Квадратні рівняння та рівняння вищих порядків

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерство освіти Російської Федерації
Муніципальне загальноосвітній заклад
"Середня загальноосвітня школа № 22"
Квадратні рівняння та рівняння вищих порядків
Виконали:
Учні 8-го класу
Кузнєцов Євген і Руді Олексій
Керівник:
Зеніна Алевтина Дмитрівна
викладач математики
Тюмень
2005

Зміст
Введення
Глава 1. Історія квадратних рівнянь і рівнянь вищих порядків
1.1 Рівняння в Стародавньому Вавілоні
1.2 Рівняння арабів
1.3 Рівняння в Індії
Глава 2. Теорія квадратні рівняння і рівняння вищих порядків
2.1 Основні поняття
2.2 Формули парного коефіцієнта при х
2.3 Теорема Вієта
2.4 Квадратні рівняння приватного характеру
2.5 Теорема Вієта для многочленів (рівнянь) вищих ступенів
2.6 Рівняння, що зводяться до квадратних (біквадратні)
2.7 Дослідження біквадратних рівнянь
2.8 Формули Кордан
2.9 Симетричні рівняння третього ступеня
2.10 Зворотні рівняння
2.11 Схема Горнера
Висновок
Список використаної літератури
Додаток 1
Додаток 2
Додаток 3

Введення
Рівняння в шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему. Дійсно, рівняння не тільки мають важливе теоретичне значення, але і служать суто практичним цілям. Переважна кількість задач про просторові форми і кількісні співвідношення реального світу зводиться до вирішення різних видів рівнянь. Опановуючи способами їх вирішення, ми знаходимо відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв'язок і т. д.).
У цьому рефераті хотілося б відобразити формули і способи вирішення різних рівнянь. Для цього наводяться рівняння, які не вивчаються у шкільній програмі. В основному це рівняння приватного характеру та рівняння вищих ступенів. Щоб розкрити цю тему наводяться докази цих формул.
Завдання нашого реферату:
- Покращити навички розв'язання рівнянь
- Напрацювати нові способи рішення рівнянь
- Вивчити деякі нові способи та формули для вирішення цих рівнянь.
Об'єкт дослідження - елементарна алгебра Предмет дослідження рівняння. Вибір цієї теми грунтувався на тому, що рівняння є як у програмі початкової, так і в кожному наступному класі загальноосвітніх шкіл, ліцеїв, коледжів. Багато геометричні задачі, задачі з фізики, хімії та біології вирішуються за допомогою рівнянь. Рівняння вирішували двадцять п'ять століть тому. Вони створюються і сьогодні - як для використання в навчальному процесі, так і для конкурсних іспитів до вузів, для олімпіад самого високого рівня.

Глава 1. Історія квадратних рівнянь і рівнянь вищих порядків
1.1 Рівняння в Стародавньому Вавілоні
Алгебра виникла у зв'язку з вирішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Зазвичай в задачах потрібно знайти одну або декілька невідомих, знаючи при цьому результати деяких дій, вироблених над шуканими і даними величинами. Такі завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, до знаходження шуканих за допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. В алгебрі вивчається загальні властивості дій над величинами.
Деякі алгебраїчні прийоми рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Стародавньому Вавілоні. Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другого ступеня ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земельними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Як було сказано раніше, квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до нашої ери вавилонянами. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються як неповні, так і повні квадратні рівняння.
Правило рішення цих рівнянь, викладене у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасними, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішенням, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.
Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутнє поняття від'ємного числа і загальні методи вирішення квадратного рівняння.
1.2 Рівняння арабів
Деякі способи вирішення рівнянь як квадратних, так і рівнянь вищих ступенів були виведені арабами. Так відомий арабський математик Ал-Хорезмі у своїй книзі «Ал - Джабар» описав багато способів вирішення різних рівнянь. Їх особливість була в тому, що Ал-Хорезмі застосовував складні радикали для знаходження коренів (рішень) рівнянь. Необхідність у вирішенні таких рівнянь була потрібна в питаннях про розподіл спадщини.
1.3 Рівняння в Індії
Квадратні рівняння вирішували і в Індії. Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 році індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII століття), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної конічній формі:
aх ² + bx = c, де a> 0
У цьому рівнянні коефіцієнти, крім а, можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.
У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто наділялися в віршовану форму.
Різні рівняння як квадратні, так і рівняння вищих ступенів вирішувалися нашими далекими предками. Ці рівняння вирішували в самих різних і віддалених один від одного країнах. Потреба в рівняннях була велика. Рівняння застосовувалися в будівництві, у військових справах, і в побутових ситуаціях.

Глава 2. Квадратні рівняння та рівняння вищих порядків
2.1 Основні поняття
Квадратним рівнянням називають рівняння виду
ax ² + bx + c = 0,
де коефіцієнти a, b, c - будь-які дійсні числа, причому a ≠ 0.
Квадратне рівняння називають наведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює 1.
Приклад:
x 2 + 2x + 6 = 0.
Квадратне рівняння називають не приведеним, якщо старший коефіцієнт відмінний від 1.
Приклад:
2x 2 + 8x + 3 = 0.
Повне квадратне рівняння - квадратне рівняння, в якому присутні всі три доданків, іншими словами, це рівняння, у якого коефіцієнти b і c відмінні від нуля.
Приклад:
3x 2 + 4x + 2 = 0.
Неповна квадратне рівняння - це квадратне рівняння, у якого хоча б один коефіцієнт b, c дорівнює нулю.
Таким чином, виділяють три види неповних квадратних рівнянь:
1) ax ² = 0 (має два співпадаючих кореня x = 0).
2) ax ² + bx = 0 (має два кореня x 1 = 0 і x 2 = - )
Приклад:
x 2 + 5x = 0
x (x +5) = 0
x 1 = 0, x 2 = -5.
Відповідь: x 1 = 0, x 2 = -5.
3) ax ² + c = 0
Якщо - <0 - рівняння не має коренів.
Приклад:
5x 2 + 6 = 0
Відповідь: рівняння не має коренів.
Якщо - > 0, то x 1,2 = ±
Приклад:
2x 2 - 6 = 0

х 2 = ±
х 1,2 = ±
Відповідь: х 1,2 = ±
Будь-яке квадратне рівняння можна вирішити через дискримінант (b ² - 4ac). Зазвичай вислів b ² - 4ac позначають буквою D і називають дискримінант квадратного рівняння ax ² + bx + c = 0 (або дискримінант квадратного трьох члена ax ² + bx + c)
Приклад:
х 2 +14 x - 23 = 0
D = b 2 - 4ac = 144 + 92 = 256
x 1,2 =
x 1 =
x 2 =
Відповідь: x 1 = 1, x 2 = - 15.
У залежності від дискриминанта рівняння може мати або не мати рішення.
1) Якщо D <0, то не має рішення.
2) Якщо D = 0, то рівняння має два співпадаючих рішення x 1,2 =
3) Якщо D> 0, то має два рішення, що знаходяться за формулою:
x 1,2 =

2.2 Формули парного коефіцієнта при х
Ми звикли до того, що коріння квадратного рівняння
ax ² + bx + c = 0 знаходяться за формулою
x 1,2 =
Але математики ніколи не пройдуть повз можливості полегшити собі обчислення. Вони виявили, що цю формулу можна спростити у разі, коли коефіцієнт b має вигляд b = 2k, зокрема, якщо b є парне число.
Справді, нехай у квадратного рівняння ax ² + bx + c = 0 коефіцієнт b має вигляд b = 2k. Підставивши в нашу формулу число 2k замість b, отримаємо:
x 1,2 =
=
Отже, корені квадратного рівняння ax ² + 2kx + c = 0 можна обчислювати за формулою:
x 1,2 =
Приклад:
2 - 2 х + 1 = 0

x 1,2 =
Перевага цієї формули в тому, що в квадрат зводиться не число b, а його половина, віднімається з цього квадрата не 4ac, а просто ac і, нарешті, в тому, що в знаменнику міститься не 2a, а просто a.
У разі якщо квадратне рівняння наведене, то наша формула буде виглядати так:
x 1,2 =- k ± .
Приклад:
х 2 - 4х + 3 = 0
х 1,2 = 2 ±
х 1 = 3
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 3, х 2 = 1.
2.3 Теорема Вієта

Дуже цікаве властивість коренів квадратного рівняння виявив французький математик Франсуа Вієт. Це властивість назвали теорема Вієта:

Щоб числа x 1 і x 2 були корінням рівняння:

ax ² + bx + c = 0

необхідно і достатньо виконання рівності

x 1 + x 2 =-b / a і x 1 x 2 = c / a
Теорема Вієта дозволяє судити про знаки й абсолютній величині квадратного рівняння
А саме
x ² + bx + c = 0
1. Якщо b> 0, c> 0 то обидва кореня негативні.
2. Якщо b <0, c> 0 то обидва кореня позитивні.
3. Якщо b> 0, c <0 то рівняння має різних знаків, причому негативний корінь по абсолютній величині більше позитивного.
4. Якщо b <0, c <0 то рівняння має різних знаків, причому негативний корінь за абсолютною величиною менше позитивного.
2.4 Квадратні рівняння приватного характеру
1) Якщо a + b + c = 0 в рівнянні ax ² + bx + c = 0, то
х 1 = 1, а х 2 = .
Доказ:
У рівнянні ax ² + bx + c = 0, його коріння
x 1,2 = (1).
Уявімо b з рівності a + b + c = 0
Підставимо цей вираз у формулу (1):

х 1,2 =
=
Якщо розглянемо окремо два кореня рівняння, отримаємо:
1) х 1 =
2) х 2 =
Звідси випливає: х 1 = 1, а х 2 = .
1. Приклад:
2х ² - 3х + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1.
a + b + c = 0, отже
х 1 = 1
х 2 = ½
2. Приклад:
418х ² - 1254х + 836 = 0
Цей приклад дуже важко вирішити через дискримінант, але, знаючи вище наведену формулу його з легкістю можна вирішити.
a = 418, b = -1254, c = 836.
х 1 = 1 х 2 = 2

2) Якщо a - b + c = 0, в рівнянні ax ² + bx + c = 0, то:
х 1 =- 1, а х 2 =- .
Доказ:
Розглянемо рівняння ax ² + bx + c = 0, з нього випливає, що:
x 1,2 = (2).
Уявімо b з рівності a - b + c = 0
b = a + c, підставимо у формулу (2):
x 1,2 =
=
Отримуємо два вирази:
1) х 1 =
2) х 2 =
Ця формула схожа на попередню, але вона теж важлива, тому що часто зустрічаються приклади такого типу.
1) Приклад:
2х ² + 3х + 1 = 0
a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, отже
х 1 = -1
х 2 = -1 / 2
2) Приклад:

Відповідь: x 1 = -1; х 2 = -
3) Метод "перекидання"
Коріння квадратних рівнянь y ² + by + АC = 0 і ax ² + bx + c = 0 пов'язані співвідношеннями:
х 1 = і х 2 =
Доказ:
а) Розглянемо рівняння ax ² + bx + c = 0
x 1,2 = =
б) Розглянемо рівняння y ² + by + АC = 0
y 1,2 =

Зауважимо, що дискримінант в обох рішень рівні, порівняємо корені цих двох рівнянь. Вони відрізняються один від одного на старший коефіцієнт, коріння першого рівняння менше коренів другого на а. Використовуючи теорему Вієта і вище наведене правило, неважко вирішувати різноманітні рівняння.
Приклад:
Маємо довільне квадратне рівняння
10х ² - 11х + 3 = 0
Перетворимо це рівняння з наведеним правилом
y ² - 11y + 30 = 0
Отримаємо наведене квадратне рівняння, яке можна досить легко вирішити за допомогою теореми Вієта.
Нехай y 1 і y 2 корені рівняння y ² - 11y + 30 = 0
y 1 y 2 = 30 y 1 = 6
y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5
Знаючи, що коріння цих рівнянь відмінні один від одного на а, то
х 1 = 6 / 10 = 0,6
х 2 = 5 / 10 = 0,5
У деяких випадках зручно вирішувати спочатку не дане рівняння ax ² + bx + c = 0, а наведене y ² + by + АC = 0, яке виходить з даного «перекиданням» коефіцієнта а, а потім розділити знайдений коріння на а для знаходження вихідного рівняння.

2.5 Формула Вієта для многочленів (рівнянь) вищих ступенів
Формули, виведені Вієтом для квадратних рівнянь, вірні і для многочленів вищих ступенів.
Нехай многочлен
P (x) = a 0 x n + A 1 x n -1 ­­­ + ... + A n
Має n різних коренів x 1, x 2 ..., x n.
У цьому випадку він має розкладання на множники виду:
a 0 x n + A 1 x n-1 + ... + a n = a 0 (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n)
Розділимо обидві частини цієї рівності на a 0 ≠ 0 і розкриємо в першій частині дужки. Отримаємо рівність:
x n + ( ) X n -1 + ... + ( ) = X n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (X 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n) x n -2 + ... + (-1) N x 1 x 2 ... x n
Але два многочлена тотожний рівні в тому і тільки в тому випадку, коли коефіцієнти при однакових ступенях рівні. Звідси випливає, що виконується рівність
x 1 + x 2 + ... + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n =
x 1 x 2 ... x n = (-1) N

Наприклад, для многочленів третього ступеня
a 0 x ³ + a 1 x ² + a 2 x + a 3

Маємо тотожності

x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Як і для квадратних рівнянь, цю формулу називають формулами Вієта. Ліві частини цих формул є симетричними многочленами від коренів x 1, x 2 ..., x n даного рівняння, а праві частини виражаються через коефіцієнт многочлена.
2.6 Рівняння, що зводяться до квадратних (біквадратні)
До квадратних рівнянь зводяться рівняння четвертого ступеня:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
звані біквадратні, причому, а ≠ 0.
Досить покласти в цьому рівнянні х 2 = y, отже,
ay ² + by + c = 0
знайдемо коріння отриманого квадратного рівняння

y 1,2 =
Щоб знайти відразу коріння х 1, x 2, x 3, x 4, замінимо y на x і отримаємо
x ² =
х 1,2,3,4 = .
Якщо рівняння четвертого ступеня має х 1, то має і корінь х 2 =-х 1,
Якщо має х 3, то х 4 = - х 3. Сума коренів такого рівняння дорівнює нулю.
Приклад:
4 - 9x ² + 4 = 0

Підставимо рівняння у формулу коренів біквадратних рівнянь:

х 1,2,3,4 = ,
знаючи, що х 1 =-х 2, а х 3 =-х 4, то:
х 1,2 =
х 3,4 =
Відповідь: х 1,2 = ± 2; х 1,2 =

2.7 Дослідження біквадратних рівнянь
Візьмемо біквадратні рівняння
ax 4 + bx 2 + c = 0,
де a, b, c-дійсні числа, причому а> 0. Ввівши допоміжну невідому y = x ², досліджуємо корені даного рівняння, і результати занесемо до таблиці (див. додаток № 1)
2.8 Формула Кардано
Якщо скористатися сучасної символікою, то висновок формули Кардано може мати такий вигляд:
х =
Ця формула визначає коріння загального рівняння третього ступеня:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Ця формула дуже громіздка і складна (вона містить кілька сложниних радикалів). Вона не завжди застосуватися, тому що дуже складна для заповнення.
2.9 Симетричні рівняння третього ступеня
Симетричними рівняннями третього ступеня називають рівняння виду

ax ³ + bx ² + bx + a = 0 (1)
або
ax ³ + bx ² - bx - a = 0 (2)
де a і b - задані числа, причому a ¹ 0.
Покажемо, як вирішуються рівняння (1).
Маємо:
ax ³ + bx ² + bx + a = a (x ³ + 1) + bx (x + 1) = a (x + 1) (x ² - x + 1) + bx (x + 1) = (x + 1) (ax ² + (b - a) x + a).
Отримуємо, що рівняння (1) рівносильне рівнянню
(X + 1) (ax ² + (b - a) x + a) = 0.
Значить його корінням, будуть корені рівняння
ax ² + (b - a) x + a = 0
і число x = -1
аналогічно вирішується рівняння (2)
ax ³ + bx ² - bx - a = a (x ³ - 1) + bx (x - 1) = a (x - 1) (x ² + x + 1) + bx (x - 1) = (x - 1) (ax 2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax ² + (b + a) x + a).
1) Приклад:
2x ³ + 3x ² - 3x - 2 = 0

Ясно, що x 1 = 1, а
х 2 і х 3 корені рівняння 2x ² + 5x + 2 = 0,
Знайдемо їх через дискримінант:
x 1,2 =
x 2 = - , X 3 = -2
2) Приклад:
5х ³ + 21х ² + 21х + 5 = 0
Ясно, що x 1 = -1, а
х 2 і х 3 корені рівняння 5x ² + 26x + 5 = 0,
Знайдемо їх через дискримінант:
x 1,2 =
x 2 = -5, x 3 = -0,2.
2.10 Зворотні рівняння
Одне рівняння - рівняння алгебри
а 0 х n + a 1 x n - 1 + ... + a n - 1 x + a n = 0,
в якому а к = a n - k, де k = 0, 1, 2 ... n, причому, а ≠ 0.
Задачу знаходження коренів поворотного рівняння зводять до задачі знаходження рішень алгебраїчного рівняння меншою мірою. Термін поворотні рівняння був введений Л. Ейлером.
Рівняння четвертого ступеня види:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am ² = 0, (a ≠ 0).
Навівши це рівняння до виду
a (x ² + m² / x ²) + b (x + m / x) + c = 0, і y = x + m / x і y ² - 2m = x ² + m² / x ²,
звідки рівняння приводиться до квадратному
ay ² + by + (c-2am) = 0.
Приклад:
4 + 5х 3 - 14х 2 - 10х ​​+ 12 = 0
Розділивши його на х 2, отримаємо еквівалентну рівняння
2 + 5х - 14 - 5 × , Або

Де і
3 (y 2 - 4) + 5y - 14 = 0, звідки
y 1 = y 2 = -2, отже
і , Звідки
х 1,2 =

х 3,4 =
Відповідь: х 1,2 = х 3,4 = .
Окремим випадком зворотних рівнянь є симетричні рівняння. Про симетричних рівняннях третього ступеня ми говорили раніше, але існують симетричні рівняння четвертого ступеня.
Симетричні рівняння четвертого ступеня.
1) Якщо m = 1, то це симетричне рівняння першого роду, що має вигляд
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 і вирішувати новій підстановкою
y =
2) Якщо m = -1, то це симетричне рівняння другого роду, що має вигляд
ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 і вирішувати новій підстановкою
y =
2.11 Схема Горнера
Для розподілу многочленів застосовується правило "поділу кутом", або схема Горнера. З цією метою мають многочлени по убутним ступенями х і знаходять старший член приватного Q (x) з умов, що при множенні його на старший член дільника D (x) виходить старший член діленого P (x). Знайдений член приватного множать, потім на дільник і віднімають з діленого. Старший член приватного визначають з умови, що він при множенні на старший член дільника дає старший член многочлена різниці і т.д. Процес продовжується до тих пір, поки ступінь різниці не виявиться менше ступеня дільника. (Див. додаток № 2).
У випадку рівнянь R = 0 цей алгоритм замінюється схемою Горнера.
Приклад:
х 3 + 4х 2 + х - 6 = 0
Знаходимо дільники вільного члена ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.
Ліву частину рівняння позначимо f (x). Очевидно, що f (1) = 0, x1 = 1. Ділимо f (x) на х - 1. (Див. додаток № 3)
Значить,
х 3 + 4х 2 + х - 6 = (х - 1) (х 2 + 5х + 6)
Останній множник позначимо через Q (x). Вирішуємо рівняння Q (x) = 0.
х 2,3 =
Відповідь: 1; -2; -3.
У цьому розділі ми навели деякі формули вирішення різних рівнянь. Більшість цих формул рішення рівнянь приватного характеру. Ці властивості дуже зручні так, як набагато легше вирішувати рівняння за окремою формулою для цього рівняння, а не за загальним принципом. До кожного із способів ми привели доказ і кілька прикладів.

Висновок
У першому розділі була розглянута історія виникнення квадратних рівнянь і рівнянь вищих порядків. Різні рівняння вирішували більше 25 століть тому. Безліч способів вирішення таких рівнянь були створені у Вавилоні, Індії. Потреба в рівняннях була і буде.
У другому розділі наведені різні способи рішення (знаходження коренів) квадратних рівнянь і рівнянь вищих порядків. В основному це способи рішення для рівнянь приватного характеру, тобто до кожної групи рівнянь, об'єднаних певними спільними властивостями або видом, наведено особливе правило, що застосовується тільки для цієї групи рівнянь. Цей спосіб (підбору до кожного рівняння власної формули) набагато легше, ніж знаходження коренів через дискримінант.
У цьому рефераті досягнуті всі цілі і виконані основні завдання, доведені і розучені нові, раніше невідомі формули. Ми пропрацювали багато варіантів прикладів перед тим, як занести їх у реферат, з цього ми вже уявляємо, як вирішувати деякі рівняння. Кожне рішення знадобиться нам у подальшому навчанні. Цей реферат допоміг класифікувати старі знання і пізнати нові.

Список літератури
1. Віленкін Н.Я. "Алгебра для 8 класу", М., 1995.
2. Галицький М.Л. "Збірник задач з алгебри", М. 2002.
3. Даан-Дальмедіко Д. "Шляхи та лабіринти", М., 1986.
4. Звавіч Л.І. "Алгебра 8 клас", М., 2002.
5. Кушнір І.А. "Рівняння", Київ 1996.
6. Савін Ю.П. "Енциклопедичний словник юного математика", М., 1985.
7. Мордкович А.Г. "Алгебра 8 клас", М., 2003.
8. Худобін А.І. "Збірник задач з алгебри", М., 1973.
9. Шаригін І.Ф. "Факультативний курс з алгебри", М., 1989.

Додаток 1
Дослідження біквадратних рівнянь
C
b

Висновки

Про коріння допоміжного рівняння ay ² + by + c = 0
Про коріння даного рівняння a (x ²) ² + bx ² + c = 0

C <0

b-будь-яке дійсне число

y <0; y> 0

2 Січень

x = ± Öy

1,2 2

C> 0

b <0

D> 0

y> 0
1,2

x = ± Öy

1,2,3,4 1,2

D = 0

y> 0

x = ± Öy

1,2.

D <0

Ні коренів

Ні коренів

b ≥ 0
y <0
1,2

Ні коренів

Ні коренів

Ні коренів

y> 0; y <0

2 Січень

x = ± Öy

1,2 1

C = 0

b> 0
y = 0
x = 0
b = 0
y = 0
x = 0
b <0
y = 0
x = 0

Додаток 2
Розподіл многочлена на многочлен «куточком»
A 0
a 1
a 2
...
a n
c
+
b 0 c
b 1 c
...
b n-1 c
B 0
b 1
b 2
...
b n
= R (залишок)

Додаток 3
Схема Горнера
Корінь

1
4
1
-6
1
х 1 = 1
зносимо
5
6
0

1
1 × 1 +4 = 5
5 × 1 + 1 = 6
6 × 1 - 6 = 0
корінь
х 1 = 1
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
83.5кб. | скачати


Схожі роботи:
Диференціальні рівняння вищих порядків
Диференціальні рівняння вищих порядків
Урок систематизації та узагальнення знань по темі Квадратні рівняння
Елективний курс з алгебри для 9-го класу на тему Квадратні рівняння та нерівності з параметром
Частинні похідні і диференціали вищих порядків
Похідні і диференціали вищих порядків Функції задані параметрично їх диференціювання
Ірраціональні рівняння
Логарифмічні рівняння
Діофантових рівняння
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru