додати матеріал

приховати рекламу

Математика

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

Канашський філія
Контрольна робота № 1
З математики
Варіант 3
Студента 1 курсу економічного факультету
Шифр: 04653033 Навчальна група: 53-06
Робота вислана в Чуваська держуніверситет
«____» ____________2006 Р.
Передано на кафедру «Економіки та управління»
Оценка___________ «___» _____________2006г.
Викладач: Бичков Володимир Порфирович
Повернено в деканат______________________

Математика
Варіант 3
Дано вершини А (х 1; у 1), В (х 2; у 2), С (х 3; у 3) трикутника. Потрібно знайти: 1) довжину сторони ВС; 2) площа трикутника; 3) рівняння сторони ВС; 4) рівняння висоти проведеної з вершини А; 5) довжину висоти проведеної з вершини А; 6) рівняння бісектриси внутрішнього кута ;
7) кут в радіанах з точністю до 0,01; 8) систему нерівностей визначають множину точок трикутника. Зробити креслення.
варіант 3: А (5; -1), В (1; -4), З (-4; 8).
Рішення:
1) Довжина сторони ВС:
;
2) Довжина сторони АВ:
;
Скалярний добуток векторів і

Кут :
cos = ; = Arcos 0,2462 = 75,75 ;
3) Рівняння боку ВС:

; ; ; ; ;
4) Рівняння висоти, проведеної з вершини А:
; ;
Умова перпендикулярності двох прямих:
; ;
; ; ; ;
5) Довжина висоти, проведеної з вершини А:

6)  




Рівняння прямої АС:



Рівняння бісектриси внутрішнього кута :


7) Кут в радіанах з точністю до 0,01:

8) Рівняння боку ВС:

Рівняння боку АС:

Рівняння боку АВ:

Система нерівностей, що визначають безліч внутрішніх точок трикутника.

SHAPE \ * MERGEFORMAT
X
Y
A (5; -1)
B (1; -4)
C (-4; 8)

Завдання 13.
Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (4; 1) на відстані 4 одиниць від точки В (-4; 0).
Рішення:
Рівняння пучка прямих, що проходять через точку А:

За умовою задачі

Шукані прямі:

Завдання 23.
Скласти рівняння лінії, відстань кожної точки якої від точки F (8; 0) вдвічі більше, ніж від прямої Х-2 = 0. Зробити креслення.
Рішення:

За умовами задачі:

- Рівняння гіперболи з центром в точці і півосями

SHAPE \ * MERGEFORMAT
A (x; y)
F (8; 0)
X
Y
4 6 8
2
-2
-4
-6

Завдання 33.
Скласти рівняння параболи і її директорки, якщо відомо що парабола проходить через точки перетину прямої з колом і вісь є віссю симетрії параболи. Зробити креслення.
Рішення.
Розглянемо рівняння кола:

Знайдемо точки перетину кола і прямої.

Координати точок перетину кола і прямої тому що парабола симетрична відносно ОХ, то рівняння має вигляд враховуючи що знайдемо параметр p

Таким чином, рівняння параболи
Рівняння директриси параболи:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
1 3 5 7 9
8
5
2 4 6 8 10
Y
X
M
Y = 2x
X =- 4
-4
Підпис: X =- 4
Завдання 43.
Дано рівняння параболи f (x; y) = 0. Зробити паралельний перенос осей координат так, щоб у новій системі координат XO 1 Y рівняння параболи взяло вигляд X 2 = aY або Y 2 = aX. Побудувати обидві системи координат і параболу.

Рішення:

SHAPE \ * MERGEFORMAT
O 1
O
y Y
x
X

Завдання 53
Дано вершини А 11; Y 1; Z 1),. А 22; Y 2; Z 2), А 33; Y 3; Z 3), А 44; Y 4; Z 4)
піраміди. Потрібно знайти: 1) довжину ребра А 1 А 2, 2) Кут між ребрами А 1 А 2 і А 1 А 4, 3) кут між ребром А 1 А 2 і гранню А 1 А 2 А 3, 4) площа грані А 1 А 2 А 3; 5) ​​обсяг піраміди; 6) рівняння висоти, опущеної з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3, 7) рівняння площини, що проходить через висоту піраміди, опущеною з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3, і вершину А 1 піраміди.
A 1 (3, 5, 4), А 2 (5, 8, 3), А 3 (1, 9, 9), A 4 (6; 4; 8);
Рішення:
1)


Довжина ребра А 1 А 2;

2)


Довжина ребра А 1 А 4;

Скалярний добуток векторів А 1 А 2 та А 1 А 4:

Кут між ребрами А 1 А 2 та А 1 А 4:

3) Рівняння грані А 1 А 2 А 3:


Кут між ребром А 1 А 2 і гранню А 1 А 2 А 3:

4) Площа грані А 1 А 2 А 3:
кв. од.

5) Об'єм піраміди:
куб. од.
6) рівняння висоти, опущеної з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3:

7) Рівняння площини, що проходить через висоту піраміди, опущеною з вершини А 4 на межу А 1 А 2 А 3, і вершину А 1 піраміди.

Завдання 63.
Визначити вид поверхні, заданої рівнянням f (x; y; z) = 0, і показати її розташування щодо системи координат.

Рішення:

Еліптичний параболоїд з вершиною О (z; o; o), спрямований уздовж осі ОХ, і має півосі на осі по осі
SHAPE \ * MERGEFORMAT
2
Y
Z
X
0
1

Завдання 73.
Застосовуючи метод виключення невідомих, вирішити систему рівнянь.

Рішення:
2
-9
-4
-3
3
-83
=>
=>
0
-47
-28
-13
7
-459
2
-7
-2
-1
-4
-57
0
-45
-26
-11
0
-433
7
-6
2
-2
0
-35
0
-139
-82
-37
-14
-1351
1
19
12
5
-2
188
1
19
12
5
-2
188
0
-47 / 7
-4
-13 / 7
1
-459 / 7
0
68/77
30/77
0
1
980/77
0
-45
-26
-11
0
-433
0
45/11
26/11
1
0
433/11
0
-233
-138
-63
0
-2269
0
272/11
120/11
0
0
2320/11
1
39 / 7
4
3 / 7
0
398 / 7
1
94/77
-190/77
0
0
481/77
0
0
0
0
1
-2900/77
0
-19/15
0
1
0
-2583/11
0
13,6
1
0
0
116
1
1574/231
0
0
0
22521/77
Загальне рішення системи:

Завдання 83.
Дано вектори і . Показати, що вектори утворюють базис чотиривимірного простору, і знайти координати вектора в цьому базисі.

Рішення:
Складемо визначник з координат векторів і обчислимо його:

Так як , То вектори складають базис. Знайдемо координати вектора в цьому базисі:


2
-10
0
-4
-42
=>
0
-20
4
-4
-88
=>
0
48
-12
252
4
-9
10
3
-43
0
-29
18
3
-135
0
-80
30
-350
2
-7
0
-1
-39
0
-17
4
-1
-85
0
17
-4
85
1
5
-2
0
23
1
5
-2
0
23
1
5
-2
23
0
-4
1
0
-21
=>
0
0
1
0
3
0
40
0
0
240
0
1
0
0
6
0
1
0
1
1
0
0
0
1
-5
1
-3
0
0
-19
1
0
0
0
-1
Отже
Перевірка:
2 (-1) -10 * 6 -4 (-5) =- 42; -42 =- 42;
4 (-1) -9 * 6 + 10 * 3 +3 (-5) =- 43; -43 =- 43;
2 (-1) -7 * 6 - - (-5) =- 39; -39 =- 39;
-1 +5 * 6-2 * 3 = 23; 23 = 23.
або
Завдання 93.
Дана матриця А. Потрібно знайти: 1) матрицю, зворотну матриці А;
2) власні значення та власні вектори матриці А.


Рішення:
-1
-2
12
1
0
0
1
2
-12
-1
0
0
0
4
3
0
1
0
0
4
3
0
1
0
0
5
6
0
0
1
0
5
6
0
0
1
1
0
-13,5
-1
-0,5
0
1
0
0
-1
-8
6
0
1
0,75
0
0,25
0
0
1
0
0
6 / 9
-3 / 9
0
0
2,29
0
-1,25
1
0
0
1
0
-5 / 9
4 / 9
Зворотній матриця:

Коріння характеристичного рівняння:

- Власні значення матриці А.
При

Власний вектор:

Завдання 103.
Побудувати графік функції y = f (x) деформацією і зрушенням графіка функції y = sin x.

Рішення:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
-2 П -3/2П-П-П / 2 П / 2 П 3/2П 2П
Y =- 6/5sin (2/3x +1)
-6 / 5
X
-6 / 5
Y = sin (2/3x +1)
1
X
-1
Y = sin (2/3x)
1
X
-1
Y = sin x
1
X
-1
Y1
Стиснення вздовж осі ОХ у 2 / 3 рази
Зрушення вліво на 1 вздовж осі ОХ
Розтягування в 6 / 5 рази і
переворот вздовж OY

Завдання 113.
Знайти вказані межі (не користуючись правилом Лопіталя).


Рішення:




Підстановка:



Завдання 123.
Дана функція y = f (x) і три значення аргументу x 1, x 2, x 3. Встановити, чи є ця дана функція безперервної або розривної для кожного з даних значень Х. Побудувати (приблизно) графік функції в околицях кожної з даних точок.

Рішення:


Так як , То функція в точці Х 1 =- 1 безперервна.

Так як , То функція в точці х = 3 розривна.

Так як , То функція в точці х = 7 безперервна.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Y = 3
Y
X
-1 0 7

Завдання 133.
Функція y = f (x) задана різними аналітичними виразами для різних областей зміни незалежної змінної. Знайти точки розриву функції, якщо вони існують. Побудувати графік.

Рішення:


Так як , То функція в точці х =- 1 розривна.


Так як , То функція в точці безперервна.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Y
-1 П / 6 X

Завдання 143.
Знайти похідні
a) б) в)
г) д)
Рішення.
а)

б)

в)

г)

д)

Завдання 153.
Знайти для функції, заданої параметричним.

Рішення.






Завдання 163.
На лінії знайти точку, в якій дотична до цієї лінії паралельна прямій

Рішення.
Кутовий коефіцієнт прямої:
або

Кутовий коефіцієнт дотичної до лінії:

Так як дотична до лінії і пряма паралельні, то
тоді:

Таким чином виходять дві точки:

Завдання 173.
Яка повинна бути висота рівнобедреного трикутника, вписаного в коло діаметра d, щоб площа трикутника була найбільшою?
Рішення.





SHAPE \ * MERGEFORMAT
B
R
O
R
A K C

Завдання 183.
Дослідити методами диференціального числення та побудувати графік.

Рішення.

1. область визначення функції:

так як то функція непарна.
2. Точки перетину з осями координат:
При при

3. Область зростання (спадання) функції, точки екстремумів:

При функція зростає.
При функція спадає.
При функція спадає.
При функція зростає

Точка точка максимуму.
Точка точка мінімуму.
4. Область опуклості (угнутості) функції, точки перегинів.

При функція опукла;
При функція увігнута;
При функція опукла;
При функція увігнута.


Точки - Точки перегинів.
5. Асимптот немає
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Y
X






0


1. область визначення функції:
2. точки перетину з осями координат:
При
так як то функція непарна.
3. області зростання (спадання) функції; точки екстремумів.

Точок екстремумів немає.
Так як то функція зростає.
4. область опуклості (угнутості) функції; точки екстремумів.

При функція увігнута;
При функція опукла;
Точка (0; 0) точка перегину.
5. асимптоти.

асимптота.

SHAPE \ * MERGEFORMAT
0
X
Y
1
-1

Завдання 193.
Визначити кількість дійсних коренів рівняння ;
відокремити ці корені і, застосовуючи метод хорд і дотичних, знайти їх наближені значення з точністю до 0,001.

Рішення.
Досліджуємо графік функції.

Кількість коренів К = 1.


Таким чином, функція приймає значення на відрізку , В якості початкового наближення візьмемо
метод дотичних:
складемо таблицю:







1
2
3
-0,1
-0,398
-0,388
-0,001
-0,063
-0,586
1,499
-0,053
-0,0001
5,03
5,475
5,452
0,298
-0,0097
-0,00002
-0/3980
-0,3883
-0,3882
Шуканий корінь х =- 03882
Завдання 203.
Знайти приватні похідні функції

Рішення.
Приватні похідні:


Завдання 213.
Дана функція і дві точки . Потрібно:
1) обчислити наближене значення функції у точці В, виходячи із значення в точці А, замінивши приріст функції при переході від точки А до точки В диференціалом; 2) обчислити точне значення функції в точці В і оцінити у відсотках відносну похибку, яка виникає при заміні збільшення функції диференціалом.

Рішення.

Обчислимо приватні похідні в точці А.




Наближене значення:

Обчислимо точки значення функції:

Відносна похибка обчислення:


Завдання 223.
Дано функція точка і вектор а. Потрібно знайти:
1) grad z у точці А, 2) похідну за напрямом вектора в точці А.

Рішення.
1) вектором градієнтом функції двох змінних є вектор:

Знайдемо приватні похідні в точці А:



2) похідна за напрямом вектора обчислюється за формулою.


Завдання 233.
Знайти найменше та найбільше значення функції у замкненій області, обмеженої заданими лініями.

Рішення.
Приватні похідні:

На пряме АВ: \

На пряме АС:

На пряме ПС:


Z найбільшу = 5; z найменше =- 117.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
О (0; 0)
Y
X








Використана література:
1 Ткачук В.В. Математика абітурієнту:-М: МЦНМО, 2002 р.
2 Сканаві М.І. 2500 завдань з математики для вступників у вузи:
-М: Онікс 21 століття, 2005 р .
3 Мельников І.І. Як розв'язувати задачі з математики на вступних іспитах. 3-тє видання, перероблене: підручник / І.І Мельников, І.Сергеев.-М: УНЦДО, 2004 р.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота | 210.5кб. | скачати

Схожі роботи:
Математика 2
Математика 3
Математика нескінченності
Фінансова математика 2
Фінансова математика
Дискретна математика
Вища математика
Аналітична математика
Вища математика 4
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru