Застосування дистанційного навчання при вивченні курсу сферичної геометрії

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Федеральне агентство з освіти
державний освітній заклад
вищої професійної освіти
«Поморського державного університету
ім. М.В. Ломоносова »
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і геометрії
Кваліфікаційна робота
Застосування інформаційних технологій
при вивченні сферичної геометрії.
Виконала студентка:
Катишева Н.Г.
Науковий керівник:
Старший викладач
Токаревська С.А.
Архангельськ
2005

Зміст

Введення .. 3
Глава 1. Сферична геометрія .. 4
§ 1 Походження сферичної геометрії. 4
§ 2 Основні поняття сферичної геометрії. 8
2.1. Сфера, велика і мала окружності. 8
2.2. Відстань між точками. 11
2.3. Полюс і поляра. 12
2.4. Кут на сфері. 12
2.5. Поняття рух. 16
2.6. Предмет сферичної геометрії. 17
2.7. Принцип подвійності. 18
§ 3 Сферичні трикутники. 20
3.1. Трикутники і двуугольнікі на сфері. 20
3.2. Полярні трикутники. 21
3.3. Рівність сферичних трикутників. 24
3.4. Рівнобедрені сферичні трикутники. 25
3.5. Велика окружність як найкоротша. 26
3.6. Площа сферичного трикутника. 31
§ 4 Сферичні багатокутники. 34
4.1. Поняття сферичного багатокутника і його властивості. 34
4.2. Площа сферичного багатокутника. 37
§ 5 Малі окружності. 37
§ 6 Геометричні місця точок на сфері. 40
§ 7 Тригонометрія. 43
7.1. Сферична теорема косинусів. 43
7.2. Сферична теорема синусів. 46
7.3. Формули п'яти елементів. 48
7.4. Двоїста теорема косинусів. 49
7.5. Формули котангенс. 51
7.6. Випадок прямокутного сферичного трикутника. 52
7.7. Рішення сферичних трикутників. 54
Глава 2. Дистанційне навчання .. 58
§ 1 Поняття та визначення дистанційного навчання. 58
§ 2 Принципи та особливості дистанційного навчання. 60
§ 3 Процес дистанційного навчання. 64
§ 4 Основні моделі дистанційного навчання. 65
§ 5 Роль викладача. 67
§ 6 Контроль. 69
§ 7 Дистанційний курс по «сферичної геометрії». 74
Додаток .. 75
Висновок .. 95
Література .. 96


Введення

Тема моєї кваліфікаційної роботи «Застосування інформаційних технологій при вивченні сферичної геометрії». Так як на зміну XX століття, іменувався індустріальним, прийшов XXI, зі своєю назвою - інформаційний; на мій погляд, зростає необхідність в розширенні доступу до освіти. Потрібно враховувати, наскільки існуючі системи освіти здатні відповідати потребам сучасного суспільства, а також розглядати альтернативи, що надаються для навчання новими технологіями. В даний час створюються електронні підручники та дистанційні курси до деяких навчальних дисциплін. Саме у зв'язку з цим мною була обрана така тема. А так як в основному курсі геометрії ВНЗ практично не приділяється уваги геометрії на сфері, робота над дистанційним курсом поєднується з вивченням нової для мене теми.
Дана робота містить два розділи і додаток. Перший розділ розкриває ключові історичні аспекти виникнення та розвитку, основні поняття і теореми сферичної геометрії; друга присвячена дистанційному навчанню. Вона включає в себе огляд основних підходів до визначення поняття «дистанційного навчання», а також принципи та особливості побудови дистанційних курсів, їх переваги, недоліки та основні моделі. Завершує главу опис дистанційного курсу з сферичної геометрії, який є результатом моєї роботи і, поряд із завданнями, входить у програму.
Основні цілі, які поставлені даною роботою, можуть бути сформульовані наступним чином:
1. Вивчити тему «Сферична геометрія».
2. Скласти задачник до курсу «Сферична геометрія».
3. Створення дистанційного курсу з вивчення теми «Сферична геометрія».

Глава 1. Сферична геометрія

§ 1 Походження сферичної геометрії

Першою за часом геометрією, відмінної від евклідової, була сферична геометрія, або Сферика, як її називали древні. Сферика виникла пізніше, ніж евклідова геометрія площині і простору. Основними стимулами для виникнення геометрії площині і простору була необхідність вимірювання площ полів та інших плоских фігур та місткості судин і комор різної форми, тобто об'ємів різних тіл. Основним стимулом для виникнення Сферика було вивчення зоряного неба.
Спостереження небесних світил проводилося ще в Стародавньому Єгипті і Вавилоні, перш за все з метою встановлення календаря. Ми зобов'язані єгиптянам поділом доби на 24 години. Внесок вавілонян у розвитку астрономії був більш значним: спостереження затемнень і зірок перших століть «ери Набонасара», що розпочалася у VIII ст. до н. е.. Стародавні греки познайомилися з вавилонської астрономією принаймні в IV ст. до н. е.., коли первісні назви планет були замінені назвами планет по вавилонському зразком, латинськими перекладами яких є загальноприйняті нами назви. Астрономія, викладена в «Альмагест» Птолемея, була результатом тривав кілька століть розвитку науки, яка увібрала традиції як вавілонських астрономів, так і грецьких геометрів.
Сферика Автолик. Першим античним математичним твором, що збереглися до наших днів, є книга «Про рухається сфері» Автолік, який жив в кінці IV ст. до н. е.. Предметом дослідження цієї книги є небесна сфера, розглянута, проте, у вельми абстрактному вигляді. Книга Автолік складається з 12 пропозицій. Визначення відносяться до рівномірного руху. У пропозиції 1 доводиться, що якщо сфера рівномірно рухається навколо осі, то всі її точки, що не лежать на осі, описують паралельні кола, які мають ті ж полюси, що і сфера, а площини цих кіл перпендикулярні осі сфери. Під колами тут розуміються плоскі фігури, обмежені колами, а під виразом «точка описує коло» розуміється те, що точка пробігає окружність кола.
Докази більшості речень цього трактату засновані на застосуванні руху: передбачається, що затвердження пропозиції невірно, проводиться поворот сфери і виявляється, що пропозиція суперечить тому, що вийшло в результаті повороту сфери.
Сферика Феодосія. Перше що дійшло до нас систематичний виклад сферичної геометрії міститься в «Сферика» Феодосія, який жив у II-I ст. до н. е.. «Сферика» Феодосія складається з трьох книг, у першій з яких шість визначень і 23 пропозиції, у другій - одне визначення і 23 пропозиції, у третій - 14 пропозицій.
Визначення 1 Феодосія: «Сфера є тілесна фігура, яка містить всередині однієї поверхні, така, що всі прямі, які падають на неї з однієї точки в середині фігури, рівні між собою».
Більшість пропозицій «Сферика» Феодосія - стереометричні теореми і задачі на побудову. Коли Феодосій говорить про перетин кіл на сфері під деяким кутом або про паралельність цих кіл, він має на увазі перетин під даним кутом або паралельність їх площин; коли він говорить про розтині колами на сфері один одного навпіл, він має на увазі розсічення навпіл плоских фігур .
Поряд зі стереометричних пропозиціями, сформульовані в термінах геометрії на поверхні сфери. Наприклад, пропозиції 20-21 із I книги - завдання про побудову великого кола на сфері, що проходить через дві точки її поверхні, і задача про побудову полюса даного кола на сфері.
Сферика Менелая. Значно більш розвинену сферичну геометрію можна знайти в трактаті «Про сфері» Менелая, який жив в кінці I ст. н. е.. Твір Менелая збереглося тільки в арабському перекладі в декількох обробках, кращими з яких є обробки Абу Насра ібн Іраку і Насир ад-Діна ат-Тусі. «Сферика Менелая складається з трьох книг, що містять відповідно 39, 21 і 25 пропозицій. У вступі до книжки I Менелай дає визначення сферичного трикутника («тристоронньої фігури»), тобто частини поверхні, обмеженої трьома дугами великих кіл, меншими півколами, і кутів сферичного трикутника. Якщо більшість пропозицій «Сферика» Феодосія були стереометричних, твір Менелая присвячено геометрії на поверхні сфери, трактованої за аналогією з планіметрії Евкліда. Наприклад, пропозиція 1 книги I - завдання про проведення дуги великого кола під даним кутом до даної дузі великого кола; пропозиції 2 і 3 книги I - теорема про рівність кутів при основі рівнобедреного сферичного трикутника і зворотна їй. З пропозицій не збігаються з пропозиціями планіметрії, відзначимо пропозиції 10 і 11, з яких випливає, що сума кутів сферичного трикутника більше двох прямих кутів.
«Пропозиція десяте. Якщо дві сторони тристоронньої фігури разом менше півкола, то зовнішній кут, що примикає до однієї з цих сторін, більше того протилежного йому внутрішнього кута, який є одним з двох кутів, прилеглих до що залишилася осторонь, якщо дві сторони разом більше півкола, то зовнішній кут менше протилежного йому внутрішнього кута; а якщо дві сторони разом рівні півколу, то зовнішній кут дорівнює протилежного йому внутрішнім ».
«Пропозиція одинадцята. Зовнішній кут всякої тристоронньої фігури менше обох протилежних йому внутрішніх кутів.
Теореми Менелая: Особливу роль в історії сферичної геометрії та тригонометрії зіграло пропозиція 1 книги III твори Менелая, в якій доводиться як плоский, так і сферичний випадок теореми, званої в даний час «теоремою Менелая» або «теоремою про повне четирехсторонніке». Повним четирехсторонніком називається плоский або сферичний чотирикутник, пари протилежних сторін якого продовжені до перетину.
Сферична теорема Менелая викладена у Птолемея наступним чином: «Опишемо на поверхні сфери дуги великих кіл так, щоб проведені до двох накресленим дугам АВ і АС дві інші дуги ВЕ і СD перетиналися в точці G; нехай кожна з цих дуг менше півкола; той же будемо припускати і для всіх таких побудов. Я стверджую, що ставлення прямій під подвоєною дугою РЄ до прямої під подвоєною ЕА складено з відносини прямої під подвоєною CG до прямої під подвоєною GD і відносини прямої під подвоєною DB до прямої під подвоєною ВА. »
Площа сферичного трикутника і багатокутника у Жирара. Вираз площі сферичного трикутника і багатокутника через їх кутові надлишки вперше з'явилося у пресі в статті «Про міру поверхні сферичних трикутників і багатокутників, відкритої знову», опублікованій у вигляді додатку до «Нового відкриттю в алгебрі» фламандського математика Альбера Жирара. (1595-1632).
Основні теореми сферичної тригонометрії були відкриті вченими середньовічного Сходу. Співвідношення, що виражаються теоремою косинусів, були встановлені сирійським математиком і астрономом IX століття ал-Баттані, вихідцем з родини звездопоклонніков - сабіев, у яких протягом багатьох століть зберігалися вавилонські астрономічні традиції. Сферична теорема синусів була відкрита майже одночасно середньоазіатськими математиками і астрономами X століття Ібн Іраком з Хорезму, Абу-л-Вафой з Хорасана і ал-Ходжанді з Ходжента. Співвідношення, що виражаються двоїстої теоремою косинусів, були встановлені (за допомогою полярного трикутника) в XIII столітті працювали в Азербайджані Насир-ад-Діном ат - Тусі, що дав перше повне виклад всієї системи сферичної тригонометрії.

§ 2 Основні поняття сферичної геометрії.

2.1. Сфера, велика і мала окружності.

Сферою називається геометричне місце точок простору, розташованих на даному відстані від даної точки, званої її центром.
Відрізок, що сполучає центр сфери з будь-якої його точкою, називається радіусом сфери. Відрізок, що сполучає де точки сфери і проходить, крім того, через його центр, називається діаметром. З визначення випливає, що всі радіуси рівні і що діаметр дорівнює подвоєному радіусу. Площина, що проходить через центр сфери, називається діаметральної площиною.
Нехай S-деяка сфера з центром O радіуса R. Візьмемо площину a, віддалену від точки O на відстань, меншу R. Тоді перетину площини a і сфери S є коло. Радіус r цього кола є катетом прямокутного трикутника (рис.1), гіпотенуза якого - радіус R, а другий катет - перпендикуляр h, опущений з центра сфери на площину. Тому в силу теореми Піфагора r =

Рис 1
Ця формула показує, що величина r приймає максимальне значення r = R при h = 0, тобто є діаметральної площиною. У цьому випадку коло на сфері і називається великий колом. В геометрії на сфері великі кола грають роль прямих на площині. При h> 0 ми маємо r <R, окружність на сфері називається в цьому випадку малої колом.
Так як через всякі три точки простору, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина, то через всякі дві точки сфери, які не є діаметрально протилежними проходить єдина діаметральна площина. Тому через всякі дві точки сфери, які не є діаметрально протилежними, проходить єдина велика окружність (рис.2). Цей факт цілком аналогічний тому, що на площині через всякі дві точки проходить єдина пряма. Через дві діаметрально протилежні точки сфери, навпаки, можна провести нескінченну безліч великих кіл (рис.3). Адже всілякі дві діаметральні площині сфери перетинаються за її діаметра, то всякі дві великі кола перетинаються в двох діаметрально протилежних точках сфери (рис. 4). Тут ми спостерігаємо відміну сферичної геометрії від плоскої геометрії, в якій дві прямі перетинаються не більш ніж в одній точці.

Рис 2 Рис 3
Так як площину ділить простір на дві області, то велика окружність ділить сферу на дві області (рис.2); ці області називаються півсферами, а сама окружність - краєм цих півсфер. Далі, оскільки дві перехресний площині ділять простір на чотири області, то дві великі кола ділять сферу на чотири області (рис. 4). Нарешті, так як три площини, що перетинаються в одній точці, ділять простір на вісім областей, то три великі кола, які не перетинаються в одній точці, ділять сфери на вісім областей (на рис.5 зображено вісім областей ABC, ABC ¢, AB ¢ C , A ¢ BC, AB ¢ C ¢, A ¢ BC ¢, A ¢ B ¢ C, A ¢ B ¢ C ¢, на які ділять сферу великі кола AB, AC і BC, причому точки A ¢, B ¢, C ¢ діаметрально протилежні точки A, B, C і, отже, області ABC і A ¢ B ¢ C ¢, ABC ¢ і A ¢ B ¢ C, AB ¢ C і A ¢ BC ¢, A ¢ BC і AB ¢ C ¢ попарно діаметрально протилежні).

Рис 4 рис5
Якщо перші два з цих властивостей аналогічні властивостям прямих на площині, яка ділиться на дві області прямій і на чотири області двома пересічними прямими, то третє із зазначених властивостей не цілком аналогічно відповідному властивості прямих на площині, так як три попарно перетинаються прямі, що не проходять всі три через одну точку, ділять площину не на вісім, а на сім частин (рис.6).

Рис 6

2.2. Відстань між точками.

Візьмемо дві точки A, BÎS і розглянемо більшу окружність Q, що проходить через ці точки (рис.7). Окружність Q є об'єднанням двох своїх дуг ÈAMB і ÈANB з кінцями в точках A і B. Довжина тієї з двох дуг, яка не більше півкола, називається сферичним відстанню між точками A і B і позначається через d (A, B). Отже, для будь-яких дух точок сфери S маємо d (A, B) ≤ pr.

Рис. 7
Нехай ÈAMBÌQ менше півкола, і, значить, d (A, B) - довжина цієї дуги. Позначимо через a величину центрального кута AOB, що спирається на дугу AMB, і через r (A, B) довжину відрізка AB. Як відомо,
d (A, B) = ar. (1)
З трикутника AOB (рис.7) знаходимо:
r (A, B) = 2r sin ( ) (2)
З формул (1), (2) випливає:
r (A, B) = 2r sin ( ). (3)

2.3. Полюс і поляра.
Будь-якої великому колу відповідає дві діаметрально протилежні точки сфери, кресані з неї діаметром, перпендикулярним до площини великому колу (рис.8). Ці дві точки називаються полюсами великому колу; зокрема, полюсами екватора Землі є її географічні полюси - Північний і Південний. Очевидно, що кожним двох діаметрально протилежних точок А і В на сфері відповідає єдина велика окружність, для якої точки А і В є полюсами; ця велика окружність називається поляри пари діаметрально протилежних точок А і В. Кожна точка поляри називається полярно сполученої з кожним із її полюсів; інакше кажучи, точки P, Q сфери є попарно сполученими, якщо радіуси OP і ОQ перпендикулярні (О - центр сфери). Зрозуміло, що всі крапки поляри віддалені від свого полюса на відстань, рівне (Або квадранту).

Рис 8

2.4. Кут на сфері.

Кутом між двома пересічними лініями в просторі називається кут між дотичними до цих ліній у точці їх перетину. Окремим випадком загального поняття кута між двома лініями є кут між двома великими колами на сфері. На рис. 9 зображений кут BAC між великими колами АВ і АС на сфері і вимірює цей кут XAY між дотичними AX і AY до цих великим колами.

Рис 9
Якщо ми проведемо велику окружність, що є поляри вершини А кута на сфері і перетинає сторони цього кута в точках В і С, то промені ОВ і ОС відповідно паралельні променям AX і AY, дотичним до сторін кута (рис. 9). Тому довжина кута великому колу НД дорівнює добутку ÐВАС на радіус сфери, тобто кут на сфері дорівнює довжині дуги великого кола між точками сторін кута, полярно сполученими з вершиною кута, поділеній на радіус сфери.
Так як обидва кута ВАС і ВА'С, утворені двома півкола при їх різних кінцях, дорівнюють одному і тому ж кутку ВОС, то ці кути рівні між собою і величина кожного з них називається кутом між двома великими півкола. Дві великі кола визначають чотири кута між двома півкола, попарно рівні один одному. Ті з цих кутів, обидві сторони яких є продовженнями сторін іншого кута, рівні й називаються вертикальними кутами (рис.10, а); ті з цих кутів, які мають одну спільну сторону, складають в сумі розгорнутий кут і називаються суміжними кутами (рис. 10, б).

а) б)
Рис 10
Так як полюси D і E великих кіл AB і AC представляють собою точки великому колу ЗС, отримані з точок В і С поворотом навколо прямої АА 'на прямий кут, то дуга НД дорівнює дузі DE і кут ВАС дорівнює довжині дуги DE, поділеній на радіус сфери. Замінюючи одну з точок D або Е її діаметрально протилежною точкою D 'або E' (рис.11), ми отримаємо кут, суміжний з кутом ВАС. Таким чином, кут між двома великими колами дорівнює довжині дуги, що з'єднує їх полюси, поділеній на радіус сфери.

Рис 11
Так як при відбитті від діаметральної площини полюси великому колу, що добувається зі сфери цією площиною, переходять одна в одну, то великі кола, що проходять через ці полюси, при вказаному відображенні переходять в себе (рис.12). Тому кути, що складаються цими великими колами з великою окружністю, що добувається площиною, рівні кутах, суміжних з ними і, отже, є прямими кутами. Таким чином, великі кола, одна з яких проходить через полюс інший, перетинаються під прямим кутом. Будемо називати такі великі кола перпендикулярними.

Рис 12
Зворотно, зазначивши на одній з двох перпендикулярних великих кіл точку, полярно пов'язану точці перетину, ми отримаємо таку точку, що проведений в неї радіус сфери перпендикулярний діаметральної площині, висікає з сфери другу велику коло (рис.13), тобто точку, що є полюсом цього кола. Тому кожна з двох перпендикулярних великих кіл проходить через полюс іншого великого кола.

Рис 13 Рис 14
Звідси випливає, що велика окружність, що є поляри точки перетину двох великих кіл, перпендикулярна обом великим колами, тобто дві великі кола завжди мають єдиної великої окружністю, перпендикулярної до них обох (рис.14). Для порівняння зазначимо, що на площині загальними перпендикулярами володіють тільки паралельні прямі, причому дві паралельні прямі володіють не одним, а нескінченним безліччю загальних перпендикулярів.

2.5. Поняття рух

Рухом сфери називається таке перетворення сфери, при якому зберігається відстані між точками. Іншими словами, перетворення j сфери є рухом, якщо для будь-яких точок А, В сфери відстань між точками j (А) і j (В) дорівнює відстані між точками А і В. Оскільки дві точки А і В у тому і тільки тому випадку є діаметрально протилежними, якщо відстань між ними має найбільше можливе значення, рівне 2R (де R - радіус сфери), то з визначення руху безпосередньо випливає, що при будь-якому русі сфери діаметрально протилежні точки сфери переходять в діаметрально протилежні точки. Це властивість також не має аналога в плоскої геометрії, так як на площині немає таких пар точок, що рух однієї з цих точок цілком визначає рух другої. Тому, якщо рух площини є перетворенням безлічі точок цієї площини, то рух сфери по суті є перетворенням безлічі пар діаметрально протилежних точок сфери.

Рис 15 Рис 16
Як приклад руху сфери вкажемо поворот сфери навколо деякого її діаметра СС 'на кут a, при якому кожна окружність сфери, що має лінію СС "своєю віссю, повертається по собі на кут a (рис.15). Іншим прикладом руху сфери є симетрія сфери щодо деякої її діаметральної площини p, при якій кожна точка А переходить в таку точку А ', що площина p перпендикулярна відрізку АА' і проходить через його середину (рис.16). Поворот і симетрія є в деякому сенсі основними рухами сфери; саме можна довести, що всяке (нетождественное) рух сфери або є поворотом, або є симетрією, або представляє собою твір повороту і симетрії.

2.6. Предмет сферичної геометрії.

Сферична геометрія вивчає ті властивості фігур на сфері, які зберігаються при будь-яких рухах сфери. Фігури на сфері, які можуть бути переведені одна в іншу деяким рухом сфери, називаються рівними фігурами, геометричні властивості рівних фігур однакові.

а) б)
Рис 17
Іноді предмет сферичної геометрії визначається інакше. Саме замість рухів, визначених вище розглядаються тільки повороти сфери і вивчаються ті властивості фігур, які зберігаються при поворотах. Фігури, що переходять один в одного при деякому повороті, називають у цьому випадку рівними. Фігури ж, які переходять один в одного при русі, але не можуть бути суміщені поворотом, рівними не вважають; такі фігури називають симетричними. Так, на рис. 17, а зображені рівні фігури, а на рис.17,. Б - симетричні фігури.

2.7. Принцип подвійності.

Ми бачили, що будь-який рух сфери переводить пару діаметрально протилежних точок знову в пару діаметрально протилежних точок. Таким чином, пара діаметрально протилежних точок є в сферичної геометрії самостійним геометричним об'єктом. Відзначимо одна чудова властивість цих пар точок: всякої теоремі сферичної геометрії відповідає інша теорема цієї геометрії, що виходить з першої взаємної заміною слів: «пара діаметрально протилежних точок» і «велика окружність »,« лежить на »та« проходить через »,« з'єднуються »і« перетинаються на »і т.д. Наприклад:


Всякі дві великі кола на сфері перетинаються в одній
парі діаметрально протилежну точок.
Всякі дві пари діаметрально протилежних точок сфери з'єднуються однієї великої окружністю

Це властивість теорем сферичної геометрії є наслідком того, що будь-якої великому колу на сфері взаємно однозначно відповідає пара її полюсів, а будь-якої парі діаметрально протилежних точок сфери взаємно однозначно відповідає їх поляра, причому якщо велика окружність проходить через пару діаметрально протилежних точок, то полюси цього кола лежать на поляри цієї пари точок (рис.18). Це властивість називається принципом двоїстості, а теореми, що виходять один з одного зазначеної заміною, називаються подвійними один одному теоремами. Якщо одна з двох подвійних теорем доведено, то доказ друга теореми може бути отримано з докази перший теореми переходом від кожної великої кола до її полюсів, а від кожної пари діаметрально протилежних точок - до її поляри.

Рис 18

§ 3 Сферичні трикутники

3.1. Трикутники і двуугольнікі на сфері.

Візьмемо на сфері три точки А, В, С, не лежать в одній площині з центром О даної сфери. Сукупність цих точок і дуг АВ, ВС, і АС великих кіл (менші півкола) називається сферичним трикутником АВС. Точки А, В, С називаються вершинами сферичного трикутника, а дуги АВ, ВС і АС - його сторонами. Кути, утворені сторонами сферичного трикутника в його вершинах, називаються кутами сферичного трикутника. Ясно, що сферичний трикутник можна отримати за допомогою тригранного кута, якщо перетнути його сферою, центр якої буде співпадати з вершиною даного кута. Справді, в перетині сфери з гранями даного тригранного кута ми отримаємо сферичний трикутник.
На відміну від площини, де трикутник є багатокутником з найменшим числом сторін, на сфері є багатокутники з числом сторін менше трьох - двуугольнікі. Двуугольніком є частина сфери, обмежена двома половинами великих кіл з загальними кінцями; ці загальні кінці, звані вершинами двуугольніка, є діаметрально протилежними точками сфери.
Бісектрисою сферичного трикутника називається велика окружність, що поділяє навпіл один з його кутів, а також дуга цієї великому колу, що має своїми кінцями вершину трикутника і точку перетину великому колу з протилежною стороною. Медіаною сферичного трикутника називається велика окружність, що проходить через одну з його вершин і через середину противолежащей сторони. Висотою сферичного трикутника називається велика окружність, що проходить через одну з його вершин і перпендикулярна до противолежащей стороні, а також одна з двох дуг цієї великому колу, що мають своїми кінцями дану вершину трикутника і точки перетину з протилежною стороною. Якщо кути сферичного трикутника при двох інших його вершинах обидва гострі або обидва тупі, то за висоту природно прийняти дугу, що лежить всередині трикутника. Якщо ж з двох кутів при двох інших вершинах один гострий, інший тупий, то обидві дуги, про які йде мова, проходять поза сферичного трикутника; в цьому випадку за висоту природно прийняти дугу, меншу квадранта. Нарешті, поняття висоти сферичного трикутника, що виходить з даної вершини, втрачає сенс, якщо кути при двох інших вершинах обидва прямі: в цьому випадку будь-яка велика окружність, що проходить через дану вершину, перпендикулярна противолежащей стороні.

3.2. Полярні трикутники.

Всякому сферичного трикутника АВС можна поставити у відповідність інший сферичний трикутник А'В'С ', вершини якого є полюсами сторін ВС, СА, АВ сферичного трикутника АВС, що лежать від цих сторін за ту ж сторону, що і відповідно вершини А, В, С (рис. 19). Будемо називати сферичний трикутник А'В'С 'полярним по відношенню до сферичного трикутника АВС.

Рис 19
Якщо сферичний трикутник А'В'С 'є полярним по відношенню до сферичного трикутника АВС, то і сферичний трикутник АВС полярен по відношенню до сферичного трикутника А'В'С'. Справді, так як точка В 'є полюсом боку АС, то точка В 'полярно пов'язана з точками А і С (рис. 19). Оскільки точка С 'є полюсом боку АВ, то точка С' полярно пов'язана з точками А і В. Але так як точка А полярно пов'язана з точками В 'і С' боку В'С ', то вона є полюсом боку В'С '. При цьому, так як точки А і А 'лежать по один бік від сторони ЗС, то вони лежать і по один бік і від сторони В'С'. Також доводиться, що точки В і С теж є полюсами сторін С'А 'і А'В' і лежать по ту ж сторону від цих сторін, що і точки В'С ', тобто сферичний трикутник АВС полярен по відношенню до сферичного трикутника А'В'С '.
Позначимо точки перетину великих кіл АВ і АС зі стороною В'С 'через L і М, точки перетину великих кіл ВС і ВА зі стороною А "З" через N і Р і точки перетину великих кіл СА і СВ зі стороною А'В' через Q і R (рис. 19). Тоді якщо величини кутів САВ, АВС і ВСА позначити через А, В і С, а радіус сфери - через r, то дуги великих кіл LM, NP і QR відповідно рівні Аr, Br, Cr. Далі, так як дуги В'М, LC ', C'P, NA', A'R, QB 'з'єднують полярно пов'язані точки, то вони рівні . Тому, якщо всі три кути А, В, С , То дуги B'L та MC ', C'N і PA', A'Q і RB ', доповнюють дуги Аr, Br, Cr до , Відповідно рівні , , . Таким чином, сторони В'С ', С'А' і А'В 'полярного трикутника в цьому випадку дорівнюють , , . Той же результат цілком аналогічно доводиться і для випадків, коли кути А, В або С більше . Тому сторони трикутника, полярного по відношенню до сферичного трикутника АВС, відповідно рівні , , . Звідси, якщо ми позначимо ці сторони через а ', b', з ', ми отримаємо, що тобто кути трикутника, полярного по відношенню до сферичного трикутника зі сторонами а ', b', з ', відповідно рівні .
Перехід від даного сферичного трикутника до трикутника полярному щодо даного дозволяє, знаючи властивості сторін перший трикутника, виводити з них властивості кутів другого. Таким шляхом виходить наступна теорема:
Теорема 1. У всякому сферичному трикутнику:
1) кожний кут, збільшений на два прямих, більше суми двох інших кутів;
2) сума трьох кутів більше двох прямих і менше шести прямих.
Сферичний трикутник, що співпадає зі своїм полярним трикутником, називається автополярним трикутником. Так як всі вершини автополярного трикутника полярно поєднані, всі сторони цього сферичного трикутника рівні чверті великому колу, звідки випливає, що всі три кути цього сферичного трикутника прямі. На рис. 20 зображений автополярний трикутник АВС.  

Рис 20


3.3. Рівність сферичних трикутників.

Два сферичних трикутника називаються рівними, якщо їх можна поєднати один з одним рухом сфери. Очевидно, що між вершинами двох рівних сферичних трикутників можна встановити таку відповідність, при якому і відповідні сторони, і відповідні кути цих сферичних трикутників рівні: для цього треба поставити у відповідність кожній вершині першого сферичного трикутника ту вершину другого сферичного трикутника, в яку він переходить при поєднанні цих сферичних трикутників.
Рівність сферичних трикутників, так само як рівність плоских трикутників, визначається рівністю трьох елементів цих трикутників.
Перша ознака рівності трикутників.
Два сферичних трикутника рівні, якщо дві сторони одного сферичного трикутника дорівнюють двом відповідним сторонам іншого сферичного трикутника і рівні кути між цими сторонами.
Друга ознака рівності.
Два сферичних трикутника рівні, якщо два кути одного сферичного трикутника дорівнюють двом відповідним кутах іншого сферичного трикутника і рівні сторони між цими кутами.
Третя ознака рівності.
Два сферичних трикутника рівні, якщо всі три сторони одного сферичного трикутника рівні відповідним сторонам іншого сферичного трикутника.
Четверта ознака рівності.
Два сферичних трикутника рівні, якщо дві сторони одного сферичного трикутника дорівнюють двом відповідним сторонам іншого сферичного трикутника, кути, що лежать проти двох рівних сторін, рівні, а кути, що лежать проти двох інших рівних сторін, одночасно гострі або тупі.
П'ятий ознака рівності.
Два сферичних трикутника рівні, якщо два кути одного сферичного трикутника дорівнюють двом відповідним кутах іншого сферичного трикутника, сторони, що лежать проти двох рівних кутів, рівні, а сторони, що лежать проти двох інших рівних кутів, одночасно менше або більше .
Шостий ознака рівності.
Два сферичних трикутника рівні, якщо всі три кути одного сферичного трикутника рівні відповідним кутам іншого сферичного трикутника.
Порівнюючи перша ознака рівності з другим, третій з шостим, а четвертий з п'ятим, можна помітити, що якщо для двох сферичних трикутників виконаний ознака кожної пари, для полярних по відношенню до них трикутників виконано другий ознака тієї ж пари. Тому, так як з рівності двох сферичних трикутників, очевидно, випливає рівність полярних по відношенню до них трикутників, то з справедливості одного з ознак кожної пари випливає справедливість другого з ознак тієї ж пари.

3.4. Рівнобедрені сферичні трикутники.

Сферичний трикутник називається рівнобедреним, якщо дві його сторони рівні.
Всякий сферичний трикутник, наложімий на трикутник, йому симетричний, - рівнобедрений.
Дійсно, ми знаємо, що внаслідок того, що обидва трикутника мають протилежне розташування, неможливо накласти один трикутник на інший так, щоб збігалися відповідні вершини, тобто вершини, що знаходяться спочатку на кінцях одного діаметра; якби серед сторін трикутника не було рівних між собою, то таке накладення було б неможливо і жодним іншим чином.
Зворотно, всякий рівнобедрений трикутник сферичний накладемо на трикутник, йому симетричний.
Якщо трикутник А'В'С 'симетричний трикутнику АВС і якщо АС дорівнює АС, то два трикутника АВС і А'С'В', мають (при обраному порядку вершин кожного з них) одне й теж розташування, рівні за другою ознакою рівності.
Теорема 2. У равнобедренном сферичному трикутнику кути, противолежащие рівним сторонам, рівні.
Дійсно, при поєднанні трикутника АВС (АВ = АС) з симетричним йому трикутником А'С'В 'кут, що співпадає з кутом В', є кут З '; таким чином, обидва ці кути рівні, і теж саме має місце і для кутів С і В '.
Зворотно, всякий сферичний трикутник, два кути якого рівні, рівнобедрений.
Дійсно, якщо АВС сферичний трикутник, в якому ÐВ = ÐС і трикутник А'В'С '- трикутник, йому симетричний, то трикутники АВС і А'С'В', що мають однакове розташування рівні за першою ознакою рівності, і, отже, АВ = А "З" = АС.

3.5. Велика окружність як найкоротша

Теорема 3. У всякому сферичному трикутнику кожна сторона менше суми двох інших сторін і більше їх різниці.
Справді, нехай АВС - довільний сферичний трикутник. Припустимо, що з двох сторін АВ, АС сторона АС велика. Відкладемо на стороні АС дугу АВ ', рівну дузі АВ (рис.21). Проведемо яку-небудь площину, що проходить через точки В. В 'і перетинає промені ОА і ОС (а не їх продовження) в точках А 1 і С 1. Трикутники ОА 1 В і ОА 1 В 'рівні, (так як вони мають спільну сторону ОА 1. Рівні сторони ОВ і ВВ' і рівні кути при вершині О). Отже. А 1 В = А 1 В '. Так як точки А 1. В 'і З 1 лежать на одній прямій, (що є пініей перетину площин ОАС і А 1 Нд 1). Причому точка В 'лежить між А 1 і С 1, то
В'С 1 = А 1 С 1 - А 1 В '= А 1 С 1 - А 1 В <НД 1.
Розглянемо тепер трикутники ОВС 1 і ОВ'С 1. У цих трикутниках ОС 1 - загальна сторона і ВВ = ОВ ', а треті сторони пов'язані нерівністю В'С 1 <НД 1. Отже, кути, що лежать в цих трикутниках проти нерівних сторін, пов'язані нерівністю ÐВ'ОС 1 <ÐВОС 1. Тому дуга ÈВ'С, стягується кутом В'ОС, також менше дуги ÈВС 1, стягуваний кутом ВОС 1. Інакше кажучи,
ÈАС - ÈАВ = ÈАС - ÈАВ '= ÈВ'С <ÈВС,
тобто кожна сторона сферичного трикутника більше різниці двох інших його сторін. Звідси, у свою чергу, випливає, що
ÈАС <ÈАВ + ÈВС,
тобто кожна сторона сферичного трикутника менше суми двох інших його сторін.
Наслідок 1. У всякому сферичному трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, а проти більшої сторони лежить більший кут.
Доказ: Нехай у сферичному трикутнику АВС має місце нерівність ÐС = ÐB, тоді через вершину проходить всередині трикутника така дуга CD, що ÐАВС = ÐВСD. Трикутник ВСD - рівнобедрений і BD = CD, тоді вірно нерівність
AC <AD + DC = AD + DB = AB
І назад, хай тепер AB> AC, тоді припустимо, що ÐС = ÐВ. Звідси випливає, що АВ = АС або ÐС <ÐВ, але тоді АВ <АС. Отримали протиріччя з умовою.
Наслідок 2. Дуга великому колу, менша півкола, коротше всякої лінії, що складається з дуг декількох великих кіл, що сполучає ті ж точки сфери.

Рис. 21
На відміну від площини, де неможливі трикутники з двома прямими кутами, на сфері можливі такі трикутники: це трикутники, у яких одна з вершин є полюсом протилежної сторони; боку цих трикутників, що лежать проти прямих кутів, рівні . Є на сфері і трикутники з трьома прямими кутами - це автополярние трикутники, у них всі три сторони рівні . У тому випадку, коли сферичний трикутник володіє тільки одним прямим кутом, сторона, що лежить проти цього кута, також як у випадку плоских прямокутних трикутників, називається гіпотенузою, а решта дві сторони - катетами.
Теорема 4. Для того щоб більша окружність перетиналася з якою-небудь окружністю на сфері під прямим кутом, необхідно і достатньо, щоб перша з цих кіл проходила через полюси другий.
Доказ: Нехай I - спільна точка двох кіл, прямі IT і It - дотичні до великої і малої кіл в цій точці, Р і Р'-полюси малої окружності, О - центр кулі (рис. 22).

Рис. 22
Умова, зазначене та теоремі, достатньо. Дійсно, якщо велика окружність проходить через точки Р і P ', то її площину містить дві прямі, не паралельні між собою і перпендикулярні до прямої It, а саме діаметр РР і радіус Оi. Отже, ця площина, а значить, і дотична IT перпендикулярні до It.
Те ж умова і необхідно. Дійсно, якщо дві окружності перетинаються під прямим кутом, то площина великому колу містить прямі IT і OI, перпендикулярні до It. Отже, вона перпендикулярна до цієї прямої, а тому й до площини малої кола, і містить в силу цього діаметр РР ', перпендикулярний до цієї останньої площині і проходить через точку О.
Слідство. Через точку, що лежить на кулі, можна провести велике коло, перпендикулярну до даної окружності цієї сфери; ця велика окружність буде єдиною, якщо дана точка не є полюсом даної окружності.
Велика окружність, що відповідає поставленому умові, визначається цією точкою А і полюсами Р і Р 'даної окружності.
Зауважимо, що існують дві дуги великого кола, що виходять з точки А і перпендикулярні до даної окружності; а саме ті дуги, які мають своїми кінцями точки перетину I і I 'даної кола з великою окружністю, існування якої щойно було доведено.
Примітка. Тут розглядаються виключно дуги, що виходять з точки А і мають своїми кінцями перші точки перетину цих дуг з даною колом. Якщо не ввести цього обмеження, то число перпендикулярних дуг було б більше двох: наприклад, поставленому умові відповідала б дуга АР'I '(рис. 22).
Теорема 5. Якщо через будь-яку точку сфери провести дві дуги великого кола, перпендикулярні до цієї окружності, і різні дуги великих кіл, похилі до тієї ж кола, то одна з перпендикулярних дуг коротше, а інша довше, ніж усі похилі дуги. Похила дуга буде тим довше, ніж далі відстоїть її кінець від кінця меншою перпендикулярної дуги.
Доказ: Нехай А - дана точка; Р-той з полюсів цієї окружності, який розташований по той же бік від цього кола, як і точка А; АI і АI '- обидві перпендикулярні дуги великого кола, причому АI' - та з цих дуг , на якій лежить точка Р; АК, АК ", АК" - різні похилі дуги (мал. 23).

Рис. 23.
1 о. Дуга АК більше дуги AI, але менше АI '. Дійсно, якщо провести дугу РК великому колу, то з сферичного трикутника АРК маємо:
АК> РК - РА, АК <РК + РА,
в той час як
РК-РА = PI - PA = АI,
РК + РА = PI '+ РА = АI'.
2 °. Припустимо, що точки К і К 'даної великому колу такі, що дуги ІК і ІК' рівні. При цьому хорди, що стягують ці дуги, також рівні, і крапка I однаково віддалена від двох точок К і К '. Оскільки точка Р володіє тією ж властивістю, то геометричне місце точок сфери, однаково віддалених від точок К і К ', є велика окружність РI. Остання проходить через точку А, а тому хорди АК і АК 'рівні, і, отже, рівні відповідні їм дуги великих кіл.
3 про. Нехай тепер будь-яка точка К''на даній окружності володіє тим властивістю, що IK''> ІК. Можна припустити, грунтуючись на (2 о), що обидві точки К і К''лежать по один бік від точки I. Проводимо дуги великих кіл РК і РК''. Тому що крапка До лежить всередині кута К''РI, то ÐKPI <ÐК''РI. Трикутники АРК та АРК''мають, таким чином, за нерівного куті (при вершині А), укладеним між відповідно
рівними сторонами, звідки випливає, що АК <АК''. Теорема доведена.

3.6. Площа сферичного трикутника.

Будемо називати площею сферичної фігури, за аналогією з площею плоскої фігури, дійсне число, яке задовольняє наступним чотирьом вимогам:
1) площа сферичної фігури є позитивним числом, (властивість позитивності),
2) площа сферичної фігури не змінюється під час руху (властивість інваріантності),
3) якщо сферична фігура розкладена на дві сферичні фігури, то площа даної фігури дорівнює сумі площ двох фігур, на які вона розкладена (властивість адитивності),
4) площа всієї сфери радіуса R дорівнює 4 p R 2 (властивість нормування).
Перш за все знайдемо площа двуугольніка. З властивості адитивності, інваріантності і нормування випливає, що якщо розділити сферу на n рівних двуугольніков (рис. 24), то площа кожного з них (тобто площа двуугольніка з кутом ) Дорівнює . Тому площа двуугольніка з кутом , Складеного з m розглянутих двуугольніков, дорівнює , А якщо кут деякого двуугольніка більше і менше , То площа цього двуугольніка укладена між і (Це випливає з першого і третього властивостей площі). Необмежено збільшуючи число n, ми можемо за допомогою граничного переходу знайти площу будь-якого двуугольніка: площа двуугольніка, кути при вершинах якого рівні a, дорівнює
,
тобто
. (1)

Рис. 24 Рис. 25
Якщо нам дано сферичний трикутник АВС, то пара великих кіл, що проходять через дві його сторони, визначає два двуугольніка, кути яких рівні кутку сферичного трикутника між цими сторонами (рис. 25). Всього таким чином виходить шість двуугольніков, два з кутом А, два - з кутом В і два - з кутом С. Трикутник АВС і діаметрально протилежний йому трикутник А'В'С '(рівний трикутнику АВС), входять в три двуугольніка, інші точки сфери (не лежать на сторонах двуугольніков) входять тільки в один двуугольнік. Тому сума площ шести двуугольніков дорівнює сумі площі S всієї сфери і почетвереній площі S (D) трикутника АВС, тобто
2S (A) +2 S (B) +2 S (C) = S +4 S (D).

Так як

S (A) = 2r 2 A, S (B) = 2r 2 B, S (C) = 2r 2 C,

То ми отримуємо

4r 2 (A + B + C) = 4pr 2 +4 S (D),
тобто
S (D) = r 2 (A + B + Cp). (2)
Так як величини S (D) і r 2 позитивні, то величина А + В + С-p також позитивна, звідки випливає, що
А + В + С> p,
тобто сума кутів сферичного трикутника більше розгорнутого кута. Величина А + В + С-p називається кутовим надлишком сферичного трикутника.
Таким чином, площа сферичного трикутника дорівнює добутку його кутового надлишку на квадрат радіуса сфери.
Замінюючи в останньому нерівності кути А, В і С рівними їм виразами де, а ', b', з '- сторони полярного трикутника, ми отримаємо нерівність
а '+ b' + з '<2pr,
показує, що сума сторін сферичного трикутника менше довжини великому колу.

§ 4 Сферичні багатокутники

4.1. Поняття сферичного багатокутника і його властивості.

Сферичним багатокутником називається частина сфери, обмежена дугами великих кіл, меншими півкола, кінцями яких служать точки перетину цих великих кіл, взятих у послідовному порядку.
Сферичний багатокутник називається опуклим, якщо він розташований по один бік від кожного з великих кіл, частиною яких служать його боку, в іншому випадку він називається увігнутим.
У випадку, коли багатокутник опуклий кожне велике коло, частиною якого служить сторона багатокутника, ділить сферу на дві півсфери, з яких одна містить весь багатокутник; загальна область R всіх таких півсфер, містять даний багатокутник, і буде внутрішньою областю многокутника.
Менша дуга великого кола, що з'єднує точки M та N, що лежать всередині багатокутника або на його периметрі, цілком лежить в області R, тобто усередині багатокутника. Сферичні багатокутники класифікуються, як і плоскі многокутники, за числом їх сторін; найпростішим із них є сферичний трикутник. Сферичний двуугольнік не є багатокутником, так як кожна його сторона дорівнює півкола, а не менше за неї.
Зв'язок між сферичними багатокутниками і багатогранними кутами. Кожному сферичному багатокутнику відповідає багатогранний кут, вершиною якого є центр сфери, а ребрами - прямі, що з'єднують центр з вершинами многокутника.
Лінійні кути двогранних кутів багатогранного кута рівні, кутах багатокутника. Зворотно, всякий багатогранний кут, вершиною якого є центр сфери, перетинає останню по сферичному багатокутнику.
Звідси випливає, що з кожної властивості, що стосується плоских кутів і двогранних кутів багатогранного кута, можна вивести деяка властивість, що стосується сторін і кутів відповідного сферичного багатокутника.
Теорема 6. Якщо певний опуклий сферичний багатокутник розташований усередині якого-небудь сферичного багатокутника (причому обидва багатокутника можуть мати одну чи кілька загальних вершин або сторін), то периметр об'емлемого багатокутника менше периметра осяжний багатокутника.
Доказ: Нехай ACDB - опуклий багатокутник і AC'D'EFB - осяжний його багатокутник (рис.26) Продовжимо боку АС та СD в одному і тому ж напрямку АСDB, тобто сторону АС за точку С, а сторону CD - за точку D. Ці продовження перетнуть боку осяжний багатокутника відповідно в точках G і H. Шлях ACDB коротше шляху ACHB, тобто вони мають спільну частину ACD, а залишок DB перше коротше залишається частини DHB другого. У свою чергу, шлях ACHB менше ніж ABD'EFB, так як, відкидаючи загальні частини АС, НВ, отримаємо відрізок СН, який коротше CGD'EFH. Нарешті, точно також AGD'EFH, менше AC'D'EFB, так як AG менше AC'G. Таким чином, маємо:
ACDB <ACHB <AGD'EFB <AC'D'EFB

Рис. 26
Доказ зберігає силу і в тому випадку, якщо осяжний багатокутник замінити сукупністю двох великих напівкіл.
Теорема 7. Периметр опуклого сферичного багатокутника менше великому колу.
Доказ: Нехай дано сферичний трикутник АВС, а точка А '- точка діаметрально протилежна точці А. Тоді НД <ВА' + А "З або ВС <4d-AB-AC. Звідки і випливає, що ВС + АВ + АС <4d, де d - прямий кут.
Випадок багатокутника, що має будь-яке число сторін, поступово зводиться до випадку трикутника; з цією метою продовжують дві сторони багатокутника, суміжні з однієї і тієї ж його стороною, так що число сторін зменшується на одиницю. Цей шлях докази цілком відповідає пасму тих побудов на сфері, які зображені на рис.27.

Рис. 27

4.2. Площа сферичного багатокутника.

З'єднаємо одну з вершин опуклого сферичного n-кутника дугами великих кіл з усіма іншими вершинами цього багатокутника, отримаємо n-2 сферичних трикутника. Площа опуклого сферичного n-кутника дорівнює сумі площ цих n-2 сферичних трикутників. Тому, так як сума кутів усіх n-2 сферичних трикутників дорівнює сумі кутів сферичного n-кутника, площа S n опуклого сферичного n-кутника дорівнює
S n = r 2 n - (n-2) p),
де å n-сума всіх його внутрішніх кутів.
Ця формула залишається справедливою і для неопуклих сферичних багатокутників.

§ 5 Малі окружності

Перетин сфери площиною, що не проходить через її центр, є малою колом. Так як всі три точки сфери визначають єдину площину, то через всякі три точки сфери, що не лежать на великому колу, можна провести єдину малу коло. Дійсно, нехай А, В, С - три точки даної сфери, що не лежать на одній великій окружності. Через них проходить єдина площина АВС. Площина АВС перетинає сферу, до того ж за малої окружності, що проходить через точки А, В, С, тому що дані точки не лежать за умовою на одній великій окружності. Ця мала окружність єдина, так як площину АВС єдина.
Так як площину ділить простір на дві області, то мала окружність ділить сферу на дві області, що називаються сферичними сегментами. Та з цих областей, яка не виходить за межі півсфери, називається сферичним колом.
Так як при повороті навколо діаметра сфери, перпендикулярного до площини, висікає з сфери малу окружність, ця окружність переходить в себе (бо цей перпендикуляр є віссю розглянутої кола), то сферичне відстань точок кола від кінців перпендикулярного їй діаметра сфери, постійна. Зворотно, геометричне місце точок сфери, рівновіддалених від однієї її точки, переходить у себе при повороті навколо діаметра, що проходить через цю точку, тобто є малою окружністю (добувається зі сфери площиною, перпендикулярної цьому діаметру). Таким чином, мала окружність є геометричним місцем точок сфери, рівновіддалених від однієї точки сфери; ці точки одно відстоять і від діаметрально протилежної їй точки. Та з цих точок, для якої сферичне відстань її від точок малої окружності менше , Називається сферичним центром малої кола, а сферичне відстань точок малої окружності до її сферичного центру називається сферичним радіусом малої окружності. Очевидно, що сферичний центр малої кола належить обмежує його сферичному колі. Полюси великих кіл можна також розглядати як сферичні центри цих кіл; сферичним радіусом великому колу слід вважати число .
Так як великі кола, що проходять через центр малої окружності, перпендикулярні поляри центру малої кола, то відстань від точок малої окружності до цієї великої окружності одно доповненню сферичного радіусу кола до . Зворотно, геометричне місце точок сфери, рівновіддалених від однієї її великому колу і розташованих по один бік від неї, є геометричним місцем точок, рівновіддалених від одного її полюси, тобто є малою колом. Таким чином, мала окружність є геометричним місцем точок сфери, рівновіддалених від однієї великому колу і розташованих по один бік від неї. Ця велика окружність називається базою малої кола, а відстань точок малої окружності до бази називається параметром малої окружності. Очевидно, що сферичний радіус R і параметр Р малої кола складають в сумі . На рис. 28 зображені центр та база малої окружності.

Рис. 28
Нехай центр малої окружності в її площині - точка Q, радіус її - число ρ, а М - довільна точка цього кола (рис.28), тобто ОМ = r, QM = ρ, а ÐМОQ = . Тоді з прямокутного трикутника OQM ми знайдемо, що ρ = , Тобто довжина кола сферичного радіуса R дорівнює
.
З іншого боку, так як , То довжина кола параметра Р дорівнює
.
Так як сферичний коло, що обмежується колом сферичного радіуса R, являє собою сферичний сегмент висоти
,
а площа всякого сферичного шару висоти h дорівнює 2prh, де r - радіус сфери, то площа сферичного кола радіуса R дорівнює
.

§ 6 Геометричні місця точок на сфері

Найпростіші геометричні місця точок, що розглядаються в геометрії на площині, поширюються і на випадок сфери.
Геометричне місце I. Геометричне місце точок сфери, сферичні відстані яких від даної точки Р сфери рівні одній і тій же дузі великого кола r, є мала коло з полюсом Р і сферичним радіусом r.
Геометричне місце II. Геометричне місце точок сфери, сферичні відстані яких від даної великому колу рівні одній і тій же дузі а (меншою квадранта), є пара рівних малих кіл з полюсами в полюсах даної великому колу і сферичним радіусом, що доповнює дугу а до квадранта.
Геометричне місце III. Геометричне місце точок сфери, рівновіддалених від двох точок А і В цієї сфери, є велика окружність, перпендикулярна до дуги АВ і проходить через середини обох дуг, що мають точки А і В, своїми кінцями.
Геометричне місце IV. Геометричне місце точок сфери, рівновіддалених від двох великих кіл, складається з двох взаємно перпендикулярних великих кіл, що поділяють навпіл кути між даними великими колами.
Ще одне геометричне місце точок на сфері не має аналогії в геометрії на площині.
Геометричне місце V. Геометричне місце полюсів великих кіл, що стосуються цієї малої окружності, складається з двох діаметрально протилежних малих кіл; полюси яких збігаються з полюсами цієї малої кола; сферичний радіус кожної з них доповнює до квадранта сферичний радіус цієї малої окружності, менший квадранта.
Дійсно, нехай Р - полюс цієї малої окружності, якій відповідає її радіус r, менший квадранта. Так як відстань точки Р від точки дотику цієї малої кола з будь-якої великої окружністю одно r, то відстань тієї ж точки Р від одного з полюсів цієї великому колу доповнює дугу r до квадранта.
Теорема 8. Геометричне місце третього вершин сферичних трикутників, у кожного з яких дві вершини збігаються відповідно з двома даними точками і різниця між кутом при третій вершині і сумою кутів при даних вершинах має задану величину, складається з двох дуг, які належать різним колами.
Доказ: Нехай В і С - дві дані вершини, А - третя вершина; припустимо, що дана величина ÐВ + ÐС - ÐА. Нехай далі О (рис.29) один з полюсів кола, описаного близько трикутника: покажемо, що точка О нерухома.
Так як трикутник ОВС рівнобедрений, то дуги великих кіл ОВ і ОС утворюють зі стороною НД кути, рівні за абсолютною величиною, але мають протилежні знаки. Нехай a - перший з цих кутів, отже,
a = ÐСВО = - ÐВСО;
Нехай так само
b = ÐАСО = - ÐСАО,
g = ÐВАО = - ÐАВО.
Якщо розташування трикутника таке, що кут ВАС позитивний, то будемо мати з точністю до цілих кіл:
ÐА = b + g,
ÐВ = g + a,
ÐС = a + b,
і, отже, ÐВ + ÐС - ÐА = 2a,
або інакше:
це рівність дає величину a і, отже, дозволяє визначити положення точки О. Даючи a два значення, які відрізняються одна від іншої на півколо, будемо мати для цієї точки два діаметрально протилежних положення, які будуть визначати два полюси однієї і тієї ж кола.

Рис. 29
Навпаки, якщо зробити щодо розташування трикутника припущення, протилежне тому, яке було зроблено раніше, то отримаємо іншу коло; те ж саме буде і в тому випадку, якщо змінити знак різниці ÐВ + ÐС-ÐА.
Теорема Лекселлом (Lexell). Якщо дані площа сферичного трикутника і дві його вершини, то геометричне місце третього вершин складається з двох малих кіл, що проходять через точки, діаметрально протилежні двом даним вершин.
Доказ: Нехай А і В - дані вершини, С - третя вершина, А 'і В' - точки діаметрально протилежні крапок А і В. (рис.30)

Рис. 30
Сума ÐА + ÐВ + ÐС кутів трикутника АВС відома; але кути СА'В 'і СВ'А' трикутника А'В'С відповідно рівні ÐСАВ 'і ÐСВА', тобто кутах, поповнювальні кутах А і В. Таким чином, сума ÐА + ÐВ + ÐС може бути записана у вигляді ÐС +2 p-ÐСА'В'-ÐСВ'А '. Отже, відома величина ÐСА'В '+ ÐСВ'А'-ÐС' та геометричне місце точок С складається з двох малих кіл, що проходять через точки А 'і В'.

§ 7 Тригонометрія

7.1. Сферична теорема косинусів

Розглянемо довільний сферичний трикутник АВС. Сферична теорема косинусів аналогічна теоремі косинусів плоскою тригонометрії.
Припустимо спочатку, що кожна зі сторін b і з сферичного трикутника АВС менше . Проведемо з точки А дотичні АМ і AN до сторін с і b і знайдемо точки М і N перетину цих дотичних з продовженнями радіусів ОВ і ОС (мал.31); ці точки перетину існують, так як, за припущенням, кожен з кутів АОС, АОВ менше . Тоді кут А дорівнює куту MAN, і для плоского трикутника MAN чинності плоскою теореми косинусів отримуємо
MN 2 = AN 2 + AM 2 - 2AN AM cosA. (1)

Рис. 31
З іншого боку, кути ВОС, АОС та АОВ, які є центральними кутами великих кіл сфери, що спираються на дуги a, b, c, відповідно рівні , і . Тому з трикутника OMN знаходимо
MN 2 = OM 2 + ON 2 - 2OM ON cos . (2)
Порівнюючи (1) і (2), отримуємо
OM 2 + ON 2 - 2OM ON cos = AN 2 + AM 2 - 2AN AM cosA. (3)
З прямокутного трикутника ОМА знаходимо, що
OM 2 - AM 2 = OA 2, , , (4)
а з прямокутного трикутника ONA знаходимо, що
ON 2 - AN 2 = OA 2, , , (5)
У силу перших формул (4) і (5) рівність (3) можна переписати у вигляді
2OM ON cos = 2OA 2 + 2AN AN AM cosA,
тобто
OM ON cos = OA 2 + AN AM cosA. (6)
Розділивши (6) на твір OM ON, отримаємо

або, в силу других і третіх рівностей (4) і (5),
(7)
Якщо тепер сторона b більше , А сторона з менше , То продовжимо боку а і b нашого трикутника до перетину в точці С ', діаметрально протилежній точці С (мал.32). Тоді в сферичному трикутнику АВС 'боку АС' і АВ, відповідно рівні і з, менше , А кут ВАС, суміжний з кутом А, дорівнює p - А. Тому в силу формули (7) для трикутника АВС '
,
тобто
,
звідки отримуємо формулу (7).

Рис. 32
Якщо, нарешті, обидві сторони b і з більше , То продовжимо боку b і з нашого трикутника до перетину в точці А ¢, діаметрально протилежній точці А (рис.33). Тоді в сферичному трикутнику А ¢ НД боку СА ¢ та ВА ¢, відповідно рівні pr-b і pr-c, менше , А ÐВА'С дорівнює куту А. Тому в силу формули (7) для трикутника А'ВС
,
звідки безпосередньо отримуємо формулу (7).

Рис.33
Формула (7) висловлює сферичну теорему косинусів, яку зазвичай формулюють у наступному вигляді: косинус боку сферичного трикутника дорівнює сумі твори косинусів двох інших сторін і твори синусів двох інших сторін на косинус кута між ними.
Замінюючи у формулі (7) позначення сторін а, b, с і кутів А, В, С у круговому порядку, одержуємо дві аналогічні формули
(8)
і
(9)

7.2. Сферична теорема синусів

Доведемо тепер сферичну теорему синусів, аналогічну теоремі синусів плоскою тригонометрії. З формули (7) випливає рівність
.
Застосовуючи це рівність, обчислимо відношення
.
Так як отриманий вираз симетрично щодо сторін a, b, c, то воно дорівнює аналогічним виразами, отриманим з лівої частини цієї рівності заміною сторін a, b, c і кутів А, В, С у круговому порядку. Вилучаючи квадратний корінь з цих висловів, отримуємо три рівні вираження:
(10)
Ця формула і висловлює сферичну теорему синусів: синуси сторін сферичного трикутника відносяться, як синуси протилежних кутів. З формули (10), зокрема видно, що якщо в сферичному трикутнику має місце співвідношення , Так що sinB = sinA, то в силу формули (10) , Тобто або a = b, або . Але якщо a = b, то А = В і відповідно до співвідношення це дає . Отже, С - полюс боку АВ, і тому . Таким чином, співвідношення справедливо і в цьому випадку. Отже, якщо , То сторони a і b зв'язані співвідношенням .

7.3. Формули п'яти елементів


Одна з формул п'яти елементів: твір синуса боку сферичного трикутника на косинус прилеглого кута дорівнює різниці твори косинуса боку, що лежить проти цього кута, на синус третьої сторони і твори синуса боку, що лежить проти даного кута, на косинус третьої сторони і косинус боку, неприступній даного кута.
(11)
(12)
(13)
Змінюючи у формулі (11) місцями боку а і с і кути А і С, а потім заміняючи позначення сторін a, b, c і кутів А, В, С у круговому порядку, ми отримаємо ще три аналогічні формули
(14)
(15)
(16)
Ці формули аналогічні теоремам проекцій плоскою тригонометрії.
Замінюючи у формулі (11) пропорційними і величинами sinA, sinB і sinC, ми отримаємо формулу

або
. (17)
Ми отримали формулу п'яти елементів іншого виду, яку зазвичай формулюють у вигляді: твір косинуса боку сферичного трикутника на синус прилеглого кута дорівнює сумі твори косинуса кута, що лежить проти цього боку, на синус третього кута і твори синуса кута, що лежить проти даної сторони, на косинус третій кута і на косинус боку, що лежить проти даного кута.
Замінюючи у формулі (17) позначення сторін а, b, с і кутів А, B, С у круговому порядку, ми отримаємо ще дві аналогічні формули
(18)
(19)
Змінюючи у формулі (17) місцями боку а і с і кути A і C, а потім заміняючи позначення сторін а, b, с і кутів A, В, С у круговому порядку, ми отримаємо ще три аналогічні формули:
(20)
(21)
. (22)
Ці формули не мають аналогів у плоскій тригонометрії.

7.4. Двоїста теорема косинусів.

Доведемо тепер подвій ственную теорему косинусів, також не має аналога в плоскій тригонометрії. Підставимо значення з рівності (20) в рівність (19). Отримаємо
,
або
,
т. е.

або, після скорочення на sinC,
. (23)
Формула (23) висловлює двоїсту сферичну теорему косинусів, яку зазвичай формулюють у вигляді: косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку синусів двох інших кутів на косинус боку між ними без твори косинусів двох інших кутів.
Замінюючи у формулі (23) позначення сторін а, b, с і кутів A, В, С у круговому порядку, ми отримаємо дві аналогічні формули:
, (24)
. (25)
Формули (23), (24) і (25) двоїстої теореми косинусів можуть бути отримані також відповідно з формул (7), (8) і (9) теореми косинусів, якщо записати ці формули для полярного трикутника і використовувати співвідношення між кутами і сторонами двох взаємно полярних трикутників; цим і пояснюється назва цієї теореми.
Зауважимо, що при малих значеннях відношенні , і тобто при дуже малих довжинах сторін а, b, з сферичного трикутника або при дуже великому радіусі сфери r, сферична геометрія мало відрізняється від плоскої геометрії та тригонометричні співвідношення в сферичному трикутнику можна замінити тригонометричними співвідношеннями в плоскому трикутнику. І справді, при малих значеннях змінного х можна знехтувати вищими ступенями цього змінного і, отже, можна замінити на x, а на або навіть на 1. Але при такій заміні, як легко перевірити, сферичні теореми косинусів і синусів переходять в однойменні плоскі теореми, перші шість формул п'яти елементів переходять у теореми проекцій плоскою тригонометрії, а другі шість формул п'яти елементів і двоїста теорема косинусів, що не мають аналогів у плоскій тригонометрії, переходять у співвідношення A + В + С = p.

7.5. Формули котангенс.

Ділячи почленно формулу п'яти елементів (23) на що випливає з формули (22) рівність
,
ми отримаємо рівність

т. е.

або
. (26)
Ми отримали одну з формул котангенс, яку зазвичай формулюють у вигляді: твір синуса одного боку сферичного трикутника на котангенс інший без твори синуса кута, що лежить проти третьої сторони, на котангенс кута, що лежить проти другої сторони, дорівнює добутку косинуса першої сторони на косинус кута, що лежить проти третьої сторони.
Існують і інші формули котангенс, наприклад:
, (27)

7.6. Випадок прямокутного сферичного трикутника.

У випадку, коли сферичний трикутник АВС-прямокутний трикутник з прямим кутом A, теорема косинусів (7) набуває вигляду
, (28)
тобто косинус гіпотенузи дорівнює добутку косинусів катетів. Ця теорема, що зв'язує гіпотенузу і катети прямокутного сферичного трикутника, є аналогом теореми Піфагора і називається сферичною теоремою Піфагора.
У випадку прямого кута А теорема синусів (10) набуває вигляду рівностей
, (29)
і
. (30)
Формули (29) і (30) називаються формулами синусів для прямокутного сферичного трикутника.
У випадку прямого кута A формули п'яти елементів (13) і (15) приймають вигляд
,
і
,
звідки знаходимо формули
(31)
і
. (32)
Формули (31) і (32) називаються першими формулами тангенсів для прямокутного сферичного трикутника.
У випадку прямого кута A формула (23) двоїстої теореми косинусів приймає вигляд
,
звідки знаходимо формулу
. (33)
Формула (33) називається формулою котангенс для прямокутного сферичного трикутника.
У випадку прямого кута A формули (24) і (25) двоїстої теореми косинусів приймають вигляд
(34)
і
. (35)
Формули (34), (35) називаються формулами косинусів прямокутного сферичного трикутника.
У випадку прямого кута A формули котангенс (26) і (27) приймають вигляд

і
,
звідки знаходимо формули
,      (36)
. (37)
Формули (36) і (37) називаються другими формулами
тангенсів прямокутного сферичного трикутника.
Сферична теорема Піфагора, дві формули синусів, дві перші формули тангенсів, формула котангенс, дві формули косинусів і дві другі формули тангенсів складають десять формул прямокутного сферичного трикутника.

7.7. Рішення сферичних трикутників.

Виведені нами тригонометричні співвідношення дозволяють «вирішити сферичний трикутник» з будь-яких трьох з його елементів (сторін і кутів). Якщо нам дано три сторони сферичного трикутника, то за формулою (7) теореми косинусів знаходимо

і аналогічно за формулами (8) і (9) знаходимо соs В і соs С.
Якщо нам дані дві сторони сферичного трикутника і кут між ними, наприклад боку b, с і кут А, то бік а знайдемо за формулою (7) теореми косинусів. Знаючи всі три сторони сферичного трикутника, знайдемо його інші кути, як зазначено вище.
Якщо нам дані дві сторони сферичного трикутника і кут, що лежить проти однієї з них, наприклад боку а, b і кут A, то за формулою (10) теореми синусів знаходимо
.
Зауважимо, що ця формула дає для У два значення, які доповнюють один одного до p; це відповідає тому, що в загальному випадку два сферичних трикутника з двома відповідно рівними сторонами і рівними кутами, що лежать проти однієї з цих сторін, не обов'язково рівні, а можливий випадок, коли кути цих трикутників, що лежать проти іншої сторони, доповнюють один одного до л, як ми це бачили, розглядаючи четвертий ознака рівності сферичних трикутників.
Для визначення сторони с і кута З проведемо через вершину З дугу великого кола АВ. Якщо ці великі кола перетинаються в точці D, то розглянемо прямокутні сферичні трикутники АСD і ВСD (рис. 34). У цих трикутниках відомі гіпотенузи b і а і кути при вершинах А і В. Другий катет кожного з цих трикутників визначається за першими формулами тангенсів (31) або (32), а кут при вершині З визначиться за формулою котангенс (37).

Рис.34
Сторона с і кут C сферичного трикутника АВС є сумами знайдених сторін або кутів прямокутних трикутників, якщо точка D лежить на стороні АВ, і разностям і цих сторін або кутів, якщо точка D лежить на продовженні сторони АВ. Саме, якщо обидва кута A, В у вихідному трикутнику АВС є гострими або обидва тупими, то перпендикулярна до АВ окружність, через точку C, перетинає коло АВ у двох точках, одна з яких лежить на дузі АВ; цю точку і слід прийняти за D в розглянутому випадку (рис. 34). Таким чином, кути при вершинах А і В у прямокутних трикутниках АСD і ВСD збігаються з кутами А і В вихідного трикутника АВС, а сторона с і кут З трикутника АВС є сумами знайдених нами сторін або кутів прямокутних трикутників АСD і ВСD. Якщо ж у трикутнику АВС один з кутів A, У гострий, а другий-тупий, то перпендикулярна до АВ окружність, через точку С, перетинає коло АВ у двох точках, жодна з яких не лежить на дузі АВ. У цьому випадку за D можна прийняти
будь-яку з цих точок, наприклад ту, яка лежить на продовженні сторони АВ за точку В (рис. 35).

Рис.35
Таким чином, кут при вершині А в Δ АС D дорівнює куту А трикутника АВС, а кут при вершині В у Δ ВСD дорівнює p - В. При цьому сторона с і кут З трикутника АВС є різницями сторін А D, ВD або кутів при вершині З трикутників АС D і ВС D. Нарешті, якщо один з кутів A, В (наприклад, А) прямий, то трикутник АВС прямокутний, і для знаходження сторони с і кута С можна в атом випадку скористатися формулами (28), (31) .
Якщо нам дано три кута сферичного трикутника, то за формулою (23) двоїстої теореми косинусів знаходимо

і аналогічно за формулами (24) і (25) знаходимо і .
Якщо нам дано два кута сферичного трикутника і сторона між ними, наприклад сторона а й кути B і C, то кут А знайдемо за формулою (23) двоїстої теореми косинусів. Знаючи всі три кути сферичного трикутника, знайдемо його інші сторони, як зазначено вище.
Якщо, нарешті, нам дані два кути сферичного трикутника і сторона, що лежить проти одною з них, наприклад кути А і В і сторона а, то за формулою (10) теореми синусів знаходимо
.
Зауважимо, що ця формула дає для b два значення, які доповнюють один одного до pr; це відповідає тому, що в загальному випадку два сферичних трикутника з двома відповідно рівними кутами і рівними сторонами, що лежать проти одного з цих кутів, не обов'язково рівні, а можливий випадок, коли сторони цих трикутників, що лежать проти іншого кута, доповнюють один одного до pr, як ми це бачили, розглядаючи V ознака рівності сферичних трикутників. Сторону с і кут С по кутах А, В і сторонам а, b ми знайдемо, як зазначено вище.

Глава 2. Дистанційне навчання

§ 1 Поняття та визначення дистанційного навчання

Дистанційне навчання є формою отримання освіти, разом з очною та заочною, при якій в освітньому процесі використовуються кращі традиційні й інноваційні методи, засоби і форми навчання, засновані на комп'ютерних і телекомунікаційних технологіях.
Основу освітнього процесу при дистанційному навчанні складає цілеспрямована і контрольована інтенсивна самостійна робота учня, який може навчатися в зручному для себе місці, за індивідуальним розкладом, маючи при собі комплект спеціальних засобів навчання і погоджену можливість контакту з викладачем по телефону, електронною і звичайною поштою, а також очно.
Існують різні поняття дистанційного навчання та освіти, що відображають різноманіття підходів до їх розуміння. Ось деякі з них.
Дистанційне навчання - особлива, досконала форма, що поєднує елементи очного, очно-заочного, заочного і вечірнього навчання на основі нових інформаційних технологій і систем мультимедіа.
Дистанційне навчання - це універсальна гуманістична форма навчання, що базується на використанні широкого спектру традиційних, нових інформаційних і телекомунікаційних технологій, і технічних засобів, які створюють умови для учня вільного вибору освітніх дисциплін, які відповідають стандартам, діалогового обміну з викладачем, при цьому процес навчання не залежить від розташування учня у просторі і в часі.
Найбільш вдале визначення було дано в одному з проектів «Концепції створення та розвитку системи дистанційної освіти в Росії», розробленому в Держкомітеті РФ по вищій освіті:
«Під дистанційною освітою розуміється комплекс освітніх послуг, що надаються широким верствам населення в країні і за кордоном за допомогою спеціалізованого інформаційно-освітнього середовища, що базується на засобах обміну учбовою інформацією на відстані (супутникове телебачення, радіо, комп'ютерний зв'язок тощо)».
Цілі дистанційного навчання
Якщо говорити про цілі навчання дистанційно, то можна виділити кілька груп таких цілей.
1. Професійна підготовка і перепідготовка кадрів (у нашій області - педагогічних кадрів за відповідними спеціальностями).
2.   Підвищення кваліфікація педагогічних кадрів з певних спеціальностей.
3. Підготовка школярів по окремих навчальних предметів до здачі іспитів екстерном.
4. Підготовка школярів до вступу в навчальні заклади певного профілю.
5. Поглиблене вивчення теми, розділу зі шкільної програми або позашкільної курсу.
6. Ліквідація прогалин у знаннях, уміннях, навичках школярів з певних предметів шкільного циклу.
7. Базовий курс шкільної програми для учнів, які не мають можливості з різних причин відвідувати школу взагалі або протягом якогось відрізка часу.
Отже, дистанційне навчання передбачає включення в єдиний світовий освітній простір, широке використання світових культурних і освітніх цінностей, вже накопичених і все поповнюються в глобальних мережах Інтернет, звернення до різних культурних джерел. Створення віртуальних бібліотек, музеїв розширить можливість кожного жителя планети долучитися до скарбниць світової та вітчизняної культури. Можливість вчитися під керівництвом досвідчених педагогів кращих наукових та навчальних центрів країни, світу, отримувати нову кваліфікацію або поглиблювати свої професійні знання, розширювати свій культурний кругозір - все це може дати грамотно організоване дистанційне навчання на основі єдиного інформаційно-освітнього простору.

§ 2 Принципи та особливості дистанційного навчання

У порівнянні з традиційним заочним навчанням дистанційна освіта має свої особливості.
Дистанційне навчання базується на використанні комп'ютерів і телекомунікаційної мережі, що практично знімає проблему відстаней. У традиційній заочної системі навчання слухач отримував навчальні та методичні матеріали і відсилав свої рішення викладачеві. Зазвичай періодичність спілкування з-за повільної роботи пошти складала не більше однієї посилки на місяць. Електронна пошта працює значно оперативніше - листи тут йдуть лічені хвилини. Тим самим, кого навчають надається можливість оперативного зв'язку, а викладачеві - можливість оперативно реагувати на запити учня, контролювати і коригувати його роботу. Електронна пошта набагато полегшує викладачеві масову розсилку матеріалів, дозволяє відстежувати історію листування зі слухачами.
Навчальні матеріали в дистанційному навчанні можуть розміщуватися на спеціалізованих WWW-серверах. Гіпертекстові технології дозволяють структурувати матеріал і зв'язати посиланнями ті розділи, які уточнюють і доповнюють один одного.
Викладач за допомогою пошукових систем, довідників по ресурсах Інтернету може готувати набір посилань на WWW-сторінки, що містять цікавий, з його точки зору, матеріал по досліджуваних тем, і повідомляти ці посилання учнем. Якщо вони мають вихід в Інтернет, то зможуть скористатися цими матеріалами.
У цілому до основних достоїнств дистанційної освіти можна віднести:
· Економію робочого часу як учнів, так і викладачів.
· Підвищення оперативності в оновленні навчальних курсів.
· Можливість залучення географічно віддалених викладачів.
· Зниження витрат підприємств на навчання персоналу (витрати на відрядження, оплата роботи викладачів, оренда приміщення, витрати на придбання навчальних та допоміжних матеріалів тощо).
· Завдяки дистанційній освіті з'явилася можливість організовувати дискусії не тільки в режимі "викладач - учень", але і широкі колективні конференції в групі або відкритому інформаційному просторі.
Однак не варто думати, що дистанційне навчання є свого роду панацеєю. Його впровадження і використання часто буває пов'язане з цілою низкою проблем, у тому числі:
1. Технічна складність впровадження технологій дистанційного навчання, а також організаційні труднощі з плануванням, реалізацією та підтримкою технологій дистанційного навчання в залежності від навчальних програм і конкретних потреб підприємства (організації).
2. У залежності від складності використовуваних при дистанційному навчанні технологій, витрати на їх реалізацію можуть замість економії фінансових ресурсів підприємства привести до їх перевитрати.
3. Очевидна перевага дистанційного навчання - відсутність необхідності ходити на заняття - в той же час є і розслаблюючим фактором для недостатньо наполегливих або слабо підготовлених учнів.
4. Складність контролю за процесом дистанційної здачі іспиту (наприклад, у разі дистанційної сертифікації не так просто переконатися, що претендент на отримання сертифіката відповідає на питання самостійно).
Розглянемо основні принципи проектування системи дистанційного навчання (СДО). Під принципами ми розуміємо певну систему вихідних основних дидактичних та інших вимог до процесу проектування і навчання в СДН, яка і повинна формуватися з урахуванням цих вимог.
1. Принцип гуманістічності навчання. Цей принцип є визначальним у системі неперервної інтенсивного навчання і посилюється стосовно СДО. Його сутність полягає в спрямованості навчання та освітнього процесу в цілому до людини, у створенні максимально сприятливих умов для оволодіння учнями соціально накопиченого досвіду, укладеного у змісті навчання, освоєнні обраної професії, для розвитку і прояву творчої індивідуальності, високих громадянських, моральних, інтелектуальних і фізичних якостей, які забезпечували б йому соціальну захищеність, безпечне і комфортне існування.
2. Принцип пріоритетності педагогічного підходу при проектуванні освітнього процесу в СДН. Суть названого принципу полягає в тому, що проектування СДН необхідно починати з розробки теоретичних концепцій, створення дидактичних моделей тих явищ, які передбачається реалізувати. Досвід комп'ютеризації дозволяє стверджувати, що коли пріоритетною є педагогічна сторона, система виходить більш ефективною.
3. Принцип педагогічної доцільності застосування нових інформаційних технологій. Він вимагає педагогічної оцінки ефективності кожного кроку проектування і створення СДО. Тому на перший план необхідно ставити не впровадження техніки, а відповідне змістовне наповнення навчальних курсів та освітніх послуг.
4. Принцип вибору змісту освіти. Зміст освіти СДО повинно відповідати нормативним вимогам Державного стандарту РФ.
5. Принцип забезпечення безпеки інформації, що циркулює в СДН. Необхідно передбачати при необхідності організаційні і технічні способи безпечного і конфіденційного збереження, передачі та використання потрібних відомостей, забезпечення її безпеки при зберіганні, передачі і використанні.
6. Принцип стартового рівня освіти. Ефективне навчання в СДН вимагає певного початкового набору знань, умінь, навичок.
7. Принцип відповідності технологій навчання. Технології навчання повинні бути адекватні моделям дистанційного навчання. Так, у традиційних дисциплінарних моделях навчання в якості організаційних форм навчання (видів занять) використовуються лекції, семінарні і практичні заняття, імітаційні чи ділові ігри, лабораторні заняття, самостійна робота, виробнича практика, курсові та дипломні роботи, контроль засвоєння знань.
8. Принцип мобільності навчання. Він полягає у створенні інформаційних мереж, баз і банків знань і даних для дистанційного навчання, що дозволяють навчається коригувати або доповнювати свою освітню програму в необхідному напрямку при відсутності відповідних послуг у ВНЗ, де він вчитися. При цьому потрібно збереження інформаційного інваріантного освіти, що забезпечує можливість переходу з ВНЗ до ВНЗ на навчання за спорідненими або іншими напрямами.
9. Принцип неантогоністічності дистанційного навчання існуючих форм освіти. Проектована СДО зможе дати необхідний соціальний та економічний ефект за умови, якщо створювані і впроваджуються інформаційні технології стануть не чужорідним елементом у традиційній системі вищої освіти, а будуть природним чином інтегровані в нього.

§ 3 Процес дистанційного навчання

Загальна ідея дистанційного навчання досить проста: викладачі і учні взаємодіють у віртуальному просторі, фізично перебуваючи за своїми комп'ютерами у віддалених один від одного місцях. При використанні технологій дистанційного Інтернет-навчання з'являється безліч цікавих можливостей: завантаження навчальних матеріалів з віртуальної аудиторії за допомогою Web-браузера; спілкування з викладачами та іншими учнями через електронну пошту або в телеконференціях; участь у відеоконференціях; робота в інтерактивних віртуальних лабораторіях; оновлення матеріалів навчального курсу в режимі реального часу та ін
Можна виділити два основних види дистанційного навчання - синхронне і асинхронне. При синхронній формі дистанційного навчання спілкування між учасниками навчального процесу здійснюється в реальному часі з використанням різних методів передачі інформації. При застосуванні ж асинхронної моделі учень визначає темп своїх занять самостійно. Наприклад, він може виконувати завдання відповідно до аудиторної програмою або планом, а потім передавати готову роботу викладачеві для оцінки.

§ 4 Основні моделі дистанційного навчання.

Існуюча в даний час у світовій практиці мережа відкритого заочного та дистанційного навчання базується на шести відомих моделях, що використовують різні традиційні засоби і засоби нових інформаційних технологій: телебачення, відеозапис, друковані посібники, комп'ютерні телекомунікації і ін
Модель 1. Навчання за типом екстернату. Навчання, орієнтоване на шкільні чи вузівські екзаменаційні вимоги, призначається для учнів і студентів, які з якихось причин не можуть відвідувати очні учбові заклади. Це фактично заочна форма навчання екстерном.
Модель 2. Університетське навчання (на базі одного університету). Система навчання студентів, які навчаються не очно, а на відстані, заочно чи дистанційно, на основі нових інформаційних технологій, включаючи комп'ютерні телекомунікації.
Модель 3. Навчання, що грунтується на співпраці декількох навчальних закладів. Співпраця декількох освітніх організацій у підготовці програм заочного / дистанційного навчання дозволяє зробити їх більш професійно якісними і менш дорогими.
Модель 4. Навчання в спеціалізованих освітніх установах. Спеціально створені для цілей заочного та дистанційного навчання освітні заклади орієнтовані на розробку мультимедійних курсів. До їх компетенції входить також і оцінка знань і атестація учнів.
Модель 5. Автономні навчальні системи. Навчання в рамках подібних систем ведеться цілком за допомогою телебачення або радіопрограм, CD-ROM-дисків, а також додаткових друкованих посібників. Це програми самоосвіти.
Модель 6. Неформальне, інтегроване навчання на основі мультимедійних програм. Це також програми самоосвіти. Вони орієнтовані на навчання дорослої аудиторії - тих людей, які з якихось причин не змогли закінчити шкільну освіту. Подібні проекти можуть бути частиною офіційної освітньої програми та інтегровані в цю програму, або спеціально орієнтовані на певну освітню мету, або спеціально націлені на профілактичні програми здоров'я, як, наприклад, програми для країн, що розвиваються.
Основними цілями всіх, моделей освіти на відстані є наступні:
1. Дати можливість учнем удосконалювати, поповнювати свої знання в різних областях в рамках діючих освітніх програм.
2. Отримати атестат про освіту, ту чи іншу кваліфікаційну ступінь на основі результатів відповідних іспитів (екстернат).
3. Дати якісну освіту за різними напрямками шкільних та вузівських програм.
На жаль, поки що не існує усталеної загальноприйнятої системи дистанційної освіти, що представляє собою щось цілісне. Як правило, це окремі авторські курси, призначені для самостійного опрацювання з різних предметів, дещо рідше - цілі програми, які закінчуються присудженням наукового ступеня (бакалавра або рідше магістра). Надані програми і курси в основному розраховані на студентів вищих навчальних закладів або на бажаючих отримати другу вищу освіту. Наукові та дослідницькі установи (наприклад, NASA) більше орієнтуються на школярів, пропонуючи захоплюючі напівігровий проекти.

§ 5 Роль викладача

У процесі навчання студента при дистанційній технології освітнього процесу йому допомагає певна людина, іменований тьютором. Це слово має декілька тлумачень.
По-перше, "тьютор" - це представник навчально-допоміжного персоналу, що веде всю переписку вузу зі студентом, що відслідковує виконання ним навчального графіка, організуючого консультації студента на його прохання. Тьютор проводить соціологічне анкетування серед своїх студентів, з'ясовує їхню думку про форму та зміст окремих курсів і передає розробникам, допомагає студентові в складанні персонального навчального плану і наповненні його взаємопов'язаними дисциплінами за вибором. У якомусь сенсі тьютор об'єднує в собі функції працівника деканату та куратора студента. При цьому часто на таку роботу у філіях вузів і регіональних центрах за сумісництвом залучають співробітників з боку. Практика показує, що в будь-якому випадку ефективне тьюторства може здійснюватися при невеликій кількості підопічних. У даному випадку варто орієнтуватися на цифру в 50 студентів на одного тьютора. При цьому ніякими іншими обов'язками, крім курирування своїх студентів, тьютор не обтяжується, але попит з нього йде постійно за кожного студента.
Друге тлумачення слова "тьютор" трохи нагадує всім знайому систему кураторства. При цьому тьютор - це викладач студента по основному предмету (або одному з основних предметів) в даному навчальному році. Функції супроводу студента ті ж, що і в першому випадку. Але оскільки викладач займається ще й своєю педагогічною діяльністю, він має не більше 20 підопічних студентів.
Слід зазначити, що ті вузи, які використовують таку систему тьюторів, залучають до цієї роботи саме тих викладачів, з ким студентові доведеться контактувати більше всього в ході навчального процесу (наприклад, ніколи в ролі тьютора не працюють педагоги, зайняті написанням курсів). Тьютор може кожен рік мінятися, а може залишатися сам на весь період навчання студента у вузі.
І, нарешті, третє тлумачення слова "тьютор", досить рідкісне, але заслуговує згадки. У даному випадку "тьютор" - це педагог студента на весь час навчання. Він особисто веде не менше 80% усіх навчальних предметів (частина дисциплін викладають фахівці більш вузького профілю). Зрозуміло, такі тьютори - це аси, професіонали в самому широкому і строгому сенсі цього слова. При цьому основна теза такого тьюторства виглядає приблизно таким чином: якщо я, твій педагог, повністю орієнтуюся в тому, що пропонується тобі для вивчення, то, по-перше, ти теж можеш досягти мого рівня (частий докір викладачам-предметникам полягає в тому, що всі інші дисципліни, що вивчаються їх студентами, вони знають незадовільно), а по-друге, я маю право питати з тебе без жодних поблажок. У таких навчальних закладах тьютори - це найбільш високооплачувані працівники вузу, хоча кожен з них керує всього 8 - 10 студентами. Побічним ефектом саме цього різновиду тьюторства є активна робота студентів над проектами інституту і власна наукова або конструкторська діяльність, тому в кінцевому рахунку вкладення в цю систему окупаються.
У будь-якому випадку фігура тьютора персоніфікує для студента обраний ним інститут і дозволяє максимально індивідуалізувати навчальний процес.
Оскільки дистанційне навчання ефективно при максимальному охопленні різних регіонів, вікових та соціальних груп, доводиться враховувати різні стартові умови для їх представників. Виходом з положення є коригувальні ввідні курси, здатні заповнити прогалини у шкільній освіті. Принципово важливо, щоб дистанційна освіта було доступним для всіх, хоча б на платній основі (а в цьому випадку по відношенню "якість / ціна" воно вигідно відрізняється від всіх інших). Але перш ніж приступити до вивчення основних дисциплін, за результатами вхідного тестування необхідно визначити, в якій корекції потребує даний конкретний слухач, і скласти для нього програму такої "довузівської" підготовки. Цим, до речі, теж повинен займатися тьютор.

§ 6 Контроль

Організація контролю навчальної діяльності учнів на дистанційних курсах включає наступні методи: комп'ютерне тестування (телетестінг), метод рейтингових оцінок і проектно-комунікативні методи.
В даний час переважна більшість дистанційних курсів, які проводяться на базі телекомунікаційної мережі Інтернет, включає обов'язкове тестування слухачів в якості контролю за їх навчальною діяльністю. Тестування може бути масовим, охоплювати велику кількість учнів одночасно. При цьому відразу ж виникає проблема оперативної автоматичної обробки великої кількості тестів, яка може бути вирішена при використанні сучасних комп'ютерних технологій і телекомунікацій. З'явилося навіть нове поняття - телетестінг (від англ. Teletesting), що позначає нову інформаційну технологію, що забезпечує швидке і широке поширення різних тестів за допомогою сучасних засобів дистанційної передачі даних.
У разі використання комп'ютерних телекомунікацій як базової технології телетестірованіе організовано за допомогою розподілу функцій між локальним комп'ютером користувача (клієнтом) і центральним комп'ютером навчального центру (сервером). При цьому на сервері діє спеціальна програма, яка містить велику кількість різноманітних тестів, які передаються клієнту в залежності від способу його підключення до мережі.
При наявності можливості з'єднання клієнта з сервером в синхронному режимі слухач курсів виконує тести в режимі реального часу. При цьому результати тестування видаються з великою швидкістю. При з'єднанні в асинхронному режимі клієнт отримує запитання тесту від сервера, відповідає на них і відсилає по електронній пошті на сервер, на що йде певна кількість часу. У цьому випадку виникає проблема забезпечення достовірності результатів тестування та отримання доброякісної інформації про реальних знаннях слухачів, з якими викладач не має безпосереднього очного контакту.
Для захисту даних, тестування від фальсифікацій можуть бути передбачені такі дії.
Захист на технічному рівні
Використання різних шифрів і кодувань, для захисту самих, тестів від несанкціонованого доступу, запуск програм тестування суворо по паролях.
Захист на організаційному рівні
Створення мережі регіональних, (міських,, районних, тощо) центрів тестування, мають, офіційну ліцензію на проведення тестування слухачів у регіонах,, забезпечують, організоване проходження тестування під наглядом методистів-викладачів і технічних консультантів.
Захист на психологічному рівні
Жорстке обмеження часу на відповідь, постійне випадкове перемішування варіантів відповідей і завдань з обширного банку.
Захист на статистичному рівні
Ступінь правдоподібності отриманих протоколів оцінюється за допомогою спеціальних алгоритмів багатовимірного аналізу даних, що дозволяють виявити підробку, особливо у разі систематичного і масового підробки.
Однак, як з'ясувалося, дуже складним питанням є не тільки організація тестування, формулювання питань і відповідей, а й саме тестування, підрахунок результатів. При оцінюванні відповідей слухачів звичними ступенями "відмінно", "добре", "задовільно" і "незадовільно" не вдається домогтися об'єктивності і достовірності. Адже різні викладачі в різних вузах, школах або навчальних центрах один і той же відповідь можуть оцінити абсолютно по-різному. У цьому випадку прийнято використовувати методику рейтингових оцінок, при якій заліковий підсумковий бал формується чисто статистично і привносить елемент змагальності, порівняння з рівнем підготовки учнів з різних міст, регіонів і країн.
Вже кілька років існує Міжнародний тестологіческого стандарт для проведення тестування. Цей стандарт орієнтує на те, що при визначенні прохідного балу при телетестінге важливим стає не кількість виконаних завдань, а відсоток випробуваних, які набрали певний тестовий бал. Відсоток завдань не говорить ні про що, так як середня труднощі завдання може варіювати від тесту до тесту, а реальна трудність полягає лише через відсоток досліджуваних з репрезентативною (численної) вибірки, які впоралися з даним завданням.
При підготовці комп'ютерних тестів використовується, як правило, традиційна форма представлення питань і відповідей: учням пропонується чітко сформульоване питання, після якого йдуть чотири варіанти відповіді. Учень повинен вказати вірну відповідь. Різновидом подібних питань може бути вказівка ​​невірного варіанти відповіді.
Проектно-комунікативні методи оцінки знань і вмінь учнів при дистанційному навчанні дають можливість викладачам краще дізнатися учнів, детально перевірити рівень їхньої підготовки. Ці методи багато в чому суб'єктивні, засновані на прямому особистому контакті всіх учасників ДН - викладачів, учнів, кураторів навчальних груп. Саме в силу своєї суб'єктивності дана форма контролю практично не піддається автоматизації, і при проведенні дистанційного навчання один викладач (куратор) навчальної групи не може за один цикл навчання дати регулярну оцінку роботи більш ніж 20-30 слухачів.
Серед різноманіття методів оцінки підготовки слухачів виділимо:
1) написання реферату на задану тему (індивідуально, в парі з іншим слухачем або в складі групи, що працює по одному проекту);
2) референтну оцінку роботи іншого слухача, вивчає ту ж тему;
3) особисте інтерв'ю з викладачем (у синхронному чи асинхронному режимі);
4) оцінку роботи слухача "рівними по положенню", тобто іншими слухачами, які працюють в одній навчальній групі;
5) самооцінку роботи слухача.
Всі перераховані методи організації контролю навчальної діяльності дуже добре реалізуються в умовах телекомунікаційної мережі. Причому не тільки за допомогою найбільш сучасних синхронних відеотелеконференції, що проходять у режимі реального часу і вимагають чималих матеріальних витрат на свою організацію, але і за допомогою стали вже звичними всім електронної пошти та системи асинхронних телеконференцій.
Для проведення оперативного проміжного контролю при дистанційному навчанні також дуже зручно використовувати різноманітні анкети, що розсилаються слухачам у визначені терміни по електронній пошті.
Анкета, поряд з тестами, є одним з найпоширеніших засобів проведення тестування учнів. У широкому змісті анкета - це ряд питань, на які опитуваний повинен дати відповіді. Анкета є досить гнучким інструментом, оскільки питання можна задавати безліччю різних способів. Анкета вимагає ретельної розробки, апробації і усунення її недоліків до початку її широкого використання. У ході підготовки анкет відбирають питання, які необхідно задати, вибирають форми цих питань, їх формулювання і послідовність. Головне правило при цьому: не задавати зайвих питань, оскільки необхідно економити час роботи студента.
Форма питання може вплинути на відповідь. Буває два типи питань - закриті і відкриті. Закритий питання включає в себе всі можливі варіанти відповідей, і опитуваний просто вибирає один з них. Дані, отримані за допомогою закритих запитань, набагато легше піддати систематизації, інтерпретації і автоматично звести в таблиці, що дуже істотно при організації масового дистанційного навчання.
Відкриті питання дають опитуваним можливість відповідати своїми словами. Їх ставлять у самих різних формах. Вони дають більш глибоке уявлення про успіхи слухачів або про суть досліджуваної проблеми, оскільки опитувані нічим не зв'язані у своїх відповідях. Люди висловлюють те, що думають, але ці відповіді дуже важко систематизувати.
При формулюванні питань слід використовувати прості, недвусмиленние слова, які не впливають на спрямованість відповідей. Особливої ​​уваги вимагає і встановлення послідовності питань. Перший з них повинен по можливості розбудити в опитуваних інтерес. Важкі або особисті питання необхідно задавати в кінці інтерв'ю, поки опитувані не встигли замкнутися в собі. Питання повинні слідувати в логічній послідовності. Питання, що класифікують опитуваних на групи, задають в останню чергу, тому що вони носять більш особистий характер і менш цікаві для що відповідають.
Відзначимо, що рівень організації контролю навчальної діяльності при дистанційному навчанні залежить не стільки від технічної бази, скільки від правильно вибраної методики проведення контролю учнів і грамотно сформульованих контрольних питань, включених в тести, заліки і т.д.

§ 7 Дистанційний курс по «сферичної геометрії»

Розроблений мною дистанційний курс з «сферичної геометрії» базується на моделі «університетську навчання». Даний курс призначений для студентів, які навчаються заочно або дистанційно. До нього додається передмову, де подано опис курсу і докладної інструкції для користувачів.
Курс складається з теоретичної та практичної частин. Розділ теорії розбитий на шість лекцій, в кожній з яких розглядаються поняття і теореми з певної теми розділу сферичної геометрії, забезпечені наочними кресленнями. До лекцій підібрані завдання на застосування нового матеріалу, які складають задачник-практикум. Він містить вправи різного рівня складності; більш легкі позначені літерою А, більш складні - В. Після кожної з лекцій користувач може відразу перейти до завдань з тільки що вивченого матеріалу. Крім того, вони складені таким чином, що при виникненні труднощів, навчається має можливість скористатися підказкою, оформленої у вигляді посилання.
Курс складений так, що завжди можна повернутися до початку або до певної лекції. У кінці навчання користувачеві пропонується пройти контрольний тест, за результатами якого можна зробити висновок про успішність вивчення даного курсу.

Додаток
Основні поняття сферичної геометрії
1. Як знайти кут між двома великими колами?
2. Як визначити перпендикулярність на сфері?
3. а) Нехай дуга АВ - відрізок на сфері, АС 1 З 2 ... С S В - ламана зі сферичних відрізків. Довести, що довжина відрізка АВ не перевершує довжини ламаної.
б) вірно це твердження, коли замість відрізка АВ взяти довільну дугу великому колу.
Рішення: а) Доводиться в точності так само, як теорема про те, що прямолінійний відрізок на площині коротше всякої ламаної, що сполучає ті ж точки.
б) Невірно, дуга повинна бути менше півкола, так як доказ твердження а) грунтується на розгляді ланцюжка сферичних трикутників, а в будь-якому сферичному трикутнику кожна сторона менше півкола. Ясно, що дуга великого кола, велика півкола, не є найкоротшою.
4. Чи вірно, що сума кутів сферичного трикутника завжди дорівнює 180 0?
Рішення: Не вірно, тому що якщо розглянути дві великі кола і окружність перпендикулярну до них обох, то отримаємо трикутник, у якого два кути прямі.
5. На скільки частин ділять сферу:
· Дві великі кола;
· Дві будь-які колі;
· Три великі кола;
· Десять великих кіл, що проходять через діаметрально протилежні точки сфери?
Сферичні трикутники.
А:
1. Якого виду трикутники можуть бути на сфері?
2. Кожна сторона сферичного трикутника менше суми двох інших його сторін, але більше їх різниці. Довести.
Рішення: Розглянемо тригранний кут. Відомо, що в трехгранном вугіллі будь-якої його плоский кут менше суми двох інших плоских кутів і більше їх різниці. Ясно, що сферичний трикутник можна отримати за допомогою будь-якого тригранного кута, якщо перетнути його сферою, центр якої буде співпадати з вершиною даного кута. Так як градусної мірою дуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута, співвідношення лінійних кутів у трехгранном вугіллі відповідає співвідношенню сторін у сферичному трикутнику, тобто у всякому сферичному трикутнику кожна сторона менше суми двох інших його сторін і більше їх різниці.
3. Довести, що у всякому сферичному трикутнику сума двох кутів без третього менше p, а сума трьох кутів належить інтервалу (p; 3p).
Рішення: 1) Для ΔА'В'С '- полярного даному ΔАВС, маємо: а' + b '> з' (по попередній задачі). Переходячи від полярного трикутника до даного, отримаємо: π - ÐА + π - ÐВ> π - ÐС, звідки маємо ÐА + ÐВ-ÐС <π
2) Площа сферичного трикутника: S ΔАВС = (ÐА + ÐВ + ÐС - π) r 2, так як S ΔАВС> 0, то ÐА + ÐВ + ÐС - π> 0 і, отже, ÐА + ÐВ + ÐС> π.
4. Якщо в сферичному трикутнику дві сторони конгруентності, то конгруентність і кути, протилежні їм. Довести.
5. У сферичному трикутнику проти конгруентних кутів лежать конгруентні сторони. Довести.
6. Довести, що в сферичному трикутнику проти більшого кута лежить і більша сторона.
Рішення: Нехай у ΔАВС, ÐC> ÐB, побудуємо CD так, що ÐАВС = ÐBCD,
тоді ΔBCD - рівнобедрений і BD = CD, тоді вірно нерівність:
А
У
З
D
AC <AD + DC = AD + DB = AB. (Рис.1)
Рис.1
7. Довести, що в сферичному трикутнику проти більшої сторони лежить і більший кут.
Рішення: Нехай у ΔАВС, АВ> АС. Припустимо, що ÐС = ÐВ, тоді АВ = АС або, що ÐС <ÐВ, тоді АВ <АС (з попередньої задачі). Отримали протиріччя, значить, єдиний можливий варіант ÐС> ÐB.
8. Знайти площу сферичного трикутника, кути якого рівні 90 0, 60 0 і 45 0, якщо цей трикутник лежить на кулі, радіус якої дорівнює 10 м .
Рішення: Площа сферичного трикутника: S ΔАВС = (ÐА + ÐВ + ÐС - π) r 2, тоді S ΔАВС = (90 0 + 60 0 + 45 0 - 180 0) 10 2 = 1500м 2.
9. Довести, що медіани сферичного трикутника (тобто менші дуги великих кіл, що сполучають вершини з серединами протилежних сторін) перетинаються в одній точці.
Рішення: Нехай АВС - даний сферичний трикутник; AD, BE і CF-його медіани (див. рис.2), S - центр сфери.

Рис.2
Так як пряма SD ділить дугу НД навпіл, то вона ділить і хорду ЗС у точці D 0 навпіл, так що D 0 B = D 0 C. Точно також прямі SE і SF проходять через середини E 0 і F 0 хорд АС і АВ. Прямі AD 0, BE 0 і CF 0 проходять, як медіани прямолінійного трикутника АВС, через одну точку. Отже, площини ASD 0, BSE 0 і CSF 0 проходять через одну пряму d, а лежать в цих площинах дуги АD, ВЕ і СF - через одну точку G.
10. Довести, що висоти сферичного трикутника перетинаються в одній точці. Чи вірно, що бісектриси сферичного трикутника перетинаються в одній точці?
11.
А
З
У
До
Довести, що гіпотенуза прямокутного сферичного трикутника менше квадранта, якщо обидва катета одночасно менше або обидва більше квадранта, і більше квадранта, якщо один з катетів менше, а другий більше квадранта.
Рішення: Розглянемо ΔАВС, ÐАСВ = і катети АС < , BC < (Рис.3)
Рис. 3
Відкладемо на великому колу СВ в бік точки В дугу СК, рівну квадранту. Точка До буде одним з полюсів великому колу АС, і тому дуга АК також буде дорівнює квадранту.
При цьому АС буде меншою перпендикулярної дугою, опущеною з точки А на велике коло СВ, і так як точка В лежить ближче до С, ніж точка К, то АВ <АК. Таким чином, гіпотенуза трикутника менше квадранта.
Якби катет АС був менше квадранта, а катет ВС - більше квадранта, то при тих же умовах точка К лежала б ближче до С, ніж точка В, і ми мали б АВ> АК. Таким чином, гіпотенуза була б більше квадранта.
Нарешті, якщо обидва катета АС і ВС більше квадранта, то ми продовжимо дуги СА і СВ за точки А і В до їх вторинного перетину в точці С `, діаметрально протилежній точці С. Гіпотенуза АВ трикутника АВС буде і гіпотенузою трикутника АВС`, в якому в кожному з катетів менше квадранта. Отже, в цьому випадку гіпотенуза АВ менше квадранта.
В:
1. Довести, що два сферичних трикутника рівні за трьома кутах.
2. Дан трикутник АВС і полярний до нього А'В'С '. Довести, що трикутник, полярний до трикутника А'В'С ', співпаде з трикутником АВС.
3. Знайти максимум або мінімум площі сферичного трикутника, в якому відома сторона і кут і відповідна висота.
4. Довести, що:
1) якщо медіана сферичного трикутника дорівнює квадранту (чверть кола), то вона одночасно служить бісектрисою того кутка, через вершину якого вона проходить (не залежно чи буде даний трикутник рівнобедреним чи ні), і дорівнює напівсумі сторін, прилеглих до цього кутку.
2) Якщо медіана менше квадранта, то вона утворює з більшою із двох сторін АВ і АС, між якими вона проходить, кут менший, ніж з іншою стороною; вона більше (за винятком випадку рівнобедреного трикутника) бісектриси кута ВАС, рахованої від вершини до протилежної боку, і менше півсуми сторін АВ і АС, яка у свою чергу менше квадранта; якщо медіана більше квадранта, то мають місце протилежні нерівності. (Друга частина цієї пропозиції зводиться до першої шляхом заміни вершини А, з якої виходить медіана, діаметрально протилежною точкою.
3) Розглянути зворотні пропозиції. Одне з них свідчить: якщо медіана сферичного трикутника є одночасно бісектрисою кута, з вершини якого вона виходить, то або вона дорівнює квадранту, або трикутник рівнобедрений.
Рішення:
1) Нехай медіана AD сферичного трикутника АВС (рис. 4) дорівнює квадранту. Відкладемо на продовженні дуги AD за точку D дугу DE, рівну AD. Тоді ΔABD = ΔECD, так як ÐADB = ÐEDC; BD = CD і AD = ED.
Звідси ÐBAD = ÐCED (1)
CE = AB (2)
Так як дуга ADE дорівнює половині великому колу, то точка Е діаметрально протилежна точці А і точки А, С і Е лежать на одній великому колу, так що ÐCED = ÐCAD. З порівняння цієї рівності з рівністю (1) випливає, що ÐBAD = ÐCAD, так що AD є бісектриса ÐВАС.
Далі, в силу (2), маємо
AB + AC = EC + AC = ACE = ADE = 2AD.
Отже, якщо медіана сферичного трикутника дорівнює квадранту, то вона одночасно служить бісектрисою того кутка, через вершину якого вона проходить, і дорівнює напівсумі сторін, прилеглих до цього кутку.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
У
Е
А
З
D
SHAPE \ * MERGEFORMAT
A
C
B
E
D

Рис.4 Рис.5
2) Нехай далі медіана AD сферичного трикутника ABC (рис.5) менше квадранта. Відкладемо знову на продовженні дуги AD за точку D дугу DE, рівну AD. Тоді ΔABD = ΔECD будуть рівні (див. 1)), і будуть вірні рівності (1) і (2). У цьому випадку дуга ADE = 2AD буде менше половини окружності великому колу, і тому точка D буде лежати на боці АЕ сферичного ΔАСЕ. Якщо в даному трикутнику АВ> АС, то в ΔАСЕ будемо мати (у силу рівності ЄС = АВ) РЄ> АС. Звідси випливає, що ÐCAD> ÐCED (див. § 2 зад. 7 частини А), так що і силу рівності (1) ÐCAD> ÐBAD. Отже, якщо медіана трикутника менше квадранта, то вона утворює з більшою із двох сторін, між якими вона проходить, кут менший, ніж з іншою стороною.
Далі в цьому випадку маємо ADE = 2AD <AC + CE = AB + АС, так що якщо медіана трикутника менше квадранта, то вона менше півсуми сторін, між якими вона проходить.
Нехай, як і вище, медіана АD сферичного Δ ABC (рис. 6) менше квадранта і нехай для визначеності сторона АВ> АС. У такому випадку точка А відмінна від полюсів великого кола ВС, і через неї проходить (теорема 4) єдина велика окружність IAH, перпендикулярна до НД Позначимо через I і H підстави меншою і більшою перпендикулярних дуг AI і АН, опущених з точки А на велике коло ЗС (теорема 5). Нехай далі К і L середини дуг, на які точки I і H ділять велике коло ЗС, так що кожна з дуг IK = КН = HL = LI дорівнює квадранту. При цьому точки К і L будуть, очевидно, полюсами великому колу IАН, і дуги AK = AL також будуть рівні квадранту.
Так як медіана АD за припущенням менше квадранта, то згідно теореми про порівняльну довжині перпендикулярних і похилих дуг (теорема 5) точка D лежить (рис. 6 і 7) між точкою I і однією з точок К і L, скажімо К (точка D не може збігатися з I, так як в останньому випадку трикутник ABC був би рівнобедреним). Далі, так як сторона ЗС свідомо менше половини великого кола, то дуга DB менше квадранта. У той же час дуга DКН більш квадранта, і тому точка Н не лежить на дузі НД Так як ÐBAD <ÐCAD, як було доведено вище, то бісектриса AM трикутника ABC проходить всередині ÐDAC, і точки Н, В, D, М і С слідують на великому колу ЗС у перерахованому тут порядку. При цьому точка С може лежати між точками B і I, як на малюнках 6 і 7, або ж точка I - між точками В і С, як на малюнку 8. В останньому випадку, у силу АВ> АС, будемо мати і ВI> Iс, звідки ÐВАI> ÐСАI, так що точка М лежить між В і I. Отже, в обох випадках точки H, B, D, M та I йдуть на великій
B
K
D
M
C
I
B 0
L
H




Рис.6 Рис.7
окружності ПС у тому саме порядку, як вони тут перераховані. Отже, маємо (в силу теореми про довжину похилих дуг, теорема 5) AD> AM. Отже, якщо медіана AD менше квадранта, то вона більше бісектриси AM кута ВАС.
Нехай у тому ж припущенні, що медіана AD менше квадранта, В о - точка, діаметрально протилежна точці В. Оскільки точка D лежить між I і К і дуга DB менше квадранта, то точка В лежить на дузі IKH, а точка В о - на дузі ILH.
Нехай точка I лежить між точками С і В о (рис. 6 і 7). Оскільки точка D лежить між точками I і К і, крім того, BD = DC, то дуга СI менше дуги ВН і, значить, менше дуги В о I, рівної ВН. Точки С і В о можуть лежати і по один бік від точки I. Так як дуга НД менше півкола, то при цьому точка С буде лежати між I і В о, і знову будемо мати СI <B про I.
Так як СI <В о I, то і АС <АВ о, і тому АВ + АС <АВ + АВ о. Так як сума дуг АВ + АВ про дорівнює півкола великому колу, то звідси випливає, що якщо медіана трикутника менше квадранта, то полусумма сторін, між якими вона проходить, також менше квадранта.
Рис. 8
A
B
M
I
C
Випадок, коли медіана АD більше квадранта докладно викладено в дистанційному курсі «Сферична геометрія».
3) Оскільки в кожному з трьох розглянутих випадків ми маємо по одній умові - медіана відповідно а) дорівнює квадранту, b) менше квадранта і з) більше квадранта - і по кілька висновків (перший висновок стосується співвідношення між медіаною та бісектрисою, друге - кутів між медіаною і прилеглими сторонами, третє - співвідношення між медіаною і полусумма сторін, нарешті, четверте - співвідношення між полусумма сторін і квадрантом), то ми будемо мати цілий ряд зворотних теорем в залежності від того, який із трьох випадків а), b) або з) ми маємо на увазі і яка з висновків прямий теореми ми приймемо за умову зворотного теореми.
Переходячи до формулювань теорем, зворотних доведеним вище, будемо об'єднувати разом зворотні теореми, аналогічні за своїм змістом. Таким чином, виходить такий перелік зворотних теорем:
1) Якщо бісектриса сферичного трикутника дорівнює квадранту, то вона одночасно служить і медіаною того ж трикутники.
Справді, нехай бісектриса AD сферичного трикутника ABC (див. рис. 1) дорівнює квадранту. Відкладемо знову на продовженні дуги AD за точку D дугу DE, рівну АD. Так як дуга ADE дорівнює півкола великого кола, то точки А, С і Е лежать на одному великому колу, і тому ÐCED = ÐCAD = ÐBAD. Сферичні трикутники ABD і CED будуть рівні (за другим ознакою рівності), так як AD = ED; ÐADB = ÐEDC; ÐBAD = ÐCED. Звідси BD = CD, т. e. AD - медіана Δ ABC.
2) Якщо медіана сферичного трикутника являетcя одночасно і бісектрисою того кутка, з вершини якого вона виходить, то чи медіана дорівнює квадранту, або трикутник рівнобедрений.
3) Якщо медіана сферичного трикутника утворює з більшою із двох сторін, між якими вона проходить, кут менший (більший), ніж з іншою стороною, то медіана менше (більше) квадранта.
4) Якщо медіана сферичного трикутника більше (менше) бісектриси, що виходить з нею з однієї вершини, то медіана менше (більше) квадранта.
5) Якщо медіана сферичного трикутника дорівнює напівсумі сторін (менше, більше півсуми сторін), між якими вона проходить, то медіана дорівнює квадранту (менше, більше квадранта).
6) Якщо полусумма двох сторін сферичного трикутника дорівнює квадранту (менше, більше квадранта), то медіана, що виходить із загального кінця, також дорівнює квадранту (менше, більше квадранта).
Так як у трьох прямих теоремах укладення охоплюють всі наявні тут можливості, то ці зворотні теореми 2) - 6) легко доводяться від протилежного.
Наведемо доказ однієї з теорем, наведених під рубрикою 3). Нехай в деякому трикутнику медіана більше бісектриси. Якби медіана дорівнювала квадранту або більше його, то на підставі прямих теорем медіана була б дорівнює бісектрисі або менше її, що суперечить умові. Отже, медіана менше квадранта.
Аналогічно доводяться інші зворотні теореми.
Сферичні багатокутники.
1. Довести, що сума кутів опуклого сферичного n-кутника більше (2n-4) d, де d - прямий кут.
2. Довести, що якщо в опуклому чотирикутнику сферичному протилежні сторони попарно рівні, то діагоналі ділять один одного на рівні частини. Точка їх перетину служить полюсом великому колу, що проходить через точки перетину протилежних сторін.
Рішення: Нехай в опуклому чотирикутнику сферичному AВCD (рис.9) протилежні сторони попарно рівні: АВ = CD; НД = AD.

Рис. 9
Маємо: ΔABC = ΔCDA (за трьома сторонами), і те ж має місце для трикутників ABD і CDB. Отже, протилежні кути даного чотирикутника попарно рівні, крім того, ÐАСВ = ÐCAD і ÐCBD = ÐADB. Якщо Про - точка перетину діагоналей чотирикутника, то ΔОВС = ΔODA (тому ЗС = АD і ÐCBD = ÐADB, ÐBCA = ÐCAD). Отже, ОВ = ОD і ОС = ОА, так що діагоналі чотирикутника діляться в точці перетину навпіл.
Нехай S - центр сфери, на якій лежить даний чотирикутник, і через Р і Р '- точки перетину великих кіл ВС і AD. При повороті сфери близько прямий SО на 180 ° точка А поєднується з С, точка В - з D, точка С - з А і точка D - з В. Звідси випливає, що велика окружність НД поєднується з великою окружністю AD, а велика окружність AD - з великою окружністю ЗС, так що точка Р поєднується з Р ', а точка Р' - з точкою P. Так як пряма РР 'не змінює свого положення в просторі при повороті на 180 0 близько прямий SO, то вона перетинає пряму SO під прямим кутом, і кожна з дуг ОР і ОР' дорівнює квадранту. Тими ж властивостями будуть володіти і точки перетину Q і Q 'великих кіл АВ і СD. Отже, точка О є полюсом великому колу PQP'Q ', на якій лежать точки перетину протилежних сторін.
Примітка. Той же результат можна отримати і не користуючись поняттям обертання, якщо застосувати результати вправи 4 частини В, § 2.
Сферичні трикутники РАН і P'CD рівні (так як вони мають пару рівних сторін АВ і CD і відповідно рівні кути, прилеглі до цих сторонах), звідки АР = СР '. Отже, АР + СР = СР '+ СР = 180 0. Медіана OP сферичного трикутника РАС. в якому сума двох сторін дорівнює 180 0, дорівнює квадранту на підставі однієї із зворотних теорем, наведених у вирішенні вправи 4 частини В, § 2.
3. Довести, що у чотирикутнику (сферичному ромбі), всі чотири сторони якого рівні, діагоналі, крім того, взаємно перпендикулярні.
4. Довести, що якщо при попарно рівних протилежних сторонах діагоналі також рівні, то точка їх перетину і точки перетину протилежних сторін є вершинами трикутника з трьома прямими кутами; при цьому всі чотири кути чотирикутника рівні між собою.
5. Знайти умови, при яких сферичний чотирикутник буде описаним біля деякої окружності.
Геометричні місця точок
1. Дано три точки А, В і С, що лежать в одній сфері. Знайти геометричне місце таких точок М, що сферичні трикутники МАВ і Мас рівновеликі. Передбачається, що ці два трикутники мають однакове розташування.
2. Знайти всередині сферичного трикутника таку точку, щоб великі кола, що з'єднують її з вершинами трикутника, ділили площу трикутника на три частини, дві з яких були б рівновеликі, а третя дорівнювала подвоєною площі кожної з двох перших.
Рішення: Нехай всередині даного сферичного трикутника АВС потрібно знайти точку М (див. рис.), Для якої S MBC = 2S MCA = 2S MAB.
При цьому будемо мати:
S MBC = S ABC (1)
S MCA = S ABC (2)
У силу теореми Лекселлом, геометричне місце точок М, які відповідають умові (1) і що лежать всередині трикутника АВС, є деяка дуга малої окружності. Будуємо на стороні АВ трикутника АВС таку точку D, що дуга CD ділить його на дві рівновеликі частини, і проводимо малу окружність через точку D і через точки, діаметрально протилежні точки В і С.

Рис.10
Точно також геометричне місце точок М, які відповідають умові (2) і лежать всередині трикутника АВС, є деяка дуга малої окружності. Аналогічно на стороні АВ знайдемо таку точку Е, що
S ACE = S ABC,
і провівши малу окружність через точку Е і через точки діаметрально протилежні точки С і А.
Шукана точка М є точка перетину обох побудованих геометричних місць.
3. Знайти на даній окружності таку точку, щоб дуги великих кіл, що сполучають її з двома даними точками тієї ж кола, утворили між собою даний кут.
Рішення: Нехай З - дана коло (мал. 11 і 12), О - її полюс, А і В - дані точки цього кола і М - шукана точка тієї ж кола.

Рис. 11 Рис. 12
Введемо позначення ÐОАВ = a і ÐАМВ = f. Сума кутів сферичного трикутника АМВ буде при цьому дорівнює 2a +2 f, як це випливає з рівності кутів при основі в кожному з рівнобедрених трикутників ОАВ, ОАМ і ОВМ. Це вираз для суми кутів буде справедливо як у тому випадку, коли точка Про лежить всередині ΔМАВ (рис. 11), так і в тому випадку, коли вона лежить поза цього трикутника (рис. 12). Оскільки сума кутів ΔАВМ повинна мати відому величину 2a +2 f, то і його площа повинна мати цілком певну величину. Отже, точка М повинна лежати (по теоремі Лекселлом) на одній з двох цілком певних дуг, що мають своїми кінцями точки, діаметрально протилежні крапок А і В. Точки перетину цих двох дуг з окружністю С і будуть шуканими.
Щоб побудувати тепер ці шукані точки, досить, в силу сказаного, вирішити таку задачу:
Побудувати геометричне місце точок М, що утворюють з двома даними точками А і В сферичний трикутник МАВ, що має дану суму кутів (або, що зводиться до того ж, цю площа).
Як вже було зазначено, шукане геометричне місце точок М складається з двох дуг малих кіл, які мають своїми загальними кінцями точки А 'і В', діаметрально протилежні крапок А і В. Якщо Про - полюс одного з цих малих кіл (рис. 13), то будемо мати (теорема 8):
ÐВ'А'О = (ÐВ'А'М + ÐMB'А '- ÐA'MB') = (2d - ÐВАМ + 2d-ÐMBA - ÐАМВ) = 2d - (ÐBAM + ÐMBA + ÐAMB).
Таким чином, відомі рівні між собою кути В'А'О і А'В'О, і точку О можна побудувати.


Рис. 13
Якщо кут В'А'О, певний, як зазначено, виявиться негативним, то це означає, що центр Про кожну з дуг, що входять до складу шуканого геометричного місця, лежить з цієї дугою по різні сторони від великого кола АВ.
4. Якщо велика окружність переміщається по сфері, залишаючись дотичній до цієї малої кола С, то той з полюсів цієї великому колу, який лежить в тій же півсфері, що і окружність С, описує малу окружність С ', яка називається полярною по відношенню до С; залежність між колами С і С 'взаємна, тобто окружність, полярна по відношенню до С ', тобто дана окружність С.
Рішення: Нехай З - дана мала окружність сфери (див. рис.14) і Р - той з його полюсів, який лежить у внутрішній області. Велика окружність сфери, що стосується кола С в деякій точці М, перпендикулярна до сферичного радіусу РМ кола С, проведеної в точку Р. Тому той з полюсів М 'великому колу, дотичній до даної в точці М, яка розташована в одній півсфері з окружністю С, лежить на великому колу МР, за ту ж сторону від точки М, що і точка Р, на відстані ММ ', рівному квадранту, від точки М. Інакше кажучи, точки М і М' лежать на одній великій кола з точкою Р, по різні сторони від Р і на відстані, рівному квадранту, одна від іншої.
Якщо точка М описує дану окружність С, то точка М 'також описує малу окружність З', що має точку Р своїм полюсом, так як дуга РМ 'не змінює при цьому своєї величини.

Рис.14
Окружність, полярна по відношенню до С ', буде співпадати з колом С, тому що обидві кола мають загальний полюс Р, і радіус кола, полярної по відношенню до С', збігається з радіусом окружності С.
Тригонометричні співвідношення в сферичних трикутниках
1. Обчислити довжину дуги паралелі земної кулі, що з'єднує a = 42 0 15 'і що проходить через точку з широтою f = 37 0 24'. Радіус земної кулі R = 6370 км.
2. Довести «формулу п'яти елементів»:
Рішення:

3. Довести, що:
4. Довести другу теорему косинусів:

5. Довести «формулу чотирьох елементів»:

6. Довести «сферичну теорему Піфагора»:

7. Довести, що в сферичному трикутнику вірно рівність:

8. Довести, що для сферичних трикутників, де , Вірно рівність:
9. Для прямокутного сферичного трикутника ( ) Вивести формулу:
10. Для прямокутного сферичного трикутника ( ) Вивести формулу:
11. Для прямокутного сферичного трикутника ( ) Вивести формулу:
12. Довести, що якщо в прямокутному сферичному трикутнику ( ) Мають місце співвідношення: (Або ), То . Якщо ж (Або ), То .
13. Нехай дуга BD великому колу перпендикулярна до сторони АС сферичного трикутника АВС, причому довжина цієї дуги . Довести справедливість рівностей: .
14. Довести, що у всякому сферичному трикутнику справедливі рівності: .
15. Довести, що кути всякого сферичного трикутника можна обчислити за його сторонам, користуючись формулами:
,
де - Напівпериметр сферичного трикутника.
16. Вивести таку формулу для обчислення надлишку сферичного трикутника:
, Де С - найбільший з кутів трикутника.

Висновок
У даній роботі було проаналізовано теоретичні та практичні аспекти сферичної геометрії, а також розглянуто поняття і моделі дистанційного навчання. На основі вивченого матеріалу був створений дистанційний курс з сферичної геометрії, опис якого даний в роботі, а сам він є додатком у електронному вигляді.
Особливі труднощі виникли на етапах підбору завдань і створення дистанційного курсу. Остання викликало труднощі в силу того, що для розробки будь-яких інтерактивних програм досить високої якості необхідні більш глибокі знання і навички, зокрема мови HTML, VBScript і т.д. Тим не менш, створений курс досить зручний для користувача в силу великої системи посилань та підказок, що дозволяють легко переміщатися між розділами.
Таким чином була реалізована ідея застосування інформаційних технологій на прикладі вивчення теми «Сферична геометрія». Даний курс може бути згодом доопрацьований наступним чином: розширення тестового та задачного матеріалу, додаткове введення проміжного контролю знань при переході від однієї лекції до іншої, удосконалення користувальницького інтерфейсу. Даний курс може бути застосований при заочному чи дистанційному навчанні.
У цілому, використання інформаційних технологій і нових можливостей глобальної мережі (наприклад, відеоконференцій) зробить практично можливими будь-які педагогічні задуми, здійснення не тільки локальних експериментальних методів, концепцій навчання під пильним наглядом експертів, а й віддалених, що охоплюють значні території різних країн.


Література

1. Адамар Ж. Елементарна геометрія. Ч.2. М., Учпедгиз, 1958.
2. Андрєєв А.А. Введення в дистанційне навчання. - М., 1997.
3. Атанасян Л.С. Геометрія. Ч.2. - М.: Просвещение, 1987. - 352с.
4. Базилєв В.Т. Геометрія. М.: Просвещение, 1975.
5. Базилєв В.Т. Збірник завдань з геометрії. М.: Просвещение, 1980. -240с.
6. Десятов Д. До проблеми впровадження дистанційних форм навчання / Д. Десятов, Б. Преображенський, Т. Толстих / / Альма матер: Вісн. вищ. шк .. - 2003. - № 4. - С. 13-16.
7. Єгоров І.П. Геометрія. - М.: Просвещение, 1979. - 256с.
8. Єгоров І.П. Підстави геометрії. - М.: Просвещение, 1984. - 144с.
9. Єгоршин А.П. Шляхи розвитку дистанційної вищої освіти / / А. П. Єгоршин, В. А. Кручинін / / Наукові праці МІМ ЛІНК / Міжнар. ін-т менеджменту ЛІНК. -2000. -Вип. 1. - С. 27-40.
10. Задачник «Кванта»: Математика. Частина 1. / Под ред. Н.Б. Васильєва. М.: 1997.
11. Кічевої С.С. Особливості використання дистанційного навчання в російському вузі / / С. С. Кичево / / Проблеми регіональної економіки. -1999. - № 5/6/7. - С. 299-306.
12. Моїсеєв В.Б. Організація навчального процесу при використанні технологій дистанційного навчання / / Інформатика та освіта. - 2002. - № 12. - С.64-68.
13. Основні компоненти дистанційної освітньої технології. Можливі моделі дистанційного навчання / / Дидактичні технології у вищій школі. - М., 2002 .- 242-249 с.
14. Особливості дистанційної освіти / / ІНТЕРНЕТ-ТЕХНОЛОГІЇ у Федеральній цільовій програмі 'Електронна Росія (2002-2010 роки) ". - М., 2003 .- 167-170 с.
15. Перепелкин Д. І. Курс елементарної геометрії. Т.II. М.-Л., Гостехиздат, 1949.
16. Погорєлов А.В. Геометрія. - М., Наука. 1984. - 288с.
17. Розенфельд Б.А. Історія неевклідової геометрії. Розвиток поняття про геометричному просторі. М., Наука., 1976. - 408с.
18. Сергєєва Т. «Нові інформаційні технології і зміст навчання» / / Інформатика та освіта. - 1991. - № 1.
19. Хороших О.А. Досвід впровадження елементів дистанційної освіти на практичних заняттях з вищої математики / / О. А. Хороших / / Вісник Красноярського державного технічного університету. -1999. - (Обл. 2000). - Вип. 16. - С. 142-144.
20. Енциклопедія елементарної математики. Кн.4 - Геометрія. М., 1963.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Диплом
282.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Використання вимірювань і рішення задач на місцевості при вивченні деяких тем шкільного курсу геометрії
Застосування винахідницьких задач при вивченні курсу Біологія
Застосування проблемного навчання при вивченні теми Граничні одноосновні кислоти
Застосування проблемного навчання при вивченні теми Граничні одноосновні кислоти 2
Теоретичні основи проблемно-модульного навчання та методика його застосування у коледжі при вивченні
Використання інформаційних технологій при вивченні курсу Основи правознавства
Роль цікавих задач при вивченні курсу алгебри та початків аналізу
Розробка інтерактивних моделей мікросвіту і методика їх використання при вивченні шкільного курсу
Застосування алгоритмічного методу при вивченні нерівностей
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru