додати матеріал


приховати рекламу

Моделювання процесів тепло і масопереносу при закачуванні радіоактивних розчинів у глибокозалягаючі

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

МІНІСТЕРСТВО АГЕНСТВО ДО ОСВІТИ
Державна освітня установа
вищої професійної освіти
Стерлітамацька державна педагогічна академія
на правах рукопису
МИХАЙЛИЧЕНКО ІГОР МИКОЛАЙОВИЧ
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС
Тепло-і масопереносу
При закачуванні РАДІОАКТИВНИХ РОЗЧИНІВ
У глибокозалягаючих ПЛАСТ
Дисертація
на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
05.13.18 - математичне моделювання, чисельні методи
і комплекси програм
Наукові керівники -
доктор технічних наук,
професор Філіппов А.І.;
кандидат
фізико-математичних наук,
доцент Михайлов П.М.
Стерлітамак 2006

ЗМІСТ
ВСТУП. 4
СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ .. 12
Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ТЕПЛО-і масопереносу при ФІЛЬТРАЦІЇ РІДИНИ З радіоактивних забруднювачів У ГЛИБОКО залягає пласт .. 14
1.1. Деякі аспекти розвитку методів розрахунків температурних і концентраційних полів у пластах. 14
1.2. Основні фізичні процеси при фільтрації рідини в глибоко залягають пластах. 16
1.3. Рівняння конвективної дифузії з урахуванням радіоактивного розпаду і обміну рідини зі скелетом. 17
1.4. Завдання теплопереносу. 20
1.4.1.Математіческая постановка задачі теплопереносу та її обезразмеріваніе 20
1.4.1. Розкладання завдання теплопереносу по асимптотичному параметру. 26
1.4.3. Математична постановка задачі теплопереносу в нульовому наближенні 28
1.4.4. Постановка завдання теплопереносу в першому наближенні. 31
1.5. Завдання масопереносу. 32
1.5.1. Математична постановка задачі масопереносу і її обезразмеріваніе 32
1.5.2.Разложеніе завдання масопереносу по асимптотичному параметру. 36
1.5.3. Математична постановка задачі масопереносу в нульовому наближенні 38
1.5.4. Математична постановка задачі масообміну в першому наближенні. 41
1.5.5. Додаткове інтегральне умова для першого наближення. 45
1.6. Висновки .. 48
Глава II. РІШЕННЯ задач масопереносу в нульовому і першому наближенні, СТАЦІОНАРНЕ РІШЕННЯ. 50
2.1 Рішення задачі масопереносу в нульовому наближенні. 50
2.2. Аналіз результатів розрахунків в нульовому наближенні. 63
2.3. Бездіффузіонное наближення в задачі масообміну. 66
2.4. Рішення завдання масообміну в першому наближенні. 70
2.5. Аналіз результатів розрахунків у першому наближенні. 77
2.6. Стаціонарне рішення задачі масопереносу в нульовому та першому наближенні 87
2.7. Аналіз результатів розрахунку стаціонарної задачі. 96
2.8. Висновки .. 100
Глава III. РІШЕННЯ ЗАДАЧІ теплопереносу в Нульовий і Першим наближенням .. 102
3.1. Нульове наближення. 102
3.2. Перехід у простір оригіналів для нульового подання щільності забруднювача. 111
3.3. Аналіз результатів розрахунків за нульовим наближенню .. 114
3.4. Рішення задачі теплообміну в просторі зображень
у першому наближенні. 116
3.5. Зіставлення радіусів зон хімічного і теплового збурень. 122
3.6. Висновки .. 129
ВИСНОВОК. 130
ЛІТЕРАТУРА .. 132

ВСТУП
Актуальність проблеми. В даний час найбільш поширеним видом утилізації радіоактивних відходів підприємств атомної промисловості та хімічних виробництв є закачування їх у вигляді рідких розчинів у глибокозалягаючі підземні пласти. Тому надзвичайно важливої ​​екологічної завданням є прогнозування та контроль поведінки зон, охоплених впливом шкідливих домішок, особливо з урахуванням того, що глибокозалягаючі пласти зазвичай мають виходи на поверхню. Зазначений прогноз здійснюється, в основному, розрахунковим шляхом, так як можливості експериментального визначення розмірів глибоко залягають зон забруднення вельми обмежені.
При закачуванні шкідливих домішок порушується природне температурне поле, що визначається як відзнакою температури закачиваемой рідини від пластової, так і виділенням тепла за рахунок радіоактивного розпаду і хімічних реакцій. При цьому поля концентрацій домішок і температури є взаємопов'язаними, тому на основі вимірювань температури в контрольних свердловинах, проведених у зоні впливу закачування відходів, можна створити методи контролю за зоною зараження.
Питання захоронення радіоактивних відходів у геологічних формаціях і виникають при цьому екологічні проблеми докладно розглядалися багатьма дослідниками, серед яких можна виділити Білицького А.С., Орлову Є.І. [5], Рибальченко, А.І., Піменова М.К. [64]. Дослідженню полів концентрації радіоактивного забруднювача в пористих пластах присвячена велика кількість робіт Ф.М. Бочевер, М.М. Верігина, В.М. Гольдберга.
Результати дослідження температурних полів представлені в статтях і монографіях наукових шкіл Башкирського, Казанського, Латвійського держуніверситетом, науково-дослідних і проектних інститутів нафтогазової промисловості, а також зарубіжних вчених. У переважній більшості в цих роботах в основу досліджень покладена "схема зосередженої ємності", яка передбачає, що поле температури в інтервалі пласта не залежить від вертикальної координати. Однак в останні роки, у зв'язку з підвищенням роздільної здатності термометрической апаратури, постало питання про методи розрахунків температури з урахуванням залежності від вертикальної координати.
Розрахунок просторово-часових розподілів концентрації шкідливих домішок в глибоко залягають пластах зводиться до вирішення крайових задач конвективної дифузії в пористих середовищах. Відповідні завдання мають велику розмаїтість, і вирішення їх часто пов'язане із значними труднощами. В даний час нові перспективи у дослідженні динаміки полів температур відкриває використання модифікації асимптотичних методів, орієнтованої на завдання свердловини термодинаміки (А. І. Філіппов). Вона була використана для створення теорії температурних і масообмінних процесів при закачуванні рідини в пласти (О. І. Коркешко) і баротерміческого ефекту (Н. П. Миколайчук), при моделюванні фільтрації газорідинних сумішей і аномальною рідини (Є.М Дев'яткін, Г.Я . Хусаинова), руху рідини по свердловині (П. М. Михайлов, О. В. Ахметова), термічного впливу на пласт на основі фільтраційно-хвильових процесів (М. Р. Мінлібаев, Г. Ф. Бутинець).
Метою дисертаційної роботи є розробка методів розрахунку полів температур і концентрацій радіоактивних домішок при закачуванні розчинів, що містять радіоактивний забруднювач, в глибоко залягають проникні пласти на основі асимптотичних розкладів.
Основні завдання дослідження:
- Аналіз внеску основних фізичних процесів, які обумовлюють динаміку розповсюдження радіоактивних домішок і температурних полів, постановка відповідних математичних задач;
- Застосування асимптотичного методу до багатошарових завданням, побудова завдань для коефіцієнтів розкладу шуканого рішення у вигляді ряду за параметром;
- Отримання аналітичних розв'язків задач для коефіцієнтів розкладу нульового та першого порядків;
- Проведення розрахунків просторово-часових розподілів полів концентрацій забруднювача і температури і вивчення впливу різних фізичних параметрів на ці розподілу;
- Зіставлення отриманих результатів з експериментальними даними та результатами інших дослідників.
Наукова новизна:
- За допомогою модифікації асимптотичного методу отримані нові наближені рішення задач, що описують динаміку температурних полів і розповсюдження радіоактивних домішок в проникних пластах з урахуванням їх розпаду і осадження на скелет.
- Знайдено стаціонарне рішення задачі про поширення щільності радіоактивного забруднювача, встановлена ​​область застосовності завдання в бездіффузіонном наближенні для розрахунків полів в реальних умовах.
- Отримано співвідношення між розмірами зон очищеної води, забрудненої радіоактивними домішками і температурних збурень. Встановлено, що при великих коефіцієнтах Генрі розміри останньої у багато разів перевершують розміри зони забруднення і тому реєстрація температурних полів може бути використана для прогнозування положення зони радіоактивного зараження.
Практична значимість. На основі отриманих рішень створені нові способи розрахунків екологічної безпеки природних глибоко залягають об'єктів, використовуваних для захоронення радіоактивних відходів АЕС та промислових підприємств. Визначено залежність величини і положення максимуму температурного поля від параметрів закачування, енергетичної активності забруднювача і теплофізичних властивостей пластів, що дуже важливо для запобігання несприятливих наслідків, зокрема, «теплового вибуху».
Достовірність отриманих результатів обгрунтована тим, що в основу досліджень покладено рівняння, виведені з фундаментальних законів збереження. Отримані рішення в окремих випадках зіставлені з результатами інших дослідників, а також задовільно узгоджуються з результатами експериментальних досліджень, опублікованими у пресі.
Основні положення, що виносяться на захист:
1. Побудована з використанням модифікації асимптотичного методу математична модель температурного поля рідини з радіоактивним забруднювачем, поточної по проводить пласту, оточеному «дахом» і «підошвою», в нульовому та першому наближеннях. Обгрунтування твердження, що полягає в тому, що додаткове нелокальні інтегральне умова призводить до побудови в «середньому точного» асимптотичного рішення.
2. Аналітичні вирази для розрахунків полів температури і концентрації шкідливих домішок при їх закачування в підземні пласти, представлені у вигляді розкладання по параметру асимптотичного розкладання для задач масо-і теплопровідності, що містять складові нульового та першого порядків.
3. Результати розрахунків просторово-часових розподілів щільності і температури забруднювача (зокрема, за допомогою стаціонарного рішення), які показують, що за відсутності в пористому пласті природної міграції рідини є граничні розміри зони забруднення, зумовлені періодом напіврозпаду нукліда і темпами закачування; аналітичні залежності для розмірів зон радіоактивного зараження, термічного впливу і очищеної води.
Коротка характеристика змісту роботи. Робота складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаної літератури.
У вступі обгрунтовано актуальність проблеми, сформульовані мета і завдання дисертаційної роботи, обгрунтовано наукова новизна і практична значущість результатів дослідження.
У першому розділі наведено короткий огляд літератури. Вироблено опис основних фізичних процесів, що відбуваються при фільтрації рідин в глибокозалягаючих пластах, проведена оцінка вкладів цих фізичних процесів, і на цій основі здійснено постановку задачі про фільтрації рідини з радіоактивними домішками в глибоко залягають пластах.
Виписано рівняння, що визначають зміна температурного поля. Вироблено обезразмеріваніе задачі про розповсюдження поля температур. Проведена оцінка вкладу радіальної температуропровідності в процеси теплопереносу, і зроблений висновок про можливість нехтування відповідними складовими в рівнянні теплопереносу. Введено параметр асимптотичного розкладання, визначена математична постановка задачі для нульового та першого наближень. Зроблено висновок про необхідність початкового рішення завдання, що визначає залежність щільності забруднювача від часу і координат.
Виписано рівняння масопереносу для радіоактивного забруднювача. Вироблено їх обезразмеріваніе. Обгрунтовано можливість зневаги доданками, визначальними радіальну дифузію (в порівнянні з конвективним переносом забруднювача). Вироблено асимптотичний розклад массопереносной завдання. Записано математична постановка задачі в нульовому та першому наближеннях.
Під другому розділі вирішена задача масопереносу в нульовому та першому наближеннях. Обгрунтовано можливість зневаги радіоактивним розпадом в «покрівлі» і «підошві». Розглянуто бездіффузіонное наближення, оцінені межі його застосовності. Знайдено стаціонарне рішення, визначені максимальні розміри зони зараження. Обгрунтовано введення среднеінтегрального умови для першого коефіцієнта розкладання.
Третя глава присвячена вирішенню задачі теплообміну в нульовому та першому наближенні. При цьому, як і у другому розділі, використаний метод інтегральних перетворень Лапласа-Карсона. Побудовано розв'язок в нульовому наближенні, показано, що він визначається тільки нульовим наближенням поля забруднювача. Проаналізовано отримані рішення. Для першого коефіцієнта розкладання отримано рішення в просторі зображень. Розглянуті і зіставлені радіуси зон хімічного і теплового впливу, знайдені співвідношення, що визначають відносні розміри цих зон. Побудований алгоритм отримання рішення будь-якого необхідного наближення.
Наприкінці підбиваються підсумки проведеного дослідження.
У процесі виконання роботи широко використані асимптотичні методи, методи інтегральних перетворень Лапласа - Карсона. Чисельні розрахунки теплових полів здійснені за допомогою програмного пакету MathCAD. Графічні ілюстрації виконані з використанням програми CorelDraw.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 9 наукових працях. Постановка завдання в роботах належить професору Філіппову А.І. В іншому внесок авторів рівний. Результати, які виносяться на захист, належать авторові.
1. Михайличенко, І.Н. та ін Поле концентрації при закачуванні водних розчинів радіоактивних домішок у глибокозалягаючі пласти / А.І. Філіппов, П.М. Михайлов, І.М. Михайличенко / / Сучасні проблеми фізики та математики. Праці Всеросійської наукової конференції (16 - 18 вересня 2004 р ., М. Стерлітамак). - Уфа: Гільом, 2004. С. 89 - 97.
2. Михайличенко, І.Н. та ін Температурні поля при закачуванні водних розчинів радіоактивних домішок у підземні горизонти / Філіппов А.І., Михайлов П.М., Михайличенко І.М. / / Огляд прикладної та промислової математики / Тези доповідей V Всеросійського симпозіуму з прикладної і промислової математики. - М., 2004. - Т. 11, - В.3. - С. 596 - 597.
3. Михайличенко, І.Н. та ін Поле концентрації при закачуванні водних розчинів радіоактивних домішок у глибокозалягаючі пласти / А. І. Філіппов, П.М. Михайлов, І.М. Михайличенко / / Огляд прикладної та промислової математики / Тези доповідей V Всеросійського симпозіуму з прикладної і промислової математики. - М., 2004. - Т. 11, - В.3. - С. 595 - 596.
4. Михайличенко, І.Н. та ін Оцінка похибки бездіффузіонного наближення в задачах тепломасопереносу / А.І. Філіппов, П.М. Михайлов, І.М. Михайличенко / / Математичні моделі в освіті, науці та промисловості: Зб. наук. праць. - СПб.: Санкт-Петербурзьке відділення МАН ВШ, 2005. - С. 101 - 105.
На підставі знайдених виразів для положення конвективного, дифузійного та температурного фронтів встановлено, температурний фронт як мінімум, у кілька разів перевищує розмір дифузійного, відповідного радіусу зони радіоактивного зараження. Оскільки температурний фронт значно відстає від конвективного, відповідного розмірами області закачаної рідини, то утворюється зона очищеної від забруднювача води, причому розміри цієї зони зростають зі збільшенням коефіцієнта Генрі, що може служити орієнтиром для вибору об'єктів при похованні радіоізотопів, що задовольняють більш високим екологічним вимогам.

ВИСНОВОК
У роботі, на основі рівняння конвективної дифузії для нестисливої ​​рідини з урахуванням радіоактивного розпаду і обміну забруднювача зі скелетом, здійснена постановка Термодифузійна задачі про взаємозалежних полях концентрації і температури в глибокозалягаючих горизонтах, що виникають при закачуванні в пористий пласт розчинених радіоактивних речовин. З використанням параметра асимптотичного розкладання температурна і дифузійна завдання представлені у вигляді нескінченної послідовності крайових задач для коефіцієнтів розкладу шуканого рішення в асимптотичний ряд. Вироблено «розчіплювання» відповідної ланцюжка рівнянь і на цій основі здійснено постановку крайових задач змішаного типу зі слідами похідних із зовнішніх областей для нульового та першого коефіцієнтів розкладання і залишкового члена.
При побудові розв'язку задачі для першого коефіцієнта використано нелокальні граничну умову, що полягає в тому, що середні значення температури і щільності домішок по товщині пласта на осі свердловини дорівнюють нулю. Показано, що використання такої умови забезпечує побудову «в середньому точного» асимптотичного рішення, що означає, що при цьому середнє по висоті пласта значення залишкового члена дорівнює нулю.
Побудовані рішення для полів концентрації забруднювача в нульовому та першому наближеннях свідчать про наявність погранслоев на малих відстанях від осі свердловини і малих часів, звідки виникає задача побудови погранслойних функцій. Рішення стаціонарної задачі дозволило встановити співвідношення для граничних розмірів зони зараження.
У нульовому та першому наближеннях вирішена задача про температурному полі, викликаному закачуванням радіоактивного розчину в глибокозалягаючі пласти. На підставі отриманого рішення встановлені розрахункові формули для полів температури, викликаних енергією розпаду і відмінністю температур пласта і закачиваемой рідини. Зокрема, побудована залежність температури від просторових координат r, z і часу t для стаціонарного розподілу щільності радіоактивних домішок, що має важливе значення для опису полів короткоживучих ізотопів.
На підставі розрахунків показано, що в більшості практичних випадків впливом радіоактивного розпаду в оточуючих пластах на щільність радіоактивних домішок в пласті і розгнуздується цим розпадом тепловим ефектом можна знехтувати. У той же час внесок дифузійних процесів обміну з оточуючими пластами є переважаючим на дифузійному фронті, що пояснюється великими градієнтами концентрації і значними часом закачування.
Показано, що для відносно малих часів з високою точністю для практичних розрахунків може бути використано так зване «бездіффузіонное» наближення, при побудові якого внесок конвекції передбачається переважаючим. Визначено межі застосування цього наближення для розрахунків температурних полів.
На підставі знайдених виразів для положення конвективного, дифузійного та температурного фронтів встановлено, температурний фронт як мінімум, у кілька разів перевищує розмір дифузійного, відповідного радіусу зони радіоактивного зараження. Оскільки температурний фронт значно відстає від конвективного, відповідного розмірами області закачаної рідини, то утворюється зона очищеної від забруднювача води. Чудово, що розміри цієї зони зростають зі збільшенням коефіцієнта Генрі, що може служити орієнтиром для вибору об'єктів при похованні радіоізотопів, що задовольняють більш високим екологічним вимогам.

ЛІТЕРАТУРА
1. Авдоніна Н.А. Про деякі формулах для розрахунку температурного поля пласта при тепловій інжекції / / Изв. вузів. Нафта і газ. - 1964. - № 3. - С.32 - 39.
2. Арсенін В.Я. Методи математичної фізики та спеціальні функції .- М.: Наука, 1984 .- 384 с.
3. Бармін А.А., Гарагаш Д.І. Про фільтрації розчину в пористому середовищі з урахуванням адсорбції домішки на скелет / / Механіка рідини і газу. - 1994. - № 4. - С.97-110.
4. Бартман А.Б., Перельман Т.Л. Новий асимптотичний метод в аналітичній теорії переносу. Під ред. д. фіз-мат. наук С. І. Анісімова .- Мінськ: Наука і техніка, 1975. - 271 с.
5. Білицький А.С., Орлова Є.І. Охорона поземною вод від радіоактивних забруднень. - М., Медицина, 1969. - 209 с.
6. Бондарєв Е.А., Миколаївський В.М. Конвективна дифузія в пористих середовищах з урахуванням явища адсорбції / / ПМТФ. - 1962. - № 5. - С.128-134.
7. Бочевер Ф.М., Лапшин М.М., Орадовская А.Є. Захист підземних вод від забруднення .- М.: Недра, 1979 .- 254 с.
8. Бетчелор Дж. Введення в динаміку рідини. - М.: Світ, 1973 .- 757 с.
9. Ван-Дайк М. Методи збурень в механіці рідини. Переклад з англ. - М.: Світ, 1967. - 426 с.
10. Варгафтік Н.Б. Довідник по теплофізичних властивостях газів і рідин. - М.: Наука, 1972. - 720 с.
11. Венеціанов Є.В., Рубінштейн Р.Н. Динаміка сорбції з рідких середовищ. - М.: Наука, 1983 .- 237 с.
12. Владимиров В.С. Рівняння математичної фізики. - М.: Наука, 1981 .- 512 с.
13. Волков І. К. Про деякі формулах для розрахунку температурного поля пласта при нагнітанні в нього води з урахуванням дросельного ефекту (плоско-паралельна фільтрація) / / Питання експериментальної геотермологіі: Зб. / КДУ. Казань, 1973. - С. 3-9.
14. Герасимов Я.І. Курс фізичної хімії. - М.: Хімія, 1970 .- 592 с.
15. Гідрогеологічні дослідження для поховання промислових стічних вод у глибокі водоносні горизонти. - М., Недра, 1976. - 325 с.
16. Годунов С.К. Рівняння математичної фізики. - М.: Наука, 1971 .- 416 с.
17. Годунов С.К. Елементи механіки суцільного середовища. - М.: Наука, 1978 .- 304 с.
18. Градштейн І.С., Рижик І.М. Таблиці інтегралів, рядів і творів. - М.: Наука, 1963. - 426 с.
19. Гюнтер Д.А., Михайличенко І.М. Розрахунок полів концентрації при підземному похованні розчинених радіоактивних речовин / / Регіональна школа - конференція молодих вчених: тези доповідей. - Уфа: Гільом, 2006, С. 44 - 45.
20. Дев'яткін Є.М., Михайличенко І.М. Погранслойное рішення в задачі про закачування радіоактивних домішок в пористий пласт / / VI Регіональна школа - конференція для студентів, аспірантів та молодих вчених з математики, фізики та хімії: тези доповідей. - Уфа: БашГУ, 2006, С. 141 - 142.
21. Діткін В.А., Прудніков А.П. Інтегральні перетворення та операційне числення. - М.: Наука, 1974. - 382 с.
22. Діткін В.А., Прудніков А.П. Операційне числення. - М.: Вища школа, 1975. - 383 с.
23. Діткін В.А., Прудніков А.П. Довідник з операційного числення. - М.: Вища школа, 1965 .- 465 с.
24. Зельдович Я.Б. Хімічна фізика та гідродинаміка. - М.: Наука, 1980 .- 479 с.
25. Зельдович Я.Б., Мишкіс А.Д. Елементи математичної фізики. - М.: Наука, 1973 .- 352 с.
26. Ільюшин А.А. Механіка суцільного середовища. - М.: МГУ, 1979 .- 288 с.
27. Карслоу Г., Егер Д. Теплопровідність твердих тіл. - М.: Наука, 1964 .- 488 с.
28. Кедровський О.Л., Рибальченко А.І., Піменов М.К. та ін Глибинне поховання рідких радіоактивних відходів в пористі геологічні формації / / Атомна енергія - 1991. - Т. 70. - Вип.5. - С.42 - 49.
29. Коркешко О.І. Розробка програмного забезпечення для вирішення зворотних екологічних завдань конвективної дифузії / / Економічне зростання: проблеми розвитку науки, техніки і вдосконалення виробництва: Тез. докл. межвуз. наук.-практ. конф. 22 березня 1996 р . - Уфа: УГНТУ, 1996. - С. 79-80.
30. Коркешко О.І. Застосування асимптотичних методів для вирішення задач тепло-і масопереносу: Дисс. канд. фіз.-мат. наук. - Стерлітамак, 2000. - 158 с.
31. Коркешко О.І., Костомаров Ю.В. Нові підходи до екологічних завдань конвективної дифузії в складних середовищах / / 1 наук. конф. молодих вчених-фізиків республіки Башкортостан 21-23 листопада 1994 р .: Тез. докл. - Уфа: Баш. держ. ун-т, 1995 .- С. 17.
32. Коркешко О.І., Котельников В.А., Тарасов А.Г. Зворотні задачі конвективної дифузії / / 1 наук. конф. молодих вчених-фізиків республіки Башкортостан 21-23 листопада 1994 р .: Тез. докл. - Уфа: Баш. держ. ун-т, 1995 .- С. 16.
33. Корн Г., Корн Т. Довідник з математики для наукових працівників та інженерів. - М.: Наука, 1984. - 632 с.
34. Коул Дж. Методи збурень у прикладній математиці. - М.: Світ, 1972. - 342 с.
35. Кейс В.М. Конвективний тепло-і масообмін. - М.: Енергія, 1972. - 364 с.
36. Ландау Л.Д., Ліфшиц Е.М. Механіка суцільних середовищ. - М.: Гостехиздат, 1954 .- 795 с.
37. Ландау Л.Д., Ліфшиц Е.М. Теоретична фізика: Навчальний посібник. У 10 т. Т. 5: Гідродинаміка. - М.: Наука, 1988 .- 736 с.
38. Лебедєв А.В. Оцінка балансу підземних вод. - М., Недра, 1989, - 178 с.
39. Лебедєв М.М. Спеціальні функції та їх застосування. - М.-Л.: Физматгиз, 1963 .- 358 с.
40. Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделювання міграції підземних вод. - М., Недра, 1986, - 209 с.
41. Лялько В.І., Митник М.М. Дослідження процесів переносу тепла і речовини в земній корі. - Київ, Наукова думка, 1972. - 234 с.
42. Малофєєв Г.Є., Толстов Л.А. і Шейнман А.Б. Дослідження поширення тепла в пласті при радіальному перебігу гарячої рідини / / Нафтове господарство. - 1966. - № 8. - С.57 - 69.
43. Мартиненко О.Г., Березовський А.А., Соковішін Ю.А. Асимптотичні методи в теорії вільно-конвективного теплообміну. - Мінськ: Наука і техніка, 1979. - 325 с.
44. Мартиненко О.Г., Соковішін Ю.А. Теплообмін змішаної конвекцією. - Мінськ: Наука і техніка, 1975. - 263 с.
45. Маслов В.П. Теорія збурень та асимптотичні методи. - М.: МГУ, 1965 .- 553 с.
46. Математичний енциклопедичний словник. - М.: Велика Російська енциклопедія, 1995 .- 847 с.
47. Мироненко В.А. Динаміка підземних вод. - М., Недра, 1983. - 422 с.
48. Михайлов В. П. Диференціальні рівняння в приватних похідних. - М.: Наука, 1983 .- 424 с.
49. Мошинський А. І. Граничне умова "Теплова ємність" як граничне співвідношення / / ІФЖ. - 1991. - Т. 61. - № 3. - С. 458.
50. Мошинський А. І. Про граничні умовах типу теплової ємності в задачах теплообміну / / ТВТ. - 1989. - Т. 27. - № 4. - С. 708.
51. Мошинський А. І. Про уточнення умови типу "Теплова ємність", який застосовується в задачах тепломасопереносу / / ТВТ. - 1997. - Т. 35. - № 1. - С. 160-162.
52. Найфе А. Х. Методи збурень. Переклад з англ. - М.: Світ, 1976. - 426 с.
53. Наумов Г.Б., Риженко Б.М., Ходарковскій І.Л. Довідник термодинамічних величин. - М., Атоміздат, 1971. - 432 с.
54. Деякі особливості застосування методу малого параметра в екологічних задачах конвективної дифузії / Філіппов А.І., Коркешко О.І., Чіганов П.А., Ярославцев Є.Ю. / Спектральна теорія диференціальних операторів та суміжні питання: Зб. наук. тр. Міжнародної наук. конф. 22-25 вересня 1998 р . Стерлітамак: - Стерлітамак. держ. пед. ін-т, 1998 .- Ч. 2 .- С. 69-76.
55. Нігматулін Р.І. Методи механіки суцільного середовища для опису багатофазних сумішей / / ПММ. - 1970. - Т.34. - № 6. - С.1097-1112.
56. Нігматулін Р. І. Основи механіки гетерогенних середовищ. - М.: Наука, 1978 .- 336 с.
57. Нікіфоров А.Ф., Уваров В.Б. Спеціальні функції математичної фізики. - М.: Наука, 1978 .- 320 с.
58. Миколаївський В.М. Конвективна дифузія в пористих середовищах / / ПММ. - 1959. - Т. 23. - № 6. - С. 1042-1050.
59. Миколаївський В.М., байки К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механіка насичених пористих середовищ. - М.: Недра, 1970 .- 336 с.
60. Миколаївський В.М. Механіка пористих і тріщинуватих середовищ. - М.: Недра, 1984 .- 232 с.
61. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення для втузів: Навчальний посібник для втузів. - М.: Наука, 1985. - Т. 2 .- 560 с.
62. Пудовкін М.А. Теоретичні розрахунки поля температур пласта при нагнітанні в нього води / / Питання удосконалення розробки нафтових родовищ Татарстану: - Сб. КДУ. Казань, 1962. - С.62 - 67.
63. Рубінштейн Л.І. Температурні поля в нафтових пластах .- М.: Недра, 1971. - 387 с.
64. Рибальченко А.І., Піменов М.К., Костін П.П. та ін Глибинне поховання рідких радіоактивних відходів. - М.: Видавництво, 1994. - 256 с.
65. Свєшніков А.Г., Тихонов О.М. Теорія функцій комплексної змінної .- М.: Наука, 1967 .- 304 с.
66. Сєдов Л.І. Методи подібності і розмірності в механіці .- М.: Недра, 1978 .- 216 с.
67. Сєдов Л.І. Механіка суцільного середовища .- М.: Наука, 1994. Т. 1, 2.
68. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунін М.І. Лекції з теорії функцій комплексного змінного .- М.: Наука, 1982 .- 488 с.
69. Смирнов В.І. Курс вищої математики .- М.: Наука, 1967. Т. 1. - 480 с.
70. Тихонов О. М., Самарський А. А. Рівняння математичної фізики .- М.: Наука, 1972 .- 376 с.
71. Філіппов А.І. Методичні вказівки за спецкурсом "Гідродинаміка". - Уфа, 1992. - 82 с.
72. Філіппов А.І., Коркешко О.І. Дослідження просторово-часових розподілів концентрації речовин на основі "схеми зосередженої ємності" / / ІФЖ. 1997. - Т. 70. - № 2. - С. 205-210.
73. Філіппов А.І., Коркешко О.І. Метод малого параметра в моделюванні процесів переносу в багатофазних пористих середовищах / / Проблеми фізико-математичної освіти в педагогічних вузах Росії на сучасному етапі: Матеріали Всерос. наук.-практ. конф. 16-18 березня 1999 р .- Магнітогорськ. - Магнітогорськ. держ. пед. ін-т, 1999. - Ч. 2. - С. 92-93.
74. Філіппов А.І., Коркешко О.І. Застосування "схеми зосередженої ємності" до екологічних завдань конвективної дифузії / / Прикладна фізика і геофізика: Межвуз. СБ наук. тр .- Уфа: Баш. держ. ун-т, 1995 .- С. 124-130.
75. Філіппов А.І., Коркешко О.І., Шатов А.А., Ревунова А.А. Про один спосіб визначення екологічних параметрів річок на основі завдання конвективної дифузії / / Біолого-хімічні науки у вищій школі. Проблеми і рішення: Зб. наук. тр. Всерос. наук.-практ. конф., 19-20 червня 1998 р .- Бірськ: Бірськ. держ. пед. ін-т, 1998. - С.124.
76. Філіппов А.І., Коркешко О.І., Шатов А.А., Ревунова А.А. Застосування обернених задач для розрахунку характеристик водних басейнів / / Екологічні проблеми басейнів великих річок - 2: Тез. докл. Міжнародної конф., Росія, Тольятті, 14-18 вересня 1998 р . - Тольятті: ІЕВБ РАН, 1998 .- С. 168-169.
77. Філіппов А.І., Коркешко О.І., Чіганов П.А. Моделювання процесів дифузії шкідливих домішок у глибокозалягаючих пластах на основі методу малого параметра / / Фізичні проблеми екології (Фізична екологія): Тез. докл. другий Всерос. наук. конф. 18-21 січня 1999 р .- М: МДУ, 1999 .- С. 98.
78. Філіппов А.І., Коркешко О.І., Чіганов П.А. Моделювання процесів дифузії шкідливих домішок у глибокозалягаючих пластах на основі методу малого параметра / / Фізична екологія (Фізичні проблеми екології). - М.: МГУ, 1999. - № 5. - С. 153-161.
79. Філіппов А.І., Михайлов П.М., Ахметова О.В. Радіальний розподіл температурних полів у свердловині / / Нафта і газ Західного Сибіру. Матеріали міжнародної науково-технічної конференції. Т. 1 .- Тюмень. 2005. - С. 90-91.
80. Філіппов А.І., Михайлов П.М., Михайличенко І.М. Поле концентрації при закачуванні водних розчинів радіоактивних домішок у глибокозалягаючі пласти. / / Сучасні проблеми фізики та математики. Праці Всеросійської наукової конференції (16 - 18 вересня 2004 р ., М. Стерлітамак) - Уфа: Гільом, 2004. - С. 89-97.
81. Філіппов А.І., Михайлов П.М., Михайличенко І.М. Поле концентрації при закачуванні водних розчинів радіоактивних домішок у підземні горизонти / / Огляд прикладної та промислової математики / Тези доповідей V Всеросійського симпозіуму з прикладної і промислової математики. - М., 2004. - Т. 11, - В.3. - С. 595-596.
82. Філіппов А.І., Михайлов П.М., Михайличенко І.М. Температурні поля при закачуванні водних розчинів радіоактивних домішок у підземні горизонти / / Огляд прикладної та промислової математики / Тези доповідей V Всеросійського симпозіуму з прикладної і промислової математики. - М., 2004. - Т. 11, - В.3. - С. 596-597.
83. Філіппов А.І., Михайлов П.М., Михайличенко І.М. Оцінка похибки бездіффузіонного наближення в задачах тепломасопереносу. / / Математичні моделі в освіті, науці та промисловості: Зб. наук. праць. - СПб.: Санкт-Петербурзьке відділення МАН ВШ, 2005. - С. 101-105.
84. Філіппов А.І., Михайлов П.М., Михайличенко І.М. Визначення зони зараження при підземному похованні розчинених радіоактивних речовин / / Вісник Херсонського національного технічного університету. Вип. 2 (25). - Херсон: ХНТУ, 2006. - С. 508-512.
85. Філіппов А.І., Михайлов П.М., Михайличенко І.М., Крупина А.Г. Розрахунок полів концентрації при підземному похованні розчинених радіоактивних речовин / / Екологічні системи та прилади, 2006. - № 5. - С. 27-35
86. Франк-Каменецький Д.А. Дифузія і теплопередача в хімічній кінетиці .- М.: Наука, 1967. - 328 с.
87. Шейдеггер А.Е. Фізика течії рідини через пористі середовища. Пер. з англ .- М.: Гостоптехіздат, 1960. - 249 с.
88. Ердей А. Асимптотичні розкладання. Переклад з англ .- М.: Физматгиз, 1962. - 382 с.
89. Bachmat Y and Bear J. Mathematical formulation of transport phenomena in porous media. Proc. Int. Symp. of IAHR on the Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, Guelph , Canada , 1972. P. 174-197.
90. Bear J. ao Flow through porous media. New York - London : Academic Press, 1969.
91. Bear J. Dynamics of fluids in porous media. New York : American Elsevier publ. co., 1967. 764 pp.
92. Bear J. Hydraulics of groundwater. New York etc.: McGraw-Hill intern. book co., cop. 1979. XIII, 567 pp.
93. Bear J., Bachmat Y. Introduction to modeling of transport phenomena in porous media. Dordrecht et al.: Kluwer, 1990. 533 pp.
94. Brooks RH and Corey AT Properties of porous media affecting fluid flow. Proc. Am. Soc. civ. Engrs, 92 (IR2), 61-87, 1966.
95. Filippov AI, Korkeshko OI, and Chiganov PA The use of a small parameter method to solve problems of convective diffusion / / Russ. J. Eng. Thermophys., 1999, Vol. 9, No. 3, P. 161-182.
96. Gershon ND and Nir A. Effects of boundary conditions of models on tracer distribution in flow through porous mediums. Wat. Resour. Res., 5 (4), 830-839, 1969.
97. Lauwerier HA The transport of heat in an oil layer caused by the injection of hot fluid. Applied Scientific Research, Section A, 1955, vol. 5, No 2-3, pp. 145-150.
98. Morel-Seytoux HJ Two-phase flows in porous media, in Advances in Hydroscience (VT Chow, Ed.), 9, 119-202. New York : Academic Press, 1973.
99. Ogata A. and Banks RB A solution of the differential equation of longitudinal dispersion in porous media. US Geol. Survey, Prof. Paper no. 411-A, 1961.
100. Parlange JY and Babu DK On solving the nonlinear diffusion equation - a comparison of perturbation, iterative and optimal techniques for an arbitrary diffusivity. Wat. Resour. Res., 13 (1), 213-214, 1977.
101. Philip JR Flow through porous media. Ann. Rev. Fluid Mechan., 2, 177-204, 1970.
102. Verruijt A. Steady dispersion across an interface in a porous medium. J. Hydrol., 14, 337-347, 1971.
5. Михайличенко, І. М. Спосіб розрахунку концентрації забруднювача при похованні розчинених речовин / І.М. Михайличенко / / ЕОТ у навчанні та моделюванні. Праці IV Регіональної науково - методичної конференції. (16 - 17 грудня 2005 р ., М. Бірськ). - Бирск: вид-во БГСПА, 2005. - С. 294 - 303.
6. Михайличенко, І.Н. та ін Визначення зони зараження при підземному похованні розчинених радіоактивних речовин / А.І. Філіппов, П.М. Михайлов, І.М. Михайличенко / / Вісник Херсонського національного технічного університету. Вип. 2 (25). - Херсон: ХНТУ, 2006. - С. 508 - 512.
7. Михайличенко, І.Н. та ін Розрахунок полів концентрації при підземному похованні розчинених радіоактивних речовин / А.І. Філіппов, П.М. Михайлов, А.Г. Крупін, І.М. Михайличенко / / Екологічні системи і прилади. - 2006. - № 5. - С. 27 - 35.
8. Михайличенко, І. М. Розрахунок полів концентрації при підземному похованні розчинених радіоактивних речовин / Д.А. Гюнтер, І.М. Михайличенко / / Регіональна школа - конференція молодих вчених: тези доповідей. - Уфа: Гільом, 2006. - С. 44 - 45.
9. Михайличенко, І.Н, Погранслойное рішення в задачі про закачування радіоактивних домішок в пористий пласт / О.М. Дев'яткін, І.М. Михайличенко / / VI Регіональна школа - конференція для студентів, аспірантів та молодих вчених з математики, фізики та хімії. Тези доповідей. - Уфа: РІО БашГУ, 2006. - С. 141 - 142.


СПИСОК ПОЗНАЧЕНЬ

a - коефіцієнт температуропровідності, м 2 / с;
- Питомі теплоємності пластів, Дж / (кг · К);
, , - Коефіцієнти дифузії у вертикальному і радіальному
, , , Напрямках, м 2 / с;
h         - Напіввисоті пористого шару, м;
- Коефіцієнт проникності, м 2;
- Питома теплота радіоактивного розпаду, Дж / кг;
m                 - Пористість;
- Радіус свердловини закачування, м;
R p - положення фронту забруднення, м;
R w - положення фронту закачиваемой рідини, м;
R Т - положення фронту термічного впливу, м;
- Температура носія (забруднювача) в різних пластах, К;
- Питома теплоємність і щільність пористого шару, Дж / ​​(кг · К), кг / м 3;
- Швидкість конвективного переносу домішок, м / с;
- Швидкість фільтрації рідини, м / с;
- Дійсна швидкість руху рідини, м / с;
- Постійна радіоактивного розпаду, с -1;.
- В'язкість несучої рідини, Па с;
- Хімічні потенціали домішок у скелеті та рідини
- Щільності забруднювача в скелеті та рідини, кг / м 3;
- Щільності пластів, кг / м 3;
- Час, с;
- Коефіцієнти теплопровідності в радіальному напрямку, Вт / (м · К);
- Коефіцієнти теплопровідності у вертикальному напрямку, Вт / (м · К);
- Щільності забруднювача в різних пластах, кг / м 3.

Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ТЕПЛО-і масопереносу при ФІЛЬТРАЦІЇ РІДИНИ З радіоактивних забруднювачів У ГЛИБОКО залягає пласт

1.1. Деякі аспекти розвитку методів розрахунків температурних і концентраційних полів у пластах

Закачування розчинів радіоактивних домішок в глибоко залягають пористі пласти створює необхідність розрахунку взаємопов'язаних полів концентрації і температури, що зводиться до вирішення завдань конвективної теплопровідності і конвективної дифузії. Це приводить до системи рівнянь, що включає в себе рівняння безперервності, Нав'є-Стокса, енергії та стану речовини. Отримувані диференціальні рівняння в приватних похідних, на які накладаються початкові і граничні умови, не можуть бути вирішені без введення спрощень.
Одним з таких спрощень у задачах конвективного теплопровідності і дифузії є метод зосередженої ємності [50, 51, 52, 73], який полягає у виділенні областей з мало змінюється уздовж однієї або кількох координат величиною, що дозволяє замінювати шуканий параметр середнім значенням його в цих областях . Причому рівняння, що описують фізичні процеси в зазначених областях, замінюються відповідною граничною умовою у вигляді диференціального рівняння в приватних похідних.
Температурні поля в нафтогазових пластах у наближенні зосередженої ємності розглянуті у великому числі робіт наукових шкіл Башкирського, Казанського, Латвійського держуніверситету.
Необхідно відзначити роботу Х.А. Ловер [98], в якій розглянуто термічно анізотропна середовище, що має такі властивості: пористий пласт, в який нагнітається вода, має нескінченно велику теплопровідність у вертикальному напрямку і не проводить тепло за допомогою теплопровідності в горизонтальному напрямку, породи, що оточують цей пласт, мають кінцеву теплопровідність у вертикальному напрямку і не проводять тепло в горизонтальному напрямку. Як було показано Г.Є. Малофєєва [42] і Н.А. Авдоніна [1], схема Ловер дає цілком задовільні результати, незважаючи на спрощені умови теплопереносу.
Великий внесок у вивчення температурних полів в нафтових пластах вніс Л.І. Рубінштейн [64]. Він розробив схеми, названі "точної схемою" і "схемою зосередженої ємності". У "точної схемою" пласт і навколишні його породи вважаються термічно ізотропними, що мають теплофізичні характеристики, що збігаються з характеристиками реального пласта, його покрівлі і підошви. "Схема зосередженої ємності" близька до схеми Ловер.
Вважається, що пласт має нескінченно велику теплопровідність у вертикальному напрямку, а теплопровідність пласта в напрямку його простягання вважається кінцевою, що збігається з теплопровідністю реального пласта. Породи вважаються термічно ізотропними з реальним значенням коефіцієнта теплопровідності.
Теоретичні вивчення температурних полів при нагнітанні в пласт води проводилися також М.А. Пудовкіним [63].
Питання захоронення радіоактивних відходів у геологічних формаціях і виникають при цьому екологічні проблеми докладно розглядалися багатьма дослідниками, серед яких можна виділити А.С. Білицького, Є.І. Орлову [5], А.І. Рибальченко, М.К. Піменова [65]. Дослідженню гідродинаміки і масопереносу забруднювача присвячена велика кількість наукових праць співробітників ВНІІВодгео. Найбільш цінні результати отримані при проведенні чисельних розрахунків на ЕОМ за методом кінцевих різниць.

1.2. Основні фізичні процеси при фільтрації рідини в глибоко залягають пластах

Побудова механіки сумішей здійснено на основі фізичних законів збереження маси, імпульсу і енергії. Разом з істинною швидкістю руху рідини в пористому середовищі вводиться швидкість фільтрації
.
(1.2.1)
Тут m - коефіцієнт пористості (точніше ефективної пористості), який обумовлює фільтрацію в породі рідини чи газу і залежить від об'єму пор , Через які здійснюється фільтрація по відношенню до всього обсягу зразка .
Швидкість фільтрації безінерційного руху рідких фаз визначається законом Дарсі
.
(1.2.3)
У більшості зустрічаються (і, що важливо, "розраховуються") фільтраційних процесів деформація пористого скелета, стисливість і пов'язані з цим зміни температур рідин є малими. Основними ефектами, визначальними рух системи, є нерівноважний спільне рух кількох рідких фаз, молекулярна та конвективна дифузія розчинених у фазах компонент, поглинання твердою фазою або сорбція компонент, масообмін між фазами і т.д.
Обмежимося розглядом завдання для одного забруднювача, який є радіоактивним або хімічно активним. Варто відзначити, що концентрації забруднювача в скелеті пористої середовища і в насичує її нестисливої ​​розчині швидко вирівнюються в силу великої поверхні зіткнення. Як було показано в роботі О.І. Коркешко [30], час протікання масообміну між рідиною і скелетом виявляється порядку 0.1 с. Розчини, що розглядаються в роботі, вважаються ідеальними, що відповідає випадку однакового взаємодії молекул між собою незалежно від того, однакові вони або різні.
При розгляді температурної задачі вважається, що нагнітання теплоносія не супроводжується жодними процесами зміни фазового стану пластових рідин; теплофізичні характеристики рідини, що насичує пласт до початку нагнітання, збігаються з характеристиками нагнітається рідини; початкова температура пласта і оточуючих його порід стационарна. Вважаємо, що температури скелета пористої середовища і насичує її нестисливої ​​рідини однакові, тому що теплообмін (поряд з масообмінний) між скелетом і рідиною здійснюється порівняно швидко. Це припущення виконується внаслідок великої питомої поверхні пористих середовищ глибоко залягаючих пластів (~ ).
Рідина вважається нестисливої, капілярними силами, силою тяжіння, а також температурними змінами обсягів і теплових властивостей даної системи нехтуємо.

1.3. Рівняння конвективної дифузії з урахуванням радіоактивного розпаду і обміну рідини зі скелетом

Постановка задачі про розподіл концентрації шкідливих домішок при закачуванні розчинів в глибоко залягають пористі пласти заснована на законі збереження маси входять до складу домішок. Для забруднювача, що знаходиться в скелеті пласта, справедливе рівняння нерозривності

(1.3.1)
де - Дифузійний потік речовини в скелеті, - Відповідно щільність і коефіцієнт дифузії радіоактивної речовини в скелеті, m - пористість скелета, - Функція масообміну між скелетом і рідиною, що показує зміну щільності речовини у скелеті за рахунок дифузії молекул домішки з рідини в скелет, - Функція джерел концентрації, яка визначає втрати забруднювача за рахунок радіоактивного розпаду.
Для забруднювача, що знаходиться в рідині, рівняння нерозривності приймає вигляд
,
(1.3.2)
де - Дифузійний потік радіоактивної речовини в рідині, що тече в пласті, - Відповідно щільність і коефіцієнт дифузії радіоактивної речовини в рідині. Будемо вважати, що процес переходу молекул домішки з рідини в скелет і її перехід з скелета в рідину визначається співвідношенням хімічних потенціалів . При цьому, із закону збереження випливає, що потоки речовини з рідини в скелет і назад рівні, але протилежні за знаком. Це призводить до появи в правих частинах рівнянь однієї і тієї ж функції , Але з протилежним знаком. Вважаючи далі пористість m постійною, і складаючи рівняння (1.3.1) і (1.3.2), отримаємо

(1.3.3)
Рівноважні концентрації домішки в скелеті та в рідині пов'язані між собою співвідношенням (Ізотерма сорбції), де - Деяка функція концентрації домішки в рідині.
Будемо вважати, що залежність концентрації домішки в скелеті від концентрації її в рідині лінійна (ізотерма Генрі), що є гарним наближенням при порівняно невеликих концентраціях мігранта
,
(1.3.4)
де - Коефіцієнт розподілу забруднювача між носієм і скелетом.
Тоді останнє рівняння приймає вигляд

(1.3.5)
Враховуючи, що для нестисливої ​​рідини , А отже, , З останнього рівняння отримаємо
.
(1.3.6)
Тут введено позначення

(1.3.7)
- Ефективний коефіцієнт дифузії в шарі. З (1.3.6) випливає, що в рівнянні, що описує міграцію забруднювача, необхідно враховувати конвективний перенос забруднювача, "ускладнений" наявністю пористості в скелеті та перебігають масообмінних процесів між забруднювачем і скелетом. Рівняння (1.3.6) дозволяє визначити швидкість конвективного переносу домішок в пористому середовищі за аналогією зі швидкістю конвективного переносу тепла і швидкістю фільтрації
.
(1.3.8)
Швидкість конвективного переносу домішки визначає положення фронту забруднення R d подібно до того, як швидкість фільтрації визначає положення фронту закачиваемой рідини R w. При цьому положення фронту закачиваемой рідини визначається з балансу маси закачиваемой рідини. У випадку закачування з постійною швидкістю   через свердловину радіуса r 0 вираз для R w має вигляд
.
(1.3.9)
Відповідні радіуси зони забруднення і термічних збурень визначаються в пунктах 2.1 та 3.1.

1.4. Завдання теплопереносу

1.4.1. Математична постановка задачі теплопереносу та її обезразмеріваніе

Розглянемо задачу про поширення радіоактивних домішок в пористому глибоко залягає пласт, в який закачується рідина з розчиненими радіоактивними речовинами. Таке завдання є фундаментальною для підземного поховання радіоактивних відходів та відходів хімічних виробництв.
Одним із способів прогнозування динаміки поведінки радіоактивних і хімічних домішок у глибокозалягаючих пластах, є дослідження їх температурних полів. Сучасні прилади і методики вимірювання температури дозволяють проводити оперативні вимірювання з точністю, яка перевершує тисячні частки градуса. Температурні вимірювання в таких умовах можна використовувати для контролю просування радіоактивної зони.
Відповідні температурні аномалії виникають як за рахунок відмінності температури закачиваемой рідини від природної температури пластів, так і за рахунок енергії, що виділяється при розпаді радіоактивних речовин.
У результаті одного акту радіоактивного розпаду виділяється енергія ~ 1 МеВ. Згідно з діючим в Росії з Нормами радіаційної безпеки і санітарним правилам високоактивними рідкими радіоактивними відходами (РАВ) визнаються відходи, активність яких> 1 Кі / л. Отже, для високоактивних відходів виділяється потужність виявляється порядку ~ ~ 5 Вт / м 3. Причому, для середньо-і довгоживучих нуклідів ця потужність мало змінюється протягом років і навіть десятиріч. Виділятимуться енергія є дуже істотною і приводить до значної зміни температурного поля.
На рис. 1.1 представлена ​​геометрія завдання в циліндричній системі координат, вісь z якої співпадає з віссю свердловини. Середа представлена ​​трьома областями з плоскими межами розділу z = ± h. Закачка домішок в область - h <z <H виробляється з свердловини радіуса r 0; покриває (покрівля) і підстилає (підошва) пласти вважаються непроникними; середня область товщини 2 h є пористої; всі пласти вважаються однорідними і анізотропними за теплофізичними властивостями.

Рис. 1.1. Геометрія задачі теплопереносу
Через свердловину малого (в порівнянні з відстанню до точки спостереження) радіуса в горизонтальний нескінченний пласт товщиною закачується вода з радіоактивним забруднювачем.
У надходить у пласт рідини (при ) Підтримуються стала температура і концентрація домішки . У загальному випадку температура і концентрація забруднювача в пласті змінюються за рахунок конвективного переносу вздовж напрямку , Радіальної теплопровідності і дифузії уздовж , Теплопровідності та дифузії уздовж , За рахунок наявності теплових джерел та джерел концентрації (у нашому випадку такими джерелами є радіоактивний розпад забруднювача).
У навколишніх середовищах має місце теплопровідність і дифузія уздовж і радіальна теплопровідність і дифузія уздовж . У пласті концентрація домішки , Температура - , Коефіцієнт дифузії уздовж дорівнює , Коефіцієнт теплопровідності - , Коефіцієнт радіальної дифузії - , Коефіцієнт радіальної теплопровідності - , В покриваючих пласт породах відповідно - , , , , , , В підстилаючих породах - , , , , , . Крім того, постулюється умови рівності температур і концентрацій, а також щільності теплових і дифузійних потоків на кордонах дотику, накладаються початкові і граничні умови. У початковий момент часу скрізь і в нескінченно віддалених точках завжди концентрації домішки в пласті і в навколишніх середовищах дорівнюють нулю.
Математична постановка задачі теплопереносу для всіх областей, таким чином, включає рівняння теплопровідності з урахуванням радіоактивного розпаду в покриваючому

(1.4.1)
і підстильному

(1.4.2)
пластах, а також рівняння конвективного переносу з урахуванням радіоактивного розпаду в пористому пласті

(1.4.3)
Співмножник при у другому доданку в лівій частині рівняння (1.4.3) у розгорнутому вигляді
.
Умови сполучення включають в себе рівність температур
,
(1.4.4)
і потоків тепла на межах розділу пластів
.
(1.4.5)
У рівняннях (1.4.1) - (1.4.3) враховано, що щільність радіоактивного нукліда в даній точці простору визначається сумою густин у носії та в скелеті, які пов'язані співвідношенням (1.3.4).
У початковий момент часу температура пластів є природною невозмущенной температурою Землі на даній глибині. Розглядаючи глибини, що перевищують поріг впливу сезонних температур (~ 100 м), будемо вважати, що в силу малої величини градієнта температурного поля Землі (~ 0.01 К / м) і невеликої товщини пористого пласта (~ 10 м)
,
.
(1.4.6)
Температура забруднювача в свердловині, радіус якої ми вважаємо малим в порівнянні з відстанню до точки спостереження, дорівнює
.
(1.4.7)
Будемо надалі шукати перевищення температури в пластах над природною температурою, виражене в одиницях геотермічної температури в пористому пласті .
При вирішенні завдання зручно перейти до безрозмірних координатах, визначеним співвідношеннями
, , , , ,
, , , ,
, , .
(1.4.8)
Відразу зауважимо, що в силу (1.3.7)
.
(1.4.9)
Безрозмірний параметр At представляє собою відношення часу теплової релаксації верств до середнього часу життя радіоактивного нукліда. Вираз Pt є аналогом параметра Пекле, оскільки визначається аналогічно останньому, але через температуропровідність настилати, а не несе пласта. Величина визначає відношення зміни температури, викликаного «миттєвим» розпадом радіоактивного нукліда до різниці температур закачиваемой рідини і природної геотермічної температури пласта.
Для великих температурне поле визначається в основному енергією радіоактивного розпаду, для малих - конвективним переносом тепла, обумовленого різницею температур закачиваемой рідини і пласта.
У силу великого значення аналога параметра Пекле (Рt ~ ), В пористому пласті можна знехтувати радіальної кондуктивної теплопровідністю в порівнянні з конвективним переносом тепла.
Аналогічно, для настилаючим і підстилаючого пластів зміна радіальної складової температурного поля буде в значній мірі визначатися конвективним переносом тепла в пористому пласті, що дозволяє знехтувати для них внеском відповідних радіальних теплопровідності.
Таким чином, у всіх рівняннях, які утворюються з (1.4.1) - (1.4.3) зникнуть складові, які містять і цікаві для нас рівняння записується у вигляді: (відповідно для настилати, підстелювального і пористого пластів):
,
(1.4.10)
,
(1.4.11)
,
(1.4.12)
а умови сполучення, граничні та початкові умови приймають вигляд
,
(1.4.13)
, ,
(1.4.14)
,
(1.4.15)
, , ,
(1.4.16)
, , .
(1.4.17)
Рівняння і рівності (1.4.10) - (1.4.17) представляють математичну постановку задачі теплопереносу.

1.3.1. Розкладання завдання теплопереносу по асимптотичному параметру

Розглянемо більш загальну задачу, що виходить введенням довільного асимптотичного параметра шляхом формальної заміни на і, відповідно, на , А на . Завдання (1.4.10) - (1.4.17) є, таким чином, приватним випадком більш загальної задачі при .
,
(1.4.18)
,
(1.4.19)
,
(1.4.20)
,
(1.4.21)
, ,
(1.4.22)
,
(1.4.23)
, , ,
(1.4.24)
, , .
(1.4.25)
Будемо шукати розв'язок задачі (1.4.18) - (1.4.25), розкладаючи кожне в ряд по параметру . При цьому асимптотичні формули із залишковим членом для даних розкладів мають вигляд
, , .
(1.4.26)
Рішення вихідної задачі буде отримано з рішення параметризованих завдання при . Підставивши (1.4.26) у (1.4.18) - (1.4.25) та згрупувавши доданки за ступенями параметра розкладання , Отримаємо таку постановку параметризованих завдання (разом з граничними умовами)

(1.4.27)

(1.4.28)

(1.4.29)
,
,
(1.4.30)
,
,
(1.4.31)
, , ,
(1.4.32)
,
(1.4.33)
, ,

(1.4.34)
При цьому щільність забруднювача, що входить в (1.4.27) - (1.4.29), також буде розкладатися по параметру асимптотичного розкладання , Причому це розкладання проводиться незалежно від розкладання (1.4.26), хоча і за тим же принципом.

1.3.2. Математична постановка задачі теплопереносу в нульовому наближенні

З (1.4.29) для коефіцієнтів при (Нульове наближення) отримаємо , Тоді . Таким чином, в нульовому наближенні температура забруднювача є функцією тільки від r і t. З умов сполучення (1.4.30) . Отже, температура забруднювача в кожному вертикальному перерізі однакова по всій висоті несучого шару . Прирівнюючи коефіцієнти при до нуля в рівнянні (1.4.29), одержимо
.
(1.4.35)
Суму перших двох доданків в правій частині цього рівняння, не залежну від z, позначимо через
.
(1.4.36)
Тоді
,
(1.4.37)
отже,
.
(1.4.38)
При z = 1, скориставшись (1.4.30)
,
(1.4.39)
при z = - 1
.
(1.4.40)
Віднімаючи і додаючи два останніх рівняння, отримаємо для функцій і такі вирази:
,
(1.4.41)
.
(1.4.42)
Проінтегрувавши (1.4.38), одержимо
,
(1.4.43)
тут функція, яка не залежить від z, значення якої належить знайти.
Підставивши вираз з (1.4.41) у (1.4.36), одержимо для нульового наближення рівняння гіперболічного типу зі слідами похідних із зовнішніх областей

(1.4.44)
Остаточна постановка задачі в нульовому наближенні поряд з (1.4.44) включає також рівняння для навколишніх середовищ, початкові, граничні умови та умови спряження
,
(1.4.45)
,
(1.4.46)
,
(1.4.47)

(1.4.48)
,
(1.4.49)
, , .
(1.4.50)
Останній доданок у правій частині рівняння (1.4.44) встановлює зміна температури за рахунок енергії, що виділяється при радіоактивному розпаді. Відзначимо, що температурне поле в нульовому наближенні визначається не значеннями густин радіоактивного забруднювача в точках, а усередненими значеннями по вертикальній координаті в інтервалі пласта. Як буде показано нижче, усереднене таким чином значення щільності збігається з нульовим наближенням відповідної задачі масопереносу (див. пункт 1.5.3).
Для визначення в нульовому наближенні поля температур в середовищі, як випливає з (1.4.44) - (1.4.50), необхідно завдання функції щільності радіоактивного забруднювача. Постановка цього завдання здійснена в пункті 1.5, а її рішенням присвячена глава II.

1.3.3. Постановка завдання теплопереносу в першому наближенні

Рівняння (1.4.27), (1.4.28) для коефіцієнтів при (Перше наближення) приймають вигляд
,
(1.4.51)
.
(1.4.52)
Для коефіцієнтів при в (1.4.29)
.
(1.4.53)
Умови сполучення, початкові і граничні умови
, ,
(1.4.54)
, ,
(1.4.55)
,
(1.4.56)
,
(1.4.57)
, ,
(1.4.58)
Рішення відшукується у вигляді квадратного многочлена щодо z (1.4.43), де і визначаються як (1.4.41), (1.4.42), а значення належить знайти.
Рівняння (1.4.51) - (1.4.58) визначають постановку задачі теплообміну в першому наближенні. Тут також залежить від щільності забруднювача, що обумовлюється виразами для , .

1.5. Завдання масопереносу

1.5.1. Математична постановка задачі масопереносу і її обезразмеріваніе

Геометрія задачі масопереносу практично нічим не відрізняється від температурної задачі і представлена ​​на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Геометрія задачі масопереносу
Математична постановка задачі масопереносу для всіх областей включає рівняння дифузії з урахуванням радіоактивного розпаду в покриваючому

(1.5.1)
і підстильному

(1.5.2)
пластах, а також рівняння конвективної дифузії з урахуванням радіоактивного розпаду в пористому пласті

(1.5.3)
При цьому граничні умови включають в себе рівності щільностей і потоків розчиненої речовини на межах розділу пластів
,
(1.5.4)

(1.5.5)
Щільність забруднювача в свердловині, радіус якої ми вважаємо малим в порівнянні з відстанями до точки спостереження, дорівнює , Тобто
.
(1.5.6)
У початковий момент часу вважаємо щільність забруднювача рівною нулю
.
(1.5.7)
Крім того, на нескінченності виконуються умови регулярності
, , .
(1.5.8)
Перейдемо до безрозмірних координатах (1.4.8). При цьому отримаємо таку постановку задачі: для покриває пласта

(1.5.9)
для пористого пласта

(1.5.10)
для підстильного пласта

(1.5.11)
При цьому в другому доданку в лівій частині рівняння (1.5.9) з'являється ставлення коефіцієнта дифузії до коефіцієнта температуропровідності
,
(1.5.12)
величина якого виявляється порядку ~ ч .
Знову, як і в задачі теплопереносу, останнє доданок у лівій частині рівняння (1.5.10) містить співмножник Рd який при існуючих обсягах закачування має порядок ~ 10 2, так що конвективна складова (вздовж координати r) для поля концентрацій виявляється багато значущою, ніж дифузійна складова. Тому в рівняннях (1.5.9) - (1.5.11) пренебрежем молекулярної дифузією вздовж осі r.
Вводячи позначення
, ,
(1.5.13)
випишемо остаточно цікавлять нас рівняння:

(1.5.14)

(1.5.15)

(1.5.16)
Умови сполучення, граничні та початкові умови при цьому беруть вид
, ,
(1.5.17)
, ,
(1.5.18)
,
(1.5.19)
, , ,
(1.5.20)
, , .
(1.5.21)
Рівняння (1.5.14) - (1.5.21) визначає математичну постановку задачі масопереносу.

1.5.2. Розкладання завдання масопереносу по асимптотичному параметру

Розглянемо більш загальну задачу, що виходить введенням довільного асимптотичного параметра шляхом формальної заміни коефіцієнта дифузії на приватне . Відповідно до прийнятих позначеннями це відповідає наступним замін: , . Завдання (1.5.14) - (1.5.16) стає, таким чином, окремим випадком (при ) Більш загальної задачі, що містить параметр асимптотичного розкладання як у рівнянні для пласта, так і в умовах сполучення:
,
(1.5.22)
,
(1.5.23)

(1.5.24)
з умовами спряження, граничними і початковими умовами
, ,
(1.5.25)
, ,
(1.5.26)
, , ,
(1.5.27)
,
(1.5.28)
, ,
(1.5.29)
Будемо шукати розв'язок задачі (1.5.22) - (1.5.29), розкладаючи значення щільності кожній з областей в ряд по параметру . При цьому для даних розкладів асимптотичні формули із залишковим членом мають вигляд
,
,
.
(1.5.30)
Рішення вихідної задачі виходить з рішення параметризованих завдання при . Підставивши вирази (1.5.30) у (1.5.22) - (1.5.29) та згрупувавши доданки за ступенями параметра розкладання , Отримаємо таку постановку параметризованих завдання

(1.5.31)

(1.5.32)

(1.5.33)


(1.5.34)
,
,
(1.5.35)
,
(1.5.36)
,
(1.5.37)
.
(1.5.38)
Аналіз постановки завдання свідчить, що умови сполучення (1.5.34) дозволяють зв'язати між собою рішення різних наближень у пласті провідності, "підошві" і "покрівлі". Це і визначає можливість "розчеплення" виходять рівнянь, що містять коефіцієнти розкладання сусідніх порядків.

1.5.3. Математична постановка задачі масопереносу в нульовому наближенні

Прирівнюючи коефіцієнти при співмножники (Нульове наближення) у рівнянні (1.5.33), одержимо
,
(1.5.39)
а, отже, після інтегрування
.
(1.5.40)
Таким чином, в нульовому наближенні щільність забруднювача є функцією тільки від r і t. Далі, з умов спряження (1.5.34) отримуємо . Отже, в нульовому наближенні щільність забруднювача в кожному вертикальному перерізі однакова по всій висоті несучого шару .
Прирівнюючи до нуля коефіцієнти при в (1.5.33), одержимо
.
(1.5.41)
Ліву частину цього рівняння, в силу вищевикладеного не залежну від z, позначимо через :
,
(1.5.42)
тоді
.
(1.5.43)
Інтегруючи це рівняння з z, отримаємо
.
(1.5.44)
Повторне інтегрування дозволяє представити перший коефіцієнт розкладу у вигляді квадратного тричлена щодо z, коефіцієнти якого є функціями від радіальної змінної і часу, але не залежать від z
.
(1.5.45)
Завдання зводиться до пошуку функцій , і , Що не залежать від z, значення яких визначаються через сліди похідних із зовнішніх областей за допомогою процедури розчеплення, описаної нижче.
Підставляючи вирази (1.5.44) при z   = 1

(1.5.46)
і при z = -1

(1.5.47)
в умови спряження (1.5.34) для , Знайдемо два алгебраїчних рівняння, вирішуючи які, отримаємо для функцій і такі вирази:
,
(1.5.48)
.
(1.5.49)
З урахуванням (1.5.48) вираз (1.5.42) набуває вигляду
.
(1.5.50)
(1.5.50) представляє шукане рівняння для визначення нульового наближення щільності домішок в пласті.
Остаточна постановка задачі в нульовому наближенні включає також рівняння в покриваючих і підстилаючих породах
,
(1.5.51)
,
(1.5.52)
.
(1.5.53)
При цьому умови сполучення, початкові і граничні умови
,
(1.5.54)
,
(1.5.55)
,
(1.5.56)
, , .
(1.5.57)
Вирази (1.5.51) - (1.5.57) представляють змішану крайову задачу в нульовому наближенні. Відзначимо, що на відміну від вихідної задачі, яка представляє завдання сполучення для рівнянь параболічного типу, вона є змішаною, так як рівняння для пористого пласта не є параболічним. Крім того, це рівняння містить сліди похідних із зовнішніх областей.

1.5.4. Математична постановка задачі масообміну в першому наближенні

Рівняння (1.5.31), (1.5.32) для коефіцієнтів першого наближення приймають вигляд

(1.5.58)
.
(1.5.59)
Коефіцієнти при в рівнянні (1.5.33) дають
.
(1.5.60)
Початкові, граничні умови та умови спряження
,
(1.5.61)
, ,
(1.5.62)
, ,
(1.5.63)
.
(1.5.64)
Причому, рішення відшукується у формі квадратного многочлена щодо z (1.5.45), де і задаються виразами (1.5.48) і (1.5.49), а невідомо. Для його визначення перепишемо (1.5.60) у вигляді
,
(1.5.65)
де оператор

(1.5.66)
введений для більш компактній запису виходять співвідношень і зручності перетворень. Відзначимо, що з (1.5.42) слід
.
(1.5.67)
Враховуючи (1.5.45), (1.5.65), а також лінійність оператора , Отримаємо
.
(1.5.68)
Проінтегрувавши останній вираз по вертикальній координаті z, отримаємо вираз похідної для другого коефіцієнта розкладання у вигляді кубічного многочлена з вертикальної координаті z
,
(1.5.69)
використовуючи яке визначимо вирази для слідів похідних на кордонах сполучення (1.5.63) через допоміжні функції, не залежні від вертикальної координати z
,
(1.5.70)
.
(1.5.71)
Множачи ліву і праву частини (1.5.71) на і віднімаючи отримане з (1.5.70), приходимо до рівняння для визначення функції , Що входить до квадратичне представлення першого коефіцієнта розкладання
.
(1.5.72)
Рівняння для визначення першого коефіцієнта розкладання виходить шляхом підстановки (1.5.68), (1.5.72), (1.5.48), (1.5.49) у (1.5.60)

(1.5.73)
У завдання для визначення першого коефіцієнта розкладання входять також рівняння для навколишнього середовища
,
(1.5.74)
.
(1.5.75)
Початкові умови, умови сполучення і граничні умови
,
(1.5.76)
, ,
(1.5.77)
, , ,
(1.5.78)
.
(1.5.79)
Рівняння (1.5.73) - (1.5.79) представляють собою математичну постановку задачі масопереносу для коефіцієнтів першого наближення.
Як буде показано в процесі виконання завдання для першого наближення, умова (1.5.79) є надлишковим, і має бути замінено среднеінтегральним умовою, яке отримано в наступному пункті.
Така заміна можлива завдяки наступних міркувань. Рішення в нульовому наближенні, як показано в пункті 1.5.5 описує середні значення і для великих і малих часів. Перше наближення є поправкою до нульового. Ця поправка може бути змінена шляхом використання видозмінених граничних умов. Область високої точності розрахунків при цьому змінюється. Однак, для визначення «області високої точності» необхідне рішення задачі для залишкового члена, на підставі якого і робиться висновок про точність першого наближення.

1.5.5. Додаткове інтегральне умова для першого наближення

Усереднивши рівність (1.5.15) за z в межах несучого шару згідно
.
(1.5.80)
Послідовно для кожного доданка
,
(1.5.81)
,
(1.5.82)

(1.5.83)
Остаточно, після усереднення, отримаємо таку постановку задачі осередненого по несе пласту поля щільності забруднювача

(1.5.84)

(1.5.85)
.
(1.5.86)
Умови сполучення, початкові та граничні умови при цьому беруть вид
,
(1.5.87)
,
(1.5.88)
, , ,
(1.5.89)
, , .
(1.5.90)
Отримана завдання збігається із завданням (1.5.51) - (1.5.57) для нульового наближення щільності забруднювача. У силу єдиності рішення випливає, що .
Аналогічне співвідношення виходить при усередненні параметризованих завдання (1.5.22) - (1.5.29). Покажемо це. Усереднення похідних за часом і радіальної координаті збігається з попереднім
,
(1.5.91)
.
(1.5.92)
Похідна по вертикальній координаті z містить додатковий множник , Який скорочується при використанні умови сполучення для похідних, тому в результаті отримаємо вираз, що збігається з попереднім

(1.5.93)
Остаточно після усереднення параметризованих завдання отримаємо таку постановку задачі

(1.5.94)

(1.5.95)
,
(1.5.96)
,
(1.5.97)
,
(1.5.98)
, , ,
(1.5.99)
, , ,
(1.5.100)
яка повністю співпадає з попередньою і з завданням для нульового наближення поля щільності забруднювача. Збіг усереднених значень вихідної і параметризованих завдання істотно виділяє використовувану в даній роботі параметризацію від довільної, яка майже завжди призводить до залежності усереднених значень від параметра асимптотичного розкладання.
Збіг завдань для усереднених значень параметризованих і для нульового наближення, як і вище, в силу єдиності рішення дозволяє стверджувати, що . Далі процедура усереднення по z асимптотичного представлення параметризованих завдання (1.5.30) в пласті на лінії r = 0 приводить до наступного рівності

Звідси з урахуванням випливає, що середні по товщині пласта значення коефіцієнтів розкладання першого і більш високих порядків дорівнюють нулю
.
(1.5.101)
Встановлення рівності нульового наближення і середніх значень вихідної і параметризованих завдання має принципове значення для вирішення температурної задачі, оскільки входить в праву частину рівняння (1.4.43) середню густину можна замінити на рівне їй нульове наближення. Це використано при рішенні задачі теплопереносу в пункті 3.1.
При вирішенні завдання масопереносу в першому наближенні (1.5.73) - (1.5.79), виникає необхідність використання додаткового інтегрального умови (1.5.101), оскільки умова (1.5.79) є надлишковим і має бути замінене (1.5.101). Якщо зажадати виконання цього інтегрального умови при будь-яких значеннях r, то воно також виявляється надлишковим. Для побудови аналітичного рішення досить завдань інтегрального умови на одній поверхні для заданого значення r. Раніше показано, що найкращим перше наближення є у випадку, коли поверхня осереднення збігається з поверхнею, на якій задані граничні умови.

1.6. Висновки

У розділі I на основі рівняння конвективної дифузії для нестисливої ​​рідини з урахуванням радіоактивного розпаду і обміну забруднювача зі скелетом, здійснена постановка Термодифузійна задачі про взаємозалежних полях концентрації і температури в глибокозалягаючих горизонтах, що виникають при закачуванні в пористий пласт розчинених радіоактивних речовин. З використанням параметра асимптотичного розкладання температурна і дифузійна завдання представлені у вигляді нескінченної послідовності крайових задач для коефіцієнтів розкладу шуканого рішення в асимптотичний ряд. Вироблено «розчіплювання» відповідної ланцюжка рівнянь і на цій основі здійснено постановку крайових задач змішаного типу зі слідами похідних із зовнішніх областей для нульового та першого коефіцієнтів розкладання.
При побудові розв'язку задачі для першого коефіцієнта використано нелокальні граничну умову, що полягає в тому, що середні значення температури і щільності домішок по товщині пласта на осі свердловини дорівнюють нулю.

Глава II. РІШЕННЯ задач масопереносу У нульовому
І першому наближенні, СТАЦІОНАРНЕ РІШЕННЯ

2.1. Рішення задачі масопереносу в нульовому наближенні

У просторі зображень Лапласа - Карсона
,
для нульового наближення замість (1.5.51) - (1.5.57) отримаємо таку задачу:
, Z> 1, r> 0,
(2.1.1)
,
| Z | <1, r> 0,
(2.1.2)
, Z <- 1, r> 0,
(2.1.3)
,
(2.1.4)
,
(2.1.5)
,
(2.1.6)
, , .
(2.1.7)
Рішення рівняння (2.1.1) має вигляд
.
(2.1.8)
Враховуючи друге з граничних умов (2.1.5), отримаємо . Тоді
.
(2.1.9)
Аналогічно, для підстильного пласта в просторі зображень з (2.1.3) і (2.1.5) отримаємо
.
(2.1.10)
Враховуючи граничні умови (2.1.4), а також те, що в нульовому наближенні щільність забруднювача в пористому пласті не залежить від z і є функцією тільки від r і t, ці рішення можна переписати у вигляді
,
(2.1.11)
.
(2.1.12)
Ці висловлювання дозволяють визначити значення слідів похідних із зовнішніх областей, що входять в рівняння для пласта, через щільність домішки в ньому
, .
(2.1.13)
Підставляючи знайдені значення похідних (2.1.11), (2.1.12) у рівняння (2.1.2), відповідне (1.5.52) у просторі зображень, отримаємо
.
(2.1.14)
Групуючи доданки та враховуючи, що в останньому рівнянні похідна береться тільки за однієї змінної, перепишемо (2.1.2) у вигляді
.
(2.1.15)
Рішення рівняння (2.1.15)
.
(2.1.16)
Граничне умова (2.1.6) дозволяє отримати значення постійної інтегрування . Остаточно в просторі зображень в нульовому наближенні для пористого шару отримаємо
.
(2.1.17)
Введемо позначення для вираження, що стоїть у квадратних дужках
,
(2.1.18)
при цьому
.
(2.1.19)
З урахуванням (2.1.11) і (2.1.12) повне рішення задачі в просторі зображень представляється як
,
(2.1.20)
,
(2.1.21)
.
(2.1.22)
Для зручності переходу в простір оригіналів, отримані рішення з урахуванням (2.1.18) представимо у формі
,
(2.1.23)
,
(2.1.24)
.
(2.1.25)
Перехід у простір оригіналів здійснимо, використовуючи формули зворотного перетворення Лапласа - Карсона [23]:
,
де - Одинична функція Хевісайда

(2.1.26)

(2.1.27)
У нашому випадку, зробивши зворотне перетворення Лапласа - Карсона, і перейшовши у простір оригіналів, рішення задачі в нульовому наближенні представимо у вигляді

(2.1.28)

(2.1.29)

(2.1.30)
відповідно для пористого, настилаючим і підстилаючого пластів.
Перший співмножник в рішенні (2.1.28) - (2.1.30) описує зменшення щільності забруднювача в результаті радіоактивного розпаду, другий - функція Хевісайда, визначає радіус поширення зони зараження і третій (вираз у фігурних дужках) враховує зміну щільності з-за дифузії забруднювача і радіоактивного розпаду продіффузірующего нукліда.
Розглянемо спрощену модель в якій не враховується радіоактивний розпад у накриваємо і підстильному пластах. У цьому випадку в правих частинах рівнянь (1.5.51), (1.5.53) буде стояти нуль, граничні умови й умови сполучення не зміняться. Аналогічно, в просторі зображень дорівнюють нулю праві частини (2.1.1) і (2.1.3). Математична постановка відповідної задачі в просторі зображень
, Z> 1, r> 0,
(2.1.31)
,
| Z | <1, r> 0,
(2.1.32)
, Z <- 1, r> 0,
(2.1.33)
,
(2.1.34)
,
(2.1.35)
,
(2.1.36)
, , .
(2.1.37)
Хід вирішення ідентичний вирішення завдання з урахуванням розпаду в «покрівлі» і «підошві».
Враховуючи граничні умови (2.1.34) і те, що в нульовому наближенні щільність забруднювача в пористому пласті не залежить від z і є функцією тільки від r і t, рішення рівнянь (2.2.31), (2.1.33) можна записати у вигляді
,
(2.1.38)
.
(2.1.39)
Тоді для слідів похідних, що входять в (2.1.32)
, .
(2.1.40)
Підставляючи знайдені значення похідних у рівняння (2.1.32), одержимо
.
(2.1.41)
Рішення рівняння (2.1.41) з урахуванням граничної умови (2.1.36) має вигляд
.
(2.1.42)
Введемо позначення
.
(2.1.43)
Тоді повне рішення задачі в просторі зображень
.
(2.1.44)
,
(2.1.45)
.
(2.1.46)
Для зручності переходу в простір оригіналів, рішення з урахуванням (2.1.43) запишемо у вигляді
,
(2.1.47)
,
(2.1.48)
.
(2.1.49)
Перейдемо в простір оригіналів, використовуючи формули зворотного перетворення Лапласа - Карсона [23]
,
.
(2.1.50)
У нашому випадку маємо
.
(2.1.51)
Зробивши зворотне перетворення Лапласа - Карсона, і перейшовши у простір оригіналів, рішення задачі в нульовому наближенні представимо у вигляді

(2.1.52)

(2.1.53)

(2.1.54)
Врахуємо, що найбільш важливі фізичні результати обумовлюються нульовим наближенням асимптотичного розкладання, перший і наступний коефіцієнти визначають «поправки». Крім того, в силу малості коефіцієнта дифузії ( ~ 10 -9 Ч10 -11) поширення забруднювача в водотривких пластах у вертикальному напрямку мізерно (у порівнянні з конвективному перенесенням в пористому пласті) і слабо впливає на розміри зони зараження, тому проведемо порівняння отриманих результатів тільки для пористого пласта (2.1.28), (2.1.52).
На рис. 2.1 показана залежність різниці між густиною забруднювача в пористому пласті без урахування і з урахуванням радіоактивного розпаду в водотривких пластах від координати r. Графік 1 відповідає періоду напіврозпаду Т 1 / 2 = 100 років, 2 - 10 років, 3 - 1 рік. Обчислення проведені для часу = 30 років, інтенсивність закачування - 100 м 3 / доб.

Рис. 2.1. Залежність різниці (для нульового наближення) між щільністю забруднювача в пористому пласті без урахування і з урахуванням радіоактивного розпаду в водотривких пластах від координати r при різних постійних розпаду 1 - At = 0.1, 2 - 1, 3 - 10. Інші розрахункові параметри t = 10, , , Pd = 10 Лютий
З рис. 2.2 випливає, що виникає при заміні (2.1.28) на (2.1.52) відносна різниця , Зростає при збільшенні постійної розпаду (зменшенні періоду напіврозпаду) і для короткоживучих нуклідів (T 1 / 2 ~ 100 діб.) На фронті забруднювача складає більше 0,4. Проте, абсолютна різниця густин при цьому зменшується зі зростанням At і для тих же короткоживучих нуклідів стає мізерно малої (рис. 2.1). Розрахунки приведені для безрозмірного часу t = 10, що відповідає розмірного часу ~ 30 років. При зменшенні розрахункового часу похибки також зменшуються.

Рис. 2.2. Залежність відносної різниці (для нульового наближення) між щільністю забруднювача в пористому пласті без урахування і з урахуванням радіоактивного розпаду в водотривких пластах від координати r при різних постійних розпаду 1 - At = 0.1, 2 - 1, 3 - 10. Інші розрахункові параметри t = 10, , , Pd = 10 Лютий
На рис. 2.3 видно, що й самі абсолютні значення щільності короткоживучих забруднювачів для зазначеного моменту часу на кордоні зони забруднення практично звертаються в нуль. При збільшенні періоду напіврозпаду нукліда до ~ 30 років абсолютне значення щільності його на кордоні зони забруднення залишається досить значним (рис. 2.3), але відносна різниця між результатами (2.1.28) і (2.1.52) складає декілька відсотків (рис. 2.2) . Зменшення при розрахунках коефіцієнта δ на порядок ( ) Призводить до зменшення абсолютної і відносної різниці ще приблизно вдвічі.

Рис. 2.3 Залежність нульового наближення щільності радіоактивного забруднювача в пористому пласті від координати r без урахування розпаду в оточуючих пластах. при різних постійних розпаду 1 - At = 0.1, 2 - 1, 3 - 10. Інші розрахункові параметри t = 10, , , Pd = 10 Лютий
Все це дозволяє для практичних розрахунків знехтувати радіоактивним розпадом в водотривких шарах, що істотно спрощує розрахункові формули. Тому надалі ми і в масо-і в теплообмінної завданню будемо ігнорувати цей розпад.
Оскільки внесок радіоактивного розпаду описується співмножником , То можна стверджувати, що концентрація радіоактивного забруднювача зменшується в е раз за рахунок розпаду на відстанях, що визначаються простим співвідношенням R e = h = . Звідси випливає, що для короткоживучих ізотопів зона забруднення невелика. З іншого боку, для зменшення зони впливу довгоіснуючих радіоактивних ізотопів слід зменшувати швидкість фільтрації.
Отримане рішення містить функцію Хевісайда, яка дозволяє вказати, що щільність радіоактивних ізотопів звертається в нуль при r . Це співвідношення дозволяє визначити радіус зони радіоактивного зараження
R p = h = .
(2.1.55)
При Аt = 0 з (2.1.52) - (2.1.54) слідують рішення без урахування радіоактивного розпаду

(2.1.56)

(2.1.57)

(2.1.58)
Нехтування впливом масообміну з навколишнім середовищем на щільність домішок в пласті в (2.1.52) - (2.1.54), дозволяє отримати наближення, яке можна з високою точністю використовувати для розрахунку теплових полів у підземних горизонтах

(2.1.59)

(2.1.60)

(2.1.61)
Спрямовуючи δ → 0 в (2.1.59) - (2.1.61), одержимо так зване «бездіффузіонное наближення»

(2.1.62)

(2.1.63)

(2.1.64)
межі застосування якого обговорюється в 2.3.

2.2. Аналіз результатів розрахунків в нульовому наближенні

На рис.2.4 показані розрахунки залежності в нульовому наближенні щільності радіоактивного забруднювача від відстані до осі свердловини. Зі збільшенням часу зростає радіус зони забруднення.

Рис 2.4. Залежність щільності радіоактивних домішок (нульове наближення) від відстані до осі свердловини для різних моментів часу: 1   - T = 1, 2   - 10, 3   - 100. Інші розрахункові параметри At = 0.1, , , Pd = 10 Лютий
На рис. 2.5 наведені результати розрахунків щільності радіоактивних домішок в нульовому наближенні в залежності від безрозмірної просторової координати, віднесеної до радіусу зони забруднення ( ). Як видно із зіставлення кривих зменшення концентрації забруднювача визначається не тільки дифузійними процесами (крива 1), а й, значною мірою, радіоактивним розпадом (криві 2 - 4).

Рис 2.5. Залежність щільності радіоактивних домішок (нульове наближення) від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення, для різних постійних розпаду 1   - At   = 0, 2   - 0.01, 3   - 0.1, 4   - 1. Інші розрахункові параметри t = 10, , , Pd = 10 Лютий
Незважаючи на те, що зазвичай внесок дифузійних процесів дуже малий, у розглянутому випадку відбуваються значні зміни концентрації на фронті зони збурень (крива 1 на обох малюнках). Головними причинами цього ефекту є підвищені градієнти концентрації між пластом і оточуючими породами і великі часи закачування, яка здійснюється зазвичай десятки років. При постійних розпаду At> 0.01 стає суттєвим внесок радіоактивного розпаду. При At> 0.1 процес радіоактивного розпаду є переважаючим і практично повністю визначає розподіл концентрації радіоактивних домішок. Відзначимо, що при великих часах у пласті встановлюється стаціонарне поле, яке визначається співвідношенням , Наступним з (2.1.52).
Графіки, представлені на рис. 2.6 аналогічні попереднім (рис. 2.5). однак внесок дифузійних процесів у даному випадку стає меншим в силу зменшення d. При цьому загальні тенденції залишаються незмінними.

Рис 2.6. Залежність щільності радіоактивних домішок (нульове наближення) від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення, для різних постійних розпаду 1   - At   = 0, 2   - 0.01, 3   - 0.1, 4   - 1. Інші розрахункові параметри t = 10, , , Pd = 10 Лютий
На рис 2.7 представлена ​​залежність вкладу дифузійного масообміну з навколишнім середовищем від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення R d. З малюнка слід, що вплив дифузійного масообміну для великих часів (~ 10 років) поблизу фронту забруднення є досить суттєвою. У розрахунках прияти Pd = 100, δ = 10 -3, At = 0. Остання відповідає нехтування радіоактивним розпадом.

Рис. 2.7. Внесок дифузійного масообміну з навколишнім середовищем від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення, при різних часах закачування: 1   - T   = 0.1, 2   - 1, 3   - 10. At = 0, , , Pd = 10 Лютий
На рис 2.8 наведена залежність щільності радіоактивного забруднювача в нульовому наближенні від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення R d для різних пір закачування і постійних розпаду. Причому, значення t і At обрані таким чином, що t ∙ At = 1. При цьому графіки щільностей виявляються досить близькими один до одного. Різниця між ними визначається лише наявністю дифузійних процесів. Це підкреслює фізичну розумність обраної системи обезразмеріванія.

Рис. 2.8. залежність щільності забруднювача (нульове наближення) від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення, при різних часах закачування і постійних розпаду 1   - T   = 0.1, At = 10, 2   - T   = 10, At = 0.1, 3   - T   = 100, At = 0.01, , , Pd = 10 Лютий
Якщо будувати залежність , То помітити «близькість» графіків важко, оскільки радіус зони забруднення зростає, згідно (2.1.55) пропорційно .

2.3. Бездіффузіонное наближення в задачі масообміну

У силу того, що ставлення коефіцієнтів дифузії ( ) І температуропровідності ( ) Є малою величиною порядку ~ ч (Див. (1.5.12)), з'являється можливість спростити взаємозв'язану завдання тепломасопереносу, розглянувши бездіффузіонное наближення, суть якого полягає в нехтуванні дифузійними доданками у відповідній завданню масопереносу.
Перевага такого підходу в значне спрощення процедури побудови рішення тепломасообмінне завдання. Однак, при використанні бездіффузіонного наближення необхідно вирішення питань, пов'язаних з оцінкою його застосовності.
Розглядаючи знайшли ми вираз для (2.1.52) як функцію від , Розкладемо його в ряд Маклорена по малому параметру , Причому обмежимося першими двома членами розкладання
.
(2.3.1)
З (2.2.1), враховуючи, що , Отримаємо
.
(2.3.2)
Далі, зрозумівши похідну

(2.3.3)
і підставляючи (2.3.2) і (2.3.3) в (2.3.1), остаточно отримаємо
.
(2.3.4)
У разі бездіффузіонного наближення в рівнянні (1.5.41) відразу нехтуємо дифузійної складової, і воно набуває вигляду

(2.3.5)
або, провівши перетворення Лапласа - Карсона, в просторі зображень
.
(2.3.6)
Рішення цього рівняння (у просторі оригіналів)
,
(2.3.7)
що збігається з нульовим наближенням (за ) Для задачі масопереносу з урахуванням вертикальної дифузії.
Відносна похибка, що виникає при нехтуванні другим доданком у квадратних дужках у виразі (2.3.4), і визначає похибка бездіффузіонного наближення
.
(2.3.8)
Аналіз рис.2.9, на якому показана залежність відносної похибки бездіффузіонного наближення від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення, показує, що за час ~ 30 років похибка даного наближення на відстанях до 0,9 R d не перевищує кількох відсотків і лише для значних часів ~ 300 років, на відстанях бульшим 0,7 R d стає істотною. Причому дані результати не залежать від середнього часу життя нукліда.

Рис. 2.9. Залежність відносної похибки бездіффузіонного наближення від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення, при різних часах закачування 1   - T   = 0.1, 2   - 1, 3   - 10, 4   - 100.   Pd = 10 2,
Якщо при розрахунках вважати, що , То на відстанях до 0,9 R d для τ £ 300 років похибка бездіффузіонного наближення не перевищує 5%. Це дозволяє в багатьох практичних задачах використовувати бездіффузіонное наближення.
Відстань від свердловини, на якому можна користуватися бездіффузіонним наближенням, природно назвати «радіусом бездіффузіонного наближення». Аналогічно можна ввести поняття «час бездіффузіонного наближення».
На рис. 2.10 наведені результати розрахунків щільності радіоактивних домішок для бездіффузіонного наближення в залежності від відносної відстані до свердловини. Параметр Pd при розрахунках приймався рівним 10 2.

Рис. 2.10. Залежність відносної похибки бездіффузіонного наближення від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення, при різних часах закачування 1   - T   = 0.1, 2   - 1, 3   - 10, 4   - 100.   Pd = 10 2,
Криві, наведені на рис. 2.11 розраховані для значення безрозмірного часу t = 10. При відсутності дифузії зменшення концентрації забруднювача відбувається тільки в результаті радіоактивного розпаду. Тому в разі Аt = 0 щільність постійна па всій ділянці аж до фронту забруднювача (положення якого задається функцією Хевісайда), де стрибком падає до нуля (крива 1). Вид кривих 2 - 4 визначається радіоактивним розпадом.

Рис. 2.11. Залежність щільності радіоактивних домішок від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення для безрозмірного часу t = 10 при різних постійних розпаду: 1   - At   = 0, 2   - 0.01, 3   - 0.1, 4   - 1.   
Pd = 10 2,

2.4. Рішення завдання масообміну в першому наближенні

Випишемо ще раз отриману в розділі 1.5.4 математичну постановку задачі масообміну для коефіцієнтів першого наближення, нехтуючи радіоактивним розпадом в водотривких пластах

(2.4.1)
,
(2.4.2)
,
(2.4.3)
початкові умови, умови сполучення і граничні умови
,
(2.4.4)
, ,
(2.4.5)
, , ,
(2.4.6)
.
(2.4.7)
Нагадаємо, що рішення відшукується у формі квадратного многочлена щодо z
,
(2.4.8)
де
,
(2.4.9)
.
(2.4.10)
Визначення зводиться до розв'язання рівняння
,
(2.4.11)
де запроваджено оператор
.
(2.4.12)
Перейдемо далі до простору зображень (перетворення Лапласа - Карсона). При цьому оператор приймає вигляд
.
(2.4.13)
Вираз (2.4.11) у просторі зображень
.
(2.4.14)
Має сенс спочатку знайти в просторі зображень вираження і . Скориставшись аналогами (2.4.9) і (2.4.10) у просторі зображень, а також (2.1.48), (2.1.49), одержимо
,
(2.4.15)
.
(2.4.16)
Далі
,
(2.4.17)
.
(2.4.18)
Вираз (1.10.7), в просторі зображень представляється як
.
(2.4.19)
Рішення рівнянь (2.4.2) і (2.4.3) майже нічим не відрізняються від рішень відповідних рівнянь в нульовому наближенні, тому в просторі зображень справедливі співвідношення
, .
(2.4.20)
Зауважимо, що в першому наближенні залежить від z. Це ж справедливо і для зображень.
З (2.4.19) отримаємо для першого коефіцієнта розкладання
,
(2.4.21)
.
(2.4.22)
Підставляючи в (2.4.14) вирази (2.4.15) - (2.4.18) і (2.4.20) - (2.4.22), після спрощень отримаємо
.
(2.4.23)
Загальне рішення відповідного однорідного рівняння має вигляд
.
(2.4.24)
Підставляючи знайдене значення в (2.4.23) і вважаючи, що , Отримаємо диференціальне рівняння
,
(2.4.25)
рішення якого
.
(2.4.26)
З (2.4.24) і (2.4.26) вираз для
.
(2.4.27)
Для знаходження скористаємося додатковим інтегральним умовою (1.5.101) яке для коефіцієнтів розкладу першого порядку в просторі зображень має вигляд
.
(2.4.28)
Тут - Середнє за z значення , Що визначається за допомогою (2.4.19) стандартним чином:

(2.4.29)
Тоді в просторі зображень отримаємо
,
(2.4.30)
або, з урахуванням (2.4.15)
.
(2.4.31)
Порівнюючи з (2.4.27), визначимо
.
(2.4.32)
остаточно для маємо в просторі зображень
.
(2.4.33)
Нарешті, підставивши (2.4.15), (2.4.16) і (2.4.33) у (2.4.19) отримаємо вираз для першого коефіцієнта в просторі зображень

(2.4.34)
Скомпонуем останній вираз зручним чином (з огляду на необхідність переходу у простір оригіналів)

(2.4.35)
Розкриваючи відповідно до (2.1.43), перейдемо в простір оригіналів, використовуючи формули зворотного перетворення Лапласа - Карсона [23]
,
.
(2.4.36)
У нашому випадку
,
(2.4.37)
.
(2.4.38)
Нарешті, справедливо наступне співвідношення
.
(2.4.39)
Скориставшись (2.3.36) - (2.3.39), з (2.3.35) отримаємо вираз для першого коефіцієнта розкладання у формі

(2.4.40)
При цьому в першому наближенні щільність забруднювача представиться як
,
(2.4.41)
де і визначаються виразами (2.1.52) і (2.4.40).
Оцінимо тепер внесок другого доданка в фігурних дужках виразу (2.4.40) в порівнянні з першим. Вважаючи коефіцієнти дифузії надстілающего і підстилаючого пластів рівними, для відношення цих доданків отримаємо
.
(2.4.42)
Аналіз рис. 2.12 дозволяє зробити висновок про можливість зневаги другим доданком у фігурних дужках (2.4.40) в порівнянні з першим для всіх практично значущих часів на відстанях до 0.95 R d. Графіки на рис. 2.12 побудовані для z = 0, але аналогічні результати виходять і при інших z, за винятком точок , В яких (2.4.42) звертається в нескінченність.

Рис. 2.12. Залежність від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення, при різних часах закачування 1   - T   = 10, 2   - 30, 3   - 100. Графіки побудовані для z = 0. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2,
Однак з рис. 2.13 видно, що і в цьому випадку (у силу абсолютної малості відповідного доданка) їм можна знехтувати для відстаней менших 0.98 R d. тому надалі при розгляді першого коефіцієнта асимптотичного розкладання будемо вважати, що

Рис. 2.13. Залежність другого доданка за розкритті всіх дужок в (2.4.40) від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення, при різних часах закачування 1   - T   = 10, 2   - 30, 3   - 100. Графіки побудовані для . Інші розрахункові параметри Pd = 10 2,

(2.4.43)
Вираз (2.4.43) з високим ступенем точності визначає перший коефіцієнт модифікованого асимптотичного розкладання щільності радіоактивного забруднювача.

2.5. Аналіз результатів розрахунків у першому наближенні

На рис. 2.14 та 2.15 представлені графіки залежності першого коефіцієнта розкладання від відстані до осі свердловини. Вид графіків для z = 0 і z = 1 виявляється схожим, але «перевернутим». При цьому найбільш істотний внесок першого наближення спостерігається на межі зони зараження.

Рис. 2.14. Залежність щільності радіоактивних домішок для коефіцієнта першого наближення від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення для безрозмірного часу t = 10 при різних постійних розпаду: 1   - At   = 0, 2   - 0.1, 3   - 1, 4   - 10. Графіки побудовані для z = 1. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
Порівнюючи графіки, представлені на рис. 2.15 і 2.16, приходимо до висновку, що зі збільшенням часу, що пройшов з моменту закачування, внесок зменшується.

Рис. 2.15. Залежність щільності радіоактивних домішок для коефіцієнта першого наближення від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення для безрозмірного часу t = 10 при різних постійних розпаду: 1   - At   = 0, 2   - 0.1, 3   - 1, 4   - 10. Графіки побудовані для z = 0. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,

Рис. 2.16. Залежність щільності радіоактивних домішок для коефіцієнта першого наближення від відстані до осі свердловини, віднесеного до радіусу зони забруднення для безрозмірного часу t = 30 при різних постійних розпаду: 1   - At   = 0, 2   - 0.1, 3   - 1, 4   - 10. Графіки побудовані для z = 0. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
Про це ж говорить і аналіз рис. 2.17, на якому наведена залежність першого коефіцієнта щільності радіоактивного забруднювача від часу закачування на різних відстанях від осі свердловини. Причому, на бульшим відстанях від осі зменшення відбувається швидше.

Рис. 2.17. Залежність щільності радіоактивних домішок від часу закачування на «відносних відстанях» від осі свердловини: 1   - R = 0.2, 2   - 0.4, 3   - 0.6, 4   - 0.8. Графіки побудовані для At   = 0.3. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
Однак з рис. 2.18 випливає, що для нерадіоактивних домішок має велике значення і на бульшим відстанях від свердловини. Отже, що спостерігалося на рис. 2.17 відмінність у швидкості зменшення визначається не стільки дифузійними характеристиками, скільки радіоактивним розпадом.

Рис. 2.18. Залежність щільності радіоактивних домішок від часу закачування на «відносних відстанях» від осі свердловини: 1   - R = 0.2, 2   - 0.4; 0.6, 3   - 0.8. Графіки побудовані для At   = 0. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
На рис. 2.19 представлена ​​залежність від відстані до осі свердловини, віднесеного до максимального радіусу забруднення. Різні криві відповідають різним відстаням вздовж вертикальної координати в пласті. Графіки побудовані для безрозмірного часу t   = 3. При цьому дане відношення не залежить від параметра At радіоактивного розпаду. Видно, що для такого незначного часу на відстанях внесок першого коефіцієнта наближення є дуже великою.

Рис. 2.19. Залежність відносини до від «відносної відстані» для різних z: 1   - Z = 0, 2   - 0.4, 3   - 0.6, 4 - 1. Графіки побудовані для t = 3. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
Аналіз рис. 2.20, визначального залежність від відстані до осі свердловини, віднесеного до максимального радіусу забруднення, у порівнянні з рис. 2.19, дозволяє зробити висновок про зменшення ролі із зростанням часу закачування. Графіки побудовані для безрозмірного часу t   = 30, що відповідає розмірного часу ~ 100 років. При цьому на відстанях до внесок в порівнянні з для горизонтів -0.6 <z   <0.6 дуже малий і становить 3 - 5%.

Рис. 2.20. Залежність відносини до від «відносної відстані» для різних z: 1   - Z = 0, 2   - 0.4, 3   - 0.6, 4 - 1. Графіки побудовані для t = 30. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
Цей висновок підтверджується і аналізом рис. 2.21, на якому представлена ​​залежність від часу. При збільшенні часу закачування зменшується відносний внесок . Отже, при значних розрахункових часи, розподіл щільності забруднювача описується з високим ступенем точності нульовим наближенням.

Рис. 2.21. Залежність відносини до від часу закачування на «відносних відстанях» від осі свердловини: 1   - R = 0, 2   - 0.4, 3   - 0.6, 4   - 1. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
На рис. 2.22 представлена ​​картина залежності від вертикальної координати. Коефіцієнти дифузії надстілающего і підстилаючого пластів покладаються однаковими. Картина симетрична щодо z = 0. при цьому зі збільшенням відстані до осі свердловини відбувається "згладжування" значень .

Рис. 2.22. Залежність коефіцієнта першого наближення щільності радіоактивних домішок від z для безрозмірного часу t = 10 на «відносних відстанях» від осі свердловини: 1   - R = 0.2, 2   - 0.4, 3   - 0.6, 4   - 0.8. Графіки побудовані для At   = 0.3. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
Малюнок 2.23 показує залежність від вертикальної координати у разі різниці коефіцієнтів дифузії надстілающего і підстилаючого пластів. Симетрія відносно z = 0 порушується, більш високий коефіцієнт визначає і більше абсолютне значення . Зі збільшенням відстані до осі свердловини відбувається "згладжування" .
З рис. 2.24 випливає, що при малих постійних розпаду відмінність між першим і нульовим наближеннями залишається практично постійним, в той час, як при великих At зменшення щільності забруднювача за рахунок розпаду стає переважаючим і різниця між нульовим і першим наближеннями зменшується.

Рис. 2.23. Залежність коефіцієнта першого наближення щільності радіоактивних домішок від z для безрозмірного часу t = 10 на «відносних відстанях» від осі свердловини: 1   - R = 0.2, 2   - 0.4, 3   - 0.6, 4   - 0.8. Графіки побудовані для At   = 0.3. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , , ,

Рис. 2.24. Залежність щільності радіоактивного забруднювача в нульовому (1, 3) та першому (2, 4) наближеннях від «відносної відстані» для різних постійних розпаду 1,2   - At   = 0.1, 3,4   - 1. Графіки побудовані для t = 10. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
Аналіз рис. 2.25 показує, що зі збільшенням часу криві, що відповідають щільності забруднювача в різних горизонтальних площинах, наближаються один до одного, що викликано, насамперед, зменшенням в результаті радіоактивного розпаду.
На рис. 2.26 представлена ​​залежність щільності забруднювача при відсутності радіоактивного розпаду від часу. При цьому зменшення визначається тільки процесами дифузії. Чим більше величина , Тобто чим ближче за абсолютною величиною коефіцієнт дифузії до коефіцієнта температуропровідності, тим швидше зменшується щільність, і навпаки.

Рис. 2.25. Залежність щільності радіоактивного забруднювача в першому наближенні від часу для різних z: 1   - Z = 0.5, 2   - 0.7, 3   - 0.9, 4   - 1. Графіки побудовані для R = 0.5. Інші розрахункові параметри At = 0.3, Pd = 10 2, , ,

Рис. 2.26. Залежність щільності нерадіоактивного забруднювача в першому наближенні від часу для різних : 1 , 2   - , 3   - . Графіки побудовані для R = 0.9 і z = 0.5. Інші розрахункові параметри At = 0, Pd = 10 2, ,
При наявності радіоактивного забруднювача картина в більшій мірі визначається процесами радіоактивного розпаду, що добре видно на рис. 2.27. Особливо істотна різниця в масштабі осі часу між 2.26 та 2.27, що викликано великим часом «дифузійної релаксації» у порівнянні з середнім часом життя нукліда.
З рис. 2.28, 2.29 випливає, що збільшення часу закачування призводить до «згладжування» щільності забруднювача в першому наближенні на кордоні зони забруднення, що дозволяє в цьому наближенні отримувати хороші результати для всіх постійних розпаду і на всіх відстанях.

Рис. 2.27. Залежність щільності нерадіоактивного забруднювача в першому наближенні від часу для різних постійних розпаду: 1   - At   = 0.1, 2   - 0.3, 3   - 1, 4   - 3. Графіки побудовані для R = 0.9 і z = 0.5. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,

Рис. 2.28. Залежність щільності радіоактивного забруднювача в першому наближенні від відстані до осі свердловини, віднесеного до максимального радіусу зони забруднення для безрозмірного часу t = 1. При різних постійних розпаду: 1   - At   = 0.1, 2   - 0.3, 3   - 1, 4   - 3. Графіки побудовані для z = 0.5. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,

Рис. 2.29. Залежність щільності радіоактивного забруднювача в першому наближенні від відстані до осі свердловини, віднесеного до максимального радіусу зони забруднення для безрозмірного часу t = 10. При різних постійних розпаду: 1   - At   = 0.1, 2   - 0.3, 3   - 1, 4   - 3. Графіки побудовані для z = 0.5. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,

Як видно з рис. 2.30 і 2.31, збільшення часу закачування зменшує вертикальну складову градієнта щільності радіоактивного забруднювача в першому наближенні.

Рис. 2.30. Залежність щільності радіоактивних домішок в першому наближенні від z для безрозмірного часу t = 3 на «відносних відстанях» від осі свердловини: 1   - R = 0.2, 2   - 0.4, 3   - 0.6, 4   - 0.8. Графіки побудовані для At   = 0.3. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,

Рис. 2.31. Залежність щільності радіоактивних домішок в першому наближенні від z для безрозмірного часу t = 10 на «відносних відстанях» від осі свердловини: 1   - R = 0.2, 2   - 0.4, 3   - 0.6, 4   - 0.8. Графіки побудовані для At   = 0.3. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , ,
Істотний вплив на розподіл забруднення уздовж вертикальної осі надає δ - збільшення коефіцієнта дифузії несучого шару (або зменшення його коефіцієнта температуропровідності) призводять до більш значної зміни щільності забруднювача по висоті пласта.

Рис. 2.32. Залежність щільності радіоактивних домішок в першому наближенні від z для безрозмірного часу t = 10 на відстані 0.9 R d від осі свердловини для різних : 1 , 2   - , 3   - , 4   - . Інші розрахункові параметри At = 0.1, Pd = 10 2, ,

Рис. 2.33. Залежність щільності радіоактивних домішок в першому наближенні від z для безрозмірного часу t = 3 на «відносних відстанях» від осі свердловини: 1   - R = 0.2, 2   - 0.4, 3   - 0.6, 4   - 0.8. Графіки побудовані для At   = 0.3. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, , , ,
Відмінності у фізичних властивостях «покрівлі» і «підошви» призводить до зміщення максимуму графіка у бік пласта, що володіє меншим коефіцієнтом дифузії.
Отже, на основі асимптотичного методу створено методику розрахунків концентрації домішок радіоактивних і хімічно активних речовин при їх похованні в підземних горизонтах.

2.6. Стаціонарне рішення задачі масопереносу в нульовому та першому наближенні

Відзначимо, що надзвичайно важливим є знаходження стаціонарного рішення, що дозволяє встановити максимальні розміри зони забруднення. Покладемо в рівняннях (1.5.14) - (1.5.16), що описують поширення забруднювача в пластах, перший доданок рівним нулю. При цьому рівняння приймають вигляд
,
(2.6.1)
,
(2.6.2)
.
(2.6.3)
Поділивши ліві і праві частини всіх рівнянь на , Значення якого визначається виразом (1.5.12), запишемо стаціонарну завдання разом з граничними умовами та умовами спряження
,
(2.6.4)
,
(2.6.5)
,
(2.6.6)
,
(2.6.7)
,
(2.6.8)
,
(2.6.9)
, , .
(2.6.10)
Будемо шукати розв'язок задачі (2.6.4) - (2.6.10) у вигляді асимптотичного ряду по параметру , Що з'являється при формальній заміні коефіцієнта дифузії на приватне . Відповідно до прийнятих позначеннями це відповідає наступним замін: , А .
, , .
(2.6.11)
Підставивши вирази (2.6.11) в (2.6.4) - (2.6.10) та згрупувавши доданки за ступенями параметра розкладання , Отримаємо таку постановку параметризованих завдання (разом з граничними умовами)
,
(2.6.12)
,
(2.6.13)

(2.6.14)


(2.6.15)
, ,
(2.6.16)
,
(2.6.17)
, ,
(2.6.18)
Прирівнюючи коефіцієнти при в рівнянні (2.6.14) та враховуючи умову (2.6.15), одержимо, що в нульовому наближенні щільність забруднювача є функцією тільки від r, тобто в кожному вертикальному перерізі однакова по висоті несучого шару . Далі, прирівнявши до нуля коефіцієнти при в рівнянні (2.6.14), одержимо
.
(2.6.19)
Ліву частину цього рівняння, не залежну від z, позначимо через :
.
(2.6.20)
Тоді , Отже
,
(2.6.21)
.
(2.6.22)
Тут , - Невідомі поки функції.
З умов сполучення (2.6.15) при співмножників отримаємо
,
(2.6.23)
.
(2.6.24)
Тоді рівняння (2.6.20) набуде вигляду
.
(2.6.25)
Для нульового наближення з (2.6.12) і (2.6.13) з урахуванням умов спряження (2.6.16)
, .
(2.6.26)
Продифференцировав останні висловлювання і підставивши результат в (2.4.25), одержимо
.
(2.6.27)
Рішення цього рівняння представимо як
,
(2.6.28)
де
.
(2.6.29)
Отримані рівняння (2.6.26), (2.6.28) і визначають рішення стаціонарної задачі в нульовому наближенні.
Знайдемо тепер коефіцієнти при в асимптотичному розкладанні стаціонарної задачі масопереносу. Рівняння (2.6.12) - (2.6.14) для доданків, що містять мають вигляд
,
(2.6.30)
,
(2.6.31)
.
(2.6.32)
Умови сполучення представляються як
, ,
(2.6.33)
, ,
(2.6.34)
причому, рішення відшукується у формі квадратного многочлена (2.6.22) щодо z, де і визначені виразами (2.6.20) і (2.6.21), а невідомо. Для його визначення перепишемо (2.6.32) у вигляді
,
(2.6.35)
де оператор . Враховуючи співвідношення (2.6.22), а також лінійність оператора , Отримаємо
.
(2.6.36)
Інтегруючи останній вираз і використовуючи умови спряження (2.6.34), перейдемо до рівняння
.
(2.6.37)
Рішення рівнянь для перших коефіцієнтів асимптотичного розкладання для настилаючим і підстилаючого пластів майже не відрізняються від рішень відповідних рівнянь в нульовому наближенні, тому справедливі співвідношення
, .
(2.6.38)
Скориставшись (2.6.23), (2.6.26) і (2.6.28), одержимо
,
(2.6.39)
,
(2.6.40)
,
(2.6.41)
.
(2.6.42)
Рівняння (2.6.37) з урахуванням (2.6.38) - (2.6.42), запишеться як
.
(2.6.43)
Рішення цього рівняння
.
(2.6.44)
Для знаходження постійної інтегрування С необхідно скористатися граничною умовою (2.6.17) для коефіцієнта при : . Проте, як випливає з (2.6.22), задовольнити йому не представляється можливим. Це змушує послабити умову (2.6.17). Для того, щоб прояснити можливе "ослаблення", розглянемо завдання для залишкового члена . Підставляючи
, ,
(2.6.45)
в параметризованих завдання, отримаємо
,
(2.6.46)

(2.6.47)
,
(2.6.48)
з граничними умовами та умовами спряження
, ,
(2.6.49)
,
(2.6.50)
, , ,
(2.6.51)
,
(2.6.52)
, ,
(2.6.53)
Усереднивши завдання по товщині пласта. При усередненні другої похідної по вертикальній координаті скористаємося умовами спряження (2.6.49)

(2.6.54)
Остаточно постановка усередненої завдання для залишкового члена з урахуванням (2.6.54) представиться як
,
(2.6.55)

(2.6.56)
,
(2.6.57)
з граничними умовами та умовами спряження
,
(2.6.58)
, , ,
(2.6.59)
,
(2.6.60)
, , .
(2.6.61)
Усереднена завдання для залишкового члена (2.6.55) - (2.6.61) має тривіальне розв'язок тоді і тільки тоді, коли
,
(2.6.62)
і
,
(2.6.63)
тобто, коли в усередненій завданню для залишкового члена відсутня джерело і середні значення нульового коефіцієнта розкладання на поверхні завдання граничних умов звертається в нуль.
У справедливості останнього рівняння легко переконатися, усереднивши (2.6.35) з урахуванням умов спряження (2.6.34). Отже, якщо замінити гранична умова для на среднеінтегральное
,
(2.6.64)
то аналізований метод рішення забезпечує можливість звернення до нуль рішення усередненої завдання для залишкового члена асимптотичного розкладання. Це, природно, підвищує цінність рішення для практичних додатків. У силу цього доцільно в асимптотичних рішеннях виділити відповідний клас рішень. Асимптотичне наближення параметризованих завдання, отриманої з (2.6.4) - (2.6.10), побудоване за умови, що рішення усередненої завдання для залишкового члена є тривіальним, назвемо точним у середньому асимптотическим рішенням.
Для точного в середньому рішення з додаткового граничної умови (2.6.64) і вирази для першого коефіцієнта розкладання (2.6.22) отримаємо
.
(2.6.65)
Звідки
.
(2.6.66)
Підставляючи отримане таким чином вираз в (2.6.22), для першого коефіцієнта розкладання отримаємо

(2.6.67)
, .
(2.6.68)
У першому наближенні рішення стаціонарної задачі має вигляд
, , ,
(2.3.69)
де і визначаються виразами (2.4.26), (2.4.28) і (2.4.67), (2.4.68)

2.7. Аналіз результатів розрахунку стаціонарної задачі

На ріс.2.34 представлені графіки залежності стаціонарного розподілу домішок в нульовому наближенні від відстані до осі свердловини. Нульове наближення в даному випадку є найбільш значущим, воно визначає загальний вид залежності . При цьому величина щільності забруднювача спадає за експоненціальним законом і, як випливає з графіків, навіть для середньоживучого і найбільш небезпечних радіонуклідів (90 Sr, 137 Cs) на відстанях 200 h виявляється порядку відсотків від максимальної, що спостерігається в зоні закачування.

Рис. 2.34. Залежність щільності радіоактивних домішок у пористому пласті для стаціонарного випадку (нульове наближення) від відстані до свердловини при різних постійних розпаду: 1   - At   = 0.01, 2   - 0.1, 3   - 1. Інші розрахункові параметри Pd = 10 2, ,
На рис 2.35 відображена картина розподілу поля радіоактивного забруднювача в стаціонарному випадку уздовж вертикальної координати (нульове наближення). «Зрізи» наведено для відстаней 0, 100 h і 200 h від осі свердловини. Видно, що для середньоживучого нуклідів 1 / 2 ~ 30 років) у настилаючим і підстильному пластах щільності забруднювача швидко спадають, і вже на відстанях 0,5 h стають мізерно малими.


Рис. 2.35. Залежність щільності радіоактивних домішок для стаціонарного випадку (нульове наближення) від координати z при різних відстанях до свердловини: 1   - R = 0, 2   - 100, 3   - 200. Інші розрахункові параметри At   = 0.01, Pd = 10 2, ,
У загальному випадку, збільшення параметра Pd приводить до «витягнутості» графіка вздовж радіального напряму, зменшення At (що відповідає збільшенню середнього часу життя нукліда) - до «розширення» графіка уздовж осей r і z. При цьому полі забруднювача залишається обмеженим у просторі.

2.8. Порівняння результатів аналітичного рішення

з чисельними і з експериментом

На рис. 2.36 наведені результати, отримані за допомогою модифікованого методу асимптотичного розкладання і результати вирішення завдання масопереносу методом сіток. При цьому чисельним методом вирішувалося завдання (1.5.14) - (1.5.21), тобто також у нехтуванні радіальної дифузією.
Різницеві схеми задачі:
,
,

,
.


Рис. 2.36. Залежність щільності радіоактивного забруднювача від відстані до осі свердловини. Графіки побудовані (для безрозмірного часу t = 100): методом сіток - 1 і методом асимптотичного розкладання - 2. Інші розрахункові параметри At   = 0.1, Pd = 10 2, ,
Порівняння кривих, наведених на рис. 2.36 дозволяє зробити висновок про хороше відповідності результатів, отриманих чисельними методами та аналітичними обчисленнями.
На рис. 2.37 наведено порівняння теоретичних результатів (суцільні лінії) і експериментальних даних (з кн. Рибальченко А.І. та ін [64] Глибинне поховання рідких радіоактивних відходів. - М.: Видавництво, 1994; пунктирні лінії).

Рис. 2.37. Зіставлення залежності щільності радіоактивних нуклідів від інтенсивності закачування на відстані 200 м до осі свердловини для моменту часу t = 5 років. V - інтенсивність закачування
Порівняння експериментальних і теоретичних кривих дозволяє зробити висновок про непоганий якісному збігу наявних результатів.

2.9. Висновки

У другому розділі нами знайдені рішення задачі масопереносу в нульовому та першому наближеннях. Аналіз результатів розрахунків просторово-часових залежностей полів концентрацій шкідливих домішок і температур в глибоко залягають пластах дозволяє встановити наступне: нульове наближення може бути успішно використано для розрахунку середніх значень концентрацій шкідливих речовин і температури в проникних пластах і з достатньою точністю описує поля концентрацій і температур в оточуючих породах і зону збурень концентрації і температури в середовищі; перше наближення задовільно описує поля концентрацій як у пласті, так і в навколишніх породах і дозволяє усунути головний недолік нульового наближення, тобто врахувати залежність від в інтервалі пласта.
Побудовані рішення для полів концентрації забруднювача в нульовому та першому наближеннях свідчать про наявність погранслоев на малих відстанях від осі свердловини і малих часів, звідки виникає задача побудови відповідних погранслойних функцій. Рішення стаціонарної задачі дозволило встановити співвідношення для граничних розмірів зони зараження.
Введене среднеінтегральное гранична умова для першого коефіцієнта розкладання дозволило отримати точне в середньому асимптотичний розв'язок задачі, для якого в пористому пласті значення залишкового члена усередненої задачі дорівнює нулю.
На підставі розрахунків показано, що в більшості практичних випадків впливом радіоактивного розпаду в оточуючих пластах на щільність радіоактивних домішок в пласті і розгнуздується цим розпадом тепловим ефектом можна знехтувати. У той же час внесок дифузійних процесів обміну з оточуючими пластами є переважаючим на дифузійному фронті, що пояснюється великими градієнтами концентрації і значними часом закачування.
Показано, що для відносно малих часів при практичних розрахунках з високою точністю може бути використано так зване «бездіффузіонное» наближення, при побудові якого внесок конвекції передбачається переважаючим. Проведена оцінка похибки бездіффузіонного наближення, що дозволяє значно спростити виконуються розрахунки.
Зіставлення теорії і експерименту дозволило підтвердити задовільну точність при застосуванні розрахункових формул, отриманих за методом просторового усереднення на основі формального параметру, для практичних розрахунків.
Побудовано стаціонарне рішення для массопереносной завдання, що дозволяє встановити граничні розміри зони зараження при закачуванні радіоактивних відходів у глибокозалягаючі горизонти.
Отримані вирази дозволяють приступити до вирішення пріоритетною для нас завдання теплопереносу, що і зроблено в розділі III.

Глава III. РІШЕННЯ ЗАДАЧІ теплопереносу в нульової та першої НАБЛИЖЕННЯ

3.1. Нульове наближення

Постановка завдання теплопереносу для нульового наближення представлена ​​в розділі 1.4 у вигляді (1.4.44) - (1.4.50). Враховуючи, обгрунтовану в 2.1 можливість зневаги радіоактивним розпадом в «покрівлі» і «підошві», у просторі перетворень Лапласа - Карсона за часом t завдання представляється як

(3.1.1)
,
(3.1.2)
,
(3.1.3)
умови спряження, граничні та початкові умови
,
(3.1.4)
,
(3.1.5)
, , .
(3.1.6)
Останній доданок у правій частині рівняння (3.1.1) містить співмножник, що визначається щільністю радіоактивного забруднювача, перебування якої описано в главі II. У розділі 1.5.5 показано, що інтеграл збігається з нульовим наближенням щільності і не залежить від . Тому рівняння (3.1.1) можна переписати таким чином

(3.1.7)
Рішення рівняння (3.1.2), з урахуванням граничних умов (3.1.6):
.
(3.1.8)
Аналогічно, для підстильного пласта в просторі зображень
.
(3.1.9)
З огляду на умови сполучення (3.1.4), ці рішення можна переписати у вигляді
,
(3.1.10)
.
(3.1.11)
За допомогою (3.1.10) і (3.1.11) виразимо значення слідів похідних із зовнішніх областей через температуру пласта в нульовому наближенні
, .
(3.1.12)
Підставляючи знайдені значення похідних (3.1.12) у рівняння (3.1.7), отримаємо звичайне диференціальне рівняння для визначення температурного поля в пласті в нульовому наближенні
.
(3.1.13)
Введемо позначення для вираження, що стоїть у квадратних дужках
,
(3.1.14)
тоді
.
(3.1.15)
Рішення однорідного рівняння, відповідного (3.1.15) має вигляд
.
(3.1.16)
Методом варіації довільної сталої визначимо .
.
(3.1.17)
Для знаходження постійної підставимо (3.1.17) у (3.1.16) і врахуємо гранична умова (3.1.5), тоді
.
(3.1.18)
Вираз для має вигляд
,
(3.1.19)
а рішення задачі в пласті в просторі зображень представляється у формі
.
(3.1.20)
З урахуванням (3.1.10), (3.1.11) температурне поле в навколишньому середовищі описується виразами (у просторі зображень)

(3.1.21)
.
(3.1.22)
Для зручності переходу в простір оригіналів перепишемо (3.1.20) - (3.1.22) у вигляді

(3.1.23)

(3.1.24)

(3.1.25)
Перейдемо в простір оригіналів, використовуючи формули зворотного перетворення Лапласа - Карсона [23]
,
де - Одинична функція Хевісайда

(3.1.26)
,
(3.1.27)
У нашому випадку маємо
,
(3.1.28)
де
,
(3.1.29)
,
(3.1.30)
Для випадку стаціонарного поля домішок зробивши зворотне перетворення Лапласа - Карсона, і перейшовши у простір оригіналів, рішення задачі в нульовому наближенні представимо у вигляді

(3.1.31)

(3.1.32)

(3.1.33)
При цьому радіус зони термічного впливу закачиваемой рідини
R T   = H = .
(3.1.34)
Для випадку, коли щільність джерел забруднення нестаціонарна, поряд із зазначеними вище співвідношеннями необхідно використовувати наступні:
,
(3.1.35)
,
(3.1.36)
оскільки Фундаментальний вираз в цьому випадку може бути представлено у вигляді
.
(3.1.37)
Здійснивши перехід у простір оригіналів в (3.1.37), одержимо
.
(3.1.38)
Для пласта

(3.1.39)
для покрівлі (3.1.40) і підошви (3.1.41)


(3.1.40)


(3.1.41)
При нехтуванні радіоактивним розпадом At = 0, отримані рішення збігаються з відомими для температурного поля при закачуванні холодної або гарячої води в пласт [30]

(3.1.42)

(3.1.43)

(3.1.44)
Якщо знехтувати впливом теплообміну з навколишнім середовищем на температуру в пласті, то замість (3.1.42) - (3.1.44) отримаємо квазіадіабатіческое наближення

(3.1.45)

(3.1.46)

(3.1.47)
Для малих часів застосовно адіабатичне наближення

(3.1.48)

(3.1.49)

3.2. Перехід у простір оригіналів для нульового подання щільності забруднювача

У даному пункті здійснений перехід у простір оригіналів для випадку, коли вираз для густини в (3.1.23) - (3.1.25) представлено залежністю (2.1.47)

(3.2.1)

(3.2.2)

(3.2.3)
Скориставшись наведеними вище співвідношеннями (3.1.26) - (3.1.28), одержимо такі вирази для температурного поля в нульовому наближенні:

(3.2.4)

(3.2.5)

(3.2.6)
Таким чином, нами отримані вирази (3.2.4) - (3.2.6), що визначають в нульовому наближенні температурне поле в пористому пласті і оточуючих його породах.

3.3. Аналіз результатів розрахунків за нульовим наближенню

На рис.3.1 показані розрахунки залежності в нульовому наближенні температури в несучому шарі від часу для безрозмірного відстані r = 20 (що відповідає розмірного відстані ~ 200 м ) Від осі свердловини. Період напіврозпаду ізотопу покладається ~ 30 років. При розрахунках вважається, що обсяги закачування становлять ~ 100 м 3 / доб. Графіки побудовані для забруднювача з різною активністю: 1 ~   0.1 Кі / л, 2 ~   0.05 Кі / л, 3 ~   0.01 Кі / л, 4 ~   0 Кі / л. Зі збільшенням часу температура зростає. Величина температури в даній точці в кожний фіксований момент часу тим вище, чим більше активність препарату, причому для високоактивних забруднювачів зростання температури в основному визначається енергією, що виділяється при радіоактивному розпаді.

Рис 3.1. Залежність в нульовому наближенні температури в пористому пласті від часу при фіксованій точці спостереження r = 20. Графіки побудовані для різних значень активностей розчину (Кі / л): 1   ~ 0.1, 2   - 0.05, 3   - 0.01, 4   - 0. Інші розрахункові параметри , , До р = 40, At = 0.3, Pt = 2 жовтня
На рис.3.2 показані розрахунки залежності в нульовому наближенні температури в несучому шарі від відстані до осі свердловини для моменту часу t = 0.3, що відповідає розмірного часу ~ 1 року. Період напіврозпаду Т 1 / 2 = 30 років. З аналізу кривих слід, що при різних значеннях активності забруднювача 1 ~ 0.5 Кі / л, 2 ~ 0.3 Кі / л, 3 ~ 0.1 Кі / л на деякій відстані від свердловини спостерігається значне зростання температури пласта в порівнянні температурою, яка визначається теплофізичними властивостями закачиваемой рідини без забруднювача - 4. Причому це зростання тим більше значущий, ніж більше активність нукліда.

Рис 3.2. Залежність в нульовому наближенні температури в пористому пласті від відстані до осі свердловини для моменту часу t = 0.3. Графіки побудовані для постійної розпаду At = 0.3 і для різних значень Q: 1   - Q   = 50, 2   - 30, 3   - 10, 4 - 0. Інші розрахункові параметри , , , , До г = 20, m = 0.4, Pt = 2 жовтень
На рис. 3.3 показані розрахунки залежності в нульовому наближенні температури від вертикальної координати для безрозмірного часу t = 10, що відповідає розмірного часу ~ 30 років. Період напіврозпаду Т 1 / 2 = 30 років. Графіки побудовані для забруднювача, активність якого ~ 0.1 Кі / л на різних відстанях від осі свердловини 1 - 0, 2 - h, 3 - 5 h, 4 - 10 h, 5 - 20 h, 6 - 30 h, 7 - 40 h . Максимальне значення температури досягається приблизно на відстані 10 h від осі свердловини. Для обраного часового проміжку обурення температурного поля у вертикальному напрямку на відстані більшій 10 h є несуттєвими.

Рис. 3.3. Залежність нульового наближення температури від вертикальної координати, для моменту часу t = 10. Графіки побудовані для постійної розпаду At = 0.3 і для різних значень r: 1   - R = 0, 2   - 1, 3   - 5, 4 - 10, 5 - 20, 6 - 30, 7 - 40. Інші розрахункові параметри , , , , До г = 20, m = 0.4, Pt = 2 жовтень

3.4. Рішення задачі теплообміну в просторі зображень
у першому наближенні

Постановка першого наближення задачі теплообміну була здійснена в 1.4.4. Випишемо отримані там рівняння ще раз, переобозначив їх для зручності.
,
(3.4.1)
,
(3.4.2)
.
(3.4.3)
Граничні умови й умови сполучення
, ,
(3.4.4)
, ,
(3.4.5)
,
(3.4.6)
,
(3.4.7)
, , .
(3.4.8)
Рішення відшукується у вигляді квадратного многочлена щодо z
,
(3.4.9)
причому
,
(3.4.10)
,
(3.4.11)
а значення нам ще належить знайти.
Система (3.4.1) - (3.4.8) і визначає постановку задачі теплообміну в першому наближенні. Тут також залежить від щільності забруднювача, що визначається виразами для , .
Для знаходження перепишемо (3.4.3) у вигляді
,
(3.4.12)
де запроваджено оператор
.
(3.4.13)
Враховуючи (3.4.9) і (3.4.12), а також лінійність оператора , Отримаємо

(3.4.14)
Проінтегруємо останній вираз

(3.4.15)
Як видно з (3.4.15), в першому наближенні завдання теплопереносу в загальному випадку вже залежить від першого наближення щільності радіоактивного забруднювача. У силу громіздкості виходять виразів обмежимося вирішенням цієї задачі в загальному випадку в просторі зображень (перетворення Лапласа - Карсона).
Перейдемо відразу в простір зображень, скориставшись перетворенням Лапласа - Карсона. При цьому останнє рівняння приймає вигляд

(3.4.16)
Причому оператор в просторі зображень представиться як
,
(3.4.17)
а визначається виразом (2.1.47).
З огляду на умови сполучення (3.4.4), що залишаються справедливими і в просторі зображень, отримаємо з (3.4.16)

(3.4.18)
і

(3.4.19)
Множачи (3.4.18) на і віднімаючи (3.4.19), одержимо

(3.4.20)
Висловимо з (3.4.20)

(3.4.21)
У просторі зображень (3.4.9) приймає вигляд

(3.4.22)
де

(3.4.23)

(3.4.24)
Рішення рівнянь
,
(3.4.25)
,
(3.4.26)
відповідних (3.4.1), (3.4.2) у просторі зображень, з урахуванням умов регулярності і сполучення, приймають вигляд
,
(3.4.27)
.
(3.4.28)
При цьому сліди похідних із зовнішніх областей представляться як
, ,
(3.4.29)
що дозволяє переписати (3.4.21) у вигляді

(3.4.30)
З (3.3.9) у просторі зображень визначені граничні значення першого коефіцієнта

(3.4.31)

(3.4.32)
Підстановка (3.4.31), (3.4.32) у (3.4.30) дає рівняння для визначення .



(3.4.33)
Дійсно, значення всіх величин і вирази для всіх змінних, що входять в (3.4.33), за винятком нам відомі. При вирішенні цього рівняння з'явиться постійна інтегрування, значення якої може бути знайдено з використанням нелокального інтегрального умови аналогічно знаходженню першого коефіцієнта розкладання в задачі масопереносу.

3.5. Зіставлення радіусів зон хімічного і теплового збурень

При поширенні забруднювача виникає кілька фронтів, що визначаються різними фізичними процесами, що протікають в закачиваемой рідини і скелеті. Один з них - тепловий фронт, обумовлений конвективним переносом тепла, інший - визначається теплотою, що виділяється в результаті радіоактивного розпаду. Нарешті, через сорбції забруднювача на скелеті, виникає зона чистої води, уширяется з плином часу.
Відмітна особливість пропонованої моделі полягає в тому, що вона дозволяє зіставити розміри зон теплового, хімічного та гідродинамічного впливу. Це зіставлення і супутні оцінки дуже важливі для практичних додатків. Як вказувалося вище швидкість конвективного переносу домішки визначає положення фронту забруднення R p подібно до того, як швидкість фільтрації визначає положення фронту закачиваемой рідини R w. Положення фронту закачиваемой рідини визначається для випадку закачування з постійною швидкістю v 0 пласт через свердловину радіуса r 0 згідно (1.3.8) має вигляд
.
Для достатньо великих часів τ можна знехтувати в подкоренное вираженні, тоді замість (3.3.1) отримаємо
.
(3.5.1)
Радіус зони радіоактивного зараження визначається згідно залежності (2.1.55) у вигляді
R p = .
(3.5.2)
Співвідношення між швидкостями фільтрації на вході в пористу середу при r   = R 0 і конвективного переносу домішки в тій же точці визначається співвідношенням (1.3.7)
,
(3.5.3)
тому для радіуса зони радіоактивного зараження з (3.3.3) отримаємо
R p = .
(3.5.4)
Якщо постійна рівноваги Генрі дорівнює нулю, то розміри зон закачиваемой рідини і забруднення збігаються R w = R p. При ненульових значеннях константи рівноваги Генрі ≠ 0 фронт радіоактивного зараження відстає від фронту закачиваемой рідини. Утворюється кільцева зона очищеної від радіоактивних домішок закачиваемой рідини R p <r <R w, розміри якої ростуть пропорційно кореню з часу закачування :
R p = .
(3.5.5)
Наявність такої зони є сприятливим екологічним фактором. Якщо підбирати для закачування горизонти з високими значеннями постійної рівноваги, то таким способом можна очищати воду від радіоактивних і хімічних домішок. Такі горизонти можуть служити природними фільтрами, що очищають воду від різних домішок. Щось аналогічне, мабуть, відбувається в деяких джерельних питних джерелах.
Поряд із зазначеними вище фронтами в задачі виникає фронт термічного впливу закачиваемой рідини, що визначається виразом (3.1.34)
R T = .
(3.5.6)
Наявність такого фронту обумовлено величиною швидкості конвективного переносу тепла, яка пов'язана зі швидкістю конвективного переносу домішок на вході в пористу середу співвідношенням
.
(3.5.7)
У загальному випадку швидкість конвективного переносу тепла пов'язана зі швидкістю фільтрації співвідношенням
.
(3.5.8)
Величина швидкості конвективного переносу тепла u при більше швидкості фільтрації v. При фільтрації води з теплоємністю з w = 4100 Дж / ​​(кг ∙ К) та щільністю ρ w = 1000 кг / м 3 в піщанику з пористістю m = 0.2, теплоємністю з s = 840 Дж / ​​(кг ∙ К) та щільністю ρ s = 2500 кг / м 3 відношення швидкостей конвективного переносу тепла та фільтрації складе . При фільтрації нафти з теплоємністю з о = 2000 Дж / ​​(кг ∙ К) та щільністю ρ о = 850 кг / м 3 швидкість конвективного переносу тепла більше швидкості фільтрації, оскільки їх ставлення менше одиниці і становить
.
Швидкість конвективного переносу тепла може перевищувати швидкість конвективного переносу домішки. У цьому випадку фронт термічних збурень випереджає фронт радіоактивного забруднення. Умова, при якому це відбувається, має вигляд
, .
(3.5.9)
Оскільки постійна Генрі представляє відношення щільності домішки в скелеті і розчині , То умова випередження температурного фронту представиться як
.
(3.5.10)
Останнє означає, що температурний фронт випереджає фронт забруднення при достатньо великому змісті домішки в скелеті, що можливо при високій адсорбуючою здібності скелета. Нагадаємо, що величини із зірочкою означають дійсну густину середовища, а без зірочки - щільність домішки в середовищі. Умова (3.5.9) означає, що відношення щільності домішки в скелеті до щільності домішки в розчині повинне перевищувати відношення відповідних об'ємних теплоємностей.
При малій адсорбуючою здібності скелета, навпаки, температурний фронт відстає від фронту забруднення, що здійснюється при виконанні умови
.
(3.5.11)
У цьому випадку формується зона R p <r <R T, в якій температурне поле визначається впливом розпаду радіоактивних домішок. Розміри цієї зони ростуть з часом згідно залежності
.
(3.5.12)
Наведені вище залежності дозволяють стверджувати, що критичні значення коефіцієнта Генрі, коли фронти забруднення та температурного впливу збігаються, не залежать від пористості. Зазначені вище значення теплоємностей і густин дозволяють оцінити критичні значення коефіцієнта Генрі: для води - 0.52, для нафти - 1.2.
Відносини відповідних радіусів визначається співвідношеннями, наступними з (3.5.1), (3.5.4) і (3.5.6)
,. , .
(3.5.13)
На практиці величина коефіцієнта Генрі визначається багатьма факторами і сильно залежить, в тому числі, від солевмісту і pH середовища, маючи загальну тенденцію зростання з збільшенням pH і зменшенням солевмісту.
Деякі типові значення коефіцієнтів Генрі наведено в табл. 1 книги «Охорона підземних вод від радіоактивних забруднень» Білицький А.С., Орлова Є.І.)
Таблиця 1
№ п / п
Найменування породи
Коефіцієнт розподілу
Стронцій 89 Sr
Цезій 137 Cs
Рутеній 105 Ru
Церій 144 Ce
1
Пісок середньозернистий, четвертинний, древньоалювіальних
10
700
20
900
2
Пісок дрібнозернистий, слюдяних, глуаконітовий, верхньоюрських
12
1150
20
1100
3
Пісок середньозернистий, алювіальний
8
760
460
480
4
Піщаник чорний, дрібнозернистий, верхньоюрських з фосфоритами
6
2200
35
65
і в таблиці 2 (коефіцієнт міжфазного розподіл нуклідів в піщано-глинистих породах) (з книги «Глибинне поховання рідких радіоактивних відходів» Рибальченко А.І. та ін)
Таблиця 2
№ № п / п
Нуклід
Поровий розчин
pH = 2ч3
pH = 4ч5
pH ~ 8
1.
2.
3.
4.
5.
Стронцій-90
Рутеній-106
Цезій-137
Церій-144
Плутоній-239
3 - 11
1 - 3
3 - 6
2 - 3
2 - 3
20 - 70
15 - 30
20 - 40
80 - 200
100 - 250
40 - 60
9 - 15
40 - 100
20 - 40
30 - 70
Настільки високі значення дозволяють говорити, що в реальних умовах розміри зони зараження завжди значно менше розмірів зони термічного впливу, що дозволяє використовувати результати вимірювання температурного поля в якості «випереджаючого прогнозування» поширення зони зараження.
На рис. 3.3 наведені характерні залежності від часу розмірів зон забруднення - R p, теплового впливу - R Т і чистої води - R w. При цьому область шириною ΔRw = Rw-R Т заповнена чистою водою, яка має температуру, рівну природній температурі пласта. З плином часу ширина цієї області збільшується.

Рис 3.3. Залежність максимальних розмірів зон від часу для обсягів закачування 100 м 3 / доб. Полуширина пористого шару, h = 10 м, склад - піщаник, пористість m = 0.4, фільтрується рідина - вода, К Г = 15
Схематично картину розташування зон для деякого моменту часу можна представити у вигляді схематичного малюнка 3.4, на якому враховано, що в реальних пластах завжди найбільші розміри має зона очищеної води, а найменші - зона радіоактивного забруднення. При цьому цілком можлива ситуація, коли щільність забруднювача (в силу радіоактивного розпаду) стає мізерно малої далеко до межі зони.

Рис 3.4. Схематично представлена ​​картина зон забруднення - R p, термічного впливу - R Т і чистої води - R w для деякого моменту часу

3.6. Висновки

У нульовому та першому наближеннях вирішена задача про температурному полі, викликаному закачуванням радіоактивного розчину в глибокозалягаючі пласти. На підставі отриманого рішення встановлені розрахункові формули для полів температури, викликаних енергією розпаду і відмінністю температур пласта і закачиваемой рідини. Зокрема, побудована залежність температури від просторових координат r, z і часу t для стаціонарного розподілу щільності радіоактивних домішок, що має важливе значення для опису полів короткоживучих ізотопів.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Дисертація | 681.2кб. | скачати

Схожі роботи:
Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод
Моделювання газофазних процесів протікають при гетерогенно-каталітичному відновленні
Моделювання газофазних процесів протікають при гетерогенно каталітичному відновленні оксидів
Отримання знебарвлюючих та фіксуючих розчинів з відпрацьованих фотографічних розчинів
Методи і засоби радіаційно-технологічного контролю при сортуванню твердих радіоактивних відходів
Формування і розвиток хімічних понять при вивченні теми Електроліз розчинів і розплавів
Моделювання фізичних процесів
Моделювання бізнес-процесів
Моделювання фізичних процесів 2
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru