Золотий перетин

Людина розрізняє навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі.

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, мимоволі приковує нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина - горизонтальний або вертикальний. Таких точок всього чотири, і розташовані вони на відстані 3 / 8 і 5 / 8 від відповідних країв площині.

Дане відкриття у художників того часу набуло назву "золотий перетин" картини. Тому, для того щоб привернути увагу до головного елементу фотографії, необхідно поєднати цей елемент з одним із зорових центрів.

У математиці пропорцією (лат. proportio) називають рівність двох відносин: a: b = c: d.

Відрізок прямій АВ можна розділити на дві частини наступними способами:

Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні.

Золотий перетин - це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього a: b = b : c або с: b = b: а.

Практичне знайомство із золотим перетином починають із розподілу відрізка прямій у золотої пропорції за допомогою циркуля і лінійки.

Рис. 2. Поділ відрізка прямої по золотому перетину. BC = 1 / 2 AB; CD = BC

З точки В підіймали перпендикуляр, дорівнює половині АВ. Отримана крапка З єднується лінією із крапкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок ВС, що закінчується точкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому крапка Е ділить відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE = 0,618 ..., якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ = 0,382 ... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка рівна 62, а менша - 38 частинам.

Властивості золотого перетину описуються рівнянням:

Властивості золотого перетину створили навколо цього числа романтичний ореол таємничості і мало не містичного поклоніння.

Болгарський журнал «Вітчизна» (№ 10, 1983 р.) опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця «Про другий золотий перетин», яке випливає з основного перетину й дає інше відношення 44: 56.

Така пропорція виявлена в архітектурі, а також має місце при побудові композицій зображень подовженого горизонтального формату.

Рис. 3. Побудова другого золотого перетину


	Розподіл здійснюється в такий спосіб. Відрізок АВ ділиться в пропорції золотого перерізу. З точки З підіймали перпендикуляр СD. Радіусом АВ перебуває крапка D, яка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСD ділиться навпіл. З точки С проводиться лінія до перетинання з лінією AD. Крапка Е ділить відрізок AD у відношенні 56: 44.

Рис. 3.1. Розподіл прямокутника лінією другого золотого перетину На малюнку показане положення лінії другого золотого перетину. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перетину і середньою лінією прямокутника. 4. Золотий трикутник Чудовий приклад «золотого перетину» являє собою правильний п'ятикутник - опуклий і зірчастий (рис. 4). З подоби трикутників ACD і ABE можемо вивести вже відому пропорцію: Таким чином, зірчастий п'ятикутник також володіє «золотим перетином». Цікаво, що всередині п'ятикутника можна продовжити будувати п'ятикутники, і це ставлення буде зберігатися. Зірчастий п'ятикутник називається пентаграмою. Піфагорійці вибрали п'ятикутну зірку в якості талісмана, вона вважалася символом здоров'я і служила розпізнавальним знаком. Існує легенда про те, що один з піфагорійців хворим потрапив у будинок до незнайомих людей. Вони намагалися його виходити, але хвороба не відступала. Не маючи коштів заплатити за лікування і догляд, хворий перед смертю попросив господаря вдома намалювати біля входу п'ятикутну зірку, пояснивши, що по цьому знаку знайдуться люди, які винагородять його. І насправді, через деякий час один з подорожуючих піфагорійців зауважив зірку і став розпитувати господаря будинку про те, яким чином вона з'явилися біля входу. Після розповіді господаря гість щедро винагородив його. Пентаграма була добре відома і в Давньому Єгипті. Але безпосередньо як емблема здоров'я вона була прийнята лише в Стародавній Греції. В даний час існує гіпотеза, що пентаграма - первинне поняття, а «золотий перетин» вдруге. Пентаграму ніхто не винаходив, її тільки скопіювали з натури. Вид п'ятикутної зірки мають п'яти-пелюсткові квіти плодових дерев і чагарників, морські зірки. Ті й інші створіння природи людина спостерігає вже тисячі років. Тому природно припустити, що геометричний образ цих об'єктів - пентаграма - стала відома раніше, ніж «золота» пропорція. Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного й спадного рядів можна користуватися пентаграмою. Рис. 5. Побудова правильного п'ятикутника і пентаграми Для побудови пентаграми необхідно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець і графік Альбрехт Дюрер (1471 ... 1528). Нехай O - центр окружності, A - крапка на окружності й Е - середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, восставленний в точці О, перетинається з окружністю в точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на окружності відрізки DC і одержимо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями і отримуємо пентаграму. Всі діагоналі п'ятикутника ділять один одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією. Кожен кінець п'ятикутною зірки являє собою золотий трикутник. Його сторони утворюють кут 36 ° при вершині, а підстава, відкладене на бічну сторону, ділить її в пропорції золотого перерізу.

		Рис. 6. Побудова золотого трикутника	Проводимо пряму АВ. Від точки А відкладаємо на ній три рази відрізок О довільної величини, через отриману точку Р проводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикуляре вправо і вліво від точки Р відкладаємо відрізки Про. Отримані точки d і d ₁ з'єднуємо прямими з точкою А. Відрізок dd ₁ відкладаємо на лінію Ad _1, отримуючи точку С. Вона розділила лінію Ad ₁ в пропорції золотого перерізу. Лініями Ad ₁ і dd ₁ користуються для побудови «золотого» прямокутника.

5. Історія золотого перерізу Прийнято вважати, що поняття про золотий розподіл увів у науковий обіг Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI ст. До н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого розподілу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Корбюзье знайшов, що в рельєфі із храму фараона Мережі I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовані пропорції золотого розподілу. Греки були майстерними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників. Рис. 7. Динамічні прямокутники Платон (427 ... 347 рр.. До н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог «Тімей» присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого розподілу. У фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу. Рис. 8. Античний циркуль золотого перетину У дійшла до нас античній літературі золотий розподіл вперше згадується в «Початки» Евкліда. У 2-ій книзі «Начал» дається геометрична побудова золотого розподілу Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гіпсікл (II ст. До н.е.), Папп (III ст. Н.е.) та ін У середньовічній Європі з золотим розподілом познайомилися по арабських перекладах "Почав" Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III в.) Зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки обраним. В епоху Відродження підсилюється інтерес до золотого поділу серед вчених і художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських художників емпіричний досвід великий, а знань мало . Він задумав і почав писати книгу по геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника Пьеро делла Франчески, що написав дві книги, одна з яких називалася «Про перспективу в живописі". Його вважають творцем нарисної геометрії. Лука Пачолі прекрасно розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро в той час працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі «Божественна пропорція» із блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книга була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох достоїнств золотої пропорції чернець Лука Пачолі не проминув назвати і її «божественну суть" як вираження божественної триєдності бог син, бог батько й бог дух святої (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духу святого). Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого розподілу. Він справляв перетину стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і кожного разу отримував прямокутники з відносинами сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому розподілу назва золотий перетин. Так воно і тримається до цих пір, як саме популярне. У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанта трактату про пропорції. Дюрер пише. «Необхідно, щоб той, хто що-небудь уміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я й намірився зробити ». Судячи по одному з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перетину. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера. Великий астроном XVI ст. Іоган Кеплер назвав золотий перетин одним зі скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (ріст рослин і їх будова). Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе «Влаштована вона так, - писав він, - що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності ». Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як убік збільшення (зростаючий ряд), так і в бік зменшення (спадний ряд). Якщо на прямої довільної довжини, відкласти відрізок m, поруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного й спадного рядів:

Рис. 9. Побудова шкали відрізків золотої пропорції

Рис. 11. Золоті пропорції в фігурі людини

Справедливість своєї теорії Цейзінг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш докладно він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідженню грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзінг дав визначення золотому перетину, показав, як воно виражається у відрізках прямої й у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзінг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до нескінченності в одну і в іншу сторону. Наступна його книга мала назву «Золотий розподіл як основний морфологічний закон у природі та мистецтві». У 1876 р. в Росії була видана невелика книжка, майже брошура, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор укрився під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано ні один твір живопису. У кінці XIX - початку XX ст. з'явилося чимало суто формалістичних теорії про застосування золотого перетину у творах мистецтва і архітектури. З розвитком дизайну й технічної естетики чинність закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів і т.д. 6. Ряд Фібоначчі З історією золотого перетину непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував по Сходу, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р вийшов у світ його математична праця «Книга про абаці» (рахунковій дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань проголошувала «Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться". Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі вибудував такий ряд цифр:

	Місяці	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	і т.д.
	Пари кроликів	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	і т.д.

		Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого розподілу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний розподіл відрізка прямій у золотої пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього. Фібоначчі так само займався рішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якого найменшого кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальної є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16 ... 7. Узагальнене золотий перетин Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого розподілу в рослинному й у тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого розподілу. Учені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі і золотого перетину. Ю. Матіясевіч з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ю проблему Гільберта. Виникають витончені методи рішення ряду кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі і золотого перетину. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 року випускає спеціальний журнал. Одним з досягнень в цій області є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі і узагальнених золотих перетинів. Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, 16 ... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сума попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і "двійковий" ряд, і ряд Фібоначчі? А може бути, ця формула дасть нам нові числові безлічі, що володіють якимись новими унікальними властивостями? Дійсно, задамося числовим параметром S, який може приймати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого - одиниці, а кожний з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n-й член цього ряду ми позначимо через φ _S (n), то отримаємо загальну формулу φ _S (n) = φ _S (n - 1) + φ _S (n - S - 1). Очевидно, що при S = 0 з цієї формули ми одержимо "двійковий" ряд, при S = 1 - ряд Фібоначчі, при S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-Чисел Фібоначчі. У загальному вигляді золота S-пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S-перерізу x ^{S +1} - x ^S - 1 = 0. Неважко показати, що при S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S = 1-знайоме класичне золотий перетин. Відносини сусідніх S-Чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються в межі із золотими S-пропорціями! Математики в таких випадках говорять, що золоті S-перерізу є числовими інваріантами S-Чисел Фібоначчі. Факти, що підтверджують існування золотих S-перерізів в природі, приводить білоруський учений Е.М. Сороко в книзі «Структурна гармонія систем» (Мінськ, «Наука і техніка», 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво вираженими функціональними властивостями (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення і т. п) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золотих S-пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золоті S-перерізу є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженої експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в самоорганізованих системах. За допомогою кодів золотий S-пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій з цілими коефіцієнтами. Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що представляють собою золоті S-пропорції, при S> 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять «з голови на ноги" історично склалася ієрархію відносин між числами раціональними й ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були "відкриті" числа натуральні; потім їх відносини - числа раціональні. І лише пізніше - після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків - на світ з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, у десятковій, п'ятеричному, двійкової й інших класичних позиційних системах числення як своєрідної першооснови були обрані натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа. Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснови, початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перетину); через нього вже виражаються інші дійсні числа. У такій системі числення будь-яке натуральне число завжди представимо у вигляді кінцевої, - а не нескінченної, як думали раніше! - Суми ступенів будь-який з золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому «ірраціональна» арифметика, володіючи дивовижною математичною простотою й добірністю, як би увібрала в себе кращі якості класичної двійкової й «фібоначчійовий» арифметик. 8. Принципи формоутворення в природі Все, що здобувало якусь форму, утворювалося, росло, прагнуло зайняти місце в просторі і зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному у двох варіантах - ріст нагору або розстеляння по поверхні землі й закручування по спіралі. Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрові раковина має спіраль довжиною 35 см. Спіралі дуже поширені в природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіралі. Рис. 12. Спіраль Архімеда Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслені по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці. Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне і спіралевідное розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, у шишках сосни, ананасах, кактуси і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листів на гілці (філотаксіс), насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Перелякана череда північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль «кривий життя». Серед пришляхових трав росте нічим не примітне рослина - цикорій. Придивімося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Рис. 13. Цикорій Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру й знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий рівний 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотої пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його росту поступово зменшувалися в пропорції золотого перерізу. Рис. 14. Ящірка живородна У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так ставиться до довжини іншого тіла, як 62 до 38. І в рослинному, і у тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи - симетрія щодо напрямку росту й руху. Тут золотий перетин проявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напрямку росту. Природа здійснила розподіл на симетричні частини й золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого. Рис. 15. Яйце птаха Великий Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіті та перетворенні органічних тел. Це він ввів у науковий обіг термін морфологія. П'єр Кюрі на початку нашого сторіччя сформулював ряд глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якого-небудь тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища. Закономірності "золотий» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних часток, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також проявляються в біоритми і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття. 9. Золотий перетин і симетрія Золотий перетин не можна розглядати саме по собі, окремо, без зв'язку із симетрією. Великий російський кристалограф Г.В. Вульф (1863 ... 1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії. Золотий розподіл не є прояв асиметрії, чогось протилежного симетрії Згідно сучасним уявленням золотий розподіл - це асиметрична симетрія. У науку про симетрію ввійшли такі поняття, як статична і динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна - рух, ріст. Так, у природі статична симетрія представлена будовою кристалів, а в мистецтві характеризує спокій, рівновагу й нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона - свідчення життя. Статичної симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічної симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перетину зростаючого або убутного ряду.

Владивостоцький художнє училище

РЕФЕРАТ

Зміст

Золотий перетин

Введення

Співвідношення паркових об'ємних форм