додати матеріал


Застосування точкових та інтервальних оцінок в теорії ймовірності та математичної статистики

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Кримський Економічний Інститут
Київського Національного Економічного Університету
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Реферат з дисципліни: «Теорія ймовірності та математична статистика»
на тему:
«Застосування точкових та інтервальних оцінок в теорії ймовірності та математичної статистики»
 
 
 
 
 
 
Виконав: Апаз С.В. група ЕП - 21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Сімферополь - 2002
Точкове оцінювання
Як і відомо, вибірка х 1, х 2, х 3, ..., х n є реалізацією випадок-ного вектора (Х 1; Х 2; ... Х n). Це значить, що кожна числова характеристика вибірки є реалізація випадкової величини, яка від вибірки до вибірки може приймати різні значення і, отже, сама є випадковою. Таку випадкову величину називають вибіркової функцією або статистикою і позначають г = р. Цей запис виражає залежність вибіркової функції від випадкових компонент Х i, i = , Вектора1; Х 2; ... Х n). Наприклад, вибірковими функціями є середнє арифметичне , Статистична дисперсія , Мода , Медіана
Так як вибіркова статистика величина випадкова, то вона має закон расрпделенія, що залежить від закону розпаду випадкової величини Х в генеральній сукупності.
Нехай потрібно підібрати розподіл для досліджуваної випадкової величини Х за вибіркою х 1, х 2, х 3, ..., х n, витягнутої з генеральної сукупності з невідомою функцією розподілу F (х). Вибравши розподіл (нормальне, біномінальної, показове або ін), виходячи з аналізу вибірки (наприклад, по вигляд гістограми або по виду полігону відносних частот), ми за даними вибірки мають оцінити параметри відповідного розподілу. Наприклад, для нормального розпо-ділення треба оцінити параметри m і ; Для розподілу Пуасона - параметр l і т.д.
Вирішення питань про "найкращою оцінкою" невідомого параметра і становить теорію статистичного оцінювання.
Вибіркова числова характеристика, яка застосовується для отримання оцінки невідомого параметра генеральної сукупності, називається точкової оцінкою.
Наприклад, Х - середнє арифметичне, може служити оцінкою математичного сподівання М (Х) генеральної сукупності . У принципі для невідомого параметра а може існувати багато число-вих характеристик вибірки, які цілком слушно для того, щоб служити оцінками. Наприклад, середнє арифметичне, медіана, мода можуть здатися цілком прийнятними для оцінювання математичного сподівання М (Х) сукупності. Щоб вирішити, яка з статистик в даній безлічі найкраща, необхідно визначити деякі бажані властивості таких оцінок, тобто вказати умови, яким повинні задовольняти оцінки.
Такими умовами є: незміщеності, ефективності спроможність.
Якщо М (г) = а, то г називається незміщеної оцінкою а.
В інших випадках говорять. Що оцінка зміщена.
Незміщеності оцінки означає, що якщо використовувати цю оцінку, то в одних випадках може вийти. Що ми завищуємо шуканий параметр сукупності, в інших - занижуємо. Проте в середньому ми буде "потрапляти в ціль".
Так, наприклад, незміщеної оцінкою для математичного сподівання М (Х) = а випадкової величини Х є середня арифметична = Р.
Дійсно,
,
тому що результати вибірки х 1, х 2, х 3, ..., х n розглядають як n незалежних випадкових величин Х 1, Х 2, Х 3, ..., Х n, кожна з яких розподілена за тим же законом, що і випадкова величина Х.
Їли існує більше однієї незміщеної оцінки, то вибирають більш ефективну оцінку, тобто ту, для якої величина другого моменту М (г - а) 2 менше.
Оцінка г 1 називається більш ефективною, ніж оцінка г 2, якщо
М (г 1 - а) 2 <М (г 2 - а) 2.
Їли позначити через b = М (р) - а зсув оцінки, то
М (г - а) 2 = D (г) + b 2, так як М (г - М (р) + М (г) - а) 2 = М ((р - М (р)) + + М ( г) - а)) 2 = М ((р - М (р)) + b) 2 = Мг - М (р)) 2 +2 b'M (г - М (р)) + M (b 2) = = D (г) + b 2 (M (г - М (г)) = 0, M (b 2) = b 2). Тому більш ефективної оцінкою будемо вважати ту незміщене оцінку, яка має меншу дисперсію.
Зокрема, середня арифметична = Г є найбільш ефективною оцінкою математичного сподівання М (Х) = а, так як

Всі інші оцінки М (Х) будуть володіти великими дисперсіями. Наприклад,

Мінімальну величину середньоквадратичної похибки оцінюють, використовуючи нерівність Рао-Крамера
, Де b (a) - зсув оцінки; n - обсяг вибірки; функція носить назву інформації Фішера. Будь-яка несмещенная оцінка, а, для якої b (a) º 0 задовольняє нерівності

Таким чином, найменше можливе прапора середньоквадратичних відхилень відмінно від нуля і визначається правими частинами наведених вище нерівностей. При використанні тієї чи іншої оцінки бажано, щоб точність оцінювання збільшилася з зростанням обсягу виробленої вибірки. Гранична точність буде досягнута в тому випадку, коли чисельне значення оцінки збігається зі значенням параметра при необмеженому збільшенні обсягу вибірки. Такі оцінки буде називатися заможними.
Оцінка г називається заможної оцінкою а, якщо при n ® ¥ вона сходиться по ймовірності до а, тобто якщо .
Наприклад, середня арифметична = Г є заможної оцінкою математичного сподівання М (Х) = а сукупності, так як, відповідно до закону великих чисел,
Нарешті, при побудові оцінки р повинна використовуватися вся інформації, що міститься у вибірці, про невідомий параметрі а, тобто оцінка повинна бути достатньою. Якщо р - достатня оцінка. То ніяка друга оцінка не може дати про невідомому параметрі а додаткових відомостей.
При виборі оцінок слід брати до уваги перераховані свій властивості і враховувати відносну простоту обчислень. Нерідко вибирається не ефективна оцінка тільки тому, що її обчислення набагато простіше, ніж обчислення ефективної оцінки. Наприклад, при контролі якості продукції мірою розкиду сукупності часто служить вибірковий розмах, використовуваної замість більш складної і більш ефективної оцінки - вибіркового стандартного відхилення. Відзначимо, що при оцінюванні на основі малого числа спостережень розходження в ефективності оцінок невелика.
Інтервальне оцінювання
Ми розглянули оцінки невідомих параметрів закону розподілу випадкової величини Х за даними вибірки. Отримані при цьому точкові оцінки р i не збігаються (за виключення рідкісних випадків) з істинним значенням невідомих параметрів а i. Отже, завжди є деяка похибка при заміні невідомого параметра його оцінкою, тобто | Р - а | <d:
(1.1)
І якщо ця ймовірність близька до одиниці, тобто якщо , То діапазон практично можливих значень помилки, що виникає при заміні а на, дорівнює ± d. Причому великі про абсолютну величину помилки з'являються з імовірністю e, e> 0.
Чим менше для даного e> 0 буде d> 0, тим точніше оцінка р. Зі співвідношення (1.1) видно, що ймовірність тог, що інтервал] г - d; г + d [з випадковими кінцями накриє невідомий параметр, дорівнює 1 - e . Ця ймовірність називається довірчою ймовірністю.
Випадковий інтервал, який визначається результатами спостережень, який із заданою вірогідністю а = 1 - e накриває невідомий параметр а, званий довірчим інтервалом для параметра а, відповідним довірчої ймовірності а = 1 - e.
Граничні точки довірчого інтервалу називаються відповідно нижньою і верхньою довірчим межами.
Заданому а = 1 - e відповідає неєдиним довірчий інтервал. Довірчі інтервали можуть змінюватися від вибірки до вибірки. Більше тог, для даної вибірки різні методи побудови довірчих інтервалів можуть призвести до різних інтервалах. Тому вироблені певні правила. Використовуючи їх і ефективні оцінки невідомих параметрів, отримують найкоротші інтервали для заданої довірчої ймовірності а = 1 - e.
Розглянемо загальні принципи побудови довірчих інтервалів. Припустимо, що довірчий інтервал знаходимо для деякого параметра а сукупності і як точкової оцінки цього параметра візьмемо вибіркову незміщене М (г) = а і ефективну оцінку г = г (Х 1; Х 2; ... Х n), що має середнє квадратичне відхилення s р.
Якби закон розподілу оцінки р був відомий, то для знаходження довірчого інтервалу потрібно було б знайти таке значення d, для якого . Але закон розподілу оцінки р залежить від закону розподілу випадкової величини Х і, отже, від його невідомого параметра а. Для того щоб не застосовувати закон розподілу випадкової величини Х, надходять у такий спосіб.
Так як ми вважаємо значення вибірки х 1, х 2, х 3, ..., х n, що мають ті ж закони розподілу, що і досліджувана випадкова величина Х, то, згідно з центральної граничної теореми (теоретичне вибіркове розподіл середніх при великому n може побут добре апроксимовані відповідним нормальним розподілом параметрами М ( ) = М ( ) І , Більшість числових характеристик вибірки мають нормальне або близьке значення до нормального вибіркове розподіл.
Тому за допомогою ймовірностей, які знаходимо з таблиць нормального розподілу , Де , Для заданого d можна знайти таке інтервал] г - d; г + d [, в якому лежить значення г, обчислена за даній вибірці можна вирішити і зворотну задачу: за даними ймовірності знайти значення d
, Таке що .
Нерівності а - d ≤ р ≤ а + d еквівалентні нерівностям г - d ≤ а ≤ г + d (віднімемо г - d з кожної частини і помножимо на -1). Тим самим вказані методи побудови довірчих інтервалів] г - d; г + d [для параметра а.
Таким чином, при побудові довірчих інтервалів складається випадкова величина Y (наприклад, , Пов'язана з невідомим параметром а, його оцінкою і має відому щільність розподілу ймовірностей p (y). Використовуючи цю щільність, визначимо довірчий інтервал за формулою .
Як довірливо ймовірності (інакше - рівня довіри) зазвичай вважають
а = 0,95 (0,99). Це означає, що при вилученні n вибірок з однієї і тієї ж генеральної сукупності довірчий інтервал приблизно в 95% (99%) випадків буде накривати невідомий параметр (щодо невідомого параметра ймовірні події не допускаються). При збільшенні ж довірчої ймовірності будується ширший довірчий інтервал, який малопридатний для практики. Ще раз підкреслимо, що чим менше довжина довірчого інтервалу, тим точніше оцінка.
Відзначимо, що для точного знаходження довірчих інтервалів необхідно знати закон розподілу випадкової величини Х, тоді як для застосування наближених методів це не обов'язково.
Список використаної літератури:
1. Гурський Є.І. «Теорія ймовірності та математична статистика».
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
26.5кб. | скачати


Схожі роботи:
Рішення задач по курсу теорії ймовірності та математичної статистики
Застосування методів математичної статистики і теорії ймовірностей
Застосування методів математичної статистики і теорії ймовірностей у задачах теоретичної лінгвістики
Загальні положення теорії ймовірностей та математичної статистики
Організація та утримання елективного курсу Основи теорії ймовірностей і математичної статистики
Організація та утримання елективного курсу Основи теорії ймовірностей і математичної статистики 2
Методика навчання школярів основам комбінаторики теорії ймовірностей і математичної статистики
Топологічна оцінка ймовірності утворення власних точкових дефектів
Завдання математичної статистики
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru