додати матеріал


Економіко математичні методи і прикладні моделі 2

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерство освіти РФ
Всеросійський заочний фінансово-економічний інститут
Факультет обліково-статистичний
Контрольна робота
з дисципліни «Економіко-математичні методи і прикладні моделі»
Варіант № 5
Виконавець:
Спеціальність: БУАіА
Група:
№ залікової книжки:
Викладач: Орлова І.В.
Москва 2007

Задача 1
Вирішити графічним методом типову задачу оптимізації
Продукція двох видів (фарба для внутрішніх (I) і зовнішніх (E) робіт) надходить в оптову продаж. Для виробництва фарб використовуються два вихідних продукту - А і В. Максимально можливі добові запаси цих продуктів складають 6 8 тонн відповідно. Витрати продуктів А і В на 1 т відповідних фарб наведені в таблиці.
Вихідний продукт
Витрата вихідних продуктів на тонну фарби, т
Максимально можливий запас, т
Фарба Е
Фарба I
А
1
2
6
У
2
1
8
Вивчення ринку збуту показало, що добовий попит на фарбу I ніколи не перевищує попиту на фарбу Е більше ніж на 1т. Крім того, встановлено, що попит на фарбу I не перевищує 2 т за добу. Оптові ціни однієї тонни фарб рівні 3000 ден.ед. для фарби Е і 2000 ден.ед. для фарби I. Яка кількість фарби кожного виду повинна виробляти фабрика, щоб дохід від реалізації продукції був максимальним?
Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на мінімум, і чому?
Рішення
Введемо наступні змінні:
Х 1 - кількість фарби Е (т);
Х 2 - кількість фарби I (т).
Ціна фарби Е складає 3000 (Ден. од.), А ціна фарби I -2000 (ден. од.). Необхідно максимізувати цільову функцію:

Введені такі обмеження:
Х 1 +2 Х 2 ≤ 6;
1 + Х 2 ≤ 8;
Х 2 ≤ 2;
Х 2-Х 1 ≤ 1.
Перше обмеження по продукту А Х 1 +2 Х 2 ≤ 6. Пряма Х 1 +2 Х 2 = 6 проходить через точки (0; 3) і (6; 0).
Друге обмеження по продукту У 2Х 1 + Х 2 ≤ 8. Пряма 2Х 1 + Х 2 = 8 проходить через точки (0; 8) і (4; 0).
Третє обмеження Х 2 ≤ 2. Пряма Х 2 = 2 проходить паралельно осі Х 1 через точку Х 2 = 2.
Четверте обмеження Х 2-Х 1 ≤ 1. Пряма Х 2-Х 1 = 1 проходить через точки (0; 1) і (-1; 0).
Рішенням кожного нерівності системи обмежень ЗЛП є полуплоскость, що містить граничну пряму і розташована по одну сторону від неї. Перетин півплощини, кожна з яких визначається відповідним нерівністю системи, називається областю допустимих рішень.
Рішенням нерівностей буде полуплоскость, що лежить нижче пересічних прямих Х 1 +2 Х 2 = 6, 2Х 1 + Х 2 = 8, Х 2 = 2, Х 2-Х 1 = 1.
При максимізації функції лінія рівня переміщується у напрямку вектору - градієнту.
Після рішення системи рівнянь
Х 1 +2 Х 2 = 6
1 + Х 2 = 8
Знаходимо, що Х 1 = 3,33, Х 2 = 1,33
(Ден. од.)
Відповідь:
Прибуток фірми буде максимальною, тобто 12650 ден. од., якщо щодня буде проводитися 3,33 т фарби Е та 1,33 т фарби I.
При вирішенні завдання на мінімум - рішень не буде.

Задача 2
Використовувати апарат теорії двоїстості для економіко-математичного аналізу оптимального плану задачі лінійного програмування
На підставі інформації, наведеної в таблиці, вирішується задача оптимального використання ресурсів на максимум виручки від реалізації готової продукції.
Вид ресурсів
Норми витрати ресурсів на од. продукції
Запаси ресурсів
I вид
II вид
III вигляд
Праця
1
4
3
200
Сировина
1
1
2
80
Обладнання
1
1
2
140
Ціна виробу
40
60
80
Потрібно:
1. Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорем подвійності.
3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
· Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідного завдання;
· Визначити, як змінюється виручка від реалізації продукції і план її випуску при збільшенні запасів сировини на 18 одиниць;
· Оцінити доцільність включення в план виробу четвертого виду ціною 70 одиниць, на виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного виду ресурсів.
Рішення
1) Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
Х 1 - норма витрати ресурсу першого виду
Х 2 - норма витрати ресурсу другого виду
Х 3 - норма витрати ресурсу третього виду.
Цільова функція має вигляд
, Де
Обмеження:
1) з праці

2) по сировині

3) по обладнанню


Оптимальний план знайдемо через Пошук рішень в надбудовах Excel (рис. 2.1) і (рис. 2.2).
Рис. 2.1

Рис. 2.2
Отримане рішення означає, що максимальну виручку від реалізації готової продукції (4000 од.) Підприємство може отримати при випуску 40 одиниць вироби 1 виду і 40 одиниць вироби 2 види. При цьому ресурс «праця» і «сировина» будуть використані повністю, з 140 одиниць обладнання буде використано тільки 80 одиниць.
Excel дозволяє представити результати пошуку рішення у формі звіту рис. 2.3
Microsoft Excel 10.0 Звіт за результатами
Робочий лист: [Контр.раб 2.5.xls] кр 2.5
Звіт створений: 06.12.2007 18:42:36
Цільова комірка (Максимум)
Осередок
Ім'я
Початкове значення
Результат
$ D $ 3
4000
4000
Змінні клітинки
Осередок
Ім'я
Початкове значення
Результат
$ A $ 2
х1
40
40
$ B $ 2
х2
40
40
$ C $ 2
х3
0
0
Обмеження
Осередок
Ім'я
Значення
Формула
Статус
Різниця
$ D $ 4
200
$ D $ 4 <= $ E $ 4
пов'язане
0
$ D $ 5
80
$ D $ 5 <= $ E $ 5
пов'язане
0
$ D $ 6
80
$ D $ 6 <= $ E $ 6
не пов'язаний.
60
Рис.2.3
У звіті за результатами містяться оптимальні значення змінних , Які відповідно рівні 40; 40; 0; значення цільової функції - 4000, а також недовикористаний ресурс «устаткування» у розмірі 60 одиниць.
Оптимальний план
2) Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорем подвійності.
Число невідомих у двоїстої задачі дорівнює числу функціональних обмежень у вихідній задачі. Вихідна задача містить 3 Обмеження: праця, сировина та обладнання. Отже, в двоїстої задачі 3 невідомих:
двоїста оцінка ресурсу праця
двоїста оцінка ресурсу сировини
двоїста оцінка ресурсу обладнання
Цільова функція двоїстої задачі формулюється на мінімум. Коефіцієнтами при невідомих у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени в системі обмежень вихідної задачі:

Необхідно знайти такі «ціни» на типи сировини , Щоб загальна вартість використовуваних типів сировини була мінімальною.
Обмеження. Число обмежень у системі двоїстої задачі дорівнює числу змінних у вихідній задачі. У вихідній задачі 3 змінних, отже, в двоїстої задачі 3 обмеження. У правих частинах обмежень двоїстої задачі стоять коефіцієнти при невідомих у цільовій функції вихідної задачі. Ліва частина визначає вартість типу сировини, витраченого на виробництво одиниці продукції.
Кожне обмеження відповідає певній нормі витрати сировини на одиницю продукції:




Знайдемо оптимальний план двоїстої задачі, використовуючи теореми подвійності.
Скористаємося першим співвідношенням другого теореми подвійності
тоді




Підставимо оптимальні значення вектора в отримані вирази



І отримаємо
,
,
, Тому що 80 <140, то
У задачі і , Тому перше і друге обмеження двоїстої задачі звертаються в рівності



Вирішуючи систему рівнянь отримаємо, y 1 = 6,67, y 2 = 33,33, y 3 = 0.
Перевіряємо виконання першої теореми двоїстості


Це означає, що оптимальний план двоїстої задачі визначено, вірно.
Рішення двоїстої задачі можна знайти, вибравши команду Пошук рішень - Звіт по стійкості (рис.2.4).
Microsoft Excel 10.0 Звіт по стійкості
Робочий лист: [Контр.раб 2.5.xls] кр 2.5
Звіт створений: 06.12.2007 19:04:27
Змінні клітинки
Результ.
Нормують.
Цільовий
Допустиме
Допустиме
Осередок
Ім'я
значення
вартість
Коефіцієнт
Збільшення
Зменшення
$ A $ 2
х1
40
0
40
20
4.000000003
$ B $ 2
х2
40
0
60
100
20
$ C $ 2
х3
0
-6.666666672
80
6.666666672
1E +30
Обмеження
Результ.
Тіньова
Обмеження
Допустиме
Допустиме
Осередок
Ім'я
значення
Ціна
Права частина
Збільшення
Зменшення
$ D $ 4
200
6.666666667
200
120
120
$ D $ 5
80
33.33333333
80
60
30
$ D $ 6
80
0
140
1E +30
60
Рис 2.4
3) Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
Підставимо в обмеження двоїстої задачі оптимальні значення вектора :









Витрати на 3 вироби перевищують ціну ( ). Це ж видно і в звіті по стійкості (рис. 2.4) значення (Нормір. вартість) дорівнює -6.67. Тобто вартість норми витрат на одиницю виробу більше ніж ціна виробу. Ці вироби не увійдуть в оптимальний план через їхню збитковість.
4) На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
- Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідного завдання;
- Визначити, як зміняться виручка від реалізації продукції і план її випуску при збільшенні запасів сировини на 18 одиниць;
- Оцінити доцільність включення в план виробу четвертого виду ціною 70 одиниць, на виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного виду ресурсів.
Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідного завдання;



Запаси сировини по першому і другому виду були використані повністю, а по третьому виду - обладнання - було недовикористаний 60.
Визначити, як зміняться виручка і план випуску продукції при збільшенні запасів сировини на 18 одиниць
З теореми про оцінки відомо, що коливання величини призводить до збільшення або зменшення . Воно визначається:




З розрахунків видно, якщо ми збільшимо запаси сировини на 18 одиниці, то виручка зросте на 600 одиниць, тобто загальна виручка складе після зміни запасів 4600 одиниць.
При цьому структура плану не змінилася - вироби, які були збиткові, не ввійшли і в новий план випуску, так як ціни на них не змінилися.






Вирішимо систему рівнянь:


І отримаємо


Новий оптимальний план
Зміна загальної вартості продукції на 600 од. отримано за рахунок збільшення плану випуску 1 виду продукції на 24 од за ціною 40 од (40 * (64-40) = 960 од.) та зменшення на 6 од. плану випуску продукції 2 види за ціною 60 (60 * (34-40) =- 360 од.)
Оцінити доцільність включення в план виробу четвертого виду ціною 70 одиниць, на виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного виду ресурсів.
Для оцінки доцільності включення в план виробу четвертого виду скористаємося другий властивістю двоїстої оцінки.
, Підставимо , ,

тому що 80> 70, то включення в план виробу четвертого виду невигідно.

Задача 3
Використовуючи балансовий метод планування і модель Леонтьєва, побудувати баланс виробництва і розподілу продукції підприємств.
Промислова група підприємств (холдинг) випускає продукцію трьох видів, при цьому кожна з трьох підприємств групи спеціалізується на випуску одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції першого виду; друге підприємство - продукції другого виду; третє підприємство - продукції третього виду. Частина продукції, що випускається споживається підприємствами холдингу (йде на внутрішнє споживання), решта постачається за його межі (зовнішнім споживачам, є кінцевим продуктом). Фахівцями керуючої компанії отримані економічні оцінки a ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) елементів технологічної матриці А (норм витрати, коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) та елементів y i вектора кінцевої продукції Y.
Потрібно:
1. Перевірити продуктивність технологічної матриці А = ( a ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).
2. Побудувати баланс (заповнити таблицю) виробництва та розподілу продукції підприємств холдингу.
Підприємство (види продукції)
Коефіцієнти прямих витрат aij
Кінцевий продукт Y
1
2
3
1
0,2
0,3
0
120
2
0,3
0,1
0,2
250
3
0,1
0
0,3
180




Рішення
1) Перевірити продуктивність технологічної матриці A = (а ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).
1.1. Для вирішення даної економічної задачі буде обрано середовище табличного процесора MS Excel. (Рис. 3.1)
Рис. 3.1
Вихідні дані

1.2. Знайдемо різницю між одиничною матрицею Е і матрицею А.
Для цього скористаємося правилом вирахування матриць однакової розмірності. (Рис. 3.2)


0,8
-0,3
-0,1
EA
-0,3
0,9
-0,2
-0,1
0
0,7
1.3. Знайдемо обернену матрицю . Скористаємося вбудованими функціями MS Excel (математичні, зворотна матриця) (рис. 3.2).
Рис 3.2

1.4. Щоб визначити Валову продукцію (матрицю ), Треба матрицю = помножити на Кінцевий продукт (матрицю ). Скористаємося знову вбудованими функціями MS Excel (математичні, множення матриць) (рис. 3.3).
Рис. 3.3
Визначення валової продукції (матриця )

1.5. Матриця (Матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) продуктивна, тому що існує невід'ємних вектор .
2) Побудувати баланс (заповнити таблицю) виробництва та розподілу продукції підприємств холдингу.
2.1. Для розподілу продукції підприємств холдингу необхідно знайти (Рис. 3.4)
Рис. 3.4
Розподіл продукції підприємств холдингу

2.2. Побудуємо міжгалузевий баланс виробництва (рис. 3.5)
Рис 3.5

Умовно чиста продукція - це різниця між валовим продуктом і сумою продуктів, які споживає кожна галузь.
Відповідь:
1) Матриця (Матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) продуктивна, тому що існує невід'ємних вектор .
2)
Міжгалузевий баланс
Підприємство (види продукції)
Коефіцієнти прямих витрат aij
Кінцевий продукт Y
Валовий продукт
1
2
3
1
72,82
140,35
0,00
120
364,08
2
109,23
46,78
61,83
250
467,84
3
36,41
0,00
92,75
180
309,15
Умовно чиста продукція
145,63
280,70
154,57
Валовий продукт
364,08
467,84
309,15
1141,07

Задача 4
Дослідити динаміку економічного показника на основі аналіз одномірних тимчасового ряду.
Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався попит Y (t) (млн руб.) На кредитні ресурси фінансової компанії. Часовий ряд Y (t) цього показника наведено в таблиці.
Номер спостереження (t = 1,2, ..., 9)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
7
10
12
15
18
20
23
26
Потрібно:
1. Перевірити наявність аномальних спостережень.
2. Побудувати лінійну модель Y (t) = a 0 + a 1 t, параметри якої оцінити МНК (Y (t)) - розрахункові, змодельовані значення часового ряду).
3. Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості та відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R / S-критерію взяти табульований кордону 2,7-3,7).
4. Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.
5. По двох побудованим моделям здійснити прогноз попиту на наступні два тижні (довірчий інтервал прогнозу розрахувати при довірчій ймовірності p = 70%)
6. Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування представити графічно.
Рішення
1). Наявність аномальних спостережень призводить до спотворення результатів моделювання, тому необхідно переконатися у відсутності аномальних даних. Для цього скористаємося методом Ірвіна і знайдемо характеристичне число ( ) (Таблиця 4.1).
  ; ,
Розрахункові значення порівнюються з табличними значеннями критерію Ірвіна, і якщо вони виявляються більше табличних, то відповідне значення рівня ряду вважається аномальним.
Таблиця 4.1
t
Y






1
5
-4
16
-10,11
102,23
-
-
2
7
-3
9
-8,11
65,79
2
0,28
3
10
-2
4
-5,11
26,12
3
0,42
4
12
-1
1
-3,11
9,68
2
0,28
5
15
0
0
-0,11
0,01
3
0,42
6
18
1
1
2,89
8,35
3
0,42
7
20
2
4
4,89
23,90
2
0,28
8
23
3
9
7,89
62,23
3
0,42
9
26
4
16
10,89
118,57
3
0,42
Сума
45
136
0
60
0
416,89
Середнє
5
15,11
Всі отримані значення порівняли з табличними значеннями, не перевищує їх, тобто, аномальних спостережень немає.
2) Побудувати лінійну модель , Параметри якої оцінити МНК ( - Розрахункові, змодельовані значення часового ряду).
Для цього скористаємося Аналізом даних в Excel (рис. 4.2).

Рис 4.1

SHAPE \ * MERGEFORMAT Результат регресійного аналізу міститься в таблиці 4.2 та 4.3.
Таблиця 4.2
Коефіцієнти
Стандартна помилка
t-статистика
Y-перетин а 0
1,944
0,249
7,810
t a 1
2,633
0,044
59,516
У другому стовпці табл. 4.3 містяться коефіцієнти рівняння регресії а 0, а 1, в третьому стовпці - стандартні помилки коефіцієнтів рівняння регресії, а в четвертому - t - статистика, що використовується для перевірки значущості коефіцієнтів рівняння регресії.
Рівняння регресії залежності (Попит на кредитні ресурси) від (Час) має вигляд (Рис. 4.5).

Таблиця 4.3
Висновок залишків
ВИСНОВОК ЗАЛИШКУ
Спостереження
Передбачене Y
Залишки
1
4,58
0,42
2
7,21
-0,21
3
9,84
0,16
4
12,48
-0,48
5
15,11
-0,11
6
17,74
0,26
7
20,38
-0,38
8
23,01
-0,01
9
25,64
0,36
Рис. 4.4


3) Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості та відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R / S-критерію взяти табульований кордону 2,7-3,7).
Модель є адекватною, якщо математичне сподівання значень залишкового ряду випадкові, незалежні і підпорядковані нормальному закону розподілу.
3.1. Перевіримо незалежність (відсутність автокореляції) за допомогою d - критерію Дарбіна - Уотсона за формулою:

Таблиця 4.2
Спостереження
 
 



1
0,42
0,18
-
-
-
2
-0,21
0,04
-0,63
0,42
0,18
3
0,16
0,02
0,37
-0,21
0,04
4
-0,48
0,23
-0,63
0,16
0,02
5
-0,11
0,01
0,37
-0,48
0,23
6
0,26
0,07
0,37
-0,11
0,01
7
-0,38
0,14
-0,63
0,26
0,07
8
-0,01
0,00
0,37
-0,38
0,14
9
0,36
0,13
0,37
-0,01
0,00
Сума
0,00
0,82
0,70
,
Оскільки розрахункове значення d потрапляє в інтервал від 0 до d 1, тобто в інтервал від 0 до 1,08, то властивість незалежності не виконується, рівні низки залишків містять автокореляції. Отже, модель за цим критерієм неадекватна.
3.2. Перевірку випадковості рівнів ряду залишків проведемо на основі критерію поворотних точок. P> [2 / 3 (n-2) - 1, 96 √ (16n-29) / 90]
Кількість поворотних точок одно 6 (рис.4.5).
Рис. 4.5

Нерівність виконується (6> 2). Отже, властивість випадковості виконується. Модель за цим критерієм адекватна.
3.3. Відповідність ряду залишків нормальному закону розподілу визначимо за допомогою RS - критерію:
, Де
- Максимальний рівень ряду залишків,
- Мінімальний рівень ряду залишків,
- Середньоквадратичне відхилення,
,

Розрахункове значення потрапляє в інтервал (2,7-3,7), отже, виконується властивість нормальності розподілу. Модель за цим критерієм адекватна.
3.4. Перевірка рівності нулю математичного очікування рівнів ряду залишків.
У нашому випадку , Тому гіпотеза про рівність математичного сподівання значень залишкового ряду нулю виконується.
У таблиці 4.3 зібрані дані аналізу ряду залишків.
Таблиця 4.3
Проверяемое властивість
Використовувані статистики
Кордон
Висновок
найменування
значення
нижня
верхня
Незалежність
d-критерій
0,85
1,08
1,36
неадекватна
Випадковість
Критерій поворотних точок
6> 2
2
адекватна
Нормальність
RS-критерій
2,81
2,7
3,7
адекватна
Середнє = 0?
t-статистика Стьюдента
0
-2,179
2,179
адекватна
Висновок: модель статистики неадекватна
4) Оцінити точність моделі на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.
Для оцінки точності отриманої моделі будемо використовувати показник відносної помилки апроксимації, який обчислюється за формулою:
, Де
Розрахунок відносної помилки апроксимації
Таблиця 4.4
t
Y
Передбачене Y
 

1
5
4,58
0,42
0,08
2
7
7,21
-0,21
0,03
3
10
9,84
0,16
0,02
4
12
12,48
-0,48
0,04
5
15
15,11
-0,11
0,01
6
18
17,74
0,26
0,01
7
20
20,38
-0,38
0,02
8
23
23,01
-0,01
0,00
9
26
25,64
0,36
0,01
Сума
45
136
0,00
0,23
Середнє
5
15,11

Якщо помилка, обчислена за формулою, не перевершує 15%, точність моделі вважається прийнятною.
5) За побудованої моделі здійснити прогноз попиту на наступні два тижні (довірчий інтервал прогнозу розрахувати при довірчій імовірності р = 70%).


Скористаємося функцією Excel СТЬЮДРАСПОБР. (Рис. 4.10)
t = 1,12
Рис. 4.6

Для побудови інтервального прогнозу розрахуємо довірчий інтервал. Приймемо значення рівня значимості , Отже, довірча ймовірність дорівнює 70%, а критерій Стьюдента при дорівнює 1,12.
Ширину довірчого інтервалу обчислимо за формулою:
, Де
(Знаходимо з таблиці 4.1)
,
.
Обчислюємо верхню і нижню межі прогнозу (таб. 4.11).
Таблиця 4.5
Таблиця прогнозу
n + k
U (k)
Прогноз
Формула
Верхня межа
Нижня межа
10
U (1) = 0.84
28.24
Прогноз + U (1)
29.сен
27.40
11
U (2) = 1.02
30.87
Прогноз - U (2)
31.89
29.85
6) Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування представити графічно.
Перетворимо графік підбору (рис. 4.5), доповнивши його даними прогнозу.
Рис. 4.7

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Економіко-математичне моделювання | Контрольна робота
243.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Економіко математичні методи і прикладні моделі
Економіко математичні методи і моделі 4
Економіко математичні методи і моделі
Економіко математичні методи і моделі 3
Детерміновані економіко математичні моделі та методи факторного аналізу
Багатофакторні економіко-математичні моделі прогнозування інфляції
Економіко математичні моделі управління інвестиційним портфелем
Економіко математичні методи 3
Економіко математичні методи
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru