Класичне визначення ймовірності

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Муніципальне освітній заклад
ГІМНАЗІЯ № 6
РЕФЕРАТ
на тему «Класичне визначення ймовірності».
Виконала учениця 8 «Б» класу
Клімантова Олександра.
Учитель з математики: Віденькіна В. А.
Воронеж, 2008

У багатьох іграх використовують гральний кубик. У кубика 6 граней, на кожній грані зазначено різну кількість точок-від 1 до 6. Граючий кидає кубик і дивиться, скільки точок є на випав межі (на тій межі, яка розташовується зверху). Досить часто точки на грані кубика замінюють відповідним числом і тоді говорять про випадання 1, 2 або 6. Кидання кубика можна вважати досвідом, експериментом, випробуванням, а отриманий результат-результатом випробування або елементарним подією. Людям цікаво вгадувати настання тієї або іншої події, передбачати його результат. Які прогнози вони можуть зробити, коли кидають гральний кубик? Наприклад, такі:
1) подія А-випадає цифра 1, 2, 3, 4, 5 або 6;
2) подія В-випадає цифра 7, 8 або 9;
3) подія С-випадає цифра 1.
Подія А, передбачене в першому випадку, обов'язково настане. Взагалі, подія, яка в даному досвіді обов'язково настане, називають достовірною подією.
Подія В, передбачене в другому випадку, ніколи не настане, це просто неможливо. Взагалі, подія, яка в даному досвіді настати не може, називають неможливою подією.
А подія С, передбачене в третьому випадку, настане або не настане? На це питання ми з повною впевненістю відповісти не в змозі, оскільки 1 може випасти, а може й не трапитися. Подія, що в даному досвіді може як наступити, так і не настати, називають випадковою подією.
Думаючи про настання достовірної події, ми слово «ймовірно» використовувати, швидше за все, не будемо. Наприклад, якщо сьогодні середа, то завтра четвер, це-достовірна подія. Ми в середу не станемо говорити: «Ймовірно, завтра четвер», ми скажемо коротко і ясно: «Завтра четвер». Правда, якщо ми схильні до красивих фраз, то можемо сказати так: «Із стовідсотковою ймовірністю стверджую, що завтра четвер». Навпаки, якщо сьогодні середа, то наступ назавтра п'ятниці-неможлива подія. Оцінюючи цю подію в середу, ми можемо сказати так: «Упевнений, що завтра не п'ятниця». Або так: «Неймовірно, що завтра п'ятниця». Ну а якщо ми схильні до красивих фраз, то можемо сказати так: «Імовірність того, що завтра п'ятниця, дорівнює нулю». Отже, достовірна подія-це подія, що наступає за даних умов зі стовідсотковою ймовірністю (тобто наступає в 10 випадках з 10, у 100 випадках з 100 і т. д.). Неможливе подія-це подія, не настає при даних умовах ніколи, подія з нульовою ймовірністю.
Але, на жаль (а може бути, й на щастя), не все в житті так чітко і ясно: це буде завжди (достовірне подія), цього не буде ніколи (неможлива подія). Найчастіше ми стикаємося саме з випадковими подіями, одні з яких більш ймовірні, інші менш вірогідні. Зазвичай люди використовують слова «більш ймовірно» або «менш ймовірно», як то кажуть, з натхненням, спираючись на те, що називають здоровим глуздом. Але дуже часто такі оцінки виявляються недостатніми, оскільки буває важливо знати, на скільки відсотків ймовірно випадкова подія чи у скільки разів одне випадкове подія найімовірніше іншого. Іншими словами, потрібні точні кількісні характеристики, потрібно вміти охарактеризувати ймовірність числом.
Перші кроки в цьому напрямку ми вже зробили. Ми говорили, що ймовірність настання достовірної події характеризується як стовідсоткова, а ймовірність настання неможливого події-як нульова. Враховуючи, що 100% дорівнює 1, люди домовилися про наступне:
1) ймовірність достовірної події вважається рівною 1;
2) ймовірність неможливої ​​події вважається рівною 0.
А як підрахувати ймовірність випадкового події? Адже воно сталося випадково, отже, не підкоряється закономірностям, алгоритмам, формулами. Виявляється, і в світі випадкового діють певні закони, що дозволяють обчислювати ймовірності. Цим займається розділ математики, який так і називається-теорія ймовірностей.
Математика має справу з моделлю певного явища навколишньої дійсності. З усіх моделей, які використовуються в теорії ймовірностей, ми обмежимося найпростішою.
Класична імовірнісна схема
Для знаходження ймовірності події А при проведенні деякого досвіду слід:
1) знайти число N всіх можливих результатів даного досвіду;
2) вжити припущення про равновероятности (рівноможливими) всіх цих результатів;
3) знайти кількість N (А) тих результатів досвіду, в яких настає подія А;
4) знайти приватне ; Воно і буде дорівнює ймовірності події А.
Прийнято ймовірність події А позначати: Р (А). Пояснення такого позначення дуже просте: слово «вірогідність» по-французьки-probabilite, по-англійськи-probability. У позначенні використовується перша літера слова.
Використовуючи це позначення, ймовірність події А за класичною схемою можна знайти за допомогою формули
Р (А) = .
Часто всі пункти наведеної класичної імовірнісної схеми висловлюють однієї досить довгої фразою.
Класичне визначення ймовірності
Ймовірністю події А при проведенні деякого випробування називають відношення числа фіналів, в результаті яких настає подія А, до загальної кількості всіх равновозможних між собою результатів цього випробування.
Приклад 1. Знайти ймовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде: а) 4; б) 5; в) парне число очок; г) число очок, більше 4; д) число очок, не кратне трьом.
Рішення. Усього є N = 6 можливих результатів: випадання грані куба з числом очок, рівним 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Ми вважаємо, що жоден з них не має ніяких переваг перед іншими, тобто приймаємо припущення про равновероятности цих результатів.
а) Рівне в одному з результатів відбудеться цікавить нас А-випадання числа 4. Значить, N (A) = 1 і
P (A) = = .
б) Рішення і відповідь такі ж, як і в попередньому пункті.
в) Цікавить нас подія В відбудеться рівно в трьох випадках, коли випадає число очок 2, 4 або 6. Значить,
N (B) = 3 і P (B) = = .
г) Цікавить нас подія З відбудеться рівно у двох випадках, коли випаде число очок 5 або 6. Значить,
N (C) = 2 і Р (С) = .
д) З шести можливих випали чисел чотири (1, 2, 4 і 5) не кратні трьом, а інші два (3 і 6) діляться на три. Значить, цікавить нас настає рівно в чотирьох з шести можливих і рівноймовірно між собою і рівноймовірно між собою исходах досвіду. Тому у відповіді виходить .
Відповідь: а) ; Б) , В) ; Г) ; Д) .
Реальний гральний кубик цілком може відрізнятися від ідеального (модельного) кубика, тому для опису його поведінки потрібна більш точна і детальна модель, яка враховує переваги однієї грані перед іншою, можливу наявність магнітів і т. п. Але «диявол криється в деталях», а більша точність веде, як правило, до більшої складності, та отримання відповіді стає проблемою. Ми ж обмежуємося розглядом найпростішої ймовірнісної моделі, де всі можливі результати рівноймовірні.
Зауваження 1. Розглянемо ще приклад. Було поставлено питання: «Яка ймовірність випадання трійки при одному киданні кубика?» Учень відповів так: «Імовірність дорівнює 0, 5». І пояснив свою відповідь: «Трійка або випаде, чи ні. Значить, всього є два результати і рівно в одному настає цікавить нас. За класичною схемою ймовірнісної отримуємо відповідь 0, 5 ». Є в цьому міркуванні помилка? На перший погляд, ні. Однак вона все ж таки є, причому в принциповому моменті. Так, дійсно, трійка або випаде, чи ні, тобто при такому визначенні результату кидання N = 2. Правда й те, що N (A) = 1 і вже, зрозуміло, вірно, що = 0, 5, тобто три пункти ймовірнісної схеми враховані, а ось виконання пункту 2) викликає сумніви. Звичайно, з чисто юридичної точки зору, ми маємо право вважати, що випадіння трійки равновероятно її невипадання. Але от чи можемо ми так вважати, не порушуючи свої ж природні припущення про «однаковості» граней? Звичайно, ні! Тут ми маємо справу з правильним міркуванням всередині деякої моделі. Тільки от сама ця модель «неправильна», не відповідає реальному явищу.
Зауваження 2. Розмірковуючи про ймовірність, не випускайте з уваги наступне важлива обставина. Якщо ми говоримо, що при киданні кубика ймовірність випадання одного очка дорівнює , Це зовсім не означає, що, кинувши кубик 6 разів, ви отримаєте одне очко рівно один раз, кинувши кубик 12 разів, ви отримаєте одне очко рівно два рази, кинувши кубик 18 разів, ви отримаєте одне очко рівно три рази і т. д . Слово ймовірно носить гаданий характер. Ми припускаємо, що швидше за все може статися. Ймовірно, якщо ми кинемо кубик 600 разів, одне очко випаде 100 разів або близько 100.
Теорія ймовірностей виникла в XVII столітті при аналізі різних азартних ігор. Не дивно тому, що перші приклади носять ігровий характер. Від прикладів з гральними кубиками перейдемо до випадкового витягування гральних карт з колоди.
Приклад 2. З колоди в 36 карт випадковим чином одночасно витягують 3 карти. Яка ймовірність того, що серед них немає пікової дами?
Рішення. У нас є безліч з 36 елементів. Ми виробляємо вибір трьох елементів, порядок яких не важливий. Значить, можливо отримання N = C випадків. Будемо діяти за класичною схемою ймовірнісної, тобто припустимо, що всі ці результати рівноймовірні.
Серед всіх N = C фіналів нам слід порахувати ті, в яких немає пікової дами (подія А). Відкладемо даму пік в бік, і з решти 35 карт будемо вибирати 3 карти. Вийдуть всі цікавлять нас варіанти. Значить, N (A) = C .
Залишилося обчислити потрібну ймовірність за класичним визначенням:
Р (А) = =   = * =
Відповідь:
А чому дорівнює ймовірність того, що серед вибраних трьох карт є пікова дама? Число всіх таких випадків неважко порахувати, треба просто з всіх результатів N відняти всі ті результати, в яких пані пік немає, тобто відняти знайдене в прикладі 3 число N (A). Потім цю різницю N-N (A) відповідно до класичної імовірнісної схемою слід поділити на N. Ось що отримаємо:

Ми бачимо, що між імовірностями двох подій є певний зв'язок. Якщо подія А полягає у відсутності дами пік, а подія В складається в її наявності серед вибраних трьох карт, то
Р (В) = 1-Р (А),
Р (А) + Р (В) = 1.
На жаль, у рівності Р (А) + Р (В) = 1 немає ніякої інформації про зв'язок подій А і В між собою; цей зв'язок нам доводиться тримати в голові. Зручніше було б заздалегідь дати події У назву та позначення, явно вказують на його зв'язок з А.
Визначення 1. Подія В називають протилежним події А і позначають В = Ā, якщо подія В відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А.
Т еорема 1. Для знаходження ймовірності протилежної події слід з одиниці відняти ймовірність самої події: Р (Ā) = 1-Р (А). У самому справі,
Р (Ā) = =

На практиці обчислюють те, що простіше знайти: або Р (А), або Р (Ā). Після цього користуються формулою з теореми і знаходять, відповідно, або Р (Ā) = 1-Р (А), або Р (А) = 1-Р (Ā).
Часто використовується спосіб вирішення тієї чи іншої задачі «перебором випадків», коли умови завдання розбиваються на взаємовиключні один одного випадки, кожен з яких розглядається окремо. Наприклад, «направо підеш-коня втратиш, прямо підеш-завдання з теорії ймовірності вирішувати будеш, наліво підеш-...». Або при побудові графіка функції у = │ х +1 │ - │ 2х-5 │ расматривает випадки х <-1; -1 ≤ х <2,5, 2,5 ≤ х. У кожному з трьох випадків «розкривають» модуль, будують потрібні графіки лінійних функцій і потім об'єднують відповідні частини цих графіків; фактично мова йде про побудову графіка кусочной функції. Цей же метод часто використовують і при підрахунку ймовірностей.
Приклад 3. З 50 точок 17 зафарбовано в синій колір, а 13-в помаранчевий колір. Знайти ймовірність того, що випадковим чином вибрана точка виявиться зафарбованої.
Рішення. Всього закрашено 30 точок із 50. Значить, ймовірність дорівнює = 0,6.
Відповідь: 0,6.
Розглянемо, однак, цей простий приклад більш уважно. Нехай подія А полягає в тому, що обрана точка-синя, а подія В полягає в тому, що обрана точка-помаранчева. За умовою, події А і В не можуть відбутися одночасно.
Позначимо літерою С цікавить нас. Подія С настає тоді і тільки тоді, коли відбувається хоча б одна з подій А або В. Ясно, що N (C) = N (A) + N (B).
Поділимо обидві частини цієї рівності на N-число всіх можливих результатів даного досвіду; отримаємо

Р (С) = =
Ми на простому прикладі розібрали важливу і часто зустрічається ситуацію. Для неї є спеціальна назва.
Визначення 2. Події А і В називають несумісними, якщо вони не можуть відбуватися одночасно.
Теорема 2. Імовірність настання хоча б одного з двох несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей.
При перекладі цієї теореми на математичну мову, виникає необхідність якось назвати і позначити подія, яке у настанні хоча б одного з двох даних подій А і В. Така подія називають сумою подій А і В і позначають А + В.
Якщо А і В несумісні, то Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
У самому справі,
Р (А + В) =
Несумісних подій А і В зручно ілюструвати малюнком. Якщо всі результати досвіду-деяке безліч точок на малюнку, то події А і В-це деякі підмножини даної множини. Несумісності А і В означає, що ці дві підмножини не перетинаються між собою. Типовий приклад несумісних подій-будь-яка подія А і протилежне подія Ā.
Зрозуміло, зазначена теорема вірна і для трьох, і для чотирьох, і для будь-якого кінцевого числа попарно несумісних подій. Ймовірність суми будь-якого числа попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Це важливе твердження як раз і відповідає способу вирішення завдань «перебором випадків».
Між подіями, що відбуваються в результаті деякого досвіду, і між імовірностями цих подій можуть бути якісь співвідношення, залежності, зв'язку і т. п. Наприклад, події можна «складати», а ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей.
На закінчення обговоримо наступний принципове питання: чи можна довести, що ймовірність випадання «решки» при одному киданні монети дорівнює
Відповідь негативна. Взагалі кажучи, саме питання не коректний, неясний точний зміст слова «довести». Адже доводимо ми що-небудь завжди в рамках певної моделі, в якій вже відомі правила, закони, аксіоми, формули, теореми і т. п. Якщо мова йде про уявної, «ідеальної» монеті, то тому-то вона і вважається ідеальною, що, за визначенням, ймовірність випадання «решки» дорівнює ймовірності випадання «орла». А, в принципі, можна розглянути модель, в якій ймовірність випадання «решки» в два рази більше ймовірності випадання «орла» або в три рази менше і т. п. Тоді виникає питання: з якої причини з різних можливих моделей кидання монети ми вибираємо ту, в якій обидва результату кидання різновірогідні між собою?
Зовсім лобовій відповідь така: «А нам так простіше, зрозуміліше і природніше!» Але є і більш змістовні аргументи. Вони приходять з практики. У переважній більшості підручників з теорії ймовірностей наводять приклади французького натураліста Ж. Бюффона (XVIII ст.) Та англійської математика-статистика К. Пірсона (кінець XIX ст.), Які кидали монету, відповідно, 4040 і 24000 раз і підраховували кількість випадань «орла »або« решки ». У них «решка» випала, відповідно, 1992 і 11998 разів. Якщо підрахувати частоту випадання «решки», то вийде = = 0,493069 ... у Бюффона і = 0,4995 у Пірсона. Виникає природне припущення, що при необмеженому збільшенні числа кидання монети частота випадання «решки», як і частота випадання «орла», все більше і більше буде наближатися до 0,5. Саме це припущення, засноване на практичних даних, є основою вибору на користь моделі з рівноімовірними наслідками.
Зараз можна підвести підсумки. Основне поняття-ймовірність випадкової події, підрахунок якої виробляється в рамках найпростішої моделі-класичної імовірнісної схеми. Важливе значення і в теорії, і в практиці має поняття протилежного події і формула Р (Ā) = 1-Р (А) для знаходження ймовірності такої події.
Нарешті, ми познайомилися з несумісними подіями і з формулами.
Р (А + В) = Р (А) + Р (В),
Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С),
дозволяють знаходити ймовірності суми таких подій.

Список літератури
1.Собитія. Ймовірності. Статистична обробка даних: Доп. параграфи до курсу алгебри 7-9 кл. загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов .- 4-е изд.-М.: Мнемозина, 2006.-112 с.: іл.
2.Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк «Алгебра. Елементи статистики і теорії ймовірностей ».- Москва,« Просвещение », 2006.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
41.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Визначення ймовірності
Визначення ймовірності подій
Характеристика фінансового стану підприємства і визначення ймовірності банкрутства
Методичні основи визначення ймовірності банкрутства суб`єктів господарювання
Класичне рабство і антична економіка
Класичне елітарне масове початку диференціації і механізми внутрішньої динаміки в системі літератури
Теорія ймовірності 2
Теорія ймовірності 2
Теорія ймовірності 2
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru