додати матеріал


Економіко математичні методи і моделі

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

Економіко-математичні методи і моделі
Методично вказівки і контрольні завдання для студентів
очної та заочної форми навчання.

м. Ставрополь 2007р.

Даний посібник призначений для студентів економічних спеціальностей. Навчальний план вивчення курсу розрахований на 75 годин і передбачає виконання контрольної роботи для заочної форми навчання.
У посібнику наведено розв'язання задач за темами, відповідним навчальним планом, дані необхідні методичні вказівки і наведені завдання для контрольної роботи. Цей посібник може бути використано студентами очного та заочного відділення для самостійної роботи і підготовки до заліку.

Введення
В даний час процеси прийняття рішень в економіці спираються на досить широке коло економіко-математичних методів і моделей. Жодне серйозне рішення, що зачіпає управління діяльністю галузей і підприємств, розподілу ресурсів, вивчення ринкової кон'юнктури, прогнозування, планування тощо, не здійснюється без попереднього математичного дослідження конкретного процесу або його частин.
У зв'язку з цим вивчення дисципліни «Економіко-математичні методи і моделі» спрямована як на формування у студентів розуміння ролі сучасної математики в економіці, так і на вивчення найбільш важливих економіко-математичних методів дослідження моделей та задач оптимізації.
Завдання даної дисципліни полягають у вивченні математичних методів СЕП, застосування базових методів математичного моделювання СЕП при вирішенні оптимізаційних задач і виробленню навичок вирішення трудомістких прикладних економіко-математичних задач за допомогою комп'ютерних технологій.
Мета вивчення даної дисципліни - підготовка спеціаліста економічного профілю до свідомого використання математичних методів дослідження СЕП на основі відповідних базових моделей.
Вивчення дисципліни передбачає поєднання лекцій, практичних занять та самостійну роботу студентів. На лекціях викладається зміст дисципліни, проводиться аналіз основних математичних понять і методів. Практичні заняття орієнтовані на вироблення у студентів уміння і навичок вирішення типових економічних завдань. Керуючись принципом підвищення рівня фундаментальної математичної підготовки студентів з посиленням її прикладної економічної спрямованості, автором пропонуються найбільш економічно значущі завдання, що представляють самостійний інтерес і дають можливість відносно продуктивно освоїти алгоритм їх вирішення при відсутності підручника.
Після вивчення дисципліни «Економіко-математичні методи і моделі» студент повинен:
§ мати уявлення про методи системного аналізу та управління СЕП;
§ знати основні поняття, визначення та базові математичні методи, використовувані для побудови моделей СЕП;
§ вміти проводити розрахунки і робити оцінки параметрів для базових математичних моделей СЕП;
§ вміти вирішувати прикладні економіко-математичні задачі, спираючись на базові знання з математики, відповідні Державного освітнього стандарту.

Загальні методичні вказівки
Для більш повного, впевненого освоєння студентами навичок вирішення задач з дисципліни «Економіко-математичні методи і моделі» пропонуються дані методичні вказівки. Автор керувався загальними целеполагающій принципами вивчення даної дисципліни, а також принципом підвищення рівня фундаментальної математичної підготовки студентів для розуміння значущості побудови і дослідження математичних моделей в економіці.
Наведені методичні вказівки можуть бути використані при проведенні самостійних і контрольних робіт, співбесід при здачі заліку.
При виконанні контрольної роботи студентам заочного відділення необхідно керуватися такими вказівками:
- На обкладинці зазначаються прізвище та ініціали студента, повний шифр спеціальності, група, дата реєстрації, прізвище та ініціали викладача-рецензента;
- Вирішення всіх завдань і пояснення до них повинні бути достатньо докладними; обчислення і креслення - повними і акуратними.
- Для зручності рецензування рекомендується залишати поля;
- Номер контрольної роботи відповідає останній цифрі його навчального шифру.
Контрольна робота надається в деканат не пізніше 10 днів до початку сесії. При здачі заліку студент повинен дати пояснення до вирішеним завданням.
Рекомендована література:
1. Дослідження операцій в економіці: Учеб. посіб. / Під ред. Н. Ш. Кремера. / - М.: ЮНИТИ, 2000. - 407 с.
2. Практикум з вищої математики для економістів: Учеб. посібник для вузів / Кремер Н.Ш. та ін; під ред. проф. Н. Ш. Кремера - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2005. - 423 с.
3. Акулич І.Л. Математичне програмування в прикладах і завданнях: Навч. посіб. М..: Вища школа, 1986. - 319 с.
4. Морозов В.В., Сухарєв А.Т., Федоров В.В. Дослідження операцій у прикладах і задачах.: Учеб. посібник. М.: Вища школа, 1986. - 287 с.
5. Вентцель Є.С. Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія. Учеб. посібник для студентів втузів. - М.: Вища школа, 2001. - 208 с.
6. Замків О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.Н. Математичні методи в економіці: Підручник.2-е вид. - М.: МГУ ім. М.В. Ломоносова, Видавництво «Справа і Сервіс», 1999. - 368 с.
7. Монахов А.В. Математичні методи аналізу економіки. - Спб: Пітер, 2002. - 176 с.
8. Економіко-математичні методи і прикладні моделі: Учеб. посібник для вузів / В.В. Федосєєв, О.М. Гармаш, Д.М. Дайітбегов та ін, За ред. В.В. Федосєєва. - М.: ЮНИТИ, 1999. -391 С.
Глосарій термінів.
Адитивність - властивість величин, що складається в тому, що значення величини, відповідне цілого об'єкту, дорівнює сумі значень величин, що відповідають його частинам при будь-якому розбитті об'єкта на частини. Характеристика системи аддитивна, якщо вона дорівнює сумі тих же характеристик для всіх складових систему підсистем і елементів.
Адекватність моделі - її відповідність модельованого об'єкту або процесу. При моделюванні мається на увазі адекватність не взагалі, а за тими властивостями моделі, які для дослідження вважаються суттєвими.
Апроксимація - наближене вираження складної функції за допомогою більш простих, що часто значно спрощує рішення задачі.
Варіантні прогнози - прогнози, засновані на зіставленні різних варіантів можливого розвитку економіки при різних припущеннях щодо того, як буде розвиватися техніка, які будуть прийматися економічні заходи і т. д.
Векторна оптимізація - рішення задач математичного програмування, в яких критерій оптимальності являє собою вектор, компонентами якого є у свою чергу різні несвідомих один до одного критерії оптимальності підсистем, що входять у цю систему, наприклад критерії різних соціальних груп у соціально-економічному плануванні.
Верифікація імітаційної моделі - перевірка відповідності її поведінки припущеннями експериментатора.
Імовірнісна модель - модель, яка на відміну від детермінованої моделі містить випадкові елементи. Таким чином, при завданні на вході моделі деякої сукупності значень, на її виході можуть виходити розрізняються між собою результати залежно від дії випадкового фактора.
Взаємозамінність ресурсів - можливість використання різних ресурсів для досягнення оптимуму. Саме цим зумовлена ​​проблема вибору: там, де немає заменяемости, немає і вибору, і тоді фундаментальне поняття оптимальності втрачає сенс.
Генетичний прогноз («пошуковий») - прогноз, що показує, до яких станам прийде прогнозований об'єкт в заданий час за певних початкових умовах.
Глобальне моделювання або моделювання глобального розвитку - область досліджень, присвячена розробці моделей найбільш масштабних соціальних, економічних і екологічних процесів, що охоплюють земну кулю.
Градієнтні методи вирішення задач математичного програмування - методи, засновані на пошуку екстремуму (максимуму або мінімуму) функції шляхом послідовного переходу до нього за допомогою градієнта цієї функції.
Декомпозиційні методи вирішення оптимальних завдань - засновані на раціональному розчленування складного завдання і вирішенні окремих підзадач з подальшим погодженням частих рішень для отримання загального оптимального рішення.
Дескриптивна модель - модель, призначена для опису і пояснення спостережуваних фактів або прогнозу поведінки об'єктів - на відміну від нормативних моделей, призначених для знаходження бажаного стану об'єкта (наприклад, оптимального).
Детермінована модель - аналітичне подання закономірності, операції і т. п., при яких для даної сукупності вхідних значень на виході системи може бути отриманий єдиний результат. Така модель може відображати як ймовірнісну систему (тоді вона є деяким її спрощенням), так і детерміновану систему.
Детермінована система - така система, виходи якої (результати дії, кінцеві стани і т.п.) однозначно визначаються наданими на неї керуючими впливами.
Динамічна система - будь-яка система, яка змінюється в часі (на відміну від статичної системи). Математично це прийнято виражати через змінні (координати), що змінюються в часі. Процес зміни характеризується траєкторією (тобто наборами координат, кожна з яких є функцією часу).
Динамічні моделі міжгалузевого балансу - приватний випадок динамічних моделей економіки, засновані на принципі міжгалузевого балансу, в який додатково вводяться рівняння, що характеризують зміни галузевих зв'язків у часі.
Ітеративні (ітераційні) методи вирішення завдань - полягають в тому, що обчислювальний процес починають з деякого пробного (довільного) допустимого рішення, а потім застосовують алгоритм, що забезпечує послідовне поліпшення цього рішення.
Ітерація - повторне застосування математичної операції (із зміненими даними) при розв'язанні обчислювальних задач для поступове наближення до потрібного результату. Ітеративні розрахунки на ЕОМ характерні для вирішення економічних (особливо оптимізаційних та балансових) завдань. Чим менше потрібно перерахунків, тим швидше сходиться алгоритм.
Коефіцієнти прямих витрат (технологічні коефіцієнти) у міжгалузевому балансі - середні величини безпосередніх витрат продукції однієї галузі (в якості засобів виробництва) на випуск одиниці продукції іншій галузі. Вони можуть бути виражені в натуральній формі (кВт / год і т. д.) або вартісній (грн.).
Критерій оптимальності - показник, що виражає міру економічного ефекту прийнятого господарського рішення для порівняльної оцінки можливих рішень (альтернатив) і вибору найкращого з них (наприклад, максимум прибутку, мінімум трудових витрат, найкоротший час досягнення мети і т. д.)
Коефіцієнти повних матеріальних витрат у міжгалузевому балансі - середні витрати i-го продукту на виробництво кінцевого продукту j по всій ланцюга пов'язаних виробництв. Таким чином, вони складаються з прямих витрат кожної галузі на даний продукт і непрямих витрат.
Коефіцієнти прямих витрат (технологічні коефіцієнти) у міжгалузевому балансі - середні величини безпосередніх витрат продукції однієї галузі (в якості засобів виробництва) на випуск одиниці продукції іншій галузі. Вони можуть бути виражені в натуральній формі (кВт / год і т. д.) або вартісній (грн.).
Математичне програмування (оптимальне програмування) - область математики, що поєднує різні математичні методи і дисципліни: лінійне програмування, нелінійне програмування, динамічне програмування, опукле програмування та ін Загальна задача математичного програмування полягає в знаходженні оптимального (максимального чи мінімального) значення цільової функції, причому значення змінних повинні належати деякій області допустимих значень.
Матричні моделі - моделі, побудовані у вигляді таблиць (матриць). Вони відображають співвідношення між витратами на виробництво і його результатами, нормативи витрат, виробничу та економічну структуру господарства. Застосовуються в міжгалузевому балансі, матричному плані підприємства та ін
Машинна імітація - експериментальний метод вивчення об'єкта за допомогою електронних обчислювальних машин, Процес імітації полягає в наступному: спочатку будується математична модель досліджуваного об'єкта (імітаційна модель), потім ця модель перетворюється в програму роботи ЕОМ.
Міжгалузевий баланс (МОБ) - каркасна модель економіки, таблиця, в якій показуються різноманітні натуральні і вартісні зв'язку в народному господарстві. Аналіз МОБ дає комплексну характеристику процесу формування та використання сукупного суспільного продукту в галузевому розрізі.
Об'єктивно обумовлені (оптимальні) оцінки - одне з основних понять лінійного програмування. Це оцінки продуктів, ресурсів, робіт, що випливають з умов розв'язуваної оптимізаційної задачі. Їх називають також подвійними оцінками, вирішуючими множниками, множниками Лагранжа і цілим рядом інших термінів.
Обмеження моделі - запис умов, в яких дійсні розрахунки, що використовують цю модель. Зазвичай представляючи собою систему рівнянь і нерівностей, вони в сукупності визначають область допустимих рішень (припустиме безліч). Поширені лінійні і нелінійні обмеження (на графіку перший зображуються прямими, другі - кривими лініями).
Визначеність у системі - ситуація, коли є точна інформація про можливі станах системи у разі прийняття тих чи інших рішень.
Оптимальне планування - комплекс методів, що дозволяють вибрати з багатьох можливих (альтернативних) варіантів плану або програми один оптимальний варіант, тобто найкращий з точки зору заданого критерію оптимальності та певних обмежень.
Оптимальне програмування - застосування в економіці методів математичного програмування.
Оптимальне управління - основне поняття математичної теорії оптимальних процесів (що належить розділу математики під тією ж назвою: оптимальне управління); означає вибір таких керуючих параметрів, які забезпечували б найкраще, з точки зору заданого критерію, протікання процесу, або, інакше, найкраще поведінку системи, її розвиток до мети по оптимальній траєкторії.
Оптимізаційна задача - економіко-математична задача, мета якої полягає в знаходженні найкращого (з точки зору якогось критерію) розподілу наявних ресурсів. Вирішується за допомогою оптимізаційної моделі методами математичного програмування.
Оптимізація - 1) процес знаходження екстремуму функції, тобто вибір найкращого варіанта з безлічі можливих; 2) процес приведення системи в найкращий (оптимальний) стан. Черга - в теорії масового обслуговування - послідовність вимог або заявок, які, змусить систему обслуговування зайнята, не вибувають, а чекають її звільнення (потім вони обслуговуються в тому чи іншому порядку). Чергою можна назвати також і сукупність очікують (простоюють) каналів або засобів обслуговування.
Пасивний (безумовний) статистичний прогноз - прогноз розвитку, заснований на вивченні статистичних даних за минулий період і перенесення виявлених закономірностей на майбутнє. При цьому зовнішні фактори, що впливають на систему, приймаються незмінними і вважається, що її розвиток грунтується тільки на власних, внутрішніх тенденціях.
Граничні і приростні величини в економіці. Гранична величина характеризує не стан (як сумарна чи середня величини), а процес, зміна. Оскільки в економіці більшість процесів (наприклад, зростання виробництва або зміна його ефективності) є функціями низки аргументів (факторів), то граничні величини тут зазвичай виступають як приватні похідні процесу по кожному з факторів.
Прогнозування - система наукових досліджень якісного та кількісного характеру, спрямованих на з'ясування тенденцій розвитку народного господарства та пошук оптимальних шляхів досягнення цілей цього розвитку.
Прогнозування попиту - дослідження майбутнього (можливого) попиту на товари і послуги з метою кращого обгрунтування відповідних виробничих планів. Прогнозування поділяється на короткострокове (кон'юнктурне), середньострокове і довгострокове.
Виробнича функція - економіко-математичне рівняння, що зв'язує змінні величини витрат (ресурсів) з величинами продукції (випуску). Математично виробничі функції (ПФ) можуть бути представлені в різних формах - від настільки простих, як лінійна залежність результату виробництва від одного досліджуваного фактора, до дуже складних систем рівнянь, що включають рекурентні співвідношення, якими зв'язуються стану досліджуваного об'єкта в різні періоди часу. Широко поширені мультиплікативні форми ПФ.
Рівновага - стан економічної системи, що характеризується рівністю попиту і пропозиції всіх ресурсів.
Регресія - залежність середнього значення якої-небудь випадкової величини від деякої іншої величини або декількох величин. Розподіл цих значень називається умовним розподілом у при даному х. Множинна регресія в певних умовах дозволяє дослідити вплив причинних факторів.
Рекурсія - в ​​загальному сенсі обчислення функції за певним алгоритмом. Прикладами таких алгоритмів є рекурентні формули, що виводять обчислення заданого члена послідовності (найчастіше числовий) з обчислення кількох попередніх її членів.
Статистичне моделювання - спосіб дослідження процесів веління імовірнісних систем в умовах, коли невідомі внутрішні взаємодії в цих системах.
Стохастична імітація - вид машинної імітації, що відрізняється від детермінованої тим, що включає в модель в тому чи іншому вигляді випадкові збурення, що відображають імовірнісний характер, що моделюється.
Стійкість рішення - зазвичай, кажучи про стійкість рішення завдання, мають на увазі, що малі зміни будь-яких характеристик, наприклад, початкових умов, обмежень або цільового функціоналу, не призводять до якісної зміни рішення.
Цільова функція в екстремальних задачах - функція, мінімум або максимум якої потрібно знайти. Це ключове поняття оптимального програмування. Знайшовши екстремум цільової функції і, отже, визначивши значення керованих змінних, які k нього приводять, ми тим самим знаходимо оптимальне вирішення завдання.
Шкали - системи чисел чи інших елементів, прийнятих для оцінки або вимірювання будь-яких величин. Шкали використовуються для оцінки і виявлення зв'язків і відносин між елементами систем. Особливо широко їх застосування для оцінки величин, що виступають у ролі критеріїв якості функціонування систем, зокрема, критеріїв оптимальності при вирішенні економіко-математичних задач.
Практичне заняття.
Тема. Методи лінійної алгебри в економічному аналізі.
Мета. Рішення економічних задач з елементами моделювання, що спираються на базову основу лінійної алгебри.
1. Довідковий матеріал.
Поняття матриці часто використовується в практичній діяльності, наприклад, дані про випуск продукції декількох видів у кожному кварталі року або норми витрат декількох видів ресурсів на виробництво продукції кількох типів і т.д. зручно записувати у вигляді матриці.
Завдання 1. В деякій галузі m заводів випускають n видів продукції. Матриця задає обсяги продукції на кожному заводі в першому кварталі, матриця - Відповідно в другому; (а ij, в ij) - обсяги продукції j-го типу на i-му заводі в 1-м і 2-му кварталах відповідно:
; .
Знайти:
а) обсяги продукції;
б) приріст обсягів виробництва у другому кварталі порівняно з першим за видами продукції і заводам;
в) вартісне вираження випущеної продукції за півроку (у доларах), якщо λ - курс долара по відношенню до рубля.
Рішення:
а) Обсяги продукції за півріччя визначаються сумою матриць, тобто С = А + В = , Де з ij - обсяг продукції j-го типу, вироблений за півріччя i-м заводом.
б) Приріст у другому кварталі порівняно з першим визначається різницею матриць, тобто
Д = В-А = . Негативні елементи показують, що на даному заводі обсяг виробництва зменшився, позитивні - збільшився, нульові - не змінився.
в) Твір λC = λ (А + В) дає вираз вартості обсягів виробництва за квартал у доларах по кожному заводу і кожному підприємству.
Завдання 2. Підприємство виробляє n типів продукції, використовуючи m видів ресурсів. Норми витрат ресурсу i-го товару на виробництво одиниці продукції j-го типу задані матрицею витрат . Нехай за певний відрізок часу підприємство випустило кількість продукції кожного типу , Записане матрицею .
Визначити S - матрицю повних витрат ресурсів кожного виду на виробництво всієї продукції за даний період часу, якщо
, . Рішення. Матриця повних витрат ресурсів S визначається як добуток матриць, тобто S = AX.
, Тобто за даний період часу буде витрачено 930 од. ресурсу 1-го виду, 960 од. ресурсу 2-го виду, 450 од. ресурсу 3-го виду, 630 од. ресурсу 4-го виду.
Завдання 3. Завод виробляє двигуни, які можуть або відразу зажадати додаткового регулювання (у 40% випадків), або відразу можуть бути використані (у 60% випадків). Як показують статистичні дослідження, ті двигуни, які спочатку вимагали регулювання, зажадають додаткового регулювання через місяць в 65% випадків, а у 35% випадків через місяць будуть працювати добре. Ті ж двигуни, які не вимагали первісного регулювання, зажадають її через місяць у 20% випадків і продовжать добре працювати у 80% випадків. Яка частка двигунів, які будуть працювати добре або зажадають регулювання через 2 місяці після випуску? Через 3 місяці?
Рішення.
У момент після випуску частка хороших двигунів складає 0,6, а частка вимагають регулювання - 0,4. Через місяць частка хороших складе: 0,6. 0,8 +0,4. 0,35 = 0,62. Частка потребують регулювання: 0,6. 0,2 +0,4. 0,65 = 0,38. введемо рядок стану X t в момент t; X t = (x 1 t; x 2 t), де x 1 t - частка хороших двигунів, x 2 t - частка двигунів, що вимагають регулювання в момент t.
Матриця переходу , Де - Частка двигунів, які в даний час знаходяться в стані (1 - «хороший», 2 - «вимагає регулювання»), а через місяць - у стані .
Очевидно, що для матриці переходу сума елементів кожного рядка дорівнює 1, всі елементи ненегативні.
Очевидно,   = (0,6 0,4), .
Тоді через місяць ,
через 2 місяці ; Через 3 місяці .
Знайдемо матриці ;
.
Відзначимо, що якщо - Матриця переходу, то - Теж матриця переходу при будь-якому натуральному t. Тепер
,
.
Очевидно, .
Завдання 3. Фірма складається з двох відділень, сумарна величина прибутку яких в минулому році склала 12 млн. ум. од. На цей рік заплановано збільшення прибутків першого відділення на 70%, другого - на 40%. У результаті сумарний прибуток має зрости в 1,5 рази. Яка величина прибутку кожного з відділень: а) у минулому році, б) в поточному році?
Рішення.
Нехай і - Прибутки першого і другого відділень у минулому році. тоді умову задачі можна записати у вигляді системи: Вирішивши систему, одержимо Слідчий, а) прибуток у минулому році першого відділення -4 млн. ум. од., а другого - 8 млн. ум. од.; б) прибуток цього року першого відділення 1,7. 4 = 6,8 млн. ум. од., другого 1,4. 8 = 11,2 млн. ум. од.
2. Завдання для самостійної роботи.
2.1. Три заводи випускають чотири види продукції. Необхідно: а) знайти матрицю випуску продукції за квартал, якщо задані матриці помісячних випусків А 1, А 2, А 3, б) знайти матриці приростів випуску продукції за кожний місяць 1 і В 2 і проаналізувати результати:
; ; .
2.2. Підприємство виробляє меблі трьох видів і продає її в чотирьох регіонах. Матриця задає ціну реалізації одиниці меблів i-го типу в j-му регіоні. Визначити виручку підприємства у кожному регіоні, якщо реалізація меблів за місяць задана матрицею .
2.3. За умовою задачі 2 визначити: 1) повні витрати ресурсів 3-х видів на виробництво місячної продукції, якщо задані норми витрат матрицею і обсяг випуску кожного з двох типів продукції ;
2) вартість усіх витрачених ресурсів, якщо задана вартість одиниць кожного ресурсу .
2.4. У ремонтну майстерню надходять телефонні апарати, 70% яких вимагають малого ремонту, 20% - середнього ремонту, 10% - складного ремонту. Статистично встановлено, що 10% апаратів пройшли малий ремонт, через рік вимагають малого ремонту, 60% - середнього, 30%-складного ремонту. З апаратів, що пройшли середній ремонт, 20% вимагають через рік малого ремонту, 50% - середнього, 30% - складного ремонту. З апаратів, що пройшли складний ремонт, через рік 60% вимагають малого ремонту, 40% - середнього. Знайти частки з відремонтованих на початку року апаратів, які будуть вимагати ремонту того чи іншого виду: через 1 рік; 2 роки; 3 роки.
Практичне заняття.
Тема. Методи математичного аналізу для побудови моделей СЕП.
Мета. Рішення економічних задач з елементами моделювання, у яких застосовуються методи математичного аналізу.
1. Довідковий матеріал.
Функції знаходять широке застосування в економічній теорії та практиці. Спектр використовуваних в економіці функцій досить широкий: від найпростіших лінійних до функцій, одержуваних за певним алгоритмом за допомогою рекурентних співвідношень, що зв'язують стану досліджуваних об'єктів у різні періоди часу.
Найбільш часто використовувані в економіці наступні функції:
1. Функція корисності (функція переваги) - залежність результату, ефекту деякої дії від рівня (інтенсивності) цієї дії.
2. Виробнича функція - залежність результату виробничої діяльності від зумовили його чинників.
3. Функція випуску - залежність обсягу виробництва від наявності або споживання ресурсів.
4. Функція витрат - залежність витрат виробництва від обсягу продукції.
5. Функції попиту, споживання і пропозиції - залежність обсягу попиту, споживання або пропозиції на окремі товари або послуги від різних факторів (наприклад, ціни, доходу тощо).
Враховуючи, що економічні явища і процеси обумовлюються дією різних факторів, для їх досліджень широко використовуються функції декількох змінних. Серед цих функцій виділяють мультиплікативні функції, що дозволяють представити залежну змінну у вигляді твору факторних змінних, що звертають його в нуль при відсутності дії хоча б одного фактора.
Використовуються також сепарабельним функції, які дають можливість виділити вплив різних чинників змінних на залежну змінну, і зокрема, адитивні функції, що представляють одну і ту ж залежну змінну як при сумарному, але роздільному впливі декількох факторів, так і при одночасному їх впливі.
Крім геометричного і механічного існує ще й економічний зміст похідної. По-перше, похідна обсягу виробленої продукції по часу є продуктивність праці в момент . По-друге, існує ще одне поняття, що характеризує економічний зміст похідної. Якщо витрати виробництва y розглядати як функцію кількості продукції, що випускається x, - Приріст продукції, - Приріст витрат виробництва, а - Середнє прирощення витрат виробництва на одиницю продукції, тоді похідна рівна висловлює граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.
Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількості випущеної продукції) x і визначаються не постійними виробничими витратами, а лише змінними (на сировину, паливо ит.п.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична корисність і др.предельние величини.
Граничні величини характеризують не стан, а процес, тобто зміна економічного об'єкта. Таким чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або відносно іншого досліджуваного фактора. Слід врахувати, що економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох об'єктів економічних розрахунків та перервності (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних і т.д.). Разом з тим у ряді випадків можна відволіктися від дискретності показників і ефективно граничні величини.
Для дослідження економічних процесів та вирішення прикладних завдань часто використовується поняття еластичності функції.
Еластичністю функції називається границя відношення відносного приросту функції y до відносного приросту змінної x при :
. (1)
Еластичність функції показує наближено, на скільки відсотків зміниться функція y = f (x) при зміні незалежної змінної x на 1%. Це міра реагування однієї змінної величини на зміну іншої.
Відзначимо властивості еластичності функції.
1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної x на темп зміни функції , Тобто .
2. Еластичність твору (приватного) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій: , .
Еластичність функцій застосовується при аналізі попиту і споживання. Наприклад, еластичність попиту y щодо ціни x - коефіцієнт, що визначається за формулою (1) і показує наближено, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг споживання) при зміні ціни (або доходу) на 1%.
Якщо еластичність попиту (за абсолютною величиною) , То попит вважають еластичним, якщо - Нейтральним, якщо - Нееластичним щодо ціни (або доходу).
У практичній діяльності часто доводиться стикатися з такими завданнями, які раціонально вирішувати методами математичного аналізу. Це завдання на знаходження обсягу продукції при відомому значенні прибутку, визначенні рівня споживання товарів при відомому доході, визначення моменту часу рентабельності виробництва, визначення розмірів вкладу при відомих початкових вкладень і т.п.
Завдання 1. Витрати y (в крб.) На виготовлення партії деталей визначаються за формулою , Де - Обсяг партії. Для першого варіанту технологічного процесу . Для другого варіанту відомо, що (Руб.) при (Дет.) і (Руб.) при (Дет.). Провести оцінку двох варіантів технологічного процесу і знайти собівартість продукції для обох варіантів при (Дет.)
Рішення.
Для другого варіанту визначаємо параметри і з системи рівнянь:
звідки і , Тобто .
Точка (х 0, y 0) перетину двох прямих знаходиться із системи їх рівнянь:
звідки , . Очевидно, при обсязі партії вигідніше другий варіант технологічного процесу, при - Перший варіант. Собівартість продукції (руб.) при за першим варіантом складає , А по другому - .
Завдання 2. Постійні витрати складають 125 тис.руб. на місяць, а змінні витрати - 700 руб. за кожну одиницю продукції. Ціна одиниці продукції 1200 руб. Знайти об'єм продукції , При якому прибуток дорівнює: а) нулю (точка беззбитковості), б) 105 тис.руб. в місяць.
Рішення:
а) Витрати виробництва одиниць продукції складуть: (Тис.руб.). Сукупний дохід (виручка) від реалізації цієї продукції , А прибуток (Тис.руб.). Точка беззбитковості, в якій , Дорівнює (Од.).
б) Прибуток (Тис.руб.), Тобто при (Од.).
Завдання 3. Тривалість виконання (Мін.) при повторних операціях пов'язані з числом цих операцій залежністю . Обчислити, скільки хвилин виконується робота при 50 операціях, якщо відомо, що при , А при .
Рішення. Знайдемо параметри і , Враховуючи, що , . Отримуємо систему: розв'язуючи яку знайдемо , .
Отже, при , (Мін.)
Завдання 4. Обсяг продукції u, вироблений бригадою робочих, може бути описаний рівнянням (Од.), , Де t - робочий час у годинах. Обчислити продуктивність праці, швидкість і темп її зміни через годину після початку роботи і за годину до її закінчення.
Рішення. Продуктивність праці виражається похідною (Од / год), а швидкість і темп зміни продуктивності - відповідно похідної і логарифмічною похідною : (Од. / год 2),
(Од. / год).
У задані моменти часу і відповідно маємо: z (t) = 112,5 (од. / год), z '(t) =- 20 (од. / год 2), T z (7) =- 0,24 (од. / год) .
Отже, до кінця роботи продуктивність праці істотно знижується, при цьому зміна знака z '(t) і T z (t) з плюса на мінус свідчить про те, що збільшення продуктивності праці в перші години робочого дня змінюється її зниженням в останні години.
Завдання 5. Дослідним шляхом встановлено функції попиту та пропозиції , Де q і   s - кількість товару, відповідно що купується і пропонується на продаж в одиницю часу, p - ціна товару.
Знайти: а) рівноважну ціну, т.е.цену при якій попит дорівнює пропозиції;
б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни;
в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноважної.
Рішення. А) Рівноважна ціна знаходиться з умови q = s, тоді , Звідки p = 2, тобто рівноважна ціна 2 ден.ед.
б) Знайдемо еластичність по попиту і пропозиції за формулою (1)
.
; . Для рівноважної ціни p = 2 маємо ; . Так як отримані значення еластичності за абсолютною величиною менше 1, то і попит і пропозиція даного товару при рівноважної (ринкової) ціною нееластичні щодо ціни. Це означає, що зміна ціни не призведе до різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни p на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.
в) При збільшенні ціни p на 5% від рівноважної попит зменшиться на 5. 0,3 = 1,5%, отже, дохід зросте на 3,5%.
Завдання 6. Залежність між витратами виробництва y і обсягом продукції, що випускається x виражається функцією (Ден.ед.). Визначити середні і граничні витрати при об'ємі продукції 10 од.
Рішення. Функція середніх витрат виражається співвідношенням ; При x = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють (Ден. од.). Функція граничних витрат виражається похідною ; При x = 10 граничні витрати складуть (Ден.ед.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 ден.ед., то граничні витрати, тобто додаткові витрати на виробництво додаткової одиниці продукції при даному рівні виробництва (обсязі продукції, що випускається 10 од.), становлять 35 ден.ед.
Завдання 7. З'ясувати, чому дорівнюють граничні і середні повні витрати підприємства, якщо еластичність повних витрат дорівнює 1?
Рішення. Нехай повні витрати підприємства y виражаються функцією , Де x - обсяг продукції, що випускається. Тоді середні витрати y 1 на виробництво одиниці продукції . Еластичність приватного двох функції дорівнює різниці їх еластичностей, тобто .
За умовою , Отже, . Це означає, що зі зміною обсягу продукції середні витрати на одиницю продукції не змінюються, тобто , Звідки .
граничні витрати підприємства визначаються похідної . Отже, тобто граничні витрати дорівнюють середнім витратам (одержане твердження справедливе лише для лінійних функцій витрат).
2. Завдання для самостійної роботи.
2.1. Витрати перевезення двома видами транспорту виражаються рівняннями: і , Де - Відстані за сотні кілометрів, - Транспортні витрати. Починаючи з якої відстані більш економічний другий вид транспорту?
2.2. Знаючи, що зміна обсягу виробництва зі зміною продуктивності праці відбувається по прямій лінії, скласти її рівняння, якщо при = 3 = 185, а при = 5 = 305. Визначити обсяг виробництва при = 20.
2.3. Підприємство купило автомобіль вартістю 150 тис.руб. Щорічна норма амортизації становить 9%. Вважаючи залежність вартості автомобіля від часу лінійної, знайти вартість автомобіля через 4,5 року.
2.4. Залежність рівня споживання деякого виду товарів від рівня доходу сім'ї виражається формулою: . Знайти рівень споживання товарів при рівні доходу сім'ї 158 ден.ед. Відомо, що при = 50 = 0; = 74 = 0,8; = 326 = 2,3.
2.5. Банк виплачує щорічно 5% річних (складний відсоток). Визначити: а) розмір внеску через 3 роки, якщо первісний внесок склав 10 тис. руб.; Б) розмір первинного внеску, при якому через 4 роки внесок (разом з процентними грошима) складе 10 000 руб.
Зазначення. Розмір внеску через t років визначається за формулою , Де p-процентна ставка за рік, Q 0-початковий внесок.
2.6. Витрати на виробництво продукції (Тис.руб.) Виражаються рівнянням , Де -Кількість місяців. Дохід від реалізації продукції виражається рівнянням . Починаючи з якого місяця виробництво буде рентабельним?
2.7. Залежність між собівартістю одиниці продукції y (Тис. крб.) Та випуском продукції x (млрд.руб.) Виражається функцією . Знайти еластичність собівартості при випуску продукції, що дорівнює 60 млрд.руб.
Практичне заняття.
Тема. Граничний аналіз економічних процесів.
Мета. Розглянути застосування математичних методів для знаходження граничних величин в оптимізаційних задачах.
1.Справочний матеріал.
Функція витрат С (х) визначає витрати, необхідні для виробництва x одиниць даного продукту. Прибуток , Де D (x) - дохід від виробництва x одиниць продукту.
Середні витрати A (x) при виробництві x одиниць продукту є . Граничні витрати .
Оптимальним значенням випуску для виробника є те значення x одиниць продукту, при якому прибуток P (x) виявляється найбільшою.
Завдання 1. Функція витрат має вигляд . На початковому етапі фірма організовує виробництво так, щоб мінімізувати середні витрати A (x). У подальшому на товар встановлюється ціна, що дорівнює 4 ум.од. за одиницю. На скільки одиниць товару фірмі слід збільшити випуск?
Рішення. Середні витрати приймають мінімальне значення при x = 10. Граничні витрати . При сталій ціні оптимальне значення P (x) випуску задається умовою максимізації прибутку: , Тобто 4 = M (x), звідки . Таким чином, виробництво слід збільшити на 10 одиниць.
Завдання 2. Визначити оптимальне для виробника значення випуску x 0, за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною за одиницю p = 14, якщо відомий вид функції витрат .
Рішення. За формулою прибутку отримуємо, .
Знаходимо похідну прибутку за обсягом: , Тоді х опт = 2.
Завдання 3. Знайти максимальний прибуток, яку може отримати фірма виробник, за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною за одиницю р = 10,5 і функція витрат має вигляд .
Рішення. Знаходимо значення прибутку .
Похідна прибутку за обсягом має вигляд: . Тоді , . .
2. Завдання для самостійної роботи.
2.1 Визначити оптимальне для виробника значення випуску x 0, за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною за одиницю p = 8 і відомий вид функції витрат .
2.2 Знайти максимальний прибуток, яку може отримати фірма-виробник, за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною за одиницю p = 40 і відомий вид функції витрат .
2.3 При виробництві монополією x одиниць товару за одиницю . Визначити оптимальне для монополії значення випуску x 0 (Передбачається що весь вироблений товар реалізується), якщо витрати мають вигляд .
2.4 Функція витрат має вигляд . Дохід від реалізації одиниці продукції дорівнює 50. Знайти максимальне значення прибутку, яке може отримати виробник.
2.5 На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, причому функція витрат має вигляд . Надалі ціна на одиницю товару встановлюється рівною р = 37. На скільки одиниць товару фірмі слід збільшити випуск? На скільки при цьому зміняться середні витрати?
Завдання для контрольної роботи.
Завдання 1.
Дано залежності попиту D (p) і пропозиції S (p) від ціни.
Знайдіть: 1) рівноважну ціну і виручку при рівноважній ціні;
2) ціну, при якій виручка максимальна і саму цю
максимальну виручку.
Побудувати графік залежностей.
Завдання 2.
Розглядається ринок з трьома учасниками, у кожного з яких одна й та ж функція корисності . Нехай початкова майно 1-го, 2-го і 3-го учасників задані векторами, а ціни на ринку такі р = 1, р = 2, р = 3.
Перевірити: 1) равновесно чи положення;
2) чи виконується закон Вальраса про надмірному попиті:
P. I (p) = 0
Завдання 3.
Нехай модель Леонтьєва задана матрицею А.
Знайти об'єм виробництва, що забезпечує вектор споживання У.
№ варіанту
1 завдання
2 завдання
3 завдання
1
D = 1000-10p
S = 100 +10 p
(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)

2
D = 800-10p
S = 200 +10 p
(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)

3
D = 1000-20p
S = 70 +10 p
(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)

4
D = 400-20p
S = 70 +10 p
(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)

5
D = 600-8p
S = 120 +8 p
(5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5)

6
D = 400-5p
S = 100 +5 p
(6,2,3), (2,3,6), (3,6,5)

7
D = 500-5p
S = 50 +5 p
(4,2,3), (4,3,4), (4,4,5)

8
D = 200-10p
S = 35 +5 p
(4,2,3), (5,3,4), (6,4,2)

9
D = 500-10p
S = 50 +5 p
(3,2,3), (4,3,4), (3,5,2)

10
D = 300-4p
S = 60 +4 p
(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)

11
D = 600-8p
S = 120 +8 p
(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)

12
D = 400-5p
S = 100 +5 p
(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)

13
D = 1000-10p
S = 100 +10 p
(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)

14
D = 1000-20p
S = 70 +10 p
(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)

15
D = 800-10p
S = 200 +10 p
(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)

16
D = 400-20p
S = 70 +10 p
(4,2,3), (4,3,4),
(4,4,5)

17
D = 500-5p
S = 50 +5 p
(3,2,3), (4,3,4),
(3,5,2)

18
D = 200-10p
S = 35 +5 p
(3,2,3), (2,4,6),
(6,4,6)

19
D = 300-4p
S = 60 +4 p
(2,2,3), (2,4,5),
(6,6,6)

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Практична робота | 149.4кб. | скачати

Схожі роботи:
Економіко математичні методи і моделі 4
Економіко математичні методи і моделі 3
Економіко математичні методи і прикладні моделі 2
Економіко математичні методи і прикладні моделі
Детерміновані економіко математичні моделі та методи факторного аналізу
Багатофакторні економіко-математичні моделі прогнозування інфляції
Економіко математичні моделі управління інвестиційним портфелем
Економіко математичні методи
Економіко математичні методи 3
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru