додати матеріал


Економіко математичне моделювання аналізу ресурсів

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

1. Деяка фірма випускає два набори добрив для газонів: звичайний і поліпшений. У звичайний набір входить 3 кг азотних, 4 кг фосфорних і 1 кг калійних добрив, а в покращений - 2 кг азотних, 6 кг фосфорних і 3 кг калійних добрив. Відомо, що для деякого газону потрібно щонайменше 10 кг азотних, 20 кг фосфорних і 7 кг калійних добрив. Звичайний набір коштує 3 ден. Од., А поліпшений - 4 ден. Од. які і скільки наборів добрив потрібно купити, щоб забезпечити ефективне живлення грунту і мінімізувати вартість?
Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на максимум, і чому?
Рішення:
Умова задачі:
вартість
3
4
Склад добрива
Кількість добрив
Необхідний мінімум
звичайне
покращене
Азотне
3
2
10
Фосфорна
4
6
20
Калійне
1
3
7
1 складемо математичну модель:
Позначимо через x j кількість кг добрива
x 1 - кількість кг звичайного добрива;
x 2 - кількість кг поліпшеного добрива.
Мета - найменша вартість добрива,
F = 3x 1 +4 x 2 → min
Обмеження:
За азотним добривам1 +2 х 2 ≥ 10
За фосфорним добривам 4х 1 +6 х 2 ≥ 20
За калійним добривам 1х 1 +3 х 2 ≥ 7
За змістом х 1 ≥ 0 х 2 ≥ 0
Вирішимо графічним способом.
Перше обмеження (по азоту) має вигляд 3х 1 +2 х 2 ≥ 10 знайдемо перетин з осями координат, тобто 3х 1 +2 х 2 = 10 - l 1
Х1
0
10 / 3
Х2
5
0
0 <10, вірно, вибираємо полуплоскость у напрямку до (.) Про
Друге обмеження 4х 1 +6 х 2 = 20 - l 2
Х1
0
5
Х2
10 / 3
0
0 <20, вірно, вибираємо полуплоскость у напрямку до (.) Про
Третє обмеження х 1 +3 х 2 = 7 - l 3
Х1
0
7
Х2
7 / 3
0
0 <7 вірно, вибираємо полуплоскость у напрямку до (.) Про
Для визначення напрямку руху до Оптиму побудуємо вектор - градієнта ЇС (з 1; с 2), координати якого є приватними похідними цільової функції, тобто з (3, 4).
Побудуємо лінію рівня l 0, прирівняємо цільову функцію до 0
1 +4 х 2 = 0
Х1
0
-4
Х2
0
0
Пересуваючи лінію рівня l0 в напрямку зворотному напрямку вектора - градієнта, т. до завдання на мінімум, досягнемо мінімальну точку цільової функції. Знайдемо координати цієї точки, вирішуючи систему з двох рівнянь прямих, що дають в перетині точку мінімуму:
(.) А = l 1 ∩ l 3
1 +2 х 2 = 10, * 3 «-»
1 +6 х 2 = 20
1 = 10
х 1 = 2
Підставимо в перше рівняння 3 * 2 +2 х 2 = 10,
2 = 10-6,
2 = 4,
х 2 = 2.
Fmin = 3 * 2 +4 * 2 = 6 +8 = 14 ден. од.
Графік:
\ S
Відповідь: щоб забезпечити ефективне живлення грунту при мінімізованої вартості, яка склала 14 ден од, необхідно купити 2 набору звичайного добрива і 2 набору поліпшеного. Якщо це завдання вирішувати на максимум, то завдання не має рішення, оскільки цільова функція не обмежена зверху, тобто Fmax = + ∞
2. Для виготовлення чотирьох видів продукції використовують три види сировини. Запаси сировини, норми його витрати і ціни реалізації одиниці кожного виду продукції наведені в таблиці.
тип сировини
норма витрат сировини на один виріб
запаси сировини
А
Б
У
Г
1
2
1
3
2
200
2
1
2
4
8
160
3
2
4
1

170
ціна виробу
5
7
3

Потрібно:
1. Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорії двоїстості.
3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
§ Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідного завдання;
§ Визначити, як змінюється виручка від реалізації продукції і план її випуску при збільшенні запасів сировини 1 і2 виду на 8 і 10 одиниць відповідно і зменшення на 5 одиниць запасів сировини 3 види;
§ Оцінити доцільність включення в план виробу Д ціною 10 одиниць, на виготовлення якої витрачається по дві одиниці кожного виду сировини.

Рішення:
Сформулюємо економіко - математичну модель задачі.
Змінні:
х 1 - кількість одиниць продукції А,
х 2 - кількість одиниць продукції Б,
х 3 - кількість одиниць продукції В,
х 4 - кількість одиниць продукції Г.
Цільова функція: F = 5х 1 +7 х 2 +3 х 3 +6 х 4 → max,
Мета максимізувати виручку від реалізації готової продукції
Обмеження:
По 1 типу ресурсу: 2х 1 + х 2 +3 х 3 +2 х 4 ≤ 200,
По 2 типу ресурсу: х 1 +2 х 2 +4 х 3 +8 х 4 ≤ 160,
По 3 типу ресурсу: 2х 1 +4 х 2 + х 3 + х 4 ≤ 170,
За змістом х 1; х 2; х 3; х 4 ≥ 0.
Рішення завдання виконаємо за допомогою надбудови Excel Пошук Рішення. Вибираємо результат пошуку рішення у формі звіту Стійкості.
Отримане рішення означає, що максимальну виручку 460 ден од, можемо отримає при випуски 80 од продукції А та 10 од продукції Г. При це ресурси 2 і 3 типи будуть використовуватися повністю, а з 200 од сировини 1 типу буде використовуватися 180 од сировини.
Сформулюємо економіко-математичну модель двоїстої задачі
Змінні:
у1-двоїста оцінка ресурсу 1 типу, або ціна 1 ресурсу,
у2-двоїста оцінка ресурсу 2 типу, або ціна 2 ресурсу,
у3-двоїста оцінка ресурсу 3 типи, або ціна 3 ресурсу.
Цільова функція двоїстої задачі: необхідно знайти такі «ціни» у на ресурси, щоб загальна вартість використовуваних ресурсів була мінімальною. G = b 1 * y 1 + b 2 * y 2 + ... → min
G = 200У один +160 у 2 +170 у 3 → min
Обмеження:
Ви вихідної задачі чотири змінних, отже в двоїстої задачі чотири обмежувальних.
a 11 * y 1 + a 12 * y 2 + ... ≥ c 1
a 12 * y 1 + a 22 * y 2 + ... ≥ c 2
по виду продукції А: 2у 1 + у 2 +2 у 3 ≥ 5,
по виду продукції Б: у 1 +2 у 2 +4 у 3 ≥ 7,
за видом продукції В: 3у 1 +4 у 2 + у 3 ≥ 3,
за видом продукції Г: 2у 1 +8 у 2 + у 3 ≥ 6
за змістом у 1; у 2; у 3 ≥ 0
Знайдемо оптимальний план двоїстої задачі, використовуючи теореми подвійності:
По 2 теоремі-y i * (Σa ij * x j-b i) = 0 і x j (Σa ij * y i-c j) = 0,
у 1 * (2х 1 + х 2 +3 х 3 +2 х 4 -200) = 0 → у 1 (2 * 80 +0 +3 * 0 +2 * 10-200) = 0 180 <200, то у 1 = 0
у 2 *1 +2 х 2 +4 х 3 +8 х 4 -160) = 0 → у 2 (80 +2 * 0 +4 * 0 +8 * 10-160) = 0,
у 3 * (2х 1 +4 х 2 + х 3 + х 4 -170) = 0 → у 3 * (2 * 80 +4 * 0 +0 +10-170) = 0.
У нашій задачі х1 = 80> 0 і х4 = 10> 0, тому перше і четверте обмеження двоїстої задачі звертаються в рівність:
1 + у 2 +2 у 3 = 5,
2у1 +8 у 2 + у 3 = 6,
у 1 = 0,
у 2 +2 у 3 = 5,
2 + у 3 = 6,

Висловимо через у 2 = 5-2у 3,
8 * (5-2у 3) + у 3 = 6,
40-16У 3 + у 3 = 6
-15у 3 =- 34,
у 3 = 34/15,
у 2 = 5-2 * 34/15 = 7 / 15,
у 1 = 0; у 2 = 7 / 15; у 3 = 34/15
G = 200 * 0 +160 * 7 / 15 +170 * 34/15 = 460
Перевіримо виконуваність перший теореми подвійності:
Fmax = Gmin = 460
У нашій задачі в план випуску не увійшла продукція Б і В, тому що витрати по них перевищують ціну на 3 ден од (10-7 = 3) і 1,133 ден од (4,1333-3 = 1,133) відповідно.
Підставимо в обмеження двоїстої задачі оптимальні значення в:
2 * 0 +7 / 15 +2 * 34/15 = 5 = 5,
0 +2 * 7 / 15 +4 * 34/15 = 10 ≥ 7,
3 * 0 +4 * 7 / 15 +34 / 15 = 4,133 ≥ 3,
2 * 0 +8 * 7 / 15 +34 / 15 = 6 = 6.
Так як запас ресурсів 1, 2 типу сировини змінюватися на 8 і 10 одиниці (збільшитися) і 3 типу зменшуватися на 5 одиниць. З теореми про оцінки відомо, що коливання величини b i призводить до збільшення або зменшення F.
F = Δb i * y i
F = 8 * 0 +10 * 7 / 15 + (-5) * 34/15 =- 6,667, отже, збільшення запасів ресурсів 1 і 2 типу на 8 та 10 од. і зменшення 3 типи на 5 од призведе до зменшення значення цільової функції на -6,667 ден од.
За умовами задачі для виготовлення виробів Д використовується:
Сировина 1 типу а * 1 = 2,
Сировина 2 типу а * 2 = 2,
Сировина 3 типи а * 3 = 2
Очікуваний прибуток від даного вироби Д з *= 10 ден од.
Для оцінки доцільності продукту Д, розрахуємо чистий дохід
е = з *- Σа * i * y i
е = 10 - (2 * 0 +2 * 7 / 15 +2 * 34/15) = 4,533
отже, доцільно включати в план виріб Д, тому що е = 4,533> 0.
3. Промислова група підприємств (холдинг) випускає продукцію трьох видів, при цьому кожна з трьох підприємств групи спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції першого виду, друге підприємство - продукції другого виду, третє підприємство - продукції третього виду. Частина продукції, що випускається споживається підприємствами холдингу (йде на внутрішнє споживання) решта постачається за його межі (зовнішнім споживачами, є кінцевим продуктом). Фахівцями керуючої компанії отримані економічні оцінки a ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) елементів технологічної матриці А (норм витрати, коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) та елементів уi вектора кінцевої продукції У.
Потрібно:
1. Перевірити продуктивність технологічної матриці А = (а ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).
2. Побудувати баланс (заповнити таблицю) виробництва та розподілу продукції підприємств холдингу.
підприємства
коефіцієнти прямих витрат
кінцевий продукт
1
2
3
1
0,2
0,1
0,2
150
2
0
0,1
0,2
180
3
0,1
0
0,1
100
Рішення:
Знайдемо продуктивність А за допомогою достатньої умови | | A | | max (0,3; 0,2; 0,5) = 0,5 <1
Отже матриця А продуктивна
Підготуємо таблицю матричного балансу
підприємства
кінцевий
валів. пр
1
2
3
1
50,22293
23,08917
27,80255
150
251,1146
2
0
23,08917
27,80255
180
230,8917
3
25,11146
0
13,90127
100
139,0127
ум. ч. пр.
175,7803
184,7134
69,50637
430 = 430
вал. вип
251,1146
230,8917
139,0127
621,0191 = 621,0191
Використовуємо співвідношення Х = (Е-А) '* У, отримане у відповідність моделі Леонтьєва для визначення валового випуску для цього знайдемо: (Е-А)' - матрицю повних витрат (Е - одинична матриця),
1
0
0
Е = 0
1
0
0
0
1

1
0
0
0,2
0,1
0,2

0,8
-0,1
-0,2
Е-А =
0
1
0
-
0
0,1
0,2
=
0
0,9
-0,2
0
0
1
0,1
0
0,1
-0,1
0
0,9

Знайдемо обернену матрицю (Е-А) 'використовуючи функцію в Excel (fx / математична / МОБР),
1,289809
0,143312
0,318471
(Е-А) '=
0,031847
1,11465
0,254777
0,143312
0,015924
1,146497
Знайдемо величини валової продукції, використовуючи в Excel (fx / математична / МУМНОЖ)

1,289809
0,143312
0,318471
150
251,1146
(EA) '* Y =
0,031847
1,11465
0,254777
*
180
=
230,8917
0,143312
0,015924
1,146497
100
139,0127
Розрахуємо величини виробничих витрат за формулою
X ij = a ij * x j
aij-технологічна матриця
xj-рядок валового випуску,
Х11 = 0,2 * 251,1146 = 50,22293
Х12 = 0,1 * 230,8917 = 23,08917
Х13 = 0,2 * 139,0127 = 27,80255
Х21 = 0 * 251,1146 = 0
Х22 = 0,1 * 230,8917 = 23,08917
Х23 = 0,2 * 139,0127 = 27,80255
Х31 = 0,1 * 251,1146 = 25,11146
Х32 = 0 * 230,8917 = 0
Х33 = 0,1 * 139,0127 = 13,90127
Для розрахунку величин умовно чистої продукції використовуємо співвідношення балансу для виробництва:
Z = xj-Σxij
xij - за стовпцем
Z1 = 251.1146-(50.22293 +0 +25.11146) = 175.7803
Z2 = 230.8917-(23.08917 +23.08917 +0) = 184.7134
Z3 = 139.0127-(27.80255 +27.80255 +13.90127) = 69.50637
Перевіримо баланс кінцевої і умовно чистої продукції
ΣY I = ΣZ J , ΣX i = ΣX j,
Z = 175.7803 +184.7134 +69.50637 = 430 = Y = 150 +180 +100 = 430
Xi = 251.1146 +230.8917 +139.0127 = 621.0191 = Xj = 251.1146 +230.8917 +139.0127 = 621.0191
Заповнюємо таблицю, підготовлену вище, матричного балансу отриманими даними.
4. Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався попит У (t) (млн. крб.) На кредитні ресурси фінансової компанії. Часовий ряд Y (t) цього показника наведено в таблиці.
Тижня
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Попит на кредитні ресурси
3
7
10
11
15
17
21
25
23
Потрібно:
1. Перевірити наявність аномальних спостережень.
2. Побудувати лінійну модель Y (t) = a 0 + a 1 t параметри якої оцінити МНК (Y (t) - розрахункові, змодельовані значення часового ряду).
3. Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості та відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R \ S-критерію взяти табульований кордону 2,7-3,7).
4. Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.
5. По двох побудованим моделям здійснити прогноз попиту на наступні два тижні (довірчий інтервал прогнозу розраховувати при довірчій імовірності р = 70%)
6. Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування представити графічно.

Рішення:
Тижня
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Попит на кредитні ресурси
3
7
10
11
15
17
21
25
23
Побудуємо графік:
\ S
Перевіримо на анормальность - 9 тиждень, у 9 = 23
Решта спостереження
Тижня
1
2
3
4
5
6
7
8
Попит на кредитні ресурси
3
7
10
11
15
17
21
25
Для решти розрахуємо: у сер - середнє значення; S y - середньо квадратичне відхилення, використовуючи функції Excel;
Обчислимо статистику Стьюдента - t наб = | y *- y ср | / S y
у сер = 13,625 (fx / статистичні / СРЗНАЧ)
Sy = 6,836254457 (fx / статистична / СТАНДОТКЛОН)
При L = 5%, K = n-2 = 9-2 = 7,
t кр = 2,36462256 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР)
t наб = | 23-13,625 | / 6,84 = 1,371364986
t наб = 1,37 <t кр = 2,36
Отже, бачимо у 9 не є аномальною і не вимагає заміни.
За допомогою програми РЕГРЕСІЇ (в Excel сервіс / аналіз даних / регресу) розрахуємо і отримаємо:
Регресійна статистика
Множинний R
0,983716989
R-квадрат
0,967699115
Нормований R-квадрат
0,963084703
Стандартна помилка
1,444200224
Спостереження
9
Дисперсійний аналіз
df
SS
MS
F
Значимість F
Регресія
1
437,4
437,4
209,7123
1,78531 E-06
Залишок
7
14,6
2,085714286
Разом
8
452
Коефіцієнти
Стандартна помилка
t-статистика
P-Значення
Нижні 95%
Верхні 95%
Нижні 95,0%
Верхні 95,0%
Y-перетин
1,166667
1,049187
1,111971949
0,302876
-1,31426491
3,648
-1,3143
3,6475982
Змінна X 1
2,7
0,186445
14,48144774
1,79 E-06
2,259126889
3,141
2,25913
3,1408731
ВИСНОВОК ЗАЛИШКУ
Спостереження
Передбачене Y
Залишки
1
3,866667
-0,866666667
2
6,566667
0,433333333
3
9,266667
0,733333333
4
11,96667
-0,966666667
5
14,66667
0,333333333
6
17,36667
-0,366666667
7
20,06667
0,933333333
8
22,76667
2,233333333
9
25,46667
-2,466666667

Модель побудована, її рівняння у t = a + b * t, t-момент часу, у t - теоретичне моделювання значення У, а, b-коефіцієнти моделі
a = 1.166666667, b = 2.7, отже у t = 1,166666667 +2,7 t
коефіцієнт регресії b = 2,7, тобто з кожним роком попит на кредитні ресурси фінансової компанії в середньому зростають на 2,7 млн. руб.
Розглянемо стовпець Залишки і побудуємо з допомогою «майстер діаграм» в Excel графік залишків:

1 підрахуємо кількість поворотних точок р для рядів залишків - р = 5
2 критичну кількість визначимо формулою - р кр = [2 * (n-2) / 3-1,96 * √ 16 * n-29/90]
[] - Ціла частина; n-кількість вихідних даних
р кр = [2 * (9-2) / 3-1,96 * √ 16 * 9-29/90] = 2,451106 = 2
3 порівняємо фактичне р з р кр
р = 5> р кр = 2 отже, властивість випадковості виконується.
Для перевірки незалежності рівнів ряду залишків:
1 обчислимо d-статистику (критерій Дарбіна - Уотсона)
2 обчислити перший коефіцієнт автокореляції r (1)
для розрахунків підготуємо -
Σe 2 (t) = 14,6 - використовуємо Excel fx / математична / СУММКВ),
Σ (e (t)-e (t-1)) 2 = 32,32 - Використовуємо Excel fx / математична / СУММКВРАЗН) - 1 масив крім 1-го, 2 масив крім останнього.
d = Σ (e (t)-e (t-1)) 2 / Σe 2 (t) = 32,32 / 14,6 = 2,213699
По таблиці Значення d-критерію Дарбіна - Уотсона визначимо, що d 1 = 1,08 і d 2 = 1,36
Тобто наше d = 2,213699 € (1.08; 1,36), отже потрібна додаткова перевірка, знайдемо d '= 4-d = 4-2,213699 = 1,786301, тобто d' € (1,36; 2 )
НЕ виконан-ся        доп. Прове-ка ви-ся d '= 4 - d

0 d 1 d 2 2 4 d
отже, властивість незалежності рівнів ряду залишків виконуються, залишки незалежні.
Для перевірки нормального розподілу залишків обчислимо R / S - статистику
R / S = e max-e min / S e
е max - максимальний рівень ряду залишків,
е min - мінімальний рівень ряду залишків,
S-середньоквадратичне відхилення.
е max = 2,2333333 використовуємо Excel fx / статистична / МАКС),
е min =- 2,466666667 використовуємо Excel fx / статистична / МІН),
Se = 1,444200224 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»
Отже, R / S = 2,2333333 - (-2,466666667) / 1,444200224 = 3,254396
Критичний інтервал (2,7; 3,7), тобто R / S = 3,254396 € (2,7; 3,7), властивість нормального розподілу залишків виконується.
Підводячи підсумки перевірки можна зробити висновок, що модель поводиться адекватно.
Для оцінки точності моделі обчислимо середню відносну похибку апроксимації Е отн = | e (t) / Y (t) | * 100% за отриманими значеннями визначити середнє значення (fx / математична / СРЗНАЧ)

відносить. погр-ти
28,88888889
6,19047619
7,333333333
8,787878788
2,222222222
2,156862745
4,444444444
8,933333333
10,72463768
E отн ср = 8,853564 - хороший рівень точності моделі
Для обчислення точкового прогнозу в побудовану модель підставимо відповідні значення t = 10 і t = 11:
у 10 = 1,166666667 +2,7 * 10 = 28,16666667
у 11 = 1,166666667 +2,7 * 11 = 30,86666667,
Очікуваний попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень повинен скласти близько 28,16666667 млн. руб., А на 11 тиждень близько 30,86666667 млн. руб.
При рівні значущості L = 30%, довірча ймовірність дорівнює 70%, а критерій Стьюдента при к = n-2 = 9-2 = 7, дорівнює
t кр (30%; 7) = 1,119159 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР),
S e = 1,444200224 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»,
t 'ср = 5 (fx / математична / СРЗНАЧ) - Середній рівень з даного моменту часу,
Σ (tt 'ср) = 60 (fx / статистична / КВАДРОТКЛ),
Ширину довірчого інтервалу обчислимо за формулою:
U 1 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ') 2 / Σ (tt' ср) = 1,119159 * 1,444200224 * √ 1 +1 / 9 + (10-5) 2 / 60 = 1,997788
U 2 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ') 2 / Σ (tt' ср) = 1,119159 * 1,444200224 * √ 1 +1 / 9 + (11-5) 2 / 60 = 2,11426
Далі обчислимо верхню і нижню межі прогнозу u ниж = y 10-u 1; u верх = у 10 + u 1; u ниж = y 11-u 1; u верх = у 10 + u 1
u ниж = 28,16666667-1,997788 = 26,16888
u верх = 28,16666667 +1,997788 = 30,16445
u ниж = 30,86666667-2,11426 = 28,75241
u ниж = 30,86666667 +2,11426 = 32,98093
Попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень в межах від 26,16888 млн. руб. до 30,16445 млн. руб., а на 11 тиждень від 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.
Будуємо графік:
\ S
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Економіко-математичне моделювання | Завдання | 141.5кб. | скачати

Схожі роботи:
Економіко математичне моделювання 2
Економіко математичне моделювання виробництва
Економіко математичне моделювання діяльності кредитних спілок
Економіко-математичне моделювання і прогнозування в спортивній індустрії
Економіко математичне моделювання процесу ціноутворення на ринку опціонів
Економіко математичне моделювання та прогноз характеристик цінних паперів
Економіко - математичне моделиpование
Математичне моделювання природознавства
Математичне моделювання в медицині
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru