Випадкові вектора

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Випадкові вектора

Зміст
  Функція розподілу ймовірностей двох випадкових величин .. 2
Спільна щільність розподілу ймовірності двох випадкових величин 4
Умовна функція розподілу ймовірностей .. 7
Умовна густина ймовірності .. 7
Числові характеристики двовимірного випадкового вектора. 8
Верхня і нижня межі кореляції і коваріації .. 10
Коваріація і незалежність двох випадкових величин .. 11
Коваріація і геометрія ліній рівного рівня щільності ймовірності 13
Коефіцієнт кореляції .. 15
Коефіцієнт кореляції і відстань. 17
Функція розподілу ймовірностей випадкового вектора. 18
Щільність ймовірності випадкового вектора. 19
Багатомірне нормальний розподіл. 21
Характеристична функція випадкового вектора. 22
Функції від випадкових величин .. 23
Розподіл ймовірностей функції однієї випадкової величини .. 24
Перетворення кількох випадкових величин .. 28
Хі - квадрат розподіл ймовірностей .. 30
Хі - квадрат розподіл і розподіл Максвелла за швидкостями .. 33
Література. 35
Функція розподілу ймовірностей двох випадкових величин
У завданнях з випадковим результатом зазвичай доводиться враховувати взаємодію кількох випадкових величин. Це природним чином приводить до поняття багатовимірних (векторних) випадкових величин або сукупності кількох випадкових величин. Випадковий вектор є третім основним об'єктом вивчення теорії ймовірностей (після випадкової події та випадкової величини). Доцільно почати вивчення випадкових векторів з розгляду двомірних векторів, властивості яких порівняно прості і наочні.
Спільної функцією розподілу ймовірностей (або двовимірної функцією розподілу ймовірностей) випадкових величин , (Або випадкового вектора ) Називається функція
. (50.1)
Слід мати на увазі, що - Ймовірність події - Перетину двох подій: і . У записах виду (50.1) прийнята замість символу використовувати кому.
50.1. Розглянемо основні властивості функції , Наступні з її визначення.
1). , Де - Функція розподілу ймовірностей випадкової величини . Дійсно, - Достовірна подія, тому . Аналогічно , Де - Функція розподілу ймовірностей випадкової величини .
2). , Оскільки події , - Достовірні, отже їх перетин - достовірна подія і .
3). , Оскільки подія - Неможливе і . Аналогічно .
4). - Неспадними функція аргументу , А також неспадними функція аргументу .
5). неперервна справа по кожному аргументу.
50.2. Розглянемо геометричну інтерпретацію функції . Нехай випадкові величини , є компонентами випадкового вектора . Тоді результат кожного досвіду з вимірювання випадкового вектора можна розглядати як точку на площині, а функція визначає ймовірність попадання точки в частину площині: , Виділеної на рис. 50.1 штрихуванням.

Рис. 50.1. Геометрична інтерпретація функції .
Уявімо ймовірність - Попадання випадкового вектора в прямокутник , , , , Рис 50.2, через функцію . Нескладно визначити, що

Рис. 50.2. До обчислення ймовірності попадання в прямокутник.

(50.2)
Нехай , - Малі величини і функція має перші похідні за і , А також другу змішану похідну, тоді з (50.2) випливає:

. (50.3)
Звідси:
. (50.4)

Спільна щільність розподілу ймовірності двох випадкових величин

Нехай у функції існують похідні за , , А також друга змішана похідна. Спільної (або двовимірної) щільністю розподілу ймовірностей випадкових величин і називається функція
(51.1)
Розглянемо основні властивості двовимірної щільності ймовірності.
1. Справедливе співвідношення:
. (51.2)
Для доказу використовуємо рівність (51.1), тоді:

. (51.3)
Тепер з рівності (50.2) випливає (51.2). Це співвідношення має практичне значення, оскільки дозволяє обчислювати ймовірність - Попадання двовимірного вектора в прямокутник, який визначається відрізками і через щільність ймовірності .
2. Розглянемо окремий випадок співвідношення (51.2). Нехай , , , , Тоді (51.2) набирає вигляду:
. (51.4)
Це співвідношення визначає функцію розподілу ймовірностей через щільність ймовірності і є зворотним по відношенню до рівності (51.1).
3. Розглянемо (51.2) за умов: , , , , Тоді з (51.2) слід рівність:
, (51.5)
оскільки - Як ймовірність достовірної події. Співвідношення (51.5) називається умовою нормування для щільності ймовірності .
4. Якщо - Щільність ймовірності вектора , І - Щільність ймовірності випадкової величини , То
. (51.6)
Це рівність називається властивістю узгодженості щільності другого порядку і щільності першого порядку . Якщо відома щільність другого порядку , То за формулою (51.6) можна обчислити щільність ймовірності - Випадкової величини . Аналогічно,
. (51.7)
Доказ (51.6) отримаємо на основі рівності
. (51.8)
Уявімо через щільність згідно (51.4), а через , Тоді з (51.8) слід
. (51.9)
Диференціювання (51.9) за призводить до рівності (51.6), що і завершує доказ.
5. Випадкові величини і називаються незалежними, якщо незалежні випадкові події і за будь-яких числах і . Для незалежних випадкових величин і :
. (51.10)
Доказ випливає з визначень функцій і , . Оскільки і - Незалежні випадкові величини, то події види: і - Незалежні для будь-яких і . Тому
(51.11)
- Справедливо рівність (51.10). Продиференціюємо (51.10) по і , Тоді згідно (51.1) отримуємо наслідок для щільності:
. (51.12)
6. Нехай - Довільна область на площині , Тоді
(51.13)
- Імовірність того, що вектор приймає будь-які значення з області визначається інтегралом по від щільності ймовірності .
Розглянемо приклад випадкового вектора з рівномірним розподілом ймовірностей, який має щільність ймовірності на прямокутнику і - Поза цього прямокутника. Число визначається з умови нормування:
.

Умовна функція розподілу ймовірностей

Нехай випадкові величини і мають щільності ймовірності і відповідно і спільну щільність . Розглянемо рівність:
. (52.1)
Звідси
(52.2)
Функція
(52.3)
називається умовною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини за умови, що випадкова величина приймає значення .
Підставимо (52.2) в (52.3), тоді
. (52.4)
Уявімо ймовірності в (52.4) через щільності ймовірностей, тоді
(52.5)
Це співвідношення визначає умовну функцію через щільності і . Відзначимо, що для незалежних випадкових величин і спільна щільність . При цьому, як випливає з (52.5), умовна функція - Не залежить від аргументу (Тобто не залежить від подій виду .
Аналогічно (52.3) можна визначити функцію випадкової величини за умови, що , І потім отримати вираз аналогічне (52.5)
. (52.6)

Умовна густина ймовірності

Умовної щільністю розподілу ймовірностей випадкової величини за умови називається функція:
. (53.1)
Співвідношення (52.5) ​​підставимо в (53.1), тоді
. (53.2)
Звідси випливає
. (53.3)
- Формула множення для густин. Ця формула аналогічна формулі множення ймовірностей. Очевидно,
. (53.4)
Дане рівність є аналогом формули повної ймовірності.
Аналогічно (53.1) вводиться умовна щільність розподілу ймовірності випадкової величини за умови як функція виду:
. (53.5)
Звідси і з (52.6) слідують співвідношення:
, (53.6)
. (53.7)
В (53.6) підставимо (53.3) і (53.4), тоді:
. (53.8)
Це співвідношення аналогічно формулі Байеса. Тут випадкові величини і можна поміняти місцями, тоді отримаємо також правильне співвідношення для умовної щільності , Яка визначається через функції і .

Числові характеристики двовимірного випадкового вектора

54.1. Нехай випадкові величини і мають спільну щільність ймовірності і - Функція двох змінних. Тоді - Випадкова величина, отримана підстановкою випадкових величин і замість аргументів і .
Математичним очікуванням випадкової величини називається число
. (54.1)
Якщо , , Тоді з (54.1) слід
, , . (54.2)
Числа називаються початковими змішаними моментами порядку випадкових величин і . Ці числа застосовуються в якості статистичних характеристик двовимірного випадкового вектора. Розглянемо окремі випадки (54.2). 1). , Тоді - Початковий момент порядку випадкової величини . При додатковому умови отримуємо - Математичне сподівання випадкової величини , При - - Середнє її квадрата і т.д. Таким чином, при змішані моменти (54.2) збігаються з початковими моментами випадкової величини . 2). Якщо покласти , Тоді - Змішані моменти збігаються з початковими моментами випадкової величини . В обох випадках отримуємо індивідуальні характеристики однієї з випадкових величин. 3). Для отримання групової характеристики (54.2), що відбиває властивості сукупності двох випадкових величин, необхідно розглянути ненульові . Найбільш простий варіант: , . При цьому з (54.2) слід
. (54.3)
Число називається кореляцією випадкових величин і і являє собою найважливішу характеристику сукупності двох випадкових величин.
Якщо і - Незалежні, то і (54.3) перетворюються наступним чином:

, (54.4)
де і . При цьому виражається через індивідуальні характеристики і , Тобто будь-яких групових ефектів у не виявляється, що є наслідком незалежності випадкових величин і . З ланцюжка перетворень (54.4) слід рівність - Математичне очікування добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.
54.2. Аналогічно (54.2) числа
(54.5)
називаються центральними змішаними моментами, порядку . Найбільш важливою характеристикою групової двох випадкових величин серед чисел (54.5) є коваріація
, (54.6)
яка є центральним змішаним моментом порядку . Для коваріації використовується також позначення: . Якщо , То - Збігається з дисперсією випадкової величини .
Якщо і - Незалежні, то з (54.6) випливає, що коваріація
.
Протилежне твердження в загальному випадку невірно, тобто з рівності загалом не слід незалежність випадкових величин і . Зокрема, зворотне твердження справедливо, якщо і - Гаусові випадкові величини. Більш докладно це питання обговорюється нижче.
54.3. Знайдемо зв'язок між кореляцією і коваріації випадкових величин і . З визначення коваріації (54.6) слід

.
Таким чином, коваріація і кореляція зв'язані співвідношенням
. (54.7)

Верхня і нижня межі кореляції і коваріації

55.1. Нехай випадкові величини і мають математичні очікування , , Дисперсії , , Кореляцію і ковариацию . Розглянемо нерівність
. (55.1)
Зведемо в квадрат, потім оператором математичного очікування подіємо на кожний доданок, тоді (55.1) набирає вигляду:
,
що далі зводиться до нерівності
. (55.2)
Його ліва частина може бути як позитивною так і негативною, права частина - тільки позитивна. Тому нерівність (55.2) зазвичай записується в більш сильному варіанті:
. (55.3)
Таким чином, кореляція випадкових величин і приймає значення з інтервалу .
Співвідношення, аналогічне (55.3) можна отримати і для коваріації , Якщо у вихідному виразі (55.1) замість підставити центровану випадкову величину і замість відповідно . При цьому необов'язково виконувати всі перетворення, аналогічні (55.1) - (55.3), достатньо врахувати, що заміна і призводить до заміни на , на , А також на . Тому з (55.3) слід
. (55.4)
55.2. Нерівності, що визначають область значень кореляції і коваріації , Аналогічні (55.3), (55.4), можна одержати в іншому вигляді на основі наступного очевидного нерівності:
. (55.5)
Звідси , Тому справедливо нерівність
. (55.6)
Якщо в (55.5) замінити відповідно на і , То в (55.6) замінюється на , на і на . Тому (55.6) набирає вигляду:
. (55.7)

Коваріація і незалежність двох випадкових величин


Для незалежних випадкових величин і коваріація . На відміну від цього розглянемо інший крайній випадок, коли випадкові величини і пов'язані функціональною залежністю:
, (56.1)
де - Числа. Обчислимо ковариацию випадкових величин і :
. (56.2)
З (56.1) слід . Підставимо цей результат в (56.2), тоді
. (56.3)
З (56.1) визначимо дисперсію
, (56.4)
звідки . Це рівність підставимо в (56.3), тоді
(56.5)
Таким чином, коваріація лінійно пов'язаних випадкових величин і приймає максимальне значення , Якщо , Або мінімальне значення , Якщо , На відрізку допустимих значень для в загальному випадку (згідно з формулою (55.4)).
У зв'язку з цим можна висунути припущення про те, що коваріація є мірою статистичного зв'язку між випадковими величинами і . Дійсно, для двох крайніх випадків отримані відповідні для цього результати, а саме: для незалежних величин , А для лінійно пов'язаних максимальний. Далі буде показано, що це припущення вірне, але не в загальному, а тільки для статистичного зв'язку лінійного типу. Цей зв'язок характерна тим, що при посиленні зв'язку з цим зростає , І в межі зв'язок вироджується у лінійну залежність (56.1).
Однак якщо зв'язок має нелінійний характер, то величина не відображає міру (ступінь) зв'язку з цим. Розглянемо наступний приклад. Нехай , , І - Випадкова величина з рівномірним на інтервалі розподілом ймовірностей. Випадкові величини і пов'язані між собою співвідношенням: . Таким чином, між величинами і існує функціональний зв'язок, а не статистична, і слід було очікувати, що величина максимальна. Проте, прямі обчислення призводять до результату . Дійсно,
, (56.6)
де

- Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини . З урахуванням цього (56.6) перетвориться:
.
Аналогічно
,
тепер коваріація
.
Таким чином, для нелінійної зв'язку між випадковими величинами їх коваріація не може використовуватися як міра статистичного зв'язку, оскільки значення коваріації не відображає ступінь цього зв'язку.

Коваріація і геометрія ліній рівного рівня щільності ймовірності

Коваріація випадкових величин і визначається через їх спільну щільність ймовірності співвідношенням:
. (57.1)
Підінтегральна функція в (57.1) неотрицательна для таких , , При яких , Тобто при , або , . І навпаки, при , або , підінтегральна функція (57.1) негативна або дорівнює нулю. Знак коваріації залежить від того, які значення, позитивні чи негативні переважають в підінтегральної функції. Тому знак числа визначається розташуванням ліній рівного рівня щільності ймовірності . На рис. 57.1 наведено приклад ліній рівного рівня функції , Для якої . Штрихуванням

Рис. 57.1.
Лінії рівного рівня щільності ймовірності при . Вказана частина площини, на якій , І отже неотрицательна підінтегральна функція. Оскільки в заштрихованої області (позитивні значення підінтегральної функції) щільність має в середньому більше значення, ніж у нештріхованной області (негативні значення підінтегральної функції), то коваріація . На рис. 57.2 представлені лінії рівного рівня щільності при . Випадок відповідає симетричному розташуванню ліній щодо прямої (Або ). Наприклад, ці лінії можуть бути еліпсами, у яких велика піввісь збігається за напрямком з прямою (Або ). Інший приклад - лінії є колами з центром у точці .

Рис. 57.2. Лінії рівного рівня щільності
ймовірності при .
Відзначимо, що якщо , А лінії рівного рівня мають вісь симетрії, наприклад, на рис. 57.1 лінії - це еліпси, тоді можна виконати перетворення (обертання) системи координат , Таке, що в новій системі коваріація . Це означає також і перетворення випадкових величин , з ненульовою ковариаций до нових випадковим величинам, для яких коваріація дорівнює нулю.

Коефіцієнт кореляції

58.1. Коефіцієнтом кореляції двох випадкових величин і називається число
. (58.1)
Коефіцієнт кореляції є ковариаций: двох безрозмірних випадкових величин
, , (58.2)
отриманих з вихідних величин і шляхом перетворення спеціального виду (58.2) (нормування), яке забезпечує нульові середні , і одиничні дисперсії , .
Коефіцієнт кореляції (58.1) можна представити через ковариацию випадкових величин і :
. (58.3)
Оскільки , То з (58.3) слід
. (58.4)
Коефіцієнт кореляції є безрозмірною величиною, приймає значення на інтервалі і тому використовується як міра статистичного зв'язку лінійного типу між випадковими величинами і , На відміну від коваріації , Для якої інтервал значень залежить від дисперсій випадкових величин. Розглянемо приклади обчислення коефіцієнта кореляції, що дозволяють з'ясувати властивості як заходи статистичного зв'язку між випадковими величинами.
58.2. Нехай - Випадкова величина з математичним очікуванням , Дисперсією і . Коваріація випадкових величин і визначається формулою (56.5): . Підставимо це співвідношення в (58.3), тоді:
(58.4)
Таким чином, для випадкових величин , , Пов'язаних лінійною залежністю коефіцієнт кореляції приймає або максимальне значення , Або мінімальне - .
58.3. Розглянемо узагальнення лінійної функції, яка зв'язує випадкові величини і на лінійну випадкову функцію такого вигляду:
(58.5)
де і - Незалежні випадкові величини. В окремому випадку - Число і (58.5) - лінійна функція, яка визначає через . Для детермінованою лінійного зв'язку - Приймає максимальне значення. Якщо - Випадкова величина, то зв'язок (58.5) стає статистичної (стохастичної, випадкової), тобто не настільки жорсткою як детермінована функціональний зв'язок. Це призводить до . У залежності від властивостей випадкової величини статистичний зв'язок між і може бути сильною, , Або слабкою, . Для того, щоб відповісти на питання, яка й міра зв'язку між випадковими величинами і (58.5) обчислимо їх коефіцієнт кореляції.
Нехай , , , . Тоді з (58.5) випливає, в силу незалежності і :
.
Висловимо дисперсію випадкові величини через параметри випадкових величин , :
. (58.6)
Тепер за формулою (58.3):
. (58.7)
Якщо , То з (58.7) слід , Що відповідає слабкому зв'язку між випадковими величинами і . Якщо , З (58.7) слід , Зв'язок стає сильною і в межі при переходить в детерміновану лінійну зв'язок.

Коефіцієнт кореляції та відстань

59.1. Нехай - Безліч елементів Відстанню (метрикою) між елементами безлічі називається невід'ємна функцiя , Що задовольняє наступним трьом аксіомам:
, Причому .
.
.
Друга аксіома називається умовою симетрії, а третя - нерівністю трикутника. Якщо аксіому 1 послабити: , Тоді називається псевдометрікой. Для псевдометрікі з умови не обов'язково слід .
Нехай - Безліч випадкових величин. Для кожної пари елементів цієї множини можна також ввести відстань виду
. (59.1)
Покажемо, що функція є псевдометрікой. Аксіома 1 - очевидна: , Причому з умови слід . Аксіома 2 також очевидна. Розглянемо аксіому 3. Справедливі наступні перетворення:

(59.2)
Нехай - Кореляція двох випадкових величин і . Відомо, що задовольняє нерівності (55.2)
. (59.3)
Підставимо (59.3) в (59.2), тоді

, (59.4)
що і доводить третій аксіому.
59.2. Нехай
, (59.5)
- нормированные случайные величины. Рассмотрим квадрат расстояния между ними:
, (59.6)
де - коэффициент корреляции случайных величин і . Из (59.6) следует равенство
(59.7)
которое можно рассматривать как закон сохранения: величина - постоянная для любых случайных величин і . Это равенство позволяет дать интерпретацию коэффициента корреляции как величины, дополняющей расстояние до единицы.

Функция распределения вероятностей случайного вектора

Во многих приложениях теории вероятностей возникает необходимость рассматривать совокупность случайных величин , которая называется многомерной ( - мерной) случайной величиной або -мерным случайным вектором . Полное вероятностное описание - мерного случайного вектора задается функцией распределения вероятностей (или плотностью вероятности , или характеристической функцией ). Функція аргументов
(60.1)
называется функцией распределения вероятностей случайного вектора . Здесь случайное событие
(60.2)
- представляет пересечение событий вида . В записях вида (60.1) для краткости символ пересечения принято заменять запятой.
Рассмотрим основные свойства функции распределения вероятностей.
1. Нехай - независимые случайные величины, тогда события , , - независимы и формула (60.1) принимает вид
, (60.3)
де - функция распределения вероятностей случайной величины . Таким образом, для независимых случайных величин их совместная функция распределения представима произведением одномерных функций .
Для будь-якого
. (60.4)
Доказательство следует из определения (60.1). Подія является невозможным, поэтому и событие (60.2) - невозможное, его вероятность равна нулю, следовательно выполняется соотношение (60.4).
Для будь-якого
. (60.5)
Это равенство также следует из определения. Подія - достоверное и в пересечении вида (60.2) это событие можно опустить, после чего из (60.1) следует (60.5).
Якщо для всіх , То
, (60.6)
как вероятность достоверного события.
5. Функция распределения - непрерывна справа по каждому своему аргументу.

Плотность вероятности случайного вектора

Пусть случайный вектор имеет функцию распределения вероятностей и существует частная производная
, (61.1)
тогда функция называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора або - мерной плотностью вероятности. При этом функция и сам вектор называются непрерывными.
Рассмотрим основные свойства плотности вероятности случайного вектора.
1. Нехай - независимые случайные величины, тогда функция распределения вероятностей вектора представима в виде произведения одномерных функций, формула (60.3). Подставляя (60.3) в (61.1), получим
, (61.2)
де
(61.3)
- плотность вероятности случайной величины .
2. Нехай - малое приращение аргумента . Тогда из (61.1) следует
, (61.4)
де - разность порядка функції , определяемая соотношением:
,
,…
Из определения функции , формула (60.1), следует

, (61.5)
затем из (61.4), (61.5) получаем вероятность попадания случайного вектора в -мерный параллелепипед со сторонами :
. (61.6)
Из (61.6) следует
. (61.7)
4. Аналогично из (61.6)
. (61.8)
5. Условие нормировки для плотности вероятности также следует из соотношения (61.6):
. (61.9)
6. Нехай - область - мерного пространства, тогда - вероятность того, что - мерный случайный вектор принимает значение из области , определяется через плотность :
. (61.10)
Доказательство этого соотношения следует из (61.6) с учетом того, что любая область может быть покрыта - мерными параллелепипедами при условии, что - наибольшая сторона параллелепипеда стремится к нулю.
7. Для будь-якого
. (61.11)
Это равенство называется свойством согласованности плотности: из плотности вероятности порядка путем интегрирования по «лишнему» аргументу может быть получена плотность вероятности порядка . Для доказательства представим обе части равенства (60.5) через плотности, используя (61.8), тогда (60.5) принимает вид:

. (61.12)
Продифференцируем обе части этого равенства по аргументам , что приводит к выражению (61.11).

Многомерное нормальное распределение

Случайный вектор называется нормально распределенным, если его плотность вероятности
, (62.1)
де ; - ковариационная матрица вектора , элемент которой является ковариацией случайных величин ; - определитель матрицы ; - матрица, обратная ковариационной.
Рассмотрим плотность вероятности в частном случае попарно некоррелированных случайных величин , для которых выполняется условие
, (62.2)
де - символ Кронекера. Таким образом, ковариационная матрица является диагональной, поскольку ее элементы (62.2) на главной диагонали – ненулевые, а вне главной диагонали - нулевые. Следовательно, определитель
. (62.3)
Елемент матрицы , обратной ковариационной можно найти по известной формуле:
, (62.4)
де - алгебраическое дополнение элемента матрицы . Из (62.3) следует
, (62.5)
а також при . Подстановка этих результатов в (62.4) приводит к выражению
. (62.6)
Подставим (62.3), (62.6) в (62.1), тогда

, (62.7)
де - плотность вероятности случайной величины . Таким образом, для гауссова случайного вектора из условия попарной некоррелированности его компонент , , следует условие (62.7) - независимости компонент случайного вектора.

Характеристическая функция случайного вектора

63.1 Функция переменных
(63.1)
называется характеристической функцией случайного вектора .
Если случайный вектор является непрерывным, то его характеристическая функция (63.1) определяется через его плотность :
. (63.2)
Это соотношение является - мерным преобразованием Фурье от функции . Поэтому плотность можно выразить через характеристическую функцию в виде обратного преобразования Фурье по отношению к (63.2):
. (63.3)
63.2 Несложно доказать следующие свойства характеристической функции.
1. .
2. .
3. Для независимых случайных величин их совместная характеристическая функция , Де - характеристическая функция случайной величины .
4. Для любого целого , , справедливо соотношение:
.
63.3. Для нормально распределенного случайного вектора его характеристическая функция находится подстановкой плотности вероятности (62.1) в (63.2.) и последующем вычислении - мерного интеграла (63.2). Это приводит к следующему выражению:
, (63.3)
де - ковариация случайных величин і .

Функции от случайных величин

Нехай - случайные величины, имеющие совместную плотность и совместную функцию распределения вероятностей . Пусть также заданы функций , переменных . Вместо аргументов функції подставим случайные величины , Тоді
(64.1)
- новые случайные величины. Задача состоит в том, чтобы по известным функциям , , , , найти функцию и плотность распределения вероятностей случайного вектора . Такая задача довольно часто возникает во многих приложениях теории вероятностей.
Сравнительно просто найти функцию распределения вероятностей . Действительно, по определению:
(64.2)
Представим случайные величины через , используя соотношения (64.1), тогда
(64.3)
Здесь вероятность можно представить в виде интеграла по области от плотности :
(64.4)
где область содержит все -мерные вектора , удовлетворяющие условию:
(64.5)
Плотность вектора можно определить из (64.4) по формуле:
(64.6)
Соотношения (64.4), (64.6) определяют всего лишь метод решения задачи, но не само решение. Задача в конкретной постановке может быть как относительно простой, так и очень сложной, в зависимости от чисел , , плотности и вида функций , определяющих область . Ниже рассмотрим примеры решения этой задачи для преобразования одной, двух и нескольких случайных величин.

Распределение вероятностей функции одной случайной величины

65.1. Нехай випадкова величина имеет плотность вероятности и функция одной переменной , , является взаимно однозначной, тогда плотность вероятности випадкової величини визначається співвідношенням:
, (65.1)
де - функция, обратная функции .
Вывод формулы (65.1) основан на соотношениях (64.4) и (64.6). Оскільки функція - взаимно однозначная, то эта функция или монотонно возрастающая или монотонно убывающая . Очевидны соотношения:
, (65.2)
. (65.3)
Нехай , - функции распределения вероятностей случайных величин і . Якщо , тогда используя (65.2),
. (65.4)
Продифференцируем по равенство (65.4), тогда
. (65.5)
Аналогично при справедливо равенство (65.3), поэтому
(65.6)
Звідси:
. (65.7)
Теперь из соотношений (65.5) и (65.7) следует (65.1).
Существенным условием при выводе формулы (65.1) является свойство взаимной однозначности функции . Примерами таких функций являются: 1). Лінійна функція , Де , - числа, при этом обратная функция имеет вид ; 2). Экспонента - , откуда обратная функция , , и другие. Однако условие взаимной однозначности функции может нарушаться, например, для функции обратная функция , - двузначная. При этом рассматриваются две функции і , , которые называются первая и вторая ветви обратного преобразования . Более сложный пример: . Здесь обратная функция – многозначная.
65.2. Рассмотрим модификацию формулы (65.1) на случай многозначного обратного преобразования . Для этого на области определения функции выделим неперекрывающиеся интервалы , - целое, на которых , тогда на интервалах вида виконується умова . Функція , Для , монотонная возрастающая, а для - монотонная убывающая. Поэтому для каждого из указанных интервалов существует однозначная обратная функция по отношению к функции . Нехай функція для имеет обратную функцию вида , , очевидно - монотонная возрастающая, поскольку обратная ей - монотонная возрастающая. Аналогично обозначим через - функцию со значениями , обратную к на інтервалі . Очевидно - монотонная убывающая. Функція называется -я ветвь обратного преобразования функции . Теперь по формуле сложения вероятностей для несовместных событий:
(65.8)
где суммирование ведется по всем ветвям обратного преобразования.
На рис. 65.1. представлен простой пример функции , у которой ветви обратного преобразования: со значениями , І - со значениями . На интервале функція - монотонно возрастающая, а на интервале функція - монотонная убывающая. Равенство (65.8) в этом случае принимает вид:
.

Рис. 65.1. Пример преобразования случайной величины.
Представим вероятности в (65.8) через плотности вероятностей, тогда:
. (65.9)
Дифференцируя по обе части (65.9), получим
(65.10)
або
, (65.11)
где суммирование по ведется по всем ветвям обратного преобразования.
65.3. Рассмотрим примеры вычисления плотности вероятности случайной величины по формуле (65.11). Нехай - линейное преобразование случайной величины . Функція - взаимно однозначная, поэтому обратное преобразование имеет одну ветвь и сумма в (65.11) содержит одно слагаемое. Оскільки , то (65.11) принимает вид:
. (65.12)
Рассмотрим квадратичное преобразование . Обратное преобразование имеет две ветви і . Поэтому сумма (65.11) состоит из двух слагаемых. Вычисляя, для , Отримуємо:
(65.13)
Нехай и случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей на интервале , с плотностью , Якщо , І при . Обратное преобразование имеет две ветви: , а также . Вычисление производных и подстановка в (65.11) приводит к результату:
. (65.14)
На рис. 65.2. представлен график плотности косинус-преобразования
рівномірно розподіленої випадкової величини. Таким образом, исходная

Рис. 65.2. Плотность вероятности косинус-преобразования.
исходная величина и преобразованная величина могут иметь совершенно непохожие плотности вероятности.

Преобразование нескольких случайных величин

66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности преобразованной величины через плотность исходной случайной величины , можно обобщить на случай преобразования случайных величин. Пусть случайные величины имеют совместную плотность , и заданы функций , переменных . Необходимо найти совместную плотность вероятности случайных величин:
(66.1)
Эта задача отличается от общей постановки, п. 6.4., условием - число исходных случайных величин равно числу преобразованных величин. Преобразование, обратное (66.1), находится как решение системы уравнений , , относительно переменных . При этом каждое залежить від . Совокупность таких функций , , образует обратное преобразование. В общем случае обратное преобразование неоднозначно. Нехай , , - - я ветвь обратного преобразования , тогда справедливо соотношение:
, (66.2)
где сумма берется по всем ветвям обратного преобразования,
(66.3)
- якобиан преобразования от случайных величин к случайным величинам .
Если из каждой совокупности случайных величин получается случайных величин , то формулой (66.2) можно воспользоваться, дополнив систему до случайных величин, например, такими величинами . Якщо ж , То случайных величин из совокупности функционально связаны с остальными величинами, поэтому - мерная плотность будет содержать дельта-функций.
Соотношения (64.4), (64.6) и (66.2) определяют два метода решения задачи вычисления плотности совокупности случайных величин , полученных функциональным преобразованием исходных случайных величин с совместной плотностью вероятности . Основная трудность в применении первого метода состоит в вычислении -мерного интеграла по сложной области . Во втором методе основная трудность – это нахождение всех ветвей обратного преобразования.
66.2. Рассмотрим простой пример вычисления плотности вероятности суммы двух случайных величин і с плотностью по формуле (66.2). Очевидно, в качестве первой преобразованной величины следует выбрать сумму: , а в качестве второй (хотя можно взять и ). Таким образом, функциональное преобразование от , до , задается системой уравнений:
(66.4)
Обратное преобразование – это решение системы уравнений относительно , :
(66.5)
Обратное преобразование однозначно, поэтому в (66.2) сумма состоит из одного слагаемого. Найдем якобиан преобразования:
.
Теперь (66.2) для приймає вигляд:
. (66.6)
Функція - это совместная плотность вероятности случайных величин і . Отсюда плотность вероятности суммы находится из условия согласованности:
. (66.7)
Рассмотрим первый метод решения этой же задачи. Из (64.4) следует:
. 66.8)
Задача сводится к преобразованию интеграла по области , определяемой условием . Этот интеграл можно представить в виде:
(66.9)
Отсюда плотность вероятности:
Отсюда плотность вероятности:
, (66.10)
что совпадает с формулой (66.7).

Хи - квадрат распределение вероятностей

67.1. Хи - квадрат распределением с степенями свободы называется распределение вероятностей случайной величины , Де - независимые случайные величины и все - гауссовы с математическим ожиданием і дисперсією . В соответствии с формулой (64.3) функция распределения вероятностей случайной величины дорівнює
, (67.1)
де - совместная плотность вероятности величин . За умовою - независимые, поэтому равна произведению одномерных плотностей:
. (67.2)
Из (67.1), (67.2) следует, что плотность вероятности випадкової величини определяется выражением:
. (67.3)
Анализ этого выражения, видимо, представляет собой наиболее простой способ нахождения , поскольку здесь и (67.3) можно представить в виде:
. (67.4)
Здесь интеграл равен объему області - мерного пространства, заключенной между двумя гиперсферами: - радиуса і - радиуса . Поскольку объем гиперсферы радиуса пропорционален , Тобто , То
(67.5)
- объем между двумя гиперсферами с радиусами і , что и определяет с точностью до множителя интеграл (67.4). Подставим (67.5) в (67.4), тогда
, (67.6)
де - постоянная, которая может быть определена из условия нормировки:
. (67.7)
Подставим (67.6) в (67.7), тогда
. (67.8)
Нехай , , тогда интеграл (67.8)
, (67.9)
, (67.10)
де - гамма - функция аргумента . Из (67.8) и (67.9) определяется постоянная , подстановка которой в (67.6) приводит к результату
(67.11)
67.2. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины . Из (67.11)

. (67.12)
Аналогично среднее квадрата величины одно

. (67.13)
Из (67.12), (67.13) дисперсия
. (67.14)
67.3. В задачах математической статистики важное значение имеют распределения вероятностей, связанные с нормальным распределением. Это прежде всего - распределение (распределение Пирсона), - распределение (распределение Стьюдента) и - распределение (распределение Фишера). Розподіл - это распределение вероятностей случайной величины
, (67.15)
де - независимы и все .
Распределением Стьюдента (или - распределением) называется распределение вероятностей случайной величины
, (67.16)
де і - независимые случайные величины, і .
Распределением Фишера ( - распределением) с , степенями свободы называется распределение вероятностей случайной величины
. (67.17)

Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям

Распределение Максвелла по скоростям молекул газа представляет собой плотность распределения вероятностей модуля скорости и определяется соотношением
, (68.1)
де - число молекул газа, число молекул, модуль скорости которых лежит в интервале , - газовая постоянная, - абсолютная температура газа. Ставлення - это вероятность того, что модуль скорости молекулы лежит в интервале , Тоді - плотность вероятности модуля скорости.
Распределение (68.1) может быть получено на основе следующих двух простых вероятностных положений, задающих модель идеального газа. 1). Проекции скорости на оси декартовой системы координат являются независимыми случайными величинами. 2). Каждая проекция скорости - гауссова случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Параметр задается на основе экспериментальных данных.
Определим плотность вероятности случайной величины
. (68.2)
Очевидно, имеет хи - квадрат распределение с тремя степенями свободы. Поэтому ее плотность вероятности определяется формулой (67.11) при :
, , (68.3)
оскільки . Отже, (68.3) - это плотность вероятности квадрата относительной скорости .
Следующий шаг состоит в переходе от распределения квадрата скорости к распределению ее модуля , . Функциональное преобразование имеет вид: , А зворотне , Для , . Таким образом, обратное преобразование однозначное. Поэтому по (65.1) плотность распределения модуля має вигляд
. (68.4)
Последний шаг состоит в переходе от случайной величины к новой случайной величине
. (68.5)
Обратное преобразование - однозначное, поэтому плотность вероятности випадкової величини , согласно (65.1) принимает вид
, , (68.6)
что и совпадает с формулой (68.1).
Соотношение (68.5), определяющее связь относительной и абсолютной скоростей і , следует из третьего положения модели идеального газа, которое является чисто физическим условием, в отличие от первых двух вероятностных условий. Третье условие может быть сформулировано как утверждение относительно значения средней кинетической энергии одной молекулы в виде равенства
, (68.7)
де - постоянная Больцмана и представляет, по сути, экспериментальный факт. Нехай , Де - постоянная, которая далее определяется условием (68.7). Для нахождения определим из (68.4) среднее квадрата относительной скорости:
. (68.8)
Тогда средняя кинетическая энергия молекулы , Де - масса молекулы, и с учетом (68.7) , Або .

Література

1. Вентцель Є.С. Теорія ймовірностей: Підручник для вузів. М.: Вища школа, 1999. - 575с.
2. Коваленко І.М., Філіппова А.А. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Вища школа, 1973. - 368с.
3. Вентцель Є.С., Овчаров Л.А. Теорія ймовірностей і її інженерні програми М.: Вища школа, 2000. - 480с.
4. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Вища школа, 1999. - 479с.
5. Питьев Ю.П., Шишмарьов І.А. Курс теорії ймовірностей і математичної статистики для фізиків. М.: Изд-во Моск. ун-ту, 1983. - 256с.
6. Пугачов В.С. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Наука, 1979. - 496с.
7. Колеман В.А., Старовірів О.В., Турундаевскій В.Б. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Вища школа, 1991. - 400с.
8. Фігурін В.А., Оболонкін В.В. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Нове знання, 2000. - 206с.
9. Чистяков В.П. Курс теорії ймовірностей. М.: Наука, 1982. - 256с.
10. Боровков А.А. Теорія ймовірностей. М.: Наука, 1976. - 352с.
11. Кремер Н.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
151.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Розклад вектора за базисом
Випадкові процеси
Випадкові величини
Випадкові події
Випадкові події
Випадки одужання - не випадкові
Випадкові процеси в статичній динаміці
Системи координат декартова полярна циліндрична сферична Довжина і координати вектора Век
Власні вектора і власні значення лінійного оператора
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru