Математичні поняття

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Міністерство освіти Республіки Білорусь
«Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Реферат
Математичні поняття
Виконавець:
Студентка групи М-32
Молодцова А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
Лебедєва М.Т.
Гомель 2007

Введення

Формулювання багатьох визначень (теорем, аксіом) учням зрозумілі, легко запам'ятовуються після невеликого числа повторень, тому доцільно на початку запропонувати їх запам'ятати, а потім навчити застосовувати до вирішення завдань.
Метод, при якому процеси запам'ятовування визначень і формування навичок їх застосування протікають в учнів неодночасно (окремо), називають роздільним.
Роздільний метод використовується при вивченні визначень хорди, трапеції, парній і непарній функції, теорем Піфагора, ознак паралельності прямих, теореми Вієта, властивостей числових нерівностей, правил множення звичайних дробів, додавання дробів з однаковими знаменниками і т.д.

1. Обсяг і зміст поняття. Класифікація понять

Об'єкти реальної дійсності володіють: а) єдиними властивостями, що виражають його відмітні властивості (наприклад, рівняння третього ступеня з однією змінною - кубічну рівняння), б) загальними властивостями, які можуть бути відмінними, якщо виражають суттєві властивості об'єкта (його ознаки), що виділяють його з безлічі інших об'єктів.
Термін "поняття" використовується для позначення уявної образу деякого класу об'єктів, процесів. Психологи виділяють три форми мислення:
1) поняттями (наприклад, медіана - відрізок, що з'єднує вершину з протилежною стороною трикутника);
2) судженнями (наприклад, для кутів довільного трикутника справедливо: );
3) умовиводами (наприклад, якщо a> b і b> c, то a> c).
Характерними для форми мислення поняттями є: а) це продукт високоорганізованої матерії, б) відображає матеріальний світ, в) постає в пізнанні як засіб узагальнення; г) означає специфічно людську діяльність; д) його формування у свідомості невіддільне від його вираження за допомогою мови, записи або символу.
Математичне поняття відображає в нашому мисленні певні форми і відношення дійсності, абстраговані від реальних ситуацій. Їх формування відбувається за схемою:

Кожне поняття об'єднує безліч об'єктів або відносин, зване об'ємом поняття, а характеристичні властивості, притаманні всім елементам цієї множини і тільки їм, що виражають зміст поняття.
Наприклад, математичне поняття - чотирикутник. Його об'єм: квадрат, прямокутник, паралелограм, ромб, трапеція і т.д. Зміст: 4 сторони, 4 кута, 4 вершини (характеристичні властивості).
Зміст поняття жорстко визначає його обсяг і, навпаки, обсяг поняття цілком визначає його зміст. Перехід від плотського ступеня до логічної відбувається за допомогою узагальнення: або через виділення загальних ознак об'єкта (паралелограм - чотирикутник - багатокутник); або через загальні ознаки в поєднанні з особливими або одиничними, яке призводить до конкретного поняття.
У процесі узагальнення обсяг розширюється, а зміст звужується. У процесі спеціалізації поняття обсяг звужується, я зміст розширюється.
Наприклад:
багатокутники - паралелограми;
трикутники - рівносторонні трикутники.
Якщо обсяг одного поняття міститься в обсязі іншого поняття, то друге поняття називається родовим, по відношенню до першого; а перше називається видовим по відношенню до другого. Наприклад: паралелограм - ромб (рід) (Вид).
Процес з'ясування обсягу поняття називається класифікацією, схема якої виглядає так:
нехай дадуть безліч і деякий властивість і нехай у є елементи, як володіють, так і не володіють цією властивістю. Нехай:
; і , 0.
Виділимо в нову властивість і проведемо розбиття по цій властивості:

, , Де ,
Наприклад: 1) класифікація числових множин, що відображають розвиток поняття числа; 2) класифікація трикутників: а) по сторонах, б) по кутах.
Завдання № 1. Безліч трикутників зобразимо за допомогою точок квадрата.


- Властивість рівнобедреного;


- Властивість прямокутності;
Чи існують трикутники, що володіють цими властивостями одночасно?



2. Математичні визначення. Типи помилок у визначенні понять

Заключний етап формування поняття - його визначення, тобто прийняття умовного угоди. Під визначенням розуміється перерахування необхідних і достатніх ознак поняття, зведених у зв'язне пропозицію (мовне чи символічне).
2.1 Способи визначення понять
Спочатку виділяють невизначені поняття, на підставі яких визначаються математичні поняття наступними способами:
1) через найближчий рід і видову відмінність: а) дескриптивное (з'ясовує процес, за допомогою якого визначення побудовано, або описує внутрішню будову в залежності від тих операцій, за допомогою яких дане визначення було побудовано з невизначених понять), б) конструктивне (або генетичне ), що вказує походження поняття.
Наприклад: а) прямокутник - це паралелограм, у якого всі кути прямі, б) колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається центром кола.
2) індуктивно. Наприклад, визначення арифметичної прогресії:
3) через абстракцію. Наприклад, натуральне число - характеристика класів еквівалентних множин;
4) аксіоматичне (непряме визначення). Наприклад, визначення площі фігури в геометрії: для простих фігур площа - це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості: а) рівні фігури мають рівні площі, б) якщо фігура розбивається на частини, які є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин; в) площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.
2.2 Явні і неявні визначення
Визначення поділяються на:
а) явні, в яких чітко виділені визначається і визначають поняття (наприклад, визначення через найближчий рід і видову відмінність);
б) неявні, які будуються за принципом заміни одного поняття іншим з ширшим обсягом і закінчення ланцюжка є невизначені поняття, тобто формально-логічне визначення (наприклад, квадрат - ромб з прямим кутом; ромб - паралелограм з рівними суміжними сторонами; паралелограм - чотирикутник, з попарно паралельними сторонами; чотирикутник - фігура, що складається з 4 кутів, 4 вершин, 4 сторін). У шкільних визначеннях найчастіше практикується перший спосіб, схема якого така: маємо безлічі і деякий властивість тоді

де , ;
Основна вимога при побудова визначень: визначається безліч повинно бути підмножиною мінімального множини. Наприклад, порівняємо два визначення: (1) Квадрат є ромб з прямим кутом, (2) Квадрат є паралелограм з рівними сторонами і прямим кутом (надлишкове).
Будь-яке визначення є рішення задачі на "доказ існування". Наприклад, прямокутний трикутник є трикутник з прямим кутом; його існування - побудова.

2.3 Характеристика основних типів помилок
Відзначимо типові помилки, які зустрічаються в учнів при визначенні понять:
1) використання не мінімального безлічі як визначального, включення логічно залежних властивостей (характерно при повторенні матеріалу).
Наприклад: а) паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні і паралельні, б) пряма називається перпендикулярної до площини, якщо вона, перетинаючись з цією площиною, утворює прямий кут з кожною прямою, проведеної на площині через точку перетину, замість: "пряма називається перпендикулярної до площини, якщо вона перпендикулярна до всіх прямим цій площині ";
2) використання визначається поняття і як визначального.
Наприклад, визначається прямий кут не як один з рівних суміжних кутів, а як кути із взаємно перпендикулярними сторонами;
3) тавтологія - визначається поняття через саме це поняття.
Наприклад, дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності;
4) іноді у визначенні вказується не те що б безліч, з якого виділяється визначається підмножина.
Наприклад, "медіана є пряма ..." замість "медіана є відрізок, що з'єднує ...";
5) у визначеннях, що даються учнями, іноді зовсім відсутня визначається поняття, що можливо лише тоді, коли учні не привчені давати повні відповіді.
Методика виправлення помилок у визначеннях припускає, спочатку, з'ясування суті допущених помилок, а потім попередження їх повторення.

3. Структура визначення

Знання визначення не гарантує засвоєння поняття. Методична робота з поняттями повинна бути спрямована на подолання формалізму, який проявляється в тому, що учні не можуть розпізнати визначається об'єкт у різних ситуаціях, де він зустрічається.
Розпізнавання об'єкту, відповідного цьому визначенню, і побудова контрприкладів можливо лише при ясному представленні про структури розглянутого визначення, під якою в схемі визначення ( ) Розуміють структуру правій частині.
1) Кон'юнктивна структура: дві точки і називаються симетричними відносно прямої p (A (x)), якщо ця пряма p перпендикулярна відрізку і проходить через його середину. Будемо також вважати, що кожна точка прямий р симетрична собі відносно прямої р (наявність сполучника "і") (* - "бісектрисою кута називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл").
2) Конструктивна структура: "Нехай - Дана фігура і р - фіксована пряма. Візьмемо довільну точку фігури і опустимо перпендикуляр на пряму р. На продовження перпендикуляра за точку відкладемо відрізок , Що дорівнює відрізку . Перетворення фігури в фігуру , При якому кожна точка переходить в точку , Побудовану зазначеним чином, називають симетрією відносно прямої р. "
3) Диз'юнктивна структура: визначення безлічі Z цілих чисел можна записати на мові властивостей у вигляді   Z N або N або = 0, де N - Безліч чисел, протилежних натуральним.

4. Характеристика основних етапів вивчення математичних понять

Методика роботи над визначенням передбачає: 1) знання визначення; 2) навчання розпізнавання об'єкта, яке відповідає даному визначенню; 3) побудова різних контрприкладів. Наприклад, поняття "прямокутний трикутник" і робота по розпізнаванню його складових елементів:


Вивчення математичних визначень можна підрозділити на три етапи:
1-й етап - введення - створення на уроці ситуації, коли учні або самі "відкривають" нове, самостійно формують для них визначення, або просто готуються до їх розуміння.
2-й етап - забезпечення засвоєння - зводиться до того, щоб школярі:
а) навчилися застосовувати визначення;
б) швидко і безпомилково запам'ятовувати їх;
в) розуміли кожне слово в їх формулюваннях.
3-й етап - закріплення - здійснюється на наступних уроках і зводиться до повторення їх формулювань і обробці навичок застосування до вирішення завдань.
Ознайомлення з новими поняттями проводяться:
1 спосіб: учні готуються до самостійного формування визначення.
2 спосіб: учні готуються до свідомого сприйняття, розуміння нового математичного пропозиції, формулювання якого їм повідомляється потім у готовому вигляді.
3 спосіб: вчитель сам формулює нове визначення без будь-якої підготовки, а потім зосереджує зусилля учнів на їх засвоєнні і закріпленні.
1 і 2 спосіб представляють евристичний метод, 3 спосіб - догматичний. Використання будь-якого із способів має відповідати рівню підготовленості класу і досвіду вчителя.

5. Характеристика прийомів введення понять

Можливі такі прийоми при введенні понять:
1) можна скласти такі вправи, які дозволяють учням швидко сформулювати визначення нового поняття.
Наприклад: а) Виписати декілька перших членів послідовності ( ), У якої = 2, . Така послідовність називається геометричною прогресією. Спробуйте сформулювати її визначення. Можна обмежитися підготовкою до сприйняття нового поняття.
б) Виписати декілька перших членів послідовності ( ), У якої = 4, Далі вчитель повідомляє, що така послідовність називається арифметичною прогресією і сам повідомляє її визначення.
2) при вивченні геометричних понять вправи формулюються таким чином, щоб учні побудували самі необхідну фігуру і змогли виділити ознаки нового поняття, необхідні для формулювання визначення.
Наприклад: побудуйте довільний трикутник, з'єднайте відрізком його вершину з серединою протилежної сторони. Такий відрізок називається медіаною. Сформулюйте визначення медіани.
Іноді пропонується скласти модель або, розглядаючи готові моделі і креслення, виділити ознаки нового поняття і сформулювати його визначення.
Наприклад: введено в 10 класі визначення паралелепіпеда. За запропонованими моделями похилого, прямого і прямокутного паралелепіпедів виділити ознаки, за якими ці поняття розрізняються. Сформулювати відповідні визначення прямого і прямокутного паралелепіпедів.
3) Багато алгебраїчні поняття вводяться на підставі розгляду окремих прикладів.
Наприклад: графіком лінійної функції є пряма.
4) Метод доцільних задач, (розроблений С. І. Шохор-Троцьким) За допомогою спеціально підібраної завдання учні приходять до висновку про необхідність введення нового поняття і доцільності надання йому саме такого змісту, що воно вже має в математиці.
У 5-6 класах таким методом вводяться поняття: рівняння, корінь рівняння, рішення нерівностей, поняття дій складання, віднімання, множення, ділення над натуральними числами, десятковими і звичайними дробами тощо
Конкретно-індуктивний метод
Сутність:
а) розглядаються конкретні приклади;
б) виділяються істотні властивості;
в) формулюється визначення;
г) виконуються вправи: на розпізнавання; на конструювання;
д) робота над властивостями, не включеними до визначення;
е) застосування властивостей.
Наприклад: тема - паралелограми:
4
Трапеція: 4
3
2
Трапеція: 2
1
Паралелограм: 1 а)
5
7
6
Ромб: 5
Прямокутний трикутник: 6Шестикутник: 7


1, 3, 5 - паралелограми.
б) істотні ознаки: чотирикутник, попарно паралельні сторін.
в) розпізнавання, побудова:
г) знайти (побудувати) четверту вершину паралелограма (* - завдання № 3, ст.96, Геометрія 7-11 клас: Скільки можна побудувати паралелограмів з вершинами у трьох заданих точках, які не лежать на одній прямій? Побудуйте їх.).
д) інші властивості:
AC та BD перетинаються в точці О і АТ = ОС, ВО = ОD; АВ = СD, AD = BC.
е) А = С, В = D.
O
Паралелограм: O B
AD
Закріплення: рішення задач № 4-23, стр.96-97, Геометрія 7-11, Погорєлов.
Перспективне значення:
а) використовується при вивченні та визначенні прямокутника і ромба;
б) принцип паралельності і рівності відрізків, укладених між паралельними прямими в теоремі Фалеса;
в) поняття паралельного переносу (вектора);
г) властивість паралелограма використовується при виведенні площі трикутника;
д) паралельність і перпендикулярність в просторі; паралелепіпед; призма.
Абстрактно-дедуктивний метод
Сутність:
а) визначення поняття: - Квадратне рівняння;
б) виділення істотних властивостей: х - змінна; a, b, c - числа; а ≠ 0 при
в) конкретизація поняття: - Приведений; приклади рівнянь
г) вправи: на розпізнавання, на конструювання;
д) вивчення властивостей, які не включені у визначення: коріння рівняння та їх властивості;
е) вирішення завдань.
У школі абстрактно-дедуктивний спосіб застосовується тоді, коли нове поняття повністю підготовлено вивченням попередніх понять, в тому числі вивченням найближчого родового поняття, а видова відмінність нового поняття досить просте і зрозуміле учням.
Наприклад: визначення ромба після вивчення паралелограма.
Крім того, зазначений метод використовується:
1) при складанні "родоводом" визначення поняття:
Квадрат - це прямокутник, у якого всі сторони рівні.
Прямокутник - це паралелограм, у якого всі кути прямі.
Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.
Чотирикутник - фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднують їх відрізків.
Інакше кажучи, родовід представляє собою ланцюжок понять, побудованих через узагальнення попереднього поняття, фіналом якої є невизначені поняття (нагадаємо, що в курсі шкільної геометрії до таких належать точка, фігура, площину, відстань (лежати між));
2) класифікація;
3) застосовується до доказів теорем і вирішення завдань;
4) широко використовується в процесі актуалізації знань.
Розглянемо цей процес, як система завдань:
а) Дан прямокутний трикутник зі сторонами 3см і 4см. Знайти довжину медіани, проведеної до гіпотенузі.
б) Довести, що медіана, проведена з вершини прямого кута трикутника, дорівнює половині гіпотенузи.
в) Довести, що в прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить навпіл кут між медіаною і висотою, проведеними до гіпотенузі.
г) На продовженні найбільшої сторони АС трикутника АВС відкладений відрізок СМ, рівний за ЗС. Довести, що АВМ тупий.
У більшості випадків у шкільному викладанні застосовується конкретно-індуктивний спосіб. Зокрема, таким методом вводяться поняття в пропедевтичних циклах почав алгебри та геометрії в 1-6 класах, причому багато визначальні поняття вводяться описово, без суворих формулювань.
Незнання вчителем різних методів введення визначень призводить до формалізму, який проявляється наступним чином:
а) учні не можуть застосувати визначення в незвичній ситуації, хоча і пам'ятають його формулювання.
Наприклад: 1) вважають функцію - Парному, тому що "Cos" - парна;
2) - Не розуміють зв'язок між монотонністю функції і рішенням нерівності, тобто не можуть застосовувати відповідні визначення, в яких основний прийом дослідження полягає в оцінці знака різниці значень функції, тобто у вирішенні нерівності.
б) учні мають навички рішення завдань будь-якого типу, але не можуть пояснити, на підставі яких визначень, аксіом, теорем вони виконують ті чи інші перетворення.
Наприклад: 1) - Перетворити згідно з цією формулою і 2) уявіть, що на столі - модель чотирикутної піраміди. Який багатокутник буде підставою цієї піраміди, якщо модель покласти на стіл бічною гранню? (Чотирикутник).
Процес формування знань, умінь і навичок не обмежується повідомленням нових знань.
Ці знання мають бути засвоєні і закріплені.

6. Методика забезпечення засвоєння математичних понять (пропозицій)

1. Формулювання багатьох визначень (теорем, аксіом) учням зрозумілі, легко запам'ятовуються після невеликого числа повторень, тому доцільно на початку запропонувати їх запам'ятати, а потім навчити застосовувати до вирішення завдань.
Метод, при якому процеси запам'ятовування визначень і формування навичок їх застосування протікають в учнів неодночасно (окремо), називають роздільним.
Роздільний метод використовується при вивченні визначень хорди, трапеції, парній і непарній функції, теорем Піфагора, ознак паралельності прямих, теореми Вієта, властивостей числових нерівностей, правил множення звичайних дробів, додавання дробів з однаковими знаменниками і т.д.
Методика:
а) учитель формулює нове визначення;
б) учні класу для запам'ятовування повторюють його 1-3 рази;
в) відпрацьовується на заняттях.
2. Компактний метод полягає в тому, що учні читають по частинах математичне визначення або пропозицію і по ходу читання одночасно виконують вправу.
Читаючи формулювання кілька разів, вони попутно запам'ятовують її.
Методика:
а) підготовка математичного пропозиції до застосування. Визначення розбивається на частини за ознаками, теорема - на умову і висновок;
б) зразок дій, пропонований учителем, який показує, як працювати з підготовленим текстом: читаємо його по частинах і одночасно виконуємо вправи;
в) учні по частинах читають визначення і одночасно виконують вправи, керуючись підготовленим текстом і зразком вчителя;
Наприклад: визначення бісектриси в п'ятому класі:
1) введення поняття проводиться методом доцільних задач на моделі кута;
2) виписується визначення: "Промінь, який виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини, називається бісектрисою кута";
3) виконується завдання: вказати, які з ліній на кресленнях є биссектрисами кутів (рівні кути позначаються однаковим числом дуг).
На одному з креслень вчитель показує застосування визначення (див. далі);
4) робота триває учнями.
3. Комбінація роздільного і компактного методу: після виведення нового правила воно повторюється 2-3 рази, а потім вчитель вимагає в процесі виконання вправ формулювати правило по частинах.
4. Алгоритмічний метод використовується для формування навичок застосування математичних пропозицій.
Методика: математичні пропозиції замінюються алгоритмом. Читаючи по черзі вказівки алгоритму, учень вирішує задачу. Таким чином у нього формується звичка застосування визначення, аксіоми і теореми. При цьому допускається або подальше заучування визначення, або прочитання разом з алгоритмом і самого визначення.
Основні етапи методу:
а) підготовка до роботи списку вказівок, який або дається в готовому вигляді, з наступним роз'ясненням, або учні підводяться до його самостійним складання;
б) зразок відповіді вчителя;
в) аналогічним чином працюють учні.
Роздільний і компактний методи застосовуються при вивченні визначень. Алгоритмічний може бути застосований лише при вивченні важко засвоюваних визначень (наприклад, необхідні і достатні умови). Найбільш широко алгоритмічний метод використовується при формуванні навичок вирішення завдань.

7. Методика закріплення математичних понять і пропозицій

1й прийом:
вчитель пропонує сформулювати і застосувати ті чи інші визначення, аксіоми, теореми, які зустрічаються по ходу рішення задач.
Наприклад: побудувати графік функції ; Визначення парному (непарному) функції; необхідна і достатня умова існування.
2й прийом:
вчитель пропонує сформулювати ряд визначень, теорем, аксіом під час фронтального опитування, з тим, щоб повторити їх і заодно перевірити, чи пам'ятають їхні учні. Цей прийом поза вирішення завдань не ефективний. Можливо поєднувати фронтальне опитування зі спеціальними вправами, які вимагають від учнів уміння застосовувати визначення, теореми, аксіоми у різних ситуаціях, вміння швидко орієнтуватися в умові завдання.

Висновок

Знання визначення не гарантує засвоєння поняття. Методична робота з поняттями повинна бути спрямована на подолання формалізму, який проявляється в тому, що учні не можуть розпізнати визначається об'єкт у різних ситуаціях, де він зустрічається.
Розпізнавання об'єкту, відповідного цьому визначенню, і побудова контрприкладів можливо лише при ясному представленні про структури розглянутого визначення, під якою в схемі визначення ( ) Розуміють структуру правій частині.

Література

1. К.О. Ананченка «Загальна методика викладання математики у школі», Мн., «Унiверсiтецкае», 1997 р.
2. Н.М. Рогановскій «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990 р.
3. Г. Фройденталь «Математика як педагогічна завдання», М., «Просвещение», 1998 р.
4. М.М. «Математична лабораторія», М., «Просвещение», 1997 р.
5. Ю.М. Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Просвещение», 1999 р.
6. А.А. Столяр «Логічні проблеми викладання математики», Мн., «Вища школа», 2000 р.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Реферат
64кб. | скачати


Схожі роботи:
Математичні програмування
Математичні моделі
Математичні розваги
Математичні розрахунки
Математичні методи в психології
Математичні методи економіки
Економіко математичні методи
Математичні методи в економіці 3
Економіко математичні методи 2
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru