Математичні рівняння та функції

Варівант № 2
З Адані 1
Дан трикутник ABC, де А (-3,2), В (3, -1), С (0,3). Знайти:
1. Довжину боку АВ;
2. Внутрішній кут А з точністю до градуса;
3. Рівняння і довжину висоти, опущеної з вершини С;
4. Точку перетину висот;
5. Рівняння медіани, опущеної з вершини С;
6. Систему нерівностей, що визначають трикутник АВС;
7. Зробити креслення;
Рішення:
1. Знайдемо координати вектора АВ:

Довжина сторони АВ дорівнює:

2. Кут А будемо шукати як кут між векторами АВ і АС (-3,1)

Тоді
3. Пряма СК перпендикулярна АВ проходить через точку С (0,3) і має нормаллю вектор .
За формулою отримаємо рівняння висоти:

Скорочуємо на 3 отримаємо рівняння висоти:

4. Координати підстави медіани будуть:
;
Рівняння медіани знайдемо, користуючись даною формулою, як ураненіе прямої, що проходить через 2 точки: С і М


Так як знаменник лівої частини дорівнює нулю, то рівняння медіани буде мати такий вигляд х = 0
5. Відомо що висоти трикутника перетинаються в одній точці Р. Рівняння висоти СК знайдено, виведемо аналогічно висоту BD проходить через точку В перпендикулярно вектору


Координати точки Р знайдемо як розв'язок системи рівнянь:

х = 11 у = 23
6. Довжину висоти hc будемо її шукати як відстань від точки С до прямої АВ. Ця пряма проходить через точку А і має направляючий вектор .


Тепер скориставшись формулою

Підставляючи в неї координати точки С (0,3)


Завдання 2
Дано вектори Довести, що утворюють базис чотиривимірного простору, і знайти координати вектора «в» у цьому базисі.

Рішення:
1. Доведемо, що підсистема лінійно незалежна:


З четвертого рівняння маємо, що , Тоді з першого, другого і третього випливає, що . Лінійна незалежність доведена.
Доведемо, що вектори можна представити у вигляді лінійних комбінації векторів .
Очевидно,


Знайдемо уявлення через .


З четвертого рівняння знаходимо і підставляємо в перші три

Отримали, що дана система векторів не може називатися базисом!
Завдання 3
Знайти похідні функцій:



Завдання 4.
Дослідити функцію і побудувати її графік


1. Область визначення:
, Тобто
2. Крива має вертикальну ассімптоту х =- 1, так як

Знаходимо похилі асимптоти. а то означає, що є вертикальна асимптота у = 0.
3. Функція загального вигляду, так як і
4. Функція періодичністю не має
5. Знаходимо похідну функції

Отримуємо 3 критичні точки х =- 1 х = 1, і х = 5.
Результати дослідження на монотонність і екстремуми оформляється у вигляді таблиці

х			1		5
y '	-	-	0	+	0	-
y	убуває	убивиает	0 min	зростає	0,074	убуває

6. Знаходимо другу похідну функції

Отримуємо критичні точки х =- 1; х = 0,22; х = 6,11
Результати досліджень на опуклість та точки перегину оформляємо у вигляді таблиці.

х			0.22		6.11
y "	-	+	0	+	0	-
y	опукла	увігнута	0,335 перегин	увігнута	0,072	опукла

7. Знаходимо точки перетину графіка з осями координат Ох і Оу
отримуємо точку (0; 1); отримуємо точку (1; 0)
8. При х =- 2, у =- 9, при х =- 5, у =- 0,56, при х =- 10, у =- 0,166
9. Будуємо графік відповідно до результатів досліджень:


Завдання 5
Знайти невизначені інтеграли і перевірити їх диференціюванням.
а) ; Б) , В) ; Г)
Рішення:
а) зробимо підстановку sin3x = t, тоді dt = cos3x dx, отже:

Перевірка:

б) зробимо підстановку

Перевірка:


в) Скористаємося способом інтегрування по частинах

Перевірка:

г) скористаємося способом інтегрування раціональних дробів



Перевірка:

Завдання 6
Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій:

Рішення:
знаходимо координати точок перетину заданих графіків функцій:
прирівнюючи праві частини, отримуємо квадратне рівняння
коріння цього квадратного рівняння
отже: , І значить координати точок перетину А (0,7) і В (5,2). Точка х = 2 знаходиться між точками 0 і 5. Підставляючи в рівняння 2 отримуємо:
т.к отримуємо: