Математичний аналіз

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ХПІ»

Кафедра «Обчислювальної техніки та програмування»

Розрахунково-графічне завдання

з курсу «Теорія алгоритмів та обчислювальні методи»

Харків - 2005

Вихідні дані:

Варіант №

y 0

y 1

y 2

y 3

y 4

y 5

h

x 0

64

-0.02

0.604

0.292

-0.512

-1.284

-2.04

0.5

0.3

Задача 1

Вихідні дані вводяться в ЕОМ як абсолютно точні числа і представляються в ній у вигляді чисел з плаваючою точкою з відносною похибкою в одну мільйонну. Введені дані x 0 і y 0 служать основою формування двох векторів x = (x 0, x 1, ..., x n) і y = (y 0, y 1, ..., y n) по рекурентним формулами:

Обчислити скалярний твір з: = (x, y) за алгоритмом:

з: = 0; i: = 0;

while i <n + 1 do c: = c + x i · y i;

і оцінити аналітично і чисельно інструментальну абсолютну і відносну похибки.

Рішення

Оскільки дані представляються в ЕОМ у вигляді чисел з плаваючою точкою з відносною похибкою, то

x 0 = x 0 (1 + δ)

y 0 = y 0 (1 + δ)

C 0 = x 0 y 0 (1 + δ)


При i = 1

При i = 2

x 2 = x 0 3 (1 + δ) 5

y 2 = y 0 (1 + δ) 3

C 2 = x 0 y 0 (1 + δ) 5 + x 0 2 (1 + δ) 7 + x 0 3 y 0 (1 + δ) 10

При i = 3

x 3 = x 0 4 (1 + δ) 7

y 3 = (1 + δ) 5

C 3 = x 0 y 0 (1 + δ) 6 + x 0 2 (1 + δ) 8 + x 0 3 y 0 (1 + δ) 11 + x 0 4 (1 + δ) 14

При i = 4

x 4 = x 0 5 (1 + δ) 9

y 4 = y 0 (1 + δ) 7

C 4 = x 0 y 0 (1 + δ) 7 + x 0 2 (1 + δ) 9 + x 0 3 y 0 (1 + δ) 12 + x 0 4 (1 + δ) 15 + x 0 5 y 0 (1 + δ) 18


Виявимо закономірність зміни C i:

При розрахунку C n без урахування похибки вихідних даних і похибки обчислення, отримаємо

Позначимо цю суму як S 1.

Тоді абсолютна похибка S 2


а відносна похибка


Оцінимо інструментально відносну і абсолютні похибки при n = 10

S 1 = 0.0923071

S 2 = 1.45914 · 10 -6

S 3 = 1.58075 · 10 -5

Задача 2

Для функції g (x), заданої своїми значеннями в шести точках, скласти таблицю всіх повторних різниць. Перетворити функцію g (x) за допомогою лінійного перетворення x = a + b * k у функцію G (k) з цілочисельним аргументом k. Як перевірки правильності заповнення таблиці обчислити аналітично кінцеву різниця Δ n g (x) = Δ n G (k) для n = 5.

Рішення

Складемо таблицю всіх повторних різниць:

k

x

y

Δ y

Δ 2 y

Δ 3 y

Δ 4 y

Δ 5 y

0

0.3

0.02

-1. 576

0. 044

- 0. 136

0. 66

-0.54

1

1. 1

-1. 556

- 1. 532

-0. 0 92

0.524

0. 12

-

2

1. 9

-3. 088

- 1. 62 4

0. 4 32

0. 644

-

-

3

2. 7

-4. 7 грудень

- 1. 19 лютого

1 .0 7 6

-

-

-

4

3. 5

-5. 904

-0. 11 червня

-

-

-

-

5

4. 3

- 6 .0 2

-

-

-

-

-


Н айдем формулу переходу від x до k:

У иполнім перевірку, обчисливши аналітично кінцеву різниця

Δ n g (x) = Δ n G (k) для n = 5:

Кінцеві різниці, обчислені аналітично і таблично Δ n g (x) = Δ n G (k) для n = 5 збіглися, отже, таблиця повторних різниць складена вірно.

З Адачі 3

Т аблічно задану функцію G (k) з цілочисельним аргументом представити у вигляді розкладання по факторіальних многочленів (z (n) = z · (z -1) · (z -2) · ... · (z - n + 1)) і перетворити його в статечні многочлени G (z) і G (x).

Рішення

Уявімо функцію G (k) у вигляді розкладання по факторіальних и м многочленів:


П реобразуем функцію G (k) в степеневий многочлен G (z):

У иполнім перевірку при k = 1:


0.604 = 0.604

Так як результати збіглися, значить статечної многочлен G (z) представлений правильно.

Перетворимо функцію G (k) в степеневий многочлен G (x). Знаючи, що отримаємо:



П ровері обчислення при x = 0.8:


0.6045128 ≈ 0.604

Так як результати збіглися, то обчислення зроблені вірно.

Задача 4

Вивести аналітичний вираз суми для функції цілочисельного аргументу G (z). Перевірити правильність обчислення отриманого виразу прямим підсумовуванням табличних значень G (k), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).

Рішення.

Для обчислення значення суми використовуємо функцію G (z) у вигляді розкладання по факторіальних многочленів, отриманим в задачі 3:


де

Д ля перевірки, підсумуємо значення G (k) з таблиці:

-0.02 + 0.604 + 0.292 - 0.512 - 1.284 - 2.04 = - 2.96

- 2.96 = - 2.96

Так як результати обчислення аналітичного вираження і суми табличних значень G (k) збіглися, значить аналітичний вираз для суми виведено правильно.

Задача 5

З залишити таблицю упорядкованих розділених різниць для g (x). Перевірити правильність таблиці для розділеної різниці [x 0; x 1; x 2; x 3] за формулою її аналітичного уявлення.

Рішення

Складемо таблицю упорядкованих розділених різниць для g (x):

x i

g (x i)

[X i; x i +1]

[X i; x i +1; x i +2]

[X i; x i +1; x i +2; x i +3]

[X i; x i +1; x i +2; x i +3; x i +4]

[X i; x i +1; x i +2; x i +3; x i +4; x i +5]

0.3

-0.02

1.248

-1.872

0.592

0.0533333

-0.1567999

0.8

0.604

-0.624

-0.984

0.6986666

-0.3386666

-

1.3

0.292

-1.608

0.064

-0.0213333

-

-

1.8

-0.512

-1.544

0.032

-

-

-

2.3

-1.284

-1.512

-

-

-

-

2.8

-2.04

-

-

-

-

-

Д ля перевірки правильності заповнення таблиці розділених різниць, обчислимо розділену різниця п'ятого порядку за формулою її аналітичного подання:

Так як результати обчислень співпали, значить, таблиця розділених різниць складена правильно.

Задача 6

Отримати інтерполяційні многочлени Лагранжа і Ньютона, що проходять через перші чотири точки таблично заданої функції G (x), і порівняти їх статечні подання.

Рішення

Для знаходження інтерполяційного многочлена Лагранжа використовуємо формулу

де n = 3.

П роведем перевірку обчислень, підставивши x = 0.8 в інтерполяційний многочлен Лагранжа, отримаємо y 1 = 0.604

І нтерполяціонний многочлен Ньютона знаходиться за формулою:

l n (x) = g 0 + (xx 0) [x 0; x 1] + (xx 0) (xx 1) [x 0; x 1; x 2] + ... +

+ (Xx 0) (xx 1) ∙ ... ∙ (xx n-1) [x 0; x 1; x 2; ...; x n]

П одставів в формулу g i і x i отримаємо:

Інтерполяційні многочлени Ньютона і Лагранжа збігаються.

П роведем перевірку обчислень, підставивши x = 0.8 в інтерполяційний многочлен Ньютона, отримаємо y 1 = 0.604


Завдання 7.

У ивесті вирази для обчислення другої похідної в точці x = x 3 у вигляді опцій:


де Δ n g (0) і g (x n) для n = 0,1, ..., 5 відповідно значення різниць в точці x = x 0 і ординати g (x n) = g n з завдання N2. Значення похідної обчислені за виведеним формулам, порівняти з обчисленим значенням похідної, знайденої шляхом диференціювання інтерполяційного многочлена G (x):

Рішення

Д ля обчислення похідної скористаємося оператором диференціювання:


У ираженіе для обчислення похідної в точці x 0 має вигляд:

Д ля того, щоб перетворити його до вираження для обчислення похідної в точці x 3, застосуємо оператор зсуву:


Д ля того, щоб перейти від функції до функції скористаємося формулою:

П олучім вирази для Δ 2 y 0:

Δ 5 y 0 =-y 0 + 5y 1 - 10y 2 + 10y 3 - 5y 4 + y 5

Δ 4 y 0 = y 0 - 4y 1 + 6y 2 - 4y 3 + y 4

Δ 3 y 0 =-y 0 + 3y 1 - 3y 2 + y 3

Δ 2 y 0 = y 0 - 2y 1 + y 2


Підставимо ці значення у функцію:

З одно це значення з обчисленим значенням похідної шляхом диференціювання інтерполяційного многочлена G (x):

при x 3 = 1.8


З начення похідної рівні, отже, обчислення зроблені вірно.

Задача 8

Методом найменших квадратів для таблично заданої g (x) отримати апроксимуючі статечні поліноми нульової, першої, другої та третьої ступенів (P i (x), i = 0, 1, 2, 3) і зобразити їх на одному графіку.

Рішення.

Складемо таблицю ступенів x і xy

i

x

y

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

xy

x 2 y

x 3 y

1

0.3

-0.02

0.09

0.027

0.0081

0.00243

0.000728999

-0.006

-0.0018

-0.00054

1

0.8

0.604

0.64

0.512

0.4096

0.32768

0.262144

0.4832

0.38656

0.309247

1

1.3

0.292

1.69

2.197

2.8561

3.71293

4.8268

0.3796

0.493479

0.641523

1

1.8

-0.512

3.24

5.832

10.4976

18.8956

34.0122

-0.9216

-1.65888

-2.98598

1

2.3

-1.284

5.29

12.167

27.9840

64.3634

148.035

-2.9532

-6.79236

-15.6224

1

2.8

-2.04

7.84

21.952

61.4656

172.103

481.89

-5.712

-15.9936

-44.782

6

9.3

-2.96

18.79

42.687

103.22

259.405

669.026

-8.73

-23.5666

-62.4401


З залишимо системи рівнянь:

Про ткуда a 0 = -0.93621; a 1 = 3.89576; a 2 = -2.8954; a 3 = 0.488001

А ппроксімірующій статечної поліном 3-го ступеня має вигляд:

P 3 (x) = -0.93621 + 3.89576x - 2.8954x 2 + 0.488001x 3

Про ткуда a 0 = -0.0710314; a 1 = 0.989486; a 2 = -0.624589;

А ппроксімірующій статечної поліном 2-го ступеня має вигляд:


P 2 (x) = -0.0710314 + 0.989486x - 0.624589x 2

Про ткуда a 0 = 0.974118; a 1 = -0.946742;

А ппроксімірующій статечної поліном 1-го ступеня має вигляд:

P 1 (x) = 0.974118 - 0.946742x

6a 0 = -2.96

Про ткуда a 0 = -0.493333;

А ппроксімірующій статечної поліном 0-го ступеня має вигляд:

P 0 (x) = -0.0493333


Зобразимо отримані поліноми на графіку:

Задача 9

Для апроксимує полінома третього ступеня P 3 (x) отримати аналітичні вирази Δ n P 3 (x), n = 0, 1, 2, 3, 4 і всі кінцево-різницеві різницеві криві зобразити на одному графіку.


Рішення

Про бозначім на графіці все кінцево-різницеві криві:




Задача 10

Вивести квадратурні формули для обчислення визначених інтегралів з ​​межами [0, 1] і [-1, 1] від подинтегральних функцій f (t), що належать класу статечних многочленів ступенів 0, 1, 2, 3. Висновок виконати для трьох випадків використання в квадратурних формулах чисельних значень подинтегральних функцій:

в) задані значення функції в точках, які забезпечують отримання формул найвищої алгебраїчної ступеня точності.

Рішення

Значення певного інтеграла знайдемо, виходячи з формули:


де w 1, w 2 - деякі коефіцієнти

t 1, t 2 - точки, плаваючі всередині інтервалу інтегрування.

Складемо систему рівнянь

w (t) = (tt 1) (tt 2) = C 0 + C 1 t + C 2 t 2 = 0

C 2 = 1


Домножити рівняння на відповідні коефіцієнти отримаємо:

2C 0 + 2 / 3 = w 1 (C 0 + C 1 t 1 + t 1 2) + w 2 (C 0 + C 1 t 1 + t 2 2)

2 C 0 + 2 / 3 = 0

C 0 = -1 / 3

Підставляючи отримані значення в першу систему, одержимо:

Квадратурна формула:

Задача 11

За допомогою квадратурних формул, отриманих в задачі 10, обчислити визначений інтеграл від статечного подання інтерполяційного многочлена Лагранжа (Ньютона), отриманого в задачі № 6 в межах від 0 до x x 0 +3 h, і порівняти його з обчисленим значенням аналітично певного інтеграла за первісних многочлена.

Рішення

Використовуємо статечне уявлення інтерполяційного многочлена Лагранжа з завдання 6

Для переходу до інтегралу з канонічною формою використовуємо лінійне перетворення: x = α + βt.

Складемо систему рівнянь:

Підставивши x = 1.05 + 0.75 t, отримаємо многочлен Лагранжа від змінної t:

L (t) = 0.24975 t 3 - 0.80325 t 2 - 0.49575 t + 0.537253


Враховуючи, що dx = βdt, отримаємо:

Застосуємо квадратурну формулу, отриману в задачі № 10

Для порівняння обчислимо аналітично значення інтеграла:

Так як результати збіглися, значить, обчислення зроблені вірно.

Задача 12

Оцінити похибку певного інтеграла від функції sin (x) в межах [0,2 / 3 π] по квадратурної формулою найвищої алгебраїчної ступеня точності, отриманої в завданні № 10в, в порівнянні з аналітично точним. Виконати те ж саме над усіченим статечним рядом, що представляє sin (x), в який входить x зі ступенем не вище третьої.

Рішення

Перейдемо від меж [0,2 / 3 π] до межі [-1,1]: для цього скористаємося лінійним перетворенням x = α + βt. Скласти систему


Враховуючи, що dx = βdt, отримаємо:


Застосуємо квадратурну формулу:

Обчислимо аналітично:

Знайдемо похибка обчислення:

Проробимо ті ж операції над усіченим статечним рядом, що представляє sin (x):


Перейдемо від меж [0, 2 π / 3] до меж [-1, 1], для цього використовуємо лінійне перетворення x = α + βt. Складемо систему рівнянь:

Враховуючи, що dx = βdt, одержимо

Застосуємо квадратурної формули, одержимо

Знайдемо похибка обчислення

Задача 14

Статечними поліномами Чебишева T i щодо змінної x (| x | <1) є рішеннями лінійного різницевого рівняння другого порядку:

T i +2 - 2x T i +1 + T i = 0,

з початковими умовами T 0 = 1 і T 1 = x.

Знайти аналітичний вираз і обчислити значення полінома Чебишева i-го ступеня, якщо і i = 4. Перевірити обчислення безпосередньо за заданою рекуррентной формулою. Знайти положення нулів і екстремумів у многочленів Чебишева у загальному вигляді та для заданих вище x і i. Оцінити модуль максимально можливого значення полінома в точках екстремумів.

Рішення.

Виходячи з того, що

x i = | y i | треба знайти T 4 тобто для i = 4

З T i +2 - 2 xT i +1 + T i = 0 слід, що

T 2 = 2xT 1 - T 0

T 3 = 2xT 2 - T 1 = 2x (2xT 1 - T 0) - T 1

T 4 = 2xT 3 - T 2 = 2x (2x (2xT 1 - T 0) - T 1) - 2xT 1 + T 0 = 8x 3 T 1 - 4x 2 T 0 - 4xT 1 + T 0

Підставимо значення T 0 = 1 і T 1 = x

T 4 = 8x 4 - 4x 2 - 4x 2 + 1 = 8x 4 - 8x 2 + 1

Знайдемо значення x:


T 4 = 0.99980

Перевіримо за заданою рекуррентной формулою:

T 2 = 2.0 .00490 · 0.00490 - 1 = -0.9999

T 3 = 2.0 .00490 · (-0.9999) - 0.00490 = -0.01469

T 4 = 2.0 .00490 · (-0.01469) + 0.9999 = 0.99980

Нулі функції знаходяться, як рішення біквадратного рівняння:

8 x 4 - 8 x 2 + 1 = 0, де

x 1 = 0.9238795

x 2 = -0.9238795

x 3 = 0.3826834

x 4 = -0.3826834

Щоб знайти екстремуми знайдемо

Задача 16

Вирівнювання по всій довжині з плином часу температури T (x, t) на тонкому однорідному добре теплоізольованому стержні описується диференціальним рівнянням в приватних похідних з початковим розподілом температури (в градусах Цельсія) по довжині стрижня в 6 рівномірно розташованих з кроком h точках.

T (x 0, 0) = T 0, T (x 1, 0) = T 1, ..., T (x 5, 0) = T 5; (T i = 100 · y i ˚ C).

На кінцях стрижня в точках x -1 і x 6 утримується нульова температура.

Застосовуючи звичайно-різницеве ​​подання похідних по просторової змінної x, звести рівняння в приватних похідних до системи диференціальних рівнянь в звичайних похідних щодо температури T.

Рішення.

Отримуємо систему диф. рівнянь:

Враховуючи початкові умови, одержимо систему рівнянь:

Завдання 17.

Використовуючи метод Ньютона-Рафсона, знайти з відносною похибкою в одну мільйонну нуль многочлена Чебишева T i (x), отриманого в задачі 14. В якості початкового наближення до кореня взяти

Як x i беруться | y i | з таблиці вихідних даних.

Рішення.

З Задача 14 візьмемо поліном Чебишева T 4 = 8x 4 - 8x 2 + 1. В якості початкового наближення до кореня візьмемо x поч, обчислена за формулою

Т.к. 8x 4 - 8x 2 + 1 = 0, то можемо сказати, що f (x нач + α) = 0


Скористаємося DERIVE для знаходження кореня з необхідною точністю:

отримаємо такі значення: 0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.

На третій ітерації виходять значення кореня з потрібною точністю.

Задача 19

Швидкість зміни змінної x (t) у часі дорівнює функції від цієї змінної f (x). Знайти аналітичний вираз останньої від часу, починаючи з t = 0, якщо в початковий момент x (0) = 0. Як f (x) взяти статечної многочлен P 2 (x), отриманий в задачі 8. Протабулювати отримане рішення з кроком h = 0.1 в інтервалі [0, 0.5].

Рішення

P 2 (x) = -0.0710314 + 0.989486x - 0.624589x 2 = f (x)

Виходячи з початкових умов, тому що dx / dt = f (x), маємо

Т.к. x = F (t), то:

Протабуліруем x (t) на інтервалі [0; 0.5] c кроком h = 0.1:

t = 0 x = 0

t = 0.1 x = -0.0622648

t = 0.2 x = -0.137833

t = 0.3 x = -0.230872

t = 0.4 x = -0.347464

t = 0.5 x = -0.496850

Задач 20

Методом Ейлера в інтервалі [0, 0.5] з кроком h = 0.1 одержати рішення нелінійного диференціального рівняння:

dx / dt = a + bx + cx 2,

x (0) = 0

Коефіцієнти a, b, c взяти з P 2 (x), отриманого в задачі 8.

Рішення

y = P 2 (x)

P 2 (x) = -0.0710314 + 0.989486x - 0.624589x 2

Загальна формула для вирішення

x = x 0 + h · P 2 (x 0, t 0)

x 1 = 0 + 0.5 · (-0.0710314) = -0.0355156

x 2 = -0.0355156 + 0.5 · (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156) 1 -

-0.624589 · (-0.0355156 2) = -0.053854

x 3 = -0.053854 + 0.5 · (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854) 1 -

- 0.624589 (-0.053854) 2) = -0.0636315

x 4 = -0.0636315 + 0.5 · (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315) 1 -

-0.624589 (-0.0636315) 2) = -0.0689304

x 5 = -0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304) 1 -

-0. 0.624589 (-0.0689304) 2) =-- 0.071827

Завдання 23

Перевірити задану систему з трьох векторів на лінійну залежність. При виявленні лінійної залежності поміняти місцями перші компоненти векторів x1, x2 і виконати повторну перевірку. З вихідних даних вектори формуються так:

x 1 = (y 0, y 1, y 2); x 2 = (y 3, y 4, y 5); x 3 = (h, x 0, 0).

На базі лінійно незалежної системи векторів x 1, x 2, x 3 методом Грама-Шмідта побудувати ортонормированном систему трьох векторів:

y 1 = (y 11, y 21, y 31); y 2 = (y 12, y 22, y 32); y 3 = (y 13, y 23, y 33).

На основі отриманої системи векторів сформувати квадратну матрицю T = (y 1, y 2, y 3). Обчислити det (T) і отримати матриці - зворотний T -1 і транспоновану T '. Знайти твір T 1 · T, T · T '. Зробити висновки про властивості матриці T.

Рішення

Вихідні вектори x 1 = (-0.02,0.604,0.292); x 2 = (-0.512, -1.284, -2.04);

x 3 = (0.5,0.3,0).

Складемо матрицю і перевіримо її на лінійну залежність:

det (A · A T) = 0.23591> 0, значить система лінійно незалежна.

Знайдемо вектори v 1, v 2, v 3

v 1 = x 1

v 2 = x 2 + a 21 · v 1

v 3 = x 3 + a 32 · v 2 + a 31 · v 1

v 1 = (-0.02, 0.604, 0.292);

v 2 = (-0.572423, 0.54078, -1.15782);

v3 = (0.471405, 0.104651, -0.184183).

Матриця T:


det (T) = -1


Ортонормированном матриця T складається із власних векторів. Визначник матриці T дорівнює 1. Якщо транспонувати ортогональну матрицю то вона дорівнюватиме зворотною. T '= T -1. Це означає, що якщо помножити T · T '= E - отримаємо одиничну матрицю.

Завдання 24

Вважаючи числа -1, -2, -3 власними значеннями, а вектори у 1, у 2, у 3 з завдання 23 - власними векторами деякої матриці А, знайдіть проектори цієї матриці (Р 1, Р 2, Р 3), саму матрицю А та їй зворотний А -1. Отримати характеристичне рівняння матриці А і підтвердити правильність усіх проміжних обчислень.

Рішення

Знайдемо проектори матриці А:

Знайдемо обернену матрицю А -1:

Характеристичне рівняння матриці А має вигляд:

-X 3-6x 2-11x-6 = 0;

Коріння характеристичного рівняння - власні значення матриці

x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3

Завдання 25

Вирішити систему алгебраїчних рівнянь А · x = b, де А-матриця коефіцієнтів з завдання 24, x = (x1, x2, x3) - вектори рішення, b = (3, 2, 1) - вектор правих частин. Рішення отримати, використовуючи зворотний матрицю, отриману з завдання 24.

Рішення

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Завдання
81.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Математичний огляд
Дистрибутивний аналіз Методика безпосередніх складників Трансформаційний аналіз методи лінгвістичних
Формування портфеля цінних паперів і аналіз його прибутковості порівняльний аналіз
Аналіз основного і оборотного капіталу Аналіз фінансової стійкості підприємства
Прикладний системний аналіз мережевий аналіз та календарне планування проектів метод прогнозного
Аналіз динаміки трудомісткості продукції підприємства дуп ПМК194 і кореляційний аналіз впливу середнього
Аналіз собівартості прибутку та рентабельності продукції підприємства ВАТ Рогачевський МКК аналіз ринку
Аналіз фінансового стану промислового підприємства Аналіз бухгалтерського
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru