Властивості визначеного інтеграла

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Властивості визначеного інтеграла

1. Властивості визначеного інтеграла

10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

тощо.

Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.

Визначений інтеграл введений для випадку, коли a<b. Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли a=b i a>b.

20. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

30. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:

(33)

Властивості 20 і 30 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона – Лейбніца.

40. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність

(34)

(адитивність визначеного інтеграла).

Припустимо спочатку, що a<c<b. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на частинні відрізки, то розіб’ємо [a;b] так, щоб точка с була точкою розбиття. Якщо, наприклад, с=хт , то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

.

Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (34).

Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого.

Якщо, наприклад, a<b<c, то за формулами (34) і (33) маємо

На рис. 7.5 показано геометрично цю властивість для випадку, коли і a<b<c: площа трапеції aABb дорівнює сумі площ трапеції aACc i cCBb.

Зауваження. Нехай f(x) – знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де a<b, наприклад, (рис.7.6)

Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо

де S1, S2, S3 – площі відповідних криволінійних трапецій.

Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл (27) при a<b дорівнює алгебраїчній сумі площ відповідних криволінійних трапецій, розміщених над віссю Ох, мають знак плюс, а нижче осі Ох – знак мінус. Якщо a>b то все формулюється навпаки .

Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 7.6 фігури виражається інтегралом

50. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла

(35)

Дійсно

60. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:

(36)

Для довільного τ – розбиття маємо

Звідси, переходячи до границі при дістанемо формулу (36). Ця властивість має місце для довільного скінченого числа доданків.

Властивості 50 і 60 називають лінійністю визначеного інтервала.

70. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то

(37)

(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом).

Оскільки

то будь-яка інтегральна сума і її границя при , теж невід’ємна.

80. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то

(38)

(монотонність визначеного інтеграла).

Оскільки то з нерівності (37) маємо

Використовуючи властивість 40 , дістанемо нерівність (38).

Якщо то властивість 80 можна зобразити геометрично (7.7): площа криволінійної трапеції aA1B1b не менша площі криволінійної трапеції aA2B2b.

90. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a;b] (a<b), то

(39)

Застосовуючи формулу (38) до нерівності

дістаємо

Звідки й випливає нерівність (39).

100. Якщо то

(40)

Скориставшись формулами (39) та (35), дістанемо

Звідси й одержуємо нерівність (40), оскільки

(41)

110. Якщо т і М – відповідно найменше і найбільше значення функції f(х) на відрізку [a;b] (a<b), то

(42)

(оцінки інтеграла по області).

За умовою

тому з властивості 70 маємо

Застосовуючи до крайніх інтегралів формули (35) і (41), дістаємо нерівність (42).

Якщо , то властивість 110 ілюструється геометрично (рис. 7.8): площа криволінійної трапеції aABb не менша площі прямокутника aA1B1b і не більша площі прямокутника aA2B2b.

120. Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що

(43)

(теорема про середнє значення функції).

Якщо функція f(х) неперервна на відрізку, то вона досягає свого найбільшого значення М і найменшого значення т. Тоді з оцінок (42) дістанемо (якщо a<b)

Покладемо

Оскільки функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то вона набуває всі проміжні значення відрізка [m; M] (п. 5.3, гл. 4). Отже, існує точка така, що , або

(44)

звідки й випливає дана властивість.

Для випадку, коли a>b, приводимо ті самі міркування для інтеграла , ф потім, переставивши границі. Приходимо до попередньої формули.

Рівність (44) називається формулою середнього значення, а величина f(c) – середнім значенням функції на відрізку [a;b].

Теорема про середнє значення при має такий геометричний зміст (рис. 7.9.): значення визначеного інтеграла дорівнює площі прямокутника з висотою f(c) і основою b-a.

Термін “середнє значення функції” добре узгоджується з такими фізичними поняттями, як середня швидкість, середня густина, середня потужність тощо. Якщо, наприклад, у формулі (44) інтеграл означає пройдений шлях за проміжок часу f [a;b] (п.2.2), то середнє значення f(c) означає середню швидкість, тобто сталу швидкість, при якій точка, рухаючись рівномірно, за той же проміжок часу пройшла б той самий шлях, що і при нерівномірному русі із швидкістю f(t).

130. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться.

Ця властивість дає змогу говорити про інтеграл навіть тоді, коли функція f(х) не визначена в скінченому числі точок відрізка[a;b]. При цьому в цих точках функції можна надати цілком довільних значень і величина інтеграла не зміниться.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
26.7кб. | скачати


Схожі роботи:
Обчислення визначеного інтеграла
Обчислення визначеного інтеграла методом трапецій
Основні властивості означеного інтеграла Формула Ньютона-Лейбніца
Первісна функція і неозначений інтеграл Основні властивості неозначеного інтеграла Таблиця осно
Властивості соняшникової олії Асортимент макаронних виробів Властивості мороженої риби
Властивості портландцементу Основні властивості будівельних матеріалів
Синтез властивості і застосування дифениламина Аміни та їх властивості
Техніка інтегрування і додатки певного інтеграла
Наближене обчислення значень певного інтеграла
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru