Коливання кристалічної решітки

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

ЗМІСТ
Введення. 2
Глава 1. Коливання кристалічної решітки. 3
1.1.Одномерная ланцюжок з одним атомом в осередку. 4
1.2.Одномерная ланцюжок з двома атомами у примітивній комірці. 11
1.3. Тривимірний кристал. 13
Глава 2. Фонони. Фононні газ. 16
Глава 3. Акустична і оптична гілки коливань. 19
Рішення зі знаком мінус''''19
Рішення зі знаком''плюс''. 22
Глава 4. Енергія коливань і теплоємність кристалічної решітки. 26
4.1. Модель Ейнштейна. 27
4.2. Модель Дебая. 27
Висновки .. 34
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ .. 35

Введення

Однією з важливих і складних завдань теорії твердого тіла є розрахунок теплоємності і теплопровідності твердого тіла. Для твердих тіл в рамках класичної механіки були отримані значення теплоємності, які лише приблизно були рівні реальних значень теплоємності при нормальних температурах. При підвищених температурах і при температурах наступних до абсолютного нуля значення теплоємності виявилися залежні від температури, чого класична теорія пояснити не могла. Лише використання квантової теорії змогло пояснити цю залежність.
Для знаходження величин теплоємності і теплопровідності твердих кристалічних тіл у широкому температурному діапазоні вводять поняття фононів - квазічастинок, які розповсюджуються в твердому тілі.
До цієї роботи ми розглянемо явища коливань кристалічної решітки, які і є фононами і їх види в залежності від будови речовини. Також розглянемо процеси розсіювання за участю акустичних та оптичних фононів.

Глава 1. Коливання кристалічної решітки

Кристалічна структура - рівноважний стан системи атомів, що відповідає мінімуму потенційної енергії. У стані спокою сума сил, що діють на кожен атом кристала з боку інших атомів, дорівнює нулю.
Якщо вивести цю систему з положення рівноваги, в кристалі виникнуть складні коливання. Ці коливання, зокрема, завжди є при кінцевій температурі, коли кристалічна структура має певної (теплової) енергією, тобто не знаходиться в стані статичної рівноваги.
Розглянемо коливання грати в рамках класичної механіки.
При зсуві атома щодо інших атомів кристала виникає сила, яка прагне повернути його в рівноважний стан. Якщо зміщення невеликі, ми можемо розкласти залежність сили від зсувів в ряд і обмежиться лінійними по зсувам членами. Тоді коливання кристалічної решітки будуть лінійними, тобто будуть описуватися системою лінійних диференціальних рівнянь.
Така система рівнянь має важливу властивість: якщо є кілька рішень, то їх сума також є рішенням і сума двох можливих коливань - теж коливання.
Ця система може бути вирішена, якщо відома залежність сили, що діє на атом, від його зміщення, а основні характеристики лінійних коливань можуть бути передбачені на підставі одних тільки властивостей симетрії кристала.
Щоб показати головні риси лінійних коливань кристалічної решітки, ми розглянемо найпростіший випадок одномірного кристала - одновимірну ланцюжок атомів.


1.1 Одновимірна ланцюжок з одним атомом у клітинці

Розглянемо одновимірну періодичну ланцюжок атомів - одновимірний кристал з одним атомом в елементарній комірці. Нехай період цього ланцюжка дорівнює a. Тоді в стані рівноваги координата n-го атома ланцюжка x n дорівнює na.

Рис. 1.1. Одновимірна ланцюжок з одним атомом в елементарній комірці.
Позначимо через u n зсув n-го атома з положення рівноваги. Будемо вважати, що атоми взаємодіють тільки з найближчими сусідами. Сила, з якою (n +1)-й атом діє на n-й залежить від різниці зсувів цих двох атомів u n +1 - u n. При невеликих зсувах цю силу можна вважати пропорційною різниці зсувів: F n, n +1 = γ (u n +1 - u n), де γ - коефіцієнт пропорційності. Зручно представити, що атоми зв'язані один з одним пружинками з жорсткістю γ.
На рис.1.1 пружинка між n-м і n +1-м атомами розтягнута, так що вона діє на n-й атом у позитивному напрямку. Розтягнута пружинка між n-1-м і n-му атомом діє на n-й атом у негативному напрямку: F n, n -1 = - γ (x n - x n -1).
Запишемо закон Ньютона для n-го атома ланцюжка:
(1).
Перший доданок в правій частині - сила, діюча на n-й атом з боку n +1- го атома, друге - сила, що діє з боку n-1-го атома.
Після спрощення отримаємо:
(2).
Система таких рівнянь, записаних для кожного атома, повністю описує коливання ланцюжка.
Якщо розглядати тільки довгохвильові коливання, тобто коливання з довжиною хвилі багато більшою періоду ланцюжка a, то можна замінити різниця u n +1 - u n на (∂ u n / ∂ x) a, а величину, що стоїть в правій частині ( 2) - на γ a 2 (∂ 2 u / ∂ x 2). У результаті отримаємо хвильове рівняння:
(3).
Рішенням якого є хвилі u = A exp (ikx - iω t) з лінійним законом дисперсії ω = | K | (звукові хвилі). Тут - Швидкість звуку: . Але ми вирішимо завдання точно і розглянемо коливання з усіма можливими довжинами хвиль.
Будемо шукати коливання, що залежать від часу за гармонійним законом: u n = C n e - iω t (5).
Тут ω - частота коливань, одна і та ж для всіх атомів (такі коливання називаються гармонійними). ​​C n - комплексна амплітуда коливань n-го атома. Нагадаємо, що коливання описує речова частина рівняння (5), але технічно зручно користуватися комплексним рішенням.
Така підстановка - стандартний метод вирішення лінійних систем рівнянь з постійними коефіцієнтами. У силу лінійності рівнянь, коливання з довільної часової залежністю може бути розкладено в інтеграл (ряд) Фур'є за гармонійним коливанням.
З рівняння (2) для амплітуди C n отримуємо рівняння:
(6).
Ці рівняння утворюють нескінченну систему лінійних рівнянь. Якщо застосувати до ланцюжка граничні умови Борна-Кармана, то система буде кінцевою. (Зауважимо, що умови Борна-Кармана в одновимірному випадку еквівалентні тому, що ланцюжок достатньо великої довжини L замкнута в кільце). Тоді, прирівнявши визначник нулю, можна знайти частоти коливань, а потім, розв'язавши систему рівнянь для кожної із знайдених частот - відповідні амплітуди.
Але ми зробимо інакше. Будемо шукати рішення у вигляді плоскої хвилі:
(7).
Підставивши цей вираз в (6), отримаємо:
(8)
Розділимо останнє рівняння на exp (ikx n) і скористаємося тим, що x n +1 = x n + a, x n -1 = x n - a: - M ω 2 = γ (e ika + e - ika -2) (9).
Таким чином, підстановка у вигляді плоскої хвилі виявилася вірною: ми позбулися від номера атома n і отримали рівняння, що зв'язує ω і k, тобто рівняння, що визначає закон дисперсії хвиль.
Оскільки: (10), то (11).
Ми отримуємо закон дисперсії для пружних коливань одномірної ланцюжка: (12).
Отже, ми прийшли до висновку, що зміщення атомів при коливанні одномірної ланцюжка описуються плоскої гармонійної хвилею:
(13).
Точніше, коливання являють собою довільну суму таких хвиль. Тут φ - фаза комплексної амплітуди A: A = | A | exp (iφ). Зсув - речова величина, яка описується дійсною частиною комплексної плоскої гармонічної хвилі, що явно записано в (13). Надалі, при описі речових коливань комплексної плоскої хвилею, будемо для стислості опускати позначення дійсної частини.
Хвильовий вектор k в плоскій хвилі (13) може, взагалі кажучи, бути будь-яким. Але внаслідок дискретності ланцюжка (x n може приймати лише дискретний набір значень na) плоскі хвилі, хвильові вектора яких відрізняються один від одного на довільний вектор оберненої решітки 2 π l / a, описують одне і те ж коливання. (Тут l - будь-яке ціле число).
Дійсно, так як x n = na, т:
(14).
Тому досить розглядати хвильові вектора, що лежать в першій зоні Брілюена - π / a <k <π / a. Крайні значення хвильового вектора ± π / a відповідають одному й тому ж коливання з мінімальною довжиною хвилі λ = 2 π / k = 2 a. При такій довжині хвилі сусідні атоми ланцюжка рухаються у протифазі. Інтуїтивно ясно, що коротше довжина хвилі бути вже не може.
Графік залежності ω (k) для одновимірної ланцюжки з одним атомом у примітивній комірці зображений на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Закон дисперсії коливань ланцюжка з одним атомом у примітивній комірці.
Обговоримо тепер особливості закону дисперсії (12).
Важливим його властивістю є те, що частота хвиль, що розповсюджуються по ланцюжку, обмежена частотою . Щоб оцінити цю частоту, треба знати порядок величини постійної γ.
Подивимося на розмірність γ. Сила F дорівнює добутку γ на зміщення u, тому:
(15).
Характерна довжина, міжатомну відстань a, має порядок 1A = 10 -8 cм. Характерна енергія - енергія, яку набуває атом при зсуві на відстань порядку a. Її можна оцінити як енергію хімічного зв'язку, яка по порядку величини дорівнює 10 еВ. Таким чином:
(16).
Як маса для оцінки можна підставити величину 10 M p, де M p ≈ 1,67 · 10 -27 кг - маса протона.
Для ω max отримуємо:
(17).
Знайдемо довжину хвилі електромагнітного випромінювання такої частоти:
(18).
Електромагнітні хвилі з такою довжиною належать інфрачервоному діапазоні.
При ka / 2 <<1, коли довжина хвилі λ = 2 π / k багато більше a, sin (ka / 2) ≈ ka / 2, тому:
(19).
Таким чином, довгохвильові коливання - це звукові хвилі з лінійним законом дисперсії ω = | K |. Вище ми вже отримували такий результат, замінивши точне рівняння ланцюжка (2) хвильовим рівнянням (3). Це й не дивно: довгі хвилі''не відчувають''дискретної структури ланцюжка, ланцюжок веде себе як безперервна пружне середовище. З цієї причини швидкість звуку залежить тільки від макроскопічних характеристик ланцюжка: лінійної щільності, M / a, і пружною постійної ланцюжка γ a - коефіцієнта пропорційності між відносним подовженням ланцюжка і виникає при цьому силою натягу:
(20).
Розглянуті нами коливання одномірної ланцюжка називають акустичними, оскільки при k → 0 → ∞) вони відповідають звуковим хвилям.
Нижче ми побачимо, що в ланцюжку з двома (і більше) атомами в елементарній комірці поряд з акустичними можуть поширюватися хвилі іншого типу.
При квантовомеханічної описі кожному коливання відповідає квазічастинки з імпульсом p = ħ k і енергією . Квазічастинки, відповідні пружним коливань кристалічної решітки називаються фононами. Фонони, відповідні акустичним коливань, також називаються акустичними.
Оцінимо максимальну енергію акустичного фонона в одномірної ланцюжку:
(21)
Експериментальні значення ħ ω max в реальних кристалах становлять 30 год 40 меВ.
Це величина набагато менше більшості характерних електронних енергій (~ 1 еВ) і наближається до теплової енергії при кімнатній температурі (kT ≈ 0.025еВ, тут k - постійна Больцмана).

1.2.Одномерная ланцюжок з двома атомами у примітивній комірці

Досліджуємо тепер коливання ланцюжка, елементарна комірка якої складається з двох атомів з різними масами: M 1 і M 2, для визначеності покладемо M 1 <M 2. Період ланцюжка (відстань між вузлами її решітки Браве) як і раніше позначимо через a (рис. 3). Для простоти будемо вважати, що''пружинки''з'єднують атоми мають однакову твердість γ.

Рис. 1. 3. Одновимірна ланцюжок з двома атомами у примітивній комірці і її грати Браве.
Запишемо закон Ньютона для двох атомів n-го осередки:
(22).
Тут u n і v n - зміщення відповідно маленького і великого атома n-го осередки з положення рівноваги.
Будемо, як і у випадку ланцюжка з одним атомом у примітивній комірці, шукати рішення у вигляді плоскої гармонічної хвилі:
(23).
Амплітуди коливань маленького і великого атомів A і B в загальному випадку різні як за абсолютною величиною, так і по фазі.
Після підстановки (23) в (22) отримаємо лінійну однорідну систему рівнянь для A і B:
- M 1 ω 2 A = γ (Be ika + B -2 A)
- M 2 ω 2 B = γ (A + Ae - ika -2 B) (24).
Перепишемо її у стандартному вигляді:
(25)
Така система має рішення лише в тому випадку, коли її визначник дорівнює нулю. Прирівнюючи нулю визначник (25) одержимо рівняння, що зв'язує ω і k, тобто дисперсійне рівняння:
M 1 M 2 ω 4 - 2 γ (M 1 + M 2) ω 2 +2 γ 2 (1-cos ka) = 0 (26).
Це рівняння зручно переписати, використовую приведену масу атомів примітивної комірки μ:
(27).
(28)
Його рішення мають вигляд:
(29)
або (30).
Величина 4 μ 2 / (M 1 M 2) за будь-яких M 1, M 2 не перевершує одиниці, тому подкоренное вираз завжди неотрицательно.

1.3. Тривимірний кристал

Ми розглянули коливання в одномірної ланцюжку. Подібним чином можуть бути описані і коливання грати тривимірного кристалу.
Припустимо, що примітивна комірка кристала складається з l атомів. Кожен атом осередку будемо позначати індексом s, цей індекс приймає l різних значень. Будь-який атом кристала однозначно визначається радіус-вектором , Що задає положення комірки (відповідного вузла решітки Браве), та індексом s, що характеризує стан атома усередині осередку (тип атома).
Зміщення атомів при коливаннях грати є лінійною комбінацією плоских гармонічних хвиль (точніше, їх речових частин): (40).
Частота коливань однакова для всіх атомів кристала. Амплітуда коливань залежить від типу атома (індексу s), тобто однакова для всіх однотипних атомів. Напрямок вектора амплітуди може, взагалі кажучи, бути яким завгодно.
Індекс j позначає гілка коливань. Хвильовий вектор і гілку j однозначно визначають частоту і відносні амплітуди атомів усіх типів. Для кожної гілки залежності і є неперервними функціями.
Якщо примітивна комірка кристала містить l атомів, то число гілок дорівнює 3 l. Таким чином, кожному значенню хвильового вектора відповідають 3 l різних коливань.
Три з цих гілок - акустичні, в граничному випадку довгих хвиль їх частота пропорційна довжині хвильового вектора ω = | K |. Однак швидкість звуку залежить від напрямку поширення хвилі, тобто від напрямку вектора . У випадку довгохвильових акустичних коливань амплітуди всіх атомів примітивної комірки приблизно однакові.
Інші 3 l -3 гілок - оптичні, при їх частота відмінна від нуля.
За направленням амплітуди щодо хвильового вектора акустичні коливання можна розділити на поздовжнє і два поперечних. Як правило, швидкість звуку у поздовжнього коливання більше, ніж у поперечних.
У кристалів зі структурою алмазу чи цинкової обманки примітивна комірка містить 2 атоми. Відповідно, крім трьох акустичних, ці кристали володіють трьома оптичними гілками коливань, з яких також можна виділити подовжню і дві поперечних гілки.
Як і в одновимірному випадку, хвильові вектора, що відрізняються один від одного на вектор оберненої гратки, відповідають одному й тому ж коливання. З цієї причини досить розглядати хвильові вектора, що лежать в першій зоні Брілюена.
Кількість дозволених хвильових векторів в зоні Брілюена дорівнює N = V / v 0 - числа примітивних осередків у нормировочной об'ємі кристала V = L 3 (v 0 - обсяг примітивної комірки). Дійсно, щільність дозволених хвильових векторів у зворотному просторі дорівнює V / (2 π) 3, тобто в обсязі оберненого простору Δ 3 k міститься Δ 3 k · V / (2 π) 3 дозволених хвильових векторів. Обсяг зони Брілюена - обсяг примітивної комірки оберненої гратки - дорівнює (2 π) 3 / v 0, і для числа дозволених станів отримуємо (2 π) 3 / v 0 · V / (2 π) 3 = V / v 0 = N.
Число гілок - 3 l, тому повне число коливань дорівнює 3 lN - потроєння числа атомів кристала в обсязі L 3, тобто кількістю ступенів свободи механічної системи.

Глава 2. Фонони. Фононні газ

Коливань решітки, згідно квантової механіки, можна зіставити квазічастинки - фонони. Кожному коливання відповідає один стан фонона з імпульсом і енергією .
Мінімальна порція енергії яку може поглинути або випустити кристалічна решітка при теплових коливаннях відповідає на цьому малюнку переходу з одного енергетичного рівня на інший дорівнює і називається фононів.
Таким чином між світлом і тепловими коливаннями кристалічної решітки можна провести аналогію - пружні хвилі розглядаються як поширення якихось квазіпружні частинок - фононів.
Р. Паерлс в 1929 році ввів у теорію Дебая квантові (фононні) явища і показав, що тепловий опір решітки обумовлено взаємодією фононів. Фонон, на відміну від звичайних частинок, може існувати лише в деякому середовищі, яка перебуває в стані теплового збудження. Не можна уявити фонон, який поширювався б у вакуумі, оскільки він описує квантовий характер теплових коливань решітки і навічно замкнутий у кристалі. Корпускулярний аспект малих коливань атомів решітки кристала приводить до поняття фонона, і поширення пружних теплових хвиль в кристалі можна розглядати як перенесення фононів.
Фонони є бозе-частками: число фононів, що відповідають певному коливанню (число фононів одному стані), може бути як завгодно великим. У стані термодинамічної рівноваги середнє число фононів n jk гілки j з хвильовим вектором залежить тільки від енергії фонона (частоти коливання):
(31).
Тут k - постійна Больцмана. З точки зору квантової (та й класичної) механіки, нормальні коливання решітки ведуть себе як набір незалежних гармонійних осциляторів. Роль координати осцилятора відіграє при цьому амплітуда коливання, число фононів є рівнем енергії осцилятора.
На кожне коливання доводиться середня енергія . Строго кажучи, до цієї енергії треба додати енергію основного стану коливання (енергію нульових коливань): як і у звичайного гармонійного осцилятора вона дорівнює . Але енергією нульових коливань кристал має завжди, і ми просто приймемо її за початок відліку.
При високих температурах, k b T>> ħ ω, число фононів пропорційно температурі: (32).
Середня енергія коливання при цьому дорівнює kT. Це відомий результат класичної статистичної механіки для середньої енергії гармонічного осцилятора. Таким чином, поки температура перевершує енергію фонона, квантові ефекти не грають ролі.
Вони відіграють значну роль при низьких температурах. Якщо k T <<ħ ω, то середня кількість фононів експоненціально мало:
(33).
Можна сказати, що коливання, частота яких перевершує величину kT / ħ,''вимерзають''. Енергія коливання не може бути менше енергії одного фонона ħ ω jk а енергія фонона багато більше характерної теплової енергії kT, тому такі коливання практично не порушуються.

Глава 3. Акустична і оптична гілки коливань.

Отже, для кожного хвильового вектора k, згідно рівняння (30) існують дві частоти ω, що задовольняють дисперсійного рівняння. Точніше, є дві безперервні функції ω (k), які відрізняються знаком перед коренем. Кажуть, що існують дві гілки коливань.
Досліджуємо обидві гілки.
Нагадаємо, що хвильові вектора, які відрізняються на вектор оберненої решки, описують одне і те ж коливання. (Внаслідок цього функція ω (k) періодична з періодом зворотного решітки 2 π / a, а в тривимірному випадку володіє трансляційної симетрією оберненої гратки). Тому ми вважаємо, що хвильовий вектор лежить в межах першої зони Брілюена: - π / a <k <π / a.
Рішення зі знаком мінус''''
У точці k = 0:
(34).
На кордоні зони Брілюена:
(35)
При ka <<1 (довгі хвилі):
(36)
Або іншими словами:
(37)
Ми бачимо, що в довгохвильовому межі закон дисперсії цієї гілки лине, тобто, як і у випадку ланцюжка з одним атомом у примітивній комірці, описує акустичні коливання. З цієї причини вся гілка (рішення зі знаком''-'') називається акустичної (рис.3.1).

Рис. 3.1. Закон дисперсії коливань ланцюжка з двома атомами у примітивній комірці.
Вираз для швидкості звуку має такий же вигляд, що і відповідний вираз для ланцюжка з одним атомом у клітинці (20) і залежить від тих же макроскопічних характеристик: лінійної щільності і пружною постійної ланцюжка:
(38).
Лінійна щільність двоатомної ланцюжка дорівнює (M 1 + M 2) / a, а пружна постійна - γ · a / 2 (так як довжина однієї пружинки в наших позначеннях дорівнює a / 2).
Це й не дивно. Ми вже бачили, вивчаючи ланцюжок з одним атомом у примітивній комірці, що довгохвильові акустичні коливання можна отримати, розглядаючи ланцюжок, як безперервну пружну середу. Атоми осередку при таких коливаннях рухаються разом, як єдине ціле, тому структура примітивної комірки не грає ролі, а важливі лише макроскопічні, усереднені характеристики ланцюжка.
Те, що атоми осередку при довгохвильових акустичних коливаннях рухаються разом, можна отримати й безпосередньо, розв'язавши систему (25). Ця система розв'язана, коли її визначник дорівнює нулю, а визначник дорівнює нулю, коли ω і k пов'язані законом дисперсії. При цьому рівняння системи вже не є незалежними, і ми можемо взяти будь-яке з них, щоб знайти відношення амплітуд A і B.
З першого рівняння системи (25) отримуємо:
(39),
звідки в межі довгохвильових акустичних коливань (k → 0, ω = s | k | → 0) слід B / A → 1, тобто A = B: атоми рухаються у фазі з однаковими амплітудами.


Рис. 3.2. Амплітуди атомів ланцюжка в разі довгохвильових акустичних коливань.
Відзначимо також, що на кордоні зони Брілюена групова швидкість ∂ ω / ∂ k дорівнює нулю. Це твердження справедливе для обох гілок коливань.
Рішення зі знаком''плюс''.
У точці k = 0:
(40)
На кордоні зони Брілюена:
(41)
Групова швидкість цієї гілки ∂ ω / ∂ k дорівнює нулю як на кордоні зони Брілюена, так і при k = 0.
Ця гілка цілком лежить вище акустичної гілки: її мінімальна частота більше максимальної частоти акустичних коливань . Таким чином, в ланцюжку можуть поширюватися хвилі в частотами від 0 до і від до . Інтервал частот є''забороненою зоною'': хвиль з такими частотами не існує. Відносна ширина цього інтервалу тим більше, чим більше відношення мас M 2 / M 1.
Щоб зрозуміти, що представляють собою довгохвильові коливання цієї гілки, знайдемо відношення амплітуд коливань B / A при k = 0 з допомогою (36):
(42)
Ми бачимо, що атоми в кожному осередку рухаються у протифазі, то зближуючись, то віддаляючись один від одного, причому одночасно у всіх осередках (якщо k = 0). Амплітуда руху легкого атома більше амплітуди важкого в M 2 / M 1 раз, тобто центр ваги осередку залишається на місці.

Рис. 3.3. Амплітуди атомів ланцюжка в разі довгохвильових оптичних коливань.
Якщо атоми заряджені, то при коливаннях такого типу кожна осередок є змінний дипольний момент. Дипольні моменти взаємодіють з електромагнітним полем, і коливання легко збуджуються електромагнітними хвилями відповідних частот. У зв'язку з цим, вся гілка коливань називається оптичною.
При довгохвильових акустичних коливаннях атоми осередку рухаються у фазі і ніякого дипольного моменту не виникає. Тому акустичні коливання з електромагнітним полем взаємодіють слабо.
Енергія довгохвильового оптичного фонона має той самий порядок величини, що й енергія фонона акустичного коливання з максимальною частотою, яку ми оцінили в 0,05 еВ. Енергії оптичних фононів більшості напівпровідникових кристалів лежать в діапазоні 0,03 год 0,1 еВ.
Подивимося тепер, як коливаються атоми, коли довжина хвилі мінімальна, тобто коли хвильовий вектор лежить на кордоні зони Брілюена.
У випадку акустичних коливань ω 2 = 2 γ / M 2, коефіцієнт при B у другому рівнянні системи (25) звертається в нуль, звідки випливає що A = 0.
У разі оптичних коливань ω 2 = 2 γ / M 1, і з першого рівняння (25) випливає що B = 0.
Таким чином, при k = π / a у разі акустичних хвиль коливаються важкі атоми, а легкі нерухомі, в разі оптичних, навпаки: коливаються легкі, важкі стоять на місці.
Узагальнимо тепер отримані результати. Неважко показати, що якщо примітивна комірка одномірної ланцюжка містить l атомів, то спектр коливань складається з l гілок, одна з яких акустична, а інші - оптичні.
Ми розглядали нескінченну ланцюжок, не накладаючи жодних обмежень на довжини хвиль пружних коливань. У результаті, ми прийшли до висновку, що в ланцюжку можуть поширюватися коливання з будь-якими хвильовими векторами, що лежать в першій зоні Брілюена. (Було показано, що через дискретності ланцюжка хвильові вектора, які відрізняються на довільний вектор оберненої гратки, описують одні й ті ж коливання. Тому можна брати хвильовий вектор з будь-якої зони Брілюена. Природні все описувати коливання найменшим хвильовим вектором, тобто вектором з першої зони Бріллюна.)
Щоб мати справу не з безперервним, а з дискретним набором хвильових векторів, можна вимагати, щоб відхилення атомів від рівноваги було періодичної функцією: u (x n) = u (x n + L). Іншими словами - поставити граничні умови Борна-Кармана. Період L повинен бути кратним постійної грати ланцюжка.
Умов Борна-Кармана задовольняють тільки гармонійні коливання з''дозволеними''хвильовими векторами k n = 2 π n / L. Неважко підрахувати, що в зоні Брілюена розміщується L / a дозволених хвильових векторів, тобто рівно стільки, скільки примітивних осередків укладається на довжині L. (Хвильовим векторах - π / a і π / a відповідає одне і те ж коливання і тому вважаємо ці два значення за одне). Ми вже згадували вище про цю властивість зони Брілюена.
Так як коливання однозначно визначається хвильовим вектором і гілкою, то різних коливань стільки, скільки атомів містить ланцюжок. Це загальна властивість лінійних коливальних систем: кількість незалежних коливань (нормальних мод) дорівнює числу ступенів свободи системи.

Глава 4. Енергія коливань і теплоємність кристалічної решітки

Енергію коливань і теплоємність решітки будемо розраховувати для одиничного об'єму кристала, тобто покладемо нормировочной обсяг рівним одиниці: V = L 3 = 1.
Щоб обчислити середню енергію коливань кристалічної решітки, потрібно підсумувати середню енергію всіх типів коливань (всіх станів фононів):
(43).
Найпростіше це зробити при високих температурах, коли для частот всіх коливань виконується нерівність ħ ω jk <<kT (класичний межа). Тоді середня енергія, що припадає на кожне коливання, дорівнює k B T, всього коливань 3 lN = 3 lN, для повної енергії E отримуємо:
(44).
Так як N - число примітивних осередків кристала в одиниці об'єму, то N = 1 / v 0, де v 0 - обсяг примітивної комірки.
Теплоємність решітки при високих температурах постійна (закон Дюлонга і Пті): C V = 3 lNk (45).
При невисоких температурах все складніше. Щоб точно обчислити енергію решітки, тобто порахувати суму (45), необхідно знати дисперсійні залежності для всіх гілок коливань. І навіть за умови, що залежності ці відомі, аналітичний вираз для енергії отримати практично неможливо.
Тому для знаходження енергії і теплоємності решітки застосовують різні наближення.
4.1. Модель Ейнштейна
У моделі Ейнштейна передбачається, що частоти всіх фононів однакові: ω jk = ω 1 (46).
Тоді для енергії отримуємо:
(47).
При високих температурах, k B T>> ħ ω 1, ця залежність призводить до вираження (45) для енергії і закону Дюлонга і Пті (46) для теплоємності.
При низьких температурах, kT <<ħ ω 1, енергія коливань і теплоємність експоненціально зменшуються:

Модель Ейнштейна добре описує внесок в енергію і теплоємність оптичних гілок фононів, у яких частота слабо залежить від хвильового вектора і її можна вважати сталою. Щоб врахувати тільки оптичні гілки, частоту яких ми вважаємо рівної ω 1, потрібно замість 3 l писати число цих гілок. У загальному випадку, частоти різних оптичних гілок можуть сильно відрізнятися один від одного і їх внесок в енергію і теплоємність потрібно враховувати окремо.
4.2. Модель Дебая
Досвід показує, що теплоємність дійсно падає зі зменшенням температури, але не експоненціально, а пропорційно T 3. Справа в тому, що при будь-яких, як завгодно низьких температурах в кристалі знайдуться коливання, енергія фонона яких менше k B T. Це - довгохвильові акустичні коливання. Саме такі коливання, точніше ті з них, частота яких менше k B T / ħ, вносять основний внесок в енергію при низьких температурах. Коливання з великими частотами (оптичні і більше короткохвильові акустичні)''заморожені'': фононів цих коливань експоненціально мало.
Зробимо просту оцінку. Внесок в енергію вносять фонони, енергія яких менше kT. Нехай швидкість звуку j-й акустичної гілки дорівнює j і не залежить від напрямку хвильового вектора: ω = j | k |. Тоді внесок в енергію дають коливання з хвильовими векторами, меншими k max = k B T / (ħ j). Щільність дозволених значень хвильових векторів в k-просторі кристала дорівнює V / (2 π) 3, тому всередині сфери радіуса k max міститься дозволених значень хвильових векторів. Це число коливань одній акустичній гілки, що вносять істотний внесок в енергію. На кожне таке коливання доводиться енергія порядку kT. Для енергії коливань одній акустичній гілки отримуємо:
(50).
Так як ми обчислюємо енергію і теплоємність одиниці об'єму кристала, то в (50) ми поклали V = 1.
Таким чином, внесок одній акустичній гілки в теплоємність пропорційний T 3:
(51).
Щоб отримати повну енергію і теплоємність, треба скласти внески від трьох акустичних гілок:
(52),
де через j позначена швидкості звуку j-й акустичної гілки.
Ми зробили досить грубу оцінку, тому до чисельним коефіцієнтам в останніх двох виразах не варто ставитися серйозно. Тим не менш, ця оцінка дає правильну залежність енергії і теплоємності від температури і швидкості звуку.
Порахуємо тепер енергію гратки при низьких температурах більш акуратно.
Формула (44) має вигляд суми по різним коливань (різним станам фононів) певної величини, яка залежить тільки від енергії фонона:

Такі суми зустрічаються досить часто. Так як f залежить тільки від енергії фонона, то від суми за станів можна перейти до інтегралу по енергії:
(54).
Тут - Густина станів фононів. Нагадаємо, що - Це число станів квазічастинок (фононів) в одиниці об'єму з енергіями від до , Тобто число різних коливань з такими енергіями.
Сумарна густина станів складається з густини станів різних гілок: ; Щільність станів гілки визначається її законом дисперсії . Аналітично отримати закони дисперсії і щільності станів фононів реальних кристалів практично неможливо.
Однак при низьких температурах енергія і теплоємність визначаються довгохвильовими акустичними фононами. Щільність станів акустичних фононів нам відома, ми отримали її в якості прикладу, коли вводили саме поняття щільності станів . Якщо для j-й акустичної гілки ω = j | k |, то:
(55).
Щільність станів довгохвильових коливань всіх акустичних гілок виходить підсумовуванням за трьома акустичним гілкам:
(56), де -''Усереднена''швидкість звуку:
(57).
Лінійний закон дисперсії ω = | K | і відповідна щільність станів правильні лише для малих k. При великих значеннях хвильового вектора закон дисперсії і щільність станів мають більш складний вид.
Однак при низьких температурах внесок в енергію і теплоємність вносять як раз тільки довгохвильові фонони, а при високих температурах вид щільності станів не важливий, тому що в цьому випадку на кожне коливання доводиться енергія kT. Щоб отримати вираз, яке давало б правильні граничні залежності при низьких і високих температурах, Дебай запропонував вважати, що закон дисперсії ω = | K | виконується і при великих k. Максимальне значення хвильового вектора k D при цьому вибирається так, щоб в кулі радіуса k D містилося стільки дозволених значень хвильових векторів, скільки їх міститься в зоні Брілюена, N = 1 / v 0. Іншими словами, обсяг цього кулі повинен бути дорівнює обсягу зони Брілюена (2 π) 3 / v 0, звідки
(58).
Таким чином, зберігаючи число акустичних коливань, ми замінюємо першу зону Брілюена сферою, а реальний закон дисперсії - лінійним. Фонон з хвильовим вектором k D має енергію . Відповідна температура:
(59), називається температурою Дебая.
У такому наближенні ми можемо обчислити внесок акустичних гілок в енергію і теплоємність решітки:

При низьких температурах, T <<θ, верхня межа інтеграла багато більше одиниці. Завдяки експоненті в знаменнику інтеграл сходиться дуже швидко, що дозволяє покласти верхню межу рівним нескінченності. Значення такого інтеграла відомо: (61).
Для енергії акустичних коливань при низьких температурах отримуємо:
(62)
Звідки випливає, що теплоємність решітки при низьких температурах пропорційна T 3:
(63).
При високих температурах, T>> θ, верхня межа інтегрування малий, тому можна вважати, що exp (x) -1 ≈ x, таким чином:
(64).
Тоді: E = 3 NkT і C V = 3 Nk.
Це закон Дюлонга і Пті, тільки замість повного числа коливань 3 lN стоїть число коливань акустичних гілок 3 N. (При високих температурах на кожне коливання доводиться середня енергія kT, повне число акустичних коливань дорівнює 3 N, тому внесок акустичних гілок в енергію дорівнює 3 NkT).
У межі низьких і високих температур модель Дебая дає точні значення для вкладу акустичних гілок в енергію і теплоємність. В області ж проміжних температур, T ~ θ, ця модель лише апроксимує реальну залежність енергії і теплоємності від температури.
Температура Дебая розділяє дві температурні області. В області низьких температур на енергію і теплоємність решітки сильний вплив надають квантові ефекти (''вимерзання''високочастотних коливань). В області високих температур ці ефекти не істотні, і теплоємність може бути обчислена в класичному наближенні. Для більшості кристалів температура Дебая лежить в інтервалі від 100 до 300 K.
Щоб отримати повну енергію і теплоємність кристалічної решітки, треба до вкладу акустичних коливань додати внесок оптичних гілок, для якого хорошим наближенням є модель Ейнштейна. Цей внесок пренебрежимо малий при низьких температурах. При високих температурах вклади всіх гілок в енергію і теплоємність рівні.

Висновки

У даній роботі були розглянуті явища коливань кристалічної решітки твердого тіла та поставлено у відповідність розглянутим коливань квазічастинки - фонони. Для одновимірних ланцюжків атомів проведено математичний аналіз коливань і розглянуто оптичну і акустичну складову коливань. Оптичні і акустичні фонони відповідають за різні властивості кристалів. Оптичні коливання (фонони) відіграють основну роль у процесах поглинання взаємодії світла з кристалом. Зокрема поглинання інфрачервоного випромінювання іонними кристалами обумовлено саме оптичними коливаннями решітки.
Акустичні коливання грають основну роль у визначенні теплових властивостей кристалів - теплоємності, теплопровідності, теплового розширення.
Як приклад розглянуто знаходження теплоємності тіл при різних температурах і внесок оптичних та акустичних коливань у величину теплоємності при різних температурах.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Ансельм А. І. Введення в теорію напівпровідників. - М.: Світ, 1965. - 588 с.
2. Басс Ф. Г. Електрони і фонони в обмежених напівпровідниках. - М.: Наука, 1984. - 287 с.
3. Дущенко В. П., Кучерук І. М. Загальна фізика. - К.: Вища школа, 1995. - 430 с.
4. Єпіфанов Г. І. Фізичні основи мікроелектроніки. М.:
Радянське радіо, 1971, 374 с.
5. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс загальної фізики. У 3 т. - М.: Наука, 1995. - 343 с.
6. Кухлінг Х. Довідник з фізики: Пер. з нім. - М.: Світ, 1983. - 520 с.
7. Случинський І. А. Основи матеріалознавства і технологи
напівпровідників. М.: Лібрус, 2002, 376 с.
8. Харрісон У. Теорія твердого тіла. - М.: Мир. - 1978. - 616 с.
9. Шалімова К. В. Фізика напівпровідників. М.: Енергія, 1976, 417 с.
10. Яворський Б. М., Детлаф А. А. Довідник по фізиці. - М.: Наука, 1982. - 846 с.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Курсова
95.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Структурні дефекти кристалічної решітки
Решітки
Узагальнено булеві решітки
Підсилювач приймальні антеною решітки
Конструювання вібраторних антеною решітки
Обобщ нно булеві решітки
Побудова лінійної решітки вібраторних антен
Вимірювання довжини світлової хвилі за допомогою дифракційної решітки
Інфразвукові коливання
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru