додати матеріал


приховати рекламу

Дослідження моделі електролітичного осадження міді

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа
вищої професійної освіти
Нижегородський державний технічний університет
Кафедра Фізика і технологія матеріалів і компонентів електронної техніки
Завідувач кафедрою
____________ Воротинцев В.М.

«____» ________________ 2005
Дослідження моделі електролітичного осадження міді
Варіант № 7
КЕРІВНИК
Панкратов А.В.


(Підпис) (П.І.Б.)
________________дата
СТУДЕНТ
Шаров А.Ю.


(Підпис) (П.І.Б.)
________________дата


(Група чи шифр)
Робота защіщена________________
Протокол № _____________________
З оцінкою ______________________
2005

Зміст
1 Вступ 2
2.1 Історична довідка 3
2.2 Положення міді в періодичній системі Д.І. Менделєєва 4
2.3 Поширення в природі 4
2.4 Отримання 5
2.5 Фізичні властивості 8
2.6 Застосування 8
2.8 Метод електролітичного осадження 9
3 Побудова фізико-математичної моделі 15
4 Визначення характеристик 17
5 Загальні нелінійні диференціальні рівняння 19
5.1 Нелінійний оператор Лапласа 19
5.2 Рівняння Монжа-Ампера 20
5.3 Рівняння четвертого порядку 20
6 Список використаних джерел 22

1 Введення
Рівень технології виробництва радіоелектронних пристроїв є одним з основних факторів, що визначають науково-технічний прогрес країни. Найважливішим елементом сучасних радіоелектронних пристроїв є інтегральні мікросхеми.
Розробка і прискорене впровадження у виробництво перспективної електронної бази, в тому числі великих інтегральних схем (ВІС) з високим швидкодією і ступенем інтеграції в значній мірі визначається створенням систем автоматизованого проектування (САПР) та підготовкою висококваліфікованих інженерних кадрів, які досконало володіють інструментом машинного моделювання інтегральних мікротехнологій приладів і схем.
Інженер-технолог виробництва інтегральних схем повинен опанувати фізико-хімічними основами цього виробництва, аналізом і синтезом технологічних процесів, теорією точності і надійності технологічних процесів, теорією математичного моделювання та оптимізації виробництва, наукою про процеси і апаратах.

2 Хімічний процес - область застосування
Мідь - хімічний елемент. Один із семи металів, відомих з глибокої давнини. За деякими археологічними даними - мідь була добре відома єгиптянам ще за 4000 років до н. е.. Знайомство людства з міддю відноситься до більш ранньої епохи, ніж з залізом; це пояснюється з одного боку більш частим перебуванням міді у вільному стані на поверхні землі, а з іншого порівняльної легкістю отримання її із з'єднань. Особливо важлива мідь для електротехніки. По електропровідності мідь займає друге місце серед всіх металів, після срібла. Однак у наші дні у всьому світі електричні дроти, на які раніше йшла майже половина виплавленої міді, все частіше роблять з алюмінію. Він гірше проводить струм, але легше і доступніше. Мідь ж, як і багато інші кольорові метали, стає все дефіцитні. Якщо в 19 ст. мідь добувалася з руд, де містилося 6-9% цього елемента, то зараз 5%-і мідні руди вважаються дуже багатими, а промисловість багатьох країн переробляє руди, в яких лише 0,5% міді.
2.1 Історична довідка
Мідь належить до числа металів, відомих з глибокої давнини. Ранньому знайомству людини з міддю сприяло те, що вона зустрічається в природі у вільному стані у вигляді самородків, які іноді досягають значних розмірів. Мідь і її сплави зіграли велику роль у розвитку матеріальної культури. Завдяки легкій відновлюваність оксидів і карбонатів, мідь була, мабуть, першим металом, який людина навчилася відбудуєш з кисневих сполук, які у рудах. Стародавня Греція та Рим отримували мідь з острова Кіпру (Cyprum), звідки й назва її Сuprum.
У давнину для обробки скельної породи її нагрівали на багатті і швидко охолоджували, причому порода розтріскувалася. Вже в цих умовах були можливі процеси відновлення. Надалі відновлення вели у вогнищах з великою кількістю вугілля і з вдуванням повітря за допомогою труб і хутра. Багаття оточували стінками, які поступово підвищувалися, що призвело до створення шахтної печі. Пізніше методи відновлення поступилися місцем окисної плавці сульфідних мідних руд з отриманням проміжних продуктів - штейну (сплаву сульфідів), в якому концентрується мідь, і шлаку (сплаву оксидів).
2.2 Положення міді в періодичній системі Д.І. Менделєєва
Мідь (Cuprum), Сu - хімічний елемент побічної підгрупи першої групи періодичної системи елементів Д.І. Менделєєва. Порядковий номер 29, атомна маса 63,54. Розподіл електронів в атомі міді - Is 2 лютого s 2 лютого p 3 червня s 3 лютого p 3 червня d 4 жовтня s 1.
Природна мідь складається з суміші 2-х стабільних ізотопів з масовими числами 63 (69,1%) та 65 (30,9%). Перетин захоплення теплових нейтронів атомів міді 3,59-10 -28 м -2. Шляхом бомбардування нікелю протонами або дейтронами штучно отримують радіоактивні ізотопи міді 61 Сu і 64 Сu з періодами напіврозпаду 3,3 і 12,8 год відповідно. Ці ізотопи мають високу питомою активністю і використовуються як мічені атоми.
Заповнена d-оболонка міді менш ефективно екранує s-електрон від ядра, ніж оболонка інертного газу, тому перший потенціал іонізації міді вище, ніж у лужних металів. Так як в освіті металевого зв'язку беруть участь і електрони d-оболонки, теплота випаровування і температура плавлення міді значно вище, ніж у лужних металів, що обумовлює більш «шляхетний» характер міді в порівнянні з останніми. Другий і третій потенціали іонізації менше, ніж у лужних металів, що значною мірою пояснює прояв властивостей міді як перехідного елемента, який в ступені окислення II і III має парамагнітні властивості забарвлених іонів і комплексів. Мідь (I) також утворює численні з'єднання за типом комплексів перехідних металів.
2.3 Поширення в природі
Середній вміст міді в земній корі 4,7-10 -3% (за масою), в нижній частині земної кори, складеної основними породами, її більше (1-10 -2%), ніж у верхній (2-10 -3% ), де переважають граніти та інші кислі вивержені породи. Мідь енергійно мігрує як в гарячих водах глибин, так і в холодних розчинах біосфери; сірководень тримає в облозі з природних вод різні сульфіди міді, що мають велике промислове значення. Серед численних мінералів міді переважають сульфіди, фосфати, сульфати, хлориди, відомі також самородна мідь, карбонати і оксиди.
Мідь - важливий елемент життя, вона бере участь у багатьох фізіологічних процесах. Середній вміст міді в живій речовині 2-10 -4%, відомі організми - концентратори міді. У тайгових та інших ландшафтах вологого клімату мідь порівняно легко вилуговується з кислих грунтів, тут місцями спостерігається дефіцит міді та пов'язані з ним хвороби рослин і тварин (особливо на пісках і торфовищах). У степах і пустеляххарактерними для них слабколужних розчинами) мідь малорухливі; на ділянках родовищ міді спостерігається її надлишок у грунтах і рослинах, чого хворіють домашні тварини.
У річковій воді дуже мало міді, 1-10 -7%. Принесена в океан зі стоком мідь порівняно швидко переходить в морські мули. Тому глини і сланці кілька збагачені міддю (5,7-10 -3%), а морська вода різко недосищена міддю (3-10 -7%).
У морях минулих геологічних епох місцями відбувалося значне накопичення міді в мулах, що призвело до утворення родовищ (наприклад, Мансфельд в Німеччині). Мідь енергійно мігрує і в підземних водах біосфери, з цими процесами пов'язане накопичення руд міді в пісковиках.
Мідь утворює до 240 мінералів, однак лише близько 40 мають промислове значення.
Розрізняють сульфідні і окислені руди міді. Промислове значення мають сульфідні руди, з яких найбільш широко використовується мідний колчедан (халькопірит) CuFeS 2. У природі він зустрічається головним чином у суміші з залізним колчеданов FeS 2 і порожньою породою, що складається з оксидів Si, Al, Ca та ін Часто сульфідні руди містять домішки благородних металів (Аі, Ag), кольорових і рідкісних металів (Zn, Pb, Ni, Co, Mo та ін) і розсіяних елементів (Ge та ін.)
Зміст міді в руді зазвичай складає 1-5%, але завдяки легкої флотуємості халькопирита його можна збагачувати, отримуючи концентрат, що містить 20% міді і більше [1845]. Найбільш великі запаси мідних руд зосереджені головним чином на Уралі, в Казахстані, Середній Азії, Африці (Катанта, Замбія), Америці (Чилі, США, Канада).
2.4 Отримання
Мідні руди характеризуються невисоким вмістом міді. Тому перед плавкою тонкоизмельченную руду піддають механічному збагаченню; при цьому цінні мінерали відділяються від основної маси порожньої породи, у результаті отримують ряд товарних концентратів (наприклад, мідний, цинковий, піритні).
У світовій практиці 80% міді витягують з концентратів пирометаллургическими методами, заснованими на расплавлении всієї маси матеріалу. У процесі плавки, внаслідок більшої спорідненості міді до сірки, а компонентів порожньої породи та заліза до кисню, мідь концентрується в сульфідних розплаві (штейні), а оксиди утворюють шлак. Штейн відокремлюють від шлаку відстоюванням.
На більшості сучасних заводів плавку ведуть у відбивних або в електричних печах. У відбивних печах робочий простір витягнуте в горизонтальному напрямку; площа подачі 300 м 2 і більше (30 м; 10 м), необхідне для плавлення тепло отримують спалюванням вуглецевого палива (природний газ, мазут, пилеуголь) в газовому просторі над поверхнею ванни. В електричних печах тепло отримують пропусканням через розплавлений шлак електричного струму (струм підводиться до шлаку через занурені в нього графітові електроди).
Однак і відбивна, і електрична плавки, засновані на зовнішніх джерелах теплоти, - процеси недосконалі. Сульфіди, що становлять основну масу мідних концентратів, володіють високою теплотворною здатністю. Тому все більше впроваджуються методи плавки, в яких використовується теплота спалювання сульфідів (окислювач - підігріте повітря, повітря, збагачене киснем, або технічний кисень). Дрібні, попередньо висушені сульфідні концентрати вдувають струменем кисню або повітря в розпечену до високої температури піч. Частинки горять у зваженому стані (киснево-зважена плавка). Можна окисляти сульфіди і в рідкому стані; ці процеси посилено досліджуються в СРСР і за кордоном (Японія, Австралія, Канада) і стають головним напрямком у розвитку пирометаллургии сульфідних мідних руд.
Багаті кускові сульфідні руди (2-3% Cu) з високим вмістом сірки (35-42% S) в ряді випадків безпосередньо спрямовуються на плавку в шахтних печах (печі з вертикально розташованим робочим простором). В одній з різновидів шахтної плавки (мідно-сірчана плавка) в шихту додають дрібний кокс, відбудуєш у верхніх горизонтах печі SO 2 до елементарної сірки. Мідь у цьому процесі також концентрується в штейні.
Добутий при плавці рідкий штейн (в основному Cu 2 S, FeS) заливають в конвертер - циліндричний резервуар з листової сталі, викладений зсередини магнезитовим цеглою, забезпечений бічним поруч фурм для вдування повітря та пристроєм для повертання навколо осі. Через шар штейну продувають стиснене повітря. Конвертування штейнів протікає у дві стадії. Спочатку окислюється сульфід заліза, і для зв'язування окислів заліза в конвертер додають кварц; утворюється конвертерний шлак. Потім окислюється сульфід міді з утворенням металевої міді і SO 2. Цю чорнову мідь розливають у форми. Злитки (а іноді безпосередньо розплавлену чорнову мідь) з метою вилучення цінних супутників (Au, Ag, Se, Fe, Bi і інших) і видалення шкідливих домішок направляють на вогневий рафінування. Воно засноване на більшому, ніж у міді, спорідненості металів-домішок до кисню: Fe, Zn, Co і частково Ni та інші у вигляді окислів переходять в шлак, а сірка (у вигляді SO 2) видаляється з газами. Після видалення шлаку мідь для відновлення розчиненої в ній Cu 2 O "дражнять", занурюючи в рідкий метал кінці сирих березових або соснових колод, після чого відливають його в плоскі форми. Для електролітичного рафінування ці злитки підвішують у ванні з розчином CuSO 4, підкисленим H 2 SO 4. Вони служать анодами. При пропущенні струму аноди розчиняються, а чиста мідь відкладається на катодах - тонких мідних аркушах, також одержуваних електролізом у спеціальних матричних ваннах. Для виділення щільних гладких опадів в електроліт вводять поверхнево-активні добавки (столярний клей, тіосечовини та інші). Отриману катодну мідь промивають водою і переплавляють. Благородні метали, Se, Te і інші цінні супутники міді концентруються в анодному шламі, з якого їх витягують спеціальної переробкою.
Поряд з пирометаллургическими застосовують також гідрометалурги-етичні методи отримання міді (переважно з бідних окислених і самородних руд). Ці методи засновані на виборчій розчиненні медьсодержащих мінералів, зазвичай в слабких розчинах H 2 SO 4 або аміаку. З розчину міді, або беруть в облогу залізом, або виділяють електролізом з нерозчинними анодами. Дуже перспективні стосовно змішаним рудам комбіновані гідрофлотаціонние методи, при яких кисневі сполуки міді розчиняються в сірчанокислих розчинах, а сульфіди виділяються флотацією. Набувають поширення і автоклавні гідрометалургійні процеси, що йдуть при підвищених температурах і тиску.
2.5 Фізичні властивості
Технічна мідь - метал червоного, в зламі рожевого кольору, при просвічуванні в тонких шарах - зеленувато-блакитний. Має гранецентрированную кубічні грати з параметром а = 0,36074 нм, щільність 8,96 кг / м 3 (20 ° С).
Основні фізичні властивості міді
Температура плавлення, ° С 1083
Температура кипіння, ° С 2600
Теплота плавлення, кДж / г-ат. 0,7427
Теплота випаровування, кДж / г-ат. 17,38
Питома теплоємність, Дж / ​​(г. Град) (20 ° С) 0,022
Теплопровідність, Дж / ​​(м. Град. З) (20 ° С) 2,25-10 -3
Електричний опір, Ом. М (20 ° С) 1,68-Ю -4
Питома магнітна сприйнятливість, 0,086. 10 -6
абс. ел.-магн. од. / г (18 ° С)
Мідь - в'язкий, м'який і ковкий метал, що поступається лише сріблу високу теплопровідність і електропровідність. Ці якості, а також пластичність і опір корозії зумовили широке застосування міді в промисловості.
2.6 Застосування
Велика роль міді в техніці обумовлена ​​низкою її цінних властивостей і, перш за все високою електропровідністю, пластичністю, теплопровідністю. Завдяки цим властивостям мідь - це основний матеріал для проводів; понад 50% видобутої міді застосовують в електротехнічній промисловості. Всі домішки знижують електропровідність міді, а тому в електротехніці використовують метал вищих сортів, що містить не менше 99,9% Cu. Високі теплопровідність і опір корозії дозволяють виготовляти з міді відповідальні деталі теплообмінників, холодильників, вакуумних апаратів і т. п. Близько 30-40% міді використовують у вигляді різних сплавів, серед яких найбільше значення мають латуні (від 0 до 50% Zn) і різні види бронз; оловяністих, алюмінієві, свинцюваті, берилієві і т. д. (докладніше див Сплави міді). Крім потреб важкої промисловості, зв'язку, транспорту, деяка кількість міді (головним чином у вигляді солей) споживається для приготування мінеральних пігментів, боротьби з шкідниками і хворобами рослин, як мікродобрив, каталізаторів окисних процесів, а також у шкіряної і хутряної промисловості і при виробництві штучного шовку.
Мідь як художній матеріал використовується з мідного віку (прикраси, скульптура, начиння, посуд). Ковані та литі вироби з міді і сплавів прикрашаються карбуванням, гравіруванням і тисненням. Легкість обробки міді (обумовлена ​​її м'якістю) дозволяє майстрам домагатися розмаїтості фактур, ретельності опрацювання деталей, тонкої моделировки форми. Вироби з міді відрізняються красою золотистих або червонуватих тонів, а також властивістю знаходити блиск при шліфуванні. Мідь нерідко золотять, патинують, тонують, прикрашають емаллю. З 15 століття мідь застосовується також для виготовлення друкарських форм.
У медицині сульфат міді застосовують як антисептичний і в'яжучий засіб у вигляді очних крапель при кон'юнктивітах і очних олівців для лікування трахоми. Розчин сульфату міді використовують також при опіках шкіри фосфором. Іноді сульфат міді застосовують як блювотний засіб. Нітрат міді вживають у вигляді очної мазі при трахомі і кон'юнктивітах.
2.8 Метод електролітичного осадження
Метод електролітичного осадження - найбільш старий метод отримання тонкоплівкових структур металів. У технології виробництва виробів електронної техніки цей метод для осадження срібла, золота, міді та нікелю, хрому, свинцю, платини, олова, цинку та ряду інших металів [1]. Досить давно цей метод застосовується для отримання тонких плівок феромагнітних металів та їх сплавів [2, 3]. Технологічний процес відбувається в електролітичній ванні, спрощена схема якої представлена ​​на малюнку 3.1. В якості електроліту такої ванни використовуються водні розчини солей осаждаемого металу. Наприклад, для осадження плівок нікелю електроліт містить розчини сульфату нікелю і хлористого амонію. Катіони, які потрібно осадити, можуть бути присутніми в електроліті у вигляді вільних іонів або комплексів. Анод електролітичної ванни з'єднаний з позитивним полюсом джерела постійного струму, катод, що є підкладкою осаждаемой плівки - з негативним полюсом.
При пропущенні через електролітичну ванну електричного струму, величина якого контролюється амперметром, катіони, в числі яких і катіони осаждаемого металу, рухаються до катода (у нашому прикладі Ni 2 + та NH 4 +), аніони (SO 4 2 - і Cl -) - в протилежному напрямку.

1 - ванна, 2-електроліт, 3 - анод, 4 - катод, 5 - плівка, 6 - джерело живлення, 7 - амперметр.
Малюнок 3.1 Схема електролітичної ванни.
Відповідно до законів електролізу Фарадея швидкість осадження металу на катоді визначається щільністю електричного струму j, що пройшов через електролітичну ванну:
, (3.1)
де h - вихід по струму; r - щільність обложеного металу; E - напруженість електричного поля; F - число Фарадея.
На малюнку 3.2. схематично показана вольтамперная характеристика процесу електролізу. При абсолютному значенні потенціалу катода j вище деякої величини j Н процес електролітичного осадження досягає насичення. З іншого боку при j <j Р осадження металевої плівки на катоді припиняється і спостерігається навіть розчинення катода. У цьому режимі електролітичну ванну можна використати для попереднього очищення підкладки. Таким чином, технологічний режим електролітичного осадження обмежений значеннями потенціалу катода від j Н доj Р.

Рисунок 3.2 Залежність струму електролітичного осадження від абсолютного значення потенціалу катода.
На процес електролітичного осадження металевої плівки істотний вплив роблять склад електроліту, кислотність електролітичної ванни, щільність електричного струму, температура підкладки і т.д. Технологічні режими, як правило, підбираються досвідченим шляхом з умови найкращого перебігу процесу електролітичного осадження. Для поліпшення цього процесу в електроліт додають різні присадки, які не впливають на склад осаждаемой плівки, а для поліпшення самого процесу електролітичного осадження. Наприклад, не відновлюють катіони калію і кальцію в електроліті збільшують його електропровідність. Добавки різних неорганічних сполук зменшують залежність процесу від кислотності електроліту.
Найбільш простий спосіб отримання багатошарових структур металів можливий при багаторазовому перенесення підкладки з одного електроліту в іншій, в кожному з яких осідає плівка відповідного металу. Таким способом ще у 1921 р. були отримані плівки з чергуються шарів міді та нікелю. У сучасних методах електролітичного осадження багатошарових структур металів використовується той факт, що у багатьох металів істотно відрізняються їхні рівноважні потенціали відновлення [4]. Так, наприклад, немагнітні метали Cu, Ag, Au можуть осідати при дуже малих (іноді навіть позитивних) потенціалах катода, магнітні елементи групи заліза ефективно осаджуються при досить високих негативних потенціалах катода. Різниця між ними може становити 600 мВ і більше [4, 5]. Ця обставина дозволяє при використанні імпульсного напруги на катоді отримувати багатошарові структури з одного і того ж електроліту.

Малюнок 3.3 Совмещеннае діаграма Пюрбаха міді та нікелю [5]
На малюнку 3.3 наведені суміщені діаграми Пюрбаха міді та нікелю [4,5]. З них видно, що при потенціалі катода в області I на катоді буде осідати тільки мідь. Якщо потенціал знаходиться в області II, то будуть осідати як мідь, так і нікель. У технології електролітичного осадження багатошарових структур з одного електроліту використовується електроліт, що містить солі обох металів. Гранична щільність струму осадження кожного елемента в цьому випадку залежить від його концентрації в електроліті. На рис. 3.4 як приклад наведено залежність щільності струму осадження міді від потенціалу катода для електролітів з різним вмістом іонів міді. З солей металів до складу електроліту входили нікель сірчанокислий (NiSO4), нікель хлористий (NiCl2) і мідь сірчанокисла [5]. Крива 1 відповідає простому електроліту, який містить тільки іони нікелю з потенціалом насичення, відповідного точці В (порівняти з даними малюнку 3.2). У міру збільшення в електроліті іонів міді в вольтамперной залежності процесу електролітичного осадження спостерігається друга область насичення (точка А), яка визначається граничною густиною струму осадження міді. при значно менших потенціалах на катоді. Звідси випливає, що при потенціалі катода 100 ... 500 мВ (точка А, малюнку 3.4) на ньому буде осідати чиста мідь, так як цього потенціалу ще недостатньо для осадження нікелю. Якщо тепер різко підняти потенціал катода до величини приблизно 1000 мВ (точка В на малюнку 3.4), то виділятися буде практично тільки нікель, так як швидкість осадження міді залишається малою в порівнянні зі швидкістю осадження нікелю.

Малюнок 3.4 Залежність щільності струму осадження міді від потенціалу катода для електролітів з різною концентрацією іонів Cu 2 + [4]
Для отримання багатошарових структур необхідно на катод електролітичної ванни періодично подавати імпульси напруги різної амплітуди і тривалості, протягом яких на катоді буде осідати відповідний метал. У залежності від режимів подачі імпульсів розрізняють потенціостатичного і гальваностатіческое імпульсне електролітичне осадження. При гальваностатіческом осадженні на катоді підтримується постійною протягом кожного імпульсу щільність струму. Так, при отриманні Cu-Ni багатошарових структур [5] щільність струму при осадженні шару міді становила 1,5 мА/см2, в той час як при осадженні шару нікелю щільність струму підтримувалася рівної 100 мА/см2. У потенціостатичного режимі постійними на катоді підтримувалися напруги:  400 мВ для міді і  1000 мВ для нікелю. При тривалості імпульсів 5,5 с і 0,2 с при осадженні Cu і Ni відповідно формувалися шари цих металів однакової товщини по 100 Є.
Потенціостатичного режим осадження в більшості випадків дозволяє отримувати більш різку межу між шарами в магнітних багатошарових структурах. При оптимальному виборі режимів електролітичного осадження зміст магнітного елемента в немагнітному і навпаки може не перевищувати 0,5 ... 0,1% [4].

3 Побудова фізико-математичної моделі
a) знайдемо струм, що протікає через установку:




б) знайдемо кількість міді і передавальну функцію:


в) побудуємо фізико-математичну модель:



*

4 Визначення характеристик
а) залежність струму від часу, використовуючи перетворення Лапласа




б) частотні характеристики ТЗ





дійсна частина:
уявна частина:


5 Загальні нелінійні диференціальні рівняння
Нехай u = u (x 1, x 2, ..., x n) - функція, визначена в будь-якій точці дійсних чисел. Градієнтом u є N - вектор-функція, що позначається grad u і певна наступним чином:
(1)
Надалі будемо насамперед мати справу з функціями, визначеними в плоских областях, тобто при N = 2. Для функції u = u (х, у) маємо
(2)
5.1 Нелінійний оператор Лапласа
Розглянемо плоску область і функцію і = і (х, у), задовольняє рівнянню
(3)
де f = f (х, у) - задана на функція, а р - дійсне число, яке задовольняє умові р> 1.
Ми не знаємо, чи має рівняння (3) будь-який фізичний зміст. Тим не менш воно корисне з методологічної точки зору і ми будемо часто їм користуватися, щоб проілюструвати різні поняття і твердження. Так як при р = 2 ліва частина рівняння (3) представляє собою оператор Лапласа, а саме рівняння (3) зводиться до рівняння Пуассона, то можна називати
(4)
вираз нелінійним оператором Лапласа.
5.2 Рівняння Монжа-Ампера
Завдання відшукання поверхні, що задається функцією і = і (х, у) для і має задану форму на кордоні і задану кривизну, є типовою нелінійної завданням. Вона призводить до рівняння
(5)
і умові
5.3 Рівняння четвертого порядку
У розглянутих вище задачах ми зустрілися з рівняннями другого порядку, які є нелінійними аналогами рівняння Пуассона. Зараз розглянемо рівняння, аналогічні рівняння рівноваги пластини.
Розглянемо ще раз плоску область і покладемо
(6)
тоді рівняння
(7)
разом з крайовими умовами
(8)
описує пружнопластичних деформацію жорстко затиснутою пластини. Тут функція g = g (t) задана при t> 0. Вона характеризує матеріал, з якого зроблена пластина. Функція f = f (x, у) характеризує навантаження цієї пластини. Умови (8) висловлюють той факт, що пластина затиснута вздовж кордону.
Функція де - Позитивна фізична константа, відповідає пластині в умовах повзучості матеріалу.
У 5.2 був введений нелінійний оператор Лапласа. Аналогічно можна ввести нелінійний бігармонічеекій оператор
(9)
При р = 2 отримуємо бігармонічних оператор . Як і раніше, ми не знаємо, чи має рівняння з оператором (9) будь-яку фізичну інтерпретацію, проте воно може бути використано дня моделювання різних теоретичних міркувань.

6 Список використаних джерел
1. Суху Р. Магнітні тонкі плівки. / Суху Р - М.: Світ, 1967 .- 422 с.
2. Праттон М. Тонкі феромагнітні плівки. / Праттон М. - Л.: Суднобудування, 1967 .- 266 с.
3. Bennet LH. Magnetic properties of electrodepositied copper-nikel composition-modulated alloys / / Journ. Magn. And Magn. Materials .- 1987 .- Vol. 67, No. 1 .- P. 239 - 245.
4. Фельдман Л. Основи аналізу поверхні і тонких плівок. - М: Світ, 1989. - 344 с.
5. Вакуумне обладнання тонкоплівкової технології виробництва виробів електронної техніки: Підручник для студентів спеціальності «Електронне машинобудування». / Н.В. Василенко, О.М. Івашов, Л.К. Ковальов та ін; Під ред. Проф. Л.К. Ковальова, Н.В. Василенко.: У 2 т. Т.1 .- Красноярськ: кн. вид-во Сиб. аерокосм. акад., 1995. - 256 с.
6. Математичне моделювання технологічної операції електролітичне осадження міді: Метод, розробка до лаб. робіт з курсу "Математичні моделі технологічних процесів" для студентів спец. 210104 / НГТУ; Сост.: А. В. Панкратов. Н. Новгород, 2005 - 11с.
7. 3ернов Н.В. Теорія радіотехнічних ланцюгів / В.Г. Карпов, Н.В. 3ернов Видання 2-е, перероблене доп. «Енергія», 1990 - 130 с.
8. Бронштейн І.М. Довідник з математики для інженерів і учнів втузів / К.А. Семендяев, І.М. Бронштейн - М: Наука, 1990. - 240 с.
9. Лекції з курсу «Математичні моделі технологічних процесів»
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Курсова
69.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Дослідження операцій математичної моделі
Емпіричні дослідження моделі CAPM
Осадження частинок
Дослідження та комп`ютерна реалізація економіко-математичної моделі залежності надходжень до
Побудова економетричної моделі та дослідження проблеми автокореляції за допомогою тестів Бреуша
Основні підходи до первинної обробки біологічної сировини Сепарація осадження екстракція
Основні підходи до первинної обробки біологічної сировини Сепарація осадження екстракція
Катодне осадження анодне розчинення сплаву залізо-нікель і структурні перетворення в електролітах
Катодне осадження анодне розчинення сплаву залізо нікель і структурні перетворення в електролітах
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru