додати матеріал


Нерівності

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

Зміст
1) Основне поняття нерівності
2) Основні властивості числових нерівностей. Нерівності містять змінну.
3) Графічне рішення нерівностей другого ступеня
4) Системи нерівностей. Нерівності і системи нерівностей з двома змінними.
5) Рішення раціональних нерівностей методом інтервалів
6) Рішення нерівностей, що містять змінну під знаком модуля

1. Основне поняття нерівності
Нерівність [inequality] - співвідношення між числами (або будь-якими математичними виразами, що можуть приймати чисельне значення), яке вказує, яке з них більше або менше іншого. Над цими висловами можна за певними правилами проводити наступні дії: додавання, віднімання, множення і ділення (причому при множенні або розподілі Н. на від'ємне число сенс його змінюється на протилежний). Одне з основних понять лінійного програмування - лінійні нерівності виду
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + A n x n * b,
де a 1 ,..., a n, b - постійні і знак * - один із знаків нерівності, напр. ≥, <, ≤.
У матричній алгебрі знак ≥ означає що всі елементи матриці, розташованої ліворуч, не менше (а хоча б частину з них більше) відповідних елементів матриці, розташованої праворуч. На відміну від цього знак ≤ означає, що всі елементи лівої матриці не менше відповідних елементів правої матриці; зокрема, всі відповідні елементи можуть бути попарно рівні. (Іноді застосовуються й інші позначення.)

Класифікація нерівностей

Нерівності, що містять невідомі величини, поділяються на: [1]
· Алгебраїчні
· Трансцендентні
Алгебраїчні нерівності поділяються на нерівності першої, другої, і т. д. ступеня.
Приклад:
Нерівність 3x ^ 2-x ^ 2 +5> 0 \! - Алгебраїчне, другого ступеня.
Нерівність 2 ^ x> x +4 \! - Трансцендентне.
2. Основні властивості числових нерівностей. Нерівності містять змінну
1) Якщо a> b, b <a;
2) Якщо a> b b> c a> c;
3) Якщо a> b a + c> b + c;
4) Якщо a + b> c a> cb;
5) Якщо обидві частини вірного нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то вийде вірне нерівність;
6) Якщо обидві частини вірного нерівності помножити на одне і те ж число і змінити знак на протилежний, то вийде вірне нерівність;
7) Безліч всіх х, при яких мають зміст виразу f (x) і g (x), називається областю визначення нерівності f (x)> g (x);
8) Два нерівності, що містять одну і ту ж змінну, називаються рівносильними, якщо вони мають спільне безліч рішень (безліч рішень цих нерівностей збігаються);
9) Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію J (x). область визначення якої містить область визначення нерівностей, то вийде нове нерівностей, рівносильну даним;
10) Якщо обидві частини нерівності f (x)> g (x) помножити (або розділити) на будь-яку функцію J (x), визначену для всіх значень змінної х з області визначення даного нерівності, зберігає постійний знак і відмінну від нуля, то при J (x)> 0 вийде нерівність, рівносильну даному, а при J (x) <0 рівносильним даним є нерівність протилежного знака.
Нерівності з однією змінною. Нехай дано нерівність f (x)> g (x). Будь-яке значення змінної, при якому таку нерівність з однією змінною звертається в правильне числове нерівність, називається рішенням нерівності з однією змінною. Вирішити нерівність зі змінною - означає знайти всі його рішення або довести, що їх немає.
Два нерівності з однією змінною називаються рівносильними, якщо вирішення цих нерівностей збігаються.
3. Графічне рішення нерівностей другого ступеня
1) Графіком квадратичної функції y = ах 2 + bх + с є парабола з гілками, спрямованими вгору, якщо а> 0, і вниз, якщо а <0 (іноді говорять, що парабола спрямована опуклістю вниз, якщо а> 0 і опуклістю вгору , якщо а <0). При цьому можливі три випадки:
2) Парабола перетинає вісь 0х (тобто рівняння ах 2 + bх + с = 0 має два різні кореня). Тобто, якщо а <0 то рішенням нерівності є безліч [x1; x2].
y = ах 2 + bх + з a> 0 D> 0 y = ах 2 + bх + з a <0 D> 0,

Парабола має вершину на осі 0х (тобто рівняння ах 2 + х + с = 0 має один корінь, так званий дворазовий корінь) Тобто, якщо d = 0, то при a> 0 рішенням нерівності служить вся числова пряма, а при a <0 єдина точка х1, яка є єдиним коренем квадратного тричлена ах 2 + х + з
y = ах 2 + bх + з a> 0 D = 0 y = ах 2 + bх + з a <0 D = 0,

3) Якщо d <0 то графік квадратного тричлена f (x) = ах 2 + bх + з не перетинає вісь Ох і лежить вище цієї осі при a> 0 і нижче її при a <0 У першому випадку безліч рішень нерівності є вся числова пряма, а в другому воно є порожнім.
4)
y = ах 2 + bх + з a> 0 D <0 y = ах 2 + bх + з a <0 D <0,

4) Вирішити нерівність графічним способом
1) 3х 2-4х ;
2-4х .
1. Нехай f (x) = 3х 2-4х - 7 тоді знайдемо такі х при яких f (x) ;
2. Знайдемо нулі функції.
2-4х-7 = 0,
D = 100,
Х =- 1 Х = 7 \ 3.

f (x) при х .
Відповідь f (x) при х .
2) х 2>-4x-5;
x 2 +4 x +5> 0;
Нехай f (x) = х 2 +4 х +5 тоді Знайдемо такі х при яких f (x)> 0,
X 2 +4 x +5 = 0,
D =- 4 Немає нулів.

Відповідь .
4. Системи нерівностей. Нерівності і системи нерівностей з двома змінними
1) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множин рішень входять до неї нерівностей.
2) Безліч рішень нерівності f (х; у)> 0 можна графічно зобразити на координатній площині. Зазвичай лінія, задана рівнянням f (х; у) = 0, розбиває площину на 2 частини, одна з яких є рішенням нерівності. Щоб визначити, яка з частин, треба підставити координати довільної точки М (х0; у0), не лежить на лінії f (х; у) = 0, у нерівність. Якщо f (х0; у0)> 0, то рішенням нерівності є частина площини, що містить точку М0. якщо f (х0; у0) <0, то інша частина площини.
3) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множин рішень входять до неї нерівностей. Нехай, наприклад, задана система нерівностей:
.
Для першого нерівності безліч рішень є коло радіусом 2 і з центром в початку координат, а для другого-полуплоскость, розташована над прямий 2х +3 у = 0. Безліччю рішень даної системи служить перетин зазначених множин, тобто півколо.
4) Приклад. Вирішити систему нерівностей:

Рішенням 1-го нерівності служить безліч , 2-го безліч (2, 7) і третього - безліч .
Перетинанням зазначених множин є проміжок (2, 3], який і є безліч рішень системи нерівностей.
5. Рішення раціональних нерівностей методом інтервалів
В основі методу інтервалів лежить таке властивість двочлена (х-а): точка х = α ділить числову вісь на дві частини - праворуч від точки α двочлен (х-α)> 0, а зліва від точки α (х-α) <0 .
Нехай потрібно вирішити нерівність (x-α 1) (x-α 2 )...( x-α n)> 0, де α 1, α 2 ... α n-1, α n - фіксовані числа, серед яких немає рівних, причому такі, що α 12 <...< α n-1n. Для вирішення нерівності (x-α 1) (x-α 2 )...( x-α n)> 0 методом інтервалів поступають таким чином: на числову вісь наносять числа α 1, α 2 ... α n-1, α n; в проміжку праворуч від найбільшого з них, тобто числа α n, ставлять знак «плюс», у наступному за ним справа наліво інтервалі ставлять знак «мінус», потім - знак «плюс», потім знак «мінус» і т.д. Тоді множина всіх рішень нерівності (x-α 1) (x-α 2 )...( x-α n)> 0 буде об'єднання всіх проміжків, в яких поставлено знак «плюс», а безліч рішень нерівності (x-α 1 ) (x-α 2 )...( x-α n) <0 буде об'єднання всіх проміжків, в яких поставлено знак «мінус».
1) Рішення раціональних нерівностей (тобто нерівностей виду P (x) Q (x) де - многочлени) засновано на наступному властивості неперервної функції: якщо безперервна функція звертається в нуль в точках х1 і х2 (х1; х2) і між цими точками не має інших коренів, то в проміжках (х1; х2) функція зберігає свій знак.
Тому для знаходження проміжків знакопостоянства функції y = f (x) на числовій прямій відзначають всі точки, в яких функція f (x) звертається в нуль або терпить розрив. Ці точки розбивають числову пряму на кілька проміжків, всередині кожного з яких функція f (x) неперервна і не звертається в нуль, тобто зберігає знак. Щоб визначити цей знак, достатньо знайти знак функції в будь-якої точці розглянутого проміжку числової прямої.
2) Для визначення інтервалів знакопостоянства раціональної функції, тобто Для вирішення раціонального нерівності, відзначаємо на числовій прямій коріння чисельника і коріння знаменника, які як і є корінням і точками розриву раціональної функції.
Рішення нерівностей методом інтервалів
3. wpe43.jpg (1562 bytes) <20.
Рішення. Область допустимих значень визначається системою нерівностей:
wpe45.jpg (1724 bytes) .
Для функції f (x) = wpe43.jpg (1562 bytes) - 20. Знаходимо f (x):
wpe46.jpg (6438 bytes)
звідки x = 29 і x = 13.
f (30) = wpe47.jpg (1246 bytes) - 20 = 0,3> 0,
f (5) = wpe48.jpg (950 bytes) - 1 - 20 = - 10 <0.
Відповідь: [4; 29).
х 2 + х-2
Нехай f (x) = х 2 + х-2 тоді знайдемо такі х при яких f (x) <0.
Знайдемо нулі х = 1, х =- 2.

х 3-4х <0
x (x 2 -4) <0
x (x-2) (x +2) <0
x = 0 x = 2 x =- 2

6. Рішення нерівностей, що містять змінну під знаком модуля
Рішення нерівності, що містить вираз , Призводить до розгляду двох випадків:

Можна скористатися геометричною інтерпретацією модуля дійсного числа, згідно з якою | a | означає відстань точки а координатної прямої від початку відліку О, а | ab | означає відстань між точками а і b на координатній прямій.
Можна використовувати метод зведення в квадрат обох частин нерівності, заснований на наступній теоремі. Якщо вираження f (x) і g (x) при будь-яких х приймають тільки невід'ємні значення, то нерівності f (x)> g (x) і (f (x)) 2> (g (x)) 2 рівносильні.
Можна використовувати властивості нерівностей, що містять змінну під знаком модуля:
системи нерівностей
Вирішити нерівність:
.
Об'єднуючи результати отримаємо .
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат | 23.9кб. | скачати

Схожі роботи:
Філософія нерівності Н А Бердяєва
Проблема гендерної нерівності
Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена
Показово статечні рівняння і нерівності
Тема соціальної нерівності в творах Купріна
Проблема гендерної нерівності та шляхи її подолання в Україні
Друга стать і філософсько-соціологічний аналіз нерівності жінок Сімони де Бовуар
Елективний курс з алгебри для 9-го класу на тему Квадратні рівняння та нерівності з параметром
Обернені тригонометричні функції Тригонометричні рівняння і нерівності
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru