додати матеріал


Наближаючи нное рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

* Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь
1. Загальна постановка задачі. * Знайти дійсні корені рівняння , Де - Алгебраїчна або трансцендентна функція.
Точні методи рішення рівнянь підходять тільки до вузького класу рівнянь (квадратні, біквадратні, деякі тригонометричні, показникові, логарифмічні).
У загальному випадку рішення даного рівняння знаходиться приблизно в такій послідовності:
1) відділення (локалізація) кореня;
* 2) наближене обчислення кореня до заданої точності.
2. Відділення кореня. * * Відділення дійсного кореня рівняння - Це знаходження відрізка , В якому лежить тільки один корінь даного рівняння. Такий відрізок називається відрізком ізоляції (локалізації) кореня.
* Найбільш зручним і наочним є графічний метод відділення коренів:
1) будується графік функції , І визначаються абсциси точок перетину цього графіка з віссю , Які і є корінням рівняння ;
2) якщо - Складна функція, то її треба представити у вигляді так, щоб легко будувалися графіки функцій і . Так як , То . Тоді абсциси точок перетину цих графіків і будуть корінням рівняння .
Приклад. * Графічно відокремити корінь рівняння .

Рішення. Уявімо ліву частину рівняння у вигляді . Отримаємо: Побудуємо графіки функцій і .
* Абсциса точки перетину графіків знаходиться на відрізку , Значить корінь рівняння .
3. * Уточнення кореня.
* Якщо шуканий корінь рівняння відокремлений, тобто визначений відрізок , На якому існує тільки один дійсний корінь рівняння, то далі необхідно знайти наближене значення кореня із заданою точністю.
* Така задача називається задачею уточнення кореня.
* Уточнення кореня можна робити різними методами:
* 1) метод половинного ділення (бисекции);
* 2) метод ітерацій;
* 3) метод хорд (січних);
* 4) метод дотичних (Ньютона);
* 5) комбіновані методи.
* 4. Метод половинного ділення (бисекции).
* Відрізок ізоляції кореня можна зменшити шляхом поділу його навпіл.
* Такий метод можна застосовувати, якщо функція неперервна на відрізку і на його кінцях приймає значення різних знаків, тобто виконується умова (1).
* Розділимо відрізок навпіл точкою , Яка буде наближеним значенням кореня .
* Для зменшення похибки наближення кореня уточнюють відрізок ізоляції кореня. У цьому випадку продовжують ділити відрізки, що містять корінь, навпіл.
* З відрізків і вибирають той, для якого виконується нерівність (1).
* У нашому випадку це відрізок , Де .
* Далі повторюємо операцію ділення відрізка навпіл, тобто знаходимо і так далі до тих пір, поки не буде досягнута задана точність . Тобто до тих пір, поки не перестануть змінюватися зберігаються у відповіді десяткові знаки або до виконання нерівності .
* Гідність методу: простота (достатньо виконання нерівності (1)).
* Недолік методу: повільна збіжність результату до заданої точності.
* Приклад. Розв'язати рівняння методом половинного ділення з точністю до 0,001.
* Рішення. * Відомий відрізок ізоляції кореня і задана точність . По рівнянню складемо функцію .
Знайдемо значення функції на кінцях відрізка:
, .
Перевіримо виконання нерівності (1): - Умова виконується, значить можна застосувати метод половинного ділення.
Знайдемо середину відрізка і обчислимо значення функції в отриманій точці:
, .
Серед значень і виберемо два значення різних знаків, але близьких один до одного. Це і . Отже, з відрізків і вибираємо той, на кінцях якого значення функції різних знаків. У нашому випадку це відрізок і знову знаходимо середину відрізка і обчислюємо значення функції в цій точці:
, , , - Задана точність результату не досягнуто, продовжимо обчислення.
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, , , .
, - Задана точність результату досягнуто, значить, знайшли наближене значення кореня .
Відповідь: корінь рівняння з точністю до 0,001.

5. Метод хорд (січних).

Цей метод застосовується при вирішенні рівнянь виду , Якщо корінь рівняння відокремлений, тобто і виконуються умови:
1) (Функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка );
2) похідна зберігає знак на відрізку (Функція або зростає, або зменшується на відрізку ).
Перше наближення кореня знаходиться за формулою: .
Для наступного наближення з відрізків і вибирається той, на кінцях якого функція має значення різних знаків.
Тоді друге наближення обчислюється за формулою:
, Якщо або , Якщо .
Обчислення тривають до тих пір, поки не перестануть змінюватися ті десяткові знаки, які потрібно залишити у відповіді.

6. Метод дотичних (Ньютона).

Цей метод застосовується, якщо рівняння має корінь , І виконуються умови:
1) (Функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка );
2) похідні і зберігають знак на відрізку (Тобто функція або зростає, або зменшується на відрізку , Зберігаючи при цьому напрям опуклості).
На відрізку вибирається таке число , При якому має той же знак, що і , Тобто виконується умова . Таким чином, вибирається точка з абсцисою , В якій дотична до кривої на відрізку перетинає вісь . За точку спочатку зручно вибирати один з кінців відрізка.
Перше наближення кореня визначається за формулою: .
Друге наближення кореня визначається за формулою: .
Обчислення ведуться до збігу десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або при заданій точності - До виконання нерівності .
Переваги методу: простота, швидкість збіжності.
Недоліки методу: обчислення похідної та труднощі вибору початкового положення.

7. Комбінований метод хорд і дотичних.

Якщо виконуються умови:
1) ,
2) і зберігають знак на відрізку ,
то наближення кореня рівняння за методом хорд і за методом дотичних підходять до значення цього кореня з протилежних сторін. Тому для швидкості знаходження кореня зручно застосовувати обидва методи одночасно. Оскільки один метод дає значення кореня з нестачею, а інший - з надлишком, то досить легко отримати задану ступінь точності кореня.

Схема рішення рівняння методом хорд і дотичних

1. Обчислити значення функції і .
2. Перевірити виконання умови . Якщо умова не виконується, то неправильно обраний відрізок .
3. Знайти похідні і .
4. Перевірити сталість знака похідних на відрізку . Якщо немає сталості знака, то невірно обраний відрізок .
5. Для методу дотичних вибирається за той з кінців відрізка , В якому виконується умова , Тобто і одного знака.
6. Наближення коренів знаходяться:
а) за методом дотичних: ,
б) за методом хорд: .
7. Обчислюється перше наближення кореня: .
8. Перевіряється виконання умови: , Де - Задана точність.
Якщо умова не виконується, то потрібно продовжити застосування методу за схемою 1-8.
У цьому випадку відрізок ізоляції кореня звужується і має вигляд . Наближені значення кореня знаходяться за формулами:
і .
Обчислення тривають до тих пір, поки не буде знайдено таке значення , При якому і співпадуть з точністю .

Приклад. Розв'язати рівняння методом хорд і дотичних з точністю 0,001, якщо відомо, що корінь рівняння .

Рішення.
1. Обчислимо значення функції на кінцях відрізка: , .
2. Перевіримо виконання умови: - Умова виконується.
3. Знайдемо похідні: і .
4. На відрізку похідні і , Тобто зберігають знак, отже, умова виконується.
5. Виберемо значення для методу дотичних. Оскільки і , То .
6. Знайдемо наближення кореня:
а) за методом дотичних:
б) за методом хорд: .
7. Знайдемо перше наближення кореня: .
8. Перевіримо виконання умови: - Умова не виконується, значить потрібно продовжити обчислення.
9. Відрізок ізоляції кореня має вигляд: .
10. Продовжимо уточнення кореня за схемою. Для цього знайдемо значення функції на кінцях звуженого відрізка:
, .
11. Перевіримо умову: - Виконується, значить можна продовжити застосування методу.
12. Так як і на відрізку , То для методу дотичних: .
13. Обчислимо значення похідної: .
14. Знайдемо нові значення кінців відрізка ізоляції:
, .
15. Знайдемо другу наближення кореня: .
16. Перевіримо виконання умови: - Нерівність невірний, значить необхідно продовжити обчислення.
17. Відрізок ізоляції кореня має вигляд: .
18. Обчислимо значення функції:
, .
19. Умова - Виконується.
20. Так як і на , То для методу дотичних .
21. Обчислимо похідну: .
22. Обчислимо: ,
.
23. Знайдемо третє наближення кореня: .
24. Перевіримо виконання нерівності: - Умова виконується, значить, мети досягнуто.
25. Отже, або - Наближене значення кореня з точністю до 0,001.
Відповідь: .
9. Завдання для розрахункових робіт.
Розв'язати рівняння методами:
а) бисекции,
б) хорд і дотичних.

Варіант
Вид алгебраїчного рівняння
Корінь, який необхідно обчислити
1

єдиний
2

єдиний
3

єдиний
4

єдиний
5

єдиний
6

єдиний
7

єдиний
8

єдиний
9

позитивний
10

єдиний
11

позитивний
12

єдиний
13

більший негативний
14

єдиний
15

єдиний
16

єдиний
17

єдиний
18

єдиний
19

єдиний
20

єдиний
21

єдиний
22

менший позитивний
23

єдиний
24

менший позитивний
25

єдиний
26

єдиний
27

єдиний
28

єдиний
29

єдиний
30

єдиний
31

менший позитивний
32

єдиний
33

більший негативний
34

єдиний
35

єдиний
36

єдиний
37

менший позитивний
38

єдиний
39

єдиний
40

єдиний
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Творча робота | 105.1кб. | скачати

Схожі роботи:
Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь
Рішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь методом Ньютона
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь прямі методи
Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розвязання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Методи розв`язання алгебраїчних рівнянь
Методи розв`язання алгебраїчних рівнянь 2
Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru