Дослідження функцій

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

ВИЩА МАТЕМАТИКА

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

ЗМІСТ

1. Основні теореми диференціального числення

1.1 Локальні екстремуми функції

1.2 Основні теореми диференціального числення: Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа

2. Дослідження функцій

2.1 Достатні умови екстремуму функції

2.2 Дослідження функцій на опуклість і увігнутість. Точка перегину

2.3 Асимптоти графіка функції

2.4 Загальна схема побудови графіка функції

Література

1. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОБЧИСЛЕННЯ

1.1 Локальні екстремуми функції

Нехай задана функція у = f (х) на множині Х і х 0 - внутрішня точка безлічі Х.

Позначимо через U (х 0) околиця точки х 0. У точці х 0 функція f (Х) має локальний максимум, якщо існує така околиця U (х 0) точки х 0, що для всіх х з цієї околиці виконана умова f (Х) £ f 0).

Аналогічно: функція f (Х) має в точці х 0 локальний мінімум, якщо існує така околиця U (х 0) точки х 0, що для всіх х з цієї околиці виконана умова f (Х) ³ f 0).

Точки локальних максимуму і мінімуму називаються точками локальних екстремумів, а значення функції в них - локальними екстремумами функції.

Нехай функція f (Х) визначена на відрізку [а, b] і має локальний екстремум на якомусь з кінців цього відрізка. Тоді такий екстремум називається локальним одностороннім або крайовим екстремумів. У цьому випадку відповідна околиця є правою для «а» і лівої для «b» полуокрестностью.

Проілюструємо дані вище визначення:

На малюнку точки х 1, х 3 - точки локального мінімуму, точки х 2, х 4 - точки локального максимуму, х = а - крайового максимуму, х = b - крайового мінімуму.

Зауважимо, що поряд з локальними мінімумом і максимумом визначають так звані глобальні мінімуми і максимуми функції f (х) на відрізку [a, b]. На малюнку точка х = а - точка глобального максимуму (у цій точці функція f (х) приймає найбільше значення на відрізку [a, b]), точка х = х 3 - точка відповідно глобального мінімуму.

1.2 Основні теореми диференціального числення: Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа

Розглянемо деякі теореми, які дозволять у подальшому проводити дослідження поведінки функцій. Вони носять назви основних теорем математичного аналізу або основних теорем диференціального обчислення, оскільки вказують на взаємозв'язок похідної функції в точці і її поведінки в цій точці. Розглянемо теорему Ферма.

П'єр Ферма (1601-1665) - французький математик. За професією - юрист. Математикою займався у вільний час. Ферма - один з творців теорії чисел. З його ім'ям пов'язані дві теореми: велика теорема Ферма (для будь-якого натурального числа n> 2 рівняння х n + y n = z n не має рішень у цілих позитивних числах х, у, z) і мала теорема Ферма (якщо р - просте число і а - ціле число, не ділиться на р, то а р-1 - 1 ділиться на р).

Теорема Ферма. Нехай функція f (Х) визначена на інтервалі (а, b) і в деякій точці х 0 Î (а, b) має локальний екстремум. Тоді, якщо в точці х 0 існує кінцева похідна f '(X 0), то f '(X 0) = 0.

Доказ.

Нехай, для визначеності, в точці х 0 функція має локальний мінімум, тобто f (Х) ³ f 0), œх Î U (х 0). Тоді в силу діфференцируємості

f (Х) в точці х 0 отримаємо:

при х> х 0:

при х <х 0:

Отже, ці нерівності в силу діфференцируємості мають місце одночасно лише коли

Теорема доведена.

Геометричний сенс теореми Ферма: якщо х 0 Î (а, b) є точкою мінімуму або максимуму функції f (Х) і в цій точці існує похідна функц ії, то дотична, проведена до графіка функції в точці (х 0, f 0)), паралельна осі О х:


Зауважимо, що обидві умови теореми Ферма - інтервал (а, b) і дифференцируемость функції в точці локального екстремуму - обов'язкові.

Приклад 1. У = ç х ÷, х Î (-1; 1).

У точці х 0 = 0 функція має мінімум, але в цій точці похідна не існує. Отже, теорема Ферма для даної функції невірна (не виконується умова діфференцируємості функції в точці х 0).

Приклад 2. У = х 3, х Î [-1, 1].

У точці х 0 = 1 функція має крайової максимум. Теорема Ферма не виконується, так як точка х 0 = 1 Ï (-1; 1).

Мішель Ролль (1652-1719) - французький математик, член Паризької академії наук. Розробив метод відділення дійсних коренів алгебраїчних рівнянь.

Теорема Ролля. Нехай функція f (X) неп реривна на відрізку [а, b], дифференцируема на (а, b), f (А) = f (b). Тоді існує хоча б одна точка x, а <x <b, така, що f '(X) = 0.

Доказ:

1) якщо f (X) = const на [a, b], то f '(Х) = 0, œх Î (a, b);

2) якщо f (X) ¹ const на [a, b], то безперервна на [a, b] функція досягає найбільшого і найменшого значень в деяких точках відрізка

[A, b]. Отже, max f (X) або min f (X) обов'язково досягається у внутрішній точці x відрізка [a, b], а по теоремі Ферма маємо, що f '(X) = 0.

Теорема доведена.

Геометричний сенс теореми Ролля: при виконанні умов теореми всередині відрізка [a, b] обов'язково знайдеться хоча б одна точка x, така, що дотична до графіка f (X) в точці (x, f (X)) ïï ​​Ox (див. малюнок).

Зауважимо, що всі умови теореми істотні.

Приклад 3. F (x) = ç х ÷, х Î [-1, 1]. F (-1) = f (1) = 1.

У точці х = 0 порушено умова діфференцируємості. Отже, теорема Ролля не застосовується - ні в одній точці відрізка [-1; 1] похідна в нуль не звертається.

Приклад 4.

Для даної функції f (0) = f (1) = 0, але в жодній точці інтервалу

(0; 1) похідна не дорівнює 0, так як теорема Ролля не виконується - функція не є безперервною на [0, 1].

Огюстен Коші (1789-1857) - французький математик, член Паризької академії наук, почесний член Петербурзької і багатьох інших академій. Праці Коші відносяться до математичного аналізу, диференціальних рівнянь, алгебри, геометрії та інших математичних наук.

Теорема Коші. Нехай функції f (Х) і g (х) неперервні на відрізку

[A, b] і діфференцируєми на інтервалі (a, b), причому g '(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тоді на (a, b) знайдеться точка x, така, що

. (1)

Доказ.

Розглянемо допоміжну функцію Функція F (х) неперервна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причому F (а) = F (b) = 0. Отже, за теоремою Ролля на (a, b) існує точка x, така, що F '(x) = 0:

Отже:

.

Теорема доведена.

Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) - французький математик і механік, почесний член Паризької та Петербурзької академій. Йому належать видатні дослідження з математичного аналізу, з різних питань диференціальних рівнянь, з алгебри та теорії чис їв, механіки, астрономії. Лагранж вперше ввів в розгляд потрійні інтеграли, запропонував позначення для похідної (y ', f' (x)).

Теорема Лагранжа. Нехай функція f (х) неперервна на [a, b], дифференцируема на інтервалі (a, b). Тоді на (a, b) знайдеться точка x, така, що

(2)

Доказ.

З формули (1) при g ​​(x) = x отримуємо формулу (2).

Теорема доведена.

Рівність (2) називають формулою кінцевих приростів або формулою Лагранжа про середню.

Геометричний сенс теореми Лагранжа.

При виконанні умов теореми всередині відрізка [a, b] обов'язково знайдеться хоча б одна точка x, така, що дотична до графіка функції f (x) в точці (x, f (X)) паралельна січною, що проходить через точки А (а, f (А)) і В (b, f (b)) (див. малюнок).

Розглянемо наслідки з теореми Лагранжа:

1. (Умова сталості функції на відрізку). Нехай функція f (X) неперервна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Якщо f '(X) = 0, œх Î (a, b), то функція f (x) постійна на [a, b].

2. Нехай функції f (X) і g (х) неперервні на відрізку [a, b], діфференцируєми на інтервалі (a, b), f '(X) = g' (х), œх Î (a, b). Тоді f (X) = g (х) + С, де С = const.

3. (Умова монотонності функції). Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], дифференцируемая на інтервалі (a, b). Тоді, якщо f '(X)> 0, œх Î (a, b), то f (X) строго монотонно зростає на (a, b). Якщо ж f '(X) <0,

œх Î (a, b), то f (X) строго монотонно убуває на (a, b).

2. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

2.1 Достатні умови екстремуму функції

У лекції 1 ми розглянули основні теореми математичного аналізу, які широко використовуються при дослідженні функції, побудові її графіка.

По теоремі Ферма: з діфференцируємості функції f (X) в точці локального екстремуму х 0 випливає, що f '(X 0) = 0. Дана умова є необхідною умовою існування в точці локального екстремуму, тобто якщо в точці х 0 - екстремум функції f (X) і в цій точці існує похідна, то f '(X 0) = 0. Точки х 0, в яких f '(X 0) = 0, називаються стаціонарними точками функції. Зауважимо, що рівність нулю похідної

в точці не є достатнім для існування локального екстремуму в цій точці.


Приклад 1. У = х 3, у '= 3х 2, у' (0) = 0, але

в точці х 0 = 0 немає екстремуму.

Точками, підозрілими на екстремум функції f (X) на інтервалі (a, b), є точки, в яких похідна існує і дорівнює 0 або вона не існує або дорівнює нескінченності. На малюнках функції мають мінімум в точці х 0 = 0:

f '(0) = 0 f' (0) $ f '(0) = ¥

Розглянемо достатні умови існування в точці локального екстремуму, які дозволять відповісти на питання: «Чи є в точці екстремум і який саме - мінімум або максимум?».

Теорема 1 (перше достатня умова екстремуму). Нехай безперервна функція f (X) дифференцируема в деякій проколеної околиці U (x 0) точки х 0 (проколота околиця означає, що сама точка х 0 викидається з околиці) і неперервна в точці х 0. Тоді:

1) якщо (1)

то в точці х 0 - локальний максимум;

2) якщо (2)

то в точці х 0 - локальний мінімум.

Доказ.

З нерівностей (1) і Наслідок 3 теореми Лагранжа (про монотонності функції) випливає, що при х <х 0 функція не убуває, а при х> х 0 функція не зростає, тобто

(3)

Отже, з (3) одержуємо, що в точці х 0 функція має локальний максимум.

Аналогічно можна розглянути нерівності (2) для локального мінімуму:


f (x) f (x)

f '(х) ³ 0 f' (х) £ 0 f '(х) £ 0 f' (х) ³ 0

Теорема доведена.

Приклад 2. Дослідити на монотонність і локальний екстремум функцію за допомогою похідної першого порядку.

Рішення. Знайдемо стаціонарні точки функції:

Þ х 2 -1 = 0 Þ х 1 = -1, х 2 = 1.

Зауважимо, що дана функція не визначена в точці х = 0. Отже:

х

(- ¥; -1)

- 1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; + ¥)

у '

+

0

-

-

-

0

+

у


- 2


-


2


max min

Тобто функція зростає на інтервалах (- ¥; -1) і (1; + ¥), убуває на інтервалах (-1; 0), (0; 1), має локальний максимум у точці

х 1 = -1, рівний у max (-1) = -2; має локальний мінімум в точці х 2 = 1,

у min (1) = 2.

Теорема 2 (друге достатня умова екстремуму). Нехай функція f (x) двічі неперервно-диференційована. Якщо х 0 - стаціонарна точка

(F ' 0) = 0), в якій f'' 0)> 0, то в точці х 0 функція має локальний мінімум. Якщо ж f'' 0) <0, то в точці х 0 функція має локальний максимум.

Доказ. Нехай для визначеності f'' 0)> 0. Тоді

Отже:

при х 0, f ' (Х) <0,

при х > Х 0, f ' (Х)> 0.

Тому за теоремою 1 в точці х 0 функція має локальний мінімум.

Теорема доведена.

Приклад 3. Дослідити на екстремум функцію за допомогою другої похідної.

Рішення. У прикладі 2 для даної функції ми знайшли першу похідну і стаціонарні точки х 1 = -1, х 2 = 1.

Знайдемо другу похідну даної функції:

Знайдемо значення другої похідної в стаціонарних точках.

Þ в точці х 1 = -1 функція має локальний максимум;

Þ в точці х 2 = 1 функція має локальний мінімум (по теоремі 2).

Зауважимо, що теорема 1 більш універсальна. Теорема 2 дозволяє проаналізувати на екстремум лише точки, в яких перша похідна дорівнює нулю, тоді як теорема 1 розглядається три випадки: рівність похідної нулю, похідна не існує, дорівнює нескінченності в підозрілих на екстремум точках.

2.2 Дослідження функцій на опуклість і увігнутість. Точка перегину

Нехай функція f (х) задана на інтервалі (a, b) і х 1, х 2 - будь-які різні точки цього інтервалу. Через точки А (х 1, f 1)) і В (х 2, f 2)) графіка функції f (Х) проведемо пряму, відрізок АВ якої називається хордою. Рівняння цієї прямої запишемо у вигляді у = у (х).

Функція f (Х) називається опуклою вниз на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х 1, х 2 Î (a, b), а £ х 12 £ b, хорда АВ лежить не нижче графіка цієї функції, т . тобто якщо f (Х) £ у (х), œ х Î 1, х 2] Ì (a, b):

Зауважимо, що опуклу вниз функцію іноді називають увігнутою функцією. Аналогічно визначається опуклість функції вгору.

Функція f (Х) називається опуклою вгору на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х 1, х 2 Î (a, b), а £ х 12 £ b, хорда АВ лежить не вище графіка цієї функції, тобто якщо f (Х) ³ у (х), œ х Î 1, х 2] Ì (a, b):

Теорема 3 (достатня умова опуклості). Якщо f (Х) - двічі безупинно диференціюємо а на інтервалі (a, b) і

1) f''(х)> 0, œ х Î (A, b), то на (a, b) функція f (Х) опукла вниз;

2) f''(х) <0, œ х Î (A, b), то на (a, b) функція f (Х) опукла вгору.

Точка х 0 називається точкою п е регіба функції f (Х), якщо $ d - навкруги-ність точки х 0, що для всіх х Î0 - d, х 0) графік функції знаходиться з одного боку дотичній, а для всіх х Î0, х 0 + d) - з іншого боку каса -котельної, проведеної до графіка функції f (Х) в точці х 0, тобто точка х 0 - точка перегину функції f (Х), якщо при переході через точку х 0 функція f (Х) змінює характер опуклості:


х 0 - d х 0 х 0 + d

Теорема 4 (необхідна умова існування точки перегину). Якщо функція f (Х) має безперервну в точці х 0 похідну f''і х 0 - точка перегину, то f''(х 0) = 0.

Доказ.

Якби f''(х 0) <0 або f''(х 0)> 0, то по теоремі 3 в точці х 0 функція f (Х) була б опукла вгору або вниз. Отже, f''(х 0) = 0.

Теорема доведена.

Теорема 5 (достатня умова перегину). Якщо функція f (Х) двічі безупинно дифференцируема в околиці точки х 0 і при переході через точку х 0 похідна f''(х) змінює знак, то точка х 0 є точкою перегину функції f (Х).


Приклад 4. Дослідити на опуклість і знайти точки перегину функції у = х 3.

Рішення. У '= 3х 2, у''= 6х = 0 Þ х 0 = 0 - точка, підозрілою на перегин.

У точці х 0 = 0 функція у = х 3 має перегин:

х

(- ¥, 0)

0

(0; + ¥)

в''

-

0

+

у

опукла вгору

0

опукла вниз



точка перегину


Приклад 5. Дослідити на опуклість і знайти точки перегину функції .

Рішення. У прикладі 3 ми вже знаходили другу похідну даної функції . Так як то точок підозрілих на перегин немає. Розглянемо проміжки опуклості:

х

(- ¥, 0)

0

(0; + ¥)

в''

-

-

+

у

опукла вгору

-

опукла вниз



функція не визначена


2. 3 Асимптоти графіка функції

Асимптотой будемо називати пряму, до якої графік функції необмежено близько наближається. Розрізняють вертикальні і похилі асимптоти.

Пряма х = х 0 називається вертикальною асимптотой графіка функції f (Х), якщо хоча б один з меж f 0 - 0) або f 0 + 0) дорівнює нескінченності.

Приклад 6. Знайти вертикальні асимптоти функцій:

а) б) в)

Рішення. Вертикальними асимптотами функцій будуть прямі х = х 0, де х 0 - точки, в яких функція не визначена.

а) х = 3 - вертикальна асимптота функції . Дійсно, ;

б) х = 2, х = - 4 - вертикальні асимптоти функції . Дійсно,

,

;

в) х = 0 - вертикальна асимптота функції Дійсно, .

Пряма у = kx + b називається похилій асимптотой графіка неперервної функції f (Х) при х ® + ¥ або х ® - ¥, якщо f (Х) = kx + b + α (х), , Тобто якщо похила асимптота для графіка функції f (Х) існує, то різниця ординат функції f (Х) і прямої у = kx + b у точці х прямує до 0 при х ® + ¥ або при х ® - ¥.

Теорема 6. Для того щоб пряма у = kx + b була похилій асимптотой графіка функції f (Х) при х ® + ¥ або х ® - ¥, необхідно і достатньо існування кінцевих меж:

(4)

Отже, якщо хоча б один з даних меж не існує або дорівнює нескінченності, то функція не має похилих асимптот.

Приклад 7. Знайти похилі асимптоти функції

Рішення. Знайдемо межі (4):

Отже, k = 1.

Отже, b = 0.

Таким чином, функція має похилу асимптоту

у = kx + b = 1 · х + 0 = х.

Відповідь: у = х - похила асимптота.

Приклад 8. Знайти асимптоти функції .

Рішення.

а) функція невизначена в точках х 1 = -1, х 2 = 1. Отже, прямі х 1 = -1, х 2 = 1 - вертикальні асимптоти даної функції.

Дійсно, .

;

б) у = kx + b.

Отже, у = 2х + 1 - похила асимптота даної функції.

Відповідь: х 1 = -1, х 2 = 1 - вертикальні, у = 2х + 1 - похила асімп-

тоти.

2.4 Загальна схема побудови графіка функції

1. Знаходимо область визначення функції.

2. Досліджуємо функцію на періодичність, парність або непарність.

3. Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум.

4. Знаходимо проміжки опуклості і точки перегину.

5. Знаходимо асимптоти графіка функції.

6. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.

7. Будуємо графік.

Перш ніж перейти до прикладів, нагадаємо визначення парності і непарності функції.

Функція у = f (Х) називається парною, якщо для будь-якого значення х, взятого з області визначення функції, значення (-х) також принад-лежить області визначення і виконується рівність f (Х) = f (-Х). Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Функція у = f (Х) називається непарною для будь-якого значення х, взятого з області визначення функції, значення (-х) також належить об-ласті визначення, і виконується рівність f (-Х) = - f (Х). Графік не-парної функції симетричний відносно початку координат.

Приклад 9. Побудувати графік .

Рішення. Ми використовуємо дані, отримані для цієї функції в інших прикладах.

1. D (у) = (- ¥; 0) È (0; + ¥).

2. Отже, функція непарна. Її графік буде симетричний відносно початку координат.

3. (Див. приклад 2). Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум:

х

(- ¥; -1)

- 1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; + ¥)

у '

+

0

-

-

-

0

+

у


- 2


-


2


max min

4. (Див. приклад 5). Досліджуємо функцію на опуклість і знайдемо точки перегину.

х

(- ¥, 0)

0

(0; + ¥)

в''

-

-

+

у

опукла вгору

-

опукла вниз



функція не визначена


Незважаючи на те, що функція поміняла характер опуклості при переході через точку х = 0, але в ній немає перегину, тому що в цій точці функція не визначена.

5. (Див. приклади 6 і 7). Знайдемо асимптоти функції:

а) х = 0 - вертикальна асимптота;

б) у = х - похила асимптота.

6. Точок перетину з осями координат у даній функції немає, так як , При будь-яких х Î ú, а х = 0 Ï D (у).

7. За отриманими даними будуємо графік функції:

Приклад 10. Побудувати графік функції .

Рішення.

1. D (у) = (- ¥; -1) È (-1; 1) È (1; + ¥).

2. - Функція непарна. Отже, графік функції буде симетричний відносно початку координат.

3. Досліджуємо функцію на монотонність та екстремум:

2 - х 4 = 0, х 2 · (3 - х 2) = 0, х 1 = 0, х 2 = , Х 3 = .

х

(- ¥; )

( ; 0)

- 1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; )

( ; + ¥)

у '

-

0

+

-

+

0

+

-

+

0

-

у


2,6


-


0


-


- 2,6


4. Досліджуємо функцію на опуклість та точки перегину:

х = 0 - точка, підозрілою на перегин.

х

(- ¥; -1)

- 1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(0; + ¥)

в''

+

-

-

0

+

-

-

у

опукла

вниз

-

опукла

вгору

0

опукла вниз

-

опукла

вниз




перегин



5. Знайдемо асимптоти функції:

а) х = -1, х = 1 - вертикальні асимптоти.

Дійсно:

б) у = kx + b.

,

Þ у =-1х + 0 = - х - похила асимптота.

6. Знайдемо точки перетинання з осями координат:

х = 0 Þ у = 0 Þ (0, 0) - точка перетину з осями координат.

7. Будуємо графік:

ЛІТЕРАТУРА

  1. Гусак А. А. Математичний аналіз і диференціальні рівняння .- Мн.: Тетрасістемс, 1998. - 415 с.

  2. Мінченков Ю. В. Вища математика. Похідна функції. Диференціал функції: Навчально-методичний посібник .- Мн.: ЧІУіП, 2007 .- 20 с.


Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
95кб. | скачати


Схожі роботи:
Дослідження функцій і побудова їх графіків
Дослідження функцій управління в організації
Дослідження функцій органів дихання
Повне дослідження функцій і побудова їх графіків
Черепні нерви анатомічна будова і дослідження функцій
Інтерполяція функцій 2
Податки та їх функцій
Апроксимація функцій
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru