Дослідження математичних моделей оптимізації обслуговування складних систем

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ
ОПТИМІЗАЦІЇ ОБСЛУГОВУВАННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ

Реферат


Особливий коло завдань в теорії обслуговування складних систем складають завдання, в яких передбачається наявність неповної інформації про надійність систем. Ці завдання найчастіше за все зустрічаються на практиці, особливо на початковому періоді експлуатації систем. Їх специфіка зажадала розробки спеціальних прикладних математичних методів дослідження, близьких до теорії ігор і заснованих на мінімаксних підходах. Ці методи дозволяють простежити за кількісним поліпшенням показників обслуговування в міру зменшення ступеня неповноти використовуваної інформації про надійність системи. У даній навчально-дослідницькій роботі розглядається знаходження часу планової попереджувальної профілактики і оптимальних значень характеристик на прикладі чотирьох стратегій обслуговування систем.

Зміст
1 Вступ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .... ... ... .4
2 Основна частина ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .................................... .. 5
Математична модель ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... .. ... ... ... ... .. 5
Стратегія A ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....................... ... 6
2.2 Стратегія У ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... 10
2.3 Стратегія С ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .17
2.3 Стратегія D ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .26
3 Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... 34
4 Список використаних джерел ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .. ... 35
Додатки А ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 36
Додатку Б ... ... ... ... ... ... ... .. .... ... ... ................................... ............. 42
Додатки У ... ... ... ... ... ........................................... ........................... 46

Введення
У практиці експлуатації технічних систем часто виникають ситуації, при яких неможливо зібрати достатньо статистичних даних про їх відмовах, несправності або передумови до появи відмов або несправностей. Це, наприклад, має місце, якщо експлуатується нова система, або в тих випадках, коли існуючими методами контролю та діагностики не вдається виявити виникнення деяких несправностей або передумов до несправностей або відмов. Виникає завдання такої організації перевірок, при якій із заданою упевненістю (імовірністю виявлення відмови при перевірці, якщо він виник до початку її проведення) будуть виявлені виникли в системі відмови, а час перебування системи в стані відмови (несправності, передумови до збоїв або відмови) у середньому найменше. При цьому природно припустити, що такі моделі перевірок різні в залежності від наявної інформації про надійність системи і тим краще (в сенсі отримання виграшу за критерієм вартості або готовності, причому готовність характеризується середнім часом перебування системи в стані відмови), чим більша інформація є про надійність системи.
На практиці при великій кількості однотипних систем, що знаходяться в експлуатації, організація перевірок кожної з них у визначений оптимальний час при обмеженнях на засоби контролю і кількість обслуговуючого персоналу, що часто має місце, зустрічає великі труднощі. Тому необхідно, з одного боку, автоматизувати процес видачі рекомендацій про проведення перевірок, а з іншого - організувати процедуру перевірок так, щоб перевірки проводилися в розрахунковий час з найменшими втратами, пов'язаними з простоями персоналу і засобів обслуговування, переміщеннями засобів обслуговування або їх комутацією і т . д.

2 Основна частина
2.1 Математична модель
B створенні технічних систем виникає проблема розробки деякої стратегії технічного обслуговування, яка дозволила б отримати від експлуатації системи максимально можливий ефект. Тому завдання профілактики ставляться як завдання екстремальні і їх можна назвати оптимальними завданнями, надійності. Зазвичай при постановці завдання профілактики припускають заданими характеристики надійності системи: функцію розподілу часу безвідмовної роботи системи F (x) або окремих її частин і функцію розподілу часу самостійного прояву відмови Ф (х) і характеристики ремонтопридатності: функції розподілу часів різних відновлювальних робіт, які можна проводити в системі. Ці характеристики, а також правило (стратегія), відповідно до якого призначаються терміни проведення відновлювальних робіт, визначають стану системи і еволюцію цих станів у часі.
Будемо вважати, що безліч Е можливих станів системи є кінцевим Е = {E 1, E 2, ..., E n}. У такому випадку траєкторії процесу x (t), що описує еволюцію станів системи в часі, є ступінчастими функціями. На траєкторіях цього випадкового процесу визначимо функціонал, який при фіксованих характеристиках надійності буде характеризувати стратегію обслуговування досліджуваної системи. За кінцевий відрізок часу [0, t] траєкторія процесу x (t) задається кількістю переходів т, моментами переходів t 0 = 0 <t 1 <t 2 <... <t m ≤ t і набором станів Е = {E 1, E 2 , ..., E n} в яких процес знаходиться між моментами переходу.
Зазвичай при постановці задачі вибору оптимальної стратегії обслуговування технічної системи припускають, що повністю відомі її характеристики. Однак функція розподілу часу безвідмовної роботи F (y), як правило, визначається статистично і відома лише в окремих точках. Тому при постановці завдання більш природним є припущення про те, що функція F (y) належить класу Ω (n, y, р) функцій розподілу, які у заданих точках y = (y 0 = 0, y 1, y 2, ..., y n) приймають задані значення р = (р 0 = 0, р 1, р 2, ..., р n).
Розглянемо 2 методи визначення оптимальних характеристик стратегій обслуговування складних систем: розрахунок характеристик за допомогою, заздалегідь відомою функції розподілу часу безвідмовної роботи системи F (y); розрахунок за допомогою статистичних даних, отриманих у результаті роботи системи протягом певного часу.
2.2 Стратегія A.
Стратегія А - повне відновлення системи проводиться тільки після самостійного прояву відмови.
Система, нова в момент t = 0, працює до відмови протягом часу про, розподіленого але закону F (x). Далі від моменту t = o до моменту прояву відмови t = о + Ј, протягом випадкового часу Ј, розподіленого за законом Ф (х), простоює в непрацездатному стані (прихований відмову). У випадковий момент прояву відмови починається позаплановий аварійно-профілактичний ремонт, який триває випадковий час y (M y = T ап) і після якого система повністю оновлюється. Після закінчення ремонту весь процес функціонування системи та її обслуговування повторюється.
Постановка завдання. Визначимо випадковий процес x (t), що характеризує стан досліджуваної системи. Нехай z ≥ 0, тоді
· E 0, якщо в момент t система працездатна і до відмови пропрацює час, яка дорівнює або перевищує z;
· E 1, якщо в момент t система працездатна і до відмови пропрацює час, менший z;
· E 2, якщо в момент t в системі є прихований відмову;
· E 3, якщо в момент t система ремонтується (позаплановий аварійно-профілактичний ремонт).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
E 0
E 1
E 3
E 1
E 2
E 2

Рисунок 1 - Діаграма переходів процесу x (t) (Стратегія А)
Розрахунок за статистичними даними:
Вихідні дані для розрахунку:
· Вектор y = (y 0 = 0, y 1, y 2, ..., y n) і вектор р = (р 0 = 0, р 1, р 2, ..., р n);
· Середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т pp;
· Середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т ap;
· Втрати за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С pp;
· Втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту З ap;
· Прибуток C0, одержувана за одиницю часу безвідмовної роботи системи;
· Оперативний час Z роботи системи, необхідне для виконання завдання.

· Коефіцієнт готовності.
EQ EQ (1.1)
· Ймовірність виконання завдання.
(1.2)
· Середні питомі втрати.
(1.3)
· Середня питома прибуток.
(1.4)
Розрахунок по функції розподілу часу безвідмовної роботи системи:
· Функція розподілу часу безвідмовної роботи системи F (t);
· Середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т pp;
· Середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т ap;
· Втрати за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С pp;
· Втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту З ap;
· Прибуток C0, одержувана за одиницю часу безвідмовної роботи системи;
· Оперативний час Z роботи системи, необхідне для виконання завдання.
· Коефіцієнт готовності:
(1.5)
· Середні питомі витрати:
(1.6)
· Середня питома прибуток:
(1.7)
· Ймовірність виконання завдання:
(1.8)
Результати обчислень представлені в таблицях 1.1 та 1.2.
Таблиця № 1.1 - Розрахунок по функції розподілу.
Стратегія
K р
P вип
C пр
C піт
Стратегія A
0,83
0,68
1,41
0,3
Таблиця № 1.2 - Розрахунок за статистичними даними.
Стратегія
K р
P вип
C пр
C піт
Стратегія A
0,83
0,65
1,33
0,28

2.2 Стратегія В.
Стратегія В - повне відновлення системи проводиться або в момент відмови, або в наперед призначений календарний момент часу. У початковий момент функціонування системи (t = 0) планується проведення попереджувальної профілактики через випадковий час розподілений по закону Про (х). Якщо система не відмовила до призначеного моменту, то в цей момент дається попереджувальна профілактика, середня тривалість якої дорівнює Т pp. Якщо ж відмова системи відбувся раніше, то цей факт виявляється негайно, тому що, за припущенням, індикація миттєвою:


Ф (х) = (2.1)
Тому в момент відмови починається позаплановий аварійно-профілактичний ремонт, який триває час Т апап> Т пп). Після проведення кожної з перерахованих відновлювальних робіт система повністю оновлюється. У момент закінчення відновлювальних робіт подальша попереджувальна профілактика переплановує, і далі весь процес обслуговування повторюється.
Постановка завдання. Визначимо випадковий процес характеризує стан досліджуваної систему. Нехай Z> 0, тоді x (t):
· E 0, якщо в момент t система працездатна і до відмови пропрацює час, яка дорівнює або перевищує z;
· E 1, якщо в момент t система працездатна і до відмови пропрацює час, менший z;
· E 2, якщо в момент t в системі проводиться позаплановий аварійно-профілактичний ремой z;
· E 3, якщо в момент t в системі проводиться попереджувальна профілактика.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
E 0
E 3
E 1
E 2

Рисунок 2 - Діаграма переходів процесу x (t) (Стратегія В)
Певний випадковий процес є регенеруючою (наприклад, йоменів там і регенерації будуть моменти переходів у стані апериодическим, якщо припустити, що хоча б од на з випадкових величин час безвідмовної роботи період попереджувальні профілактик або у - час відновлення є безперервною випадковою величиною. Можна стверджувати, що при тривалій експлуатації характеристики якості функціонування виражаються дробово-лінійним функціоналом:


(2.2)
Припустимо тепер, що функція F (y) відома лише в окремих точках, тобто
F (y) Є Щ (n, y, р). (2.3)
Тоді завдання полягає у визначенні гарантованого середнього виграшу і функції G * (x), яка визначає періоди профілактики, що забезпечують цей гарантований виграш,
I (G *, F *) = max min I (G, F), де G Є Щ, F Є Щ (n, y, р). (2.4)
Гарантований виграш визначається як виграш, отримуваний при найкращій функції розподілу G * (x) і найгіршою функції розподілу F * (y). Якщо функціонал (2.2) виражає втрати, то необхідно брати максимум за F Є Щ (n, y, р) і мінімум по G Є Щ.
Розрахунок за статистичними даними:
Методика визначення мінімаксних періодів проведення планових попереджувальних профілактик гарантованих значень показників якості функціонування:
Вихідні дані для розрахунку:
· Вектор y = (y 0 = 0, y 1, y 2, ..., y n) і вектор р = (р 0 = 0, р 1, р 2, ..., р n);
· Середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т pp;
· Середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т ap;
· Втрати за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С pp;
· Втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту З ap;
· Прибуток C0, одержувана за одиницю часу безвідмовної роботи системи;
· Оперативний час Z роботи системи, необхідне для виконання завдання.
Формули для розрахунку мінімаксних періодів профілактик і гарантованих значень показників якості функціонування:
· Коефіцієнт готовності.Определяется номер k 0 при якому досягає максимуму вираз
, (2.5)
де k = 0,1,2 ,..., n.
Якщо максимум A k досягається при k 0 <n, то планові попереджувальні профілактики слід проводити в момент ф 0 = y k 0 +1 -0. Якщо k 0 = n, то ф 0 = ∞, тобто планові попереджувальні профілактики проводити недоцільно.
· Ймовірність виконання завдання.
Визначається номер k 0 (0 ≤ k ≤ n 0), для якого y k 0 - z ≤ 0, y k 0 +1 - z> 0.
Визначається максимальне значення відношення виразів (1.6) до (1.7).



, При ф [0, y k +1 - z],
(2.6)
, При ф [y m - z, y m +1 - z].



, При k0 = 0,1,2, n (2.7)
Точка, при якій досягається максимум вираз визначає мінімаксний період проведення попереджувальних профілактик.
· Середні питомі втрати.
Визначається номер kо, при якому досягається мінімум виразу
. (2.8)
Точка ф 0 = y k 0 +1 -0 визначає терміни проведення планових попереджувальних профілактик.
· Середня питома прибуток.
Визначається номер kо, при якому досягається максимум вираження
(2.9)
Точка ф 0 = y k 0 +1 -0 визначає терміни проведення планових попереджувальних профілактик.
Розрахунок по функції розподілу часу безвідмовної роботи системи:
Вихідні дані для розрахунку:
· Функція розподілу часу безвідмовної роботи системи F (t);
· Середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т pp;
· Середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т ap;
· Втрати за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С pp;
· Втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту З ap;
· Прибуток C0, одержувана за одиницю часу безвідмовної роботи системи;
· Оперативний час Z роботи системи, необхідне для виконання завдання.
· Коефіцієнт готовності:
(2.10)
· Середні питомі витрати:
(2.11)
· Середня питома прибуток:
(2.12)
· Ймовірність виконання завдання:
(2.13)
· Приклад. Визначимо гарантовані значення показників якості
функціонування та терміни проведення планових попереджувальних профілактик системи, для якої задані наступні вихідні характеристики:
T pp = 1 год; Т ap = 2 год; з pp = 1 од / год; з ap = 2 од / год; z = 25 год; з 0 = 5 од / год;
y = (y 0 = 0;. y 1 = l0; у 2 = 20; у 3 = 30; у 4 = 40),
р = (р 0 = 0; р 1 = 0,1; р 2 = 0.15; р 3 = 0,3; р 4 = 0,5).
· Коефіцієнт готовності
Обчислимо величини A k:
Таблиця № 2.1 - Величини коефіцієнта готовності
А 0
А 1
А 2
A 3
А 4
0,891
0,938
0,950
0,852
0,922
Отже, отримуємо гарантоване значення коефіцієнта готовності, рівне 0,952, якщо попереджувальні профілактики проводити через час ф 0 = 40-0 ч.
· Ймовірність виконання завдання.
Визначаємо величину k0. Для даних, наведених у таблиці № 2, k 0 = 2 (y 2 - z <0, y 3 - z> 0).
Таблиця № 2.2 - Величини ймовірності виконання завдання
y = 0
y = 5 - 0
y = 5 + 0
y = 10 - 0
y = 10 + 0
у = 15
0
0,924
0,76
0,594
0,581
0,600
Максимум досягається при у = 5 - 0 і дорівнює 0,924. Отже, профілактики потрібно проводити через 5 - 0 год і гарантоване значення ймовірності виконання завдання дорівнюватиме 0,924.
· Середні питомі витрати.
Обчислюємо величини середніх питомих витрат.
Результати зведені в таблицю № 2.3:
Таблиця № 2.3 - Величини середніх питомих витрат
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
0,144
0,0829
0,0775
0,0847
0,1333
Таким чином, отримуємо, що профілактику необхідно проводити через час 30 - 0 год і при цьому гарантоване значення питомих витрат одно 0,0775 од / год
· Середня питома прибуток.
Обчислюємо величини середньої питомої прибутку.
Результати зведені в таблицю № 2.4:
Таблиця № 2.4 - Величини середньої питомої прибутку
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
4,37
4,61
4,674
4,677
4,55
Остаточно отримуємо, що профілактику необхідно проводити через час 40 - 0 год, при цьому гарантоване значення середньої питомої прибутку одно 0,4677 од / год
Результати обчислень представлені в таблицях 2.5 та 2.6.
Таблиця № 2.5 - Розрахунок по функції розподілу.
Стратегія
K р
P вип
C пр
C піт
Стратегія B
0,95
0,92
0,46
0,07
Таблиця № 2.6 - Розрахунок за статистичними даними.
Стратегія
K р
P вип
C пр
C піт
Стратегія B
0,94
0,92
0,48
0,07
2.3 Стратегія З
Стратегія С - відновлення системи проводиться тільки в заздалегідь призначені моменти часу незалежно від відмов системи.
Для досліджуваної в цьому параграфі системи передбачається, що час самостійного прояву відмови різно нескінченності, тобто з'явився у системі відмову самостійно не виявляється. Для такої системи планується проведення різних відновлювальних робіт (планових), при яких відмови виявляються, усуваються і попереджуються.
Нехай при t = 0, коли починається експлуатація системи, призначається проведення планових відновних робіт через випадковий час з, розподілений по закону G (x). Якщо до призначеного моменту з система не відмовила (о> з, де о - час безвідмовної роботи, розподілене за законом F (x)), то в цей момент проводиться планова попереджувальна профілактика, яка повністю оновлює систему і середня тривалість якої дорівнює Т pp. Якщо до призначеного моменту система відмовила (о ≤ з), то в цей момент проводиться плановий аварійно-профілактичний ремонт, який повністю оновлює систему і триває в середньому час Т ap. Після закінчення планових робіт весь процес обслуговування повністю повторюється.
Визначимо випадковий процес x (t), що характеризує стан системи в момент t, x (t):
· E 0, якщо в момент t система працездатна і пропрацює ще час, більше z ≥ 0;
· E 1, якщо в момент t система працездатна, але до відмови пропрацює час, менший z,
· E 2, якщо в момент t система простоює в непрацездатному стані (прихований відмова);
· E 3, якщо в момент t в системі проводиться плановий аварійно-профілактичний ремонт;
· E 4, якщо в момент t в системі проводиться планова попереджувальна профілактика.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
E 0
E 3
E 1
E 2
E 4

Рисунок 3 - Діаграма переходів процесу x (t) (Стратегія С)
Описаний процес є регенеруючою (наприклад, моментами регенерації є моменти попадання в стан То), а в припущенні, що час, ремонту - безперервна випадкова величина, і апериодическим. При тривалій експлуатації системи характеристики якості функціонування виражаються дробово-лінійним функціоналом.
Як і раніше, будемо припускати, що функція розподілу часу безвідмовної роботи F (х) відома лише в окремих точках. F (x) Є Щ (n, y, р). Завдання полягає в тому, щоб визначити гарантовану середню величину функціонала I (G, F), т. е.
I (G *, F *) = max min I (G, F), де G Є Щ, F Є Щ (n, y, р).
і функцію G * (x), на якій це значення досягається. Якщо функціонал (2.2.1) характеризує втрати, то по G Є Щ береться мінімум, a за F Є Щ (n, y, р) - максимум.
Розрахунок за статистичними даними:
Методика визначення мінімаксних періодів проведення планових попереджувальних профілактик і гарантованих значень показників якості функціонування
Вихідні дані для розрахунку:
· Вектор y = (y 0 = 0, y 1, y 2, ..., y n) і вектор р = (р 0 = 0, р 1, р 2, ..., р n);
· Середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т pp;
· Середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т ap;
· Потерн за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С pp;
· Втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту З ap;
· Прибуток C 0, одержувана за одиницю часу безвідмовної роботи системи;
· Оперативний час Z роботи системи, необхідне для виконання завдання;
· Втрати за одиницю часу при наявності в системі прихованої відмови З p.
Формули для розрахунку мінімаксних періодів і гарантованих значень показників якості функціонування:
· Коефіцієнт готовності.
Визначається номер k0, при якому досягається максимум з виразів:
, (3.1)
, (3.2)
при k = 0,1,2 ,..., n.
Якщо вираз (2.1) більше (2.2), то профілактики доцільно проводити через час ф = y k 0 + 0 і гарантоване значення коефіцієнта готовності дорівнює (2.1). Якщо вираз (2.1) менше (2.2), то профілактики доцільно проводити через час ф = y k 0 +1 - 0 і гарантоване значення коефіцієнта готовності одно правій частині цієї нерівності.
· Ймовірність виконання завдання.
Визначається номер k 0 (0 ≤ k ≤ n 0), для якого y k 0 - z ≤ 0, y k 0 +1 - z> 0. Далі визначається максиму відносини вираження (2.3) до (2.4).


, При ф [0, y k 0 +1 - z],
(3.3)


, При ф [y m - z, y m +1 - z].
Ф + T ап р k +1 + T пп (1 - р k +1), при ф [y k, y k +1], k = 0,1,2, ..., n (3.4)
Точка ф, при якій досягається цей максимум, визначає мінімаксний період проведення попереджувальних профілактик, а значення цього максимуму є гарантоване значення ймовірності виконання завдання.
· Середні питомі витрати.
Визначається номер k0, при якому досягається мінімум з виразів:
(3.5)
(3.6)
Якщо при цьому вираз (2.5) менше (2.6), то попереджувальну профілактику доцільно проводити через час ф = y k 0 + 0 і гарантоване значення середніх питомих втрат одно (2.5). Якщо вираз (2.5) більше (2.6), то попереджувальні профілактики доцільно проводити через час ф = y k 0 +1 - 0 і гарантоване значення середніх питомих втрат дорівнюватиме (2.6).
· Середня питома прибуток.
Визначається номер k 0, при якому досягається максимум вирази:
(3.7)
(3.8)
Якщо при цьому максимум збігається з виразом (2.7), то попереджувальні профілактики доцільно проводити через час ф = y k 0 - 0. а гарантоване значення середньої питомої прибутку одно перша висловом. Якщо максимум збігається з виразом (2.8), то попереджувальні профілактики доцільно проводити через час ф = y k 0 +1 - 0, а гарантоване значення середньої питомої прибутку одно цього другому висловом при k = k 0.
Розрахунок по функції розподілу часу безвідмовної роботи системи:
Вихідні дані для розрахунку:
· Функція розподілу часу безвідмовної роботи системи F (t);
· Середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т pp;
· Середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т ap;
· Потерн за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С pp;
· Втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту З ap;
· Прибуток C 0, одержувана за одиницю часу безвідмовної роботи системи;
· Оперативний час Z роботи системи, необхідне для виконання завдання;
· Втрати за одиницю часу при наявності в системі прихованої відмови З p.
· Коефіцієнт готовності:
(3.9)
· Середні питомі витрати:
(3.10)
· Середня питома прибуток:
(3.11)
· Ймовірність виконання завдання:
(3.12)
Приклад. Визначимо гарантовані значення показників якості функціонування і терміни проведення планових попереджувальних профілактик системи, для якої задані наступні вихідні характеристики:
T pp = 1 год; Т ap = 2 год; з pp = 1 од / год; з ap = 2 од / год; z = 25 год; з 0 = 5 од / год;
З p = 2 од / год;
y = (y 0 = 0;. y 1 = l0; у 2 = 20; у 3 = 30; у 4 = 40),
р = (р 0 = 0; р 1 = 0,1; р 2 = 0.15; р 3 = 0,3; р 4 = 0,5).
· Коефіцієнт готовності.
Значення (3.1) і (3.2) для різних k зведені в таблицю № 3.1:
Таблиця № 3.1 - Величини коефіцієнта готовності
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
0
0,818
0,807
0,822
0,821 0,783
0,736
0,71
0,702
0
Отже, отримали, що попереджувальну профілактику доцільно проводити через час ф = 20 - 0 год і гарантоване значення коефіцієнта готовності одно 0,822.
· Ймовірність виконання завдання.
Визначимо величину k 0. У даному випадку k 0 = 2.
Далі визначаємо величини відносин в точках виду у k ± 0, у k - z. Результати зведені в таблицю № 3.2:

Таблиця № 3.2 - Величини ймовірності виконання завдання
y = 0
y = 5 - 0
y = 5 + 0
у = 10 - 0
у = 10 + 0
у = 20 - 0
y = 20 +0
0
0.70
0.57
0.54
0,53
0,52
0,40
Максимум ймовірності 0,7 досягається при ф = 5 - 0 год
· Середні питомі витрати.
Обчислюємо величини середніх питомих витрат при різних k. Результати зведені в таблицю № 3.3.
Таблиця № 3.3 - Величини середніх питомих витрат
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4

0,378
0,383 0.369
0,394
0.526
0,630 0,783
0,833

Таким чином, результати розрахунку показують, що попереджувальну планову профілактику доцільно проводити через час ф = 20 - 0 год і при цьому гарантоване значення середніх питомих втрат дорівнюватиме 0,369 од / год
· Середня питома прибуток.
Обчислюємо значення середньої питомої прибутку для різних k. Результати зведені в таблицю № 3.4:
Таблиця № 3.5 - Величини середньої питомої прибутку
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
<0
3,72
3,70
3,84
3,80
8,48
3,48
0,30
0,29
<0
Отже, результати розрахунку показують, що попереджувальні профілактики доцільно проводити через час ф = 20 - 0 год і при цьому гарантоване значення середньої питомої прибутку одно 3,84 од / год
Результати обчислень представлені в таблицях 3.6 та 3.7.
Таблиця № 3.6 - Розрахунок по функції розподілу.
Стратегія
K р
P вип
C пр
C піт
Стратегія C
0,89
0,71
3,70
0,38
Таблиця № 3.7 - Розрахунок за статистичними даними.
Стратегія
K р
P вип
C пр
C піт
Стратегія C
0,80
0,70
3,95
0,37
2.4 Стратегія D
Стратегія D - повне відновлення системи проводиться або в момент самостійного прояву відмови, або в наперед призначений календарний момент часу.
Нехай у початковий момент Ј = 0 починається експлуатація нової системи, у якої час безвідмовної роботи про розподілено по деякому закону F (у) = Р {о <у). У момент t = 0 планується проведення планової попереджувальної профілактики через випадковий час з, розподілений по деякому закону G (x). Якщо до призначеного моменту система не відмовила, то проводиться планова, попереджувальна профілактика, яка триває в середньому час Т ап і яка повністю оновлює систему. Якщо до призначеного моменту cсістема відмовила, але відмова не проявився, то факт відмови виявляється в певний момент і починається плановий аварійно-профілактичний ремонт, середня тривалість якого дорівнює Т ап і який також повністю оновлює систему. Нарешті, якщо система відмовила, і відмова проявився до призначеного моменту з, то в момент виявлення відмови починається позаплановий аварійно-профілактичний ремонт, середня тривалість якого дорівнює Т ап і після проведення, якого система оновлюється повністю. Після закінчення будь-відновлювальної роботи система оновлена, і весь процес обслуговування повторюється незалежно від минулого.
Постановка завдання. Визначимо випадковий процес х (г), що характеризує стан системи в момент t. Нехай z ≥ 0, тоді x (t):
· E 0, якщо в момент t система працездатна і ще пропрацює час, більше z;
· E 1, якщо в момент t система працездатна, але до відмови пропрацює час, менший z;
· E 2, якщо в момент t система простоює в непрацездатному стані (прихований відмова);
· E 3, якщо в момент t в системі проводиться позаплановий аварійно-профілактичний ремонт;
· E 4, якщо в момент t в системі проводиться плановий аварійно-профілактичний ремонт;
· E 5, якщо в момент t в системі проводяться планова попереджувальна профілактика.
E 0
E 4
E 3
E 1
E 2
E 5
E 4


Рисунок 4 - Діаграма переходів процесу x (t) (Стратегія D)
Розрахунок за статистичними даними:
Вихідні дані для розрахунку:
· Вектор y = (y 0 = 0, y 1, y 2, ..., y n) і вектор р = (р 0 = 0, р 1, р 2, ..., р n);
· Середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т pp;
· Середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т ap;
· Потерн за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С pp;
· Втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту З ap;
· Прибуток C 0, одержувана за одиницю часу безвідмовної роботи системи;
· Оперативний час Z роботи системи, необхідне для виконання завдання;
· Втрати за одиницю часу при наявності в системі прихованої відмови З p.
· Коефіцієнт готовності.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
· Ймовірність виконання завдання.
(4.4)
(4.5)
(4.6)
· Середні питомі витрати.
(4.7)
(4.8)
(4.9)
· Середня питома прибуток.
(4.10)
(4.11)
(4.12)
Розрахунок по функції розподілу часу безвідмовної роботи системи:
Вихідні дані для розрахунку:
· Функція розподілу часу безвідмовної роботи системи F (t);
· Середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т pp;
· Середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т ap;
· Потерн за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С pp;
· Втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту З ap;
· Прибуток C 0, одержувана за одиницю часу безвідмовної роботи системи;
· Оперативний час Z роботи системи, необхідне для виконання завдання;
· Втрати за одиницю часу при наявності в системі прихованої відмови З p.
· Коефіцієнт готовності:
(4.13)
- Середній час перебування системи в стані E i за період між сусідніми точками регенерації процесу x (t).
- Сдняя тривалість цього процесу.
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
· Середні питомі витрати:
(4.20)
· Середня питома прибуток:
(4.21)
· Ймовірність виконання завдання:

(4.22)
Результати обчислень представлені в таблицях 4.1 та 4.2
Таблиця № 4.1 - Розрахунок по функції розподілу.
Стратегія
K р
P вип
C пр
C піт
Стратегія D
0,91
0,90
0,23
0,01
Таблиця № 4.2 - Розрахунок за статистичними даними.
Стратегія
K р
P вип
C пр
C піт
Стратегія D
0,9
0,89
0,24
0,01

3 Висновок
У результаті роботи, були вивчені математичні методи оптимізації обслуговування систем. Оптимізація обслуговування розраховувалася за чотирма критеріями:
· Коефіцієнт готовності
· Середні питомі втрати
· Середня питома прибуток
· Ймовірність виконання завдання
Було вироблено написання, та налагодження програмного забезпечення для розрахунку часу проведення попереджувальної профілактики (для двох стратегій обслуговування). Програма має графічний інтерфейс. У програмі реалізований вибір стратегій обслуговування, висновок і заповнення даних, виведення результатів обчислень.
Розрахунок проводився двома методами: непараметричний метод заснований на статистичних даних; параметричний метод заснований на функції розподілу часу безвідмовної роботи. Значення оптимальних характеристик для розрахунку параметричним методом заснованим на функції розподілу точніше. При збільшенні обсягу статистичних даних результати розрахунку першим методом прагнуть до значень оптимальних характеристик для другого методу.
Демонстрація роботи програми, блок-схеми алгоритмів, лістинг коду надані в розділі Програми.

4 Список використаних джерел
1. Систем аналіз / А. В. Антонов - Москва, "Вища школа", 2004.
2. Моделі технічного обслуговування складних систем / Є. Ю. Бразіловіч - Москва, "Вища школа", 1982.
3. Організація обслуговування при обмеженій інформації про надійність системи / Є. Ю. Бразіловіч, В. А. Каштанов - Москва, "Радянське радіо", 1975.
4. Деякі математичні питання теорії обслуговування складних систем / Є. Ю. Бразіловіч, В. А. Каштанов, Москва, "Радіо і зв'язок", 1971.
5. Теорія систем / В. А. Острековскій - Москва, "Вища школа", 1997.
6. Матеріали з сайту Студентський портал - СтудПроспект

Додаток А
· Блок-схеми алгоритмів
Стратегії мають схожі алгоритми обчислення використовуваних функцій. Нижче представлені блок-схеми алгоритмів для стратегії В (для розрахунку за статистичними даними):
· Коефіцієнт готовності:

Малюнок 5 - Алгоритм обчислення коефіцієнта готовності

Малюнок 6 - Алгоритм обчислення коефіцієнта готовності (продовження)

Середні питомі втрати:

Малюнок 7 - Алгоритм обчислення середніх питомих втрат
· Середня питома прибуток:

Малюнок 8 - Алгоритм обчислення середньої питомої прибутку
· Ймовірність виконання завдання:

Рисунок 9 - Алгоритм обчислення ймовірності виконання завдання


Рисунок 10 - Алгоритм обчислення ймовірності виконання завдання (продовження)


Малюнок 11 - Алгоритм обчислення ймовірності виконання завдання (продовження)

Додаток Б
· Лістинг коду основних функцій програми:
function A (k: integer): real; / / Коефіцієнт готовності. Стратегія В.
var Sum1, Sum2, Sum3, Sum4: real;
i: integer;
begin
Sum1: = 0;
for i: = 0 to k do
Sum1: = Sum1 + y [i] * (pi [i +1]-pi [i]);
Sum2: = 0;
for i: = k +1 to n do
Sum2: = Sum2 + (pi [i +1]-pi [i]);
Sum3: = 0;
for i: = 0 to k do
Sum3: = Sum3 + (y [i] + Tap) * (pi [i +1]-pi [i]);
Sum4: = 0;
for i: = k +1 to n do
Sum4: = Sum4 + (y [k +1] + Tpp) * (pi [i +1]-pi [i]);
A: = (Sum1 + y [k +1] * Sum2) / (Sum3 + Sum4);
end;
function B (k: integer): real; / / Середні питомі втрати. Стратегія В.
var Sum: real;
i: integer;
begin
Sum: = 0;
for i: = 0 to k do
Sum: = Sum + y [i] * (pi [i +1]-pi [i]);
B: = (Cap * Tap * pi [k +1] + Cpp * Tpp * (1-pi [k +1 ]))/( Sum + y [k +1] * (1-pi [k +1] ));
end;
function C (k: integer): real; / / Середня питома прибуток. Стратегія В.
var Sum: real;
i, m: integer;
begin
Sum: = 0;
for i: = 0 to k do
Sum: = Sum + y [i] * (pi [i +1]-pi [i]);
C: = (C0 * (1-pi [k +1]) * y [k +1] + (C0 * Sum-Cap * Tap * pi [k +1]-Cpp * Tpp * (1-pi [k +1 ])))/( y [k +1] * (1-pi [k +1]) + Sum + Tap * pi [k +1] + Tpp * (1-pi [k +1])) ;
end;
function D (t: integer): real; / / Ймовірність виконання завдання. Стратегія В.
var Sum1, Sum2, Sum3, Sum4, Sum5: real;
i, k0, m: integer;
begin
k0: =- 1;
for i: = 0 to n do
if (y [i]-z <= 0) and (y [i +1]-z> 0) then k0: = i;
m: = k0 +1;
Sum1: = 0;
for i: = k0 +1 to n do
Sum1: = Sum1 + (pi [i +1]-pi [i]);
Sum2: = 0;
for i: = k0 +1 to m do
Sum2: = Sum2 + (pi [i +1]-pi [i]) * (y [i]-z);
Sum3: = 0;
for i: = m +1 to n do
Sum3: = Sum3 + (pi [i +1]-pi [i]);
Sum4: = 0;
for i: = 0 to k0 do
Sum4: = Sum4 + (pi [i +1]-pi [i]) * (y [i] + Tap);
Sum5: = 0;
for i: = k0 +1 to n do
Sum5: = Sum5 + (pi [i +1]-pi [i]) * (t + Tpp);
if (t> = 0) and (t <y [k0 +1]-z) then
D: = (Sum1 * t) / (Sum4 + Sum5)
else D: = (Sum2 + Sum3 * t) / (Sum4 + Sum5);
end;
function A1 (k: integer): real; / / Коефіцієнт готовності. Стратегія С.
var Sum: real;
i: integer;
begin
Sum: = 0;
for i: = 0 to k do
Sum: = Sum + y [i] * (pi [i +1]-pi [i]);
A1: = (Sum + y [k] * (1-pi [k +1 ]))/( y [k] + Tap * pi [k +1] + Tpp * (1-pi [k +1]) );
end;
function B1 (k: integer): real; / / Середні питомі втрати. Стратегія С.
var Sum1, Sum2: real;
i: integer;
begin
Sum1: = 0;
for i: = 0 to k do
Sum1: = Sum1 + Cp * (y [k]-y [i]) * (pi [i +1]-pi [i]);
Sum2: = 0;
for i: = 0 to k do
Sum2: = Sum2 + y [i] * (pi [i +1]-pi [i]);
B1: = (Cap * Tap * pi [k +1] + Cpp * Tpp * (1-pi [k +1]) + Sum1) / (Sum2 + y [k] * (1-pi [k +1] ));
end;
function C1 (k: integer): real; / / Середня питома прибуток. Стратегія С.
var Sum: real;
i, m: integer;
begin
Sum: = 0;
for i: = 0 to k do
Sum: = Sum + y [i] * (pi [i +1]-pi [i]);
C1: = ((C0 * (1-pi [k +1])-Cp * pi [k +1]) * y [k +1] + ((C0 + Cp) * Sum-Cap * Tap * pi [ k +1]-Cpp * Tpp * (1-pi [k +1 ])))/( y [k] + Tap * pi [k +1] + Tpp * (1-pi [k +1])) ;
end;
function D1 (t: integer): real; / / Ймовірність виконання завдання. Стратегія С.
var Sum1, Sum2, Sum3, Sum4, Sum5: real;
i, k0, m: integer;
begin
k0: =- 1;
for i: = 0 to n do
if (y [i]-z <= 0) and (y [i +1]-z> 0) then k0: = i;
m: = k0 +1;
Sum1: = 0;
for i: = k0 +2 to n do
Sum1: = Sum1 + (pi [i +1]-pi [i]);
Sum2: = 0;
for i: = k0 +1 to m do
Sum2: = Sum2 + (pi [i +1]-pi [i]) * (y [i]-z);
Sum3: = 0;
for i: = m +1 to n do
Sum3: = Sum3 + (pi [i +1]-pi [i]);
Sum4: = 0;
for i: = 0 to k0 do
Sum4: = Sum4 + (pi [i +1]-pi [i]) * (t + Tap);
Sum5: = 0;
for i: = k0 +1 to n do
Sum5: = Sum5 + (pi [i +1]-pi [i]) * (t + Tpp);
if (t> = 0) and (t <y [k0 +1]-z) then
D1: = (Sum1 * t) / (Sum4 + Sum5)
else D1: = (Sum2 + Sum3 * t) / (Sum4 + Sum5);
end;

Додаток В
· Демонстрація роботи програми:

Рисунок 12 - Звіт про виконану роботу

Малюнок 13 - Визначення оптимальних значень

Рисунок 14 - Розрахунок по функції розподілу

Рисунок 15 - Розрахунок за статистичними даними
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
134.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Чисельні методи інтегрування та оптимізації складних систем
Історія виникнення і розвитку методів реконструкції математичних моделей динамічних систем
Дослідження динамічних властивостей моделей типових ланок систем автоматичного управління
Дослідження моделей автоматичних банківських систем в банківських установах Дніпропетровського регіону
Дослідження моделей автоматичних банківських систем в банківських установах Дніпропетровського регіону
Побудова економіко-математичних моделей
Різні стратегії побудови кінетичних моделей складних реакцій
Реалізація математичних моделей використовують методи інтегрування в середовищі MATLAB
Методика використання візуальних моделей у навчанні школярів розв`язання математичних задач
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru