч не є великим і малим одночасно. (Голосування має завжди давати відповідь.)
2. Безліч всіх натуральних чисел велике, порожнє безліч мале. (Пропозиція, за яке голосують усі, приймається.)
3. Доповнення (до N) будь-якого малого множини є великим, доповнення будь-якого великого безлічі - малим. (З двох протилежних законопроектів отримує більшість голосів рівно одні.)
4. Будь-яка підмножина малого множини є малим, будь надмножество великої множини - більшим. (Втративши частину голосів, знехтуваний законопроект не може стати прийнятим.)
5. Об'єднання двох малих множин є малим, перетин двох великих множин є більшою. (Якщо кожна з двох груп голосуючих не утворює більшості, то вони і разом не утворюють більшості ("неможливість коаліції"); якщо кожна з груп становить більшість, то голосують, що входять одночасно в обидві групи, вже становлять більшість.)
Ці вимоги дуже сильні. Щоб зрозуміти це, розглянемо випадок кінцевого безлічі голосуючих (виходить заміною N на деякий кінцевий безліч М). Чи можна тоді задовольнити цим вимогам? Один спосіб майже очевидний. Виберемо одного з "голосуючих" т Î М і назвемо великими всі множини, що містять m, а малими - всі множини, що не містять т ("диктатура" m). При такому визначенні легко перевірити всі властивості 1-5. Виявляється, що цим вичерпуються всі можливості задовольнити вимогам 1-5 для випадку кінцевого безлічі M. Справді,, нехай є розбиття всіх множин на великі і малі, що задовольняє вимогам 1-5. Розглянемо тоді все більші множини і виберемо з них безліч M0, що містить найменшу можливу кількість елементів (серед великих множин). Безліч M0 непорожньо. Якщо воно містить рівно один елемент m, то в силу властивості 4 всі множини, що містять т, будуть великими, а в силу властивості 3, всі множини, що не містять m, будуть малими. Залишилося показати, що M0 не може містити більше одного елемента. Справді, в цьому випадку його можна було б розбити на дві непорожні непересічні частини M1 і M2. Ці частини повинні бути малими (тому що містять менше елементів, ніж M0), а їх об'єднання M0 є великим, що суперечить вимозі 5.
Виявляється, однак, що при рахунковому числі голосуючих можливі системи голосування, що задовольняють вимогам 1-5 і не зводяться до згаданого тривіального випадку. Іншими словами, можна так розбити всі підмножини натурального ряду на великі і малі, щоб виконувалися властивості 1-5 і будь одноелементної безліч було малим. Тоді (у силу властивості 5) і будь-яке кінцеве безліч буде малим, а (в силу властивості 3) всяке безліч з кінцевим доповненням (до N) - більшим. Таким чином, до вимог 1-5 можна без протиріччя додати і таке:
6. Будь-яке кінцеве безліч є малим, всяке безліч з кінцевим
доповненням - великим. (При голосуванні думка кінцевого числа голосуючих неістотно.)
Розбиття всіх підмножин натурального ряду на великі і малі, що задовольняє вимогам 1-6, називається нетривіальним ультрафільтрів на множині натуральних чисел.
Покажемо тепер, що таке розбиття дозволяє побудувати систему гіпердействітельних чисел, що задовольняє вимогам Основний гіпотези. Отже, нехай фіксоване розбиття, яке задовольняє вимогам 1-6. Назвемо дві послідовності x n і y n еквівалентними, якщо безліч тих n, при яких x n = y n є більшою. У силу вимоги 2 всяка послідовність еквівалентна самій собі.
Ми бачимо, що введене ставлення рефлексивно, симетрично (це очевидно з визначення) і транзитивне і, отже, розбиває всі послідовності дійсних чисел на класи еквівалентності, тобто такі класи, що будь-які дві послідовності одного класу еквівалентні, а будь-які дві послідовності з різних класів - ні. Ці класи ми і назвемо гіпердействітельнимі числами. Що ще нам потрібно? Потрібно, щоб безліч дійсних чисел було підмножиною множини гіпердействітельних. Потрібно вміти для кожної функції з дійсними аргументами і значеннями будувати її гіпердействітельний аналог. Потрібно перевірити, що будь-яка система рівнянь і нерівностей, гіпердействітельний аналог якої має гіпердействітельние рішення, має дійсні рішення. І, нарешті, потрібно переконатися, що серед гіпердействітельних чисел (розглянутих як упорядковане поле) існують нескінченно малі, відмінні від нуля.
Щоб зробити R підмножиною * R, ототожнив кожне дійсне число х з послідовністю х, х, х, ..., точніше, з містить її класом. При цьому різним дійсним числах відповідають різні класи: х, x, х ... не еквівалентно у, у, y ... (Безліч тих n, при яких n-е члени збігаються, порожньо і, отже, є малим).
Нехай f: R ® R - функція з дійсними аргументами і значеннями. Визначимо її гіпердействітельний аналог * f: * R ® * R. Нехай x - довільне гіпердействітельное число, тобто клас еквівалентних послідовностей дійсних чисел. Розглянемо довільну послідовність x 0, x 1, x 2, ... з цього класу і застосуємо f до всіх її членам. Клас, що містить отриману последоваетльность f (x0), f (x1), f (x2), ... і будемо вважати значенням f на х. Отриманий клас не залежить від вибору послідовності x 0, x 1, x 2, ... в класі x ( визначення коректно).
Аналогічно визначаються і гіпердействітельние аналоги для функцій декількох аргументів. Нехай, наприклад, f - функція двох дійсних аргументів з дійсними значеннями. Визначимо її гіпердействітельний аналог * f. Щоб застосувати * f до двох гіпердействітельним числах х і y, візьмемо послідовності x 0, x 1, x 2, ... і y 0, y 1, y 2, ..., які належать їм, і як * f (х, у) розглянемо клас послідовності f ( x0, y0), f (x1, y1), f (x2, y2), ... Визначення коректно.
Потрібно перевірити, що побудоване гіпердействітельние аналоги будуть продовженнями вихідних функцій з дійсними аргументами і значеннями. Це, очевидно, слід з визначень. Перевіримо тепер, що будь-яка система рівнянь і нерівностей, що має гіпердействітельние рішення, має і дійсні рішення. Нехай, наприклад, система
f (g (x, y), z) = z, h (x) ¹ h (y)
має гіпердействітельние рішення x, y, z. Розглянемо послідовності x0, x1, x2, ...; y0, y1, y2, ...; z0, z1, z2, ..., що належать відповідним класам еквівалентності. Тоді g (x0, y0), g (x1, y1), ... належить класу g (x, y), а f (g (x0, y0), z0), f (g (x1, y1), z1), ... - класу f (g (x, y), z). Оскільки x, y, z за припущенням є рішеннями системи, то f (g (x n, y n), z n) = z n для більшості п. Оскільки h (x) ¹ h (y), послідовності h (x0), h (x1), ... і h (y0), h (y1), ... не еквівалентні і безліч тих п, при якому h (x n) = h (y n) мале. Тоді безліч тих п, при якому h (x n) ¹ h (y n) є більшою. Так як перетин двох великих множин є великим, то безліч тих n, при якому
f (g (x n, y n), z n) = z n , H (x n) ¹ h (y n)
є більшою. Значить, воно не порожня. Таким чином, система має і дійсні рішення.
Залишилося перевірити, що серед гіпердействітельних чисел існують нескінченно малі, відмінні від нуля. Позитивним нескінченно малим гіпердействітельним числом буде, наприклад, клас послідовності 1, 1 / 2, 1 / 3,.,. (Або будь-який інший послідовності позитивних дійсних чисел, збіжної до 0). Нам потрібно перевірити, що це гіпердействітельное число (позначимо його через e) позитивно, але менше будь-якого стандартного позитивного числа. Щоб довести це, ми повинні згадати, як визначається порядок на множині гіпердействітельних чисел. Він визначається відповідно до загальної схемою побудови гіпердействітельного аналога для будь-якого відношення на множині дійсних чисел. Треба взяти функцію f двох дійсних аргументів, для якої властивості f (x, y) = 0 і х <у рівносильні, і розглянути її гіпердействітельний аналог * f. Гіпердействітельное число х називається меншим гіпердействітельного числа у, якщо * f (x, y) = 0. Подивимося, що дає нам ця конструкція для побудованої описаним способом системи гіпердействітельних чисел. Якщо х - клас послідовності x0, x1, x2, ..., а y - клас послідовності y0, y1, y2, ..., то * f (x, y) є клас послідовності f (x0, y0), f (x1, y1) , f (x2, y2), ... Рівність цього класу нулю (тобто класу послідовності 0, 0, 0, ...) означає, що f (xn, yn) = 0 для більшості n, тобто що xn <yn для більшості п. Таким чином, щоб з'ясувати, чи вірно х <у для гіпердействітельних чисел х і y, потрібно взяти послідовності x0, x1, x2, ..., і y0, y1, y2, ... у класах х і в і з'ясувати, чи є безліч тих п, у яких xn <yn великим.
Нам потрібно було перевірити, що 0 <e і що e для будь-якого стандартного позитивного р (e-клас послідовності 1, 1 / 2, 1 / 3, ...). Це просто:
0 <e, тому що 0 <1 / п при всіх п (а безліч N велике), e <р, так як 1 / n для всіх натуральних n, окрім кінцевого числа, а будь-яке безліч з кінцевим доповненням мале (властивість 6 "системи підрахунку голосів"). Відзначимо, що тут ми вперше скористалися властивістю 6, до цих пір всі наші міркування були справедливі і у випадку "диктатури" (коли великими вважаються ті і тільки ті безлічі, які містять деяке натуральне число N). У цьому випадку дві послідовності еквівалентні, якщо збігаються їх N-е членів, і всі гіпердействітельние числа стандартні (клас послідовності x0, x1, x2, ... співпадає зі стандартним числом x N).

ЛІТЕРАТУРА

1. Успенський В.А. Що таке нестандартний аналіз? - М., Наука, 1987. - 128с.
2. Девіс М. Прикладної нестандартний аналіз. - М., Мир, 1980.
3. Успенський В.А. Нестандартний, або неархімедов, аналіз. - М., Знання, 1983. 61 з. (Нове у житті, науці, техніці. Сер. "Математика, кібернетика" № 8).
4. Успенський В.А. Нестандартний аналіз / / Наука і життя, 1984. - № 1. - С. 45-50.
5. Робінсон А. Введення в теорію моделей і математику алгебри. пер. з англ. - М., Наука, 1967.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
117.5кб. | скачати


Схожі роботи:
Формування портфеля цінних паперів і аналіз його прибутковості порівняльний аналіз
Дистрибутивний аналіз Методика безпосередніх складників Трансформаційний аналіз методи лінгвістичних
Аналіз основного і оборотного капіталу Аналіз фінансової стійкості підприємства
Прикладний системний аналіз мережевий аналіз та календарне планування проектів метод прогнозного
Аналіз динаміки трудомісткості продукції підприємства дуп ПМК194 і кореляційний аналіз впливу середнього
Аналіз собівартості прибутку та рентабельності продукції підприємства ВАТ Рогачевський МКК аналіз ринку
Аналіз фінансово-господарської діяльності підприємства 2 Аналіз структури
Аналіз фінансового стану промислового підприємства Аналіз бухгалтерського
Аналіз динаміки трудо мкості продукції підприємства дуп ПМК 194 і кореляційний аналіз впливу середнього
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru