Криві на площині

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Реферат з аналітичної геометрії

Тема: Криві на площині

Студентки групи ОАП 10-1:

Петренко Лідії

Лінія - загальна частина двох суміжних областей поверхні. Рухома точка описує при своєму русі деяку лінію. В аналітичній геометрії на площині лінії виражаються рівняннями між координатами їх точок. У прямокутній системі координат лінії поділяються в залежності від виду рівнянь. Якщо рівняння лінії має вигляд: F (x; y) = 0, де F (x; y) - многочлен n-го ступеня відносно х, у то лінія називається алгебраїчної лінією ого n-го порядку. Лінія 1-го порядку - пряма. Конічні перетини відносяться до ліній 2-го порядку і т.д.

Спіралі

Спір а чи (франц., однина spirale, від лат. Spira, грец. Speira - виток), плоскі криві лінії, незліченна безліч разів обходять деяку точку, з кожним обходом наближаючись до неї або з кожним обходом віддаляючись від неї.

Якщо вибрати точку за полюс полярної системи координат, то полярне рівняння спіралі

r = f (j) таке, що f (j + 2p)> f (j) або f (j + 2p) <f (j) при всіх j. Зокрема, спіралі виходять, якщо f (j) - монотонно зростаюча або спадна позитивна функція.

Найбільш простий вид має рівняння Архімедова спіралі: r = а j, вивченої давньогрецьким математиком Архімедом (3 ст. До н. Е..) У зв'язку із завданнями трисекции кута і квадратури кола у творі "Про спіралях".

З інших спіралей практичне значення має спіраль Корню (або клотоїд), що застосовується при графічному вирішенні деяких завдань дифракції. Параметричне рівняння цієї С. має вигляд:

.

Спіраль Корню є ідеальною перехідної кривої для заокруглення залізничної колії, так як її радіус кривизни зростає пропорційно довжині дуги. Спіралями є також евольвенти замкнутих кривих, наприклад евольвенти кола.

Назви деяких спіралях дані за подібністю їх полярних рівнянь з рівняннями кривих у декартових координатах, наприклад:

  • параболічна спіраль - r) 2 = b j,

  • гіперболічна спіраль: r = а / j.

  • Жезл: r 2 = a / j

  • si-ci-cпіраль, параметричні рівняння якої мають вигляд:

,

[Si (t) і ci (t)-інтегральний синус і інтегральний косинус]. Кривизна si-ci-cпіралі змінюється з довжиною дуги за законом показовою функції. Такі спіралі застосовують як профілю для лекал.

Нагадує спіраль крива , Звана кохлеоідой. Вона нескінченна безліч разів проходить через полюс, причому кожен наступний завиток лежить у попередньому.

Спіралі зустрічаються також при розгляді особливих точок в теорії диференціальних рівнянь

Спіралями іноді називають також просторові криві, що роблять нескінченно багато обертів навколо деякої осі, наприклад гвинтова лінія.

Кардіоїда

Кардіоїда (грец. καρδία - серце, грец. Ε δος - вид) - плоска лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться по нерухомій кола з таким же радіусом. Отримала свою назву через схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.

Кардіоїда є окремим випадком равлики Паскаля, епіціклоіди і синусоїдальної спіралі.

Так само можна сказати, що Кардіоїда-це плоска крива, описувана точкою М кола, яка ззовні стосується нерухомої кола того ж радіуса і котиться по ній без ковзання. Належить до епіціклоідам (плоска крива, описувана точкою кола, яка ззовні стосується нерухомої окружності і котиться по ній без ковзання, до них відносяться кардіоїда, циклоїди, гіпоціклоіди). Є алгебраїчної кривої другого порядку.

Рівняння кардіоїда:

  • У прямокутній системі координат:

  • У прямокутній системі координат (параметрична запис):

x = 2 r cos t (1 + cos t)

y = 2 r sin t (1 + cos t)

  • В полярній системі координат:

  • Довжина дуги одного витка кардіоїда, заданої формулою:

дорівнює:

s = 8 a.

  • Площа фігури, обмеженої кардіоїда, заданої формулою:

дорівнює: .

Властивості кардіоїда:

1. Дотична в довільній точці кардіоїда проходить через точку кола виробляє кола, діаметрально протилежної точки дотику кіл, а нормаль - через точку їх дотику.

2. Кут, що складається дотичній до кардіоїда з радіус-вектором точки дотику, дорівнює половині кута, утвореного цим радіус-вектором з полярною віссю.

3. Дотичні до кардіоїда, проведені в кінцях хорди, що проходить через полюс, взаємно перпендикулярні.

Циклоїди

Циклоїда (від грец. Κυκλοειδής - колоподібний) - плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки виробляє окружності радіусу r, що котиться без ковзання по прямій.

Властивості:

  1. Циклоїда - періодична функція по осі абсцис, з періодом 2 π r. За межі періоду зручно прийняти особливі точки (точки повернення) виду t = 2 π k, де k - довільне ціле число.

  1. Для проведення дотичної до циклоїди в довільній її точці A досить з'єднати цю точку з верхньою точкою виробляє кола. Поєднавши A з нижньою точкою виробляє кола, ми отримаємо нормаль.

  2. Довжина арки циклоїди дорівнює 8 r. Це властивість відкрив Крістофер Рен (1658).

  3. Площа під кожною аркою циклоїди втричі більше, ніж площа породжує кола. Торрічеллі повідомив, що цей факт Галілей відкрив експериментально: порівняв вага пластинок з колом і з аркою циклоїди.

  4. Радіус кривизни у першої арки циклоїди дорівнює .

  5. «Перевернута» циклоїда є кривою якнайшвидшого спуску (брахістохроной). Більш того, вона має також властивість таутохронності: важке тіло, поміщене в будь-яку точку арки циклоїди, досягає горизонталі за один і той же час.

  6. Період коливань матеріальної точки, ковзної по перевернутої циклоїди, не залежить від амплітуди, цей факт був використаний Гюйгенсом для створення точних механічних годинників.

  7. Еволюти циклоїди є циклоїдою, конгруентний вихідної, а саме - паралельно зрушеної так, що вершини переходять в «вістря».

  8. Деталі машин, які здійснюють одночасно рівномірний обертальний і поступальний рух, описують циклоїдальні криві (циклоїда, епіціклоіда, гіпоціклоіда, трохоіда, астроіда) (пор. побудова Лемніската Бернуллі).

Рівняння

Приймемо горизонтальну вісь координат як прямої, по якій котиться виробляє коло радіуса r.

  • Циклоїда описується параметрично:

x = rt - r sin t,

y = r - r cos t.

  • Рівняння в декартовій прямокутній системі координат:

Циклоїда може бути отримана як рішення диференціального рівняння:

Астроіда

Астроіда - плоска крива, описувана точкою M окружності радіусу r, що котиться по внутрішній стороні кола радіуса R = 4 r. Інакше кажучи, астроіда - це гіпоціклоіда з модулем m = 4.

Так само можна сказати, що Астроіда-це плоска крива, описувана точкою кола, яка стосується зсередини нерухомої кола вчетверо більшого радіуса і котиться по ній без ковзання. Належить до гіпоціклоідам. Є алгебраїчної кривої шостого порядку.

Властивості

  1. Є чотири Каспію.

  2. Довжина дуги від точки з 0 до

Довжина всієї кривої 6 R.

Радіус кривизни:

Площа, обмежена кривою:

Астроіда є огинаючої сімейства відрізків постійної довжини, кінці яких розташовані на двох взаємно перпендикулярних прямих.

Астроіда є алгебраїчної кривої 6-го порядку.

Рівняння

  • Рівняння в декартовій прямокутній системі координат:

  • параметричне рівняння:

Лемніската Бернуллі

Лемніската Бернуллі - плоска крива, геометричне місце точок, твір відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) постійно і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Так само можна сказати, що Лемніската Бернуллі-це плоска крива, що має вигляд «вісімки»; безліч точок М, твір відстаней r 1 і r 2 який до двох даних точок F 1 і F 2 (фокусів) дорівнює квадрату междуфокусного відстані. Алгебраїчна крива 4-го порядку, розглянута Я. Бернуллі (1964 г).

Рівняння

Розглянемо найпростіший випадок: якщо відстань між фокусами 2 c, розташовані вони на осі OX, і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають Лемніската:

  • в прямокутній декартовій системі координат:

Фокуси Лемніската - F 1 (- c; 0) і F 2 (c; 0). Візьмемо довільну точку M (x; y). Твір відстаней від фокусів до точки M є

,

і за визначенням воно дорівнює c 2:

Зводимо в квадрат обидві частини рівності:

Розкриваємо дужки в лівій частині:

Розкриваємо дужки і згортаємо новий квадрат суми:

Виносимо загальний множник і переносимо:

Далі можна зробити заміну a 2 = 2 c 2, хоча це не обов'язково:

В даному випадку a - радіус кола, що описує Лемніската.

Провівши нескладні перетворення, можна отримати явне рівняння:

Зводимо в квадрат і розкриваємо дужки:

Наводимо до виду

Це квадратне рівняння відносно y 2. Вирішивши його, отримаємо

Взявши корінь і відкинувши варіант з негативним другим доданком, отримаємо:

де позитивний варіант визначає верхню половину Лемніската, негативний - нижню.

  • в полярній системі координат:

Використовуючи формули переходу до полярній системі координат отримаємо:

Виносимо загальні множники і використовуємо тригонометричне тотожність sin α 2 + cos 2 α = 1:

Використовуємо ще одне тотожність: cos 2 α - ​​sin α = 2 cos 2 α:

Ділимо на ρ 2, припускаючи, що :

\

Як і у випадку прямокутної системи можна замінити a 2 = 2 c 2:

Щільність точок кривої при рівномірному зміні параметра

  • Параметричне рівняння в прямокутної системі:

, Де

Це єдиний варіант раціональної параметризації кривої. Рівняння повністю описує криву, коли параметр пробігає всю речову пряму: від до . При цьому, коли параметр прагне до , Точка кривої прагне (0, 0) з другої координатної чверті, а коли параметр прагне до , То - з четвертої. Розподіл точок, які дає параметричне рівняння, при зміні його параметра з фіксованим кроком показано на малюнку.

Властивості

Лемніската Бернуллі є окремим випадком овалу Кассіні при a = c, синусоїдальної спіралі з індексом n = 2 і Лемніската Бута при c = 0, тому вона успадковує деякі властивості цих кривих.

Властивості від овалу Кассіні

  • Лемніската - крива четвертого порядку.

  • Вона симетрична щодо подвійної точки - середини відрізка між фокусами.

  • Крива має 2 максимуму і 2 мінімуму. Їх координати:

  • Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по один бік від серединного перпендикуляра відрізка між фокусами дорівнює відстані від максимуму (або від мінімуму) до подвійної точки.

Лемніската описує коло радіуса , Тому іноді в рівняннях виробляють цю заміну.

Властивості від синусоїдальної спіралі

  • Точка, де Лемніската перетинає саму себе, називається вузловою або подвійний точкою.

  • Дотичні в подвійній точці складають з відрізком F 1 F 2 кути .

Кут μ, що складається дотичній в довільній точці кривої з радіус-вектором точки дотику дорівнює .

Дотичні в точках перетину кривої і хорди, що проходить через подвійну точку, паралельні один одному.

Інверсія щодо кола з центром в подвійній точці, переводить Лемніската Бернуллі в равнобочной гіперболу.

Радіус кривизни Лемніската є

Є окремий випадок формули радіуса кривизни синусоїдальної спіралі:



при m = 2,

проте, легко вивести і за визначенням.

Рівняння Лемніската в полярній системі:

Формули переходу до полярній системі координат:

Висловлюємо :

Підставляємо в рівняння Лемніската і висловлюємо x і y:

- - Це параметричне рівняння щодо . Провівши деякі тригонометричні перетворення, можна отримати рівняння відносно , Вказане вище в розділі Рівняння.

Формула радіусу кривизни кривої, заданої параметрично:

Знаходимо похідні за :

Підставляємо у формулу радіуса:

Повертаємося до рівняння Лемніската:

Підставляємо цей вираз в отриману формулу радіуса і отримуємо:

  • Натуральне рівняння кривої має вигляд

  • Подер Лемніската є синусоїдальна спіраль

  • Лемніската сама є подер равносторонней гіперболи.

Власні властивості:

Гравітаційне властивість Лемніската

  • Крива є геометричним місцем точок, симетричних з центром равносторонней гіперболи щодо її дотичних.

  • Відрізок бісектриси кута між фокальними радіус-векторами точки Лемніската дорівнює відрізку від центру Лемніската до перетину її осі з цією бісектрисою.

Матеріальна точка, що рухається по кривій під дією однорідного гравітаційного поля, пробігає дугу за той же час, що й відповідну хорду. При цьому вісь Лемніската складає кут з вектором напруженості поля, а центр Лемніската збігається з вихідним положенням рухається точки.

Площа полярного сектора , При :

    • Зокрема, площа кожної петлі , Тобто площа, обмежена кривою, дорівнює площі квадрата зі стороною .

  • Перпендикуляр, опущений з фокусу Лемніската на радіус-вектор якої-небудь її точки, ділить площу відповідного сектора навпіл.

  • Довжина дуги Лемніската між точками і виражається еліптичним інтегралом роду:

де

    • Зокрема, довжина всієї Лемніската

Додаток

В геометрії, синусоїдальна спіраль - сімейство кривих, обумовлений рівнянням в полярній системі координат:

r n = a n cos (n θ),

де a - ненульова константа і n - раціональне число, не рівне нулю. З урахуванням можливості повороту кривої відносно початку координат рівняння також може бути записано у вигляді:

r n = a n sin (n θ)

Використання терміну «спіраль» в даному випадку не є точним, тому що отримуються криві за формою радше нагадують квітку. Багато відомих криві є окремими випадками синусоїдальної спіралі:

  • Пряма (n = -1)

  • Коло (n = 1)

  • Гіпербола (n = -2)

  • Парабола (n = -1 / 2)

  • Кардіоїда (n = 1 / 2)

  • Лемніската Бернуллі (n = 2)

Вперше була вивчена Маклореном.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
63.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Площині та їх проекції
Переслідування на площині
Криві другого порядку
Flash Криві Безьє
Маркетинг і криві рівноваги
Моделювання руху на площині
Аналітична геометрія на площині
Афіни перетворення на площині
Криві Енгеля і їх нова інтерпретація
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru