додати матеріал


Граничні умови загального вигляду

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

План.
1. Сполучений оператор.
2. Сполучена однорідна завдання.
3. Умови розв'язності.
Сполучений оператор.
Позначимо через диференціальний оператор другого порядку, тобто
(1)
де представляють собою безперервні функції у проміжку . Якщо і - Двічі безперервно диференціюються на функції, то маємо:
(2)
Як і в попередньому параграфі, інтегрування співвідношення (2) по частинах дає:
(3)
Позначимо диференціальний оператор, що входить до Фундаментальний вираз в правій частині (3) через , Тобто (4)
При цьому співвідношення (3) перепишеться так:
(5)
Оператор називається зв'язаним по відношенню до оператора . Множачи співвідношення (4) на та інтегруючи отриманий результат по частинах, по відношенню до оператора . Таким чином, оператори і взаємно пов'язані.
Як і в попередньому параграфі, диференціальне рівняння:
(6)
будемо називати зв'язаним диференціальному рівнянню:
(7)
Якщо ж , То оператор і диференціальне рівняння будемо називати сполученими. Порівнюючи вирази (1) та (5), приходимо до висновку, що тоді і тільки, коли:

Таким чином, оператор будемо самосполучення тоді і тільки тоді, коли .
При цьому:

Оскільки будь-яке диференціальне рівняння вигляду (7) можна перетворити в самосполучення форму, помноживши на функцію .
Диференціюючи співвідношення (5) за , Отримуємо так звану формулу Лагранжа:
(8)
Права частина цієї формули може бути записана як:
(9)
де
(10)
Відзначимо, що:
і отже, матриця -Невироджена. Підстановка виразу (9) у співвідношення (8) дає:
(11)
Сполучена однорідна завдання.
Введемо наступне невироджені лінійне перетворення у вектор :
(12),
де

Зауважимо, що зазначене перетворення може бути виконане безліччю способів, залежно від вибору матриці А. При заданому ненульовому векторі два останні рядки матриці А можна вибрати так, щоб надати будь-які необхідні значення компонентів . Це зауваження використовується в подальшому при знаходженні виду сполучених граничних умов. Оскільки , Ми можемо звернути перетворення (12) і отримати:
.
При цьому (11) можна переписати як:

або
(13),
де (14)
Білінійна форма у співвідношенні (13) називається канонічним уявленням білінійної форми в правій частині тотожності (11).
Для того щоб знайти граничні умови спряженої задачі, покладемо в співвідношенні (13)
і і отримаємо:
(15)
З формули (21) випливає, що однорідні граничні умови, еквівалентні равенствам:
(16)
(17)
З урахуванням рівностей (16) і (17) співвідношення (15) приймає вигляд:
(18)
При ненульовому векторі останні два рядки матриці А можуть бути вибрані так, щоб компоненти і брали будь-які необхідні значення, лише б і не зверталися в нуль одночасно. Зокрема, нижні рядки матриці А можна вибрати з умови . При цьому зі співвідношення (11) випливає, що . Аналогічним чином, нижні рядки матриці А можна вибрати так, щоб виконувалися рівності . При цьому зі співвідношення (11) випливає, що . Таким чином, завдання, сполучена завданню (19)
має вигляд:
(20)
де і пов'язані з компонентами вектора співвідношенням (14). Крайова задача (19) називається самосполучення тоді і тільки тоді, коли і кожна з двох компонент і є лінійною комбінацією і , Тобто пропорційна .
Один з визначників:

матриць-блоків

повинен бути відмінним від нуля. Щоб мати можливість порівняти ці результати з тими. які були отримані в попередньому параграфі, припустимо. що . Далі, виберемо такі і , Щоб рядки матриці А були лінійно незалежні.
Наприклад, покладемо і .
При цьому матриця А прийме вигляд:
(21).
З формули (19) випливає, що .
Тоді
(22)
Підставляючи матриці (20) і (9) у співвідношення (14) маємо (14а):
Отже, граничні умови спряженої задачі мають вигляд:
(22)
(23)
Для того, щоб крайові задачі були самосполучення необхідно, щоб і щоб кожна з компонент і була лінійною комбінацією і . Як вказувалося вище, тоді і тільки тоді, коли . При цьому умови (21) і (20) приймають вигляд:
(24)
Вирішуючи рівності щодо і при і замінюючи на , Отримуємо:
(25)
Порівнюючи граничні умови (24) і (25), укладаємо, що вони збігаються тоді і тільки тоді, коли:
(26)
Крайова задача при самосопряжена тоді і тільки тоді, коли виконані співвідношення (24) і рівність .
Умова розв'язності.
Визначивши пов'язану крайову задачу, повернемося до вирішення неоднорідної завдання. Використовуючи визначення (25), перепишемо формулу Гріна у вигляді:
(27)
,
тоді зі співвідношення (27) випливає, що умова розв'язності має вигляд:
(27)
Для того, щоб порівняти умова (27) з умовою розв'язності, використовуємо зв'язок і з вектором , Описувану формулою (14а) тобто:
(28)
При цьому співвідношення (27) приймає вигляд:

Якщо мати справу з граничними умовами загального вигляду можна висловити будь-які два з граничних значень через два інших.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
31.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Культура зовнішнього вигляду вчителя
Граничні вуглеводні
Вимоги до одягу і зовнішньому вигляду ділового чоловіка
Граничні вуглеводні алкани
Школа 5 вигляду для дітей з важкими порушеннями мови
Аліфатичні граничні вуглеводні та їх будова
Граничні нервово психічні розлади
Граничні теореми теорії ймовірностей
Граничні теореми теорії ймовірностей
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru