додати матеріал

приховати рекламу

Дослідження функцій і побудова їх графіків

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

Тема 1. Межа функції

Число А називається границею функції при , Що прагнуть до , Якщо для будь-якого позитивного числа ( > 0) знайдеться таке позитивне число > 0 (залежне в загальному випадку від ), Що для всіх , Не рівних і задовольняють умові x x < , Виконується нерівність x А x < .

Для границі функції вводиться позначення = А.

Межі функцій володіють наступними основними властивостями:

Функція не може мати більше одного межі.

Якщо = С (постійна), то С.

Якщо існує А, то для будь-якого числа вірно:

Якщо існують А і В, то = АВ, а якщо В 0, то

.

Операція граничного переходу перестановки з операцією обчислення безперервної функції, тобто справедлива формула

Якщо функція неперервна в точці , То шуканий межа дорівнює значенню функції в цій точці, тобто він знаходиться безпосередній підстановкою граничного значення змінної замість аргументу :

Функція ( називається нескінченно малою величиною при , Якщо її межа дорівнює нулю: Функція називається нескінченно великою величиною при , Якщо

Приклад 1. 9.

Приклад 2. .

У розглянутих прикладах межа знаходився відразу: у вигляді числа або символу (Нескінченність). Але частіше при обчисленні меж ми зустрічаємося з невизначеностями, коли результат знаходження межі не ясний, наприклад, у випадку відносини двох нескінченно малих функцій (умовне позначення ) Або нескінченно великих ( ). Крім названих зустрічаються невизначеності виду

Для розкриття невизначеностей використовуються спеціальні прийоми і два наступні межі, які відіграють особливу роль в математиці і тому називаються чудовими:

- Перший чудовий межа

-Другий чудовий межа (Число Ейлера).

Приклад 3. .

Рішення. Безпосередньою підстановкою переконуємось, що маємо справу з невизначеністю виду :

.

Для розкриття невизначеності розкладемо чисельник і знаменник на множники. Знайдемо коріння многочлена, що стоїть у чисельнику. Для цього складемо рівняння другого ступеня і знайдемо його рішення:

Тоді для квадратного тричлена справедливо розкладання на множники

.

Аналогічні дії виконаємо для многочлена, що стоїть в знаменнику.

Рівняння має рішення

і знаменник представляється у вигляді:

Скоротимо дріб на множник і обчислимо її при

Приклад 4.

Рішення. Безпосередньою підстановкою переконуємось, що виникає невизначеність виду . Для розкриття невизначеності помножимо чисельник і знаменник на вираз , Що є зв'язаним до знаменника

= .

Приклад 5. .

Рішення. Маємо невизначеність виду . Розділимо чисельник і знаменник на (У більш загальному випадку, коли чисельник і знаменник представляють многочлени різних ступенів, ділять на з найбільшим показником ступеня чисельника і знаменника). Використовуючи властивості меж, отримаємо:

.

Приклад 6. .

Рішення. При маємо невизначеність виду . Уявімо , Розділимо і помножимо чисельник і знаменник на числа 2, 5 і , Тоді межа перетвориться до виду:

.

Користуючись властивостями меж і першим чудовим межею, далі маємо:

.

Приклад 7. .

Рішення. Маємо невизначеність виду [ ], Так як

, А .

Виділимо у дробу цілу частину

.

Введемо нову змінну і висловимо звідси через : . Тоді

Зауважимо, що при змінна . Тепер, переходячи до нової змінної і використовуючи другий чудовий межа, отримаємо:

= .

Невизначеності виду шляхом алгебраїчних перетворень приводяться до виду . Невизначеності виду , можна розкрити, попередньо прологаріфміровав відповідну функцію. Невизначеності виду можна виключити, використовуючи правило Лопіталя, що викладено в кінці теми 2.

Приклад 8. Початковий внесок у банк склав грошових одиниць. Банк виплачує щорічно % Річних. Необхідно знайти розмір вкладу через років при безперервному нарахуванні відсотків. Вирішити завдання при = 10, = 5%, = 20 років.

Рішення. При % Річних розмір вкладу щорічно буде збільшуватися в

разів, тобто .

Якщо нараховувати відсотки за вкладами не один раз на рік, а раз, то розмір вкладу за років при нарахування складе

.

Тоді розмір вкладу за років при безперервному нарахуванні відсотків ( ) Зводиться до знаходження межі

.

Тут при вирішенні використовувався другий чудовий межа.

Підставляючи вихідні числові дані задачі, отримуємо

(Ден. одиниць).

Питання для самоперевірки

Дайте визначення границі функції в точці.

Назвіть основні властивості меж функцій.

Які види невизначеностей зустрічаються при знаходженні меж?

Які межі називаються чудовими?

Які функції називають нескінченно малими?

Завдання для самостійної роботи

Знайти межі наступного:

Номер варіанта

А)

Б)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Таблиця 1.

Тема 2. Похідна функції

Приростом функції в точці , Відповідним приросту аргументу , Називається число .

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при , Якщо ця межа існує, і позначається:

.

Знаходження похідної функції називається диференціюванням цієї функції. Якщо функція має в точці кінцеву похідну, то функція називається дифференцируемой в цій точці.

Найважливішими правилами диференціювання є наступні.

Похідна постійної дорівнює нулю: .

Постійний множник виноситься за знак похідної

.

Похідна суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій

.

Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку похідної першого співмножники на другий плюс твір першого співмножники на похідну другого

.

Похідна частки двох диференційовних функцій знаходиться за формулою

.

Нехай змінна є функція від змінної (Наприклад, ), А змінна , В свою чергу, є функція від незалежної змінної ( ), Інакше задана складна функція .

Якщо і - Диференціюються функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює похідній даної функції з проміжного аргументу , Помноженої на похідну самого проміжного аргументу з незалежної змінної :

Якщо функція, похідну якої потрібно знайти, представляє з себе комбінацію елементарних функцій, то для обчислення похідної застосовуються правила диференціювання і таблиця похідних елементарних функцій, що наводиться нижче.

Таблиця 2.

функція

похідна

функція

похідна

1

7

1 /

2

8

-1 /

3

1 /

9

1 / ( )

4

10

-1 / ( )

5

11

1 / (1 ​​+ )

6

-

12

-1 / (1 ​​+ )

Приклад 1. Знайти похідну функції

.

Рішення. Уявімо її як складну функцію. Нехай , Тоді і . Знайдемо похідну по проміжному аргументу як статечної функції

.

У свою чергу, проміжний аргумент представляється у вигляді суми двох статечних функцій мінус стала, тому, використовуючи правила 1-3, по-лучім

= .

Звідси похідна шуканої функції

.

Приклад 2. Знайти похідну функції

.

Рішення. Позначимо , . Тоді і шукана похідна знаходиться з формули .

Похідну знаходимо з таблиці похідних елементарних функцій

.

Другий співмножник представляє похідну від степеневої функції

Нарешті, остання похідна знаходиться за правилами диференціювання приватного

= = .

У підсумку отримуємо шукану похідну

.

Приклад 3. Наити похідну

.

Рішення. Похідна суми двох функцій є сума їх похідних

.

Для знаходження похідної першого доданка позначимо , .

Тоді ,

=

Похідну другого доданка знайдемо за правилом диференціювання статечно-показової функції. Прологарифмируем функцію : Диференціюємо ліву і праву частину отриманого рівності

Звідси

Нарешті, знаходимо похідну шуканої функції

Приклад 4. На основі дослідних даних побудована математична модель попиту населення на деякий товар залежно від ціни :

.

Визначити еластичність попиту при (В умовних грошових один.).

Рішення. Еластичністю попиту називають межу відношення відносного приросту попиту до відносного приросту ціни при :

.

Якщо > 1, то попит називають еластичним, при <1 - нееластичним, а при нейтральним.

Знайдемо похідну

.

Тоді

.

Визначимо еластичність попиту при : . Таким чином, при такій ціні маємо нееластичний попит.

Правило Лопіталя. При знаходженні меж функцій (тема 1) невизначеності виду можна виключити, застосовуючи правило Лопіталя: межа відносини двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює межі відносини їх похідних, якщо останній існує, т. е.

Якщо (Або ), То правило Лопіталя можна використовувати повторно, тобто

У загальному випадку правило Лопіталя можна застосовувати неодноразово.

Приклад 5. Знайти

Рішення. Для розкриття невизначеності застосуємо правило Лопіталя.

Невизначеність виду як і раніше зберігається. Застосуємо правило Лопіталя ще раз:

Питання для самоперевірки

Дайте визначення похідної функції в точці.

Яка функція називається дифференцируемой в точці?

Назвіть найважливіші правила диференціювання.

Як знаходиться похідна складної функції?

Сформулюйте правило Лопіталя.

Завдання для самостійної роботи

Знайти похідні наступного:

Таблиця 3.

Номер варіанта

А)

Б)

В)

1

y = (3x4-4x (-1 / 4) +2) 5

y = arccos2x + (1-4x2) 1 / 2

y = 2tgx + x sin (2x

2

y = (5x2 +4 x (5 / 4) +3) 3

y = arctg (x2-1) 1 / 2

y = e3x-2x tg (3x)

3

y = (0.25x8 +8 x (3 / 8) -1) 3

y = arccos (1-x2) 1 / 2

y = 3cosx-x sin (2x)

4

y = (0.2x5-3x (4 / 3) -4) 4

y = arctg (x-1) 1 / 2

5

y = (3x8 +5 x (2 / 5) -3) 5

y = arctg (2 / (x-3))

6

y = (5x4-2x (-3 / 2) +3) 4

y = arccos (1-x) 1 / 2

7

y = (4x3 +3 x (-4 / 3) -2) 5

y = arcctg (x-1) 1 / 2

8

y = (7x5-3x (5 / 3) -6) 4

y = arcsin3x-(1-9x2) 1 / 2

y = etgx-x1 / 2 cos (2x).

9

y = (3x4-4x (-1 / 4) -3) 5

y = arctg (1 / (x-1))

y = x tg3x +2 x-2

10

y = (8x3-9x (-7 / 3) +6) 5

y = arcsin ((1-x) 1 / 2)

Тема 3. Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях

Диференціалом функції в точці називається головна, лінійна відносно приросту аргументу частина приросту функції , Що дорівнює добутку похідної функції в точці на приріст незалежної змінної:

.

Звідси приріст функції відрізняється від її диференціала на нескінченно малу величину і при досить малих значеннях можна вважати або

.

Наведена формула використовується у наближених обчисленнях.

Приклад. Обчислити наближено

Рішення. Розглянемо функцію . Це ступенева функція та її похідна знайдеться:

Як потрібно взяти число, яке задовольняє умовам:

- Значення відомо або досить просто обчислюється;

- Число має бути близьким до числа 33,2, тобто прирощення повинно бути якомога менше.

У нашому випадку цим вимогам задовольняє число = 32, для якого = 2, = 33,2 -32 = 1,2.

Застосовуючи формулу, знаходимо шукане число:

+ .

Питання для самоперевірки

1. Дайте визначення диференціала функції в точці.

2. Чому формула, яка використовується для обчислень, є наближеною?

3. Яким умовам має задовольняти число , Що входить в наведену формулу?

Завдання для самостійної роботи

Обчислити наближене значення , Замінивши в точці приріст функції її диференціалом.

Таблиця 4.

Номер варіанта

1

3

502

512

2

4

267

256

3

5

234

243

4

6

685

729

5

7

142

128

6

3

349

343

7

4

605

625

8

5

255

243

9

6

773

729

10

7

156

128

Тема 4. Дослідження функцій і побудова їх графіків

Якщо функція однієї змінної задана у вигляді формули , То областю її визначення називають таку безліч значень аргументу , На якому визначені значення функції.

Приклад 1. Значення функції визначені тільки для невід'ємних значень змінної : . Звідси область визначення функції буде полуінтервал [4; ).

Приклад 2. Функція

не визначена при таких значеннях аргументу , Коли або знаменник дорівнює нулю ( ), Або подкоренное вираз негативно ( <3). Тоді областю визначення служить безліч, що є об'єднанням інтервалів (3, 4) (4, 5) (5; ).

Приклад 3. Функція визначена тільки на відрізку [-1; 1], так як значення тригонометричної функції задовольняють нерівності: -1 1.

Функція називається парною, якщо для будь-яких значень з області її визначення виконується рівність

,

і непарної, якщо справедливо інше співвідношення: . В інших випадках функцію називають функцією загального вигляду.

Приклад 4. Нехай . Перевіримо:

.

Таким чином, ця функція є парною.

Для функції вірно: . Звідси ця функція непарна.

Їх сума є функцією загального вигляду, так як не дорівнює і .

Асимптотой графіка функції називається пряма, що володіє тим властивістю, що відстань від точки ( ; ) Площині до цієї прямої прямує до нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат. Розрізняють вертикальні (а), горизонтальні (б) і похилі (в) асимптоти.

2

а) б)


в)

Вертикальні асимптоти функції слід шукати або в точках розриву другого роду (хоча б один з односторонніх меж функції дорівнює в точці нескінченності або не існує), або на кінцях її області визначення (a, b), якщо a, b-кінцеві числа.

Якщо функція визначена на всій числовій осі і існує кінцевий межа , Або , То пряма, що задається рівнянням , Є правобічної горизонтальної асимптотой, а пряма - Лівосторонньої горизонтальної асимптотой.

Якщо існують кінцеві межі

і ,

то пряма є похилій асимптотой графіка функції. Похила асимптота також може бути правобічної ( ) Або лівосторонньої ( ).

Функція називається зростаючою на безлічі , Якщо для будь-яких , Таких, що > , Виконується нерівність: > (Спадною, якщо при цьому:

< ).

Безліч в цьому випадку називають інтервалом монотонності функції.

Справедливо наступне достатня умова монотонності функції: якщо похідна диференціюється всередині безлічі позитивна (негативна), то функція зростає (зменшується) на цій множині.

Приклад 5. Дана функція . Знайти її інтервали зростання і зменшення.

Рішення. Знайдемо її похідну . Очевидно, що > 0 при > 3 і <0 при <3. Звідси функція убуває на інтервалі ( , 3) і зростає на (3; ).

Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції , Якщо в деякій околиці точки виконується нерівність

( ).

Значення функції в точці називається максимумом (мінімумом). Максимум і мінімум функції об'єднуються загальною назвою екстремум функції.

Для того, щоб функція мала екстремум в точці необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала нулю ( ) Або не існувала.

Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками функції. У стаціонарній точці не обов'язково повинен бути екстремум функції. Для знаходження екстремумів потрібно додатково досліджувати стаціонарні точки функції, наприклад, шляхом використання достатніх умов екстремуму.

Перше з них полягає в тому, що якщо при переході через стаціонарну точку зліва направо похідна диференціюється змінює знак з плюса на мінус, то в точці досягається локальний максимум. Якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то це точка мінімуму функції.

Якщо ж зміна знака похідної при переході через досліджувану точку не відбувається, то в цій точці екстремуму немає.

Друге достатня умова екстремуму функції в стаціонарній точці використовує другу похідну функції: якщо <0, то є точкою максимуму, а якщо > 0, то - Точка мінімуму. При = 0 питання про тип екстремуму залишається відкритим.

Функція називається опуклою (увігнутою) на множині , Якщо для будь-яких двох значень виконується нерівність:

.

Якщо друга похідна двічі диференціюється позитивна (негативна) всередині безлічі , То функція увігнута (опукла) на .

Точкою перегину графіка неперервної функції називається точка, що розділяють інтервали, в яких функція опукла і увігнута.

Друга похідна двічі диференціюється в точці перегину дорівнює нулю, тобто = 0.

Якщо друга похідна при переході через деяку точку змінює свій знак, то є точка перегину її графіка.

При дослідженні функції і побудові її графіка рекомендується використовувати таку схему:

Знайти область визначення функції.

Дослідити функції на парність - непарність (якщо функція парна або непарна, то графік досить досліджувати тільки для позитивних значень , А для <0 графік симетричний відносно осі у разі парності функції і симетричний відносно початку координат - для непарної функції).

Знайти вертикальні асимптоти.

Дослідити поведінку функції в нескінченності, знайти горизонтальні і похилі асимптоти.

Знайти інтервали зростання і спадання функції і точки екстремуму.

Знайти інтервали опуклості і угнутості функції і точки перегину.

Знайти точки перетину функції з осями координат.

Приклад 6. Дослідити функцію

і побудувати її графік.

Рішення. 1.Функция представляє многочлен 3-го ступеня, тому вона визначена і неперервна для всіх .

2. Знайдемо значення функції при (- ):

а також .

Таким чином, досліджувана функція є функцією загального вигляду і її потрібно досліджувати на числової осі.

Функція неперервна на всій числовій осі, точок розриву другого роду не має, отже, у неї вертикальні асимптоти відсутні.

Розглянемо поведінку функції в нескінченності.

Знайдемо межі:

;

Так як межі не є кінцевими, то горизонтальних асимптот у функції немає.

Далі перевіримо наявність у функції похилих асимптот. Обчислимо межа:

.

Оскільки межа не є кінцевими, то похилі асимптоти також відсутні. Якби межа був кінцевим і дорівнював k, то потрібно знайти інший межа

.

У разі коли він також кінцевий (дорівнює числу b), встановлюється наявність похилій асимптоти з рівнянням .

Для визначення інтервалів монотонності функції знайдемо її похідну:

.

Похідна також визначена і неперервна на всій числовій осі. Звідси критичними точками можуть бути тільки ті, де похідна дорівнює нулю.

Для знаходження стаціонарних точок функції прирівнюємо похідну нулю:

і вирішуємо квадратне рівняння:

= = 4,

,

Тепер можна записати:

= 0.

У результаті функція має дві стаціонарні точки .

Використовуючи метод інтервалів, знайдемо інтервали знакопостоянства похідної функції.


+ +

1 _ 5 / 3

При <1 і > 5 / 3 похідна > 0, тобто інтервали і є інтервалами зростання функції.

При 1 < <5 / 3 маємо <0 і інтервалом убування є .

Оскільки при <1 знак > 0, а при > 1 <0, то стаціонарна точка = 1 є точкою максимуму функції.

В іншій стаціонарній крапці = маємо <0 зліва від неї і > 0 справа. Отже, в точці = функція має локальний мінімум.

Для знаходження інтервалів опуклості обчислимо другу похідну функції:

.

Друга похідна також визначена на всій числовій осі і точки, де вона не існує, відсутні.

Прирівнюючи другу похідну до нуля:

= 0,

знаходимо точку 3 = , Яка може бути точкою перегину.

Якщо <4 / 3, то <0 і на інтервалі функція увігнута. При > 4 / 3 > 0 і інтервал є інтервалом опуклості функції.

У результаті, оскільки при переході точки похідна змінює знак, то є точкою перегину функції.

Визначимо точки перетину функції з координатними осями. Вважаючи аргумент = 0, знаходимо точку перетину графіка функції з віссю ординат : .

Записуючи рівняння

,

знайдемо точки перетину графіка з віссю абсцис. Методом перебору з дільників вільного члена (рівного 4) визначаємо, що = 2 є коренем цього рівняння. Розділимо многочлен лівої частини рівняння на лінійний біном ( ):

0

Звідси рівняння можна записати у вигляді

.

Рішенням квадратного рівняння є = 1 (кратний корінь, тому графік функції стосується в точці = 1 координатної осі).

Для зручності побудови графіка отримані результати запишемо в наступну таблицю.

Таблиця 5.

Інтервал зміни або значення аргументу

Значення функції

Знак або значення

Висновки

Фрагмент графіка функції





(- ; 1)


+

-

Функція зростає і опукла


= 1

0

0

-

Точка максимуму




(1; )


-

-

Убуває і опукла


=


-

0

Точка перегину графіка


( ; )


-

+

Убуває і увігнута


=

-

0

+

Точка мінімуму


( ; )


+

+

Зростає і опукла



Графік досліджуваної функції

Питання для самоперевірки

1. Що називають асимптотой графіка функції?

2. Що таке локальний екстремум функції?

3. Сформулюйте необхідне і достатні умови локального екстремуму.

4. Дайте визначення опуклої функції.

5. Яку точку графіка називають точкою перегину?

Завдання для самостійної роботи

Дослідити та побудувати графік функцій:

Таблиця 6

Номер варіанта

Досліджувана функція

1

f (x) = (х3-14х2 +49 х-36) / 3

2

f (x) = (х3-25х2 +143 х-119) / 10

3

f (x) = х3-10х2 +20 х-8

4

f (x) = (х3-16х2 +69 х +86) / 6

5

f (x) = (х3-29х2 +215 х-187) / 2

6

f (x) = х3-12х2-26х +4

7

f (x) = (х3-8х2 +5 х +30) / 4

8

f (x) = (х3-19х2 +25 х +18) / 5

9

f (x) = х3-3х2-20х-6

10

f (x) = (х3-10х2 +17 х-2) / 2

Тема 5. Невизначений інтеграл

Функція називається первообразной функцією для функції , Заданої на інтервалі , Якщо в кожній точці цього інтервалу функція дифференцируема і має похідну , Що дорівнює , Тобто

Звідси випливає, що якщо -Первообразная для функції , То вираз вигляду , Де C - довільне число, також є первообразной для .

Сукупність усіх первісних функцій для даної функції на інтервалі називається невизначеним інтегралом від функції і позначається символом , Де -Знак інтеграла, -Підінтегральна функція, -Подинтегральной вираз.

Якщо -Одна з первісних для на інтервалі , То

,

де -Довільна постійна.

Операція знаходження невизначеного інтеграла від деякої функції називається інтегруванням цієї функції. Відзначимо основні властивості невизначеного інтеграла.

Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральной функції, тобто

Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цієї функції з точністю до постійного доданка, тобто

.

Постійний множник можна виносити за знак інтеграла

Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій окремо

Основу обчислювального апарату інтегрального числення становить таблиця невизначених інтегралів від основних елементарних функцій, що наводиться нижче.

Таблиця 7.

пп

Подинт.

функція

Невизначений

інтеграл

пп

Подинт.

функція

Невизначений

інтеграл

1

0

8

2

1

9

1 /

3

10

1 /

-

4

1 /

11

5

12

6

13

7

14

Приклад 1. Знайти інтеграл

Рішення. Скористаємося табличним інтегралом від степеневої функції (п.3 в таб.7) для

:

Перевіримо правильність обчислення диференціюванням правій частині

.

Отримано підінтегральна функція, що говорить про правильне знаходженні невизначеного інтеграла.

При обчисленні невизначених інтегралів наведену таблицю доповнюють спеціальними прийомами і методами інтегрування, два з яких розглянуто нижче.

Інтегрування заміною змінної (підстановкою)

Заміна змінної - один з найефективніших прийомів інтегрування, який грунтується на наступному.

Нехай потрібно знайти У ряді випадків вдається вибрати в якості нової змінної таку дифференцируемую функцію , Що має місце рівність , Причому функція легко інтегрується, тобто

Тоді

Вдала заміна змінної дозволяє спростити вихідний інтеграл і в ряді випадків звести його до табличного.

Приклад 2. Знайти

Рішення. Покладемо . Тоді . Помножимо і розділимо вихідний інтеграл на число 3 і виконаємо наступні перетворення

Отриманий інтеграл відноситься до табличних і, отже,

Зробимо перевірку диференціюванням:

.

Отримана похідна співпадає з подинтегральной функцією вихідного

інтеграла, що говорить про правильність обчислень.

Приклад 3. Обчислити

Рішення. Щоб виявити заміну, за допомогою якої може бути обчислений цей інтеграл, перетворимо його до виду

Якщо покласти , Тоді і в результаті одержимо

Інтегрування по частинах

Цей метод грунтується на наступному твердженні. Нехай функції діфференцируєми і існує первообразная для функції Тоді існує первообразная і для функції

причому справедлива формула

,

звана формулою інтегрування частинами.

Приклад 4. Знайти

Рішення. Покладемо Тоді

Довільну постійну в цих випадках виключають і записують

Тепер, застосовуючи формулу інтегрування по частинах, отримаємо

Іноді формулу інтегрування по частинах доводиться застосовувати неодноразово.

Приклад 5. Обчислити

Рішення. Вважаючи , Маємо

, .

Застосовуючи формулу інтегрування по частинах, отримаємо

Ступінь змінної в подинтегральной вираженні зменшилася на одиницю. Повторимо застосування формули інтегрування частинами. Поло-

жим

Звідси

Тоді

+

Питання для самоконтролю

Дайте визначення первісної функції.

Що називають невизначеним інтегралом?

Перерахуйте основні властивості невизначеного інтеграла.

У чому суть прийому, званого заміною змінної?

На чому заснований метод інтегрування частинами?

Завдання для самостійної роботи

Знайти невизначені інтеграли, результати перевірки диференціюванням:

Номер варіанта

А)

Б)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тема 6. Диференціальні рівняння 1-го порядку

Диференціальним рівнянням (ДУ) називають рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї або декількох змінних, ці змінні і похідні різних порядків даної функції.

У випадку, коли шукана функція залежить від однієї змінної, диференціальне рівняння називається звичайним. У загальному вигляді воно записується:

. (1)

Порядок старшої похідної шуканої функції, що входить до запису рівняння (1), називається порядком диференціального рівняння.

Рішенням рівняння називається така функція , Яка при підстановці її в рівняння (1) звертає його в тотожність. Задача знаходження рішення ДУ називається завданням інтегрування даного ДУ, а графік вирішення ДУ називається інтегральною кривою.

Спільним рішенням ДК виду (1) - Го порядку називається функція

,

де - Довільні постійні.

Приватним рішенням ДК називається рішення, що отримується із загального рішення за конкретних числових значеннях постійних .

Диференціальне рівняння 1-го порядку, дозволене щодо похідної, записується в загальному вигляді

. (2)

Його загальним рішенням є функція однієї довільної сталої

. (3)

Для отримання однозначного рішення потрібно задати початкове умова, яку геометрично являє собою завдання точки площини, через яку проходить дана інтегральна крива. Наприклад, воно може бути записано у вигляді

= Const.

З використанням даної умови спільне рішення (3) запишеться

,

що дозволяє визначити з отриманого співвідношення конкретне значення постійної і тим самим отримати деяке приватне рішення рівняння (2).

ДУ 1-го порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлено у вигляді

. (4)

Для знаходження спільного рішення такого рівняння його перетворюють до вигляду, в якому диференціал і функція опиняться в одній частині рівняння, а і - В інший:

. (5)

Потім інтегруються обидві частини отриманого рівності (з однією спільною постійної)

.

Приклад 1. Знайти спільне рішення наступного ДУ: .

Рішення. Спочатку перетворимо рівняння до виду (4)

,

а потім до виду (5):

.

Знайдемо інтеграл від лівої частини. Для цього представимо подинтегральную функцію у вигляді такої суми

.

Прирівнюючи чисельники, отримуємо

.

Знайдемо з останнього рівності і , Послідовно поклавши в ньому = 0 і =- 1:

При = 0 маємо = 1, а при = -1 Одержуємо =- 1.

Звідси

.

Інтеграл від правої частини є табличним і дорівнює .

Запишемо довільну постійну у вигляді .

Тоді

.

Звідси

або .

Вирішуючи щодо , Остаточно отримуємо спільне рішення рівняння

.

Диференціальне рівняння 1-го порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд

. (6)

Якщо 0, то рівняння (6) називають однорідним, у противному випадку - неоднорідним.

Один з варіантів вирішення рівняння (6) зводиться до представлення рішення у вигляді добутку двох функцій

, (7)

одна з яких є довільною, а інша визначається з рівняння (6).

Так як

, (8)

то підставляючи (7) і (8) в рівняння (6), отримаємо:

. (9)

Вважаючи функцію довільною, знайдемо її з умови рівності нулю виразу в круглих дужках рівняння (9), тобто як приватне рішення рівняння:

,

яке є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Тоді при певній ) Можна знайти функцію із решти спрощеною (через рівності нулю вираз в круглих дужках) частини рівняння (9):

,

яка також є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Знайдені і визначають загальне рішення вихідного диференціального рівняння.

Приклад 2.Найті загальне і приватне рішення рівняння з початковою умовою .

Рішення. Розділимо ліву і праву частину на :

.

Отримали лінійне неоднорідне рівняння.

Нехай , Тоді і вихідне рівняння прийме вигляд:

або . (10)

Зажадаємо:

, Тобто .

Звідси, розділяючи змінні

і проінтегрувавши

,

отримаємо спільне рішення

і приватне (наприклад, поклавши = 0)

або .

При і рівняння (10) набуде вигляду:

або .

Звідси .

Інтегруючи це рівняння отримаємо:

Остаточно отримуємо спільне рішення вихідного рівняння:

.

Скористаємося початковою умовою для знаходження необхідного приватного рішення:

Звідси і дані приватне рішення має вигляд

.

Питання для самоперевірки

1. Дайте визначення диференціального рівняння і його рішення.

2. Що називають загальним і приватним рішенням диференціального рівняння?

3. Яке ДУ називають рівнянням з відокремлюваними змінними?

4. Яке ДУ 1-го порядку називають лінійним?

5. Опишіть загальну схему методу розв'язання лінійного ДУ 1-го порядку.

Завдання для самостійної роботи

Знайти спільне і приватне рішення диференціального рівняння першого порядку, використовуючи початкові умови.

Таблиця 9.

Номер варіанта

Диференціальне рівняння

Початкові умови

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Правила виконання та оформлення контрольної роботи

1. Вибір варіантів здійснюється відповідно до останньої цифри навчального шифру студента (наприклад, якщо остання цифра «3», то виконується варіант номер 3, якщо - «0», то - варіант номер 10).

2. Контрольна робота пишеться чорнилом будь-якого кольору (крім червоного) в тонкій зошити, для зауважень рецензента оставляются поля. На обкладинці зошита вказують прізвище, ім'я, по батькові студента, номер студентської групи, навчальний шифр (серія і номер залікової книжки), назва кафедри, найменування дисципліни і номер контрольної роботи, а також домашню адресу.

3. Рішення задач слід розташовувати в порядку проходження номерів, вказаних в завданні, зберігаючи номери завдань. Умови завдань виписувати обов'язково. Якщо кілька завдань мають загальне формулювання, то при переписуванні загальні умови замінюють конкретними даними.

4. Рішення задач потрібно оформляти акуратно, докладно пояснюючи всі дії і використовувані формули. В кінці роботи наводиться список використаної літератури, вказується дата виконання роботи і ставиться підпис виконавця.

Література

Вища математика для економістів. Під ред. Н.Ш. Кремера. М.: Банки і біржі, 1997.

Математика: Навчальний посібник для економічних спеціальностей. Під ред. Р.Ш. Марданова, Казань: Изд-во КФЕІ, 1999.

Карасьов А.І. Курс вищої математики для економічних вузів. М.: Вища школа, 1982

Кудрявцев В.А. Короткий курс вищої математики. М.: Наука, 1986

Тализін В.А. Контрольна робота з вищої математики. Казань: КД МГУК, 1998.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Методичка | 263,4кб. | скачати

Схожі роботи:
Повне дослідження функцій і побудова їх графіків
Побудова графіків функцій
Дисперсійний аналіз та побудова статистичних графіків
Вивчення функцій та їх графіків на елективної курсі з алгебри у 9 класі
Побудова діаграм і графіків на основі електронних таблицях Excel
Ділова графіка Побудова діаграм і графіків на основі електронні
Ділова графіка Побудова діаграм і графіків на основі електронних таблицях Excel
Види ринків Типи ринків Побудова графіків та діаграм з використанням програми Microsoft Excel
Равноточние і неравноточние вимірювання оцінка точності функцій виміряних величин Побудова
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru