Канашський філія
Контрольна робота № 1
З математики
Варіант 3
Студента 1 курсу економічного факультету
Шифр: 04653033 Навчальна група: 53-06
Робота вислана в Чуваська держуніверситет
«____» ____________2006 Р.
Передано на кафедру «Економіки та управління»
Оценка___________ «___» _____________2006г.
Викладач: Бичков Володимир Порфирович
Повернено в деканат______________________
Математика
Варіант 3
Дано вершини А (х 1; у 1), В (х 2; у 2), С (х 3; у 3) трикутника. Потрібно знайти: 1) довжину сторони ВС; 2) площа трикутника; 3) рівняння сторони ВС; 4) рівняння висоти проведеної з вершини А; 5) довжину висоти проведеної з вершини А; 6) рівняння бісектриси внутрішнього кута ;
7) кут в радіанах з точністю до 0,01; 8) систему нерівностей визначають множину точок трикутника. Зробити креслення.
варіант 3: А (5; -1), В (1; -4), З (-4; 8).
Рішення:
1) Довжина сторони ВС:
;
2) Довжина сторони АВ:
;
Скалярний добуток векторів і
Кут :
cos = ; = Arcos 0,2462 = 75,75 ;
3) Рівняння боку ВС:
; ; ; ; ;
4) Рівняння висоти, проведеної з вершини А:
; ;
Умова перпендикулярності двох прямих:
; ;
; ; ; ;
5) Довжина висоти, проведеної з вершини А:
6)
Рівняння прямої АС:
Рівняння бісектриси внутрішнього кута :
7) Кут в радіанах з точністю до 0,01:
8) Рівняння боку ВС:
Рівняння боку АС:
Рівняння боку АВ:
Система нерівностей, що визначають безліч внутрішніх точок трикутника.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Завдання 13.
Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (4; 1) на відстані 4 одиниць від точки В (-4; 0).
Рішення:
Рівняння пучка прямих, що проходять через точку А:
За умовою задачі
Шукані прямі:
Завдання 23.
Скласти рівняння лінії, відстань кожної точки якої від точки F (8; 0) вдвічі більше, ніж від прямої Х-2 = 0. Зробити креслення.
Рішення:
За умовами задачі:
- Рівняння гіперболи з центром в точці і півосями
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Завдання 33.
Скласти рівняння параболи і її директорки, якщо відомо що парабола проходить через точки перетину прямої з колом і вісь є віссю симетрії параболи. Зробити креслення.
Рішення.
Розглянемо рівняння кола:
Знайдемо точки перетину кола і прямої.
Координати точок перетину кола і прямої тому що парабола симетрична відносно ОХ, то рівняння має вигляд враховуючи що знайдемо параметр p
Таким чином, рівняння параболи
Рівняння директриси параболи:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Завдання 43.
Дано рівняння параболи f (x; y) = 0. Зробити паралельний перенос осей координат так, щоб у новій системі координат XO 1 Y рівняння параболи взяло вигляд X 2 = aY або Y 2 = aX. Побудувати обидві системи координат і параболу.
Рішення:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Завдання 53
Дано вершини А 1 (Х 1; Y 1; Z 1),. А 2 (Х 2; Y 2; Z 2), А 3 (Х 3; Y 3; Z 3), А 4 (Х 4; Y 4; Z 4)
піраміди. Потрібно знайти: 1) довжину ребра А 1 А 2, 2) Кут між ребрами А 1 А 2 і А 1 А 4, 3) кут між ребром А 1 А 2 і гранню А 1 А 2 А 3, 4) площа грані А 1 А 2 А 3; 5) обсяг піраміди; 6) рівняння висоти, опущеної з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3, 7) рівняння площини, що проходить через висоту піраміди, опущеною з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3, і вершину А 1 піраміди.
A 1 (3, 5, 4), А 2 (5, 8, 3), А 3 (1, 9, 9), A 4 (6; 4; 8);
Рішення:
1)
Довжина ребра А 1 А 2;
2)
Довжина ребра А 1 А 4;
Скалярний добуток векторів А 1 А 2 та А 1 А 4:
Кут між ребрами А 1 А 2 та А 1 А 4:
3) Рівняння грані А 1 А 2 А 3:
Кут між ребром А 1 А 2 і гранню А 1 А 2 А 3:
4) Площа грані А 1 А 2 А 3:
кв. од.
5) Об'єм піраміди:
куб. од.
6) рівняння висоти, опущеної з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3:
7) Рівняння площини, що проходить через висоту піраміди, опущеною з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3, і вершину А 1 піраміди.
Завдання 63.
Визначити вид поверхні, заданої рівнянням f (x; y; z) = 0, і показати її розташування щодо системи координат.
Рішення:
Еліптичний параболоїд з вершиною О (z; o; o), спрямований уздовж осі ОХ, і має півосі на осі по осі
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Завдання 73.
Застосовуючи метод виключення невідомих, вирішити систему рівнянь.
Рішення:
Загальне рішення системи:
Завдання 83.
Дано вектори і . Показати, що вектори утворюють базис чотиривимірного простору, і знайти координати вектора в цьому базисі.
Рішення:
Складемо визначник з координат векторів і обчислимо його:
Так як , То вектори складають базис. Знайдемо координати вектора в цьому базисі:
Отже
Перевірка:
2 (-1) -10 * 6 -4 (-5) =- 42; -42 =- 42;
4 (-1) -9 * 6 + 10 * 3 +3 (-5) =- 43; -43 =- 43;
2 (-1) -7 * 6 - - (-5) =- 39; -39 =- 39;
-1 +5 * 6-2 * 3 = 23; 23 = 23.
або
Завдання 93.
Дана матриця А. Потрібно знайти: 1) матрицю, зворотну матриці А;
2) власні значення та власні вектори матриці А.
Рішення:
Зворотній матриця:
Коріння характеристичного рівняння:
- Власні значення матриці А.
При
Власний вектор:
Завдання 103.
Побудувати графік функції y = f (x) деформацією і зрушенням графіка функції y = sin x.
Рішення:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Завдання 113.
Знайти вказані межі (не користуючись правилом Лопіталя).
Рішення:
Підстановка:
Завдання 123.
Дана функція y = f (x) і три значення аргументу x 1, x 2, x 3. Встановити, чи є ця дана функція безперервної або розривної для кожного з даних значень Х. Побудувати (приблизно) графік функції в околицях кожної з даних точок.
Рішення:
Так як , То функція в точці Х 1 =- 1 безперервна.
Так як , То функція в точці х = 3 розривна.
Так як , То функція в точці х = 7 безперервна.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Контрольна робота № 1
З математики
Варіант 3
Студента 1 курсу економічного факультету
Шифр: 04653033 Навчальна група: 53-06
Робота вислана в Чуваська держуніверситет
«____» ____________2006 Р.
Передано на кафедру «Економіки та управління»
Оценка___________ «___» _____________2006г.
Викладач: Бичков Володимир Порфирович
Повернено в деканат______________________
Математика
Варіант 3
Дано вершини А (х 1; у 1), В (х 2; у 2), С (х 3; у 3) трикутника. Потрібно знайти: 1) довжину сторони ВС; 2) площа трикутника; 3) рівняння сторони ВС; 4) рівняння висоти проведеної з вершини А; 5) довжину висоти проведеної з вершини А; 6) рівняння бісектриси внутрішнього кута
7) кут
варіант 3: А (5; -1), В (1; -4), З (-4; 8).
Рішення:
1) Довжина сторони ВС:
2) Довжина сторони АВ:
Скалярний добуток векторів
Кут
3) Рівняння боку ВС:
4) Рівняння висоти, проведеної з вершини А:
Умова перпендикулярності двох прямих:
5) Довжина висоти, проведеної з вершини А:
6)
Рівняння прямої АС:
Рівняння бісектриси внутрішнього кута
7) Кут
8) Рівняння боку ВС:
Рівняння боку АС:
Рівняння боку АВ:
Система нерівностей, що визначають безліч внутрішніх точок трикутника.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
X |
Y |
A (5; -1) |
B (1; -4) |
C (-4; 8) |
Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (4; 1) на відстані 4 одиниць від точки В (-4; 0).
Рішення:
Рівняння пучка прямих, що проходять через точку А:
За умовою задачі
Шукані прямі:
Завдання 23.
Скласти рівняння лінії, відстань кожної точки якої від точки F (8; 0) вдвічі більше, ніж від прямої Х-2 = 0. Зробити креслення.
Рішення:
За умовами задачі:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
A (x; y) |
F (8; 0) |
X |
Y |
4 6 8 |
2 |
-2 -4 -6 |
Завдання 33.
Скласти рівняння параболи і її директорки, якщо відомо що парабола проходить через точки перетину прямої
Рішення.
Розглянемо рівняння кола:
Знайдемо точки перетину кола і прямої.
Координати точок перетину кола і прямої
Таким чином, рівняння параболи
Рівняння директриси параболи:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
1 3 5 7 9 |
8 5 |
2 4 6 8 10 |
Y |
X |
M |
Y = 2x |
X =- 4 |
-4 |
Завдання 43.
Дано рівняння параболи f (x; y) = 0. Зробити паралельний перенос осей координат так, щоб у новій системі координат XO 1 Y рівняння параболи взяло вигляд X 2 = aY або Y 2 = aX. Побудувати обидві системи координат і параболу.
Рішення:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
O 1 |
O |
y Y |
x X |
Завдання 53
Дано вершини А 1 (Х 1; Y 1; Z 1),. А 2 (Х 2; Y 2; Z 2), А 3 (Х 3; Y 3; Z 3), А 4 (Х 4; Y 4; Z 4)
піраміди. Потрібно знайти: 1) довжину ребра А 1 А 2, 2) Кут між ребрами А 1 А 2 і А 1 А 4, 3) кут між ребром А 1 А 2 і гранню А 1 А 2 А 3, 4) площа грані А 1 А 2 А 3; 5) обсяг піраміди; 6) рівняння висоти, опущеної з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3, 7) рівняння площини, що проходить через висоту піраміди, опущеною з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3, і вершину А 1 піраміди.
A 1 (3, 5, 4), А 2 (5, 8, 3), А 3 (1, 9, 9), A 4 (6; 4; 8);
Рішення:
1)
Довжина ребра А 1 А 2;
2)
Довжина ребра А 1 А 4;
Скалярний добуток векторів А 1 А 2 та А 1 А 4:
Кут між ребрами А 1 А 2 та А 1 А 4:
3) Рівняння грані А 1 А 2 А 3:
Кут між ребром А 1 А 2 і гранню А 1 А 2 А 3:
4) Площа грані А 1 А 2 А 3:
5) Об'єм піраміди:
6) рівняння висоти, опущеної з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3:
7) Рівняння площини, що проходить через висоту піраміди, опущеною з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3, і вершину А 1 піраміди.
Завдання 63.
Визначити вид поверхні, заданої рівнянням f (x; y; z) = 0, і показати її розташування щодо системи координат.
Рішення:
Еліптичний параболоїд з вершиною О (z; o; o), спрямований уздовж осі ОХ, і має півосі на осі
SHAPE \ * MERGEFORMAT
2 |
Y |
Z |
X |
0 |
1 |
Завдання 73.
Застосовуючи метод виключення невідомих, вирішити систему рівнянь.
Рішення:
2 | -9 | -4 | -3 | 3 | -83 | => => | 0 | -47 | -28 | -13 | 7 | -459 | ||
2 | -7 | -2 | -1 | -4 | -57 | 0 | -45 | -26 | -11 | 0 | -433 | |||
7 | -6 | 2 | -2 | 0 | -35 | 0 | -139 | -82 | -37 | -14 | -1351 | |||
1 | 19 | 12 | 5 | -2 | 188 | 1 | 19 | 12 | 5 | -2 | 188 | |||
0 | -47 / 7 | -4 | -13 / 7 | 1 | -459 / 7 | 0 | 68/77 | 30/77 | 0 | 1 | 980/77 | |||
0 | -45 | -26 | -11 | 0 | -433 | 0 | 45/11 | 26/11 | 1 | 0 | 433/11 | |||
0 | -233 | -138 | -63 | 0 | -2269 | 0 | 272/11 | 120/11 | 0 | 0 | 2320/11 | |||
1 | 39 / 7 | 4 | 3 / 7 | 0 | 398 / 7 | 1 | 94/77 | -190/77 | 0 | 0 | 481/77 | |||
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | -2900/77 | |||||||||
0 | -19/15 | 0 | 1 | 0 | -2583/11 | |||||||||
0 | 13,6 | 1 | 0 | 0 | 116 | |||||||||
1 | 1574/231 | 0 | 0 | 0 | 22521/77 |
Завдання 83.
Дано вектори
Рішення:
Складемо визначник з координат векторів
Так як
2 | -10 | 0 | -4 | -42 | => | 0 | -20 | 4 | -4 | -88 | => | 0 | 48 | -12 | 252 | ||||
4 | -9 | 10 | 3 | -43 | 0 | -29 | 18 | 3 | -135 | 0 | -80 | 30 | -350 | ||||||
2 | -7 | 0 | -1 | -39 | 0 | -17 | 4 | -1 | -85 | 0 | 17 | -4 | 85 | ||||||
1 | 5 | -2 | 0 | 23 | 1 | 5 | -2 | 0 | 23 | 1 | 5 | -2 | 23 |
0 | -4 | 1 | 0 | -21 | => | 0 | 0 | 1 | 0 | 3 | ||
0 | 40 | 0 | 0 | 240 | 0 | 1 | 0 | 0 | 6 | |||
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | -5 | |||
1 | -3 | 0 | 0 | -19 | 1 | 0 | 0 | 0 | -1 |
Перевірка:
2 (-1) -10 * 6 -4 (-5) =- 42; -42 =- 42;
4 (-1) -9 * 6 + 10 * 3 +3 (-5) =- 43; -43 =- 43;
2 (-1) -7 * 6 - - (-5) =- 39; -39 =- 39;
-1 +5 * 6-2 * 3 = 23; 23 = 23.
Завдання 93.
Дана матриця А. Потрібно знайти: 1) матрицю, зворотну матриці А;
2) власні значення та власні вектори матриці А.
Рішення:
-1 | -2 | 12 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | -12 | -1 | 0 | 0 | |||
0 | 4 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 4 | 3 | 0 | 1 | 0 | |||
0 | 5 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 | 5 | 6 | 0 | 0 | 1 | |||
1 | 0 | -13,5 | -1 | -0,5 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1 | -8 | 6 | |||
0 | 1 | 0,75 | 0 | 0,25 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 6 / 9 | -3 / 9 | |||
0 | 0 | 2,29 | 0 | -1,25 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | -5 / 9 | 4 / 9 |
Коріння характеристичного рівняння:
При
Власний вектор:
Завдання 103.
Побудувати графік функції y = f (x) деформацією і зрушенням графіка функції y = sin x.
Рішення:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
-2 П -3/2П-П-П / 2 П / 2 П 3/2П 2П |
Y =- 6/5sin (2/3x +1) -6 / 5 X -6 / 5 |
Y = sin (2/3x +1) 1 X -1 |
Y = sin (2/3x) 1 X -1 |
Y = sin x 1 X -1 |
Y1 |
Стиснення вздовж осі ОХ у 2 / 3 рази |
Зрушення вліво на 1 вздовж осі ОХ |
Розтягування в 6 / 5 рази і переворот вздовж OY |
Завдання 113.
Знайти вказані межі (не користуючись правилом Лопіталя).
Рішення:
Підстановка:
Завдання 123.
Дана функція y = f (x) і три значення аргументу x 1, x 2, x 3. Встановити, чи є ця дана функція безперервної або розривної для кожного з даних значень Х. Побудувати (приблизно) графік функції в околицях кожної з даних точок.
Рішення:
Так як
Так як
Так як
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Y = 3 |
Y |
X |
-1 0 7 |
Завдання 133.
Функція y = f (x) задана різними аналітичними виразами для різних областей зміни незалежної змінної. Знайти точки розриву функції, якщо вони існують. Побудувати графік.
Рішення:
Так як
Так як
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Y |
-1 П / 6 X |
Завдання 143.
Знайти похідні
г)
Рішення.
а)
б)
в)
г)
д)
Завдання 153.
Знайти
Рішення.
Завдання 163.
На лінії
Рішення.
Кутовий коефіцієнт прямої:
Кутовий коефіцієнт дотичної до лінії:
Так як дотична до лінії і пряма паралельні, то
тоді:
Таким чином виходять дві точки:
Завдання 173.
Яка повинна бути висота рівнобедреного трикутника, вписаного в коло діаметра d, щоб площа трикутника була найбільшою?
Рішення.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
B R O R A K C |
Завдання 183.
Дослідити методами диференціального числення та побудувати графік.
Рішення.
1. область визначення функції:
так як
2. Точки перетину з осями координат:
При
3. Область зростання (спадання) функції, точки екстремумів:
При
При
При
При
Точка
Точка
4. Область опуклості (угнутості) функції, точки перегинів.
При
При
При
При
Точки
5. Асимптот немає
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Y |
X |
0 |
1. область визначення функції:
2. точки перетину з осями координат:
При
3. області зростання (спадання) функції; точки екстремумів.
Точок екстремумів немає.
Так як
4. область опуклості (угнутості) функції; точки екстремумів.
При
При
Точка (0; 0) точка перегину.
5. асимптоти.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
0 |
X |
Y |
1 |
-1 |
Завдання 193.
Визначити кількість дійсних коренів рівняння
відокремити ці корені і, застосовуючи метод хорд і дотичних, знайти їх наближені значення з точністю до 0,001.
Рішення.
Досліджуємо графік функції.
Кількість коренів К = 1.
Таким чином, функція приймає значення на відрізку
метод дотичних:
складемо таблицю:
1 2 3 | -0,1 -0,398 -0,388 | -0,001 -0,063 -0,586 | 1,499 -0,053 -0,0001 | 5,03 5,475 5,452 | 0,298 -0,0097 -0,00002 | -0/3980 -0,3883 -0,3882 |
Завдання 203.
Знайти приватні похідні функції
Рішення.
Приватні похідні:
Завдання 213.
Дана функція
1) обчислити наближене значення функції у точці В, виходячи із значення в точці А, замінивши приріст функції при переході від точки А до точки В диференціалом; 2) обчислити точне значення функції в точці В і оцінити у відсотках відносну похибку, яка виникає при заміні збільшення функції диференціалом.
Рішення.
Обчислимо приватні похідні в точці А.
Наближене значення:
Обчислимо точки значення функції:
Відносна похибка обчислення:
Завдання 223.
Дано функція
1) grad z у точці А, 2) похідну за напрямом вектора в точці А.
Рішення.
1) вектором градієнтом функції двох змінних
Знайдемо приватні похідні в точці А:
2) похідна за напрямом вектора
Завдання 233.
Знайти найменше та найбільше значення функції
Рішення.
Приватні похідні:
На пряме АВ:
На пряме АС:
На пряме ПС:
Z найбільшу = 5; z найменше =- 117.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
О (0; 0) |
Y |
X |
Використана література:
1 Ткачук В.В. Математика абітурієнту:-М: МЦНМО, 2002 р.
2 Сканаві М.І. 2500 завдань з математики для вступників у вузи:
-М: Онікс 21 століття,
3 Мельников І.І. Як розв'язувати задачі з математики на вступних іспитах. 3-тє видання, перероблене: підручник / І.І Мельников, І.Сергеев.-М: УНЦДО, 2004 р.
Цей текст може містити помилки.
Математика | Контрольна робота
Схожі роботи:
Математика 2
Математика 3
Математика нескінченності
Фінансова математика 2
Фінансова математика
Дискретна математика
Вища математика
Аналітична математика
Вища математика 4