Відсотки та їх застосування

ХI муніципальний конкурс дослідницьких робіт

Математика

Відсотки та їх застосування

Воронцової Анастасії,

учнівської 8б класу

МОУ «еловская ЗОШ».

Керівник Халтуріна В.В.

вчитель математики

вищої категорії

2010

Зміст

Введення

1. З історії походження відсотків

2. Рішення задач на відсотки різними способами

3. Рішення задач по формулі складних відсотків

4. Застосування відсотків в житті

4.1 Дослідження бюджету сім'ї

4.2 Дослідження відвідування гуртків

Висновок

Список літератури

Програми

Введення

Чому я вибрала тему «Відсотки»?

Відсотки - це одна з найскладніших тем математики, і дуже багато учні не можуть або взагалі не вміють вирішувати задачі на відсотки. А розуміння відсотків і вміння здійснювати відсоткові розрахунки необхідні для кожної людини. Прикладне значення цієї теми дуже велика і зачіпає фінансову, економічну, демографічну та інші сфери нашого життя. Вивчення відсотка продиктовано самим життям. Уміння виконувати процентні обчислення і розрахунки необхідно кожній людині, тому що з відсотками ми стикаємося в повсякденному житті. Проаналізувавши програму середньої школи з математики, прийшла до висновку, що за існуючими програмами рішення задач на відсотки передбачено в основному в 5-6 класах, а в наступних класах даної теми віддана незначна частина навчального часу. Німецький фізик 18-го століття Ліхтенберг сказав: «Те, що ви були змушені відкрити самі, залишає у вашому розумі доріжку, якою ви зможете знову скористатися, коли в тому виникне необхідність». Тому я вирішила і зробила добірку завдань з ДПА - 9 класів, з ЄДІ - 11 класів на банківські відсотки, де застосовується формула складних відсотків.

Мета дослідницької роботи

• Розширення знань про застосування процентних обчислень в задачах і з різних сфер життя людини;

Завдання:

• Познайомитися з історією виникнення відсотків;

• Вирішувати задачі на відсотки різними способами;

• Зробити добірку завдань з ДПА - 9 кл., ЄДІ-11кл., Які вирішуються за формулою складних відсотків;

• Дослідити бюджет сім'ї і відвідуваність гуртків учнів мого класу;

• Навчитися складати різні діаграми і таблиці;

• Попрацювати в текстовому редакторі;

• Попрацювати з ресурсами Internet;

• Отримати досвід публічного виступу.

1. З історії походження відсотків

Слово «відсоток» походить від латинського pro centum, що буквально означає «за сотню» або «зі ста». Відсотками дуже зручно користуватися на практиці, так як вони виражають цілі частини чисел в одних і тих же сотих частках. Знак «%» походить, як вважають, від італійського слова cento (сто), яке в процентних розрахунках часто писалося скорочено cto. Існує й інша версія виникнення цього знака. Передбачається, що цей знак стався в результаті безглуздої помилки, вчиненої складачем. У 1685 році в Парижі була опублікована книга - керівництво по комерційній арифметиці, де помилково складач замість cto ввів%.

Вперше опублікував таблиці для розрахунку відсотків в 1584 році Симон Стевін - інженер з міста Брюгге (Нідерланди) [1].

Відсотки застосовувалися тільки в торгових і грошових угодах. Потім область їх застосування розширилася, відсотки зустрічаються в господарських і фінансових розрахунках, статистиці, науці і техніці. Нині відсоток - це приватний вид десяткових дробів, сота частка цілого (прийнятого за одиницю).

2. Рішення задач на відсотки різними способами

При вирішенні задач на відсотки в 5 - 6 класах застосовують такі правила:

1. Знаходження відсотків від числа:

Щоб знайти відсотки від числа потрібно, відсотки перетворити на десяткову дріб і помножити на це число.

2. Знаходження числа за його відсотками:

Щоб знайти число за його відсотками потрібно, відсотки перетворити на десяткову дріб і число розділити на цей дріб.

3. Знаходження процентного відношення чисел:

Щоб знайти процентне відношення чисел, треба відношення цих чисел помножити на 100.

Завдання з відсотками можна вирішити різними способами: рівнянням, складанням таблиці, застосовуючи пропорцію, по діям, використовуючи правила. Зробила добірку і вирішила завдання з ЄДІ - 11, ДПА -9 класів.

Деякі з них:

Завдання 1. (ЄДІ 2005)

За перший рік підприємство збільшило випуск продукції на 8%, в наступному році випуск збільшився на 25%. На скільки відсотків зріс випуск продукції в порівнянні з первинною?

Рішення:

Це завдання можна вирішити двома способами:

1) використовуючи пропорцію

2) по діях

Рішення.

1 спосіб: Пізнаю на скільки збільшився випуск продукції за перший рік.

Нехай: х - початковий випуск

у - після збільшення на 8%

х - 100% у = х * 8 = 1,08 х

у - 108% 100

Тепер, дізнаюся на скільки збільшився випуск продукції за другий рік.

Нехай: 1.08 х - тепер вже початковий випуск

z - після збільшення на 25%, тоді

1,08 х - 100% z = 1,08 х * 125 = 1,35 х

z - 125% 100

У результаті у нас вийшло, що випуск продукції дорівнює 1,35;

Значить випуск збільшився на 0,35 або на 35%

2 спосіб:

1) 1,00 +0,08 = 1,08 (дізналися випуск продукції після першого збільшення)

2) 1,00 +0,25 = 1,25 (дізналися випуск продукції після другого збільшення)

3) 1,08 * 1,25 = 1,35 (це випуск продукції після двох збільшень)

4) 1,35-1,00 = 0,35 (збільшення випуску продукції після двох надбавок)

ВІДПОВІДЬ: випуск продукції в порівнянні з початковою виріс на 35%.

Задача 2 (ЄДІ 2006)

Внаслідок інфляції ціни зросли на 150%. Дума зажадала від уряду повернення цін до попереднього рівня. Для цього ціни повинні бути зменшені (на скільки відсотків)?

Рішення:

Вирішимо цю задачу за допомогою пропорцій.

Нехай: х - початкова ціна

у - ціна після підвищення цін на 150%

х - 100% у = 250 х; у = 2,5 х (нова ціна)

у - 250% 100

2,5 х - 100% 100 * х = 40%

х -?% 2,5 х

40% - склала первісна ціна від інфляції, тому ціни повинні бути зменшені на 60%

1. 100% - 40% = 60%

ВІДПОВІДЬ: ціни повинні бути зменшені на 60%.

Задача 3

Зошит коштує 40 рублів. Яке найбільшу кількість таких зошитів можна купити на 650 рублів, після пониження на 15%?

Рішення:

Вирішимо цю задачу пропорцією і по діях.

Нехай: х - на скільки рублів знизилася ціна зошитів.

40 - 100% х = 40 * 0,15 = 6 (рублів)

х - 15% 100

1) 40 - 6 = 34 (грн.) стала коштувати зошит

2) 650 * 34 = 19 (зошитів) можна купити на 650 рублів

ВІДПОВІДЬ: 19 зошитів можна купити на 650 рублів

Задача 4

Скільки грамів води треба додати до 50г розчину, що містить 8% солі, щоб отримати 5% розчин?

Рішення:

Вирішимо цю задачу рівнянням.

Нехай: х - кількість води, яке треба додати

(50 + х) - нова кількість розчину

50 * 0,08 - кількість солі у вихідному розчині

0,05 (50 + х) кількість солі в новому розчині

Так як кількість солі від додавання не змінилося, то воно однаково в обох розчинах - і у вихідному, і в новому.

Отримуємо рівняння:

50 * 0,08 = 0,05 (50 + х)

50 * 8 = 5 * (50 + х)

400 = 250 +5 х

-5 Х = -150

х = 30 (р.)

ВІДПОВІДЬ: 30 грамів води треба додати, щоб отримати 5% розчин.

Висновок: вирішила завдання за допомогою рівняння.

Задача 5.

Свіжі гриби по масі містять 90% води, а сухі 12%. Скільки вийде сухих грибів з 22 кг свіжих?

Рішення: вирішимо завдання за допомогою таблиці і рівняння.

З таблиці видно, що:

0,88 х = 2,2

х = 2,2 = 2,5 кг

0,88

Відповідь: 2,5 кг сухих грибів.

3. Рішення задач на складні відсотки

Складним відсотком називається сума доходу, яка утворюється в результаті інвестування грошей за умови, що сума нарахованого простого процента не виплачується в кінці кожного періоду, а приєднується до суми основного внеску і у наступному платіжному періоді сама приносить дохід [3].

Складні відсотки - це відсотки, отримані на нараховані відсотки.

Формула складного відсотка - це формула, за якою розраховується підсумкова сума з урахуванням нарахування відсотків.

х (1 + 0,01 а) ⁿ - періодичне збільшення деякої величини на одне і те ж число відсотків.

х (1 + 0,01 а) ^n,

де х - початковий внесок, сума.

а - відсоток (и) річних

n-час розміщення вкладу в банку

Але, ми можемо і зменшувати ціну, тому цю формулу можна записати і по-іншому: х (1 - 0,01 а) ⁿ - періодичне зменшення деякої величини на одне і те ж число відсотків.

Приклад:

Уявімо, що ви поклали 10 000 руб в банк під 10% річних.

Через рік на вашому банківському рахунку буде лежати

сума SUM = 10000 + 10000 * 10% = 11 000 руб.

Ваша прибуток - 1000 рублів.

Ви вирішили залишити 11 000 руб. на другий рік в банку під ті ж 10%.

Через 2 роки в банку накопичиться 11000 + 11000 * 10% = 12 100 руб.

Прибуток за перший рік (1000 рублів) додалася до основної суми (10 000р) і на другий рік вже сама генерувала нову прибуток. Тоді на 3-й рік прибуток за 2-й рік додасться до основної суми і буде сама генерувати нову прибуток. І так далі.

Цей ефект і отримав назву складний відсоток.

Коли весь прибуток додається до основної суми і надалі вже сама виробляє нову прибуток.

Задача 6

Вкладник відкрив рахунок у банку, внісши 2000 рублів на вклад, річний дохід по якому становить 12%, і вирішив протягом шести років не брати відсоткові нарахування. Яка сума буде лежати на рахунку через шість років?

Вирішимо цю задачу по формулі складних відсотків

х (1 + 0,01 а) ^n,

де х - початковий внесок.

а - відсоток річних.

n - час розміщення вкладу в банку.

Застосуємо цю формулу до нашого завдання

початковий внесок - 2000

відсоток річних - 12

n - 6 років, значить

2000 (1 + 0,12) ⁶ = 2000 * 1,126 = ​​2000 * 1,973823 = 3947,65

ВІДПОВІДЬ: через 6 років на рахунку буде лежати сума у вигляді 3947 крб. і 65 коп ..

Висновок: вирішила завдання, застосувавши нову властивість знаходження відсотків по формулі складних відсотків.

Задача 7 (ЄДІ 2006року)

Після двох послідовних знижень цін на одне і те ж число відсотків вартість товару з 400 рублів знизилася до 324 рублів. На скільки відсотків вартість товару знижувалася кожен раз?

Вирішимо цю задачу по формулі складних відсотків - х (1-0,01 а) ⁿ

Отримаємо:

400 * (1-0,01 а) ² = 324

20 (1 - 0,01 а) = 18

1 - 0,01 А = 0,9

а = 10

ВІДПОВІДЬ: вартість товару щоразу знижувалася на 10%

Задача 8 (ЄДІ 2006року)

За пенсійним вкладом банк виплачує 12% річних. По закінченню кожного року ці відсотки капіталізуються, тобто нарахована сума приєднується до вкладу. На даний вид вкладу було відкрито рахунок на 80000 рублів, який не поповнювався і з якого не знімалися гроші протягом двох років. Який дохід був отриманий після закінчення цього терміну?

Рішення:

Це завдання можна вирішити двома способами: 1) по діях

2) за формулою складних відсотків

Рішення:

1) дізнаємося дохід за перший рік

80000 * 0.12 = 9600руб.

2) знайдемо суму на рахунку після першого року

80000 + 9600 = 89600руб.

3) визначимо дохід за другий рік

89600 * 0,12 = 10752 руб.

4) дізнаємося кінцеву суму на рахунку

10752 + 89600 = 100352руб.

5) знайдемо дохід після двох років

100352 - 80000 = 20352 руб.

ВІДПОВІДЬ: після закінчення двох років вийшов дохід у розмірі 20 352 руб.

Це ж завдання вирішимо за формулою банківських відсотків: х (1 + 0,01 а) ⁿ

Нехай: х - 80000 - початковий внесок

а - 12% річних

n - 2 роки, отримаємо:

80000 (1 + 0,12) ² = 80000 * 1,12 ² = 100 352 руб.

Цим дізналися кінцеву суму на рахунку після двох років. Тепер треба дізнатися який дохід був отриманий. Для цього з кінцевої суми віднімемо початковий внесок.

100352 - 80000 = 20 352руб.

ВІДПОВІДЬ: після закінчення терміну був отриманий дохід у розмірі 29 352 руб.

Висновок: вирішила завдання двома способами, довівши, що простіше і швидше вирішити задачу по формулі складних відсотків, а не по діях.

Задача 9 (ЄДІ 2006року)

Банк пропонує клієнтам два види вкладів. Перший «До запитання» з наступним порядком нарахування відсотків: кожні 6 місяців рахунок збільшується на 10% від суми, що є на рахунку клієнта в момент нарахування. Другий вклад «номерний» з щорічним нарахуванням відсотків по вкладу. Скільки відсотків річних повинен нараховувати банк по другому вкладом, щоб однакові суми, покладені клієнтом на кожні з зазначених рахунків, через два роки виявилися знову рівними?

Рішення:

Вирішимо цю задачу рівнянням, застосовуючи форму банківських відсотків.

Нехай: х - початковий внесок, тоді через 6 місяців сума на рахунку дорівнюватиме

х * х +0,1 = х (1 +0,1);

через рік сума буде

х (1 +0,1) + х (1 +0,1) * 0,1 = х (1 +0,1) ^2;

Тоді через два роки сума буде дорівнює х (1 +0,1) ⁴

Сума вкладу «Номерний» через два роки, після двох нарахувань дорівнює х (1 +0,01 х) ²

Отримаємо рівняння:

х (1 +0,01 х) ² = х (1 +0,1) ⁴

1 +0,01 х = (1 +0,1) ²

100 + х = 110 ²

100100

100 + х = 12100

100

100 + х = 121

Х = 21%

ВІДПОВІДЬ: банк повинен нараховувати 21% річних, по «номерному» вкладом.

Висновок: вирішила завдання, застосувавши властивість складних відсотків.

Завдання 10 (ЄДІ 2006року)

Для визначення оптимального режиму зниження цін соціологи запропонували фірмі з першого січня знижувати ціни на товар в двох магазинах двома способами. В одному магазині - на початку кожного місяця (починаючи з лютого) на 20%, в іншому через кожні два місяці, на початку третього (починаючи з березня) на одне і теж число відсотків, причому таке, щоб через півроку (першого липня) ціни знову стали однаковими. На скільки відсотків треба знижувати цінні товару через кожні два місяці в другому магазині?

Рішення:

Вирішимо цю задачу за допомогою формули складних відсотків: х (1 +0,01 а) ⁿ

Нехай: х - початкова ціна, тоді, через місяць, після першого зниження, в першому магазині, ціна на товар буде дорівнює х (1-0,2) після другого зниження х (1-0,2) ^2;

Тоді, через півроку (після шести знижень) ціна дорівнюватиме х (1-0,2) ⁴

Ціна товару, у другому магазині після трьох понижень на а% дорівнюватиме

х (1-0,01 а) ² Отримуємо рівняння:

х (1-0,01 а) ² = х (1-0,2) ⁴

1 - а = (100 - 20) ²

100 100 ²

100 - а = 80

100 100 ²

100 - а = 64

а = 36%

ВІДПОВІДЬ: на 36% треба знижувати ціни в другому магазині.

Завдання 11 (ЄДІ 2006 рік)

Відповідно до договору фірма з метою компенсації втрат від інфляції була зобов'язана на початку кожного кварталу (3 місяці) підвищувати співробітнику зарплату на 2%. Однак з зв'язку з фінансовими труднощами вона змогла підвищувати йому зарплату лише раз на півроку (на початку наступного півріччя). На скільки% фірма повинна підвищувати зарплату кожні півроку, щоб першого січня наступного року зарплата співробітника дорівнювала тій, яку він отримав би в режимі підвищення, передбаченої договором?

Рішення:

Для вирішення складемо таблицю:

По таблиці складемо рівняння:

х (1 +0,02) ⁴ = х (1 +0,01 а) ²

(1 +0,02) ² = (1 +0,01 а)

102 ² = 100 + а

100 ² 100

а = 4,04%

ВІДПОВІДЬ: через кожен півроку зарплату співробітникам треба піднімати на 4,04%

4. Застосування відсотків в житті

4.1 Дослідження бюджету сім'ї

Відсотки широко застосовуються в повсякденному житті. Я покажу це на прикладі бюджету моєї сім'ї.

При складанні сімейного бюджету я використовувала правило знаходження відсотків від числа для того, щоб дізнатися процентний дохід у бюджет кожного з батьків.

Обчислення:

Для того щоб знайти у відсотках зарплату, треба суму помножити на 100 і розділити на 14000.

1. 6000 * 100 = 43%;

14000

2. 8000 * 100 = 54%

14000

Висновок: склала бюджет своєї сім'ї, застосувала властивість знаходження відсотків від числа і представила дані у вигляді діаграми.

Розподіл сімейного бюджету

Щоб наочно побачити розподіл сімейного бюджету я склала таблицю.

З таблиці видно, що найбільше число відсотків сімейного бюджету витрачається на харчування (38%), придбання одягу (30%), на транспортні засоби. Ще наочніше це видно з діаграми.

Обчислення:

Для того щоб знайти відсотки від суми, треба суму помножити на 100 і розділити на 14000.

1) 800 * 100 = 6% 2) 500 * 100 = 4%

14000 1400

3) 300 * 100 = 2% 4) 5500 * 100 = 39%

14000 14000

5) 4000 * 100 = 29% 6) 500 * 100 = 4%

14000 14000

7) 200 * 100 = 1% 8) 1000 * 100 = 7%

14000 14000

9) 13300 * 100 = 95%

14000

Висновок: досліджувала бюджет сім'ї, застосувала властивість знаходження відсотків від числа, представила дані у вигляді таблиці і діаграми.

4.2 Дослідження відвідування гуртків, учнів нашого класу

Крім дослідження бюджету сім'ї я вирішила дослідити відвідуваність гуртків, учнів мого класу. Це ми побачимо з діаграми і таблиці.

З діаграми видно, що більша частина учнів (6 осіб) - 40% відвідують волейбол.

33% (5человек) відвідують - кулінарію та майстриню.

20% (3 особи) - туризм.

13% (2 особи) - лижну

6% (1 особа) - хокей і флорбол.

При обчисленні я застосовувала властивість знаходження відсотків від числа.

Для того щоб знайти, скільки відсотків становить відвідуваність гуртків, треба кількість людей, які відвідують той чи інший гурток помножити на 100 і розділити на 15 (кількість осіб в класі).

1. 6 * 100 = 40% (волейбол і не відвідують гуртків взагалі)

15

2. 2 * 100 = 13% (лижна)

15

3. 3 * 100 = 20% (туризм)

15

4. 1 * 100 = 6% (хокей і флорбол)

15

5. 5 * 100 = 33% (кулінарія та майстриня)

15

Висновок: досліджувала відвідуваність гуртків, застосувала властивість знаходження відсотків від числа, склала таблицю і діаграму.

Висновок

В ході проробленої роботи я дізналася, що складні відсотки - це відсотки, отримані на нараховані відсотки.

Формула складного відсотка - це формула, за якою розраховується підсумкова сума з урахуванням нарахування відсотків. Детальніше вивчила правила перебування відсотків. Зробила добірку і вирішила завдання з ЄДІ - 11 класів та ДПА - 9 класів. Досліджувала бюджет сім'ї і відвідуваність гуртків, учнів мого класу. Результати занесла в таблиці і діаграми. Освоїла навички роботи в текстовому редакторі і попрацювала з ресурсами інтернету. В процесі виконання роботи я дізналася багато нового, думаю, що стане в нагоді в навчанні.

Література

1 «Позакласна робота з математики», Альхова З.М., Макєєва А.В., Саратов ВАТ Видавництво «Ліцей», 2003.

2. «Готуємося до ЄДІ з математики», Семенко Е.А. та ін, Краснодар, Просвітництво-Південь, 2005.

3. Дорофєєв Г.В., Сєдова Е.А. Процентні обчислення. М. Дрофа 2003.

4. Навчально-тренувальні матеріали для підготовки до ЄДІ. «Математика», Деніщева Л.О., Гдазков Ю.А. та ін, М: Інтелект-Центр, 2003, 2005, 2006, 2007.

Додаток

Завдання № 1.

Розрахуйте, що вигідніше для вкладника: отримати 20 000 рублів сьогодні або отримати 35 000 рублів через 3 роки, якщо процентна ставка дорівнює 17%.

Відповідь. Отримати 35000 рублів через 3 роки є більш вигідним рішенням, при даному значенні процентної ставки.

Завдання № 2.

Скільки років потрібно, для того щоб з 1000 рублів, покладених в банк, стало 20000 рублів, якщо процентна ставка дорівнює 14% річних?

Відповідь. 1000 рублів збільшиться до 20000 рублів при 14% річної ставки за 22,86 року

Завдання № 3

Якою має бути ставка позичкового відсотка, щоб 10 000 рублів збільшилися до 30 000 рублів, за термін вкладу 5 років?

Відповідь. 10 000 рублів збільшаться до 30 000 рублів за 5 років при ставці позичкового відсотка 24,573%

Завдання № 4

Банк пропонує вклад «студентський». За цим вкладом, сума, наявна на 1 січня, щорічно збільшується на одне і те ж число відсотків. Вкладник поклав 1 січня 1000 руб. і протягом 2 років не виробляв з своїм внеском ніяких операцій. В результаті вкладена ним сума збільшилася до 1210 руб. На скільки відсотків щорічно збільшувалася сума грошей, покладена на цей внесок?

Відповідь: сума щорічно збільшувалася на 10%.

Завдання № 5

Банк виплачує вкладникам кожен рік 8% від внесеної суми. Клієнт зробив внесок у розмірі 200000рублей. яка сума буде лежати на його рахунку через 5 років, 10 років?

Відповідь: 280000 рублів, 360000 рублів.

Завдання № 6

Клієнт мав у банку рахунок, по якому нараховувалася 6% річних. Після того як банк запропонував нові види вкладів, він зняв з цього рахунку всі гроші і 2000рублей поклав на вклад, за яким нараховувалося 8% річних, а решта - на вклад з 9% річних. У результаті його річний дохід виявився на 130 рублів більше. Чим по колишньому вкладом. Скільки всього грошей він вніс на нові вклади? Відповідь: 5000 рублів

Завдання № 7

За зберігання грошей Ощадбанк нараховує вкладнику 8% річних. Вкладник поклав на рахунок 5000 р. і вирішив протягом п'яти років не знімати гроші з рахунку і не брати відсоткові нарахування. Скільки грошей буде на рахунку вкладника через рік? через два роки? через п'ять років?

Відповідь: Обчислюючи послідовно, знайдемо, що через п'ять років на рахунку вкладника буде 7346 р. 64 К.