Економетрика 3

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Інститут економіки та підприємництва

(ІНЕП)
Контрольна робота з дисципліни
«Економетрика»
Варіант 1
Виконав:
студент групи №

Перевірив:
викладач ІНЕП,
кандидат технічних наук
Ю.М. Давидов

м. Лосино-Петровський
2008-2009 н. рік

1. Мета роботи
Мета контрольної роботи - демонстрація отриманих теоретичних знань та набутих практичних навичок з економетрики - як синтезу економічної теорії, економічної статистики та математики, в тому числі дослідження лінійних моделей парної (ЛМПР) та множинної регресії (ЛММР), трендових моделей, методом найменших квадратів (МНК ).
Для проведення розрахунків використовувалося додаток до ПЕОМ типу EXCEL.

2. Дослідження лінійних моделей парної (ЛМПР) і
множинної регресії (ЛММР) методом найменших
квадратів (МНК).
2.1 Контрольна завдання № 1
2.1.1. Досліджуємо залежність продуктивності праці Y (т / год) від рівня механізації Х (%).
Вихідні дані для 14 однотипних підприємств наводяться в таблиці 1:
Таблиця 1
xi
32
30
36
40
41
47
56
54
60
55
61
67
69
76
yi
20
24
28
30
31
33
34
37
38
40
41
43
45
48
2.1.2 Матрична форма запису ЛМПР (ЛММР):
Y ^ = X * A ^ (1), де А ^ - вектор-стовпець параметрів регресії;
x i 1 - зумовлені (пояснюють) змінні, n = 1;
ранг матриці X = n + 1 = 2 <k = 14 (2).
Вихідні дані представляють у вигляді матриць.
(1 32) (20)
(1 30) (24)
(1 36) (28)
(1 40) (30)
(1 41) (31)
(1 47) (33)
X = (1 56) Y = (34)
(1 54) (37)
(1 60) (38)
(1 55) (40)
(1 61) (41)
(1 67) (43)
(1 69) (45)
(1 76) (48)
Значення параметрів А ^ = (а 0, а 1) T і s 2 - нам невідомі і їх потрібно визначити (статистично оцінити) методом найменших квадратів.
Так як матриця Х, за умовою, є прямокутної, а зворотній матрицю Х -1 можна розрахувати тільки для квадратної матриці, то зробимо невеликі перетворення матричного рівняння тіпаY = X * A, помноживши ліву і праву частини на транспоновану матрицю Х Т.
Отримаємо X T * X * A ^ = X T * Y,
звідки A ^ = (X T * X) -1 * (X T * Y) (3),
де (X T * X) -1 - обернена матриця.
2.1.2. Рішення.
а) Знайдемо транспоновану матрицю Х Т:
(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1)
X T = (32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76)
в) Знаходимо твір матриць X T * X:
(14 724)
X T * X = (724 40134)
г) Знаходимо твір матриць X T * Y:
(492)
X T * Y = (26907)
д) Обчислюємо зворотну матрицю (X T * X) -1:
(1,064562 -0,0192)
(X T * X) -1 = (-0,0192 0,000371)

е) Множимо зворотну матрицю (X T * X) -1 на твір
матриць (X T * Y) і отримуємо вектор-стовпець A ^ = (a 0, a 1) T:
(7,0361)
A ^ = (X T * X) -1 * (X T * Y) = (0,543501).
Рівняння парної регресії має наступний вигляд:
у i ^ = 7,0361 + 0,543501 * x i 1 (4).
у i ^ (60) = 7,0361 + 0,543501 * 60 = 39, 646.
2.1.3 Оцінка якості знайдених параметрів
Для оцінки якості параметрів Â застосуємо коефіцієнт детермінації R 2. Величина R 2 показує, яка частина (частка) варіації залежної змінної обумовлена ​​пояснюватиме змінної. Чим ближче R 2 до одиниці, тим краще регресія апроксимує експериментальні дані.
Q = Σ (y i - y ¯) 2 (5) - загальна сума квадратів відхилень залежної змінної від середньої; Q R = Σ (y ^ i - y ¯) 2 (6) - сума квадратів, обумовлена ​​регресією; Q е = Σ (y i - y ^ i) 2 (7) - залишкова сума квадратів, що характеризує вплив неврахованих факторів; Q = Q R + Q е (8).
Q = 847,714; Q R = 795,453; Q е = 52,261.
Q = Q R + Q е = 795,453 + 52,261 = 847,714.
R 2 = Q R / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.
R 2 = 1 - Q e / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.
У нашому прикладі коефіцієнт детермінації R 2, дуже високий, що показує на гарну якість регресійної моделі (4).
2.2 Контрольна завдання № 2
2.2.1. Досліджуємо залежність урожайності зернових Y від ряду змінних, що характеризують різні фактори:
Х 1 - кількість добрив, які витрачаються на гектар (т \ га);
Х 2 - кількість хімічних засобів захисту рослин на гектар (ц \ га).
Вихідні дані для 5 районів області наводяться в таблицях:
Таблиця 2
I (номер району)
y i
х i 1
х i 2
1
9,7
0,32
0,14
2
8,4
0,59
0,66
3
9,3
0,3
0,31
4
9,6
0,43
0,59
5
9,6
0,39
0,16
2.2.2. Матрична форма запису ЛММР:
Y ^ = X * A ^ (1), де А ^ - вектор-стовпець параметрів регресії;
х i 1, х i 2 - зумовлені (пояснюють) змінні, n = 2;
Ранг матриці X = n + 1 = 3 <k = 5 (2).
Вихідні дані представляють у вигляді матриць.
(1 0,32 0,14) (9,7)
(1 0,59 0,66 ) (8,4
X = (1 +0,3 0,31) Y = (9,3)
(1 0,43 0,59) (9,6)
(1 0,39 0,16) (9,6)
Значення параметрів А ^ = (а 0, а 1, а 2) T і s 2 - нам невідомі і їх потрібно визначити (статистично оцінити) методом найменших квадратів.
Для знаходження параметрів A ^ застосуємо формулу (3) завдання № 1
A ^ = (X T * X) -1 * X T * (3),
де (X T * X) -1 - обернена матриця.
2.2.3. Рішення.
а) Знайдемо транспоновану матрицю Х Т:
(1 1 1 1 1)
X T = (0,32 0,59 0,38 0,43 0,39)
(0,14 0,66 0,53 0,59 0,13).
в) Знаходимо твір матриць X T * X:
(5 2,11 2,05)
X T * X = (2,11 0,932 0,94)
(2,05 0,94 1,101).
г) Знаходимо твір матриць X T * Y:
(46,6)
X T * Y = (19,456)
(18,731).
д) Обчислюємо зворотну матрицю (X T * X) -1:
(5,482 - 15,244 2,808)
(X T * X) -1 = (-15,244 50,118 -14,805)
(2,808 -14,805 7, 977).
е) Множимо зворотну матрицю (X T * X) -1 на твір
матриць X T * Y і отримуємо вектор-стовпець A ^ = (a 0, a 1, a 2) T:
(11, 556)
A ^ = (X T * X) -1 * (X T * Y) = (-5, 08)
(0, 0219)
Рівняння множинної регресії має наступний вигляд:
y i ^ = 11,456 - 5,08 * x i 1 - 0,0219 * x i 2 (4) .
2.2.4. Оцінка якості знайдених параметрів
Для оцінки якості знайдених параметрів а ^ 0, a ^ 1. A ^ 2 необхідно знайти оцінку дисперсії за формулою
1
s ^ 2 = ------------ (Y - X * A ^) T * (Y - X * A ^),
k - n - 1
після чого можна знайти среднеквадратические помилки S L за формулою S L = s ^ √ h ii, де h ii елементи головної діагоналі матриці (X T * X) -1.
А. Твір матриць X * A ^:
(9,833)
(8,472)
Y ^ = X * A ^ = (9,536)
(9,283)
(9,476).
Б. Різниця матриць (Y - X * A ^):
(-0,132)
(- 0,072)
(Y - X * A ^) = (-0,036)
(0,116)
(+0,0835).
В. (Y - X * A ^) T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835)
Г. Твір (Y - X * A ^) T * (Y - X * A ^) = 0,04458.
З урахуванням того, що в нашому прикладі до = 5 і n = 2
1 січня
s ^ 2 = ------------ (Y - X * A ^) T * (Y - X * A ^) =------* 0,04458 = 0,0223.
k - n - 1 2
s ^ = Ö 0,0223 = 0,1493.
Г. середньоквадратичної помилки оцінок параметрів будуть рівні:
S 0 = 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496;
S 1 = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057;
S 2 = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217.
Среднеквадратические помилки мають різне значення, що іноді перевищували оцінки параметрів, що пов'язано з малою кількістю статистичних даних.

3. Контрольна завдання № 3
Оцінки параметрів трендової моделі.
3.1. За даними про роздрібний товарооборот регіону потрібно
провести аналіз основної тенденції розвитку товарообігу.
Таблиця 3
Рік
Обсяг роздрібного товарообігу, млрд. руб.
Темп зростання по роках,%
Абсолютний приріст по роках, млрд. руб.
1
2
3
4
1
18,4
-
-
2
18,9
103,5
0,5
3
19,8
105,3
0,9
4
20,3
102,6
0,5
5
21,1
104,4
0,8
У середньому
19,7
103,9
0,67
3.2. Рішення завдання будемо проводити методом множинної регресії з оцінкою параметрів а 0, а 1, а 2, а 3, оскільки: по-перше, абсолютний приріст нерівномірний по роках, по-друге, темпи зростання також нерівні між собою, тобто необхідно оцінювати параметри а 2 і а 3.
Матриця Х розмірами 5 × 4 і вектор-стовпець Y розмірами 5 × 1, будуть мати наступний вигляд:
(1 1 1 1) (1,84 E +10)
(1 2 4 8) (1,89 E +10)
X = (1 9 березня 1927) Y = (1, 98E +10)
(1 4 16 64) (2, 03E +10)
(1 5 25 125) (2,11 E +10)
Рішення задачі за допомогою п ріложенія EXCEL дозволило отримати наступні оцінки параметрів Â і відповідно аппроксіміруемие значення Y ^:
0) (1,79 E +10) (1, 838E +10)
1) (3,976 E +08) (1,899 E +10)
 = (а 2) = (8,929 E +07) Y ^ = (1, 967E +10)
3) (- 8,333 E +06) (2, 039E +10)
(2, 108E +10).
Негативне значення параметра а 3 = - 8,333 Е +06 говорить про те, що прискорення (темп зростання) сповільнюється, що якісно можна оцінити і з вищенаведеної таблиці.
3.3. Аналіз отриманої трендової моделі на якість апроксимації зробимо допомогою коефіцієнта детермінації R 2 .
Значення коефіцієнта детермінації R 2 = 0,9931 говорить про дуже хорошій якості трендової моделі
y t (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929 * t 2 - 0,008333 * t 3.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Економіко-математичне моделювання | Контрольна робота
43.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Економетрика 2
Економетрика 4
Економетрика
Економетрика як наука
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru