Конічні перетини

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Міністерство освіти РФ
Калузький державний педагогічний університет
Ім. К.Е. Ціолковського
Реферат
«Конічні перетини»
Калуга

Зміст:
1. Роботи Аполлонія
2. «Конічні перетини» Аполлонія.
2.1 Висновок рівняння кривої для перетину прямокутного конуса обертання
2.2 Висновок рівняння для параболи
2.3 Висновок рівняння для еліпса та гіперболи
2.4 Інваріантність конічних перерізів
2.5 Подальше дослідження конічних перетинів у працях Аполлонія
2.6 Подальший розвиток теорії конічних перерізів
3. Висновок
4. Список літератури

Роботи Аполлонія
Аполлоній народився в Пергам у Малій Азії. Розквіт його діяльності падає приблизно на 210г. до н.е. У цей час він жив в Олександрії, куди переїхав ще юнаків і де навчався під керівництвом математиків школи Евкліда. Аполлоній прославився як геометр і астроном. Помер він близько 170г. до н. е..
У математиці Аполлоній найбільше відомий своїми «Конічні перетини», в яких він дав повний виклад теорії, причому розвинув аналітичні та проектні методи. Аполлоній написав трактат «Про вставках», присвячений класифікації завдань які вирішуються за допомогою вставок. Такі завдання можуть виявитися розв'язними циркулем і лінійкою (плоскі задачі), за допомогою конічних перерізів (тілесні завдання) і за допомогою інших кривих (лінійні). Виявлення того, до якого класу належить та чи інша задача, могло означати початок їх алгебраїчної класифікації. Інтерес Аполлонія до алгебраїчних проблем проявився і в іншій його роботі - «Про невпорядкованих ірраціональність», в якій він продовжував класифікацію Евкліда.
Чисто геометричними роботами Аполлонія є: робота «Про спіральних лініях», в якій він розглядає спіралі на поверхні циліндра, «Про торканні», де розбирається знаменита завдання Аполлонія: «Дано три речі, кожна з яких може бути точкою, прямий або колом; потрібно намалювати коло, яка проходила б через кожну з даних точок і стосувалася б кожній з даних прямих або кіл ».
З творів «Про плоских геометричних місцях» можна зробити висновок, що Аполлоній розглянув перетворення площини на себе, які переводять прямі та кола в прямі та кола. Окремим випадком цих перетворень є перетворення подібності та інверсії деякої точки.
Деякі праці Аполлонія були втрачені і не дійшли до наших днів.
«Конічні перетини» Аполлонія
«Конічні перетини» складаються з восьми книг. Перші чотири, в яких, за словами автора, викладаються елементи теорії, дійшли до нас по-грецьки, наступні три - в арабському перекладі Сабіта ібн Коррі, остання - восьма книга - загублена. Є реконструкція її тексту, що належить англійської астроному Е. Галлею (XVIII ст.).
Криві другого порядку були вперше розглянуті у зв'язку із завданням подвоєння куба, Менехм представив їх як плоскі перерізу прямокутного, тупоугольние і гострокутного конусів обертання. Таке стереометрическое подання гарантувало існування і безперервність розглянутих кривих. Потім Менехм переходив до висновку основного планіметричних властивості перетину, який древні називали симптомом (рівняння кривої).
Висновок рівняння кривої для перетину прямокутного конуса обертання
Нехай OAB - перетин цього конуса площиною, що проходить через вісь OL, і нехай PLK - слід площині, перпендикулярної до твірної цього конуса (рис. 1). Тоді KM 2 = AK • KB, так як AMB - півколо. Але AK = PP '= √ 2LP 2, а KB = √ 2KP 2, тому KM 2 = 2LP • KP.

Рис. 1
Позначимо KM через y, KP - через p, тоді отримаємо
y 2 = 2px. (1)
Це рівняння, або симптом, кривої, яке записується за допомогою буквеної символіки, а стародавні записували в словесно - геометричній формі: квадрат на полухорде KM в кожній точці дорівнює прямокутнику PKSR, побудованому на відрізку PK осі до вершини (x) і на постійному відрізку PR (рис. 2).

Рис. 2
Аналогічно виводилося рівняння для перерізів гострокутного і тупоугольние конусів, тобто еліпса та гіперболи:
= і = , (2)
де 2a - велика вісь еліпса або дійсна вісь гіперболи,
а р-постійна.
У випадку, коли р = а, рівняння (2) приймають вигляд
y 2 = x (2a-x) і y 2 = x (2a + x) (3)
перше з яких є рівнянням кола радіуса а, а друге - рівнянням рівносторонній гіперболи. Еліпс та гіпербола (2) можуть бути отримані з кола та гіперболи (3) стисненням до осі абсцис у відношенні √ p / a.
Аполлоній перш за все дає більш загальне визначення. По - перше, він бере довільний круговий конус, по - друге, розглядає обидві його порожнини (що дає йому можливість вивчати обидві гілки гіперболи); нарешті, він проводить переріз площиною розташованої під будь-яким кутом до твірної.
На звичному мовою аналітичної геометрії, можна сказати, що до Аполлонія конічні перетини розглядалися по відношенню до прямокутній системі координат, причому одна з осей збігалася з головним діаметром, а друга проходила перпендикулярно до неї через вершину кривої; Аполлоній же відносив криві до будь-якого діаметру дотичній проведеної в одному з його кінців, тобто до деякої косокутної системі координат.
Після стереометричного визначення Аполлоній також дає висновок симптомів - рівнянь кривих. При цьому він класифікує отримані криві з вигляду визначального їх рівняння, тобто в основу кладеться точка зору, властива аналітичної геометрії.
Висновок рівняння для параболи
Нехай BAC - перетин кругового конус площиною, що проходить через вісь (рис. 3), і нехай проведена площину GHD так, що DE перпендикулярна BC, а GH паралельна AB (GH можна було вибрати паралельної AC). Знайдемо рівняння кривої DGE, отриманої в перетині.


Рис. 3
Нехай К - довільна точка цієї кривої. Проведемо KL паралельно DE і MN паралельно BC. Площина проходить через KL і MN, буде паралельна площині підстави і, як це раніше довів Аполлоній, буде перетинати конус по колу. Тому KL 2 = ML • LN.
Але , Тобто ,
, Тобто .
Значить,

Відрізок GL є змінне відстань проекції точки Д від вершини, члени постійні. Аполлоній вибирає такий відрізок GF, що

Тоді KL 2 = GF • LG. Це і є симптом - рівняння перетину.
Якщо позначити KL = y, LG = x, GF = 2p, то ми отримаємо рівняння у звичній формі: y 2 = 2px.
У Аполлонія рівняння записується також словесно - грецьки: якщо GH - один з діаметрів параболи, а KL - полухорда, пов'язана з цим діаметром, то Аполлоній відкладає GR = 2р перпендикулярно до GH. Тоді стверджується, що в кожній точці квадрат, побудований на LK (рис. 4), повинен дорівнювати прямокутнику GRSL, тобто GL • GR.
Назва «парабола» походить від назви Аполлонія παραβολή (додаток), так як задача про побудову точки цієї кривої зводиться до задачі про додатку (до Аполлонія параболу називали перетином прямокутного конуса обертання).

Рис. 4
Висновок рівняння для еліпса та гіперболи
Аналогічно Аполлоній одержує рівняння еліпса та гіперболи.
Так, для еліпса доводиться, що LK 2 = пл. GLL'G '(рис. 5), де GH = 2a - деякий діаметр еліпса, LK - полухорда, сполучена з ним, GR = 2p - постійна, причому GR перпендикулярна GH. Щоб перейти до більш звичній формі запису, зауважимо, що

Рис. 5
,
тобто
,
або
.
Таким чином, задача про побудову точок еліпса зводиться до задачі про програму з нестачею («еліптична завдання»), чим і пояснюється назва «еліпс» (έλλειψις - недолік). Ця назва було введено Аполлонія, до нього еліпс називали перетином гострокутного конуса обертання.
Аналогічно для гіперболи (рис. 6) виходить рівняння
LK 2 = пл. GLL'G ', тобто , Або .
Отже, задача про побудову точок гіперболи зводиться до задачі про програму з надлишком («гіперболічна завдання»), чим і пояснюється назва «гіпербола» (ύπερβολή - надлишок). Ця назва також було введено Аполлонія, до нього гіперболу називали перетином тупоугольние конуса обертання.
Побудований відрізок GR = 2p, відкладається перпендикулярно діаметру GH, Аполлоній назвав «прямий стороною».

Рис. 6
В даний час величину p іменують параметром канонічного перерізу (в разі еліпса та гіперболи з півосями a і bp = b 2 / a, і коефіцієнт стиснення √ p / a, перетворюючого окружність або рівностороннього гіперболу в даний еліпс або гіперболу, дорівнює b / a) .
Класифікація конічних перерізів у Аполлонія була по суті, алгебраїчної.
Інваріантність конічних перерізів
Аполлоній чудово розумів (і це зближувало його з геометрами Нового часу), що така класифікація законна лише в тому випадку, якщо вид рівняння не змінюється при віднесенні кривої до іншого її діаметру і зв'язаним з ним хорд.
У першій книзі він досліджує це питання. Для цього необхідно було визначити напрямок хорд, пов'язаних з будь-яким діаметром. При стереометрическое визначенні пов'язані напряму виходять автоматично. Однак для вирішення задачі, поставленої Аполлонія, потрібно визначення, незалежне від стереометрії. Аполлоній і робить це: він доводить, що пряма проведена через точку A канонічного перетину паралельно напрямку хорд, пов'язаних з діаметром, що проходить через A, є дотична. Після цього він будує дотичну до параболи, еліпсу, колу і гіперболі.
Нехай P - деяка точка на параболі і АА '- один з діаметрів (рис. 7). Аполлоній доводить, що дотична PR відсіче від продовження діаметра відрізок AR = AQ, якщо PL - хорда, сполучена з AA '. Для гіперболи, еліпса і круга він отримує співвідношення (рис. 8, для еліпса)

Рис. 7
RA: RA '= QA: QA'.
Аполлоній перетворює потім рівняння еліпса та гіперболи так, що початок координат виявляється в центрі кривої, а рівняння параболи так, що початок координат поєднується з вершиною цієї кривої.
Таким чином, тут осями координат служать два сполучених діаметру. Після цього він показує, що вид рівняння не змінюється, якщо в якості нових осей взяти будь-який з діаметрів кривої і дотичну, проведену в одному з його кінців.

Рис. 8

У першій книги Аполлоній розглядає безліч систем координат, залежне від одного параметра, так як ці системи координат визначаються однією точкою кривої - кінцем діаметру, і доводить інваріантність рівнянь еліпса, гіперболи і параболи відносно перетворень відповідних систем координат.
В кінці першої книги Аполлоній показує, що можна вибрати діаметр, який буде перпендикулярний до зв'язаних з ним хорд. Тоді розглянуту криву можна уявити як перетин будь-якого тупоугольние, або гострокутного, або прямокутного конусів обертання площиною, перпендикулярної до твірної. Цим встановлюється тотожність кривих, введених Аполлонія, з канонічними перерізами, які розглядалися до нього.
Основна ідея першої книги полягає в тому, щоб за основу класифікації кривих прийняти властивості їх алгебраїчних рівнянь, і саме ті які залишаються інваріантними при допустимих перетвореннях координат. Тільки в XIX ст. Ця думка зрозуміла до кінця, коли Клейн в «Ерлангенском програмі» встановив новий погляд на геометрію, як науку про інваріанта певних груп перетворень площини або простору.
Подальше дослідження конічних перетинів у працях Аполлонія
У наступних трьох книгах Аполлоній розвиває теорію конічних перетинів: з'ясовує основні властивості спряжених діаметрів асимптот, отримує рівняння гіперболи щодо асимптот (xy = const) і встановлює основні властивості фокусів еліпса та гіперболи. Тут же вперше з'являються полюси і поляри щодо конічних перетинів: якщо з точки можна провести дві дотичні до конічній перетину, то пряма з'єднує точки дотику, називається поляри даної точки, а точка полюсом цієї прямої. Якщо пересувати полюс по прямій, яка перетинає розтин, то поляра буде обертатися навколо полюса цієї прямої, якщо ж пересувати полюс по прямій, не перетинає розтин, то поляра теж буде обертатися навколо певної точки, причому в цьому випадку точку навколо якої обертається поляра, і пряму , по якій рухається полюс, також називають полюсом і поляри. У четвертій книзі Аполлоній розглядає питання про кількість точок перетину двох конічних перетинів.
У п'ятій книзі Аполлоній визначає всі нормалі до конічній перетину (перпендикуляри до дотичної, відновлені в точці дотику). У шостій книзі вивчаються подібні конічні перетину.
У сьомій книзі містяться знамениті теореми Аполлонія:
a) сума квадратів на сполучених діаметрах еліпса дорівнює сумі квадратів на головних осях;
b) різницю квадратів на двох сполучених діаметрах гіперболи дорівнює різниці квадратів на головних осях;
c) паралелограм, побудований на двох сполучених діаметрах еліпса або гіперболи, має постійну площу.
Подальший розвиток теорії конічних перерізів
В давнину методи дослідження кривих створені Аполлон, не отримали розвитку, хоча до початку V ст. н.е. його праці вивчалися і коментувалися. Що стосується самих конічних перерізів, то вони були застосовані ще Архімедом для вирішення і дослідження кубічного рівняння. Для тих же цілей застосовували конічні перетини пізніші античні геометри і вчені країн ісламу.
У математичному природознавстві довгий час не отримали ні якого застосування, якщо не вважати вивчення відображення світла від параболічних дзеркал. Тільки в XVII ст. настало відродження ідей Аполлонія: Ферма і Декарт перевели його метод на мову новою алгебри, заснувавши аналітичну геометрію, а Ньютон, застосував ці методи для опису і дослідження кривих третього порядку. Але ще раніше теорія конічних перерізів отримала саме широке застосування в механіці земних і небесних тіл: Кеплер встановив, що планети нашої сонячної системи рухаються по еліпсах, в одному з фокусів якої знаходиться Сонце; Галілей показав, що кинутий камінь летить в порожнечі по параболі. Нарешті, у 80-х роках XVII ст. Ньютон створив свої «Математичні начала натуральної філософії», безпосередньо спираючись на праці Аполлонія.

Висновок
Конічні перетини Аполлонія є прикладом математичної теорії, створеної задовго до того як вона виявилася необхідною. З цього приводу А. Ейнштейн писав: «До захоплення перед цією чудовою людиною (мова йде про Кеплере) ще одне почуття захоплення і благоговіння, але відноситься не до людини, а до загадкової гармонії природи, які відповідають простим законам. Поряд з прямою і колом серед них були еліпс та гіпербола. Останні ми бачимо реалізованими в орбітах небесних тіл, в усякому разі, з гарним наближенням ».

Список літератури:
1. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математики. Даан - Дальмедіко А., Пейффер Ж. Пер. з франц. - М.: Світ, 1986.
2. Історія математики з давніх часів до початку XIX століття. Юшкевич А.П. - М.: Наука, 1970.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
34.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Конічні перерізу 2
Поверхні обертання Циліндричні та конічні поверхні Канонічні рівняння поверхонь другого порядку
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru