додати матеріал


Економіко-математична модель

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Економіко-математична модель

Економіко-математична модель - це виражена у формально-математичних термінах економічна абстракція, логічна структура якої визначається як об'єктивними властивостями предметами опису, так і суб'єктивним цільовим чинником дослідження, для якого це опис робиться.

Між моделлю та її прототипом не може існувати взаємооднозначної відповідності, тому що модель - це абстракція, пов'язана з узагальненнями й втратою. Адекватність реальної дійсності - основна вимога, що пред'являється до моделі.

Конструктивно кожна математична модель представляє собою сукупність взаємопов'язаних математичних залежностей, що відображають певні групи реальних економічних залежностей.

Класифікуються економіко-математичні моделі за різними ознаками, в тому числі і з математичного інструменту, що застосовується при моделюванні.

Найбільш поширеними і ефективними математичними методами, які знайшли як теоретичне, так і практичне застосування в економічних дослідженнях, є: диференціальне числення, математична статистика, лінійна алгебра, математичне програмування та інші.

Порядок побудови економіко-математичної моделі

Для побудови економіко-математичної моделі визначається об'єкт дослідження: економіка держави в цілому, галузь, підприємство, цех і т.п.

Формулюється мета дослідження.

У розглянутому економічному об'єкті виділяються структурні та функціональні елементи і виділяються найбільш суттєві якісні характеристики цих елементів, що впливають на досягнення поставленої мети.

Вводяться символічні позначення для враховуються характеристик економічного об'єкта. Визначається, які з них будуть розглядатися як залежні величини, а які як незалежні.

Формалізуються взаємозв'язку між певними параметрами моделі, тобто будується власне економіко-математична модель.

Проводяться розрахунки по моделі і аналізуються результати отриманих розрахунків.

Якщо результати виявляються незадовільними з точки зору неадекватності відображення модельованого процесу чи явища, то відбувається повернення до одного з попередніх пунктів і процес повторюється.

Приклад економіко-математичної моделі

Структуру підприємства зручно описувати організаційною моделлю, яка демонструє склад функціональних підрозділів підприємства та зв'язку їх підпорядкування та взаємодії.

При функціональній організаційній структурі підприємство підрозділяється на елементи, кожен з яких має свої завдання і обов'язки. Характеристики та особливості того чи іншого підрозділу відповідають найбільш важливих напрямків діяльності підприємства.

Функціональна організаційна модель підприємства на прикладі ВАТ швейна фабрика «Берізка»:


Такий вид організаційної моделі, як правило, зустрічається у великих організаціях, коли необхідно забезпечити злагоджену спільну роботу великої кількості функціональних підрозділів.

Об'єктом дослідження буде швейна фабрика «Берізка», метою дослідження - оцінка ефективності роботи випуску продукції. Більш докладно для дозволу поставленої мети будемо розглядати функціональний і структурний елемент об'єкта - виробництво.

Найбільш суттєві і якісні характеристики цього елемента представлені нижче у таблиці 1 за часовий період з травня 2005 по травень 2006.

Для побудови економіко-математичної моделі застосовано метод математичної статистики.

Розрахунки по моделі і аналіз отриманих результатів при використанні даного методу включає в себе етапи:

1.Графіческое подання характеристик.

2.Предварітельний статистичний аналіз (аналіз даних по вибірках).

3.Корреляціонний аналіз даних.

4.Регрессіонний аналіз даних.


сировину, м погонний

витрати на оплату праці,

тис.руб.

матеріальні витрати, тис.руб

амортизація, тис.руб.

повна собівартість, тис. грн

Травень

230

18729

21516

4642

78164

Червень

303

7415

36225

1951

61068

Липень

102

7340

12064

1697

30564

Серпень

175

3156

18770

120

31750

Вересень

155

31854

32548

5364

93611

Жовтень

195

28224

23190

1693

77059

Листопад

112

19939

17061

2018

53794

Грудень

185

26850

25530

2811

81330

Січень

98

18589

21042

4061

57179

Лютий

248

25728

35358

3718

89639

Березень

111

14607

22426

2537

51239

Квітень

68

3920

13190

118

21689

Травень

28

2347

5094

104

10510

Вихідні дані ВАТ швейна фабрика «Берізка»

Таблиця 15

З вихідних характеристик економічного об'єкта є незалежними (Х1, Х2, Х3, Х4) або факторними ознаками: сировина, витрати на оплату праці, матеріальні витрати, амортизація, а залежною або результативним ознакою (У) - повна собівартість.

1. Графічний аналіз


Малюнок 2

2. Аналіз даних за вибірками.

Попередній статистичний аналіз представлений в таблиці 2., В ході якого по кожному параметру розраховувалися такі статистичні показники: середнє значення показника, стандартна помилка, медіана, мода, стандартне відхилення, дисперсія вибірки, ексцес, асиметричність, мінімум, максимум, інтервал, сума, коефіцієнт варіації. Брався рівень надійності 95%.

Таблиця 15 Результати розрахунків по етапу Статистичний аналіз:

СИРОВИНА, м погонних

ВИТРАТИ НА ОПЛАТУ ПРАЦІ, Т. РУБ.





Середнє

154,6153846

Середнє

16053,69231

Стандартна помилка

21,57531188

Стандартна помилка

2876,404897

Медіана

155

Медіана

18589

Мода

# Н / Д

Мода

# Н / Д

Стандартне відхилення

77,79089328

Стандартне відхилення

10371,02535

Дисперсія вибірки

6051,423077

Дисперсія вибірки

107558166,7

Ексцес

-0,406977947

Ексцес

-1,508916139

Асиметричність

0,302343811

Асиметричність

0,016663109

Інтервал

275

Інтервал

29507

Мінімум

28

Мінімум

2347

Максимум

303

Максимум

31854

Сума

2010

Сума

208698

Рівень надійності 95,0%

47,00856628

Рівень надійності 95,0%

6267,147886

Коефіцієнт варіації V,%

50,31251804

Коефіцієнт варіації V,%

64,60211861

МАТЕРІАЛЬНІ ВИТРАТИ, Т. РУБ.

АМОРТИЗАЦІЯ,

Т. РУБ.

ПОВНА СОБІВАРТІСТЬ, Т. РУБ.







Середнє

21847,23077

Середнє

2371,846154

Середнє

56738,15385

Стандартна помилка

2536,823476

Стандартна помилка

477,0664476

Стандартна помилка

7447,106319

Медіана

21516

Медіана

2018

Медіана

57179

Мода

# Н / Д

Мода

# Н / Д

Мода

# Н / Д

Стандартне відхилення

9146,647119

Стандартне відхилення

1720,087539

Стандартне відхилення

26850,92369

Дисперсія вибірки

83661153,53

Дисперсія вибірки

2958701,141

Дисперсія вибірки

720972102,8

Ексцес

-0,31202086

Ексцес

-0,830489026

Ексцес

-1,088043769

Асиметричність

0,037275084

Асиметричність

0,204463241

Асиметричність

-0,288180418

Інтервал

31131

Інтервал

5260

Інтервал

83101

Мінімум

5094

Мінімум

104

Мінімум

10510

Максимум

36225

Максимум

5364

Максимум

93611

Сума

284014

Сума

30834

Сума

737596

Рівень надійності 95,0%

5527,26353

Рівень надійності 95,0%

1039,438496

Рівень надійності 95,0%

16225,85077

Коефіцієнт варіації V,%

41,86639129

Коефіцієнт варіації V,%

72,52104172

Коефіцієнт варіації V,%

47,32428157

Розрахунок проводився в оболонці «Excel», Сервіс → Аналіз даних → Описова статистика.

Висновки: стандартні відхилення вибірок вихідних даних у порівнянні зі значеннями самих даних великі, тобто розкид точок у вибірках великий.

Відхилення максимальних і мінімальних значень вибірок від відповідних медіан і середнього також великі. Це означає, що точки вибірок розташовані розсіяно.

Значення коефіцієнта варіації вибірок дозволяє судити про їх неоднорідності.

3. Кореляційний аналіз даних.

На цьому етапі здійснювала в ляется парне порівняння вибірки результуючого показника з вибірками показників, які згідно теоретичної моделі розглядаються як факторні, а також перевіряється ступінь корелюється факторних показників. Для цих цілей будують і аналізують матриці парних лінійних коефіцієнтів кореляції r, які змінюються від -1 до 1. Аналіз можна застосовувати лише в разі лінійної залежності між ознаками. Чим ближче значення коефіцієнта кореляції до -1, або до 1, тим вище ступінь корелюється відповідних випадкових величин. Однак, при r, близьких до 1 або -1, регресійні зв'язки між відповідними величинами встановлюватися не можуть, так як ця ситуація означає фактично функціональний взаємозв'язок показників.

Значимість (суттєвість) лінійного коефіцієнта кореляції перевіряють на основі t-критерію Стьюдента. При цьому висувається та перевіряється нульова гіпотеза про рівність коефіцієнта нулю, тобто про відсутність зв'язку між х і у. Для цього визначається розрахункове значення критерію:

(1)

де r - коефіцієнт кореляції,

n - число наблюденеій,

σ r - середнє квадратичне відхилення кеффіціента кореляції.

і зіставляється з t табличне із заданими параметрами (рівнем значущості α, приймається звичайно за 0,05, і числом ступенів свободи υ = n - 2, де n - число спостережень).

Якщо t розрахункове> t табличне, то нульова гіпотеза відкидається і лінійний коефіцієнт вважається значимим, а зв'язок між х і у - істотною, якщо ж нерівність зворотне, то зв'язок між х і у відсутня.

Взагалі, відсутність кореляційного зв'язку між факторною ознаками та наявність тісного зв'язку (значення парних коефіцієнтів кореляції ) Між результативним і факторними ознаками - умова включення цих факторних ознак у регресійну модель.

Крім того, при побудові моделі регресії необхідно враховувати проблему мультіколленіарності (тісній залежності між факторними ознаками), яка суттєво спотворює результати дослідження.

Одним з індикаторів визначення наявності мультиколінеарності між факторними ознаками є перевищення величини парного коефіцієнта кореляції 0,8 (r ≤ 0,8).

сировину, м погонний

витрати на заробітну плату, т.руб.

матеріальні витрати,

тис.руб

амортизація,

тис.руб.

повна собівартість-

імость,

тис.руб

сировину, м погонний

1





витрати на заробітну плату, т.руб.

0,349630305

1




матеріальні витрати,

тис.руб

0,830118488

0,587647564

1



амортизація,

тис.руб.

0,377214053

0,759164207

0,612169366

1


повна собівартість,

тис.руб

0,678604269

0,909886866

0,825715323

0,8247215

1


Таблиця 15

Для визначення наявності мультіколленіарності та усунення мультіколленіарних ознак була побудована і проаналізована матриця парних коефіцієнтів кореляції, див. таблиця 3.

Матриця парних коефіцієнтів кореляції

Розрахунок проводився в оболонці «Excel», Сервіс → Аналіз даних → Кореляція.

З таблиці 3 видно, що між факторними ознаками Сировина і Матеріальні витрати коефіцієнт кореляції більше 0,8. Для усунення мультиколінеарності необхідно виключити з кореляційної моделі один з цих ознак, розрахунки наведені в таблицях 4 і 5.

Матриця парних коефіцієнтів кореляції для моделі без «Матеріальних витрат»

сировину, м погонний

витрати на оплату праці,

тис.руб.

амортизація,

тис.руб.

повна собівартість,

тис.руб

сировину, м погонний

1




витрати на оплату праці, тис. грн.

0,349630305

1



амортизація, тис.руб.

0,377214053

0,759164207

1


повна собівартість, тис. грн

0,678604269

0,909886866

0,824721504

1

Таблиця 15

Матриця парних коефіцієнтів кореляції для моделі без «Сировини»

витрати на оплату праці,

тис.руб.

матеріальні витрати,

тис.руб

амортизація,

тис.руб.

повна собівартість,

тис.руб

витрати на оплату праці, тис. грн.

1




матеріальні витрати, тис.руб

0,587647564

1



амортизація,

тис.руб.

0,759164207

0,612169366

1


повна собівартість,

тис.руб

0,909886866

0,825715323

0,824721504

1

Таблиця 15

В обох моделях тепер відсутня проблема мультіколленіарності, тому що всі парні коефіцієнти між факторними ознаками <0,8.

Так як коефіцієнт кореляції r між результативним і факторними ознаками більше> 0,3, то всі ознаки далі беруть участь в аналізі.

Яку з цих двох модель необхідно вибрати покаже подальший аналіз.

Для визначення ознак розрахували t розрахункове і взяли t табличне, див. таблиці 6 і 7.

Матриця розрахункових значень t - критерію Стьюдента

для моделі без «Матеріальних витрат»

сировину, м погонний

витрати на оплату праці, тис. грн.

амортизація, тис.руб.

повна собівартість, тис. грн

сировину, м погонний





Витрати

на оплату праці,

тис.руб.

1,237707018




амортизація,

тис.руб.

1,350871631

3,868284073



повна собівартість, тис. грн

3,064211348

7,274210595

4,836609752

tтаблічное

2,200985159




Таблиця 15

Матриця розрахункових значень t - критерію Стьюдента

для моделі без «Сировини»

витрати на оплату праці, тис. грн.

матеріальні витрати, тис.руб

амортизація, тис.руб.

повна собівартість

, Тис.руб

витрати на оплату праці тис.руб.





матеріальні витрати, тис.руб

2,408806699




амортизація,

тис.руб.

3,868284073

2,567683844



повна собівартість,

тис.руб

7,274210595

4,854902951

4,836609752

tтаблічное

2,200985159




Таблиця 15

Розрахунок проводився в оболонці «Excel» вручну за формулою (1), t табличне розраховувалося за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР виходячи з тієї ж формули.

Висновки: в результаті порівняння t розрахункове і t табличне з'ясувалося, що з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що зв'язок між результативним і факторними ознаками є суттєвою (t розрахункове> t табличне), невипадковою. Яку з цих двох модель краще вибрати покаже подальший аналіз.

4. Регресійний аналіз даних.

На цьому етапі, використовуючи метод найменших квадратів, будується багатофакторна регресійна залежність (рівняння регресії) результуючого показника від залишилася після попередніх кроків аналізу факторних показників.

Лінійна модель, яка містить незалежні змінні тільки в першому ступені, має вигляд:

(2)

де а 0 - вільний член,

а 1 ... а n - параметри рівняння (коефіцієнти регресії),

х 1 .... х n - значення факторних ознак.

Параметри рівняння регресії розраховуються методом найменших квадратів, при цьому вирішується система нормальних рівнянь з к +1 невідомими.

Для вимірювання ступеня сукупності впливу відібраних факторів на результативну ознаку розраховують сукупний коефіцієнт детермінації R 2 і сукупний коефіцієнт множинної кореляції R - загальні показники тісноти зв'язку ознак. Межі зміни: 0 ≤ R ≥ 1. Чим ближче R до 1, тим точніше рівняння множинної лінійної регресії відображає реальний зв'язок.

Перевірка значущості моделей, побудованих на основі рівнянь регресії, починається з перевірки значимості кожного коефіцієнта регресії. Значимість коефіцієнта регресії здійснюється за допомогою t - критерію Стьюдента (відношення коефіцієнта регресії до його середньої помилку):

(3)

Коефіцієнт регресії вважається статистично значимим, якщо t розрахункове> t табличне із заданими параметрами (рівнем значущості α, = 0,05, і числом ступенів свободи υ = n - до -1, де n - число спостережень, до - число факторних ознак).

Перевірка адекватності моделі здійснюється за допомогою F - критерію Фішера і величини середньої помилки апроксимації, яка не повинна перевищувати 12 - 15%. Якщо величина F розрахункове> F табличне, то зв'язок визнається істотною. F табличне знаходитися при заданому рівні значимості α = 0,05 і числі ступенів свободи v 1 = k і v 2 = n - k -1. (4)

Модель без урахування «Матеріальних витрат»

У таблиці 8 згенеровані результати по регресійної статистиці.

Регресійна статистика

Множинний R

0,997434896

R-квадрат

0,994876372

Нормований R-квадрат

0,993168496

Стандартна помилка

2219,306976

Спостереження

13

Таблиця 15

Ці результати відповідають наступним статистичними показниками:

Множинний R - коефіцієнт кореляції R,

R-квадрат - коефіцієнт детермінації R 2;

F табличне

3,862548358

У таблиці 9 згенеровані результати дисперсійного аналізу, які використовуються для перевірки значущості коефіцієнта детермінації R 2.

Таблиця 15

df

SS

MS

F

Значимість F

Регресія

3

8607337323

2869112441

582,5226438

1,2734 E-10

Залишок

9

44327911,1

4925323,455



Разом

12

8651665234


Df - число ступенів свободи, SS - сума квадратів відхилень,

MS - дисперсія MS, F - розрахункове значення F-критерію Фішера,

Значимість F - значення рівня значимості, відповідне обчисленому F;

Коефіцієнт

цієнта

Стандарт

ва

помилка

t-статистика

P-Значення

Нижні 95%

Верхні 95%

повна

собівартість-

імость,

тис.руб

2857,593011

1130,014906

2,528810014

0,094646561

603,5411613

6318,727183

сировину,

м погонний

132,3000047

8,941959918

14,79541464

1,27093 E-07

112,071886

152,5281233

витрати

на оплату

праці,

тис.руб.

1,586039072

0,095432478

16,61948958

4,61669 E-08

1,370155809

1,801922334

амортизація,

тис.руб.

3,357368468

0,582082818

5,76785358

0,000270158

2,040605653

4,674131282

У таблиці 10 згенеровані значення коефіцієнтів регресії і їх

статистичні оцінки.

t табличне

2,306004133

Таблиця 15

Коефіцієнти - значення коефіцієнтів регресії,

Стандартна помилка - стандартні помилки коефіцієнтів регресії,

t - статистика - розрахункові значення t - критерію Стьюдента, які обчислюють за формулою 2,

Р-значення - значення рівнів значимості, відповідні обчисленими значеннями t,

Нижні 95% і Верхні 95% - відповідні кордони довірчих інтервалів для коефіцієнтів регресії.

У таблиці 11 згенеровані передбачені значення результуючого фактора Y і значення залишків. Останні обчислюються як різниця між передбаченим і вихідних значень Y.

Спостереження

Передбачене Y

Залишки

1

78576,42428

-412,4242814

2

61255,20002

-187,2000206

3

33691,17456

-3127,174561

4

31418,51735

331,4826465

5

91894,70678

1716,293221

6

79104,48549

-2045,485491

7

56074,39615

-2280,396148

8

79355,80571

1974,194293

9

58940,14712

-1761,147116

10

88956,30336

682,6966372

11

49227,81005

2011,189951

12

18467,43597

3221,564032

13

10633,59316

-123,5931632

Таблиця 15

Розрахунок проводився в оболонці «Excel», Сервіс → Аналіз даних → Регресія.

t табличне розраховувалося за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР виходячи з формули (3).

F табличне розраховувалося за допомогою функції FРАСПОБР виходячи з формули (4).

Модель без урахування «Сировини»

Регресійна статистика

Множинний R

0,983232832

R-квадрат

0,966746802

Нормований R-квадрат

0,955662403

Стандартна помилка

5653,863353

Спостереження

13

Таблиця 15

df

SS

MS

F

Значимість F

Регресія

3

8363969696

2787989899

87,21688674

5,68904 E-07

Залишок

9

287695537,3

31966170,81



Разом

12

8651665234

Таблиця 15

Коефіцієнт

цієнта

Стандар

ртная

помилка

t-статистика

P-Значення

Нижні

95%

Верхні 95%

повна

себест

імость,

тис.руб

1992,888488

4236,311712

0,470430087

0,649239402

-7590,314376

11576,09135

витрати

на оплату

праці, тис.руб.

1,430363491

0,248983274

5,744817576

0,000278107

0,867124195

1,993602788

матері

ціальні

витрати,

тис.руб

1,187585684

0,232389908

5,11031521

0,000636233

0,661883189

1,713288179

аморті

зація,

тис.руб.

2,461032929

1,536123969

1,602105675

0,143596048

-1,013920904

5,935986761


t табличне

2,306004133

Таблиця 15

Спостереження

Передбачене Y

Залишки

1

65758,37475

12405,62525

2

60420,80042

647,1995839

3

30995,16308

-431,1630845

4

29093,4229

2656,577097

5

99410,20661

-5799,206609

6

74070,10843

2988,891574

7

55740,66995

-1946,669945

8

77635,1743

3694,825697

9

63565,34811

-6386,348112

10

89934,05543

-295,0554319

11

55762,64509

-4523,645092

12

23554,57043

-1865,57043

13

11655,4605

-1145,460501

Таблиця 15

Всі пояснення до таблиць, а також спосіб розрахунку, вказані в моделі без урахування «Матеріальних витрат».

Перейдемо до аналізу згенерованих таблиць обох моделей.

Значення множинного коефіцієнта регресії R в моделі без урахування «Матеріальних витрат» дорівнює 0, 997, а в моделі без урахування «Сировини» дорівнює 0,983. Це дозволяє зробити висновок, що перша модель точніше відображає реальний зв'язок.

При оцінці значущості коефіцієнтів регресії за допомогою порівняння розрахункового та табличного значень t - критерію Стьюдента стало очевидно, що слід вибрати модель «Матеріальних витрат». У даній моделі t розрахункове знайдених коефіцієнтів перевищує t табличне (див. таблицю 10) t - критерію Стьюдента, що дозволяє зробити висновок, що коефіцієнти регресії в рівнянні є значимими.

Тоді як в моделі без урахування «Сировини» два коефіцієнти регресії нижче t табличне (див. таблицю 14), що говорить про відсутність їх значимості.

Перевірку адекватності моделі здійснюємо вже тільки з моделлю без урахування «Матеріальних витрат».

Значення середньої помилки апроксимації не перевищує 12-15%, що добре видно на малюнку 2, так як різниця між передбаченим і вихідним результуючим фактором Y дуже невелика.

Розрахований рівень значимості (див. таблицю 9) дорівнює 1,2734 E-10 <0,05, це підтверджує значимість R 2. Значення F розрахункове - критерію Фішера більше F табличне, отже зв'язок між ознаками визнається істотною.


Малюнок 2

Таким чином, отримуємо шукане рівняння регресії:

Висновки: Виконавши цю роботу по етапах, була побудована економіко-математична модель методом математичної статистики на прикладі ВАТ швейної фабрики «Берізка». Модель має вигляд:

.

Вибрані фактори Х 1, Х 2 і Х 3 істотно впливають на У, що підтверджує правильність їх включення в побудовану модель.

Так як коефіцієнт детермінації R 2 значущий, то це свідчить про істотність зв'язку між розглянутими ознаками.

Звідси випливає, що побудована модель ефективна.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Програмування, комп'ютери, інформатика і кібернетика | Курсова
113.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Економіко математична модель
Економіко математична модель
Економіко математична модель оптимізації раціону годівлі великої рогатої худоби
Економіко математична модель оптимізації раціону годівлі великої рогатої худоби
Математична модель формоутворення
Безвихорової електродинаміка математична модель
Математична модель процесу витяжки трубчастої заготовки
Математична модель вимірювальної системи в середовищі Delphi
Рівновага на товарному ринку Проста кейнсіанська модель модель витрати доходи 2
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru