додати матеріал


Математичні методи економіки

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Математичні методи економіки.

Моделювання сфери споживання. Споживчі переваги. Криві байдужості. Гранична норма заміщення благ. Функція корисності та її властивості. Бюджетне обмеження. Рівновага споживача. Реакція споживача на зміну цін і доходу. Рівняння Слуцького. Ефекти доходу та заміни. Класифікація благ. Індивідуальний і ринковий попит. Еластичність попиту за цінами і доходу споживача. Побудова функції попиту за дослідними даними.

В умовах ринкової системи управління виробничою і збутовою діяльністю підприємств і фірм в основі прийняття господарських рішень лежить ринкова інформація, а обгрунтованість рішень перевіряється ринком у ході реалізації товарів і послуг. При такому підході основою підприємницької діяльності стає вивчення споживчого попиту.
Розглянемо деякі питання моделювання попиту і споживання.
Рівень споживання суспільства можна висловити цільової функцією споживання U = U (Y), де Y О - вектор змінних різноманітних товарів і послуг. Ряд властивостей цієї функції зручно вивчати, використовуючи геометричну інтерпретацію рівнянь U (Y) = С, де С - мінливий параметр, що характеризує значення (рівень) цільової функції споживання (наприклад, прибуток або рівень матеріального добробуту).
У сукупності споживчих благ кожному рівнянню U (Y) = С відповідає певна поверхню рівноцінних, або байдужих, наборів благ, яка називається поверхнею байдужості. Для наочності розглянемо простір двох благ, наприклад, у вигляді двох агрегованих груп товарів: продукти харчування (y 1) і непродовольчі товари, включаючи послуги 2). Тоді рівні цільової функції споживання можна зобразити на площині у вигляді кривих байдужості, відповідних різним значенням С (рис. 8.1, де З 12 <Сз).




Рис. 8.1. Графік кривих байдужості
З основних властивостей цільової функції споживання можна відзначить наступні:
1. функція U (Y) є зростаючою функцією всіх своїх аргументів, тобто збільшення споживання будь-якого блага при незмінному рівні споживання всіх інших благ збільшує значення даної функції;
2. криві байдужості не можуть перетинатися, тобто через одну точку сукупності благ (товарів, послуг) можна провести тільки одну поверхню байдужості;
3. криві байдужості мають негативний нахил до кожної осі координат, при цьому абсолютний нахил кривих зменшується при русі в позитивному напрямку по кожній осі, тобто криві байдужості є опуклими кривими.
Методи побудови цільової функції споживання засновані на узагальненні досвіду поведінки споживачів і тенденцій купівельного попиту в залежності від рівня добробуту.
Розглянемо моделювання поведінки споживачів в умовах товарно-грошових відносин на базі цільової функції споживання. В основі моделі поведінки споживачів лежить гіпотеза, що споживачі, здійснюючи вибір товарів при встановлених цінах і наявному доході, прагнуть максимізувати рівень задоволення своїх потреб.
Нехай у сукупності п видів товарів досліджується поведінка споживачів. Позначимо попит споживачів через вектор Y = (y 1, у 2 ,..., y n), а ціни на різні товари - через вектор Р = 1, р 2, ..., p п). Нехай D - величина доходу . Тоді споживачі можуть вибирати тільки такі комбінації товарів, які задовольняють обмеженню , Званому бюджетним обмеженням.
Нехай U (Y) цільова функція споживання. Тоді найпростіша модель поведінки споживачів в векторної формі можна записати у вигляді:
(8.1)
Геометрична інтерпретація моделі (8.1) для двох агрегованих груп товарів представлена ​​на рис. 8.2.
Лінія АВ (в інших варіантах А 1 В 1, А 2 В 2) відповідає бюджетному обмеженню і називається бюджетною лінією. Вибір споживачів обмежений трикутником АОВ (A 1 OB 1, A 2 OB 2).

Рис. 8.2. Графік найпростішої моделі поведінки споживача
Набір товарів М, відповідний точці дотику прямої АВ з найбільш віддаленій кривої байдужості, є оптимальним рішенням (в інших варіантах це точки К і L). Легко помітити, що лінії АВ і A 1 B 1 відповідають одному і тому ж розміру доходу та різними цінами на товари y 1 і у 2; лінія A 2 B 2 відповідає більшому розміру доходу.
На основі теорії нелінійного програмування, можна визначити математичні умови оптимальності рішень для моделі (8.1). Із завданням нелінійного програмування зв'язується так звана функція Лагранжа, яка для задачі (8.1) має вигляд
L (Y, l,) = U (Y) + l (D - PY),
де множник Лагранжа l є оптимальною оцінкою доходу.
Позначимо приватні похідні функції U (Y) через U i:
Вони представляють собою граничні корисні ефекти (граничні корисності) відповідних споживчих благ і показує на скільки одиниць збільшується цільова функція споживання при збільшенні використання i - гоблага (товару) на деяку умовну «малу одиницю».
Необхідними умовами того що вектор Y 0 буде оптимальним рішенням, є умови Куна-Таккера:

при цьому
(Товар купується)
(Товар не купується) (8.2)

Останнє з співвідношень (8.2) відповідає повному використанню доходу, і для цього випадку очевидно нерівність .
З умов оптимальності (8.2) випливає, що

Це означає, що споживачі повинні вибрати товари таким чином, щоб відношення граничної корисності до ціни товару було однаковим для всіх придбаних товарів, тобто в оптимальному наборі граничні корисності обираних товарів повинні бути пропорційні цінами.
Функціями попиту називаються функції, що відбивають залежність обсягу попиту на окремі товари і послуги від сукупності факторів, що впливають на нього. Розглянемо побудову функцій попиту залежно від двох факторів - доходу і цін.
Нехай в моделі (8.1) ціни і дохід розглядаються як змінні параметри. Мінливу доходу будемо позначати Z. Тоді рішенням оптимізаційної задачі (8.1) буде векторна функція компонентами якої є функції попиту на певний товар від цін і доходу:


Розглянемо окремий випадок, коли вектор цін є незмінним, а дохід змінюється. Для двох товарів цей випадок представлений на рис. 8.3. Якщо по осі абсцис відкласти кількість одиниць товару y 1, яке можна придбати на що має дохід Z (точка В), а по осі ординат - те ж саме для товару y 2 (точка А), то пряма лінія АВ, званої бюджетною лінією, показує будь-яку комбінацію кількостей цих двох товарів, яку можна купити за суму грошей Z. При збільшенні доходу бюджетні лінії переміщуються паралельно самим собі, віддаляючись від початку координат. Разом з ними переміщуються відповідні криві байдужості. Точками оптимуму попиту споживачів для відповідних розмірів доходу будуть в даному випадку точки M 1, M 2, M 3. При нульовому доході попит на обидва товари нульовий. Крива, що з'єднує точки 0, M 1, M 2, M 3, є графічним відображенням векторної функції попиту і доходу при заданому векторі цін.

Рис. 8.3. Графік функції попиту і доходу (для двох товарів у 1 і у 2)
Однофакторні функції попиту від доходу широко застосовуються при аналізі купівельного попиту. Відповідні цим функціям криві називаються кривими Енгеля (по імені німецького економіста). Форми цих кривих для різних товарів можуть бути різні. Якщо попит на даний товар зростає приблизно пропорційно доходу, то функція буде лінійною (рис. 8.4а). Якщо у міру зростання доходу попит на дану групу товарів зростає все більш високими темпами, то крива Енгеля буде опуклою (рис. 8.4б). Якщо зростання значень попиту, починаючи з певного моменту, в міру насичення попиту відстає від зростання доходу, то крива Енгеля має вигляд увігнутою кривою (рис. 8.4в).
запропонував спеціальні види функції попиту (функції Торнквиста) для трьох груп товарів: першої необхідності, другої необхідності, предметів розкоші.
Важливим показником функції попиту є коефіцієнт еластичності. Коефіцієнт еластичності попиту від доходу показує на скільки відсотків, зміниться попит, якщо доход збільшиться на 1% (за інших не змінюються факторах), і обчислюється за формулою:

де - Коефіцієнт еластичності для i-го товару (групи товарів) за доходом Z; y i - попит на i-й товар, що є функцією доходу: .




Рис. 8.4. Криві Енгеля
Аналогічний принцип розмежування груп товарів за типами функцій попиту від доходу використовував шведський економіст Л. Торнквіст, який
Коефіцієнти еластичності попиту від доходу різні за величиною для різних товарів, аж до негативних значень, коли із зростанням доходів споживання зменшується. Прийнято виділяти чотири групи товарів залежно від коефіцієнта еластичності попиту на них від доходу:
· Малоцінні товари ( );
· Товари з малою еластичністю ( );
· Товари з середньою еластичністю ( близькі до одиниці);
· Товари з високою еластичністю ( ).
До малоцінних товарів (з негативною еластичністю попиту від доходу) відносяться хліб, а також низькосортні товари. За результатами обстежень, коефіцієнти еластичності для основних продуктів харчування знаходяться в інтервалі від 0,4 до 0,8, по одягу, тканин, взуття - в інтервалі від 1,1 до 1,3 і т.д. У міру збільшення доходу попит переміщається з товарів першої та другої груп на товари третьої і четвертої груп, при цьому споживання товарів першої групи за абсолютними розмірами скорочується.
Перейдемо до розгляду та аналізу функцій купівельного попиту від цін на товари. З моделі поведінки споживачів (8.1) випливає, що попит на кожен товар в загальному випадку залежить від цін на всі товари (вектора Р), однак побудувати функції загального вигляду дуже складно. Тому в практичних дослідженнях обмежуються побудовою та аналізом функцій попиту для окремих товарів залежно від зміни цін на цей же товар або групу взаємозамінних товарів: .
Для більшості товарів діє залежність: чим вища ціна, тим нижче попит, і навпаки. Відносне зміна обсягу попиту при зміні ціни даного товару або цін інших пов'язаних з ними товарів характеризує коефіцієнт еластичності попиту від цен.Етот коефіцієнт еластичності зручно трактувати як величину зміни попиту у відсотках при зміні ціни на 1%.
Для попиту y i на i-й товар щодо його власної ціни p i коефіцієнт еластичності обчислюється за формулою:
(8.4)
Значення коефіцієнтів еластичності попиту від цін практично завжди негативні. Однак за абсолютним значенням цих коефіцієнтів товари можуть істотно відрізнятися один від одного. Їх можна розділити на три групи:
- Товари з нееластичним попитом у відношенні ціни ;
- Товари з середньою еластичністю попиту від ціни ( близькі до -1);
- Товар з високою еластичністю попиту .
У товари еластичного попиту підвищення ціни на 1% призводить до зниження попиту більш ніж на 1% і, навпаки, зниження ціни на 1% призводить до зростання покупок більше ніж на 1%. Якщо підвищення ціни на 1% тягне за собою пониження попиту менш ніж на 1%, то говорять, що цей товар нееластичного попиту.
Розглянемо вплив на попит на будь-який товар зміни цін на інші товари. Коефіцієнт, що показує, на скільки відсотків зміниться попит на даний товар при зміні на 1% ціни на інший товар за умови, що інші ціни і доходи покупців залишаються незмінними, називається перехресним коефіцієнтом еластичності. Для попиту у i на i-й товар відносно ціни p j на j-й товар ( ) Перехресний коефіцієнт еластичності розраховується за формулою:
(8.5)
За знаком перехресних коефіцієнтів еластичності товари можна розділити на взаємозамінні і взаємодоповнюючі. Якщо , Це означає, що i-й товар замінює в споживанні товар j, тобто на товар i переключається попит при збільшенні ціни на товар j. Прикладом взаємозамінних товарів можуть служити багато продуктів харчування.
Якщо , Це є ознакою того, що i-й товар у процесі споживання доповнює товар j, тобто збільшення ціни на товар j призводить до зменшення попиту на товар i. Як приклад можна привести такі взаємодоповнюючі товари, як автомобілі і бензин, чай і цукор.
Попит багато в чому визначає стратегію і тактику організації виробництва і збуту товарів і послуг. Облік попиту, обгрунтоване прогнозування його на короткострокову та довгострокову перспективу - одна з найважливіших завдань різних організацій та фірм.
Склад і рівень попиту на той чи інший товар залежать від багатьох чинників, як економічних, так і природних. До економічних факторів належать рівень виробництва (пропозиції) товарів та послуг (позначимо цей фактор у загальному вигляді П), рівень грошових доходів окремих груп населення (D), рівень і співвідношення цін (Р). До природних факторів належать демографічний склад населення, в першу чергу розмір і склад сім'ї (S), а також звички і традиції, рівень культури, природно-кліматичні умови і т.д.
Економічні чинники дуже мобільні, особливо розподіл населення за рівнем грошових доходів. Природні ж фактори змінюються порівняно повільно і протягом невеликого періоду (до 3-5 років) не надають помітного впливу на попит. Виняток становить демографічний склад населення. Тому в поточних і перспективних прогнозах попиту всі природні фактори, крім демографічних, доцільно враховувати спільно, ввівши фактор часу (t).
Загальному вигляді попит визначається у вигляді функції перерахованих вище факторів:
у = f (П, D, P, S, t). (8.6)
Оскільки найбільший вплив на попит надає чинник доходу, багато розрахунки попиту і споживання здійснюються у вигляді функції від душового грошового доходу: у = f (D).
Найбільш простий підхід до прогнозування попиту на невеликий період часу пов'язаний з використанням так званих структурних моделей попиту. При побудові моделі виходять з того, що для кожної економічної групи населення за статистичними бюджетних даних може бути розрахована притаманна їй структура споживання. При цьому передбачається, що на досліджуваному відрізку часу помітні зміни зазнає лише дохід, а ціни, розмір сім'ї та інші фактори приймаються незмінними. Зміна доходу, наприклад його зростання, можна розглядати як переміщення певної кількості сімей з нижчих дохідних груп до вищих. Іншими словами, змінюються частоти в різних інтервалах доходу: вони зменшуються у нижніх і збільшуються у верхніх інтервалах. Сім'ї, які потрапляють у новий інтервал, будуть мати ту ж структуру споживання і попиту, яка склалася у сімей з таким же доходом до теперішнього часу.
Таким чином, структурні моделі розглядають попит як функцію тільки розподілу споживачів за рівнем доходу. Маючи відповідні структури попиту, розраховані за даними статистики бюджетів, і частоти розподілу споживачів за рівнем доходу, можна розрахувати загальну структуру попиту. Якщо позначити структуру попиту у групі родин із середнім доходом D i через r (D i), а частоти сімей з доходом D i через , То загальна структура попиту R може бути розрахована за формулою:
(8.7)
де п - кількість інтервалів доходу сімей.
Структурні моделі попиту - один з основних видів економіко-математичних моделей планування та прогнозування попиту і споживання. Зокрема, широко поширені так звані компаративні (порівняльні) структурні моделі, в яких зіставляються структури попиту даного досліджуваного об'єкта і деякого аналогового об'єкта. Аналогом зазвичай вважаються регіон чи група населення з оптимальними споживчими характеристиками.
Поряд зі структурними моделями в плануванні та прогнозуванні попиту використовуються конструктивні моделі попиту. В основі їх лежать рівняння бюджету населення, тобто такі рівняння, які висловлюють очевидне рівність загального грошового витрати (іншими словами, обсягу споживання) і суми добутків кількості кожного спожитого товару на його ціну. Якщо Z - обсяг споживання, т - кількість різних видів благ, q i - розмір споживання i-го блага, p i - ціна i-го блага, то конструктивна модель попиту може бути записана наступним чином:

Ці моделі, звані також моделями бюджетів споживачів, відіграють важливу роль у плануванні споживання. Однією з таких моделей є, наприклад, всім відомий прожитковий мінімум. До таких моделей відносяться також раціональні бюджети, засновані на наукових нормах споживання, насамперед продуктів харчування, перспективні бюджети (наприклад, так званий бюджет достатку) і ін
У практиці планування та прогнозування попиту крім структурних і конструктивних моделей застосовуються також аналітичні моделі попиту і споживання, які будуються у вигляді однофакторних і багатофакторних рівнянь, що характеризують залежність споживання товарів і послуг від тих чи інших факторів

Моделювання конфліктів у фінансово-економічній сфері. Основні поняття і визначення теорії ігор. Класифікація ігор. Рішення матричних ігор з сідловою. Рішення матричних ігор без сідлової точки. Змішані стратегії. Теорема Дж. фон Неймана про існування рішення в змішаних стратегіях.

При управлінні виробництвом приймати рішення дуже часто доводиться не маючи достатньої інформації, тобто в умовах невизначеності і ризику.
Методами обгрунтування рішень в умовах невизначеності і ризику займається математична теорія ігор.
У теорії ігор розглядаються такі ситуації, коли є два учасники виконання операції, кожний з яких переслідує протилежні цілі. В якості учасників можуть виступати колективи, конкуруючі підприємства і т. д. У всіх випадках передбачається, що операція проводиться проти розумного супротивника (конкурента), переслідує свої власні цілі і свідомо протидіє досягненню мети іншим учасником.
Тому що цілі протилежні, а результат заходу кожної зі сторін залежить від дій конкурента, то ці дії називають конфліктними ситуаціями. У конфліктній ситуації стикаються протилежні інтереси двох учасників. Формалізована (схематизована) модель конфліктної ситуації називається грою. Результат гри - перемога або поразка, які не завжди мають кількісне вираження, можна висловити (умовно) числами (наприклад, у шахах: 1, 0, 1 / 2).
Гра називається грою з нульовою сумою, якщо один з гравців виграє рівно стільки, скільки програє інший.
Розвиток гри в часі представляється як ряд послідовних «ходів». Ходи можуть бути свідомі й випадкові. Випадковий хід - результат, що отримується не рішенням гравця, а яким-небудь механізмом випадкового вибору (купівельний попит, затримка з поставкою матеріалів тощо). Свідомий хід - вибір гравцем одного з можливих варіантів дії (стратегії) і прийняття рішення про його здійсненні.
Можливі варіанти (випадки) ігри зводяться в прямокутну таблицю (табл. 5.1.1) - платіжну матрицю, в якій рядки відповідають різним стратегіям гравця А, стовпці - стратегіям гравця . Для умовності припустимо, що гравець А - виграє, а гравець В - програє.
У результаті вибору гравцями будь-якої пари стратегій A i і B j (i = 1, ..., mj = 1, ..., n) однозначно визначається результат гри q ij.
Мета теорії ігор - вироблення рекомендацій для різного поведінки гравців в конфліктній ситуації, тобто вибір оптимальної стратегії для кожного з них.
Для знаходження оптимальної стратегії необхідно проаналізувати всі можливі стратегії і розраховувати на те, що розумний противник на кожну з них буде відповідати такий, при якій виграш гравця А мінімальний. Зазвичай мінімальні числа в кожному рядку позначаються і виписуються у вигляді додаткового стовпця матриці (табл. 5.1.2).
Вони позначають мінімально-можливий виграш гравця А при відповідній стратегії А i. У кожному рядку буде своє . Так як гравець А виграє, то кращою для гравця А є стратегія, при якій звертається в максимум, тобто або ,
де - Максиміна виграш (максимин), а відповідна їй стратегія - Максимін.
Таблиця 5.1.1



...




...




...

...
...
...
...
...



...

Таблиця 5.2.2


...





...





...


...
...
...
...
...
...



...





...

Якщо дотримуватися максимінної стратегії, то при будь-якому поведінці боку В (конкурента) гарантований виграш, в усякому разі не менше . Тому називають також ціною гри - той гарантований мінімум, який можна забезпечити при найбільш обережної (перестрахувальної) стратегії.
Очевидно, що аналогічні розподілу можна провести і для конкурента В, який повинен розглянути всі свої стратегії, виділяючи для кожної з них максимальні значення програшу: (Останній рядок матриці).
З усіх значень знаходять мінімальне:
,
яке дає мінімаксний виграш або минимакс.
Така -Стратегія - мінімаксна, дотримуючись якої сторона В гарантовано, що в будь-якому випадку програє не більше . Тому називають верхньою ціною гри.
Якщо , То число С називають чистою ціною гри або сідловою.
Для гри з сідловою знаходження рішення полягає у виборі пари максимінної і мінімаксної стратегій, які є оптимальними, оскільки будь-яке відхилення від цих стратегій призводить до зменшення виграшу першого гравця і збільшенню програшу другого гравця в порівнянні з ціною гри С.
Однак не всі матриці мають сідлової крапку. Тоді рішення знаходять, застосовуючи змішані стратегії, тобто чергуючи випадковим чином декілька чистих стратегій (гнучка тактика).
Вектор, кожна з компонент якого показує відносну частоту використання гравцем відповідної чистої стратегії, називають змішаною стратегією даного гравця.
З цього визначення випливає, що сума компонент цього вектора дорівнює одиниці, а самі компоненти не негативні.
Зазвичай змішану стратегію першого гравця позначають як вектор
, А другого гравця - як вектор , Де . (5.1.1).
Якщо u ° - оптимальна стратегія першого гравця, z ° - оптимальна стратегія другого гравця, то число - Називають ціною гри.
Для того щоб число - Було ціною гри, а u ° і z ° - оптимальними стратегіями, необхідно і достатньо виконання нерівностей:
, (5.1.2)
. (5.1.3)
Якщо один з гравців застосовує оптимальну змішану стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри і незалежно від того, з якими частотами буде застосовувати другий гравець стратегії, що ввійшли в оптимальну, в тому числі і чисті стратегії
Увага до сідлові точки в теорії ігор традиційно. Пояснюється це недовірою до Максиміна, як до принципу оптимального вибору в тому випадку, коли немає сідлової точки. Тому природно прагнення заповнити проміжок між Максиміна і Мінімакс шляхом застосування змішаних стратегій.
Однак, не слід забувати, що:

1) застосування змішаних стратегій ризиковано, коли гра не повторюється;
2) якщо гра повторюється, треба мати впевненість, що у супротивника немає інформації про конкретні рішення іншого гравця;
3) супротивник не зобов'язаний застосовувати змішані стратегії, так само як і прагнути до мети, протилежної мети іншого гравця.
Позначимо змішану стратегію першого гравця p = {p i}, де p i - ймовірність застосування i-й стратегії, , . Нехай змішана стратегія другого гравця , , Q j - імовірність застосування j-й стратегії, , . Р і Q визначають математичне очікування платежу:
.
Теорема фон Неймана. Будь-яка матрична гра має сідлової крапку в змішаних стратегіях.
Доказ. Множини M і N обмежені і замкнуті, так як , , А функція W неперервна по P і Q. W лінійна по P при фіксованих Q, отже, увігнута по P при фіксованих Q. Аналогічно W опукла по Q при фіксованих P. M і N опуклі.
Дійсно, розглянемо такі і , Що , , Тоді , .
Складаючи, отримаємо .
Крім того, .
Отже, при і

теж змішана стратегія.
Застосовуючи фундаментальну теорему, отримаємо те, що потрібно довести:
.
Спираючись на доведену теорему, можна бути впевненим, що рішення гри в змішаних стратегіях завжди існує (якщо тільки взагалі їх можна застосовувати). У теорії ігор доводиться теорема, яка вказує на еквівалентність рішення матричної гри в змішаних стратегіях і двоїстої задачі лінійного програмування.
Нехай P o і Q o оптимальні змішані стратегії, v - ціна гри, тоді

.
З теорема випливає, що

(4)

(5)
.
Позначимо .
Поділимо (4) на v, отримаємо
.
З цієї задачі лінійного програмування можна отримати оптимальні стратегії першого гравця (оперує сторони).
Аналогічно, якщо , Вийде завдання лінійного програмування для отримання оптимальних стратегій другого гравця: .

Ігри з природою. Оптимальна стратегія в грі з природою при відомому розподілі її станів. Максиміній критерій Вальда вибору стратегії в грі з природою при невідомому розподілі її станів. Критерій мінімаксного ризику Севіджа вибору стратегії в грі з природою при невідомому розподілі її станів. Критерій песимізму-оптимізму Гурвіца вибору стратегії в грі з природою при невідомому розподілі її станів.

У разі, коли між сторонами (учасниками) відсутня «антагонізм» (наприклад, в процесі роботи підприємств і торговельних посередників), такі ситуації називають «іграми з природою».
Тут перша сторона приймає рішення, а друга сторона - «природа» не робить першій стороні свідомого, агресивного протидії, але її реальне поведінку невідомо.
Нехай торговельне підприємство має т стратегій: і є n можливих станів природи: . Так як природа не є зацікавленою стороною, результат будь-якого поєднання поведінки сторін можна оцінити виграшем першої сторони для кожної пари стратегій і . Всі показники гри задані платіжною матрицею .
За платіжної матриці можна прийняти ряд рішень. Наприклад, оцінити можливі результати: мінімальний виграш

тобто найменша з величин в кожній i-й рядку як песимістична оцінка; максимальний виграш - то найкраще, що дає вибір i-го варіанта

При аналізі «гри з природою» вводиться показник, за яким оцінюють, наскільки той чи інший стан «природи» впливає на результат ситуації. Цей показник називають ризиком.
Ризик при користуванні стратегією та стан «природи» оцінюється різницею між максимально можливим виграшем при даному стані «природи» і виграшем при обраної стратегії .
.
Виходячи з цього визначення можна оцінити максимальний ризик кожного рішення:
.
Рішення можуть прийматися за результатами аналізу ряду критеріїв.
Критерій, заснований на відомих імовірнісних станах «природи».
Якщо відомі ймовірності станів «природи» (наприклад, попиту за даними аналізу за минулі роки):

де ,
то в якості показника ефективності (раціональності, обгрунтованості) стратегії береться середній (математичне очікування) - виграш застосування цієї стратегії:
,
а оптимальної вважають стратегію, для якої цей показник ефективності має максимальне значення, тобто
.
Якщо кожного рішення відповідає безліч можливих результатів з імовірностями , То середнє значення виграшу можна визначити за формулою
,
а оптимальна стратегія вибирається за умовою
.
У цьому випадку можна скористатися і стратегією мінімального середнього ризику для кожного i-го стану «природи»
.
Максиміній критерій Вальда передбачає вибір рішення, при якому гарантується максимальний виграш в найгірших умовах зовнішнього середовища (стану «природи»):
.
Згідно критерію песимізму-оптимізму Гурвіца при виборі рішення замість двох крайнощів в оцінці ситуації (оптимум-песимізм) дотримуються деякого компромісу, що враховує можливість як найгіршого, так і найкращого поведінки «природи»:
,
де x - показник песимізму-оптимізму (найчастіше 0,5).
Якщо х = 1 критерій дуже песимістичний, якщо х = 0 - занадто отптімістічний.
За критерієм мінімаксного ризику Севіджа вибирають ту стратегію, при якій величина ризику має мінімальне значення в самій несприятливій ситуації:

щоб уникнути занадто великого ризику при виборі рішення.
Комплексний аналіз всіх цих критеріїв дозволяє в якійсь мірі оцінити можливі наслідки прийнятих рішень

Моделі поведінки фірми в умовах конкуренції. Модель поведінки фірми в умовах досконалої конкуренції. Дослідження моделі в залежності від показника ступеня однорідності виробничої функції. Моделі поведінки фірми в умовах недосконалої конкуренції. Монополія і монопсонія. Конкуренція серед небагатьох. Олігополія. Моделі дуополії.

Поведінка фірми в умовах досконалої конкуренції
Існують моделі:
· Опис загальної моделі Вальраса
· Модель Ерроу-Дебре. Існування конкурентної рівноваги
· Модель регулювання цін і стійкість конкурентної рівноваги
Опишемо загальні поняття.
Позначимо через S безліч споживачів і в просторі товарів введемо поняття колективного переваги ( ) За допомогою наступних аксіом (деякі з них відповідають аксіомам індивідуального переваги (див. § 3.1)):
A 1) повнота: для будь-яких або , Або , Або ( - Відношення байдужості);
A 2) транзитивність: для будь-яких , Таких, що , , Справедливо ;
A 3) одностайність: якщо для всіх , То ;
A 4) незалежність: для будь-яких з , , , Слід ( - Будь-яке відношення).
Обгрунтування незаперечності цих аксіом можна знайти, наприклад, у книзі [18].
Головне питання тепер полягає в тому, чи існує відношення переваги, що задовольняє цим чотирьом аксіомам? На жаль, в загальному випадку відповідь буде негативним. Більш-менш відомі способи визначення колективного переваги, такі, як "правило більшості", "правило врівноваження", "правило диктатора" (див. [18]), по-перше, більш застосовні в області політики, ніж економіки, по-друге , призводять до порушення деяких з аксіом A 1-A 4. Це цілком зрозуміло. З одного боку, легше узгодити ідеї, ніж потреби, з іншого - учасники економіки надходять головним чином егоїстично, і не існує єдиного способу пристосування їх потреб одне до одного. Щоб уникнути неправильних висновків тут потрібно пояснити: сказане не означає, що в кожному окремому випадку колектив не дійде згоди. Мова йде лише про відсутність загальних адекватних методів отримання колективного переваги.
Тепер проаналізуємо можливість побудови колективної функції корисності, виходячи з індивідуальних функцій корисності всіх споживачів. Останні, як ми бачили в § 3.2, цілком реально визначаються й існують. Шукану функцію для споживчого сектора S природно визначити як , Де - Функція корисності споживача i. За визначенням 3.1, з цією функцією має бути пов'язане деяке відношення переваги : тоді і тільки тоді, коли . Виявляється, таке відношення переваги задовольняє аксіомі одноголосності, але суперечить аксіомі незалежності (встановіть це самостійно).
Для виявлення ще більш серйозного заперечення проти функції представимо її у вигляді , Де , , S - число всіх споживачів. Тоді за теоремою 3.2 будь-яка функція виду

де , Є також функцією колективної корисності. Покладемо . Легко бачити, що функція в цьому випадку породжує відношення переваги, що дає пріоритетний вага лише першому споживачеві. Таке відношення переваги явно не збігається з відношенням переваги, породженим вихідної функцією . Можна довести, що тільки в одному випадку всі функції виду (5.2.1) будуть відповідати тому ж відношенню переваги, а саме, коли виконана додаткова умова . Кожному набору коефіцієнтів з цієї умови буде відповідати своя функція корисності . Виникає нова проблема: яку з цього нескінченно великого числа функцій віддадуть перевагу споживачі?
Резюмуючи, можна говорити, що спроба визначення колективної функції корисності на основі індивідуальних функцій корисності не вирішує проблему, так як питання існування колективно бажаних ваг повертає проблему до вихідної точки. Взагалі, завдання колективного переваги вимагає принципово інших підходів, про які йтиметься у розділі VII.
Нагадаємо, що ми аналізували можливість побудови колективної функції корисності і прийшли до негативного висновку: з одного боку, її не можна побудувати безпосередньо, так як не можна визначити суворо поняття колективного переваги, з іншого - її не вдається побудувати, використовуючи індивідуальні функції корисності, через проблеми неоднозначності.
Тепер проаналізуємо можливість визначення ринкового попиту, виходячи з рішень індивідуальних оптимізаційних завдань виду (3.4.1) - (3.4.2) для всіх споживачів. Такий аналіз проведемо нестрого, так, як це роблять економісти, мовою кривих попиту. А саме, покажемо, що криву ринкового попиту ( ) Можна одержати як суму кривих індивідуального попиту ( ) Всіх споживачів. На рис. 5.3 показані лінійні графіки попиту для трьох споживачів. Будь-яка точка на кривій ринкового попиту виходить для даної ціни як сума по горизонтальній осі координат відповідних цій же ціні точок всіх індивідуальних кривих попиту. Аналітично це означає, що . При цьому ринкова крива попиту не обов'язково має такий же вигляд, що й індивідуальні криві. Як видно з рис. 5.3, навіть для лінійних кривих індивідуального попиту ринкова крива виходить нелінійної (вигин у точці ). Зміні піддаються й інші властивості індивідуальних кривих, зокрема, такі характеристики, як еластичність попиту, гранична норма заміщення і ін
Для теоретичного обгрунтування наведеного вище "графічного способу" визначення ринкового попиту сформулюємо без доведення наступне твердження.
Теорема 5.1. Нехай області визначення , , Функцій корисності індивідуальних споживачів є конуси з вершинами в нулі простору товарів. Нехай, далі, кожна індивідуальна функція корисності позитивно однорідна і приймає на хоча б одне позитивне значення. Тоді існує така функція , Що при будь-яких цінах рішення задачі , , Збігається з сумою рішень s оптимізаційних завдань: .
Нагадаємо, що безліч називається конусом з вершиною в нулі простору , Якщо воно разом з кожною точкою містить промінь .
По суті, в теоремі 5.1 сформульовані ті умови, при виконанні яких існує колективна функція корисності ( ) І за допомогою яких усіх споживачів можна представити як одна особа.
Як і у випадку з споживачами, шляхом підсумовування кривих пропозиції окремих фірм, які є результатом вирішення їх оптимізаційних завдань з глави IV, можна отримати поняття кривої ринкової пропозиції.
Загальний висновок такий, що можна знайти, в усякому разі, прийнятні для економічної практики способи формалізації понять ринкового попиту та ринкової пропозиції. Останнє дає моральне право оперувати поняттями сукупного попиту та сукупної пропозиції.
Звісно ж необхідним звернути увагу читача на наступний момент. Сукупний попит (сукупна пропозиція) не є результатом кооперування між споживачами (виробниками). Більш того, кооперація взагалі виключена умовами досконалої конкуренції (див. нижче). Сукупний попит характеризує сумарну потребу суспільства у товарах, а сукупна пропозиція - сумарні можливості виробників цих товарів.
Будь-яка функція , Що ставить у відповідність кожному вектору витрат x вектор максимального випуску, який може бути отриманий при цих витратах, називається виробничою функцією.
Монополія.
Так як монополіст є єдиним виробником товару, виходячи з кривої попиту, він самостійно визначає обсяг продажів і ціну товару (рис. 8.1). Припустимо, що в умовах досконалої конкуренції рівновага досягається в точці , А дохід даної фірми, як учасника ринку досконалої конкуренції, є ( ). Будучи монополістом, при тому ж рівні попиту ця фірма доб'ється даного рівня доходу при меншому випуску ( ) За рахунок більш високої ціни ( ). Саме в цьому полягає пріоритетність положення монополіста.
До якого рівня монополіст буде підвищувати ціну товару і знижувати обсяг продажів, щоб отримати максимальний прибуток з урахуванням витрат на виробництво товару?
Крива попиту та оцінка власних витрат є головними орієнтирами для фірми-монополіста при прийнятті економічного рішення. Вона приймає рішення щодо обсягу випуску (або продажу) товару, а його ціна визначається за допомогою кривої попиту (див. рис. 8.1). Отже, в умовах монополії ціна ( ) Є функцією від випуску ( ), Тобто , І, володіючи інформацією про попит, фірма може домогтися отримання максимального прибутку.
Монополіст може збільшити прибуток двома шляхами: або за рахунок підвищення ціни на товар, не змінюючи при цьому обсягу випуску, або за рахунок скорочення обсягу випуску (знизивши тим самим витрати на виробництво), не змінюючи ціну товару. Яке ж оптимальна дія монополіста?
Щоб відповісти на це питання, звернемося знову до конкурентного ринку і розглянемо довгострокову завдання фірми (4.5.1). Так як ми хочемо дізнатися саме про оптимальний обсязі виробництва, формулюємо інакше це завдання на мові випуску. Позначимо дохід як функцію від випуску:

Так як витрати фірми залежать від обсягу виробництва, вони також є функціями від випуску:

Тепер завдання (4.5.1) можна записати так:

Умова першого порядку для максимізації прибутку є

Отже, щоб максимізувати прибуток, фірма повинна досягти такого обсягу випуску, при якому граничний дохід дорівнює граничним витратам. Далі, враховуючи той факт, що , Отримуємо , Тобто рівноважна ціна, якщо вона існує, повинна дорівнювати граничним витратам:

Графічна ілюстрація цієї рівності показана на рис. 8.2, де граничні витрати є зростаюча функція від обсягу виробництва, а граничний дохід (ціна) - спадна функція того ж аргументу.
Повернемося до монополії і перевіримо, чи буде ціна, що максимізує прибуток монополіста, підкорятися закону (8.1.2)?
У монополії , Тому

Далі без втрати спільності будемо вважати .
Обчислимо граничний дохід

Зауважимо, що і в монополії ціна зменшується із зростанням обсягу продажів, тому що фірма знижує ціну, щоб продати більше продукції. Тому і з (8.1.4) слід

Як бачимо, у випадку монополії граничний дохід менше ціни товару.
Проаналізуємо тепер витрати монополіста. Як і на конкурентному ринку, ціни витрат є функціями від обсягу витрат, тобто , . Тому витрати на фактори виробництва виражаються як

Будемо припускати, що для всіх .
Обчислимо граничні витрати:

За ринковими законами фірма може купувати більшу кількість даного фактора виробництва, тільки запропонувавши більш високу плату. Тому . Тоді з (8.1.6) слід

Таким чином, в разі монополії граничні витрати на фактори виробництва виявляються більше їх цін.
Підставляючи (8.1.3) і (8.1.5) в (8.1.1), отримаємо оптимізаційну задачу монополіста:

Підкреслимо ще раз, на відміну від завдання (8.1.1) фірми на конкурентному ринку, в умовах завдання монополіста (8.1.7) всі ціни залежать від обсягів продуктів.
Максимум функції прибутку P в задачі (8.1.7) обчислюється за m +1 змінної . Тому складемо функцію Лагранжа

де - Множник Лагранжа. Випишемо необхідні умови оптимальності точки :

Звідси маємо, зокрема,

Сума, що стоїть в правій частині рівності (8.1.8), є граничний дохід (див. (8.1.4)), а сума, що стоїть у правій частині (8.1.9), - граничні витрати по виробничому фактору j-го виду ( см. (8.1.6)). Тому величина, що стоїть в лівій частині (8.1.9), являє собою твір граничного доходу ( ) На граничний продукт j-го виду витрат ( ). Цей твір можна трактувати як граничний дохід j-го виду витрат.
Виключаючи з системи необхідних умов множник Лагранжа , Отримуємо

Користуючись равенствами (8.1.4) і (8.1.6), перепишемо цю систему у вигляді

Оцінимо відношення граничної вартості витрат на граничний продукт

По-перше, як випливає з (8.1.10), ця величина для всіх j одна і та ж. По-друге, витрати можна представити як функцію від випуску, тобто . Тому, користуючись рівністю (8.1.11), можна формально написати

Так як ця величина одна і та ж для всіх j, то, опускаючи індекс, з системи (8.1.10) - (8.1.11) отримуємо

Отже, щоб максимізувати прибуток, монополіст повинен досягти такого рівня випуску, при якому граничний дохід дорівнює граничним витратам.
Для монополіста ми отримали таке ж правило оптимальної поведінки, що і будь-яка фірма в умовах конкурентного ринку. Однак у випадку монополії

і тому оптимальна ціна товару відрізняється від виразу (8.1.2) у бік підвищення. А саме, через граничний дохід вона виражається як

а через граничні витрати -

Олігополія.
На практиці ринковою владою, тобто владою над ціноутворенням, володіють не тільки фірми, що є чистими монополістами. У багатьох галузях економіки конкурує небольщой число фірм, кожна з яких володіє деякою ринковою владою. Такі, наприклад, великі металургійні комбінати Росії (КМК, ЗАПСИБа, Магнітка та ін.)
У цьому і наступних параграфах ми вивчимо ринкові механізми в умовах олігополії, тобто коли на ринку товару конкурує невелика кількість фірм. Ринкова влада і прибуток олігополіст частково залежать від того, як вони взаємодіють між собою. У деяких олігопольних галузях фірми агресивно конкурують, а в інших співпрацюють. Природно, конкуренція призводить до зниження цін, а маючи тенденцію до співпраці, фірми можуть призначити ціни вище граничних витрат і отримати більший прибуток.
Крайню форму співпраці представляє собою картель. На картельній ринку деякі або всі фірми вступають у змову з приводу захоплення ринку. Визначаючи спільно ціни товару і обсяги продажів, вони максимізують свої прибутки. Картель відрізняється від монополії тим, що не може контролювати весь ринок товару через наявність фірм, що не входять в картель. Інша причина відмінності - у нестабільності картелю як структури, що складається з фірм, що переслідують кожна свої інтереси.
Олігополія є переважаючою формою сучасної ринкової структури. На олігопольних ринках кілька фірм виробляють всю або майже всю продукцію. Чим ширше олігополія, тим складніше прийняття економічних рішень для фірм. Тому вони можуть зробити стратегічні зусилля, щоб ускладнити вступ на ринок нових фірм.
Олігополіст приймає рішення щодо встановлення ціни і обсягу продукції, що випускається їм продукції. Економічне рішення олігополіста складається складніше, ніж монополіста, тому що має місце конкуренція між декількома фірмами. Тому фірма повинна ретельно зважити свої рішення з точки зору реакції суперників. Стратегічні міркування повинні бути глибокими і всебічними. Кожна фірма враховує реакцію конкурентів, знаючи, що ті, у свою чергу, теж будуть зважувати її реакцію на їхні власні рішення. При цьому фірма повинна брати до уваги можливість відновлення її стратегічних міркувань конкурентами, і тому вона може поставити себе на місце конкурентів і поміркувати, яким було б їхня реакція. Саме з позицій такої рекомендації розробляються принципи оптимального поведінки олігополістів. Деякі з них ми розглянемо в наступних параграфах. Тут ми займемося моделюванням завдання олігополіста і олігопольного ринку в цілому.
Визначальним властивістю олігопольного ринку є те, що всі конкуруючі фірми можуть впливати на ціни продукції і витрат. Отже, прибуток кожної фірми залежить і від економічних рішень всіх інших фірм. Яке буде в цих умовах оптимальне рішення олігополіста за обсягом випуску і ціну товару? Для отримання відповіді на це питання необхідно побудувати математичну модель олігополіста і вирішити спільно систему, що складається із завдань всіх конкуруючих між собою фірм.
Позначимо через n число олігополіст і припустимо, що всі вони випускають один і той же товар, застосовуючи m видів витрат. Зауважимо, що при цьому продукції різних фірм можуть відрізнятися рядом ознак (якістю, оформленням і т.д.).
Згідно опису олігополії, ціна товару (p) визначається обсягом всіх випусків , А ціна витрат ( ) - Обсягом витрат усіх фірм :

При зростанні випусків ціни знизяться. Тому

Аналогічно, якщо фірми збільшать покупки виробничих факторів, відбудеться підвищення їх цін. Тому

Нехай - Виробнича функція i-го олігополіста. Тоді виробництво описується системою з n рівнянь

Так як всі олігополісти діють на ринках одних і тих же товарів, то

Завдання i-го олігополіста може бути сформульована таким чином:

Тут - Матриця витрат, - Вектор випусків. Максимізація функції прибутку здійснюється тільки за змінними , Вибором значень яких розпоряджається i-ий олігополіст.
З виду цільової функції задачі (8.2.1) приходимо до висновку, що максимізація прибутку залежить не тільки від економічного рішення i-го олігополіста, але й від дій його конкурентів, що розпоряджаються вибором .
Модель олігополії в цілому має вигляд:

Такого роду моделі називаються конфліктними завданнями прийняття рішення або іграми n осіб. Конфліктний характер прийняття рішення тут полягає в тому, що кожна цільова функція залежить від економічних рішень всіх олігополістів. Тому для знаходження оптимальних рішень олігополіст найбільш підходящим апаратом є теорія ігор. Зокрема, за відсутності як антагоністичного протистояння, так і змови між фірмами, їх оптимальні стратегії можуть бути визначені, виходячи з принципу рівноваги Неша.
Дуополія.
Припустимо, що є всього дві конкуруючі з випуску одного і того ж товару фірми. Це є приватний випадок олігополії, званий дуополії. Обидві фірми приймають рішення за обсягом випуску одночасно і таємно один від одного, і кінцева ціна товару залежить від сукупного обсягу виробництва цих фірм. Тобто, як і в олігополії, дуополістів мають часткову ринкову владу (часткове вплив на ціну товару).
Модель дуополії вперше розглядав французький економіст О. Курно ще в тридцятих роках минулого століття. Підхід Курно грунтується на гіпотезі про те, що своє економічне рішення кожна фірма приймає в припущенні про постійне обсязі виробництва свого конкурента. Іншими словами, дуополістів вважає, що конкурент не реагує на його випуск. Щоб краще зрозуміти, як це відбувається, розглянемо приклад. Попередньо зауважимо, що в дуополії фірма орієнтується на ту частину ринкового попиту, яка не забезпечена пропозицією іншої фірми. Тому для фірми дуже важливо правильно оцінити попит населення на її товар і обсяг виробництва конкурента.
Математичну модель дуополії отримаємо як окремий випадок задачі (8.2.2) при n = 2:

де - Матриця витрат, - Вектор випусків,

Як і в олігополії,

Для обчислення оптимальних випусків дуополістів є 2 (m +1) умов виду (8.2.3):

де

- Приблизні варіації дуополістів i, i = 1,2 ( ).
Модель (8.3.1) називається дуополії Курно, якщо в (8.3.2) виконані умови

Як видно з визначення, в дуополії Курно кожна фірма вважає, що зміни обсягу її власного випуску не вплинуть на рішення конкурента.
Рівновага Штакельберга. Розглянута в попередньому параграфі модель Курно описує лише один з можливих способів формування економічної стратегії дуополістів. Причому вихідна гіпотеза (8.3.3) щодо можливих варіацій, на основі якої будується рівновагу Курно, виявилася, по суті, не відповідає реальності, оскільки не витримує випробування часом.
У цьому параграфі ми відмовляємося від гіпотези Курно і аналізуємо іншу гіпотезу, яка породжує так звану дуополії Штакельберга.
Фірму 1 (2) будемо називати дуополістів Курно, якщо

Далі фірму 1 (2) будемо називати S-стратегом, якщо вона вважає, що фірма 2 (1) буде вести себе як дуополістів Курно, тобто що вона буде визначати свій випуск, користуючись кривої реакції ( ) (Див. рис. 8.7).
Визначення 8.4. Модель (8.3.1) називається дуополії Штакельберга, якщо одна або обидві фірми є S-стратегами.
Трійка , Де - Вирішення завдання (8.3.1) за умов дуополії Штакельберга, - Відповідна цим випусків (в силу системи (8.3.1)) ціна товару, називається рівновагою Штакельберга.
Рівновага Неша. У розглянутих моделях ми виходили з того, що свої економічні рішення з приводу обсягів випуску дуополістів приймають лише на основі інформації (гіпотези) про обсяги випуску конкурента. Помічаючи вузькість такого підходу, все ж таки треба розуміти, що, по-перше, завжди можна узагальнити ці підходи на основі більш різноманітної інформації, по-друге, як вже було сказано, обсяг випуску партнера для конкуруючих фірм є основним і визначальним орієнтиром для прийняття рішення дуополістів.
Узагальнюючи економічні рішення, аналізувати в дуополія Курно і Штакельберга, можна сказати, що у кожної фірми є два варіанти поведінки: або діяти як дуополістів Курно, або діяти як дуополістів Штакельберга (тобто бути S-стратегом).
Економічне рішення i-ої фірми, яке характеризує її як дуополістів Курно, будемо називати її K-стратегією і позначати . Аналогічно, економічне рішення i-ої фірми, яке характеризує її як дуополістів Штакельберга, будемо називати її S-стратегією і позначати .
Таким чином, у кожного дуополістів є дві стратегії: у фірми 1 - і , У фірми 2 - і , І тому може бути реалізована одна з чотирьох ситуацій: , , , . Розмістимо відповідні цим ситуаціям обсяги випусків фірми 1 і фірми 2 в наступну таблицю (мал. 8.8).

На рис. 8.8 - Рівновага Курно, - 1-рівновага Штакельберга, - 2-рівновагу Штакельберга, - Нерівновагу Штакельберга.
Матрицю

можна розглядати як математичну модель прийняття рішення з двома учасниками, які мають кожен тільки дві стратегії. Кожній з перерахованих чотирьох ситуацій відповідає одна з пар випусків . Наприклад, якщо перший учасник вибрав стратегію , А другий - стратегію , То в ситуації, що створилася випуск першого учасника дорівнює , А другого - . Кожен учасник вибирає свою стратегію з метою отримання якомога більшого випуску.
Модель (8.4.6) називається безкоаліційній грою двох осіб або біматрічной грою; учасники називаються гравцями, а випуск - Виграшем першого гравця, - Виграшем другого гравця.
Таким чином, біматрічная гра (8.4.6) може розглядатися як ще одна (узагальнена) модель дуополії. За побудовою цієї гри оптимальні стратегії (стратегії, максимізує виграші) гравців є найкращими економічними рішеннями дуополістів.
Специфіка моделі (8.4.6), і взагалі ігрових моделей, у тому, що з причини конфліктного характеру прийняття рішення немає ситуацій, що доставляють гравцям їхні максимальні виграші. Пояснимо це на числових значеннях елементів матриці Q, поклавши в прикладі 8.2 a = 30, b = 2, c = 6, d = 0. У цьому випадку матриця Q приймає вигляд:

Видно, що максимальний виграш першого гравця (36) може реалізуватися в ситуації , А максимальний виграш другого гравця (36) може реалізуватися в ситуації . Так як ці ситуації не сумісні, тобто не можуть реалізуватися одночасно, то домогтися максимальних виграшів обидва гравці одночасно не зможуть.
Єдиним прийнятним принципом оптимальної поведінки гравців у біматрічной грі є принцип рівноваги Неша (див. визначення 8.1). Фактично цей принцип відображає відому приказку: "з двох зол вибирають менше". Застосовуючи це мудре правило, і знайдемо ситуацію рівноваги Неша в грі Q.
Вибираючи стратегію K 1, перший гравець в гіршому випадку отримає , А, застосовуючи стратегію S 1, - . Кращий з двох гірших виграшів дорівнює . Цей виграш відповідає стратегії S 1. Міркуючи так само, знайдемо для другого гравця виграш 23 і стратегію S 2. Як легко перевірити, ситуація і є рівновагою Неша. Дійсно, відхиляючись односторонньо від ситуації , Будь-який гравець хіба що зменшує свій же виграш.
Нагадаємо, що ця ж ситуація в дуополії була названа дисбалансом Штакельберга, так як існує домінуюча над нею ситуація , В якій обидва дуополістів отримують великі прибутки. Але в моделі (8.4.7) в умовах відсутності обміну інформацією між гравцями ситуація реалізована не буде через ризикованості одностороннього відхилення гравців від ситуації рівноваги Неша. Цей факт говорить на користь кооперації між дуополістів, так як узгоджений вибір привів би їх до набагато кращій ситуації .

Статична модель міжгалузевого балансу. Коефіцієнти прямих матеріальних витрат. Достатня умова продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат. Структурна форма лінійної моделі балансу міжгалузевих матеріально-речових зв'язків.

Міжгалузевий баланс (МОБ) представляє собою таблицю, в якій відображено процес формування і використання сукупного суспільного продукту в галузевому розрізі.
Баланси бувають звітні та планові. Звітні фіксують сформовані пропорції, а планові відображають деякий бажане стан і виходять у результаті розрахунку за моделями, про яких і піде мова в цьому розділі.
У залежності від того, в яких одиницях вимірюються міжгалузеві потоки, розрізняють баланси натуральні і вартісні. Далі ми будемо мати на увазі в основному вартісні баланси.
Припустимо, що народне господарство представлене сукупністю п галузей. Будемо вважати, що кожна галузь виробляє тільки один продукт і кожен продукт виробляється тільки однією галуззю, тобто між галузями і продукцією існує взаємно однозначна відповідність. Насправді це не так, тому в МОБ фігурують не реальні, а так звані "чисті", або "технологічні", галузі.
Загальний вигляд міжгалузевого балансу представлений у таблиці. Вона складається з чотирьох розділів. Перший розділ утворюється переліком "чистих" галузей. Кожна галузь представлена ​​в МОБ двічі: як виробляє і як споживає. Галузі як виробникові відповідає рядок таблиці, галузі як споживачеві відповідає стовпець. На перетині i-го рядка і j-го стовпця знаходиться величина x ij - кількість продукції
i-й галузі (у грошовому вираженні), витраченої на виробничі потреби j-й галузі. Таким чином, перший розділ характеризує міжгалузеві потоки сировини, матеріалів, енергії і т. д., обумовлені виробничою діяльністю галузей.
1
2
...
n
У
Х
1
x 11
x 12
...
x 1 n
y 1
x 1
2
х 21
x 22
x 2 n
y 2
x 2
...
...
...
...
...
...
...
n
x n 1
x n 2
...
x nn
y n
x n
V
v 1
v 2
...
v n
Х
x 1
x 2
. . .
x n
Другий розділ МОБ складається з двох стовпців. Стовпець
Y - це кінцева продукція галузей. Кінцева продукція включає в себе невиробниче споживання (особисте і суспільне), відшкодування вибуття основних фондів і нагромадження. Стовпець Х містить величини валового виробництва галузей.
Третій розділ представлений двома нижніми рядками. Рядок Х містить ті ж самі величини, що й відповідний стовпець другого розділу. Рядок V містить величини умовно-чистої продукції галузей. Умовно-чиста продукція включає в себе амортизаційні відрахування і знову створену вартість (заробітну плату і прибуток).
Четвертий розділ МОБ не має безпосереднього відношення до аналізу міжгалузевих зв'язків. Він характеризує перерозподільні відносини в народному господарстві і тут розглядатися не буде.
Рядки показують розподіл продукції. Для будь-якої i-й рядки першого розділу справедливе співвідношення

тобто вся вироблена i-й галуззю продукція х i (валова продукція в грошовому вираженні) ділиться на проміжну і кінцеву. Проміжна продукція - це та частина валової продукції i-й галузі, яка витрачається іншими галузями в процесі здійснення ними власних виробничих функцій.
Стовпці МОБ показують структуру витрат. Для будь-якого j-го стовпця можна записати:

тобто вартість всієї виробленої j-й галуззю продукції х j складається з поточних виробничих витрат і умовно-чистої продукції v j.
Сумарний кінцевий продукт дорівнює сумарній умовно-чистої продукції. Дійсно,


Порівнюючи праві частини цих співвідношень, бачимо, що

Знаючи сумарний кінцевий продукт або, що те ж, сумарну умовно-чисту продукцію, можна визначити національний дохід. Він дорівнює різниці сумарного кінцевого продукту та амортизаційних відрахувань, що спрямовуються на відшкодування вибуття основних фондів.
Розглянута таблиця МОБ всього лише форма подання статистичної інформації про взаємозв'язок галузей. Перейдемо тепер до побудови математичної моделі. Для цього введемо поняття коефіцієнтів прямих матеріальних витрат:
(1)
Коефіцієнт a ij показує, яка кількість i-го продукту витрачається на виробництво одиниці j-го продукту.
Оскільки продукція вимірюється в вартісних одиницях, коефіцієнти прямих витрат є величинами безрозмірними. Крім того, з (1) випливає, що
(2)
Вважаючи коефіцієнти прямих матеріальних витрат постійними, запишемо систему балансових співвідношень

наступним чином:

Переносячи y i в праву частину, а x i в ліву і міняючи знаки на протилежні, отримуємо

У матричній формі ця система рівнянь виглядає наступним чином:
X - AX = Y або (E - A) X = Y,
де Е - одинична матриця n-го порядку;
- Матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.
Отже, ми отримали систему рівнянь міжгалузевого балансу, яку називають моделлю Леонтьєва. Використовуючи цю модель, можна відповісти на основне питання міжгалузевого аналізу - яким має бути валове виробництво кожної галузі для того, щоб економічна система в цілому справила задану кількість кінцевої продукції?
Слід зазначити одну важливу властивість матриці А - сума елементів будь-якого її стовпця менше одиниці:
(3)
Для доказу розділимо обидві частини балансового співвідношення

на х j і, виконавши найпростіші перетворення, отримаємо

де v j / x j = - Частка умовно-чистої продукції в одиниці валового випуску.
Очевидно, що > 0, так як в процесі виробництва не може не створюватися нової вартості. З цього випливає справедливість співвідношення (3).
Властивості (2) та (3) матриці А грають ключову роль у доказі її продуктивності, т. е. у доведенні того, що при будь-якому невід'ємне Y система
X - AX = Y або (E - A) X = Y,
має єдине та невід'ємне рішення Х = (Е-А) -1 Y. Матрицю (Е-А) -1 позначають через В і називають матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат, або зворотною матрицею Леонтьєва. Коефіцієнт b ij цієї матриці показує, яким має бути валовий випуск i-й галузі для того, щоб забезпечити виробництво одиниці кінцевого продукту j-й галузі. Використовуючи матрицю В, можемо записати
Х = У Y
або в розгорнутому вигляді

Перевага такої форми запису балансової моделі полягає в тому, що, обчисливши матрицю У лише одного разу, ми можемо багаторазово використовувати її для обчислення Х прямим рахунком, тобто множенням В на Y. Це набагато простіше, ніж щоразу вирішувати систему лінійних рівнянь.
Обернену матрицю В можна обчислити, використовуючи метод поводження з застосуванням формули розкладу її в матричний ряд:
В = Е + А + А 2 +...+ А k + ... (4)
Число членів ряду, необхідне для отримання достатньо точного наближення, залежить від матриці А, але в будь-якому випадку прийнятний результат досягається при k І 30.
Формула (4) має строгий математичний доказ. Але ми обмежимося тим, що спробуємо осмислити її, розглядаючи Х як результат деякого гіпотетичного процесу послідовного уточнення проміжної продукції, необхідної для створення заданого кінцевого продукту.
Отже, вектор кінцевої продукції, яку має провести економічна система, дорівнює Y. Будемо вважати, що це і є первісне завдання галузям, тобто Х 0 = Y. Для виконання власного завдання кожна галузь потребує продукції інших галузей. Якби всі галузі підрахували потреби і подали заявки в деякий центр, то виявилося б, що сумарна потреба становить X 1 = АХ 0 = А Y. Вектор X 1 можна розглядати як проміжну продукцію, необхідну для виробництва Х 0. Але під забезпечення виробництва X 1 теж потрібна проміжна продукція: X 2 = АХ 1 = А 2 Y. Міркуючи так і далі, ми приходимо до висновку, що
Х = Х 0 + Х 1 + Х 2 +...+ Х k + ... = Y + АY + А 2 Y +...+ A k Y + ... =
= (Е + а + а 2 + ... + а k +...) Y.
Повні витрати можна розкласти на пряму і непряму складові. Прямі витрати здійснюються безпосередньо при виробництві даного продукту, а непрямі А 2 + А 3 + ... + А k + ... відносяться до попередніх стадіях виробництва. Вони здійснюються не прямо, а через посередництво інших інгредієнтів, що входять до даного продукту. Елементи матриці А 2 представляють собою непрямі витрати першого порядку, елементи матриці А 3 - непрямі витрати другого порядку і т. д.

Статична модель міжгалузевого балансу, розширена балансом праці. Коефіцієнти повних витрат праці. Коефіцієнти фондомісткості галузей. Баланс основних виробничих фондів. Статична модель міжгалузевого балансу, розширена балансом основних виробничих фондів.

Показники використання трудових ресурсів та основних виробничих фондів також можуть бути досліджені в міжгалузевому контексті.
Нехай L - середньорічна чисельність працівників i-й галузі. За аналогією з коефіцієнтами прямих матеріальних витрат вводяться коефіцієнти прямих витрат праці:

Знаючи ці коефіцієнти, можемо обчислити сумарну потребу в трудових ресурсах при заданому обсязі валового виробництва:

Валове виробництво можна виразити через кінцеву продукцію за формулою

Скористаємося цією формулою і запишемо попереднє співвідношення так:

Величина показує, яку кількість трудових ресурсів i-ї галузі необхідно для того, щоб забезпечити i-й продукцією випуск одиниці j-го кінцевого продукту. Підсумовуючи по всіх галузях, отримуємо

або у векторній формі:
Т = В T t.
Т j - коефіцієнт повних витрат праці (повна трудомісткість). Він показує, яка кількість трудових ресурсів усіх галузей необхідно для виробництва одиниці j-го кінцевого продукту.
Таким чином, сумарна потреба в трудових ресурсах може бути обчислена двома способами:
(1)
Аналогічно визначаються коефіцієнти прямої та повної фондомісткості. Нехай F i - середньорічна кількість використовуваних основних фондів. Тоді коефіцієнт прямої фондомісткості

Коефіцієнт повної фондомісткості

Те ж у векторній формі:
Ф = В T t.
Коефіцієнт Ф j показує, яку кількість основних фондів усіх галузей необхідно для виробництва одиниці j-го кінцевого продукту.
За аналогією з (1) сумарна потреба в основних фондах обчислюється так:

Коефіцієнти повної трудомісткості і фондоємності можна подібно коефіцієнтами повних матеріальних витрат розглядати як суму прямої і непрямої складових. Наприклад, для повної фондомісткості:
Ф = (Е + А + А 2 +...+ А до +...) Т,   f = f + (А + А 2 +...+ А k +...) Т f.
Непряма складова повної фондомісткості (так само, як і повної трудомісткості) порівняно невелика в сировинних галузях і зростає в "завершальних" галузях до 90е95%.
Приклад. Обчислити загальну потребу в трудових ресурсах, якщо відомі коефіцієнти прямих матеріальних витрат, коефіцієнти прямих витрат праці і заданий вектор кінцевого продукту:

Для вирішення цього завдання потрібно скористатися формулою

Як бачимо, можливі два способи: 1) обчислити Х = У Y, а потім застосувати формулу L = (t, x), 2) обчислити коефіцієнти повних витрат праці Т = B T t і далі L = (Т, Y). Але в обох випадках необхідно спочатку обчислити
матрицю В.

Перший спосіб:


Другий спосіб:


Найважливішу частину національного багатства складають основні виробничі фонди, які становлять матеріально-технічну базу народного господарства. Основні виробничі фонди - це засоби праці, що функціонують у всіх галузях матеріального виробництва. До основних виробничих фондів відносять тільки продукти суспільної праці, що почали функціонування у виробництві.
Основні виробничі фонди дуже різні за своїм матеріально-матеріального складу та призначення. Одні створюють умови для здійснення виробничого процесу, інші виконують транспортні функції, за допомогою третіх здійснюється виробничий процес і т.д. В даний час у практиці нашої статистики прийнята наступна єдина типова класифікація основних виробничих фондів по всьому народному господарству.
· Будинки.
· Споруди.
· Передавальні пристрої.
· Машини та обладнання, в тому числі: силові машини і обладнання, з них автоматичні, робочі машини і обладнання, з них автоматичні, вимірювальні і регулюючі прилади і пристрої і лабораторне обладнання, з них автоматичні, обчислювальна техніка, у тому числі автоматична, інші машини, з них автоматичні.
· Транспортні засоби.
· Інструменти.
· Виробничий інвентар і приналежності.
· Господарський інвентар.
· Робоча і продуктивна худоба.
· Багаторічні насадження
· Капітальні витрати по поліпшенню земель.
· Інші основні фонди.
По окремих галузях матеріального виробництва ця типова класифікація конкретизується з урахуванням особливостей галузі.
Основні фонди займають, як правило, основна питома вага в загальній сумі основного капіталу підприємства. Від їх кількості, вартості, технічного рівня, ефективності використання багато в чому залежать кінцеві результати діяльності підприємства: випуск продукції, її собівартість, прибуток, рентабельність, стійкість фінансового стану.
Для узагальнюючої характеристики ефективності використання основних засобів служать показники рентабельності (відношення прибутку до середньорічної вартості основних виробничих фондів), фондовіддачі (відношення вартості виробленої або реалізованої продукції після вирахування ПДВ, акцизів до середньорічної вартості основних виробничих фондів), фондомісткості (зворотний показник фондовіддачі), питомих капітальних вкладень на один карбованець приросту продукції

Динамічна модель міжгалузевого балансу. Відкрита і замкнута динамічні моделі. Збалансована траєкторія розвитку економіки в лінійній моделі з продуктивною матрицею коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Наступним представником класу лінійних моделей економіки є модель, побудована в середині 1930-х років австрійським математиком Джоном фон Нейманом. У порівнянні з моделлю Леонтьєва, яку можна використовувати для планування виробництва на одному плановому періоді в цілому (рік, п'ятирічка і т.д.), модель Неймана відстежує виробничий процес всередині планового періоду, тобто витрати і випуск, що здійснюються в кожний період часу (від кварталу в квартал, від року в рік і т.д.). Тому вона узагальнює модель Леонтьєва в двох аспектах: у динамічному плані й у плані багатопродуктових галузей. У моделі Неймана передбачається, що економіка функціонує ефективно як завгодно довго. Логічним наслідком такої передумови є зростання виробничих можливостей в часі з наростаючими темпами. Тому модель Неймана описує "розширюється" економіку.
Для виведення цієї схеми розглянемо функціонування економіки на деякому кінцевому періоді часу [0, T]. Відрізок [0, T] розіб'ємо точками , K = 0,1 ,..., T, так, щоб вийшла зростаюча послідовність моментів часу

Тоді отримуємо послідовність полуінтервалов довжини , Що покривають весь відрізок [0, T]. Момент будемо трактувати як початковий момент планування виробництва товарів, а момент - Як плановий горизонт. Надалі у всіх відносинах зручно вважати і трактувати моменти як роки. За цих позначеннях ми будемо писати .
У цьому параграфі, як і в моделі Леонтьєва, будемо припускати, що економіка складається з n чистих галузей з постійними технологіями, описуваними матрицею A. Планування знову будемо розуміти по схемі витрати-випуск при відомому попиті на товари, але тепер вже з урахуванням фактору часу.
Під планом виробництва на відрізку часу [0, T] будемо розуміти сукупність

Тут кожен рядок відповідає плану на рік t; - Вектор запасів товарів, - Вектор валового випуску. Кожна компонента вважається максимально можливим при існуючих основних фондах випуском галузі j. Валовий випуск галузі може бути збільшений шляхом додаткових вкладень, і цей показник також включається до плану. Вектор позначає плановане на рік t збільшення (приріст) валового випуску. Нарешті, число l t показує загальну кількість найнятих у всіх галузях робітників у рік t.
Праця, як вид товару, не розглядався у вихідній моделі Леонтьєва. Особливістю даного товару полягає в тому, що він, по-перше, будучи відтвореним ресурсом, в той же час не є продуктом якоїсь галузі, по-друге, як чинник у виробничому процесі, займає проміжне положення між матеріальними ресурсами і готовою продукцією. Ніяке виробництво не може обходитися без трудових витрат. Одиницею її виміру є робоча сила. Необхідна для галузі кількість робочої сили визначається трудовими витратами, вкладеними в випуск однієї одиниці продукції. Даний параметр для галузі j позначимо . Тоді число робітників у галузі j в рік t одно . Вектор називається вектором трудових витрат.
Позначимо через , J = 1 ,..., n, обсяги матеріальних витрат, необхідних для збільшення на одну одиницю випуску товару i. Тоді матеріальні витрати на одночасне збільшення випусків усіх галузей на величини будуть обчислюватися як , Де - Технологічна матриця збільшення виробництва.
Наочну картину міжгалузевих зв'язків у часі при плані виробництва , Плані кінцевого споживання на одного працюючого на весь плановий період і при постійних технологіях виробництва та його збільшення показує схема динамічного міжгалузевого балансу (рис. 6.2). Ця схема складається для кожного року , Причому при є валовий випуск галузі j до початку планового періоду.

Балансовий характер цієї схеми полягає в тому, що її елементи повинні задовольняти наступним (балансовим) співвідношенням:

Тут - Виробничі витрати, - Додаткові витрати, що відповідають збільшенню виробництва на вектор , А - Кінцеве споживання на рік t. Тому умова (6.3.1) вимагає, щоб весь річний запас товарів покривав всі річні витрати щорічно. Нерівність (6.3.2) задає умову на необхідний обсяг трудових ресурсів, нерівність (6.3.3) говорить про те, що запаси на даний рік не можуть перевищувати результатів виробництва попереднього року, і, нарешті, рівняння (6.3.4) описує динаміку росту валового випуску з року в рік.
Якщо порівняти систему (6.3.1) - (6.3.5) з моделлю Леонтьєва (6.2.1), то можна помітити, що остання виходить з (6.3.1) при відсутності збільшення виробництва, тобто коли . Додаткові умови (6.3.2) - (6.3.4) викликані необхідністю обліку трудових ресурсів і динамічного характеру розвитку виробництва. Як і модель Леонтьєва, дана схема може бути узагальнена та деталізована по ряду параметрів. У наведеному тут вигляді найбільш нереальним є умова (6.3.4), яке припускає (при ) Отримання результатів від витрат, що здійснюються на початку періоду , Вже до кінця цього періоду. Умова (6.3.4) можна переписати так:

У цій рівності останнє доданок має сенс збільшення виробництва за перші t років у порівнянні з початковим обсягом випуску. Частка такого збільшення, що припадає на одну одиницю початкового валового випуску, є

Введемо величину . Тоді рівняння (6.3.4) можна написати у вигляді

Представлення динаміки виробництва в подібному вигляді буде використано нами в наступному параграфі. Тут зауважимо лише, що більш адекватним описом динаміки виробництва, що (6.3.4), представляється рівність

де - Віднесений до моменту t часовий лаг, ( ).
Позначимо і складемо матриці

за допомогою яких систему (6.3.1) - (6.3.5) перепишемо у вигляді

У математичній економіці магістраллю називається траєкторія економічного зростання, на якій пропорції виробничих показників (такі як темп зростання виробництва, темп зниження цін) незмінні, а самі показники (такі як інтенсивність виробництва, валовий випуск) ростуть з постійним максимально можливим темпом. Таким чином, магістраль - це траєкторія або промінь максимального збалансованого зростання. Її часто порівнюють зі швидкісною автострадою. Так, наприклад, для того, щоб дістатися з Кемерово в Кисельовську як можна швидше, найбільш доцільно спочатку проїхати по автостраді Кемерово-Новокузнецьк, а потім вже з'їхати на відгалужуються від неї дорогу в районі Кисілевська. Так ми втратимо на дорогу менше часу і доїдемо до кінцевого пункту з великим комфортом, ніж якщо б ми їхали по звичайному шосе через Ленінськ-Кузнецький і Белово.
Оскільки "оптимальну" або "ефективне" розвиток економіки в будь-якому сенсі так чи інакше пов'язано і повинно супроводжуватися економічним зростанням, то для досягнення будь-якої кінцевої мети слід чинити аналогічним чином: спочатку вивести виробництво на магістральний шлях, тобто на траєкторію (або промінь) Неймана, що характеризується максимальним темпом зростання і мінімальною нормою відсотка (Див. (6.4.14)), а після закінчення певного терміну часу вивести її до задуманої мети. Такими цілями можуть бути максимізація прибутку, мінімізація витрат, максимізація корисності від споживання товарів, досягнення конкурентної рівноваги при найбільш сприятливих умовах, тобто на більш високому рівні добробуту населення, і т.д.
Отже, з одного боку ми маємо магістральні моделі, а з іншого - оптимізаційні або ще ширше - нормативні моделі економіки. Вивчення цих двох моделей у взаємозв'язку, тобто вивчення зв'язку між магістральними та оптимальними (в тому чи іншому сенсі) траєкторіями і є предметом магістральної теорії. Можна говорити, що магістральна теорія є одним із засобів якісного аналізу оптимальних траєкторій. Основною метою цієї теорії є дослідження умов так званих "слабкою" і "сильною" теорем про магістралях. Слабка теорема стверджує, що за винятком деякого малого періоду (Чи деякого числа дискретних моментів з ), Не залежного від тривалості T планового періоду, всі оптимальні траєкторії зосереджуються у відносній близькості до магістральної траєкторії. Сильна теорема говорить про те, що ті невеликі проміжки часу , На яких оптимальні траєкторії віддалені від магістральної, якщо вони існують, то хіба лише на початку періоду , Тобто , Або в кінці періоду , Тобто , А в середині періоду оптимальні траєкторії розташовані у відносній близькості до магістральної.
У загальному випадку в моделях економічної динаміки навіть при незмінності технологічних можливостей затвердження теорем про магістралі не виконуються. Для їх виконання доводиться вводити різні додаткові припущення про властивості вихідної моделі економіки. Інший шлях полягає у вивченні реальних галузевих пропорцій і порівнянні їх з магістральними. Завдяки технічному прогресу і мінливості у часі суспільних уподобань різних благ, реальний стан економіки при детальному (дезагрегірованном) її описі завжди значно відрізняється від магістрального. У той же час, як показують отримані в цьому напрямку результати досліджень, при високому рівні агрегування економічні пропорції близькі до магістральних.
Теореми про магістралях доводяться для ряду оптимізаційних моделей розширюється економіки. Найбільш загальною з них є відома теорема Раднера для нелінійних моделей розширення (див. § 7.2). Тут ми наведемо подібні теореми для лінійних моделей Леонтьєва і Неймана. Єдина наша мета - дати читачеві початкове уявлення про магістральну теорії. Тому приводити складні докази теорем і займатися докладним і суворим аналізом їх умов не будемо. Для більш поглибленого вивчення магістральної теорії можна рекомендувати книги [2, 16].

Три етапи побудови виробничої функції. Специфікація ПФ, ідентифікація параметрів. Перевірка на адекватність.

По суті, виробнича функція f є сукупність "правил", за допомогою яких для кожного набору витрат визначається відповідний випуск. Тому побудова виробничої функції означає знаходження математичної формули, що відбиває ці правила або, інакше кажучи, закономірності перетворення набору ресурсів у кінцевий продукт. Цей процес умовно можна представити схемою:
У блоці f (див. рис. 4.2), образно кажучи, відбувається "змішування" ресурсів в певних "пропорціях" таким чином, щоб вийшов необхідний продукт. Ці "пропорції" визначаються специфікою виробництва і математично виражаються за допомогою різних коефіцієнтів і показників ступеня для величин . "Змішування" їх математично виражається за допомогою різних формальних операцій між ними (підсумовування, твори, логарифмування і т.д.), вид і поєднання яких також визначається специфікою модельованого виробництва. Так що питання побудови виробничої функції в кожному конкретному випадку зводиться до знаходження цих "пропорцій" і до визначення характеру їх "змішування".
Зі сказаного вище випливає, що для побудови виробничих функцій потрібно знати технологію виробництва, її структуру та організацію, а також принципи роботи складних машин і устаткування, тобто треба бути одночасно і технологом, і інженером, і математиком. Виявляється, що знання всього цього складного виробничого механізму не потрібно, якщо володіти відповідними математичними прийомами. Мова йде про використання методів регресійного аналізу на основі статистичних (дослідних, експертних) даних про витрати і випуск. Не применшуючи гідності інших математичних та інших методів побудови виробничих функцій, можна сказати, що саме методи регресійного аналізу найкращим чином виправдали себе на практиці і тому є найбільш популярними. Питання побудови виробничих функцій на основі експериментальних даних є предметом вивчення спеціального розділу - економетрики. . Тут же ми торкнемося лише змістовної сторони побудови конкретних видів виробничих функцій.
Ідею застосування статистичних даних для побудови виробничої функції можна пояснити так: Є відомі величини (реальні результати виробництва) і одне невідоме вираз f, їх сполучне. Спостерігаючи протягом досить великого періоду часу функціонування виробництва за різними значеннями витрат та відповідними їм значеннями випуску y, можна виявити закономірність f:

Коротко зупинимося на етапах побудови виробничої функції. Нехай нам відомі види ресурсів ( ), Використовуваних для випуску даної продукції, і є необхідна кількість статистичних даних за обсягами витрат та випуску y. Потрібно встановити залежність , Тобто знайти аналітичний вид виробничої функції f. Ця задача розпадається на два етапи:
специфікація функції f, тобто виявлення загального вигляду функції f від аргументів з невизначеними параметрами (коефіцієнтами і показниками ступенів при і вільним членом);
оцінка параметрів - визначення конкретних числових значень невідомих параметрів.
Картина "розташування" статистичних даних в просторі витрати-випуск може підказати лінійний або нелінійний характер залежності функції f від аргументів . Наприклад, у випадку лінійної виробничої функції результатом специфікації буде гіпотеза про лінійної залежності виду

в разі виробничої функції Кобба-Дугласа - у вигляді мультиплікативної функції

в разі виробничої функції CES - у вигляді степеневого многочлена

і т.д. Тут є невідомими параметрами, такими, що підлягають визначенню (оцінці).
Частіше за інших на практиці застосовується апроксимація виду (4.4.1), звана лінійної регресією (див. § 9.2). Для визначення її параметрів використовується (лінійний) метод найменших квадратів (див. § 9.3). У деяких випадках до лінійної апроксимації вдається звести і нелінійні щодо ресурсів виробничі функції. Наприклад, Логаріфміруя функцію (4.4.2), отримаємо:

Далі, вводячи позначення

приходимо до лінійної регресії вигляду (4.4.1):

Застосовуючи такий спосіб на основі статистичних даних згаданого вище періоду, Кобб і Дуглас отримали наступну оцінку параметрів для своєї функції:

і, отже, їх виробнича функція виглядала так:

Подальший аналіз показав, що за винятком деяких випадків (наприклад, обліку технічного прогресу), має місце співвідношення . Так як величина показує еластичність виробництва, рівність є ознакою лінійної однорідності виробничої функції (див. § 4.3 і приклад 4.1). Цей факт дозволяє записувати функцію Кобба-Дугласа у вигляді , Де .
На відміну від функції Кобба-Дугласа, функція (4.4.3) навіть після логарифмування залишається нелінійною. Тому для оцінки параметрів функції CES застосовується більш складний нелінійний метод найменших квадратів. Виклад цього методу та реалізацію її алгоритму мовою програмування Бейсік цікавиться читач може знайти в книзі [14].
При специфікації виробничої функції, тобто при вирішенні питання про її приналежність до того чи іншого класу відомих функцій, може бути корисним знання тих чи інших числових характеристик цих класів функцій (відношення середніх та граничних показників, гранична норма заміщення, еластичність та ін.) Наприклад, при моделюванні двофакторного виробництва ( ) На основі наявної статистики можна скласти дискретний (різницевий) аналог показника еластичності по капіталу

Якщо ця величина приблизно дорівнює постійному числу для всіх t і , Для яких різниця досить мала, то шукана функція може належати класу функцій Кобба-Дугласа. Точно так само, дискретний аналог еластичності заміщення може внести ясність щодо належності шуканої функції до класу функцій CES.
Виділення істотних видів ресурсів (факторів виробництва) і вибір аналітичної форми ПФ називається специфікацією ПФ.
Перетворення реальних та експертних даних у модельну інформацію, тобто розрахунок чисельних значень параметрів ПФ на базі статистичних даних за допомогою регресійного і кореляційного аналізу, називається параметризацією ПФ.
Перевірка істинності (адекватності) ПФ називається її верифікацією.
Специфікація визначається, перш за все, теоретичними міркуваннями, які враховують макро і мікроекономічні особливості об'єкта дослідження, параметризація також використовує для згладжування результатів ряду років методи найменших квадратів.

Моделювання виробничих процесів. Фактори виробництва. Неокласична виробнича функція, і її властивості. Граничні та середні продукти факторів виробництва. Еластичність випуску за факторами виробництва. Ізокванти. Граничні норми і еластичність заміщення факторів виробництва. Основні види ПФ випуску. Рівновага виробника.

Під виробництвом розуміється процес взаємодії економічних факторів, завершується випуском будь-якої продукції. Правила, що пропонують певний порядок взаємодії економічних факторів, становлять спосіб виробництва або, інакше кажучи, технологію виробництва. Виробництво - основна сфера діяльності фірми (або підприємства). Фірма - це організація, яка виробляє витрати економічних ресурсів для виготовлення продукції і послуг, які вона продає споживачам, у тому числі, іншим фірмам. Виробничими одиницями є не тільки заводи і фабрики, але й окремі особи - фермери, ремісники та ін
Виробництво можна представити як систему "витрати-випуск", в якій випуском є ​​те, що фактично вироблено, а витратами - те, що споживається з метою випуску (капітал, праця, енергія, сировина). Тому формально можна сказати, що виробництво - це функція, яка кожному набору витрат та конкретної технології ставить у відповідність певний випуск. Саме таке спрощене розуміння виробництва як "чорного ящика" закладено в математичній моделі виробництва. У "вхід" цього чорного ящика подаються витрати, а на "виході" отримуємо випуск (зроблену продукцію).
Подібний опис виробництва на перший погляд здається сильно абстрактним, тому що в ньому не відображені технологічні процеси, що відбуваються всередині чорного ящика. У математичній моделі технологія виробництва враховується зазвичай за допомогою завдання співвідношень між витратами і випуском тобто нормою витрат кожного з ресурсів, необхідних для отримання однієї одиниці продукції, що випускається. Такий підхід пояснюється тим, що математична економіка вивчає суть економічних процесів, а суто технічні операції як такі (а не їх економічні наслідки) залишаються за рамками цієї науки.
Завдання фірми, як виробничої одиниці, складна і багатогранна - починаючи від організації виробництва і закінчуючи благодійною діяльністю. Природно, математичною моделлю не можна охопити весь спектр діяльності фірми і відобразити всі переслідувані цілі. Тому при формалізації задачі раціонального функціонування фірми враховуються лише основні кінцеві цілі.
Кінцевою метою фірми є отримання найбільшого прибутку від реалізації своєї продукції. Нагадаємо в цьому зв'язку, що прибуток розуміється як різниця двох величин: виручки від реалізації продукції (доходу) і витрат виробництва. Витрати виробництва дорівнюють загальним виплат за всі види витрат, інакше кажучи, витрати - це грошовий еквівалент матеріальних витрат. У загальному випадку витрати складаються з двох доданків: постійних витрат і змінних витрат. Постійні витрати (витрати на закупівлю і ремонт обладнання, утримання фірми, страховку тощо) фірма несе незалежно від обсягу випуску. Змінні витрати (витрати на заробітну плату, сировину та ін) стосуються використання вже наявних у розпорядженні фірми ресурсів, виробничих потужностей і міняються разом з обсягом випуску.
Згідно з поставленою метою, завдання фірми зводиться до пошуку такого способу виробництва (поєднання витрат і випуску), що забезпечує їй найбільший прибуток з урахуванням та в межах наявних у неї обмежених ресурсів. Дане трактування мети фірми і найкращого способу виробництва не є єдино можливою. Мова йде про деяку гіпотезі щодо переваг виробника, а не про логічної необхідності. У дійсності ж мотиви прийнятих керівниками фірм рішень можуть бути продиктовані іншими міркуваннями, наприклад, гуманного або соціально-політичного характеру. Тому на відміну від математичної теорії споживання, де існувала єдина, логічно виправдана оптимізаційна модель споживача, тут недоцільно говорити про "оптимізаційної моделі фірми" як такої. Завдання фірми можуть істотно відрізнятися як переслідуваної метою, так і тимчасовим періодом її рішення.
Обговорену вище завдання будемо називати завданням фірми на максимізацію прибутку. Двоїстої до неї (у деякому сенсі) є завдання фірми на мінімізацію витрат при фіксованому рівні планованого випуску (доходу). Саме така формалізація мети виробництва останнім часом стає більш популярною в зв'язку з глобальною проблемою "сталого розвитку" суспільства, так як вона співзвучна із завданнями раціонального використання природних ресурсів.
Припустимо, що фірма виробляє n видів продуктів. Види продуктів будемо позначати індексом j, а їх кількості - через . Технологія виробництва кожного виду продукту вимагає використання ряду ресурсів в деяких кількостях. Подвійними індексами позначимо види ресурсів, що використовуються для випуску продукту виду j. Нехай . . Позначимо через - Кількості цих ресурсів, . Отже, є всього видів ресурсів.
Використання такої подвійної індексації привабливо з точки зору інформативності (видно, який ресурс належить до якогось продукту), але незручно чисто технічно. По-перше, ускладнюється запис формул, по-друге, збільшується розмірність завдання (тому що серед можуть бути одні і ті ж найменування) і, по-третє, такі операції як додавання, віднімання витрат у векторній формі, а також складання рівнянь стають неможливими без додаткових перетворень індексів (ідентифікація, впорядкування і т.д.).
Тому надалі види ресурсів будемо позначати одинарними індексами k, їх кількості - , Де . Тут m - достатньо велике число (рівне сумі , Де кожен ресурс вважається тільки один раз). Тепер можна говорити, що для виробництва n видів продуктів фірма використовує m видів витрат. Це не призводить до непорозумінь, тому що у випадку невикористання k-го ресурсу для випуску даного продукту вважаємо .
Введемо в розгляд два види векторів: - Вектор витрат і - Вектор випуску. Позитивний ортант

називається простором витрат. Аналогічно визначається простір випуску:

Для відображення реальних можливостей фірми в математичних моделях часто застосовуються більш вузькі безлічі .
Технологічний зв'язок між витратами і випуском описується за допомогою виробничої функції.
Визначення 4.1. Будь-яка функція , Що ставить у відповідність кожному вектору витрат x вектор максимального випуску, який може бути отриманий при цих витратах, називається виробничою функцією.
Це є визначення виробничої функції для багатопродуктової фірми, тобто векторної виробничої функції. Якщо фірма випускає тільки один вид продукту, то виробнича функція є скалярною: або

У загальному випадку виробничу функцію можна записати в неявній формі: , Де A - -Матриця параметрів (технологічна матриця). У деяких моделях застосовується такий вираз для виробничої функції: , Де змінні зі знаком "-" позначають витрати, а зі знаком "+" - випуски.
Якщо в якості незалежних змінних (аргументів) виступають витрати (див. (4.2.1)), то виробничу функцію іноді називають функцією випуску, якщо ж фіксована величина випуску (y), то виробнича функція є функцією витрат ( ). Таким чином, функція випуску і функція витрат є взаємно зворотними один одному функціями.
Застосування виробничих функцій не обмежується виявленням залежності витрати-випуск. Різні прийоми математичного апарату дозволяють використовувати їх для обчислення чисельних характеристик виробництва, аналізу ефективності зміни масштабу виробництва та технологічного прогресу, дослідження еластичності виробничих факторів, раціонального ведення господарства, оптимального планування і прогнозування варіантів розвитку фірми та ін
Тому дуже важливо, щоб виробнича функція об'єктивно відображала модельовану дійсність, тобто щоб вона задовольняла змістовно-логічним та економічним вимогам. Основні з них такі:
  • в число аргументів виробничої функції повинні бути включені всі істотні для даного процесу фактори;
  • всі величини повинні мати чіткий економічний зміст;
  • всі економічні величини, що входять у виробничу функцію, повинні бути вимірні;
  • випуск продукції без витрат неможливий;
  • якщо величина будь-якого ресурсу обмежена, то випуск не може рости нескінченно;
  • збільшення витрат не може призвести до зменшення випуску.
Питання про адекватне описі економічної реальності на мові виробничих функцій тісно пов'язаний з їх математичними властивостями. Заради простоти ці властивості наведемо для однопродуктового виробництва, тобто для виробничої функції виду (4.2.1).
  1. Монотонність: з і слід .
  2. Увігнутість: для будь-яких і справедливо нерівність .
  3. Поведінка на початку координат: .
  4. Однорідність: , Де - Масштабне число, - Ступінь однорідності.
Якщо виробнича функція диференційовна по всіх аргументів, то властивості 1 і 2 відповідно можуть бути замінені наступними нерівностями:

Приватні похідні називаються граничними продуктами. Умова (4.2.2), як і властивість 1, означає, що збільшення будь-якого виду витрат не приводить до зменшення випуску. Умова (4.2.3) показує, що збільшення витрат одного виду ресурсу (при постійному рівні витрат інших ресурсів) призводить до все меншого приросту випуску. Це властивість в економічній теорії називається законом спадної прибутковості (віддачі).
Властивість 3 є відображенням бездіяльності, так як без витрат немає і випуску. Властивість 4 описує реакцію виробництва на зміну витрат. Параметр показує масштаб зміни виробництва (розширення виробництва - якщо , Звуження виробництва - якщо ), А - Ефект від зміни масштабів виробництва. Якщо , То одночасне збільшення всіх факторів у разів приводить до зростання обсягу випуску більше, ніж у разів ( ), Тобто ефект від розширення масштабу виробництва позитивний. При отримуємо: - Випуск зростає в тій самій пропорції, що й витрати. Такі функції називаються лінійно-однорідними (або однорідними в першому ступені).
Якщо

то говорять про зростаючий (спадному) доході від розширення масштабу виробництва. Зауважимо, що властивість 4 визначено в точці, тоді як властивості 1 і 2 - у всьому просторі витрат.
Як ми бачимо, перераховані (бажані) властивості виробничої функції цілком узгоджуються з її визначенням, тому що вони стосуються тільки співвідношення витрати-випуск. Дійсно, тут немає ніяких вимог на безперебійну роботу верстатів, нормування руху конвеєра і т.д. Тому виробнича функція, як відображення кількісної зв'язку між витратами і випуском, являє собою регресійну модель (див. § 2.5). Отже, вона може бути побудована на основі статистичних даних та із застосуванням методів математичної статистики. Залишаючи докладне обговорення цього питання до § 4.4, зараз ми наведемо приклади найбільш вдало побудованих і тому часто застосовуються на практиці виробничих функцій. При цьому для простоти будемо розглядати двухфакторную однопродуктовую виробничу функцію виду

Середнім продуктом по k-му виду витрат називається обсяг випуску, який припадає на одиницю витрат k-го виду при фіксованому рівні витрат інших видів:

Спочатку зупинимося на понятті еластичності виробництва. Вже знайоме нам з § 4.2 властивість однорідності виробничої функції оцінює технологію виробництва в різних точках простору витрат. А саме, виробнича функція в одних точках цього простору може характеризуватися постійним доходом від розширення масштабу виробництва, а в інших - його збільшенням або, навпаки, зменшенням. Локальним показником вимірювання доходу від розширення масштабу виробництва і служить еластичність виробництва. Її ми будемо позначати символом ("Еластичність f по в точці x "). Формально (див. (3.3.2)) ми можемо написати:

Однак це співвідношення не відображає зміну масштабу виробництва в точці x. Тому обчислювальна формула еластичності виробництва виглядає так:

або, що те ж саме,

У разі постійності доходу при розширенні масштабу виробництва (тобто для лінійно-однорідною виробничої функції) еластичність виробництва дорівнює одиниці.
Еластичність виробництва, описуваного диференційовною лінійно-однорідною функцією, в будь-якій точці простору витрат дорівнює сумі еластичностей випуску за всіма видами витрат.
На практиці з різних причин часто виникає необхідність заміни одних ресурсів іншими. Наприклад, при розширенні виробництва фірма повинна вирішити: або повністю автоматизувати виробництво за рахунок дорогого обладнання та скоротити кількість робочих місць (скоротити фонд заробітної плати), або використати призначені для цього кошти для часткової модернізації технології та збільшення фонду заробітної плати. Що вигідно для фірми? Для отримання відповіді на це питання вводять поняття граничної норми заміщення одних ресурсів іншими й еластичності заміщення одних ресурсів іншими.
Можливості заміщення характеризують виробничу функцію з точки зору різних комбінацій витрат, що породжують однакові рівні випуску. Припустимо, що двухфакторной виробництво описується виробничою функцією , Де Y - випуск, K - капітал (основні фонди), L - трудові ресурси. Припустимо, частина робітників ( ) Звільнилася. На яку величину слід збільшити основні фонди, щоб випуск залишився на колишньому рівні, тобто щоб мало місце рівність ? Міркуючи як в § 3.3 (див. (3.3.5) - (3.3.10)), отримуємо, що кількість основних фондів треба збільшити на величину

Число називається граничною нормою заміщення трудових ресурсів основними фондами.
Отже, гранична норма заміщення показує величину ресурсу одного виду, якій виробник готовий пожертвувати заради однієї одиниці ресурсу іншого виду. Поставимо тепер "зворотний" питання: як зміниться величина при зміні граничної норми заміщення на 1%? Згідно визначення еластичності, це є "еластичність по ". По формулі обчислення еластичності (3.3.2) маємо:

Ця величина називається еластичністю граничної норми заміщення (або просто еластичністю заміщення). Введемо більш просте позначення . З урахуванням відомої формули
Визначимо виробничу діяльність як процес, в ході якого підприємства витрачають різні ресурси - речові блага і послуги (фактори виробництва) і в результаті випускають різноманітну, орієнтовану на ринок продукцію (продукти виробництва). Відправною точкою мікроекономічної теорії виробництва є ідея про те, що технологічно ефективна виробнича діяльність підприємства, в ході якої для випуску, наприклад, для одного виду продукції Y витрачається два види ресурсів X 1, X 2 може бути описана за допомогою виробничої функції Y = F ( X 1, X 2). Якщо для фіксованого випуску Y зобразити на площині (X 1, X 2) всі можливі поєднання необхідних ресурсів (X 1, X 2), ми отримаємо криву, яка називається изоквантой. Можна виділити принаймні чотири типи виробничих функцій і изоквант.
1. Функції з повним взаимозамещения ресурсів, наприклад,
Y = a 1 * X 1 + a 2 * X 2.
2. Неокласична виробнича функція, наприклад,
Y = X 1 a1 * X 2 a2; a 1 + a 2 Ј1.
3. Функції з повним взаємодоповнення ресурсів, наприклад,
Y = min (X 1 / a 1, X 2 / a 2).
4. Функції змішаного типу, наприклад,
Y = y 1 + y 2: X i іa i * y 1 + b i * y 2, i = 1,2.
Виробнича функція Кобба-Дугласа - найвідоміша з усіх виробничих функцій неокласичного типу - була відкрита в 20-х роках нашого століття економістом Дугласом у співпраці з математиком Коббом і отримала широке застосування в емпіричних дослідженнях. У нашу програму включена виробнича функція, оцінена Дугласом на основі даних по обробній промисловості США. Y - індекс виробництва, X1 і X2 - відповідно індекси найманої робочої сили та капітального обладнання.

Моделювання НТП. Автономний, керований, матеріалізований (уречевлена), індукований, нейтральний види НТП.

НТП - науково технічний прогрес.
Розрізняють автономний, матеріалізований, нейтральний і не нейтральний технічний прогрес.
Автономний (екзогенний) технічний прогрес представлений виробничою функцією, яка описує зміна технології в часі незалежно від змін змінних стану економіки (капіталу, землі, праці, часу). Мова тут йде про зміни в спеціалізації, кооперації, управлінні і т.п.
Матеріалізований (уречевлена) технічний прогрессхарактерізуется змінними, які беруть активну участь у зміні виробничої функції (капіталу, землі, праці, часу).
Нейтральний технічний прогрессопределяется такими технічними змінами (автономного або матеріального виду), які не порушують рівноваги, тобто економічно та соціально «безпечні» для суспільства.
Загальновизнаним слід вважати той факт, що з плином часу на підприємстві, зберігає фіксовану чисельність працівників та постійний обсяг основних фондів, випуск продукції збільшується. Це означає, що крім звичайних виробничих факторів, пов'язаних з витратами ресурсів, існує фактор, який зазвичай називають науково-технічним прогресом (НТП). Цей фактор можна розглядати як синтетичну характеристику, яка відображатиме спільне вплив на економічне зростання багатьох істотних явищ, серед яких потрібно відзначити наступні:
а) поліпшення з часом якості робочої сили внаслідок підвищення кваліфікації працівників та освоєння ними методів використання більш досконалої техніки;
б) поліпшення якості машин і обладнання призводить до того, що певна сума капітальних вкладень (у незмінних цінах) дозволяє з часом придбати більш ефективну машину;
в) поліпшення багатьох сторін організації виробництва, у тому числі постачання і збуту, банківських операцій та інших взаємних розрахунків, розвиток інформаційної бази, освіта різного роду об'єднань, розвиток міжнародної спеціалізації і торгівлі і т.п.
У зв'язку з цим термін науково-технічний прогрес можна інтерпретувати як сукупність всіх явищ, які при фіксованих кількостях витрачаються виробничих факторів дають можливість збільшити випуск якісної, конкурентоспроможної продукції. Дуже розпливчастий характер такого визначення призводить до того, що дослідження впливу НТП проводиться лише як аналіз того додаткового збільшення продукції, яка не може бути пояснено суто кількісним зростанням виробничих факторів. Головний підхід до обліку НТП зводиться до того, що у сукупність характеристик випуску або витрат вводиться час (t) як незалежний фактор виробничий і розглядається перетворення в часі якої виробничої функції, або технологічного множини.
Зупинимося на способах обліку НТП шляхом перетворення виробничої функції (ПФ), причому за основу приймемо двухфакторную ПФ:

де в якості виробничих факторів виступають капітал (К) і праця (L). Модифікована ПФ у загальному випадку має вигляд

причому виконується умова

яке і відображає факт зростання виробництва в часі при фіксованих витратах праці і капіталу. Геометрична ілюстрація такого процесу дана на рис. 4.13, де показано, що ізокванта, відповідна випуску продукції в обсязі Q, зміщується з плином часу (t 2> t 1) вниз і наліво.
При розробці конкретних модифікованих ПФ зазвичай прагнуть відобразити характер НТП у спостережуваної ситуації. При цьому розрізняють чотири випадки:
а) істотне поліпшення з часом якості робочої сили дозволяє домогтися колишніх результатів з меншою кількістю зайнятих; подібний вид НТП часто називають трудосберегающий. Модифікована ПФ має вигляд
де монотонна функція l (t) характеризує зростання продуктивності праці;
б) переважне поліпшення якості машин і устаткування підвищує фондовіддачу, має місце капиталосберегающий НТП і відповідна ПФ:

де зростаюча функція k (t) відображає зміну фондовіддачі;
в) якщо має місце значний вплив обох згаданих явищ, то використовується ПФ у формі

г) якщо ж немає можливості виявити вплив НТП на виробничі фактори, то застосовується ПФ у вигляді

де a (t) зростаюча функція, що виражає зростання продукції при незмінних значеннях витрат факторів. Для дослідження властивостей і особливостей НТП використовуються деякі співвідношення між результатами виробництва та витратами факторів. До їх числа належать:
а) середня продуктивність праці

б) середня фондовіддача

в) коефіцієнт фондоозброєності працівника

г) рівність між рівнем оплати праці та граничної (маргінальної) продуктивності праці

д) рівність між граничною фондовіддачею і нормою банківського відсотка

Кажуть, що НТП є нейтральним, якщо він не зраджує з плином часу певних зв'язків між наведеними величинами.
Розглянемо далі три випадки:
1) прогрес називається нейтральним по Хиксу, якщо протягом часу залишається незмінним співвідношення між фондоозброєністю (x) і граничною нормою заміни факторів (w / r). Зокрема, якщо w / r = const, то заміна праці на капітал і навпаки не принесе ніякої вигоди і фондоозброєність x = K / L також залишиться незмінною. Можна показати, що в цьому випадку модифікована ПФ має вигляд
,
і нейтральність по Хиксу еквівалентна розглянутому вище впливу НТП безпосередньо на випуск продукції. У ситуації, що розглядається изокванта з плином часу зміщується ліворуч вниз шляхом перетворення подібності, тобто залишається в точності тієї ж форми, що і в початковому положенні;
2) прогрес називається нейтральним по Харроду, якщо протягом аналізованого періоду часу норма банківського відсотка (r) залежить лише від фондовіддачі (k), тобто на неї не впливає НТП. Це означає, що гранична фондовіддача встановлена ​​на рівні норми відсотка і подальше збільшення капіталу недоцільно. Можна показати, що такий тип НТП відповідає виробничої функції

тобто технічний прогрес є трудосберегающий;
3) прогрес є нейтральним за Солоу, якщо зберігається незмінним рівність між рівнем оплати праці (w) і граничною продуктивністю праці і подальше збільшення витрат праці невигідно. Можна показати, що в цьому випадку ПФ має вигляд

тобто НТП виявляється фондосберегающім
Однак у довгостроковому плані НТП є і результатом розвитку, і, значною мірою, його причиною. Оскільки саме економічний розвиток дозволяє багатим товариствам фінансувати створення нових зразків техніки, а потім вже пожинати плоди науково-технічної революції. Тому цілком правомірна підхід до НТП як ендогенному явищу, викликаному (индуцированному) економічним зростанням.
Тут виділяються два основних напрямки моделювання НТП:
1) модель індукованого прогресу заснована на формулі

причому передбачається, що суспільство може розподіляти призначені для НТП інвестиції між його різними напрямками. Наприклад, між зростанням фондовіддачі (k (t)) (поліпшення якості машин) і зростанням продуктивності праці (l (t)) (підвищення кваліфікації працівників) або вибором найкращого (оптимального) напрямки технічного розвитку при даному обсязі виділених капітальних вкладень;
2) модель процесу навчання у ході виробництва, запропонована К. Ерроу, заснована на спостережуваному факт взаємного впливу зростання продуктивності праці та кількості нових винаходів. У ході виробництва працівники набувають досвіду і час на виготовлення виробу зменшується, тобто продуктивність праці і сама трудовий внесок залежать від обсягу виробництва

У свою чергу, зростання трудового фактора, згідно виробничої функції

призводить до зростання виробництва. У найпростішому варіанті моделі використовуються формули:

(Виробнича функція КоббаДугласа).
Звідси маємо співвідношення

яке при заданих функціях K (t) і L 0 (t) показує більш швидке зростання y, обумовлений зазначеним вище взаємним впливом НТП і економічного розвитку.

Види виробничих функцій ПФ Кобба - Дугласа, ПФ Леонтьєва, ПФ Солоу, Лінійна ПФ.

Припустимо, що фірма виробляє n видів продуктів. Види продуктів будемо позначати індексом j, а їх кількості - через . Технологія виробництва кожного виду продукту вимагає використання ряду ресурсів в деяких кількостях. Подвійними індексами позначимо види ресурсів, що використовуються для випуску продукту виду j. Нехай . . Позначимо через - Кількості цих ресурсів, . Отже, є всього видів ресурсів.
Використання такої подвійної індексації привабливо з точки зору інформативності (видно, який ресурс належить до якогось продукту), але незручно чисто технічно. По-перше, ускладнюється запис формул, по-друге, збільшується розмірність завдання (тому що серед можуть бути одні і ті ж найменування) і, по-третє, такі операції як додавання, віднімання витрат у векторній формі, а також складання рівнянь стають неможливими без додаткових перетворень індексів (ідентифікація, впорядкування і т.д.).
Тому надалі види ресурсів будемо позначати одинарними індексами k, їх кількості - , Де . Тут m - достатньо велике число (рівне сумі , Де кожен ресурс вважається тільки один раз). Тепер можна говорити, що для виробництва n видів продуктів фірма використовує m видів витрат. Це не призводить до непорозумінь, тому що у випадку невикористання k-го ресурсу для випуску даного продукту вважаємо .
Введемо в розгляд два види векторів: - Вектор витрат і - Вектор випуску. Позитивний ортант

називається простором витрат. Аналогічно визначається простір випуску:

Для відображення реальних можливостей фірми в математичних моделях часто застосовуються більш вузькі безлічі .
Технологічний зв'язок між витратами і випуском описується за допомогою виробничої функції.
Визначення 4.1. Будь-яка функція , Що ставить у відповідність кожному вектору витрат x вектор максимального випуску, який може бути отриманий при цих витратах, називається виробничою функцією.
Це є визначення виробничої функції для багатопродуктової фірми, тобто векторної виробничої функції. Якщо фірма випускає тільки один вид продукту, то виробнича функція є скалярною: або

У загальному випадку виробничу функцію можна записати в неявній формі: , Де A - -Матриця параметрів (технологічна матриця). У деяких моделях застосовується такий вираз для виробничої функції: , Де змінні зі знаком "-" позначають витрати, а зі знаком "+" - випуски.
Якщо в якості незалежних змінних (аргументів) виступають витрати (див. (4.2.1)), то виробничу функцію іноді називають функцією випуску, якщо ж фіксована величина випуску (y), то виробнича функція є функцією витрат ( ). Таким чином, функція випуску і функція витрат є взаємно зворотними один одному функціями.
Застосування виробничих функцій не обмежується виявленням залежності витрати-випуск. Різні прийоми математичного апарату дозволяють використовувати їх для обчислення чисельних характеристик виробництва, аналізу ефективності зміни масштабу виробництва та технологічного прогресу, дослідження еластичності виробничих факторів, раціонального ведення господарства, оптимального планування і прогнозування варіантів розвитку фірми та ін
Тому дуже важливо, щоб виробнича функція об'єктивно відображала модельовану дійсність, тобто щоб вона задовольняла змістовно-логічним та економічним вимогам. Основні з них такі:
  • в число аргументів виробничої функції повинні бути включені всі істотні для даного процесу фактори;
  • всі величини повинні мати чіткий економічний зміст;
  • всі економічні величини, що входять у виробничу функцію, повинні бути вимірні;
  • випуск продукції без витрат неможливий;
  • якщо величина будь-якого ресурсу обмежена, то випуск не може рости нескінченно;
  • збільшення витрат не може призвести до зменшення випуску.
Питання про адекватне описі економічної реальності на мові виробничих функцій тісно пов'язаний з їх математичними властивостями. Заради простоти ці властивості наведемо для однопродуктового виробництва, тобто для виробничої функції виду (4.2.1).
1. Монотонність: з і слід .
2. Увігнутість: для будь-яких і справедливо нерівність .
3. Поведінка на початку координат: .
4. Однорідність: , Де - Масштабне число, - Ступінь однорідності.
Якщо виробнича функція диференційовна по всіх аргументів, то властивості 1 і 2 відповідно можуть бути замінені наступними нерівностями:

Приватні похідні називаються граничними продуктами. Умова (4.2.2), як і властивість 1, означає, що збільшення будь-якого виду витрат не приводить до зменшення випуску. Умова (4.2.3) показує, що збільшення витрат одного виду ресурсу (при постійному рівні витрат інших ресурсів) призводить до все меншого приросту випуску. Це властивість в економічній теорії називається законом спадної прибутковості (віддачі).
Властивість 3 є відображенням бездіяльності, так як без витрат немає і випуску. Властивість 4 описує реакцію виробництва на зміну витрат. Параметр показує масштаб зміни виробництва (розширення виробництва - якщо , Звуження виробництва - якщо ), А - Ефект від зміни масштабів виробництва. Якщо , То одночасне збільшення всіх факторів у разів приводить до зростання обсягу випуску більше, ніж у разів ( ), Тобто ефект від розширення масштабу виробництва позитивний. При отримуємо: - Випуск зростає в тій самій пропорції, що й витрати. Такі функції називаються лінійно-однорідними (або однорідними в першому ступені).
Якщо

то говорять про зростаючий (спадному) доході від розширення масштабу виробництва. Зауважимо, що властивість 4 визначено в точці, тоді як властивості 1 і 2 - у всьому просторі витрат.
Як ми бачимо, перераховані (бажані) властивості виробничої функції цілком узгоджуються з її визначенням, тому що вони стосуються тільки співвідношення витрати-випуск. Дійсно, тут немає ніяких вимог на безперебійну роботу верстатів, нормування руху конвеєра і т.д. Тому виробнича функція, як відображення кількісної зв'язку між витратами і випуском, являє собою регресійну модель (див. § 2.5). Отже, вона може бути побудована на основі статистичних даних та із застосуванням методів математичної статистики. Залишаючи докладне обговорення цього питання до § 4.4, зараз ми наведемо приклади найбільш вдало побудованих і тому часто застосовуються на практиці виробничих функцій. При цьому для простоти будемо розглядати двухфакторную однопродуктовую виробничу функцію виду

Виробнича функція Кобба-Дугласа. Перший успішний досвід побудови виробничої функції, як рівняння регресії на базі статистичних даних, був отриманий американськими вченими - математиком Д. Коббом та економістом П. Дугласом у 1928 році. Запропонована ними функція спочатку мала вигляд:

де Y - обсяг випуску, K - величина виробничих фондів (капітал), L - витрати праці, - Числові параметри (масштабне число і показник еластичності). Завдяки своїй простоті й раціональності, ця функція широко застосовується до цих пір і отримала подальші узагальнення в різних напрямках. Функцію Кобба-Дугласа іноді ми будемо записувати у вигляді

Легко перевірити, що і

Крім того, функція (4.2.4) лінійно-однорідна:
.
Таким чином, функція Кобба-Дугласа (4.2.4) має усіма вищевказаними властивостями.
Для багатофакторного виробництва функція Кобба-Дугласа має вигляд:

Для обліку технічного прогресу у функцію Кобба-Дугласа вводять спеціальний множник (технічного прогресу) , Де t - параметр часу, - Постійне число, що характеризує темп розвитку. У результаті функція приймає "динамічний" вигляд:

де не обов'язково . Як буде показано в наступному параграфі, показники ступеня у функції (4.2.4) мають сенс еластичності випуску за капіталом і праці.
Виробнича функція CES (з постійною еластичністю заміщення) має вигляд:

де - Коефіцієнт шкали, - Коефіцієнт розподілу, - Коефіцієнт заміщення, - Ступінь однорідності. Якщо виконані умови

то функція (4.2.5) задовольняє нерівностям (4.2.2) і (4.2.3) (перевірте це самостійно). З урахуванням технічного прогресу функція CES записується:

Назва цієї функції випливає з того факту, що для неї еластичність заміщення постійна (див. § 4.3).
Виробнича функція з фіксованими пропорціями. Ця функція виходить з (4.2.5) при і має вигляд:

Виробнича функція витрат-випуску (функція Леонтьєва) виходить з (4.2.6) при :

Змістовно ця функція задає пропорцію, за допомогою якої визначається кількість витрат кожного виду, необхідне для виробництва однієї одиниці продукції, що випускається. Тому в літературі часто зустрічаються інші форми запису:

або

Тут - Кількість витрат виду k, необхідне для виробництва однієї одиниці продукції, а y - випуск.
Виробнича функція аналізу способів виробничої діяльності. Дана функція узагальнює виробничу функцію витрат-випуску на випадок, коли існує деяке число (r) базових процесів (способів виробничої діяльності), кожен з яких може протікати з будь-якою неотрицательной інтенсивністю. Вона має вигляд "оптимізаційної задачі"

Тут - Випуск продукції при одиничній інтенсивності j-го базового процесу, - Рівень інтенсивності, - Кількість витрат виду k, необхідних при одиничній інтенсивності способу j. Як видно з (4.2.8), якщо випуск, вироблений при одиничній інтенсивності і витрати, необхідні на одиницю інтенсивності, відомі, то загальний випуск і загальні витрати знаходяться шляхом складання випуску та витрат відповідно для кожного базового процесу при вибраних интенсивностях. Зауважимо, що завдання максимізації функції f по в (4.2.8) при заданих обмеженнях-нерівностях є моделлю аналізу виробничої діяльності (максимізація випуску при обмежених ресурсах).
Лінійна виробнича функція (функція з взаимозамещения ресурсів) застосовується за наявності лінійної залежності випуску від витрат:

де - Норма витрат k-го виду для виробництва одиниці продукції (граничний фізичний продукт витрат).
Методи математичного моделювання ризикових ситуацій. Ризик і невизначеність у здійсненні економічної діяльності. Місце методів математичного моделювання в загальній схемі управління ризиком. Основні механізми управління ризиком - прямий вплив на фактори ризику та диверсифікація. Цілі моделювання механізмів управління ризиком. Методи моделювання невизначеності і ризику економічної діяльності.
Будь-яка сфера людської діяльності, особливо економіка чи бізнес, пов'язана з прийняттям рішень в умовах неповноти інформації. Джерела невизначеності можуть бути найрізноманітніші: нестабільність економічної та / або політичної ситуації, невизначеність дій партнерів по бізнесу, випадкові фактори, тобто велика кількість обставин, врахувати які не представляється можливим (наприклад, погодні умови, невизначеність попиту на товари, неабсолютно надійність процесів виробництва, неточність інформації тощо). Економічні рішення з урахуванням перерахованих і безлічі інших невизначених факторів приймаються в рамках так званої теорії прийняття рішень - аналітичного підходу до вибору найкращого дії (альтернативи) або послідовності дій. У залежності від ступеня визначеності можливих результатів або наслідків різних дій, з якими стикається людина, що приймає рішення (ОПР), в теорії прийняття рішень розглядаються три типи моделей:
• вибір рішень в умовах визначеності, якщо стосовно кожної дії відомо, що воно незмінно призводить до деякого конкретного результату;
• вибір рішення при ризику, якщо кожна дія приводить до одного з безлічі можливих приватних результатів, причому кожен результат має обчислюється або експертно оцінювану ймовірність появи. Передбачається, що ОПР ці ймовірності відомі або їх можна визначити шляхом експертних оцінок;
• вибір рішень при невизначеності, коли та чи інша дія або кілька дій мають своїм наслідком безліч приватних результатів, але їх ймовірності абсолютно не відомі або не мають сенсу.
Проблема ризику і прибутку - одна з ключових в економічній діяльності, зокрема в управлінні виробництвом і фінансами. Під ризиком прийнято розуміти ймовірність (загрозу) втрати особою чи організацією частини своїх ресурсів, недоотримання доходів або появи додаткових витрат у результаті здійснення певної виробничої і фінансової політики.
Розрізняють такі види ризиків:
  • виробничий, пов'язаний з можливістю невиконання фірмою своїх зобов'язань перед замовником;
  • кредитний, обумовлений можливістю невиконання фірмою своїх фінансових зобов'язань перед інвестором;
  • процентний, що виникає внаслідок непередбаченої зміни процентних ставок;
  • ризик ліквідності, обумовлений несподіваною зміною кредитних і депозитних потоків;
  • інвестиційний, викликаний можливим знеціненням інвестиційно-фінансового портфеля, що складається з власних і придбаних цінних паперів;
  • ринковий, пов'язаний з ймовірним коливанням як ринкових процентних ставок власної національної грошової одиниці, так і курсу іноземних валют.
Ризик поділяється на динамічний і статичний. Динамічний ризик пов'язаний з виникненням непередбачених змін вартості основного капіталу внаслідок прийняття управлінських рішень, а також ринкових чи політичних обставин. Такі зміни можуть призвести як до втрат, так і до додаткових доходів. Статичний ризик обумовлений можливістю втрат реальних активів внаслідок нанесення шкоди власності і втрат доходу через недієздатність організації.
Всі учасники проекту зацікавлені в тому, щоб не допустити можливість повного провалу проекту або хоча б уникнути збитку. В умовах нестабільної, швидко мінливої ​​ситуації необхідно враховувати всі можливі наслідки від дій конкурентів, а також зміни кон'юнктури ринку. Тому основне призначення аналізу ризику полягає в тому, щоб забезпечити партнерів інформацією, необхідної для прийняття рішень про доцільність участі в деякому проекті, і передбачити заходи щодо захисту від можливих фінансових втрат.
При аналізі ризику можуть використовуватися такі умови або припущення:
• втрати від ризику не залежать один від одного;
• втрати по одному з деякого переліку ризиків не обов'язково збільшують ймовірність втрат за іншими;
• максимально можливий збиток не повинен перевищувати фінансових можливостей учасників проекту.
Всі фактори, що впливають на зростання ступеня ризику в проекті, можна умовно розділити на об'єктивні та суб'єктивні. Об'єктивні чинники безпосередньо не залежать від самої фірми: це інфляція, конкуренція, політичні та економічні кризи, екологія, податки і т.д. Суб'єктивні чинники безпосередньо характеризують дану фірму: це виробничий потенціал, технічне оснащення, рівень продуктивності праці, що проводиться фінансова, технічна та виробнича політика, зокрема вибір типу контракту між інвестором і замовником. Останній фактор відіграє особливо важливу роль для фірми, оскільки від типу контракту залежить ступінь ризику та розмір винагороди після закінчення проекту.
Дослідження ризику доцільно проводити в наступній послідовності:
• виявлення об'єктивних і суб'єктивних факторів, що впливають на конкретний вид ризику;
• аналіз виявлених чинників;
• оцінка конкретного виду ризику з фінансових позицій, що визначає яку фінансову спроможність проекту, або його економічну доцільність;
• установка допустимого рівня ризику;
• аналіз окремих операцій за обраним рівнем ризику;
• розробка заходів щодо зниження ризику.
Фінансування проекту, будучи одним з найбільш важливих умов забезпечення ефективності його виконання, має бути націлена на забезпечення потоку інвестицій для планомірного виконання проекту, на зниження капітальних витрат і ризику проекту за рахунок оптимальної структури інвестицій і отримання податкових переваг. У плані фінансування проекту повинні враховуватися наступні види ризиків:
• нежиттєздатності проекту;
• податковий;
• несплати заборгованостей;
• незавершення будівництва.
Високий ступінь ризику проекту призводить до необхідності пошуку шляхів штучного зниження його (ризику) можливих наслідків на стан справ фірми.
В існуючій практиці застосовуються головним чином чотири основні способи управління ризиком: розподіл ризику між усіма учасниками проекту (передача частини ризику співвиконавцям), страхування, резервування коштів на покриття непередбачених витрат та диверсифікація.
Аналіз ризиків поділяється на два взаємно доповнюють один одного види: якісний, головне завдання якого полягає у визначенні факторів ризику та обставин, що призводять до ризикових ситуацій, і кількісний, що дозволяє обчислити розміри окремих ризиків і ризику проекту в цілому.
Заходи ризику
Найбільш поширена точка зору, згідно з якою мірою ризику комерційного (фінансового) рішення або операції слід вважати середньоквадратичне відхилення (позитивний квадратний корінь з дисперсії) значення показника ефективності цього рішення або операції. Дійсно, оскільки ризик обумовлений недетермінірованності результату рішення (операції), то, чим менше розкид (дисперсія) результату рішення, тим більше він передбачуваний, тобто менше ризик. Якщо варіація (дисперсія) результату дорівнює нулю, ризик повністю відсутній. Наприклад, в умовах стабільної економіки операції з державними цінними паперами вважаються безризиковими.
Найчастіше показником ефективності фінансового рішення (операції) є прибуток.
Розглянемо в якості ілюстрації вибір деяким особою одного з двох варіантів інвестицій в умовах ризику. Нехай є два проекти Л і В, в які зазначена особа може вкласти кошти. Проект А в певний момент у майбутньому забезпечує випадкову величину прибутку. Припустимо, що її середнє очікуване значення, математичне сподівання, одно т А з дисперсією S A. Для проекту В ці числові характеристики прибутку як випадкової величини передбачаються рівними відповідно т в і S B ~. Середньоквадратичні відхилення рівні відповідно S A і S B.
Можливі наступні випадки:
a) т А = т в, S A <S B, слід вибрати проект Л;
b) т А> т у, S A <sb, слід вибрати проект А;
c) т А> т у, S A = sb, слід вибрати проект Л;
d) т А> т у, S A> S B;
e) т Ав, S A <S B.
В останніх двох випадках рішення про вибір проекту А або В залежить від ставлення до ризику ОПР. Зокрема, у випадку d) проект А забезпечує більш високу середню прибуток, проте він і є більш ризикованим. Вибір при цьому визначається тим, якою додатковою величиною середнього прибутку компенсується для ЛПР заданий збільшення ризику. У випадку е) для проекту А ризик менший, але й очікуваний прибуток менше.

Магістральні моделі економіки. Магістральна модель накопичення основних виробничих фондів в кінці планового періоду. Модель фон Неймана розширюється економіки.

Класична (вихідна) модель Неймана будується при таких передумовах:
  1. економіка, яка характеризується лінійної технологією, складається з галузей, кожна з яких має кінцевим числом виробничих процесів, тобто випускається декілька видів товарів, причому допускається спільна діяльність галузей;
  2. виробничі процеси розгортаються в часі, причому здійснення витрат і випуск готової продукції розділені тимчасовим лагом;
  3. для виробництва в даний період можна витрачати тільки ті продукти, які були зроблені в попередньому періоді часу, первинні чинники не беруть участь;
  4. попит населення на товари і, відповідно, кінцеве споживання в явному вигляді не виділяються;
  5. ціни товарів змінюються в часі.
Перейдемо до опису моделі Неймана. На дискретному часовому інтервалі з точками розглядається виробництво, в якому n видів витрат з допомогою m технологічних процесів перетворюються в n видів продукції. Ми не будемо вказувати кількість галузей, так як надалі не знадобиться підкреслювати приналежність товарів або технологій до конкретних галузей. У моделі Леонтьєва технологічні коефіцієнти були віднесені до одиниці продукту. У моделі Неймана, приймаючи як виробничих одиниць не галузі, а технологічні процеси, зручно віднести ці коефіцієнти до інтенсивності виробничих процесів.
Інтенсивністю виробничого процесу j називається обсяг продуктів, що випускаються цим процесом за одиницю часу. Рівень інтенсивності j-го процесу в момент часу t позначимо через ( ). Зауважимо, що є вектором, число компонент якого відповідає числу випускаються j-им процесом видів товарів і .
Припустимо, що функціонування j-го процесу ( ) З одиничною інтенсивністю вимагає витрат продуктів у кількості

і дає випуск товарів у кількості

Введемо позначення . Пара характеризує технологічний потенціал, закладений в j-му процесі (його функціонування з одиничною інтенсивністю). Тому пару можна назвати базисом j-го виробничого процесу, маючи на увазі, що для будь-якої інтенсивності відповідну пару витрати-випуск можна виразити як . Тому послідовність пар

представляють собою витрати і випуски всіх виробничих процесів в умовах їх функціонування з одиничними інтенсивностями, будемо називати базисними процесами.
Всі m базисних процесів описуються двома матрицями

де A - матриця витрат, B - матриця випуску. Вектор називається вектором інтенсивностей. Відповідні цього вектору витрати і випуски по всіх m процесів можна отримати як лінійну комбінацію базисних процесів (6.4.1) з коефіцієнтами :

Кажуть, що у виробничому процесі базисні процеси (6.4.1) беруть участь з інтенсивностями . Як видно з (6.4.2), неймановскую технологія, описувана двома матрицями A і B одиничних рівнів витрат і випуску, є лінійною (див. передумову 1) на початку параграфа). Розглядаючи всі допустимі "суміші" базисних процесів, отримуємо розширене безліч виробничих процесів

яке і відображає допустимість спільної діяльності галузей. Можливість спільного виробництва декількох продуктів в одному процесі випливає з того, що в кожному процесі j може бути відмінною від нуля більш ніж одна з величин . Безліч (6.4.3) представляє собою неймановскую технологію в статиці (в момент t). Якщо в матриці A покласти n = m, матрицю B ототожнити з одиничною матрицею, а інтерпретувати як вектор валового випуску, то (6.4.2) перетворюється на Леонтійовському технологію.
Продовжимо опис моделі Неймана. Згідно передумов 2) і 3), витрати в момент t не можуть перевищувати випуску , Відповідного попереднього моменту t-1 (рис. 6.3).

Тому повинні виконуватися умови:

де - Вектор запасів товарів на початок планованого періоду.
Позначимо через , Вектор цін товарів. Нерівність (6.4.4) можна трактувати як неперевищення попиту над пропозицією в момент t. Тому у вартісному вираженні (у цінах моменту t) має бути:

За припущенням 5) прибуток базисного процесу на відрізку [t-1, T] дорівнює величині , Тобто витрати здійснюються за ціною початку періоду, а готова продукція - за ціною моменту її реалізації. Таким чином, витрати по всіх базисним процесів можна записати як , А виручку - як (Рис. 6.4).

Будемо говорити, що базисні процеси незбитковим, якщо , Неприбуткові - якщо

У моделі Неймана передбачається неприбутковість базисних процесів. Це пояснюється тим, що витрати і виручки розведені в часі, тобто відносяться до різних моментів часу, і в разі розширення економіки "характерний випадок падіння цін ( ) ", Тобто купівельна спроможність грошей в момент t буде вище, ніж у момент t-1. З таким обгрунтуванням можна погодитися або не погодитися. Головна ж причина неприбутковості базисних процесів закладена у визначенні економічної рівноваги. Пояснимо це трохи детальніше.
Основний предмет дослідження Дж. фон Неймана - це можливість існування рівноваги в аналізованої їм динамічної моделі економіки при заданих в кожен момент ціни. Як випливає з визначення 5.2, при рівновазі в умовах досконалої конкуренції має місце вартісної баланс (див. (5.3.8)). Таким чином, в умовах рівноваги не створюється ніякого прибутку, і нерівність http://www.csu.ac.ru/% 7Erusear/ME_Ruda/Chapter6/par6_4.html -% 286.4.6.% 29 (6.4.6) є відображенням цього факту. Тому, якщо в (6.4.6) для деякого базисного процесу j має місце суворе нерівність, тобто пропозиція перевищує попит:

то має бути . Інакше кажучи, відсутність "негативної прибутку" забезпечується нульовою інтенсивністю. Звідси отримуємо

Опис моделі Неймана завершено. Сукупність нерівностей і рівнянь (6.4.4) - (6.4.7):

де і - Матриці витрат і випуску відповідно, називається (динамічної) моделлю Неймана.
Визначення 6.2. Кажуть, що в економіці спостерігається збалансоване зростання виробництва, якщо існує таке постійне число , Що для всіх m виробничих процесів

Постійне число називається темпом збалансованого зростання виробництва.
Змістовно (6.4.9) означає, що всі рівні інтенсивності зростають однаковими темпами

Розкриваючи рекуррентно праву частину (6.4.9), отримуємо

де - Інтенсивність процесу j, що встановилася до початку планового періоду. Зауважимо, що t у правій частині (6.4.10) є показником ступеня, а в лівій - індексом.
У разі збалансованого зростання виробництва, з урахуванням сталості темпу зростання, послідовність називається стаціонарної траєкторією виробництва.
Визначення 6.3. Кажуть, що в економіці спостерігається збалансоване зниження цін, якщо існує таке постійне число , Що для всіх n товарів

Постійне число називається нормою відсотка.
Змістовно (6.4.11) означає, що ціни на всі товари знижуються однаковими темпами

Назва "норма відсотка" для темпу зниження прийнято за асоціацією з показником норми відсотка (норми прибутковості) у формулі складного відсотка , Де R0 - сума початкового вкладення, Rn - отримувана через n періодів кінцева сума, - Норма відсотка. Так як у визначенні 6.3 мова йде про зниження, то "норма відсотка" в (6.4.11) входить з негативним знаком ( ).
З рівності (6.4.10) отримуємо

де - Ціни, що встановилися на початок планового періоду.
У разі збалансованого зниження цін послідовність називається стаціонарної траєкторією цін.
Підставляючи (6.4.10) і (6.4.12) в модель Неймана (6.4.8), отримуємо її "стаціонарну" форму:

Ця система співвідношень показує, що за стаціонарним траєкторіях y і p економіка розвивається згідно незмінному динамічному законом. Тому таку ситуацію природно назвати рівноважною.
http://www.csu.ac.ru/% 7Erusear/ME_Ruda/Chapter6/def6.4. Визначення 6.4. Четвірка , Де y - стаціонарна траєкторія виробництва, p - стаціонарна траєкторія цін, а і - Відповідні їм темп збалансованого зростання виробництва і норма відсотка (темп збалансованого зниження цін), називається станом (динамічного) рівноваги в моделі Неймана (6.4.8).
Зробимо наступні припущення:
а)
в) для кожного j існує хоча б одне i, таке що ;
г) для кожного i існує хоча б одне j, таке що ;
д) для кожного t .
Теорема 6.4. Якщо виконані умови а)-д), то в моделі Неймана (6.4.8) існує стан рівноваги.
Умови в) і г) говорять про наявність в кожному стовпці матриці A і кожному рядку матриці B принаймні одного позитивного елементу. Змістовно це означає, що серед всіх виробничих процесів немає таких, які нічого не витрачають, і кожен з n видів продуктів дійсно проводиться. Умова д) має суто технічне призначення.
Визначення 6.5. Число

називається максимальним темпом збалансованого зростання, а число

називається мінімальною нормою відсотка.
Виявляється, що в стані рівноваги числа і існують і рівні між собою:

якщо тільки початкові точки y0 і p0 також задовольняють цій рівності.
Траєкторія виробництва , Що задовольняє умовам (6.4.13) при і і відповідна максимальному збалансованого зростання, тобто , Називається траєкторією рівноважного зростання (або траєкторією Неймана, або магістраллю). Оскільки цю траєкторію можна представити у вигляді , Де , То її ще називають променем Неймана а ціни (6.4.12), відповідні мінімальній нормі відсотка , Називають неймановскую цінами.
У математичній економіці магістраллю називається траєкторія економічного зростання, на якій пропорції виробничих показників (такі як темп зростання виробництва, темп зниження цін) незмінні, а самі показники (такі як інтенсивність виробництва, валовий випуск) ростуть з постійним максимально можливим темпом. Таким чином, магістраль - це траєкторія або промінь максимального збалансованого зростання. Її часто порівнюють зі швидкісною автострадою. Так, наприклад, для того, щоб дістатися з Кемерово в Кисельовську як можна швидше, найбільш доцільно спочатку проїхати по автостраді Кемерово-Новокузнецьк, а потім вже з'їхати на відгалужуються від неї дорогу в районі Кисілевська. Так ми втратимо на дорогу менше часу і доїдемо до кінцевого пункту з великим комфортом, ніж якщо б ми їхали по звичайному шосе через Ленінськ-Кузнецький і Белово.
Оскільки "оптимальну" або "ефективне" розвиток економіки в будь-якому сенсі так чи інакше пов'язано і повинно супроводжуватися економічним зростанням, то для досягнення будь-якої кінцевої мети слід чинити аналогічним чином: спочатку вивести виробництво на магістральний шлях, тобто на траєкторію (або промінь) Неймана, що характеризується максимальним темпом зростання і мінімальною нормою відсотка (Див. (6.4.14)), а після закінчення певного терміну часу вивести її до задуманої мети. Такими цілями можуть бути максимізація прибутку, мінімізація витрат, максимізація корисності від споживання товарів, досягнення конкурентної рівноваги при найбільш сприятливих умовах, тобто на більш високому рівні добробуту населення, і т.д.
Отже, з одного боку ми маємо магістральні моделі, а з іншого - оптимізаційні або ще ширше - нормативні моделі економіки. Вивчення цих двох моделей у взаємозв'язку, тобто вивчення зв'язку між магістральними та оптимальними (в тому чи іншому сенсі) траєкторіями і є предметом магістральної теорії. Можна говорити, що магістральна теорія є одним із засобів якісного аналізу оптимальних траєкторій. Основною метою цієї теорії є дослідження умов так званих "слабкою" і "сильною" теорем про магістралях. Слабка теорема стверджує, що за винятком деякого малого періоду (Чи деякого числа дискретних моментів з ), Не залежного від тривалості T планового періоду, всі оптимальні траєкторії зосереджуються у відносній близькості до магістральної траєкторії. Сильна теорема говорить про те, що ті невеликі проміжки часу , На яких оптимальні траєкторії віддалені від магістральної, якщо вони існують, то хіба лише на початку періоду , Тобто , Або в кінці періоду , Тобто , А в середині періоду оптимальні траєкторії розташовані у відносній близькості до магістральної.
У загальному випадку в моделях економічної динаміки навіть при незмінності технологічних можливостей затвердження теорем про магістралі не виконуються. Для їх виконання доводиться вводити різні додаткові припущення про властивості вихідної моделі економіки. Інший шлях полягає у вивченні реальних галузевих пропорцій і порівнянні їх з магістральними. Завдяки технічному прогресу і мінливості у часі суспільних уподобань різних благ, реальний стан економіки при детальному (дезагрегірованном) її описі завжди значно відрізняється від магістрального. У той же час, як показують отримані в цьому напрямку результати досліджень, при високому рівні агрегування економічні пропорції близькі до магістральних.

Модель загальної економічної рівноваги в довгостроковому періоді. Фактори валового національного продукту (ВНП) та його подання за допомогою виробничої функції макроекономічного аналізу. Розподіл ВНП по факторах виробництва. Функція споживання.

Цінність моделей мобу для аналізу макроекономічної рівноваги велика, так провідні фактори і показники економіки, зокрема: сфери та сектора; валовий випуск; валовий національний продукт; проміжний продукт; національний дохід; всі національні потоки; імпортно-експортні зв'язку.
За допомогою цієї моделі можуть бути отримані дані для аналізу основних макроекономічних пропорцій, зроблено їх прогноз.
Модель Леонтьєва називається «витрати-випуск» тому, що окремі галузі розглядаються в балансі двояко:
1. як виразники сукупного попиту і покупці матеріальних благ і послуг, запропонованих іншими галузями (витрати) - це стовпці балансу;
2. як виразники сукупної пропозиції і продавці матеріальних благ і послуг, які вони надають самі іншим галузям (випуск) - це рядки балансу.
Модель витрати - випуск пов'язана з системою національних рахунків (СНР), прийнятої в країнах з ринковою економікою.
Баланс Леонтьєва (в згорнутому вигляді).

По вертикалі відображаються рахунку наступів (купівель), а по горизонталі рахунку випуску (продажу). [Метка3]
З цієї моделі в ідеалі можна отримати такі види рівноваги:
1. Галузеве рівновагу
Напр., Для галузі (1):

Або: сума рахунків витрат галузі дорівнює сумі рахунків випуску її продукції.
2. Міжгалузеве рівновагу, наприклад для обробної та добувної промисловості.
Х 32 Р 3 = Х 23 Р 2
Або: підсумок пропозиції продукції галуззю (3) для галузі (2) дорівнює підсумку попиту галузі (3) на продукцію галузі (2). Зазвичай в реальному житті такий тип рівноваги відсутня.
3. Загальна рівновага

або: сукупна пропозиція і сукупний попит на товари рівні.
У ряді випадків може бути відсутньою та галузеве рівновагу. Проте в моделі Леонтьєва у разом все збалансовано тому, що МОБ відображає факт відбулися угод, реальні ринкові потоки. А це означає, що в моделі Леонтьєва відображена лише частина проблем макроекономічної рівноваги. Не враховуються фактори, що порушують цю рівновагу, наприклад, підприємства-банкрути; склади; дефіцитний стан економіки, економічні цикли.
За допомогою МОБ можна проаналізувати основні макроекономічні показники: ВНП, споживання, накопичення, ВОП, його структуру, ефективність використання ресурсів, розрахувати форму накопичення і т.д.

Наведена (функціональна) форма статичної моделі міжгалузевого балансу. Мультиплікатор Леонтьєва (матриця коефіцієнтів повних матеріальних витрат). Коефіцієнти прямих витрат праці. Баланс трудових ресурсів.

Для більш глибокого вивчення міжгалузевих зв'язків і вдосконалення прогнозування народного господарства, поряд з коефіцієнтами прямих витрат, велике наукове і практичне значення набуває числення так званих коефіцієнтів повних витрат, тобто витрат, пов'язаних з виробництвом того чи іншого продукту не тільки прямо, а й опосередковано через інші продукти.
Коефіцієнти повних витрат тісно пов'язані з алгебраїчним рішенням системи рівнянь міжгалузевого балансу. Вирішуючи ці рівняння щодо Y i, після того як замість а ij поставлені конкретні числа, а y 1, y 2, ..., y n залишені в алгебраїчній формі, одержимо для кожного Y i вираз наступного виду
Y i = b i1 y 1 + b i2 y 2 + ... + b ij y j + ... + b im y n,
де b ij - Коефіцієнти повних витрат.
Якщо тепер покласти y j = 1, а всі інші значення y рівними нулю, тобто y 1 = y 2 = ... = y j-1 = y j +1 = ... = y n = 0, то отримаємо Y i = b ij .
Таким чином, b 1j, b 2j, ... є повними витратами 1-го,
2-го, ... продуктів на одиницю j-го продукту.
Отримання коефіцієнтів повних витрат b ij математично відповідає отримання матриці, зворотного матриці EA, тобто матриці (EA) .
Дискретна динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням введення потужностей. Постановка оптимізаційної моделі.

Структурна форма моделі загальної економічної рівноваги в довгостроковому періоді. Рівновага і ставка відсотка.

Види цільових функцій в економічному аналізі.

Функція, що зв'язує мета (оптимизируемой змінну) з керованими змінними в задачі оптимізації.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Економіко-математичне моделювання | Реферат
366.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Математичні методи дослідження економіки
Економіко математичні методи
Математичні методи в економіці
Математичні методи в психології
Математичні методи в психології 2
Економіко математичні методи 3
Економіко математичні методи 2
Математичні методи в економіці 3
Економіко математичні методи аналізу
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru