Випадкові події

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Випадкові події

Зміст
  Досвід з випадковим результатом .. 2
Статистична стійкість. 2
Поняття ймовірності .. 3
Алгебра подій .. 4
Основна термінологія в алгебрі подій .. 8
Принцип подвійності для подій .. 10
Умовні ймовірності .. 12
Формула складання ймовірностей .. 12
Формула множення ймовірностей .. 13
Узагальнення формули додавання ймовірностей .. 14
Узагальнення формули множення ймовірностей .. 15
Формула повної ймовірності .. 16
Формула Байєса. 17
Простір елементарних подій .. 17
Аксіоми теорії ймовірностей .. 19
Дискретне ймовірнісний простір .. 20
Приклади - Алгебр .. 21
Умовна ймовірність і ймовірнісний простір .. 23
Основні формули комбінаторики .. 25
Системи частинок в статистичній фізиці. 28
Послідовність незалежних випробувань .. 29
Найімовірніше число у розподілі Бернуллі .. 32
Поліноміальний розподіл. 33
Гіпергеометричний розподіл. 34
Асимптотика Пуассона. 35
Потік випадкових подій на осі часу .. 37
Локальна теорема Муавра-Лапласа. 38
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. 40
Досвід з випадковим результатом
Нехай - Безліч умов, при яких виконується експеримент . Будемо припускати, що при фіксованому експеримент може бути виконаний необмежену кількість разів, причому при повторенні досвіду його результати можуть бути різними. Таким чином, мова йде про експеримент з випадковим результатом (або результатом). Основна особливість такого експерименту полягає в тому, що його результат неможливо точно передбачити, а також у тому, що спостерігаються нерегулярні зміни результатів у послідовності дослідів, хоча кожен з них виконується при однаковому комплексі умов .
Очевидно, що багато умов не містить всі фактори, що впливають на результат досвіду . Оскільки інакше при кожному повторенні досвіду (Для фіксованого ) Був би отриманий один і той самий результат. Безліч - Це комплекс контрольованих умов. Крім них на результат досвіду впливає безліч неконтрольованих факторів, врахувати які в принципі неможливо.
Теорія ймовірностей вивчає математичні моделі експериментів з випадковим результатом. Розглянемо приклади таких дослідів.
1. Кидання монети. Тут результат кожного досвіду - це випадання герба, або зворотного боку монети - «грати». Таким чином, всього є два можливих наслідки досвіду.
Кожен результат експерименту з випадковим результатом в теорії ймовірностей прийнято називати подією (або випадковою подією). Тому в даному експерименті результатами є випадкове подія - Випадання герба при киданні монети і подія - Випадання «грати».
2. Кидання гральної кістки. Гральна кістка - це кубик з однорідного матеріалу, шість граней якого перенумеровані числами від 1 до 6. Тут як результату експерименту можна розглядати шість випадкових подій: - Випадання грані з номером 1, ... , - Випадання грані з номером 6. Однак у даному випадку не обов'язково результатом експерименту вважати випадання однієї з шести граней. Можна, наприклад, домовитися, що експеримент має не шість, а лише три результати: подія - Це випадання будь-якої з грані з номером 1,2 або 3, - Випадання одній з граней з номером 4 або 5 і, нарешті, - Випадання грані з номером 6. Але і в цьому випадку зручно виділити події - Випадання грані з номером , А всі інші події описувати через . Справа в тому, що події в даному досвіді є найпростішими або, як кажуть, елементарними. Крім того, жоден з елементарних фіналів , = 1, ... , 6, не можна вважати кращим або більш імовірним, ніж інший. Тому кожному елементарному результату природно приписати однакову ймовірність 1 / 6.
3. Стрільба по мішені. Нехай мішень складається з центрального кола і 9 концентричних кілець. У даному випадку результат досвіду - це одна з подій: попадання в коло, попадання в будь-яке з 9 кілець або повз мішені; всього 11 випадкових подій.
4. На відрізок , Довжини навмання випадковим чином кидається крапка. В якості результату досвіду можна взяти подія , Яке у тому, що точка потрапить на відрізок , Що міститься в .
5. На відрізок , Довжини навмання випадковим чином кидаються 2 точки. Такий досвід еквівалентний того, що на квадрат кидається навмання одна точка. У даному випадку результат досвіду - це попадання точки в задану область з квадрата .

Статистична стійкість

У послідовності експериментів з випадковим результатом неможливо точно передбачити результати окремих дослідів, так як у цих результатах виявляються нерегулярні випадкові коливання, що не піддаються точному обліку. Однак, якщо розглядати послідовність у цілому, а не окремі результати, то можна виявити надзвичайно важливе явище: не дивлячись на нерегулярне зміна результатів в окремих дослідах, середні результати у досить довгій послідовності експериментів з випадковим результатом виявляють стійкість.
Нехай у результаті експерименту подія може відбутися або не відбутися. Якщо виконано експериментів , В яких подія відбулося разів, то число
(2.1)
називається частотою появи події .
Експериментально встановлено, що при збільшенні частота має тенденцію сходитися до деякого постійному значенню. Про це експериментальному факт говорять як про стійкість частоти, або про статистичної стійкості. Однак, не слід думати, що всякий експеримент з випадковим результатом має властивість стійкості частоти. У теорії ймовірностей мова йде тільки про експерименти, що володіють цією властивістю. В якості ілюстрації властивості статистичної стійкості розглянемо графік залежності частоти появи герба при киданні монети від числа дослідів, представлений на рис.2.1. Для побудови цього графіка виконувалося кидання монети 30 разів, в кожному досвіді фіксувався вихід та обчислювалася частота за формулою (2.1), де - Число дослідів, з яких у дослідах з'явився герб.


Рис. 2.1. Графік частоти появи герба як функції числа
кидання монети.
Природно висунути припущення про існування межі,
, (2.2)
до якого прагне частота зі збільшенням числа дослідів. Проте, це припущення не може бути доведено або відкинуто досвідом. Але досвід підтверджує більше слабке твердження про стійкість частоти появи події. Факт статистичної стійкості і є емпіричною основою теорії ймовірностей і математичної статистики.

Поняття ймовірності

Теорія ймовірностей - це математична теорія, яка дає опис експериментів з випадковими наслідками, що володіють властивістю статистичної стійкості. Теорія ймовірностей будується як аксіоматична теорія, тобто в її основу покладена система аксіом. У свою чергу аксіоми сформульовані на основі експериментальних даних, а саме на властивостях частоти і, зокрема, на факті статистичної стійкості, що складається в тенденції частоти появи події стати постійною і рівною деякого числа при великій кількості повторень експерименту .
Таким чином, при побудові теорії необхідно ввести число зване ймовірністю події , Що реалізується за допомогою однієї з аксіом, яка називається аксіомою існування ймовірності. Далі необхідно розглянути основні властивості частот і виразити ці властивості як твердження щодо властивостей ймовірностей. Ці твердження разом з постулатом існування ймовірності утворюють систему аксіом теорії ймовірностей.
Частоту можна розглядати як результат вимірювання (оцінювання) ймовірності за експериментальними даними. Таким чином, рівність означає, що при великій кількості дослідів , А помилка має тенденцію знижуватися з збільшенням . Оскільки , То частота появи події в серії з дослідів задовольняє умові
. (3.1)
Аналогічному умові повинна задовольняти і ймовірність:
. (3.2)
Розглянемо значення ймовірності на межах інтервалу . Нехай , Тоді подія називається неможливим і позначається символом . Для неможливого події його частота і має тенденцію наближатися до нуля із збільшенням числа дослідів. Якщо , То подія називається достовірним і позначається символом . Частота достовірної події і зі збільшенням числа дослідів має тенденцію наближатися до одиниці.

Алгебра подій

Розглянемо основні операції над подіями і поняття алгебри подій. Нехай - Певна подія.
1. Доповненням події називається подія , Яке у тому, що подія не відбулося.
Операціями над подіями можна давати просту геометричну інтерпретацію. Розглянемо таку інтерпретацію операції доповнення. Нехай експеримент полягає у випадковому киданні точки на площину, при цьому безліч умов таке, що результат кожного досвіду - це попадання точки в область площині, рис.4.1. Реалізувати такий досвід можна,


Рис. 4.1. Подія і його доповнення .
кидаючи кулька радіуса в посудину з плоским дном. При цьому область - Це та частина дна посудини, в яку може потрапити центр кульки, тобто області не належить тільки смуга шириною біля стінки судини. Нехай - Підобласть області . Множини і точок площини можна розглядати як події: - Подія, що полягає в тому, що випадково кинута на площину точка потрапить в область ; І подія - Це попадання точки в область . За умовою подія з'являється в кожному досвіді, його ймовірність , Отже, - Достовірна подія. За визначенням - Це подія, що полягає в тому, що не відбулося. Тому в даній інтерпретації - Це не потрапляння точки в область , Тобто - Попадання точки в заштрихованную область, рис.4.1.
2. Об'єднанням (або сумою) двох подій і називається третю подію , Яке у тому, що відбулося хоча б одна з подій або . Для об'єднання будемо використовувати позначення
або . (4.1)
Ознакою операції об'єднання двох подій може служити союз "або" між ними. Операції об'єднання, аналогічно додатком, можна дати геометричну інтерпретацію. Нехай - Подія, що полягає в тому, що випадково кинута на площину точка потрапила в область, позначену також , Рис. 4.2. Аналогічно подія - Це попадання точки в область


Рис. 4.2. Події , та їх об'єднання .
. Тоді подія - Це попадання точки в заштрихованную область, рис. 4.2.
Операція об'єднання визначається для довільного числа подій. Наприклад, подія
(4.2)
полягає в тому, що відбувається хоча б одна з подій , .... Подія
(4.3)
полягає в тому, що відбувається хоча б одна з подій ... . Очевидно операція об'єднання коммутативна за визначенням:
(4.4)
і асоціативна, що також випливає з визначення:
. (4.5)
3. Перетином (або твором) двох подій і називається третю подію , Яке у тому, що відбулися обидві події і . Для позначення операції перетину будемо використовувати позначення
або . (4.6)
Геометрична інтерпретація операції перетину представлена ​​на рис. 4.3., Де і - Події та - Їх перетин - заштрихована область.
Операція перетину, також як і операція об'єднання, визначається для довільного числа подій. Наприклад, подія
(4.7)
полягає в тому, що відбуваються всі події Подія
(4.8)
полягає в тому, що відбуваються всі події
. (4.9)
За визначенням операція перетину коммутативна, тобто виконується умова:
, (4.10)
а також асоціативна:
. (4.11)


Рис. 4.3. Події , і їхнє перетинання .
Операції об'єднання і перетину взаємно дистрибутивності. Зокрема, операція об'єднання дистрибутивність щодо перетину:
. (4.12)
На рис. 4.4, а представлені події горизонтальній штрихування і вся ліва частина (4.12) - вертикальної штрихуванням. Аналогічно на рис. 4.4, б представлені: подія - Горизонтальної штрихуванням, подія - Вертикальної штрихуванням, вся права частина (4.12) - штрихуванням "у клітинку".


а б
Рис. 4.4. Геометрична ілюстрація дистрибутивності об'єднання щодо перетину.
Аналогічно (4.12) операція перетину дистрибутивність щодо
об'єднання:
. (4.13)
На рис. 4.5, а представлені: подія - Горизонтальної штрихуванням і ліва частина співвідношення (4.13) - штрихуванням "у клітинку". На рис. 4.5, б: подія - Горизонтальної штрихуванням, подія - Вертикальної штрихуванням і вся права частина (4.13) - це вся заштрихована область.


а б
Рис. 4.5. Геометрична ілюстрація дистрибутивності перетину щодо об'єднання.
Відзначимо, що якщо в (4.13) для операції об'єднання використовувати знак "+", а для перетину - відсутність знаку, то (4.13) приймає добре знайомий вигляд:
(4.14)
- Закону дистрибутивності множення відносно додавання в алгебрі чисел. На відміну від цього закон дистрибутивності (4.12) складання відносно множення не має аналога в алгебрі чисел.
4. Розглянуті операції над подіями носять алгебраїчний характер. Тому в теорії ймовірностей важливе значення має алгебра подій, яка визначається наступним чином.
Система подій алгеброю подій, якщо для будь-якої пари подій і з умов
(4.15)
випливає, що події , , , містяться в .
Кажуть, що алгебра подій - це система подій, замкнута щодо операцій доповнення, перетину та об'єднання.

Основна термінологія в алгебрі подій

Подія називається неможливим, якщо . Для позначення неможливого події будемо використовувати символ Æ.
Подія називається достовірним, якщо . Позначається достовірна подія символом . Очевидно Æ = Æ, .
Події і називаються протилежними. Мають місце рівності , , .
Події і називаються несумісними, якщо . Оскільки , То події і - Несумісні.
Події утворюють повну групу, якщо
. (5.1)
Це означає, що в результаті досвіду з'явиться хоча б одна з подій, що утворюють повну групу.
Події і називаються незалежними, якщо не залежить від того сталася подія чи ні, і навпаки, не залежить від того відбулося чи ні подія .
Якщо подія відбувається всякий раз, коли відбувається подія , То називається наслідком події , Це записується у вигляді співвідношення
або , (5.2)
що читається як "з слід "І" є наслідок ". Ставленню слідства можна дати геометричну інтерпретацію, рис. 5.1.

Рис. 5.1. Подія і його наслідок .
Якщо і , То події і називаються еквівалентними, це записується у вигляді .
Подія , Яке у тому, що подія відбулося, а подія не відбулося, називається різницею подій і і позначається
. (5.3)
З визначення випливає , Таким чином,
. (5.4)
Якщо в першому рівність (5.4) покласти , То .
Геометрична інтерпретація різниці двох подій і представлена ​​на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Події , і їх різниця .

Принцип подвійності для подій

У теорії ймовірностей та її прикладних важливу роль відіграє так званий принцип подвійності, який може бути виражений співвідношеннями:
, (6.1)
. (6.2)
З рівності (6.1) слід (6.2) і навпаки. Наприклад, виконаємо заміну в (6.1) , , Тоді (6.1) або , Що збігається з (6.2).
Візьмемо в (6.1) доповнення в обох частинах і поміняємо місцями праву і ліву частини, тоді
, (6.3)
тепер з (6.1) можна отримати (6.3), якщо події і замінити на протилежні і , Об'єднання на перетин і навпаки - перетин на об'єднання. Таким чином, для будь-якого затвердження, що відноситься до деякої системи подій, може бути сформульовано еквівалентним йому двоїсте затвердження шляхом вказаної заміни подій і операцій над подіями.
До принципом двоїстості слід віднести ще одне співвідношення:
, (6.4)
геометрична інтерпретація якого очевидна і представлена ​​на рис. 6.1, де відзначено горизонтальній штрихування і - Вертикальної штрихуванням.

Рис. 6.1. Події , та їх доповнення.
Розглянемо геометричне доказ співвідношення (6.1). Його ліву частину можна представити областю з горизонтальною штрихуванням, рис.6.2. Аналогічно на рис. 6.3 виділені події: - Горизонтальної

Рис. 6.2. Доповнення об'єднання двох подій і .
штрихуванням, - Вертикальної штрихуванням і - Штрихуванням "у клітинку".

Рис. 6.3. Перетин доповнень двох подій і .
Таким чином, ліва і права частини співвідношення (6.1) збігаються.

Умовні ймовірності

Нехай події і мають ймовірності і . Розглянемо вірогідність події , Якщо відомо, що відбулася подія . При цьому в загальному випадку ймовірність події змінюється і стає відмінною від . Ця ймовірність позначається і називається умовною ймовірністю події за умови, що відбулося, або просто - ймовірністю за умови .
Слід розрізняти дві ситуації. 1). Якщо , То події і залежні. 2). Якщо , То події і незалежні. Розглянемо приклад: кидання гральної кістки. Нехай подія - Це випадання одиниці, - Випадання непарного числа. Тоді = 1 / 6, а = 1 / 3, отже і - Залежні події.
Якщо - Результат досвіду, то називають переддослідний або апріорної ймовірністю події , А умовну ймовірність - Послеопитной або апостеріорної ймовірністю події .

Формула складання ймовірностей

Створюємо з подій і за допомогою операцій доповнення та перетину наступні чотири події:
. (8.1)
Система чотирьох подій (8.1) є повною групою несумісних подій. Дійсно, перетин будь-яких двох подій з цієї системи є неможливою подією. Наприклад, перетин першого і другого подій: . Таким чином, перше та друге події в (8.1) несумісні. Аналогічно можна показати несумісності двох будь-яких подій з (8.1). Тепер розглянемо об'єднання всіх подій системи (8.1):
де - Достовірна подія. Оскільки (8.1) повна група несумісних подій, то в кожному досвіді відбувається одне і лише одну подію з можливих чотирьох подій (8.1).
Нехай експеримент виконувався раз, і як його результату подія спостерігалося разів, подія спостерігалося разів, подія - раз і подія - разів. Очевидно,
. (8.2)
Частоти появи подій (8.1) визначаються співвідношеннями:
. (8.3)
Розглянемо об'єднання першого і другого подій (8.1):
. Тому частота
. (8.4)
Аналогічно і частота події має вигляд:
. (8.5)
Тепер розглянемо об'єднання перших трьох подій системи (8.1):
. (8.6)
Звідси:
. (8.7)
Порівнюючи (8.3) - (8.5), (8.7), отримуємо рівність:
, (8.8)
яке являє собою формулу (або теорему) складення частот.
Звідси випливає, що в аксіоми теорії ймовірностей повинна бути визначена формула складання ймовірностей, аналогічна співвідношенню (8.8):
. (8.9)
Якщо події і несумісні, то = 0 і формула складання ймовірностей набуває вигляду:
. (8.10)

Формула множення ймовірностей

Об'єднання перших двох подій системи (8.1) . У послідовності з дослідів подія з'явилося раз, а подія - разів. Тому подія з'явилося разів. Визначимо число появ події за умови, що подія відбулося. Подія відбувається, якщо відбувається або , Число таких випадків одно , При цьому подія відбувається, якщо відбувається , Число таких випадків одно . Таким чином, умовна частота появи події за умови, що відбулося
. (9.1)
Зі співвідношень (8.3), (8.4), (9.1) випливає:
(9.2)
- Формула множення частот.
Цю формулу можна отримати в іншому вигляді. Аналогічно (9.1)
, (9.3)
оскільки подія і з'являється раз у послідовності з дослідів, при цьому подія відбувається разів. Зі співвідношень (9.3) і (8.3), (8.5) випливає:
(9.4)
- Другий варіант формули множення частот.
Тому в аксіоми теорії ймовірностей повинна бути визначена, або отримана як наслідок аксіом, формула множення ймовірностей:
. (9.5)
Якщо події і незалежні, то умовні ймовірності рівні безумовним: , Тоді (9.5) приймає вигляд:
. (9.6)

Узагальнення формули додавання ймовірностей

Рівність (8.9) нескладно узагальнити на випадок довільного кінцевого числа подій. Імовірність того, що відбудеться хоча б одна з подій дорівнює

. (10.1)
Тут, наприклад , Означає потрійну суму за індексами , і , Які пробігають значення і задовольняють умові . Ця умова приводить до зменшення числа доданків потрійний суми в порівнянні з числом доданків у потрійній сумі без обмежень на індекси підсумовування. Останній доданок (10.1) можна також розглядати як - Разову суму за індексами за умови на індекси: , Що і призводить до виродження - Кратної суми до одного доданка (10.1).
Нехай події є несумісними, тоді з (10.1) слід
(10.2)
- Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей.

Узагальнення формули множення ймовірностей

Формула (9.5) множення ймовірностей узагальнюється на випадок довільного кінцевого числа подій. Імовірність того, що станеться кожне з подій дорівнює
. (11.1)
Розглянемо важливий окремий випадок формули (11.1) для подій незалежних в сукупності.
Визначення. Події називаються незалежними в сукупності, якщо події і - Незалежні при будь-якому виборі подій з даної сукупності і будь-якому .
Для незалежних і умовні ймовірності і формула (11.1) набирає вигляду
. (11.2)
Відзначимо, що з незалежності подій в сукупності слід їх парна незалежність. Але зворотне твердження не так. Розглянемо цей факт на прикладі Бернштейна. Нехай три грані правильного тетраедра пофарбовані відповідно в червоний ( ), Зелений ( ) І синій ( ) Кольору, а четверта - в три кольори ( ). Імовірність впасти тетраедра гранню, на який є, наприклад, червоний колір, дорівнює . Умовна ймовірність опинитися на цій межі червоному кольору за умови, що на ній є вже зелений дорівнює . Таким чином, події і незалежні. Аналогічно, розглядаючи будь-яку пару подій, нескладно визначити, що події , і С попарно незалежні. Однак імовірність впасти гранню, на якій є всі три кольори дорівнює . Звідси випливає, що події , і С не є незалежними в сукупності.
Розглянемо приклади розв'язання задач з використанням формул додавання і множення ймовірностей.
Визначити ймовірність розриву ланцюжка з паралельно з'єднаних елементів, якщо ймовірність розриву в кожному елементі однакова і дорівнює . Розрив ланцюжки з паралельних елементів означає настання кожного з незалежних в сукупності подій , , - Розрив -Го елемента. Таким чином, необхідно визначити . Відповідно до формули (11.2)
. (11.3)
Визначити ймовірність розриву ланцюжка з послідовно з'єднаних елементів, якщо ймовірність розриву в кожному елементі однакова і дорівнює . У даному випадку розрив ланцюжка означає настання хоча б одного з незалежних в сукупності подій , . Отже, необхідно визначити . Для цього можна скористатися формулою (10.1). Однак більш простий шлях отримання рішення - це обчислення через додаткове подія , Яке полягає в тому, що -Й елемент залишається в робочому стані. Очевидно , Звідки - Імовірність того, що кожен елемент в робочому стані. Отже, вірогідність виходу з ладу хоча б одного елемента
. (11.4)
Представляє інтерес порівняння результатів (11.3) і (11.4). Наприклад, при і отримуємо і

Формула повної ймовірності

Нехай - Повна група несумісних подій. Тоді виконуються умови:
(12.1)
- Достовірна подія і для будь-яких перетин - Неможлива подія. Уявімо деяка подія у вигляді
. (12.2)
Далі використовуємо властивість дистрибутивності перетину щодо об'єднання, тоді
. (12.3)
Відзначимо, що за будь-яких події і несумісні. Дійсно, . Тому з (12.3) слід
(12.4)
або, висловлюючи ймовірність перетину через твір ймовірностей згідно (9.5),
. (12.5)
Рівність (12.5) називається формулою повної ймовірності.
В окремому випадку попарно незалежних подій і умовні ймовірності і перетвориться наступним чином:
.
Таким чином, для незалежних подій і формула (12.5) вироджується в рівність .

Формула Байєса

Нехай також як у п. 12 несумісні події утворюють повну групу і - Певна подія. Відповідно до формули множення ймовірностей (9.5)
. (13.1)
Звідси
. (13.2)
Тут знаменник можна представити за формулою повної ймовірності (12.5). Тоді
. (13.3)
Формули (13.2) і (13.3) називаються формулами Байєса.
Формулами Байєса може бути дана наступна інтерпретація. Нехай подія - Це результат досвіду. Тоді ймовірності можна назвати апріорними або додосвідні, а ймовірності - Апостеріорними або послеопитнимі. Таким чином, формула (13.3) пов'язує між собою апріорні та апостеріорнi ймовірності подій , Тобто дозволяють врахувати інформацію, отриману в результаті досвіду та її вплив на ймовірність подій .
Для незалежних подій і умовні ймовірності , Тоді права частина (13.3) перетворюється наступним чином:
,
і формула (13.3) набирає вигляду .

Простір елементарних подій

14.1 У загальній теоретико-ймовірнісної схемою для кожного експерименту з випадковим результатом повинні бути вказані всі елементарні результати, що задовольняють дві умови: 1) в результаті експерименту відбувається один і тільки один з цих результатів, 2) за змістом елементарний результат неразложившиеся на «більш елементарні» . Кожен такий результат прийнято називати елементарним подією і позначати символом . Розглянемо приклади елементарних фіналів.
1. У досліді з киданням монети елементарними подіями є: - Випадання герба, - Випадання «грати». При цьому вважається, що стати на ребро монета не може.
2. В експерименті з гральної кісткою елементарні події - Це поява межі відповідно з номерами 1 ,..., 6.
3. Послідовність з кидання монети. Тут елементарними подіями є послідовності виду: , Де - Поява герба чи - Поява «грати». Число елементарних подій (різних послідовностей) дорівнює .
4. В експерименті з киданням точки на відрізок елементарна подія - це попадання точки в деяку координату відрізка , Що прийнято зображати точкою, розташованої в даній координаті відрізка . Тому кажуть, що елементарна подія в даному випадку - це точка відрізку .
5. В експерименті з киданням двох точок на відрізок елементарна подія - це пара точок на або одна точка в квадраті .
14.2. Безліч всіх елементарних подій в теорії ймовірностей прийнято називати простором елементарних подій і позначати буквою . Елементарні події називають точками простору елементарних подій .
14.3. Кожен результат експерименту з випадковим результатом прийнято називати подією. Для кожної події і кожного елементарного події відомо, тягне наступ чи ні, тобто виконується умова чи ні. Тим самим сукупність тих , Які тягнуть , Повністю визначають . Зворотно: довільна множина точок можна розглядати як подію , Що відбувається або ні в залежності від того, належить чи ні безлічі елементарна подія , Що представляє даний результат досвіду. Таким чином, подія можна вважати підмножиною , Що складається з точок , Які представляють ті результати експерименту, при яких відбувається . З цієї причини немає відмінності між подією і відповідним підмножиною .
14.4. Розглянемо приклади просторів елементарних подій. 1). В експерименті з киданням монети простір елементарних подій , Де - Поява герба, - Поява «грати». 2). При киданні гральної кістки простір елементарних подій , Де - Випадання грані з номером . 3). Якщо досвід полягає в киданні монети разів, то простір елементарних подій складається з усіх послідовностей виду , Де - Поява герба чи - Поява «грати». Число всіх послідовностей (або точок простору) дорівнює . 4). У досліді з киданням точки на відрізок простір елементарних подій - Це відрізок . 5). Нарешті, під час кидання двох точок на відрізок простір елементарних подій - Це квадрат .

Аксіоми теорії ймовірностей

Нехай - Простір елементарних подій, - Алгебра подій (алгебра підмножин безлічі ). В основі теорії ймовірностей лежать наступні п'ять аксіом.
1. Алгебра подій є - Алгеброю подій.
Система подій називається - Алгеброю, якщо для будь-якої послідовності подій , , Їх об'єднання , Перетин та доповнення , Також належать , Тобто , , є також подіями. Таким чином, - Алгебра - Це система подій, замкнута щодо операцій доповнення, рахункового об'єднання і лічильного перетину.
2. На - Алгебрі подій для будь-якого визначається функція , Звана ймовірністю і приймаюча числові значення з інтервалу [0,1]: .
Дана аксіома - це аксіома існування ймовірності - Як функції на зі значеннями з інтервалу . Наступні три аксіоми визначають властивості функції .
3. Для будь-яких двох подій , Таких, що
(15.1)
- Аксіома складання ймовірностей.
Звідси випливає, що для кінцевого числа несумісних подій
. (15.2)
4. Нехай , , - Попарно несумісні події: і нехай . Тоді
. (15.3)
Співвідношення (15.3) називається аксіомою лічильної адитивності ймовірності або аксіомою безперервності ймовірності. Друге пов'язане з наступною інтерпретацією рівності (15.3). Подія слід розуміти як межа послідовності
. (15.4)
При цьому рівність (15.3) можна розуміти як властивість безперервності функції : або
(15.5)
- Яке дозволяє операцію межі винести за функцію . Це обумовлено тим, що з умови (15.5) випливає (15.3):
. (15.6)
5. . (15.7)
П'ята аксіома вказує на те, що простір елементарних подій - Є достовірна подія. Таким чином, містить в собі всі події, які можна розглядати в цьому завданню.
Простір елементарних подій , - Алгебра подій і ймовірність на , Що задовольняють аксіомам 1-5, утворюють так зване ймовірнісний простір, яке прийнято позначати .
Відзначимо, що система аксіом 1-5 не суперечливі, тому що існують , Що задовольняють цим аксіомам і не повна, тому що ймовірність можна визначити багатьма способами в рамках аксіом 2-5. Поняття ймовірнісного простору (або система аксіом 1-5) містить лише загальні вимоги, які пред'являються до математичної моделі випадкового явища, і не визначає ймовірність однозначно. Останнє можливо тільки з урахуванням додаткових умов, заданих у постановці розглянутої задачі.

Дискретне ймовірнісний простір

Ймовірнісний простір називається дискретним, якщо звичайно або зліченна, - - Алгебра всіх підмножин (Включаючи ), Ймовірність визначена для кожного одноточечного підмножини простору елементарних подій :
, , (16.1)
. (16.2)
Для будь-якої події його ймовірність визначається рівністю
. (16.3)

Приклади - Алгебр

17.1. Нехай - Довільне простір елементарних подій, на якому не задані будь-які події. Для побудови - Алгебри згідно з визначенням (п.15) необхідно розглянути всі додатки, об'єднання і перетину заданих подій і включити їх у - Алгебру. Оскільки в даному випадку мається єдина подія , То можливо побудувати тільки його доповнення . Тепер є система з двох подій { }. Подальше застосування операцій доповнення, об'єднання, перетину не дає нових подій. Таким чином, у даному прикладі - Алгебра .
17.2. Нехай - Простір елементарних подій і - Певна подія, що не співпадає з , Тобто . Таким чином, є система з двох подій . Цю систему можна розширювати, включаючи в неї нові події, які виходять в результаті операцій доповнення, об'єднання, перетину над подіями . Процедуру розширення системи подій має сенс продовжити рекуррентно до припинення поява нових подій. Гранична система подій називається - Алгеброю, породженої системою подій .
Розглянемо операцію доповнення над подіями системи. Її результат , - Це нові події, що не містяться у вихідній системі , Включення яких дає нову систему подій
. (17.1)
Очевидно, наступні операції доповнення, об'єднання, перетину не дають нових подій, які не містяться в (17.1). Таким чином, система подій (17.1) є - Алгеброю, породженої системою .
17.3. Ускладнимо приклад. Нехай - Простір елементарних подій, - Два несумісних події, таких що . Таким чином, є система трьох подій . Операція об'єднання над подіями цієї системи призводить до появи одного нового події . Отримана система чотирьох подій розширюється до восьми шляхом включення їх доповнень. Нескладно бачити, що застосування операцій доповнення, об'єднання, перетину до цих восьми подій не породжує нових подій. Таким чином, система восьми подій
(17.2)
є - Алгеброю, породженої системою подій .
17.4. Розглянемо - Простір елементарних подій і два довільних події , Рис. 17.1. Для побудови - Алгебри, породженою певною системою подій, в багатьох випадках зручно застосувати наступний прийом.
На виділимо всі несумісні події , Рис. 17.1. При цьому , , , , і т.д. - Алгебра буде містити всі події , Всі об'єднання подій , А також неможлива подія . Дійсно, операція перетину будь-яких подій з безлічі породжує єдина подія . Операція доповнення над подіями з безлічі породжує подія, яка виражається через об'єднання подій . Отже, над подіями досить розглянути тільки операцію об'єднання, замість трьох операцій - доповнення, перетину, об'єднання для вихідної системи подій .
Тепер для побудови - Алгебри розглянемо події , Всі їх об'єднання і висловимо отримані події через вихідні . Очевидно: , , , . Парні об'єднання дають наступні події: , , ; , ; . Потрійні об'єднання: , , , .
Таким чином, - Алгебра містить події: , , , ; , , , , , ; , , , , А також і - Всього 16 подій.
Відзначимо, що при визначенні - Алгебри породжує система подій, як правило, складається з подій, які спостерігаються в досвіді.
Відзначимо, що події збігаються з подіями (8.1), які розглядалися під час виведення формули складання для частот. Дійсно, , , і нарешті, за формулою (6.1) .
17.5. Розглянемо узагальнення прикладу 4. Нехай вихідна система подій - Містить довільних подій . Для побудови - Алгебри, подібно прикладу 4, введемо події виду
, (17.3)
де кожне або , Причому і . Оскільки кожне може приймати два значення 0 або 1, то число всіх подій виду одно . Ці події утворюють повну групу несумісних подій. Таким чином, події на - Алгебрі виконують роль ортогонального базису, що дозволяє представити довільне подія через несумісні (ортогональні в сенсі операції перетину) події . У теорії множин множини виду називаються конституентами. Апарат констітуєнт дозволяє показати, що в даному прикладі число всіх подій - Алгебри не перевищує (Включаючи і ), Причому число подій досягає максимального значення, коли всі відмінні від (Як у прикладі 4). Цей результат дозволяє судити про високу швидкість зростання числа подій в - Алгебри в залежності від - Числа подій у вихідній системі. Для прикладу 4 число , Отже, число подій в - Алгебрі одно .

Умовна ймовірність і ймовірнісний простір

18.1. Нехай - Ймовірнісний простір. Розглянемо інтерпретацію умовної ймовірності події , Якщо відомо, що відбулася подія , Причому . За цих умов простором елементарних подій природно вважати не , А , Оскільки той факт, що відбулося, означає, що мова йде лише про тих елементарних події , Які належать безлічі . Серед елементарних подій , Тільки ті з них тягнуть подія , Які належать . Оскільки подія ототожнюється з безліччю елементарних подій, що тягнуть , То тепер (за умови, що - Відбулося) подія слід ототожнювати з безліччю . Можна сказати, що безліч є подія , Що розглядається з точки зору, згідно з якою простором елементарних подій оголошено подія .
18.2. На новому просторі елементарних подій - Алгебра подій визначається, чи, як кажуть, індукується - Алгеброю подій , А саме складається з подій виду , Де . Перевіримо, що дійсно - Алгебра. Нехай - Події з , Де . Необхідно показати, що їх об'єднання, перетину і доповнення також належать .
Розглянемо об'єднання
. (18.1)
Операції об'єднання і перетину взаємно дистрибутивного, зокрема, перетин дистрибутивно щодо об'єднання:
, (18.2)
де - Події. Нехай , , , Тоді з (18.1) слід
. (18.3)
Оскільки , , А - - Алгебра, то і об'єднання . Тому , А згідно (18.3) . Аналогічно
. (18.4)
Отже, . Перевірити факт не складає труднощів, дійсно,
. (18.5)
Нарешті, розглянемо додаток
, (18.6)
звідки випливає . Таким чином, є - Алгеброю подій виду .
18.3. На - Алгебрі вводиться ймовірність
, . (18.7)
Відзначимо, що якщо покласти , То , , . Тому в (18.7) знаменник виконує нормування на новий простір елементарних подій .
Тепер трійка є новим імовірнісним простором, побудованим у зв'язку з поставленим завданням, в якій подія зазвичай розглядається як результат досвіду. Причому ймовірність на (18.7) можна розглядати і на , При цьому також є ймовірністю і позначається . Тому (18.7) можна представити:
, . (18.8)
Імовірність як функція на називається умовною ймовірністю події за умови, що подія відбулося.
18.4. Відзначимо, що властивості умовної ймовірності аналогічні відповідним властивостям безумовної імовірності. Зокрема, мають місце співвідношення:
, (18.9) , (18.10)
Для несумісних подій
, (18.11)
, (18.12)
де подія під знаком ймовірності можна перетворити: . Тому в (18.12)

. (18.13)
Підставимо (18.13) в (18.12), тоді

. (18.14)
Це співвідношення повністю аналогічно формулі складання безумовних ймовірностей.

Основні формули комбінаторики

Є велика кількість завдань, в яких обчислення ймовірностей виконується за допомогою комбінаторних формул. Розглянемо основні комбінаторні формули.
19.1. Перестановки. Нехай є різних об'єктів . Ці об'єкти перенумеровані, і отже, утворюють послідовність (або впорядкована множина). Поміняємо місцями два об'єкти і . Тоді отримаємо нову послідовність . Потім можна в початковій послідовності на перше місце поставити , А об'єкт відповідно на третє і т.д., отримуючи кожного разу нову послідовність з об'єктів. Різні послідовності відрізняються лише порядком проходження об'єктів, тому в загальному випадку послідовність, отримана при перестановці об'єктів, має вигляд: .
Виникає питання, чому одно число різних послідовностей ? (Або просто чому одно число перестановок?) Відповідь може бути отриманий шляхом наступних міркувань. Об'єкт можна вибрати способами, тобто в якості можна взяти будь-який об'єкт серед . Якщо обраний, то можна вибрати способом, оскільки в початковій послідовності залишилося об'єктів, кожен з яких може бути вибраний в якості другого об'єкта нової послідовності і т.д. Всього, таким чином, існує способів утворити послідовність , Вибираючи об'єкти із сукупності . Число називається числом перестановок різних об'єктів.
19.2. Розміщення. Ускладнимо умову задачі. Нехай є різних об'єктів . Чому дорівнює число різних послідовностей виду , , Отриманих при добуванні об'єктів з вихідної послідовності різних об'єктів?
Аналогічно як і в першій задачі, в даному випадку об'єкт можна вибрати способами. Якщо обраний, то об'єкт можна вибрати способом і т.д. Нарешті, об'єкт можна вибрати способом. Таким чином, всього існує
(19.1)
способів утворити послідовність з об'єктів, вибираючи об'єкти із сукупності . Інакше це завдання можна сформулювати наступним чином: скільки існує способів розміщення з різних об'єктів за місцях. Число (19.1) називається числом розміщень з по . Відзначимо, що при з (19.1) слід .
19.3. Поєднання. Нехай є різних об'єктів , З яких вибирається об'єктів , Що утворюють множину . Скількома способами можна утворити безліч ?
На відміну від розміщень результатом витягів об'єктів із сукупності є не послідовність, а безліч . У послідовності важливий порядок розташування елементів, так дві послідовності і - Різні, вони різняться розташуванням елементів і . Якщо розглядати дві множини і , То ці безлічі однакові: , Оскільки порядок розташування елементів на множині не має значення. Важливий тільки питання: міститься елемент в даному безлічі чи ні? Таким чином, дана задача відрізняється від завдання на число розміщень тим, що витягають об'єктів утворюють безліч , На якому не важливий порядок розташування об'єктів, а важливий тільки факт наявності або відсутності елементу в множині .
Поєднанням з елементів по називається будь-яка підмножина з елементів множини, що містить елементів. Число всіх поєднань позначається записом . Наше завдання зводиться до знаходження числа . Якщо, витягуючи об'єкти з сукупності , Будувати з них послідовність , Тобто з огляду на розташування об'єктів, то число різних послідовностей дорівнює числу - Розміщень з по . У цьому завданню інтерес представляє безліч , Для якого різний порядок розташування заданих елементів дає одне і те ж безліч. Число перестановок різних елементів одно . Тому число розміщень в більше кількості сполучень . З (19.1) слід
(19.2)
19.4. Перестановки з повтореннями. Є об'єктів, але не всі ці об'єкти різні, серед них є однакові об'єкти або нерозрізнені. Нехай серед об'єктів об'єктів 1-го типу, об'єктів 2-го типу, ..., об'єктів -Го типу. Інших об'єктів немає, так що
. (19.3)
Чому дорівнює число різних послідовностей з об'єктів, які можна утворити, витягуючи їх із сукупності в об'єктів?
Якщо все об'єктів були б різними, наприклад пронумеровані від 1 до , То число різних послідовностей було б так само . Оскільки є нерозпізнаних об'єктів 1-го типу, то перестановка двох об'єктів 1-го типу між собою не дає новій послідовності. Це слід врахувати. Число перестановок між об'єктами 1-го типу одно Тому за рахунок нерозрізненості перестановок між об'єктами 1-го типу, загальна кількість різних послідовностей зменшується в разів. Аналогічно слід врахувати нерозрізнені перестановки між об'єктами 2-го типу, їх і т.д. Таким чином, число різних перестановок сукупності з об'єктів, серед яких об'єктів 1-го типу, об'єктів 2-ого типу, ..., об'єктів -Го типу, так само
. (19.4)
З (19.4) слід при , Тобто за умови, що всі об'єкти різні,
(19.5)
- Число перестановок різних об'єктів (або без повторення).
З (19.4) можна отримати інший окремий випадок при , , :
, (19.6)
що дозволяє інтерпретувати як число перестановок об'єктів, серед яких об'єктів 1-го типу та об'єктів 2-го типу.
19.5. Розміщення з повтореннями. Нехай є різних об'єктів , З яких вибирається об'єкт, фіксується і повертається назад. Таким чином витягується об'єктів
. (19.7)
Послідовність (19.7) називається розміщенням з повтореннями з (Елементів) за (Місцями). Таким чином, в послідовності (19.7) можуть зустрічатися однакові об'єкти, на відміну від розміщення (без повторення), коли об'єкти витягуються з вихідної сукупності без повернення.
Скількома способами може бути утворена послідовність (19.7) при вилученні з поверненням? Оскільки перший об'єкт може бути обраний способами, другий об'єкт -Також способами і т.д., то існує
(19.8)
розміщень з по з повтореннями.

Системи частинок в статистичній фізиці

20.1. Система Максвелла-Больцмана. Характеризується як система різних частинок, кожна з яких може перебувати в одній з осередків (станів) незалежно від того, де при цьому перебувають інші частинки. Чому дорівнює число різних розміщень частинок за осередкам в цій системі? Першу частку можемо помістити в будь-яку з осередків, тобто способами. Другу частку також можна помістити в будь-яку з осередків і т.д. Таким чином, є всього різних розміщень частинок за осередкам. Якщо при цьому всі розміщення (стану системи) вважаються рівноімовірними, то говорять, що система частинок підпорядковується статистикою Максвела-Больцмана. Імовірність кожного стану дорівнює .
20.2. Систем Бозе-Ейнштейна. Визначається як система нерозпізнаних (тотожних, однакових) часток, кожна з яких незалежно від інших може перебувати в одній з осередків (станів частки). Оскільки частинки неможливо розрізнити, кожне стан такої системи задається числами "заповнення" , Де - Число частинок в осередку. Підрахуємо число різних станів системи, тобто число розміщень частинок, що розрізняються лише числами заповнення.
20.2.1. Стан системи зручно представити ріс.20.1, де рискою зображується кордон осередку, а точкою - частка.

Рис. 20.1. Стан системи частинок.
Конфігурація (стан) з точок і кордону повністю визначається положеннями внутрішніх рисок. Дві крайні рисочки закріплені і переміщатися не можуть. Відзначимо, що якщо поміняти місцями будь-які дві або декілька часток, то конфігурація (стан) не зміниться через нерозрізненості частинок. Точно також конфігурація не зміниться, якщо поміняти місцями дві внутрішні рисочки. Проте кожного разу, коли міняються місцями частка і рисочка буде отримано новий стан системи. Число рисок і частинок одно , А загальна кількість перестановок рисок і частинок одно . З них існує перестановок рисок межу собою, які не призводять до нового стану, а також існує перестановок частинок між собою, що не приводять до нових станів. Тому число різних станів системи дорівнює:
. (20.1)
Це число у комбінаториці називають числом сполучень з повтореннями з по . Якщо всі стани системи різновірогідні, то говорять, що система частинок підпорядковується статистиці Бозе-Ейнштейна. При цьому ймовірність кожного стану дорівнює
. (20.2)
20.2.2. Якщо число частинок - Не менше числа осередків, то можна додатково вимагати, щоб у кожному стані жодна клітинка не залишалася порожньою. При цьому число можливих станів зменшиться в порівнянні з (20.1). Визначимо це число. Для цього "приклеїмо" до кожної з рисок праворуч по одній точці, виключивши останню -У (праву) рисочку. Тепер, переставляючи кордон комірки у вигляді "рисочка + частка", будемо отримувати стану, коли в кожній клітинці буде не менше однієї частинки. Усього є, як і в першому випадку, кордонів, які можна переставляти, а також - Число кордонів плюс вільних частинок, оскільки частинок "приклеєні". Загальне число перестановок кордонів і вільних частинок одно . Серед них перестановок між собою кордонів, які не призводять до нових станів, а також перестановок між собою вільних частинок, які також не дають нових станів. Тому число різних станів системи дорівнює
, . (20.3)
20.3. Система Фермі-Дірака. Визначається як система Бозе-Ейнштейна, в якій додатково діє принцип заборони (принцип Паулі), що вимагає, щоб у кожному осередку знаходилося не більше однієї частинки. Частинки і в цьому випадку неможливо розрізнити, тому стан системи характеризується числами заповнення для . Очевидно, в даному випадку число частинок - Числа осередків (станів частки). Стан системи можна задати, вибираючи заповнених клітинок із загального числа осередків. Число різних способів вибору одно . Якщо всі стани різновірогідні, то говорять про статистику Фермі-Дірака. При цьому ймовірність кожного стану дорівнює
. (20.4)
Статистикою Максвела-Больцмана підпорядковані системи молекул газу в класичній статистичній фізиці. Системи частинок з цілим і напівцілим спіном підкоряються відповідно статистикам Бозе-Ейнштейна і Фермі-Дірака.

Послідовність незалежних випробувань

21.1. Нехай експеримент може бути повторений разів. Тоді говорять про послідовності (або серії) випробувань (дослідів, експериментів). Нехай послідовність дослідів характеризується тим, що результат будь-якого досвіду не залежить від результатів решти дослідів даної послідовності. Тоді говорять про послідовність незалежних випробувань. Нехай досвід має два результати - подія або . Тоді послідовність незалежних випробувань називається ймовірнісної схемою Бернуллі. Зазвичай результат умовно називають успіхом, а результат - Невдачею. Позначимо ймовірність успіху і ймовірність невдачі . Очевидно .
В якості прикладів схеми Бернуллі можна навести досвід з киданням монети або гральної кістки. У першому прикладі успіх - Це випадання герба і неуспіх - Випадання решітки, при цьому . У другому прикладі в якості успіху можна розглядати випадання грані з номером 1, тоді - Невипадання номери 1, при цьому і .
Визначимо в схемі Бернуллі ймовірність того, що в серії з випробувань успіх наступить разів. Очевидно . Розглянемо послідовність дослідів і будемо фіксувати результат кожного досвіду, тобто подія або . Тоді послідовність результатів може мати, наприклад, вигляд
, (21.1)
тобто її перші елементів - це події і наступні елементів - події . Іншими словами, в перших дослідах настає успіх і в наступних дослідах - неуспіх. За умовою випадки в послідовності (21.1) - це незалежні події, тому за формулою множення ймовірність появи послідовності виду (21.1) дорівнює
. (21.2)
При підрахунку ймовірності слід врахувати всі можливі послідовності, що складаються з подій і подій . Імовірність появи будь-якої їх цих послідовностей однакова і дорівнює . Крім цього послідовності є несумісними подіями, оскільки в кожній серії дослідів реалізується тільки одна з цих послідовностей. Тому за формулою складання ймовірностей:
, (21.3)
де підсумовування ведеться за всіма послідовностей, що містить подій виду і подій . Число цих послідовностей одно , Оскільки може бути визначене як число різних перестановок елементів послідовності (21.1), що містить елементів 1-го типу (подій ) І елементів 2-го типу (подій ) За формулою (19.6). Таким чином, з (21.3) слід
. (21.4)
Це співвідношення називається формулою Бернуллі або біноміальним розподілом ймовірностей. Останнє пов'язано з тим, що дорівнює загальній члену бінома .
Розглянемо приклад. Впадає монета. Яка ймовірність випадання 0,1,2,3,4 раз герба при 4 кидання? Тут ймовірність успіху (появи герба) в одному досвіді дорівнює , , За формулою (21.4) обчислюються ймовірності , , , , . На рис. 21.1 представлений графік залежності .

Рис. 21.1. Графік залежності імовірності від числа успіхів у досвіді з киданням монети.
21.2. Обчислимо ймовірність того, що в серії з незалежних дослідів число успіхів буде лежати в інтервалі . Відповідно до формули додавання ймовірностей
. (21.5)
Визначимо, яка ймовірність появи хоча б одного успіху в серії з дослідів. Очевидно, мова йде про ймовірність того, що число успіхів буде лежати в інтервалі . Таким чином, шукана ймовірність визначиться формулою (21.5) при і :
. (21.6)
Цей вираз можна перетворити, якщо врахувати рівність
. (21.7)
Ліва частина (21.7) згідно з формулою складання ймовірностей являє собою ймовірність події, що складається в тому, що кількість успіхів приймає значення з інтервалу . Ця подія є достовірним, тому його ймовірність дорівнює одиниці. Тепер (21.6) можна представити у вигляді:
. (21.8)

Найімовірніше число у розподілі Бернуллі

Число , Для якого (21.4) досягає максимального значення, називається Найімовірніше число у розподілі Бернуллі. Очевидно, Найімовірніше число визначається двома умовами:
, (22.1)
. (22.2)
Для знаходження числа вирішимо систему двох нерівностей (22.1), (22.2) щодо . Підставимо в перше нерівність формулу (21.4), тоді
. (22.3)
Після скорочення в лівій частині нерівність набуває вигляду:
,
звідки або
. (22.4)
Аналогічно вирішимо друга нерівність:
. (22.5)
Після скорочення
,
звідки або . Що зводиться до вираження:
. (22.6)
Таким чином, Найімовірніше число у розподілі Бернуллі визначається двома умовами (22.4) і (22.6):
. (22.7)
За умовою завдання число - Ціле за умовою задачі і лежить в одиничному інтервалі (22.7). Тому рішення (22.7) може бути єдиним, якщо - Дробове число. Це реалізується у прикладі з киданням монети, де , , Тоді . Відповідно до (22.7) , Тому існує єдине Найімовірніше число , Що ілюструє графік, представлений на ріс.21.1.
Можлива інша ситуація, якщо - Ціле число. Тоді одиничний інтервал (22.7) містить два цілих числа, отже, є два Найімовірніше число у розподілі Бернуллі. Цю ситуацію можна розглянути також на прикладі з киданням монети. Нехай , Тоді , Отже (22.7) має вигляд: , Тобто є два Найімовірніше число і . При цьому і графік має плоску вершину.

Поліноміальний розподіл

Розглянемо узагальнення схеми незалежних випробувань, яке у тому, що результатом кожного досліду є одне з несумісних подій , Що утворюють повну групу. Нехай імовірність , , Тоді
. (23.1)
Визначимо ймовірність події , Що складається в тому, що в серії з незалежних дослідів подія відбудеться разів, ..., подія відбудеться разів. Оскільки результатом кожного досліду є одне і лише одна з подій , То справедливо рівність:
. (23.2)
Розглянемо наступну послідовність результатів в серії з дослідів. Нехай в перших дослідах результатом була подія , В подальших дослідах результатом була подія , ... , В останніх дослідах результатом була подія . Імовірність появи цієї послідовності визначається за формулою множення:
. (23.3)
Якщо в послідовності поміняти місцями перший результат і результат , То отримаємо нову послідовність , Яка також складається з подій виду , ... , подій . Імовірність появи цієї послідовності і визначається також формулою (23.3). Загалом, кожна послідовність , Отримана з шляхом перестановок між подіями , З'являється з однаковою ймовірністю . Подія означає, що відбувається подія або , ... . Таким чином,
. (23.4)
Тепер ймовірність за формулою складання ймовірностей для несумісних подій визначається співвідношенням:
, (23.5)
де підсумовування по ведеться по всіх послідовностей . Число таких послідовностей - це число перестановок з повтореннями з по :
. (23.6)
Тому з (23.5) слід
. (23.7)
Ця формула називається поліноміальним розподілом ймовірності. Така назва пояснюється тим, що ймовірність (23.7) є спільним членом полінома .
Відзначимо, що при , , , , з формули (23.7) слід розподіл Бернуллі: .
Розглянемо приклад обчислення ймовірності випадання чисел при шести кидання гральної кістки. Тут є послідовність з шести дослідів, в кожному досвіді можливо шість випадків. Таким чином, вірогідність обчислення за формулою (23.7) при , , :

Цей же результат може бути отриманий з використанням формули множення ймовірностей (11.1), дійсно, тут перший множник - Це ймовірність того, що в першому досвіді результатом буде будь-яке число з шести можливих (Достовірне подія). Другий множник - Це умовна ймовірність того, що при другому киданні з'явиться будь-яке число крім того, що випало в першому досліді і т.д.

Гіпергеометричний розподіл

Нехай дана сукупність об'єктів, серед яких зазначених (наприклад, бракованих виробів, білих куль, виграшних квитків тощо). Витягується навмання об'єктів. Визначити ймовірність того, що серед них виявиться відзначених.
Постановка завдання потребує уточнення. Можна розглядати два наступних варіанти додаткових умов. 1). Витяг з поверненням. При цьому вилучення кожного об'єкта - це окремий досвід, після якого об'єкт повертається у вихідну сукупність з наступним перемішуванням всіх об'єктів. Таким чином, завдання укладається в імовірнісну схему Бернулі з імовірністю успіху в одному досліді і числом дослідів . Імовірність можна обчислити за формулою Бернулі. 2). Витяг без повернення. Цей варіант призводить до нової задачі. Розглянемо її рішення.
Оскільки порядок розташування видобутих об'єктів не має значення, то число способів вибору об'єктів із сукупності різних об'єктів одно
, (24.1)
і являє собою загальне число можливих результатів досвіду. З зазначених об'єктів можна вибрати об'єктів способами, причому кожному такому способу відповідає способів добрати ще об'єктів до загального числа , Вибираючи їх з невідзначеними. Отже, число способів, що сприяють появі зазначених об'єктів серед вибраних, так само . Тому
. (24.2)
Формула (24.2) називається Гіпергеометричний розподіл ймовірностей.
Розглянемо приклад обчислення ймовірностей виграшу в грі «спортлото». У даному випадку (Число номерів на картці), - Число виграшних номерів (тобто позначених). За умовою гравець вибирає номерів з номерів. При цьому гравець може вгадати виграшних номерів, .
Імовірність цієї події можна обчислити за формулою (24.2). При отримаємо ймовірність максимального виграшу
.
Зазначимо, що результат у вигляді добутку чисел 6 / 49, ... , 1 / 44 може бути отриманий з формули множення ймовірностей.

Асимптотика Пуассона

25.1. Формула Бернулі приводить при великих до дуже громіздким обчислень. Тому важливе значення мають наближені, але більш прості формули, які можна отримати з біноміального розподілу. Часто зустрічаються завдання, в яких розглядається велика кількість незалежних дослідів, причому ймовірність успіху в кожному окремому досвіді мала. У цьому випадку ймовірності того, що в серії з дослідів число успішних дослідів буде дорівнювати можуть бути обчислені за формулою Пуассона, яка виходить як асимптотика біноміального розподілу, за умови, що кількість дослідів , А ймовірність успіху в окремому досвіді , Так що параметр
. (25.1)
Розглянемо виведення формули Пуассона. З (25.1) виразимо і підставимо у формулу Бернулі, тоді

. (25.2)
При Найімовірніше число розподілу Бернулі одно , А згідно (25.1) . Це означає, що має суттєві значення тільки при , А зі збільшенням ймовірність . Тому, вважаючи в (25.2) , Отримуємо
. (25.3)
Розкладемо в ряд Тейлора функцію при малому :
. (25.4)
Використовуємо цю формулу для перетворення виразу
. (25.5)
Залишаючи тут тільки перший доданок, отримаємо
. (25.6)
Аналогічно розглянемо
. (25.7)
Підставимо (25.6), (25.7) у формулу (25.3), тоді
, , . (25.8)
Це рівність називається асимптотичної формулою Пуассона або розподілом Пуассона.
Відзначимо, що асимптотики (25.8) можна розглядати в межі при і , Де не залежить від . Тоді
, . (25.9)
Розподіл ймовірностей (25.9) задовольняє умові
. (25.10)
25.2. Визначимо Найімовірніше число розподілу Пуассона (25.9). Очевидно число задовольняє двом умовам:
, . (25.11)
Підставимо формулу (25.9) в перше нерівність, тоді
. (25.12)
Звідси випливає . Аналогічно рішення другого нерівності зводиться до умови . Таким чином, Найімовірніше число розподілу Пуассона визначається умовою:
. (25.13)

Потік випадкових подій на осі часу

Нехай на осі часу точками відображаються моменти настання деякої випадкової події. При цьому сама подія інтересу не представляє, важливим є тільки момент його настання. Така імовірнісна схема називається потоком випадкових подій. Прикладами потоків є: 1) послідовність телефонних дзвінків, що надходять на комутатор, 2) послідовність моментів розпаду атомів радіоактивної речовини; 3) потік претензій по страхуванню і т.п.
Нехай імовірність появи хоча б однієї події потоку за інтервал часу дорівнює
, (26.1)
де - Інтенсивність потоку, - Імовірність появи однієї події за інтервал і - Ймовірність появи двох або більшого числа подій за інтервал . Нехай потік додатково задовольняє наступним трьом умовам. 1). - Величина постійна, не залежна від часу , Тоді потік називається стаціонарним. 2). У співвідношенні (26.1) , При цьому потік називається ординарним або потоком рідкісних подій. 3). Потік називається потоком з незалежними значеннями, якщо події потоку незалежні.
Стаціонарний ординарний потік з незалежними значеннями називається найпростішим потоком. Визначимо ймовірність появи подій найпростішого потоку за інтервал часу . Інтервал тривалості розділимо на малі інтервали
, (26.2)
де . Тоді відповідно до (26.1)
(26.3)
- Імовірність появи однієї події потоку за інтервал тривалості . Тепер маємо послідовність незалежних дослідів, кожен з яких полягає в перегляді чергового інтервалу тривалості . Результатом кожного досвіду може бути поява події потоку (з ймовірністю ) В інтервалі або непоявленія події потоку (з ймовірністю ). Тому обчислюється за формулою Бернулі, як імовірність успіхів у серії з дослідів, якщо ймовірність успіху в одному досвіді визначається співвідношенням (26.3). Але враховуючи, що і можна застосувати асимптотики Пуассона з параметром , Який визначається формулою (26.3):
. (26.4)
Таким чином,
. (26.5)
Ординарний потік з незалежними значеннями називається пуассоновским потоком, тобто Пуассонівський потік не обов'язково повинен бути стаціонарним. Якщо потік нестаціонарний, то його інтенсивність - Є функцією часу. При цьому ймовірність - Появи подій потоку на інтервалі обчислюється за наступною формулою, узагальнюючої (26.5):
. (26.6)

Локальна теорема Муавра-Лапласа

Як зазначалося в п.25, при великому числі випробувань обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі виявляються досить громіздкими. Тому важливі значення мають наближені, але більш прості формули, які можна отримати з біноміального розподілу. Однією з таких наближених формул є асимптотика Пуассона, отримана за умови, що кількість дослідів , А ймовірність успіху .
Розглянемо іншу асимптотичну формулу біноміального розподілу за умов:
, , . (27.1)
Ці умови еквівалентні нерівності , Яке означає, що ймовірність успіху в одному досвіді не може бути занадто малою величиною , Так що величиною неможливо знехтувати в порівнянні з одиницею, а також не може бути занадто великою, тобто неправильним є припущення . Біноміальний розподіл ймовірностей має вигляд:
. (27.2)
Для представлення факторіала використовуємо формулу Стірлінга
(27.3)
Ця формула є асимптотики факторіала, тобто отримана при великому . Відзначимо досить високу точність формули (27.3) навіть при невеликих . Так у найгіршому випадку при (27.3) дає відносну помилку всього 8%, а при ця помилка зменшується до 0,08%. Для довільного ставлення точного значення до асимптотичному, обчисленому за формулою (27.3), знаходиться в інтервалі
.
Співвідношення (27.3) підставимо в (27.2), тоді
(27.4)
Введемо позначення:
, (27.5)
З (22.7) при випливає, що Найімовірніше число , Тому чисельник величини - Це ухилення числа успіхів від Найімовірніше число .
З (27.5) і умов (27.1) слід
, (27.6)
а також
. (27.7)
Умови (27.6) і (27.7) призводять до обмеження на швидкість росту другого доданка у виразах (27.6), (27.7), а саме при великому
, , (27.8)
тобто величина пропорційна , Де число . Швидкість Ростань може бути більшою, то є параметр , Що характеризує швидкість зростання не може приймати значення . В іншому випадку порушуються умови (27.6), (27.7). дійсно, при величина зростає із збільшенням швидше, ніж перший доданок в (27.6) і в (27.7), при цьому умова (27.6) виконується: , А умова (27.7) порушується, оскільки число стає негативним із зростанням .
Розглянемо в (27.4) вираз під коренем, в якому числа , представимо у вигляді (27.6), (27.7), тоді
(27.9)
При великому другий доданки в дужках (27.9) є малими в порівнянні з першими, оскільки виконується умова (27.8). Тому при з (27.9) слід
. (27.10)
Розглянемо два останніх множника виразу (27.4), причому зручно розглядати його логарифм:
. (27.11)
Підставимо сюди вирази для і (27.6) і (27.7). Тоді
. (27.12)
При малому справедливо розкладання в ряд:
, (27.13)
де - Величина, мала в порівнянні з . Використовуємо розкладання з точністю до в співвідношенні (27.12). Тоді
.
(27.14)
Введемо для стислості позначення , Тоді права частина (27.14) перетвориться наступним чином:

. (27.15)
Тут другий доданок залежить від через . Згідно (27.8) , , Тому
. (27.16)
При і вираз , Тому другий доданок в (27.15) є малою величиною порівняно з першим, яке дорівнює . Таким чином, (27.14) при має вигляд
. (27.17)
Отримані результати (27.10) і (27.17) підставимо в (27.4), тоді
, , . (27.18)
Формула (27:18) називається локальною асимптотики Муавра-Лапласа. Цей же результат може бути сформульований як наступна локальна теорема Муавра-Лапласа.
Якщо ймовірність успіху в одному досвіді задовольняє умові , Тоді ймовірність того, що в послідовності незалежних випробувань успіх наступить раз задовольняє умові:
. (27.19)

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

Імовірність того, що в послідовності незалежних випробувань число успіхів знаходиться в інтервалі визначається виразом
. (28.1)
Отримаємо асимптотики виразу (28.1) при тих же умовах, які були визначені для локальної теореми Муавра-Лапласа. При цьому визначається формулою (27:18). Підставимо (27:18) в (28.1), тоді
(28.2)
де
. (28.3)
Оскільки , То при . Нехай
, . (28.4)
Тоді при сума у ​​виразі (28.2) переходить в інтеграл:
. (28.5)
Цей результат носить назву інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Співвідношення (28.5) можна представити через функцію Лапласа:
. (28.6)
Практичне застосування інтегральної теореми грунтується на наближеному рівність:
. (28.7)
Для функції складені докладні таблиці, які зазвичай використовуються при вирішенні завдань. Замість функції Лапласа (28.6) може бути використаний інтеграл помилок:
. (28.8)
Функції і зв'язані співвідношенням:
.
Якщо в таблицях дано значення тільки для , Тоді значення при можна обчислити, використовуючи очевидне рівність
.
Розглянемо приклади обчислення ймовірностей з використанням теореми Муавра-Лапласа.
1. Яка ймовірність того, що при 200 кидання монети герб випаде 100 разів?
Для обчислення ймовірності можна використовувати локальну асимптотики (27:18). Тут , , , , . Оскільки , То . Підставимо отримані результати в (27:18), тоді:
.
2. Яка ймовірність того, що при 200 кидання герб випаде в інтервалі від 80 до 120 разів?
Вирішувати це завдання зручно, використовуючи інтегральну асимптотики з (28.7). Тут , , , . Необхідно знайти . Визначимо за формулами (28.4)
,
.
Тепер по (28.7): .
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
229.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Залежність семантики імені складного мовного події від структури події
Випадкові процеси
Випадкові величини
Випадкові вектора
Випадки одужання - не випадкові
Випадкові процеси в статичній динаміці
Надзвичайні події
Події клавіатури
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru