Квантова статистика

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Московський державний технічний університет ім. Н.Е. Баумана.
Калузький філія
"Квантова статистика"

ЗМІСТ
Квантова статистика. 3
Принцип тотожності. 3
Принцип Паулі на неї не поширюється. 5
Формули Річардсона та Річардсона-Дешмана. 11
Література .. 15

Квантова статистика

Квантова статистика досліджує фізичні властивості систем однакових мікрочастинок, наприклад, електронів, фотонів, - Частинок і т.д.
Поведінка сукупності частинок одного сорту описується хвильовою функцією
(1)
q1, q2 - узагальнені координати.
Квантова статистика систем однакових мікрочастинок допускає два класи функцій: симетричні, що зберігають свій знак при перестановці двох часток:

антисиметричних, що змінюють знак при перестановці:

Ці два класи функцій не можуть переходити один в одного.

Принцип тотожності

Принцип тотожності: частинки одного і того ж сорту не можуть мати жодних помітних особливостей. Тому взаємна перестановка двох однакових частинок не змінює фізичного стану системи.
У квантовій теорії доводиться, що хвильова функція завжди залишається симетричною або Антіса-метричній, тобто якою вона була в початковому стані.
Належність частинок до того чи іншого класу залежить від величини їх власного моменту, інакше - спина.
Частинки, спін яких дорівнює напівцілим числа квантів дії Планка , Описується антисиметричних - Функціями. Ці частинки називаються частинками Фермі або ферміонами, а описує їх статистика називається статистикою Фермі-Дірака.
Електрони, позитрони, протони, нейтрони, атоми, іони, атомні ядра, що складаються з непарного числа елементарних частинок, мають напівцілий спін. Всі вони описуються статистикою Фермі-Дірака.
Наприклад: статистиці Фермі-Дірака підпорядковуються

Частинки з цілочисловим спіном , Описуються симетричними - Функціями. Вони називаються частинками Бозе або бозонами. Застосовувана до них статистика називається статистикою Бозе-Ейнштейна. Їй підкоряються мікрочастинки, що складаються з парного числа елементарних частинок.
Наприклад:

ядра дейтерію
мають спін, рівний цілому числу постійних Планка . Частинки світла (фотони) мають спін, рівний нулю.
У квантовій механіці частинки неможливо розрізнити.
Принцип Паулі випливає з властивостей антисиметричних хвильових функцій у даному квантовому стані може знаходитися тільки одна мікрочастинка.
Класичні частки підкоряються статистиці Максвелла-Больцмана.
Три статистики.
Дві квантові і одна класична статистика
Максвелла-Больцмана.
ab

ba
b
a
a
b
4 стану, частки помітні, енергія може мати як: дискретний, так і безперервний спектр. Їй відповідає функція розподілу Максвелла-Вольцмана

Принцип Паулі на неї не поширюється

Статистика Бозе-Ейнштейна:
aa
-
-
aa
a
a
Частинки нероздільні, цілий спін. Принцип Паулі не поширюється. Їй відповідає функція розподілу Бозе-Ейнштейна. Енергія дискретна.

Статистика Фермі-Дірака:
a
a
Частинки невиразні, напівцілий спін, принцип Паулі: в одному квантовому стані не може бути більше однієї частинки. Кожне квантовий стан або заповнено єдиною мікрочастинок, або не заповнено. Енергія дискретна. Їй відповідає функція Фермі-Дірака

Отже властивості твердих тіл визначаються властивістю електронного газу, тобто статистикою Фермі-Дірака, яка вивчає властивості систем, що складаються з великого числа частинок. Важливе значення має функція розподілу частинок по енергіях n (E). Через dn позначають число частинок в одиниці об'єму, енергія яких укладена в нескінченно вузькому інтервалі енергії від Е до E + dE.
dn = n (E) dE (1)
Функція n (E) дозволяє розрахувати число частинок в одиниці об'єму, енергія яких укладена в кінцевому інтервалі від E1 до E2.
(2)
Якщо через n0 позначити загальне число частинок в одиниці об'єму безвідносно до значення їх енергій, тобто концентрацію частинок, то з (2) випливає наступне умова нормування для функції розподілу:
(3)
Різні частинки системи мають різні значення енергії, причому функція n (E) характеризує розподіл часток по енергіях. Знаючи n (E), можна розрахувати середнє значення енергії частинок даної системи:
(4) або (5)
Знаючи функцію розподілу часток по енергіям, можна знайти середнє значення будь-якої фізичної величини А (Е), що залежить від енергії частинки, Наприклад, швидкість частинки

Середнє значення А (Е) у системі частинок з відомою функцією розподілу n (E) визначається за формулою:
(6)
У класичній статистиці Максвелла-Больцмана, яка застосовується до класичного газу, ця функція розподілу залежить від значень абсолютної температури газу Т і має вигляд:
(7)
У квантовій статистиці Фермі-Дірака, яка застосовується до системи квантових частинок, що мають напівцілий спин і підпорядковується принципу заборони Паулі (дрібні частинки, як електрони, протони, нейтрони та інші, називаються ферміонами), функція розподілу має вигляд добутку двох функцій:
(8)
де (9)
(10)

m - маса частинки
Функція g (E) характеризує число квантових станів в одиниці об'єму в одиничному інтервалі для вільних частинок і носить назву щільності квантових станів. З (9) випливає, що щільність квантових станів для вільних частинок, що підкоряються статистиці Фермі-Дірака, зростає з ростом енергії:
g (E) ~
Функція f (E, T) називається функцією Фермі. Ця функція визначається ймовірністю того, що квантові стани з енергією Е зайняті частинками при заданій температурі Т. За її змістом її не може бути більше одиниці.
Параметр системи частинок EF, що входить у вираз для функції Фермі, носить назву енергії Фермі (енергію Фермі називають також хімічним потенціалом), а відповідне значення за лекалом енергій називається енергією Фермі.
Формально, виходячи з (10), енергію Фермі можна визначити як енергію таких квантових стані, ймовірність заповнення яких частками дорівнює 0,5. Дійсно, з (10) випливає, що f (EF, T) = 0,5.
Енергія Фермі квантової системи ферміонів залежить від
(11)
концентрації частинок n0 і від температури Т, а значення енергії Фермі при абсолютному нулі температури (тут і далі абсолютний нуль температури розуміється як межа Т => 0, мається на увазі, що абсолютний нуль недосяжний) можна розглядати за формулою

.
Звичайно розглядаються системи, у яких . Для таких систем згідно зі (1) можна знехтувати залежністю енергії Фермі від температури і вважати

Вид функції Фермі наведено на малюнку.

повністю заповнені частинками, а всі квантові стани з енергією - Порожні. Тому енергію Фермі при абсолютному нулі можна визначити як максимальну енергію частинок даної системи при T = 00K. За рахунок нагріву системи частина частинок які мали при T = 00K енергії менше рівня Фермі набувають енергії трохи вище рівня Фермі. При цьому область частково заповнених квантових станів, тобто область, де, , Має за шкалою енергій розмір порядку 2КТ.
Системи, які описуються квантової статистикою Фермі-Дірака, називають виродженими системами, на відміну від невироджених систем класичних частинок, що підкоряються статистиці Максвелла-Больцмана.

При температурах вище деякої температури TB, яка називається температурою виродження системи, властивості системи ферміонів змінюються так, що квантова статистика Фермі-Дірака при Т> TB переходить у класичну статистику Максвелла-Вольцмана. При температурі вище за температуру виродження частина ферміонів можна розглядати як невироджених класичний газ. Температура виродження системи залежить від її енергії Фермі, тобто від концентрації частинок n0, збільшуючись з ростом n0.

Наприклад, температура виродження в калії, ;
.
.
.
Такі великі значення для температур виродження електронного газу (порядку десятків тисяч градусів) виходять практично для всіх металів. Це говорить про те, що електронний газ в металі практично завжди слід розглядати як вироджений газ. Класичний опис його властивостей з застосуванням статики Максвелла-Больцмана неможливо.
Знаючи розподіл dn (E) електронів в металі, можна встановити розподіл dn (P) електронів, по імпульсах. Визначимо частковий випадок розподілу при Т = О.
,

.
.


При T = 0, f (E, 0) = 1.

Робота виходу електрона з металу. Термоелектронна емісія.

Формули Річардсона та Річардсона-Дешмана

Висока електропровідність металів говорить про те, що електрони здатні порівняно вільно переміщатися всередині всієї кристалічної решітки металу.
Утруднений їх вихід з металу, у вакуум, що вимагає витрати деякої енергії, званої 'роботою виходу'.
Це наштовхнуло на думку розглядати метал в першому наближенні, просто як потенційну яму, всередині якої (тобто в металі) потенційна енергія електрона дорівнює нулю U0 = 0, а поза металу, тобто у вакуумі U> 0. Ця спрощена модель дозволила пояснити багато явищ.
Робота виходу - енергія, яку потрібно витрачати, щоб енергія електрона стала більше висоти потенційного бар'єру в поверхневому шарі металу. І завдяки тунельному ефекту електрон може покинути метал.

За принципом Паулі на кожному енергетичному рівні може знаходиться max два електрони з протилежними спинами (два квантових стану).
верхня межа заповнених рівнів при T = 0 (рівень Фермі).
- Максимальний імпульс при Т = 0.

Для срібла
- Щільність срібла.
A = 107,9 - атомний вагу (а. о м).

або
Робота виходу
Глибина потенційної ями , З квантової точки зору робота виходу дорівнює різниці висоти потенційного бар'єру і енергії Фермі


Робота виходу характеризує мінімальну енергію, яку треба повідомити вільному електрону, що знаходиться на рівні Фермі, щоб він міг подолати потенційний бар'єр на поверхні твердого тіла і вийти за межі металу,
При кімнатній температурі число електронів, енергія яких достатня для подолання цього бар'єру, дуже невелика. Проте їхня кількість різко зростає з підвищенням температури.
Явище випускання електронів нагрітими тілами, називається термоелектронної емісією.
Розрахунок щільності струму термоелектронної емісії при деякій температурі Т для металу з роботою виходу А. визначається формулою Річардсона - Дешмана:
, Де
C = Const =
Експонентний множник

для A>> KT визначає ймовірність того, що електрон в металі при температурі Т має енергію Uo, достатню, щоб залишити метал, подолавши потенційний бар'єр поблизу поверхні металу. Всі ці висновки отримані з точки зору квантової статистики Фермі-Дірака для електронного газу, тобто для частинок, що мають напівцілий спин і підкоряються принципу Паулі.
Дешман отримав формулу виходячи з квантових уявлень у 1923р. а Річардсон вивів у 1901р виходячи з класичних уявлень.
Так емісія визначається

Зміна струму пов'язано зі зміною температури




Література

1. Шпольський Е.В. "Атомні фізика". т. I-II М. Наука, 1984 р.
2. Блохінцев Д.І. "Основи квантової механіки" М. Наука, 1983 р.
3. Гольдін Л.Л., Новикова Г.І. "Введення в квантову фізику". М. Наука, 1988 р.
4. Матвєєв О.М. "Атомна фізика" М. Вища школа 1989
5. Ландау Л.Д., Ліфшиц Е.М. "Квантова механіка" М. Наука 1974
6. Соколов А.А., Тернів Н.М., Жуковський В.Ч. "Квантова механіка" М. Наука 1979
7. Фок В.А. "Почала квантової механіки" М Наука 1976
8. Горяга Г.І. "Конспект лекцій з атомної фізики". М. Наука, 1985 р.
9. Кіттель Ч. "Введення у фізику твердого тіла" (переклад з американського видання) М. Наука, 1978 р.
10. Бонч-Брусевіч В.Л. "Фізика напівпровідників" М. Наука 1977
11. Шилінг Г. "Статистична фізика в прикладах". М. СВІТ 1976
12. Кірєєв П.С. "Фізика напівпровідників" М. Вища школа, 1975 р.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Реферат
43.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Квантова фізика
Квантова електроніка
Квантова теорія атома
Квантова механіка її інтерпретація
Геометрична оптика та квантова фізика
Квантова механіка наука XX століття
Історія фізики квантова теорія
Квантово хімічні моделі адсорбції - квантова хімія
Єдина квантова теорія матричне моделювання елементарних частини
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru