додати матеріал


приховати рекламу

Загальне доказ гіпотези Біля великої теореми Ферма і теореми Піфагора

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Файл: MENTOR
© Н.М. Козій, 2007
Авторські права захищені
свідоцтвами Україні
№ 23145 та № 27312
ЗАГАЛЬНЕ ДОКАЗ
ГІПОТЕЗИ Біля, Великої теореми Ферма
І ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА

ДОКАЗ ГІПОТЕЗИ Біля

Гіпотеза Біля формулюється наступним чином: невизначений рівняння
Аx + Вy = Сz / 1 /
не має розв'язку в цілих позитивних числах А, В, С, x, y і z за умови, що x, y і z більше 2.
Суть гіпотези Біля не зміниться, якщо рівняння / 1 / запишемо наступним чином:
Аx = Сz - Вy / 2 /
Рівняння / 2 / розглядаємо як параметричне рівняння з параметром A і змінними B і С.
Рівняння / 2 / запишемо в наступному вигляді:
Аx = (С0, 5z) 2 - (В0, 5y) 2 / 3 /
Позначимо:
В0, 5y = V / 4 /
С0, 5z = U / 5 /
Звідси:
Вy = V2 / 6 /
Сz = U2 / 7 /
В = / 8 /
С = / 9 /
Тоді з рівнянь / 2 /, / 6 / і / 7 / слід:
Аx = Сz-Вy = U2-V2 / 10 /
Рівняння / 10 / згідно з відомою залежністю для різниці квадратів двох чисел запишемо у вигляді:
Аx = (UV) ∙ (U + V) / 11 /
Для доказу гіпотези Біля використовуємо метод заміни змінних. Позначимо:
UV = X / 12 /
З рівняння / 12 / маємо:
U = V + X / 13 /
З рівнянь / 11 /, / 12 / і / 13 / маємо:
Аx = X · (V + X + V) = X (2V + X) = 2VХ + X2 / 14 /
З рівняння / 14 / маємо:
Аx - X2 = 2VХ / 15 /
Звідси:
V = / 16 /
З рівнянь / 13 / і / 16 / маємо:
U = / 17 /
З рівнянь / 8 /, / 9 /, / 16 / і / 17 / маємо:
B = / 18 /
C = / 19 /
З рівнянь / 18 / і / 19 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа Аx на число X, тобто число X має бути одним із множників, що входять до складу множників числа Аx. Іншими словами, число Аx повинно бути, наприклад, так само:
Ax = (abc) x, / 20 /
де: a, b, c - прості або складові цілі позитивні числа.
При цьому має бути, наприклад:
X = сm; X2 = c2m. / 21 /
У будь-яким випадку повинно дотримуватися співвідношення: 2m ≤ x.
З рівнянь / 18 / і / 19 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є також однакова парність чисел A і X: обидва числа повинні бути парними або обидва непарними.
З рівнянь / 18 /, / 19 / і / 20 / слід:
В = / 22 /
C = / 23 /
Позначимо:
P = / 24 /
Q = / 25 /
Тоді:
B = / 26 /
С = / 27 /
З рівнянь / 24 / і / 25 / маємо:
Q = / 28 /
Таким чином, з рівнянь / 27 / і / 28 / слід:

С = / 29 /
З аналізу рівнянь / 26 / і / 29 / випливає, що оскільки різниця між числами Q і P дорівнює всього лише:
Q - P = P + 1 - P = 1, / 30 /
то, щонайменше, одне з чисел В або С є дробовим числом.
Припустимо, що кількість В - ціле число.
ПРИКЛАД: c = 5; P = 612 = 3721; y = 4; m = 2; 2m = 4.
За формулою / 25 / маємо:
B = =
Тоді:
при z = 3: С = = - Дробове число.
при z = 4: С = = - Дробове число.
при z = 5: С = = - Дробове число.
при z = 6: З = = - Дробове число.
Очевидно, що якщо
(Dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ≠ e2m,
де: d - ціле число;
e - ціле число.

Таким чином, якщо допустити, що В - ціле число, то С - дробове число.
Отже, гіпотеза Біля немає рішення на цілих позитивних числах.

Доказ Великої теореми Ферма

Якщо в рівнянні / 1 / гіпотези Біля прийняти, що показники ступеня рівні між собою, тобто x = y = z = n, то воно перетворюється в рівняння великої теореми Ферма:
Аn + Вn = Сn / 31 /
Тоді рівняння / 2 /, / 6 / - / 11 /, / 16 / - / 20 / приймуть вигляд:
Аn = Сn - Вn/32 /
Вn = V2 / 33 /
Сn = U2 / 34 /
В = / 35 /
С = / 36 /
Аn = Сn - Вn = U2-V2 / 37 /
Аn = (UV) ∙ (U + V) / 38 /
V = / 39 /
U = / 40 /
B = / 41 /
C = / 42 /
Нехай: An = (abc) n, / 43 /
де: a, b, c - прості або складові цілі позитивні числа.
При цьому має бути, наприклад:
X = сm; X2 = c2m. / 44 /
У будь-якому випадку повинно дотримуватися співвідношення: 2m ≤ n.
З рівнянь / 41 / і / 42 / випливає, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є також однакова парність чисел A і X: обидва числа повинні бути парними або обидва непарними.
З рівнянь / 41 /, / 42 / і / 43 / слід:
В = / 45 /
C = / 46 /
Позначимо:
P = / 47 /
Q = / 48 /
Тоді:

B = / 49 /
С = / 50 /
З рівнянь / 47 / і / 48 / маємо:
Q = / 51 /
Таким чином, з рівнянь / 50 / і / 51 / слід:
С = / 52 /
З аналізу рівнянь / 49 / і / 52 / випливає, що оскільки різниця між числами Q і P дорівнює всього лише:
Q - P = P + 1 - P = 1, / 53 /
то, щонайменше, одне з чисел В або С є дробовим числом.
Припустимо, що кількість В - ціле число.
ПРИКЛАД: c = 5; P = 612 = 3721; n = 2m = 4; m = 2.
За формулою / 49 / маємо:
B = =
Тоді:
С = = - Дробове число.

Очевидно, що якщо (dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ≠ e2m,
де: d - ціле число; e - ціле число.
Таким чином, якщо допустити, що кількість В - ціле число, то С - дробове число.
Отже, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.

Доказ теореми Піфагора

Якщо в рівнянні / 1 / гіпотези Біля прийняти, що показники ступеня рівні між собою і рівні: x = y = z = 2, то воно перетворюється в рівняння теореми Піфагора:
А2 + В2 = С2 / 54 /
Тоді рівняння / 2 /, / 6 / - / 11 /, / 16 / і / 17 / приймуть вигляд:
А2 = С2 - В2/55 /
В2 = V2 / 56 /
С2 = U2 / 57 /
В = = V / 58 /
С = = U / 59 /
А2 = С2 - В2 = U2-V2 / 60 /
А2 = (UV) ∙ (U + V) / 61 /
B = V = / 62 /
C = U = / 63 /
За рівнянням / 62 / і / 63 / і заданому значенням числа A визначаються пари чисел B і С, які з числом A утворюють трійки піфагорових чисел.

ПРИКЛАДИ

Приклад 1: А = 3 ∙ 5 = 15; n = 2; М = 3.
В = Х = ; С = Y =
А2 = С2-В2 = 392-362 = 225; А = або: А2 + В2 = 152 +362 = 1521 = 392 = С2
Приклад 2: А = 3 ∙ 5 = 15; n = 2; М = 5.
В = Х = ; С = Y =
А2 = С2-В2 = 252-202 = 225 = 152 або: А2 + В2 = 152 +202 = 625 = 252 = С2
Приклад 3: А = 2 ∙ 3 ​​∙ 13 = 78; n = 2; М = 2 ∙ 13 = 26.
В = Х = ; С = Y =
А2 = С2-В2 = 1302-1042 = 6084 = 782, або: А2 + В2 = 782 +1042 = 16900 = 1302 = С2
Приклад 4: А = 2 ∙ 3 ​​∙ 13 = 78; n = 2; М = 2 ∙ 3 ​​= 6.
В = Х = ; С = Y =
А2 = С2-В2 = 5102-5042 = 6084 = 782, або: А2 + В2 = 782 +5042 = 260100 = 5102 = С2
Таким чином, з рівняння / 60 / випливає, що будь-яке ціле позитивне число в квадраті завжди дорівнює різниці квадратів однієї пари або декількох пар цілих позитивних чисел.

ВИСНОВКИ

З аналізу гіпотези Біля, великої теореми Ферма і теореми Піфагора випливає, що в основі їх лежить одне і теж рівняння:
Аx + Вy = Сz
При цьому:
в рівнянні гіпотези Біля показники ступеня x, y, z більше 2 і не рівні між собою;
в рівнянні великої теореми Ферма показники ступеня x, y, z більше 2 і рівні між собою: x = y = z = n;
в рівнянні теореми Піфагора показники ступеня x, y, z рівні між собою і рівні: x = y = z = n = 2.
Таким чином:
рівняння теореми Піфагора є приватним варіантом рівняння великої теореми Ферма;
рівняння великої теореми Ферма є приватним варіантом рівняння гіпотези Біля.
Докази гіпотези Біля, великої теореми Ферма і теореми Піфагора виконані одним методом: методом вирішення параметричних рівнянь у поєднанні з методом заміни змінних. Той факт, що використаний метод доведення теореми Піфагора дає можливість для будь-якого числа А знаходити пари піфагорових чисел В і С, дозволяє зробити висновок, що й докази гіпотези Біля і великої теореми Ферма, виконані тим же методом, достовірні.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Творча робота
23.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Доказ великої теореми Ферма
Доказ великої теореми Ферма 2
Доказ великої теореми Ферма 4
Доказ великої теореми Ферма 5
Доказ великої теореми Ферма 3
Короткий доказ великої теореми Ферма
Просте доказ великої теореми Ферма
Доказ Великої теореми Ферма за одну операцію
Доказ Великої теореми Ферма методами елементарної алгебри
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru