Вивчення елементів теорії множин в початковому курсі навчання математики

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Введення
Актуальність дослідження. Сучасні перспективні підходи до організації системи шкільної освіти, в тому числі і математичної освіти, визначаються насамперед відмовою від однакової, унітарної середньої школи. Напрямними векторами цього підходу є гуманізація і гуманітаризація шкільної освіти.
Гуманітаризація шкільної математичної освіти реалізується як гуманітарна орієнтація навчання математики. Гуманітарна орієнтація є одним з основоположних принципів нової концепції і виражається, умовно кажучи, тезою «не учень для математики, а математика для учня», що означає постановку акценту на особистість, на людину.
Цим визначається перехід від принципу «вся математика для всіх» до уважного обліку індивідуальних параметрів особистості - для чого конкретного учня потрібна і буде потрібна надалі математика, в яких межах і на якому рівні він хоче і може її освоїти. Інакше кажучи, перехід до конструювання курсу «математики для всіх», або, більш точно, «математики для кожного».
Однією з основних цілей навчального предмета «Математика» як компоненти загальної середньої освіти є формування і розвиток мислення людини, перш за все абстрактного мислення, здатності до абстрагування та вміння «працювати» з абстрактними, «невідчутними» об'єктами. У процесі вивчення математики формуються і найважливіші якості особистості. Зокрема, в найбільш чистому вигляді може бути сформований логічне (дедуктивне) мислення, алгоритмічне мислення, багато якостей мислення - такі, як сила і гнучкість, конструктивність і критичність і т.д.
Тому як основоположного принципу концепції шкільної освіти в аспекті «математики для кожного» на перший план висунуто принцип пріоритету розвиваючої функції у навчанні математики. Іншими словами, навчання математики орієнтоване не стільки на власне математичну освіту, у вузькому сенсі слова »скільки на формування особистості за допомогою математики.
Відповідно до цього принципу головним завданням навчання математиці стає не вивчення основ математичної науки, як такої, а загальноінтелектуального, загальнокультурний розвиток - формування в учнів у процесі вивчення математики якостей мислення і якостей особистості, необхідних для повноцінного функціонування людини в сучасному суспільстві, для динамічної адаптації його до цього суспільства.
Формування умов для індивідуальної діяльності людини, що грунтується на придбаних конкретних математичних знаннях, для пізнання та усвідомлення ним навколишнього світу засобами математики залишається, природно, настільки ж істотною компонентою шкільної математичної освіти. З точки зору пріоритету розвиваючої функції конкретні математичні знання в «математики для кожного» розглядаються не стільки як мета навчання, скільки як база організації повноцінної інтелектуальної діяльності учнів. Саме ця діяльність, як правило, виявляється більш значимою для формування особистості учня і рівня його розвитку, ніж ті конкретні математичні знання, які послужили її базою.
Знайомство з множинами та операціями над ними має важливе значення для подальшого вивчення багатьох питань шкільної програми з математики і разом з тим сприяє інтенсивному розвитку розумових операцій і мови учнів: діти постійно повинні порівнювати об'єкти, виявляти в них схожість і відмінність, класифікувати, будувати узагальнення, висловлювати в мові і обгрунтовувати спостережувані властивості і відносини.
Об'єкт дослідження: процес навчання математики в початковій школі.
Предмет дослідження: вивчення елементів теорії множин у початковому курсі математики «Школа 2000 ...».
Рішення даної проблеми визначило мету дослідження: розглянути теоретичні основи навчання елементів теорії множин у початковому курсі математики «Школа 2000 ...».
У відповідності з метою дослідження були поставлені наступні завдання:
- Виявити теоретичні основи вивчення елементів теорії множин у початкових класах;
- Вивчити специфіку програми з математики «Школа 2000 ...»;
- Виявити рівень сформованості теоретико-множинних знань і умінь молодших школярів, що навчаються за програмою «Школа 2000 ...»;
- Розробити методичні рекомендації щодо вивчення елементів теорії множин у програмі з математики «Школа 2000 ...».
Гіпотеза: якщо розробити методичні рекомендації щодо особливостей навчання елементів теорії множин молодших школярів у початковому курсі математики «Школа2000 ...» і використати їх у процесі навчання математики учнів початкової школи, то це дозволить підвищити ефективність навчання елементів теорії множин молодших школярів.
У ході дослідження були використані наступні методи: аналіз психолого-педагогічної літератури з проблеми дослідження, спостереження за роботою учнів і вчителів, аналіз робіт.
Практична значимість полягає в розробці методичних рекомендацій з організації знайомства молодших школярів з елементами теорії множин.

1. Теоретичні основи навчання математики в розвиваючої програмі «Школа 2000 ...»
1.1 Множини і операції над ними
Поняття множини є одним з основних понять математики і тому не визначається через інші. Його пояснюють на прикладах. Так, можна говорити про безліч літер в деякому слові, про безліч однозначних чисел.
Об'єкти, з яких утворюється безліч, називають його елементами.
У математиці вивчають не тільки ті чи інші множини, але і зв'язки, відносини між ними.
Якщо множини А і В мають спільні елементи, тобто елементи належать одночасно А і В, то говорять, що ці безлічі перетинаються. Якщо множини не мають спільних елементів, то говорять, що вони не перетинаються.
Якщо кожен елемент множини В є елементом множини А, то говорять, що В - підмножина А, і пишеться ВÌ А.
Безліч В називається підмножиною множини А, якщо кожен елемент множини В є також елементом множини А. порожня множина є підмножиною будь-якої безлічі (Æ Ì А). будь-яка множина є підмножиною самого себе (А Ì А).
Продовжимо розгляд відносин між множинами. Якщо кожен елемент множини В є елементом множини А і, навпаки, кожен елемент множини А є елементом множини В, то говорять, що множини А і В рівні, і пишуть: А = В.
Множини А і В називаються рівними, якщо А Ì В і В Ì А.
З визначення рівних множин випливає, що рівні безлічі складаються з одних і тих же елементів і порядок запису елементів множини не істотний.
Всі порожні безлічі рівні.
Відносини між множинами наочно можна представити за допомогою кіл Ейлера. У тому випадку, якщо множини А і В мають спільні елементи, але жодна з них не є підмножиною іншого, їх зображають так, як це показано на малюнку 1.

малюнок 1.
Непересічні множини А і В представляють за допомогою двох кіл, що не мають спільних точок (рис.2).
малюнок 2.
Якщо безліч В є підмножиною А, то коло, зображає безліч В, цілком поміщається в коло, зображає безліч А (рис.3).


малюнок 3.
Рівні безлічі представляють у вигляді одного кола (рис. 4).

малюнок 4.
У математиці часто доводиться вирішувати завдання, які пов'язані з перебуванням спільних елементів двох або більше сукупностей або з об'єднанням кількох сукупностей в одну. Узагальненням таких ситуацій є операції перетину та об'єднання множин.
Перетином множин А і В називається множина, що складається з тих чи тільки цих елементів, які належать як безлічі А, так і безлічі В.
Перетин будь-яких множин А і В завжди існує і він єдиний.
Якщо уявити множини А і В за допомогою кіл Ейлера, то перетин даних множин зобразиться зафарбованої областю (мал. 5).


малюнок 5.
У тому випадку, коли множини А і В не мають спільних елементів, то говорять, що їх перетин порожньо і пишуть: А Ç В = Æ.
Операція, за допомогою якої знаходять перетин множин, називається так само перетином.
Об'єднанням множин А і В називається множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з множин Аі В.
Об'єднання будь-яких множин А і В завжди існує, і він єдиний.
Об'єднання множин А і В означають: А È В.
Якщо уявити множини А і В за допомогою кіл Ейлера, то об'єднання даних множин зобразиться зафарбованої областю (рис.6).

малюнок 6.

Операція, за допомогою якої знаходять об'єднання множин, називається також об'єднанням.
Операції перетину та об'єднання множин підкоряються ряду законів. Зокрема вони комутативними, тобто А Ç В = В Ç А і А È В = В È А для будь-яких множин А і В.
Асоціативні, тобто (А Ç В) Ç С = А Ç (У Ç С) і (А È В) È С = А È (В È С) для будь-яких множин А, В і С.
Різницею множин А і В називається множина, що містить ті і тільки ті елементи, які належать безлічі А і не належать безлічі В.
Різниця будь-яких двох множин А і В завжди існує і єдина.
Різниця множин А і В позначають А \ В.
Якщо уявити безліч А і В за допомогою кіл Ейлера, то різницю даних множин зобразиться зафарбованої областю. (Рис. 7).

малюнок 7.
Операція, за допомогою якої знаходять різницю множин, називається відніманням.
У практичній діяльності, і зокрема у шкільній, доводиться виконувати віднімання множин А і В у випадку, коли одна з них є підмножиною іншого. Тоді різниця множин А і В буде представляти зафарбованої областю (рис.8). Цю різницю називають доповненням множини В до безлічі А.

рисунок 8.
Доповнення множини В до безлічі А (В Ì А) позначають В'А.
1.2 Особливості розвиваючої програми «Школа 2000 ...»
Програма з математики для початкової школи 1-4 «Вчися вчитися» є частиною єдиного безперервного курсу математики для дошкільної підготовки, початкової і середньої школи освітньої програми «Школа 2000 ...». Курс математики для початкової школи у цій програмі є, з одного боку, безпосереднім продовженням курсу математичного розвитку дошкільників «Сходинки», а з іншого - етапом, що забезпечує безперервність математичної підготовки учнів початкової школи при переході їх в середню школу.
Головною метою програми "Школа 2000 ...» є всебічний розвиток дитини, формування у нього здібностей до самозміни і саморозвитку, картини світу і моральних якостей, створюють умови для успішного входження в культуру і творче життя суспільства, самовизначення і самореалізації особистості. [26, 8].
Ця мета реалізується відповідно до етапів пізнання і віковими особливостями розвитку дітей у системі неперервної освіти.
Навчально-виховний процес у початковій школі за програмою «Вчися вчитися» будується відповідно до цілей сучасної освіти, основними характеристиками другий допонятійного етапу процесу пізнання (етапу первинної систематизації результатів предметних дій) та вікової періодизації психологічного розвитку дітей Д. Б. Ельконіна.
У початковій школі відбувається сітематізація пізнавального досвіду, накопиченого дітьми на дошкільної щаблі, оформлення розумових образів основних понять і способів дій на основі виділення істотного в реальних об'єктах. Тут же починає системно формуватися досвід і розуміння сенсу навчальної діяльності, в ході якої діти вчаться самостійно здобувати знання, ставити перед собою мету, обдумувати і планувати свої дії, отримувати результат, здійснювати самоконтроль і самооцінку. Вони вчаться робити вибір, працювати в команді, аргументувати і погоджувати свої дії, при необхідності коригувати їх ... Іншими словами, вони «вчаться вчитися».
Узгодження дій в ході колективної діяльності ефективно лише тоді, коли кожен її учасник володіє правилами комунікації (Г. П. Щедровицький): може чітко викласти і обгрунтувати свою позицію (тобто виступити в позиції автора), вміє співвідносити свої дії з прийнятими домовленостями (позиція критика), здатний вислухати і адекватно сприйняти позицію іншого (позиція розуміє). Тому формування уявлень про комунікативному взаємодію в ході навчальної діяльності в позиціях автора, критика і розуміє є однією з пріоритетних завдань початкової освіти.
Початкова школа-важливий етап становлення особистості дитини. Формування особистісних якостей дітей починається зі створення у класі атмосфери доброзичливості, такий освітнього середовища, в якій забезпечується потреба дитини в «спілкуванні, любові та супутні товари». Щодня проживаючи оформлений в культурі процес навчання у його цілісності, особистісна установка учня поступово Переакцентуються з первинної культурної норми поведінки - орієнтування на позитивний спільний результат діяльності - до наступного рівня - орієнтуванні на процес навчання. У дітей починає формуватися небайдуже ставлення до своєї справи, цілеспрямованість, працьовитість, цінність «визнання і поваги» на їх головною «роботі» - навчальної діяльності. Завдання вчителя на даному етапі - «замінити» сильні сторони і унікальні особливості кожної дитини, допомогти йому придбати перший позитивний досвід самостійного навчального дії, адекватної самооцінки і самозміни.
Приходячи до школи, дитина-першокласник вливається в колектив класу, який стає сферою його спілкування, самоствердження і самореалізації. Тут він може висловити свою індивідуальність, придбати допомогу, підтримку і дружнє розуміння, зіставити особистісну самооцінку з тим, як його оцінюють інші.
Відповідно до етапів розвитку колективу (О. С. Анісімов) в учня початкової школи важливо сформувати цінність внесення максимального особистого внеску в колективну діяльність у ході спільного рішення навчальної задачі.
У початковій школі починається формування системи знань дітей про навколишній світ. На відміну від дошкільної підготовки, де діти набувають досвід спостереження явищ і фіксації їх у мові, у початковій школі під керівництвом вчителя вони будують мова науки для пояснень причин цих явищ.
У програмі з математики для початкової школи «Вчися вчитися» діти виділяють на рівні емпіричного узагальнення основні математичні поняття, такі, як число, величина, порядок, операція, фігура і ін, досліджують властивості цих понять і визначають їх зв'язок між ними. Тут же вони набувають перший досвід самостійної теоретичної діяльності, застосовуючи, наприклад, властивості складання для спрощення обчислення.
Відбір змісту і послідовність вивчення основних математичних понять здійснювалися у програмі «Вчися вчитися» на основі системного підходу. Побудована Н.Я. Виленкина і його учнями багаторівнева система початкових математичних понять (СНСШ, 1980) дозволила встановити порядок введення в шкільному математичній освіті фундаментальних понять, які забезпечують спадкоємні зв'язки між ними і безперервний розвиток всіх змістовно-методичних ліній курсу математики 0-9.
Отже, цільові вимоги програми з математики для початкової школи «Вчися вчитися» можуть бути визначені наступним чином.
Діяльні мети:
Розвиток пізнавальних процесів і розумових операцій.
Формування уявлень про комунікативному взаємодії та набуття досвіду комунікації в позиціях «автора», «розуміє» і «критика».
Формування уявлень про цілі та функції навчання і набуття досвіду самостійної навчальної діяльності під керівництвом вчителя.
Виховні цілі:
Формування системи цінностей спрямованої на максимальну особисту ефективність у колективній діяльності.
Змістовні мети:
Формування на основі системного підходу математичних уявлень, адекватних другий допонятійного етапу пізнання [26, 10].
Принципи побудови змісту курсу математики початкової школи «Вчуся вчитися»
Відбір змісту курсу математики початкової школи в програмі «Вчуся вчитися» здійснювався відповідно до вимог, які накладає на навчальний зміст дидактична система діяльнісного методу. Так, технологія і система дидактичних принципів діяльнісного методу вимагають, щоб навчальний зміст відповідало сутності історичного процесу формування науки, будувалося у вигляді змістовних ліній без повторень, забезпечувало зв'язок з системою наук і з життям, надавало учням можливість вибору завдань всіх рівнів, відповідало психофізіологічних особливостей розвитку дітей, створювало умови для розвитку їх творчих здібностей та ін
Використання дидактичної системи діяльнісного методу створює умови для самостійного побудови дітьми нового знання в процесі проходження ними всіх трьох етапів математичного моделювання. Ними є:
Етап математизації дійсності, тобто побудова математичної моделі деякого фрагмента дійсності;
Етап вивчення математичної моделі, тобто побудови математичної теорії, що описує властивості побудованої моделі;
Етап застосування отриманих результатів до реального світу.
У практиці нерідко перший і третій етапи опускають, вважаючи, що завданням шкільного курсу математики є лише засвоєння математичних теорій, а виникненні математичних понять та їх практичному застосуванні мова, як правило, не йде. В результаті учні погано усвідомлюють практичну значимість математичної науки та її місце в системі наук. Їхня діяльність на уроках математики стає формальною, втрачає особистісний сенс.
Математичне моделювання об'єктів і процесів реального життя дозволяє учням не тільки оволодіти основними методами математичної діяльності, але і створити цікаву, змістовну та значущу з позицій загальних уявлень про навколишній світ систему математичних понять.
Аналіз системи початкових математичних понять, проведений Н.Я. Віленкін (1980), показав, що суттєву роль при формуванні навчальних програм з математики відіграє вибір порядку введення фундаментальних понять. При цьому один з основних питань, яке має бути вирішене при побудови шкільного курсу математики, є питання про роль та співвідношення в ньому понять числа й величини. Обидва ці поняття складають генетичну основу для формування поняття числа. Природа числа двоїста: за натуральними числами стоять кінцеві множини, а за позитивними дійсними числами - скалярні величини. Незважаючи на двоїсту природу, натуральні і дійсні числа найтіснішим чином взаємопов'язані: в їхній основі лежить одна і та ж математична структура.
Зазначений паралелізм дає керівництво, як слід поставити вивчення системи математичних понять в школі: в початковому курсі математики поняття множини і величини повинні розвиватися паралельно, причому наочно очевидні властивості операцій над множинами та величинами повинні знаходити відображення одне в одному. А числа (з одного боку, натуральні, а з іншого - позитивні дійсні) увінчують споруджений будинок, даючи мову, необхідну для обговорення і, головним чином, застосування вивчених властивостей.
Саме такий підхід забезпечить успішне додаток отриманих математичних знань до вирішення практичних завдань. Інакше кажучи, лише синтез теоретико-множинного підходу до початкового курсу математики з вивченням скалярних величин та їх властивостей може призвести до правильного формування математичних понять у школярів.
1.3 Навчання математики в умовах програми «Школа 2000 ...»
Цілі навчання математики в програмі «Вчися вчитися» вирішуються в процесі побудови учнями початкової школи системи основних математичних понять, які забезпечують спадкоємні зв'язки з дошкільною підготовкою і курсом математики середньої школи по всіх змістовно-методичним лініях.
Основою організації навчального процесу в програмі «Вчися вчитися» є дидактична система діяльнісного методу навчання «Школа 2000 ...», яка може використовуватися на двох рівнях: базовому і технологічному.
Базовий рівень технології діяльнісного методу передбачає наступну структуру уроків введення нового знання:
мотивація до навчальної діяльності;
актуалізація знань;
проблемне пояснення нового знання;
первинне закріплення у зовнішній мовлення;
самостійна робота з самопроверкой (внутрішня мова);
включення нового знання в систему знань і повторення;
підсумок уроку.
Мета етапу мотивації полягає в організації усвідомленого входження учнів у простір навчальної діяльності на уроці, визначення цілей і змістовних рамок уроку.
Мета етапу актуалізації знань - підготовка мислення дітей, відтворення навчального змісту, необхідного і достатнього для сприйняття ними нового матеріалу, і вказівка ​​ситуації, яка демонструє недостатність наявних знань.
На етапі проблемного пояснення нового знання увагу дітей звертається на відмітна властивість завдання, що викликав утруднення, формулюється мета і тема уроку, організується підвідний діалог, спрямований на побудову та осмислення нового знання, яке фіксується вербально, знаково і за допомогою схем.
На етапі первинного закріплення у зовнішній промови вивчене зміст закріплюється і фіксується у зовнішній промови.
Мета етапу самостійної роботи з самопроверкой - організація зворотного зв'язку і самоконтролю засвоєння нового навчального змісту і одночасно интериоризация нового знання.
Мета етапу включення нового знання в систему знань і повторення - визначення меж застосовності нового знання, тренування навичок його використання разом з раніше вивченим матеріалом і повторення змісту, який буде потрібно на наступних уроках.
При підведенні підсумку уроку фіксується нове знання, вивчене на уроці, його значимість, організується самооцінка і узгодження домашнього завдання.
Описана структура уроку систематизує інноваційний досвід російської школи щодо активізації діяльності учнів, тому в ній себе може побачити будь-який вчитель, його особистісний досвід «впишеться» в дану структуру. Разом з тим використання даного варіанту приносить досить швидкий видимий результат - позитивну динаміку в рівні засвоєння дітьми знань, розвиток їх мислення, мовлення, пізнавального інтересу.
Освітнє середовище в практичному викладанні при реалізації базового рівня технології діяльнісного методу організується у відповідності з наступною системою дидактичних принципів:
Принцип активізації діяльності учнів - полягає в тому, що учень втягується у процес викладу вчителем нового знання за допомогою прийомів проблемного пояснення (підвідний діалог, спонукає діалог, евристична бесіда та ін.)
Принцип безперервності - означає наступність між усіма щаблями й етапами навчання на рівні технології, змісту і методик з урахуванням вікових та психологічних особливостей розвитку дітей.
Принцип цілісності - передбачає формування в учнів узагальненого системного уявлення про світ (природу, суспільство, самому собі, соціокультурному світі і світі діяльності, про роль і місце кожної науки в системі наук).
Принцип Мінімакс - полягає в наступному: школа повинна запропонувати учневі можливість освоєння змісту освіти на максимальному рівні (визначається зоною найближчого розвитку вікової групи) і забезпечити при цьому його засвоєння на рівні соціально безпечного мінімуму (державного стандарту знань, умінь, здібностей).
Принцип психологічної комфортності - передбачає зняття всіх стрессообразующіх факторів навчального процесу, створення в школі та на уроках доброзичливої ​​атмосфери, орієнтованої на реалізацію ідей педагогіки співробітництва, розвиток діалогових форм спілкування.
Принцип варіативності - передбачає формування в учнів здібностей до систематичного перебору варіантів і адекватному прийняття рішень у ситуаціях вибору.
Принцип творчості - означає максимальну орієнтацію на творче начало в освітньому процесі, придбання учням власного досвіду творчої діяльності [26, 13].
При реалізації даної системи дидактичних принципів особливу увагу слід звернути на принцип Мінімакс, який забезпечує для кожного учня можливість просування вперед у власному темпі на посильному для себе рівні труднощі і є при правильному його використанні разом з принципом психологічної комфортності саморегульованим і здоров'язберігаючих механізмом різнорівневого навчання.
Базовим рівнем технології діяльнісного методу дозволяє не тільки істотно підвищити якість засвоєння знань з математики, сприяє розвитку мислення і пізнавальних здібностей учнів, але і є одночасно щаблем переходу до технологічного рівня, що відкриває нові можливості в організації навчального процесу і, відповідно, якісно вищі результати.
Принциповою відмінністю технологічного рівня від базового є системне включення учнів у самостійну навчально-пізнавальну діяльність. Учитель не дає нове знання в готовому вигляді, а організовує «відкриття» його самими дітьми. У цьому творчому процесі ще яскравіше проявляються і розвиваються не тільки психолого та психологічні характеристики особистості, а й діяльні якості, багато в чому визначають успішну самореалізацію учня спочатку у навчанні, а потім і в житті: вміння ставити перед собою цілі, самостійно знаходити шляхи їх досягнення, вміння планувати та організовувати свою діяльність, коригувати й адекватно оцінювати її результати, вміння виробляти та реалізовувати узгоджене рішення, працювати в команді, обгрунтовувати свою позицію і розуміти позицію інших і багато іншого.
Включення учнів у навчальну діяльність здійснюється на основі дидактичної системи діяльнісного методу «Школа 2000 ...», яка є конкретизацією для організації педагогічного процесу загальної теорії діяльності, розробленої в російській методологічної школі (Г. П. Щедровицький, О. С. Анісімов та ін) .
У дидактичній системі «Школа 2000 ...» виділяються чотири типи уроків залежно від їхніх цілей:
Уроки «відкриття» нового знання;
Уроки рефлексії;
Уроки загальнометодологічною спрямованості;
Уроки розвивального контролю.
Особливістю уроків «відкриття» нового знання є те, що діяльні мети навчання математики в середній школі - формування комунікативних і діяльнісних здібностей і абстрактного мислення - реалізуються в процесі освоєння дітьми нової для них змістовної області.
На уроках рефлексії учні закріплюють отримані знання та вміння, доводячи їх до рівня автоматизованого досвіду, і одночасно вчаться виявляти причини своїх помилок і коригувати їх.
Уроки загальнометодологічною спрямованості присвячені структурування та систематизації досліджуваного математичного змісту і формуванню у учнів «уміння вчитися».
Метою уроків розвивального контролю є контроль і самоконтроль вивчених понять і алгоритмів, в процесі якого в учнів формується здатність до здійснення контрольної функції.
Таким чином, основні цілі уроків виділених типів можна сформулювати наступним чином.
Урок «відкриття» нового знання.
Діяльнісна мета: формування умінь реалізації нових способів дій.
Змістовна мета: формування системи математичних понять.
Урок рефлексії.
Діяльнісна мета: формування в учнів здібностей до виявлення причин труднощів і коригування власних дій.
Змістовна мета: закріплення і при необхідності корекція вивчених способів дій - математичних понять, алгоритмів і т.д.
Урок загальнометодологічною спрямованості.
Діяльнісна мета: формування в учнів здібностей до структурування і систематизації досліджуваного предметного змісту і здібностей до навчальної діяльності.
Змістовна мета: виявлення теоретичних основ розвитку змістовно-методичних ліній шкільного курсу математики і побудова узагальнених норм навчальної діяльності.
Урок розвиваючого контролю.
Діяльнісна мета: формування в учнів здібностей до здійснення контрольної функції.
Змістовна мета: контроль і самоконтроль вивчених математичних понять і алгоритмів.
Технологія проведення уроків кожного типу реалізує діяльнісний метод навчання. Так, технологія діяльнісного методу для уроку «відкриття» нового знання включає в себе наступні кроки:
Мотивування (самовизначення) до навчальної діяльності.
Даний етап процесу навчання передбачає усвідомлене входження учня в простір навчальної діяльності на уроці. З цією метою на даному етапі організується його мотивування до навчальної діяльності, а саме:
актуалізуються вимоги до нього з боку навчальної діяльності («треба»);
створюються умови для виникнення внутрішньої потреби включення в навчальну діяльність («хочу»);
встановлюються тематичні рамки («можу»).
У розвиненому варіанті тут відбуваються процеси адекватного самовизначення у навчальній діяльності.
Актуалізація та фіксування індивідуального складнощі у пробному навчальному дії.
На даному етапі організується підготовка та мотивація учнів до належного самостійного виконання пробного навчального дії, його здійснення і фіксація індивідуального труднощі.
Відповідно, даний етап передбачає:
актуалізація вивчених способів дій, достатніх для побудови нового знання, їх узагальнення та знакову фіксацію;
актуалізацію відповідних розумових операцій і пізнавальних процесів;
мотивацію до проблемного навчального дії («треба» - «можу» - «хочу») і його самостійне здійснення;
фіксацію учнями індивідуальних труднощів у виконанні або обгрунтуванні проблемного навчального дії і формулювання ними теми уроку.
Завершення етапу пов'язане з організацією виходу учня в рефлексію пробного навчального дії.
Виявлення місця і причини труднощі.
На даному етапі вчитель організує виявлення учнями місця та причини труднощі. Для цього вони повинні:
відновити виконані операції і зафіксувати (у мові і знаково) місце - крок, операцію, де виникло утруднення;
співвіднести свої дії з використовуваним способом (алгоритмом, поняттям і т.д.) і на цій основі виявити та зафіксувати у мовленні причину труднощі - ті конкретні знання, яких бракує для розв'язання вихідної задачі і завдань такого класу або типу взагалі.
Побудова проекту виходу зі скрути (мета і тема, спосіб, план, засіб).
На даному етапі учні в комунікативній формі обмірковують проект майбутніх навчальних дій: ставлять мету (метою завжди є усунення виниклого труднощі), формулюють тему, вибирають спосіб (доповнення або уточнення), будують план досягнення мети і визначають кошти (алгоритми, моделі, підручник і т . д.). Цим процесом керує вчитель (підвідний діалог, спонукає діалог, мозковий штурм і т.д.).
Реалізація побудованого проекту.
На даному етапі здійснюється реалізація побудованого проекту: обговорюються різні варіанти, запропоновані учнями, і вибирається оптимальний варіант, який фіксується в мові вербально і знаково у формі еталона. Далі побудований спосіб дій використовується для розв'язання вихідної задачі, що викликала утруднення. На завершення уточнюється загальний характер нового знання і фіксується подолання виниклого раніше труднощі.
Первинне закріплення з промовлянням у зовнішній промови.
На даному етапі учні у формі комунікативної взаємодії (фронтально, в групах, в парах) вирішують типові завдання на новий спосіб дій з промовлянням алгоритму рішення вголос.
Самостійна робота з самопроверкой за еталоном.
При проведенні даного етапу використовується індивідуальна форма роботи: учні самостійно виконують завдання нового типу та здійснюють їх самоперевірку, покроково порівнюючи з еталоном. На завершення організується рефлексія ходу реалізації побудованого проекту і контрольних процедур.
Емоційна спрямованість етапу полягає у створенні для кожного учня ситуації успіху, мотивуючої його до включення у подальшу пізнавальну діяльність.
Включення в систему знань і повторення.
На даному етапі виявляються межі застосування нового знання, в яких новий спосіб дій передбачається як проміжний крок.
Організовуючи цей етап, вчитель підбирає завдання, в яких тренується використання вивченого раніше матеріалу, що має методичну цінність з точки зору безперервності розвитку змісту курсу. Таким чином, відбувається, з одного боку, формування навички застосування вивчених способів дій, а з іншого - підготовка до введення в майбутньому наступних тем.
Рефлексія навчальної діяльності на уроці (підсумок уроку).
На даному етапі фіксується новий зміст, вивчене на уроці, і організовується рефлексія і самооцінка учнями власної навчальної діяльності. На завершення співвідносяться поставлена ​​мета і результати, фіксується ступінь їх відповідності та намічаються подальші цілі діяльності.
Технологія діяльнісного методу носить інтегративний характер: в ній синтезовано вимоги до організації навчального процесу як з боку традиційної школи, так і з боку нових концепцій освіти, розроблених провідними російськими педагогами і психологами. Дійсно при реалізації кроків 1, 2, 5-9 виконуються вимоги з боку пояснювально-ілюстрованого методу навчання до формування в учнів знань, умінь і навичок; кроки 2-8 забезпечують системне проходження дітьми всіх етапів, які були виділені П.Я. Гальперіним як необхідні для глибокого і міцного засвоєння знань; завершення другого кроку пов'язано зі створенням труднощі в діяльності, або «колізії», що є, на думку Л.В. Занкова, необхідною умовою реалізації завдань розвивального навчання. На етапах 2-5, 7, 9 забезпечуються вимоги до організації навчальної діяльності, розроблені В.В. Давидовим.
Таким чином, методологічна версія теорії діяльності (Г. П. Щедровицький, О. С. Анісімов) дозволила побудувати структуру організації навчальної діяльності учнів, яка може використовуватися в сучасній сфері освіти як синтезуючого предиката.
Зміст дидактичних принципів діяльнісного методу навчання при переході до технологічного рівня не змінюється, лише принцип активності перетвориться принципом діяльності. Суть його полягає в наступному: учень, отримую знання не в готовому вигляді, а добуваючи їх сам, усвідомлює при цьому зміст і форми своєї навчальної діяльності, розуміє і приймає систему її норм, активно бере участь в їх вдосконаленні, що сприяє успішному формуванню його загальнокультурних і діяльнісних здібностей, загальнонавчальних умінь.
Представлена ​​система дидактичних принципів забезпечує передачу дітям навчального змісту програми з математики «Вчися вчитися» у відповідності з основними дидактичними вимогами традиційної школи (принципи наочності, доступності, наступності, активності, свідомого засвоєння знань, науковості та ін.) При цьому в ній відображені ідеї про організацію розвивального навчання провідних російських педагогів і психологів - В.В. Давидова (принцип діяльності), Л.В. Занкова (принцип Мінімакс), Ш.А. Амонашвілі (принцип психологічної комфортності) та ін
Таким чином, розроблена дидактична система не відкидає традиційну дидактику, а продовжує і розвиває її в напрямі реалізації сучасних освітніх цілей. Одночасно вона створює умови для вибору кожною дитиною індивідуальної освітньої траєкторії за умови гарантованого досягнення нею соціально безпечного мінімуму.
Отже, дидактична система «Школа 2000 ...», виходячи з виявлених в методології загальних закономірностей включення дитини в навчальну діяльність:
забезпечує можливість формування в учнів діяльнісних здібностей в достатній повноті;
синтезує не конфліктують між собою ідеї з нових концепцій освіти (П. Я. Гальперін, Л. В. Занков, В. В. Давидов та ін) з позицій наступності з традиційною школою.
При реалізації технології діяльнісного методу в різних класах початкової школи робиться акцент на різні етапи уроку. На перших етапах навчання у 1 класі особлива увага приділяється етапу мотивації (1етап) і одночасно робляться перші спроби проектування (3-4 етапи) і рефлексії власної діяльності на уроці (9 етап). Такий вибір пріоритетних етапів уроку пов'язаний, перш за все, з тим, що далеко не всі учні початкових класів проходили дошкільну підготовку відповідно до технології діяльнісного методу навчання і мають сформовану адекватну мотивацію до навчальної діяльності. Тому початок навчання в школі повинно компенсувати цей недолік.
До кінця 1 класу і в 2-4 класах провідними стають етапи фіксування складнощі у пробному навчальному дії, виявлення місця та причини труднощі, проектування (завершення етапу 2, етапи 3-5) і рефлексії власної діяльності на уроці (9 етап). Вибір цих етапів в якості основних пов'язаний з ключовою роллю рефлексивної самоорганізації для формування мислення, а також здібностей та цінностей самозміни і саморозвитку.
Наявність акцентіровок в реалізації технології діяльнісного методу тягне за собою пріоритетне значення окремих дидактичних принципів.
При організації діяльності учнів 1 класу провідним є принцип психологічної комфортності, оскільки мотивація до навчальної діяльності може бути досягнута тільки за умови її сприятливого емоційного супроводу. Для учнів 2-4 класів провідним стає принцип діяльності, так як мотивація до навчальної діяльності в цей час вже в основному сформована, і пріоритетне значення для виконання поставлених на даному етапі цілей освіти набуває саме цей принцип.
1.4 Організація виховного процесу
У програмі «Школа 2000 ...» реалізується гуманістичний підхід до виховання, що проголошує як найвищу цінність пріоритет вільного розвитку та самореалізації особистості дитини на основі ідеалів любові, справедливості, добра і в гармонійному поєднанні з цінностями та інтересами суспільства. На етапі початкового навчання у програмі «Вчися вчитися» якості особистості, адекватні гуманістичним ідеалам, формуються відповідно з психологічними особливостями дітей даного віку [26, 20].
Як відомо, успіх виховання безпосередньо залежить від включення самої дитини у формування своєї особистості. Учитель не може виробляти за учня його систему цінностей і норм культурної поведінки - учень повинен зробити це сам шляхом зміни себе, тобто самозміни і самовиховання.
Ці процеси здійснюються і поза простором спеціально організованої навчальної діяльності. Однак у звичайному житті вони виникають випадково під впливом зовнішніх або внутрішніх обставин. І лише в спеціально організованої навчальної діяльності самозміна і самовиховання учня стає системним та прогнозованим. Тому механізмом реалізації виховних цілей у програмі «Вчися вчитися» також є організація осмислення і узагальнення самими дітьми свого власного життєвого і діяльнісного досвіду.
Структура уроків, на яких організується процес виховання, включає ті ж самі діяльні кроки, які були описані вище. Однак труднощі, які організовує вчитель для проблематизації колишнього досвіду, пов'язані з необхідністю побудови не просто предметних знань, а ціннісних норм поведінки та дії, які в концентрованому, стислому вигляді містять в собі культурні досягнення людства.
В якості критерію адекватності вчинку обрано принцип збереження цілісності системи, або «вчимося вчитися і досягаємо успіху разом», орієнтований на формування системи цінностей «творця», а не «руйнівника». Суть даного принципу для етапу навчання в початковій школі полягає в наступному: я повинен вчити себе вчитися і разом з іншими учнями отримувати загальний позитивний результат.
Потреба, що підтримує стійке мотиваційний напруга учнів у досягненні колективного успіху в ході навчальної діяльності, може з'явитися в них за умови, що цілком задоволені їхні базові потреби - фізіологічні, в безпеці, причетності (тобто любові оточуючих, теплих людських відносинах) та самоствердженні.
У рамках дидактичної системи «Школа 2000 ...» відповідно до принципу психологічної комфортності введений в системну практику відмову від переважно зовнішнього примусового контролю і перехід до процесів самоконтролю, самооцінки, який навчає контролю знань без фіксації в негативному плані відносин від навчальної норми засвоєння матеріалу, що забезпечує потреба в безпеці. Створення сприятливого дружньої атмосфери у взаєминах учнів у ході колективної та групової роботи забезпечує потребу в причетності, а створення умов для позитивної оцінки ходу та результатів навчальної діяльності кожної дитини, його безперервне і послідовне просування вперед у своєму темпі на рівні свого можливого максимуму забезпечує потребу в самоствердженні . Все це створює умови для прояву в учнів вищих потреб в самореалізації.
Таким чином, для організації виховного процесу в програмі «Вчися вчитися» зберігає своє значення система дидактичних принципів, що описує умови включення учнів у навчальну діяльність, в процесі якої вони спочатку під керівництвом вчителя, а потім все більш самостійно не просто засвоюють загальнокультурні моральні та морально- етичні норми і способи поведінки, але поступово набувають досвіду самовиховання.
Отже, система принципів гуманістичного виховання, побудована на основі системно-діяльнісного підходу з урахуванням особливої ​​специфіки організації виховного процесу на етапі навчання у початковій школі, включає в себе:
Принцип діяльності - полягає в тому, що учень не пасивно засвоює готові, хай навіть і «правильні», загальнокультурні ціннісні норми, а добуває їх сам у процесі власної навчальної діяльності під керівництвом вчителя, активно бере участь в їх вдосконаленні, доводячи до рівня переконання і соціального вчинку, і в ході освітнього процесу засвоює і реалізує норми самовиховання.
Принцип безперервності - означає наступність між усіма щаблями й етапами виховного процесу на рівні технології, змісту і методик з урахуванням вікових психологічних особливостей розвитку дітей.
Принцип цілісності - передбачає формування в учнів не окремих ціннісних норм, а системи цінностей на основі принципу «вчимося вчитися і досягати успіху разом». Іншими словами, будь-який новий крок і дію повинні не руйнувати, а удосконалювати і створювати, виявляючи й усуваючи причини ускладнень.
Принцип Мінімакс - полягає в наступному: школа повинна запропонувати кожному учневі можливість освоєння культурних, моральних та морально-етичних норм на максимальному для нього рівні (у початковій школі - придбання досвіду самовиховання на основі принципу «вчимося вчитися і досягаємо успіху разом») та забезпечувати при цьому їх засвоєння на рівні соціально безпечного мінімуму (правила поведінки в школі та класі).
Принцип психологічної комфортності - припускає створення освітнього середовища, що забезпечує зняття всіх стрессообразующіх факторів виховного процесу на основі реалізації ідей педагогіки співробітництва, створення в колективі атмосфери радості, товариства, доброзичливого і поважного відношення до особистості та індивідуальності кожного учня, визнання за ним права на власну точку зору , позицію.
Принцип варіативності - припускає вирощування особистості, здатної до самостійного вибору і адекватному прийняття рішень у ситуаціях вибору, вміє протистояти зовнішньому тиску і відстоювати свою позицію, але в той же час здатної зрозуміти і прийняти альтернативну точку зору, якщо вона аргументована узгодженими нормами поведінки і дій.
Принцип творчості - означає максимальну орієнтацію на творче начало у виховному процесі, придбання учням власного досвіду соціальної активності, практичної реалізації створених ним самим соціально значущих проектів.
Представлена ​​система принципів організації виховного процесу не відкидає цінності виховання, що склалися в традиційній школі (ідеї гуманізму, колективізму), а продовжує і розвиває їх у напрямі реалізації нових освітніх цілей (ідеї діяльнісного підходу, особистого орієнтованого виховання, співробітництва та ін.) Одночасно вона надає можливість вибору кожною дитиною індивідуальної траєкторії особистісного становлення та розвитку, забезпечуючи при цьому необхідний мінімум.
Зв'язок між технологією і принципами організації процесів навчання і виховання в програмі «Вчуся вчитися» дозволяє говорити про єдність навчально-виховного процесу в програмі «Школа 2000 ...» на етапі навчання у початковій школі.
Щоб зробити процес навчання цікавим для кожної дитини, використовується прийом, який Л.В. Занков називав «листковим пирогом». Після введення поняття, що вимагає для відпрацювання та засвоєння тривалого часу (таблиця додавання і множення, внетаблічное множення і ділення і т.д.), ми знайомимо учнів з такими математичними фактами, які не входять на даному віковому етапі в обов'язкові результати навчання, а служать розвитку дітей, розширення їх кругозору, формуванню інтересу до математики, готують подальші вивчення математичних понять. Таким чином, тренувальні вправи виконуються паралельно з дослідженням нових математичних ідей, тому вони не стомлюють дітей, тим більше що їм надається, як правило, ігрова форма (кодування і розшифровка, відгадування загадок і т.д.). Таким чином, кожна дитина з невисоким рівнем підготовки має можливість «не поспішаючи», у відповідності з власним темпом розвитку відпрацювати необхідний навик, а більш підготовлені діти постійно отримують «пишу для розуму», що роблять уроки математики привабливими для всіх дітей відповідно до їх особливостями і можливостями.
Методична система будувалася на основі використання діяльнісного методу у всій його цілісності. Особливістю використання технології діяльнісного методу є необхідність попередньої підготовки дітей у плані розвитку у них мислення, мовлення, комунікативних і творчих здібностей, пізнавальних мотивів діяльності. Спеціальна робота в цьому напрямку передбачена протягом усіх років навчання дітей у початковій школі, але особливу увагу їй приділяється на початкових етапах навчання - у першому півріччі 1 класу.
Таким чином, ми познайомилися з поняттям множини і операціями над ними, вивчили специфіку програми «Школа 2000 ...» і приходимо до висновку, що за номенклатурою понять дана програма з математики незначно відрізняється від традиційної: її ядром є ті самі змістовно-методичні лінії. Однак інші принципи її побудови, а також інша структура змісту програми, нові методичні підходи до введення досліджуваного матеріалу дозволяють надати процесу навчання незрівнянно більшу глибину і створюють умови для реалізації сучасних цілей освіти.

II. Методичні аспекти вивчення елементів теорії МНОЖИН У початковому курсі математики
2.1 Сучасний стан проблеми вивчення елементів теорії множин у початковому курсі математики
Робота з підручником «Математика-3», проводиться за програмою «Школа 2000 ...». На ранніх стадіях навчання, спираючись на життєвий досвід учнів і конкретні приклади, вводяться поняття множини і величини (при цьому безлічі розглядаються лише непересічні, а сам термін «множина» на перших порах замінюється більш зрозумілими для учнів словами «група предметів», «сукупність» ). Операції над множинами вивчаються паралельно з відповідними операціями над величинами і служать основою вивчення відповідних операцій над числами.
Це дозволяє розкрити обидва підходи до побудови математичної моделі «натуральне число». Наприклад, число 5, з одного боку, є те спільне властивість, яким володіють безліч пальців однієї руки, безліч решт зірки на військовому кашкеті і т.д. З іншого боку, це результат вимірювання довжини відрізка, маси, об'єму і т.д., коли одиниця виміру укладається в вимірюваній величині 5 разів. Таким чином, поняття множини і величини підводять учнів з різних сторін до поняття числа: з одного боку, натурального числа, а з іншого - позитивного дійсного числа. У цьому знаходить своє відображення двоїста природа числа, а в більш глибокому аспекті - двоїста природа нескінченних систем, з якими має справу математика: дискретної, лічильної нескінченністю і континуальної нескінченністю. Вимірювання величин пов'язує натуральні числа з дійсними, тому свій подальший розвиток в середній школі числова лінія отримує як нескінченно тоншає процес вимірювання величин.
Наприклад, в 1 класі учні детально вивчають розбиття множин (груп предметів) і величин на частини, взаємозв'язку цілого його частин. Потім встановлені закономірності стають основою формування обчислювальних навичок, навчання дітей рішенню рівнянь і текстових задач.
У 2 класі при вивченні загального поняття операції розглядаються питання: над якими об'єктами виконується операція, в чому полягає операція, який результат операції. При цьому операції можуть бути як абстрактними (додавання або віднімання даного числа, множення на дане число і т.д.), так і конкретними (розбирання та збирання іграшки, приготування їжі тощо). При розгляді будь-яких операцій ставиться питання про можливість їх обігу, а так само питання про можливість їх послідовного виконання. Оскільки операції можуть виконуватися в різному порядку, ставиться питання про їх перестановочного і поєднанні.
Послідовне виконання певних операцій означає планомірну діяльність, що здійснюються за заданою програмою. При цьому розрізняють лінійні (нерозгалужені), розгалужені та циклічні програми. Знайомства з тими питаннями не тільки допомагають учням успішніше вивчити багато традиційно важкі питання шкільної програми з математики (наприклад, порядок дій у виразах, алгоритми дії з багатозначними числами), але і готує їх до засвоєння дуже важливою для сучасного життя ідеї програмування.
Розвиток алгебраїчної лінії нерозривно пов'язане з числовою, багато в чому доповнюючи її і забезпечуючи підвищення рівня узагальненості засвоюваних дітьми знань. Разом з тим вона має і відомої самостійністю в якості підготовчого етапу, необхідного для поступового переходу до вивчення програмного матеріалу. Із самих перших уроків вводиться буквена символіка. Формуються певні види записів, причому ці записи аналогічні і для множин, і для величин. Наприклад, при вирішенні рівнянь з того, що А + Х = В (для множин) випливає, що Х = В-А, а з того, що a + x = b (для величин) випливає, що x = ba. І в тому, і в іншому випадку рішення обгрунтовується тим, що ми шукаємо невідому частину, тому з цілого віднімаємо іншу частину. Як правило, запис загальних властивостей операцій над множинами та величинами обганяє відповідні навички учнів у виконанні аналогічних операцій над числами. Це дозволяє створити для кожної з таких операцій загальну рамку, в яку потім, у міру введення нових класів чисел, укладаються операції над цими числами і властивості цих операцій. Тим самим дається теоретично узагальнений спосіб орієнтації в навчаннях про кінцевих множинах, величинах та числах, що дозволяє потім вирішувати великі класи конкретних завдань.
Загальний підхід до операцій над числами і буквена запис властивостей цих операцій дозволяє розкрити перед учнями спільність текстових завдань, що мають зовнішньо різні фабули, але єдине математичний зміст. Учень, який засвоїв, що завжди a-(b + c) = abc, не затрудняється застосувати це правило і для вирішення задач про яблука, і про довжини відрізків, і при відшукання площ. Тим самим у неявному вигляді діти засвоюють ідею ізоморфізму математичних моделей, що створює умови для роз'яснення їм ролі і значення математичного методу дослідження реального світу.
Робота з підручником «Математика-3» проводиться за програмою чотирирічної початкової школи у 3-му класі.
Одночасно з розвитком числової лінії та лінії текстових завдань діти знайомляться з множинами та операціями над ними, з істинними і хибними висловлюваннями, вчаться виділяти залежні характеристики процесів і будувати формули залежностей між величинами.
У 3 класі вводиться поняття «множина» і «елементи множини». Вивчення множин підготовлено вивченням в 1 класі властивостей сукупностей предметів і дій над ними. Цей матеріал тут повторюється на новому, більш високому рівні. Проте слід мати на увазі, що множини і розглянуті раніше «мішки» (мультимножини) мають деяку відмінність.
Робота з вивчення нового матеріалу організована наступним чином.
У № 1, стор 1 учні підбирають назва для різних об'єднань об'єктів: колекцій марок, набір олівців, зграя птахів, чайний сервіз, букет квітів, стадо корів. Тоді вводиться термін безліч, як слово, що дозволяє висловити ідею об'єднання будь-якої сукупності предметів в одне ціле можна сказати: безліч марок, безліч олівців, безліч птахів і т.д.
Так само на цьому уроці вводиться поняття «елементи множини». У завданнях № 4 - 10 стор 2 - 3 закріплюються та відпрацьовуються поняття множини і його елементи.
На 2 уроці учні ознайомлюються з позначенням множин, розглядають різні способи завдання множин перерахуванням і загальним властивістю його елементів.
У завданнях № 5 - 7, стор 5 треба зіставити ці 2 способи завдання множин. Наприклад: № 6, стор 5 задайте безліч загальним властивістю його елементів.
а) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
А - множество________________________________________________
б) {0; 2, 4, 6; 8}
В - множество_________________________________________________
в) {а; я; у; ю; е.; е; о; е; и; і}
С - множество_________________________________________________
№ 7, стор 5 задайте безліч перерахуванням.
а) А - безліч літер у слові «кріт».
б) У - безліч непарних однозначних чисел.
в) С - безліч двозначних чисел кратних 10.
г) D - безліч тризначних чисел, великих 603, але менших 608.
На 3 уроці розглядається поняття рівності множин. Формуються уявлення про порожній безлічі і його позначенні. Сенс поняття рівності розкривається в № 1-7, стор 7-8. важливо, щоб, виконуючи їх, учні обгрунтовували свої переконання, а непросто називали їх. Наприклад, № 3, стор 8
а) {□; ●; ○; ■; ▲; Δ} = {●; ○; Δ; ▲; ■; □} першу рівність вірно, так як обидва безлічі складаються з одних і тих самих елементів, але записані в різному порядку .
б) {●; ○; Δ; □} = {●; ○; □} друга рівність невірно, оскільки безлічі, записаному ліворуч, зайвий елемент «трикутник».
в) {Δ; ○; □; ■} ≠ {Δ; □; ○; ●} третій рівність вірно, так як чорний квадрат з першої множини помінявся на чорний коло, і, значить, безлічі не рівні.
У № 8 - 19 стор. 8 відпрацьовуються поняття порожньої множини. Діти повинні звернути увагу на правильний нахил риси в його записі і на те, що це безліч записується без дужок Æ.
На 4 уроці відбувається знайомство дітей з графічним зображенням безлічі - діаграма Венна. Формуються здатності до використання знаків Î і Ï для позначення приналежності елемента множині.
Діаграма Венна дозволяє наочно ілюструвати операції над множинами та їх властивості, вирішувати найрізноманітніші завдання. Цей матеріал відпрацьовується в № 2 - 6, стр. 10 - 11.
№ 5, стор 11.


26 Î D 8 Ï  D 15 Î  D
307Ï  D 940Ï  D 60 Î  D
№ 6, стор 11. це завдання готує дітей до вивчення операції перетину множин.
На 6 - 7 уроках формуються уявлення про підмножині як частини множини. Вчаться встановлювати відношення включення множин і використовувати для цього знаки Ë і Ì.
На 8 уроці формується уявлення про розбиття множини на частини за властивостями (класифікації). Підготовка до вивчення перетинань множин.
У № 1, стор 22 учні ділять всі елементи множин А і В на 2 частини: їстівні та неїстівні предмети. З'ясовується, що кожен предмет або їстівний, або неїстівний, і, значить він потрапляє лише в одну частину.
Даний матеріал закріплюється № 2 - 4, стор 22 - 23.
На 9 - 11 уроках діти знайомляться із записом операції перетину множин за допомогою знака ∩ і її основними властивостями (переместительное, сполучним), проте підготовча робота була проведена в № 7, стор.11, № 3, стор 13.
У № 2, стор 25 розглядається конкретний приклад перетину множин К і Т;


За малюнком явно видно, що спільним елементом даних множин є Надя і Петя. Учні підкреслюють ці імена у записі множин К і Т і позначають перетин множин на діаграмі кольоровим олівцем.
На 10-му уроці розглядаються властивості перетину множин:
А ∩ В = В ∩ А - переместительное,
(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) - сочетательное.
На 12 уроці формується уявлення про об'єднання множин, учні знайомляться з основними властивостями цієї операції (переместительное, сполучним) і її записом за допомогою знака È. Завдання з теми «Множини і його елементи» зустрічаються в підручнику протягом усього навчального року у вправах для закріплення, пройденого матеріалу.
2.2 Виявлення рівня сформованості в молодших школярів знань елементів теорії множин
Експериментальне дослідження було спрямовано на виявлення сформованості знань, умінь і навичок молодших школярів за темою «множини».
Базою для проведення констатуючого експерименту була визначена Микільська середня школа № 3. В експерименті брали участь школярі 3 класу в кількості 15 чоловік. Навчання дітей велося за програмою «Школа 2000 ...».
Знання, вміння і навички виявлялися в процесі самостійної роботи, метою якої було виявлення знань по темі: «Діаграма Венна. Знаки Î і Ï ».
Школярам були запропоновані наступні завдання:
1. А - безліч однозначних непарних чисел. Постав знак Î або Ï:
8 ... .... А 3 ... .... А 21 ... ... А 5 ... ... .. А
На діаграмі безлічі У відзнач елементи а, с, р, 4, Δ, 15, якщо
відомо, що:
а Î В р Î У Δ Ï У
з Ï У 4 Ï У 15Ï У
SHAPE \ * MERGEFORMAT У
Малюнок 2
3. Виконай ділення із залишком і зроби перевірку,
32:5 = _____________________ 90:7 =______________________
4. У рулоні 50 м тканини. Від нього відрізали шматок на 4 костюма по 3 м в кожному. Скільки метрів тканини залишилося?
Користуючись діаграмою множин С і D, постав знак Î або Ï;

Малюнок 3

7___С m___C A___C Д___C
7___D m___D A___D Д___D
Нами були виділені критерії та рівні сформованості виконання завдань самостійної роботи:
Високий рівень виконання завдань характеризувався правильністю виконання завдання; усвідомленістю вибору правильного варіанту; узагальненістю знань, тобто був здатний перенести прийом виконання завдань на нові випадки; автоматизмом (учень виконував завдання швидко); міцністю (збереження навичок виконання завдань на тривалий час).
Для середнього рівня виконання завдань самостійної роботи характерно невелика кількість помилок; учень усвідомлює на основі яких знань зроблено завдання, однак не може самостійно пояснити, чому зробив саме так », а не інакше; учень може правильно виконати завдання лише в стандартних умовах; учень не завжди виконує завдання швидко; навички правильного виконання завдань зберігаються на короткий термін.
Для низького рівня виконання завдань самостійної роботи властиво учень неправильно виконує те чи інше завдання, не усвідомлюючи правильність його виконання; повільне виконання завдань; відсутність сформованості навичок виконання завдань.
Результати виконання завдань представлені в таблиці № 1.
Таблиця № 1 - Рівень засвоєння знань за темою «Діаграма Венна. Знаки Î і Ï »

Ф. І.
Завдання див. роботи
Оцінка
Рівень
1
2
3
4
5
1
А. Віталій
+
-
+
-
-
4
середній
2
Б. Катерина
+
-
+
+
-
4
середній
3
Б. Олександр
+
+
+
+
+
5
високий
4
Д. Андрій
+
+
+
+
+
5
високий
5
З. Наталія
+
+
+
-
-
4
середній
6
К. Микола
+
+
+
+
+
5
високий
7
К. Максим
+
+
+
+
-
5
високий
8
Л. Катерина
+
-
+
+
-
5
високий
9
М. Андрій
+
-
+
+
-
5
високий
10
М. Олена
+
-
+
+
+
5
високий
11
М. Євген
+
+
+
+
-
4
середній
12
О. Олена
+
+
+
-
-
4
середній
13
П. Олександр
-
+
-
+
-
3
низький
14
П. Ганна
-
+
+
+
-
3
низький
15
У. Марія
+
+
+
+
-
4
середній
РАЗОМ
13
10
14
12
4
Спираючись на дані таблиці 1 можна зробити висновок про те, що найскладнішим завданням виявилося завдання 2, в якому необхідно на діаграмі безлічі У відзначити елементи а, с, р, 4, Δ, 15, якщо відомо, що: аÎВ, рÎВ, Δ ÏВ, сÏВ, 4ÏВ, 15ÏВ. Дане завдання зробили правильно 50% школярів.
Перше завдання, в якому було потрібно поставити знак Î або Ï. Дане завдання виконали правильно 86,6% школярів.
У процесі аналізу самостійної роботи високий рівень знань з теми «Діаграма Венна» було виявлено у 46% школярів, середній рівень у 40% дітей, а низький рівень у 14% школярів.
Таким чином, учні навчаються за програмою «Школа 2000 ...» мають рівень знань про множини вище середнього і можуть усвідомлено виконувати завдання самостійної роботи.
2.3 Методичні рекомендації щодо вивчення елементів теорії множин у початковому курсі математики
Знайомство з множинами та операціями над ними має важливе значення для подальшого вивчення багатьох питань шкільної програми з математики і разом з тим сприяє інтенсивному розвитку розумових операцій і мови учнів: діти постійно повинні порівнювати об'єкти, виявляти в них схожості та відмінності, класифікувати, будувати узагальнення, висловлювати в мові і обгрунтовувати спостережувані властивості і відносини.
Вивчення множин підготовлено вивченням в 1 класі властивостей сукупностей предметів і дій з ними. Цей матеріал тут як би повторюється на новому, більш високому рівні.
В науці та повсякденному житті часто доводиться розглядати сукупності деяких об'єктів як єдине ціле: армія, флот, бригада, клас, рід і вид тварин, колекція і т.д. Для математичного опису таких сукупностей і було введено поняття множини. Можна говорити про безліч книг в бібліотеці, безлічі глядачів у кінотеатрі, безлічі точок прямої, безлічі кіл на площині, безлічі рішень рівняння, безлічі хижих тварин, безлічі парнокопитних, ластоногих і т.д. Таким чином, термін «множина», на відміну від всіх інших слів, що виражають ідею об'єднання об'єктів (сервіз, табун, ескадра, зграя, команда, батальйон і т.д.), може застосовуватися до об'єктів будь-якої природи, об'єкти, зібрані в безліч , називають елементами множини.
У якості методичних рекомендацій представляємо розробку уроку математики в 3 класі на тему «Безліч». Основна мета даних розробок: уявити, спираючись на досвід практичного викладання в початковій школі, можливу структуру уроку і умови його організації, що дозволяє реалізувати технологію діяльного методу. Навчання ведеться з урахуванням вікових особливостей молодшого шкільного віку.
Урок 1
Тема уроку: Множина та її елементи.
Мета уроку: ознайомити з поняттям «безліч» і його елементами.
Завдання уроку:
-Вчити знаходити елементи певних множин у повсякденному житті;
-Повторити прийоми вирішення завдань, рівнянь, назва компонентів Дій додавання і віднімання;
-Формувати обчислювальні навички при вирішенні виразів на порядок дій.
Хід уроку
1. Організаційний момент
Про математика, пишайся собою!
Ти всім наукам мати рідна,
І дорожать вони тобою.
У віках овіяна ти славою,
Світило всіх земних світил.
Тебе царицею величавої
Недарма Гаус охрестив.
Строга, логічна, величава,
Струнка в польоті, як стріла,
Твоя немеркнуча слава
У віках безсмертя набула.
- Ми з вами відкриваємо новий підручник, який допоможе нам продовжити подорож по країні Математика. Нас чекають нові відкриття, захоплюючі завдання, складні завдання, рівності та нерівності, множини, дії над багатозначними числами.
- Яке нове поняття вам зустрілося? (Множини?)
- Давайте разом подумаємо над тим, що ж таке безліч.
2. Постановка мети уроку
- Скільки цифр ви знаєте? Назвіть їх.
- А скільки чисел можна скласти з цих цифр? (Дуже багато, безліч.)
- А скільки чисел ми зможемо назвати хором за одну хвилину, починаючи з одиниці?
Діти називають числа, вчитель засікає час.
- А чи можемо ми перерахувати всі числа за урок? (Ні, їх дуже багато.)
- Замість слів «дуже багато», яке одне слово можна сказати? (Кількість).
- Безліч - це тема нашого уроку.
3. Знайомство з новим матеріалом
У тлумачному словнику російської мови СІ. Ожегова і Н.Ю. Шведової дається таке визначення слова «множина»:
1) Дуже велика кількість, число чого-небудь, наприклад, людей.
2) В математиці сукупність елементів, об'єднаних за якою-небудь ознакою.
- Які б ви навели приклади множин, що зустрічаються в житті? А в математиці?
- За якою ознакою об'єднані предмети у вашому безлічі?
Вправа № 1
Придумай назву для предметів і тварин, зібраних разом.
Знайомство з визначенням даними автором у підручнику.
Що об'єднує безліч, про який можна сказати «хор»? (Безліч людей (птахів) співаючих разом.)
- Кожного співака цього хору ми представляємо як елемент цієї множини.
- Назвіть елементи інших множин.
Знайомство з поняттям «елементи множини» в підручнику.
Предмети або живі істоти входять в безліч, називають елементами цієї множини.
- Елементи якого безлічі я називаю: дуби, берези, ялини, осики. (Безліч дерев). Пісок, глина, крейда, вугілля, торф (Безліч корисних копалин.) Машини, літаки, велосипеди, (Безліч техніки.)
- Назвіть елементи множини казкових героїв. (Попелюшка, Оле-Лукойє, Синдбад-Мореплавець, Дюймовочка і т. д.)
- Елементи безлічі поетів, (Пушкін, Лермонтов, Бунін, Тютчев і д.р.)
- Назвіть елементи множини художників. (Рєпін, Васильєв, Шишкін, Левітан і ін)
Вправа № 8 для самостійної роботи.
З яких дерев взяті ці листя? Назви ще 3 елементи безлічі дерев. Чи завжди на деревах є листя? Чи у всіх дерев є листя?
4. Физкультминутка
5. Повторення раніше вивченого
№ 10 - вирішення завдань з включенням нового матеріалу.
Завдання 10 (а) - Ластівка пролітає за годину 40 км, а стриж - в 3 рази більше. Скільки кілометрів на годину пролітає стриж?
- Про елементи якого безлічі йде мова? (Про елементи безлічі птахів.)
- Що необхідно дізнатися?
- Як це дізнатися? (Стриж; пролітає в 3 рази більше, ніж ластівка, це означає 3 рази по 40 км.)
40-3 = 120 (км.)
- Запишіть рішення.
- Прочитайте умову задачі № 10 (б).
Завдання 10 (б) - Сосна живе приблизно 400 років. Це на 250 років більше, ніж живе липа. Скільки років живе липа?
- Про елементи якого безлічі йде мова? (Про елементи безлічі дерев.)
- Як називаються завдання, задані в такому вигляді, і як вони вирішуються? (Це завдання в непрямому вигляді. Всі дані в ній про сосну: вона живе 400 років, і вона ж живе на 250 років більше, ніж липа. Значить липа живе на 250 років менше, ніж сосна.)
400-250 = 150 (літ.)
Завдання 10 (в) - Для нормального життя рибок скалярій їм буде потрібно 3 літри води на кожну. Скільки рибок можуть жити в акваріумі, що вміщає 24 літри води?
Діти коментують:
- Треба знайти, скільки рибок можуть жити в акваріумі. Для цього треба кількість води в акваріумі розділити на кількість води, необхідне однієї рибку:
24: 3 = 8 (рибок.)
Завдання 10 (г) - Маса пінгвіна-тата 42 кг, пінгвіна-мами - 32 кг, а їх дитинчати - 8 кг. Яка маса все пингвиньи сім'ї? На скільки тато важче, ніж мама з дитинчатами разом?
Діти коментують:
- Щоб знайти масу всієї пингвиньи сім'ї, треба знайти ціле, тобто скласти частини: 42 + 32 + 8. Зручно застосувати сочетательное властивість складання: 42 + (32 + 8) = 82 (кг).
- Щоб знайти, на скільки тато важче, ніж мама з дитинчам разом, треба порівняти, тобто з більшого числа відняти менше. Найважче тато: значить з 42 кг треба відняти суму (32 + 8) кг:
42 - (32 + 8) = 2 (кг.) Після вирішення завдань вчитель читає вірш
Акваріум
Цілий день снують, товчуться
Крихти рибки за склом,
Те юрбою зберуться.
Те пливуть у воді один за одним.
Водорості, як алеї;
Дно піщане світло,
Ось одна всіх погуляв
Треться боком об скло.
Золота спинка блищить,
Як корал, горять очі,
Хвіст і плавники тремтять
Чекає подачки, єгоза.
Жменьку крихт кинемо у воду,
Рибок нічого томити.
Якщо відняли свободу,
Треба краще їх годувати.
Бліц-турнір (самоперевірка за еталоном).
а) На полиці 7 книг з казками, а книжок про природу в 3 рази більше. Скільки
Найбільше книжок на полиці?
б) На шкільних спортивних змаганнях 4 спортсмени набрали по 10
очок і 8 спортсменів по 7 очок. Скільки всього очок вони набрали?
в) У Ані 27 червоних гвоздик і 18 білих. Вона зробила букети по 3 квіток
у кожному. Скільки вийшло букетів?
Еталон для перевірки:
а) 7 + 7 × 3 = 28 (к.)
б) 10 × 4 + 7 × 8 = 40 + 56 = 96 (оч.)
в) I спосіб: (27 + 18): 3 = 45: 3 = 15 (б.)
II спосіб: 27: 3 + 18: 3 = 9 + 6 = 15 (б.)
Зверніть увагу, що для перевірки за еталоном вчитель прописує на дошці проміжні результати, щоб діти могли визначити, де вони допустили помилку і чому.
№ 11 - колективний розбір завдання.
Пірат знайшов скарб з 900 монет. Щоб швидше його забрати, він поклав 186 монет в шапку, 215 - в кишеню, 74 монети запхав у рот, 125 поклав у праву долоню, а 68-е - ліву. Скільки монет він не зміг забрати?
- Чи зможемо ми відразу відповісти на питання завдання? (Ні, не зможемо, незнаю, скільки всього монет забрав пірат.)
- Складіть план виконання завдання. Міркування дітей:
- Нам відомо ціле - 900 монет, які знайшов пірат. Відомі 5 частин: у шапці він забрав 186 монет, в кишені - 215 монет, у роті - 74 монети, в правій долоні - 125 монет, в лівій - 68 монет. Невідома шоста частина-скільки монет залишилося. Щоб знайти невідому частину, треба з цілого відняти відомі частини:
900 - 186-215-74-125-68.
- Зручніше спочатку обчислити, скільки всього монет забрав пірат, застосувавши сочетательних закон, а потім відняти отриману суму з числа 900;
1) 186 + 215 + 74 +125 + 68 = (186 + 74) + (215 + 125) + 68 = 260 + 340 + 68 = 8 (м.)
2) 900 - 668 = 232 (м.)
Відповідь: пірат не зміг забрати 232 монети.
Діти заповнюють схему в підручнику, рішення записують у робочих зошитах.
№ 12 - рішення рівнянь,
Х +215 = 612 500-Х = 346 Х-485 = 197
- Що значить «вирішити рівняння»? (Розв'язати рівняння - означає знайти невідомий компонент.)
- Як називається число, яке знаходять в результаті рішення рівняння? (Корінь рівняння.)
- Назвіть невідомі компоненти. (У першому рівнянні-доданок, у другому - від'ємник, в третьому - зменшуване?)
Згадати правила знаходження невідомих компонентів.
- Як пояснити рішення на основі взаємозв'язку «частини - ціле»? (У першому та другому рівнянні невідома частина, а в третьому - невідомо ціле. Щоб знайти частину, треба з цілого відняти відому частину; щоб знайти: ціле, треба скласти частини.)
Троє учнів вирішують рівняння на дошці, інші - в робочих зошитах.
Додаткові завдання
1. Порівняйте:
7 м 46 см * 74 дм 6 см 86 мм * 8 дм 6 мм
56 дм 8 см х 5 м 86 см 4 м2 40 дм2 * 44 дм
2. Складіть програму дій і обчисліть результат.
490: (120 - 50) • 80 - 85 • 4 + 96: (36:3)
Обчисліть зручним способом.
- Які математичні властивості та прийоми дозволять виконати завдання? (Сочетательність, переместительное властивості додавання і множення; прийоми віднімання числа із суми, суми з числа.)
(978 + 156) -178 5 • (4 • 36)
384 + - (216 + 216) 854 - (86 + 654)
(6 • 48) • 5 84 + 219 + 81 +36
6. Підведення підсумків уроку
- Що таке безліч?
- Що є елементом множини?
Домашнє завдання
Вправа № 13.
Склади програму дій і обчислювальних:
21: 3 • 6 - (18 + 14): 8 =
63: (3 - 3) + (8 -7 - 2): 6 =
Методичні рекомендації до уроку 1
Розглядаючи взаємозв'язку множини і його елементів, треба звернути увагу дітей на те, що частини елементів, взагалі кажучи, не є елементами даної множини. Наприклад, ніс учня не є елементом множини учнів, коріння дерев не є елементами безлічі дерев і т.д.
На відміну від «мішків» (мультимножин) рівні (збігаються, тотожні) елементи в множинах не повторюються (один предмет в одному безлічі є елементом тільки один раз, навіть якщо він повторюється кілька разів). Наприклад, у слові «МАТЕМАТИКА» п'ять голосних звуків: А, Е, А, І, А. Але в той же час голосний звук А тотожний іншому голосному звуку А. Тому кажуть, що безліч голосних звуків у слові «МАТЕМАТИКА» складається з 3 елементів: А, Е, І. Точно так само безліч в слові «МАМА» складається з двох елементів: М, А. Роботу з вивчення нового матеріалу на уроці можна організувати так.
У № 1 учні підбирають назви для різних об'єднань об'єктів: колекція марок, набір олівців, зграя птахів, чайний сервіз, букет квітів, стадо корів. Учитель запитує, чи можна ці назви використовувати для інших об'єднань предметів, тобто сказати, наприклад: букет олівців, сервіз корів і т.д. З'ясовується, що ні. Тоді перед дітьми ставиться проблема; підібрати слово, яким можна позначити об'єднання будь-яких предметів. Діти пропонують свої варіанти. На завершення обговорення учитель знайомить їх з загальноприйнятим у математиці терміном «безліч», що виражає ідею об'єднання будь-якої групи предметів у «неподільне ціле». Можна сказати: безліч марок, безліч олівців, безліч птахів і т.д.
Певні труднощі при введенні поняття безлічі представляє те, що цей термін асоціюється у дітей зі словом «багато», в той час як «множина» має мислитися як синонім слова «разом». Тому дуже важливо з самого початку зіставити ці два слова: «безліч» - «разом», підкресливши тим самим істотний ознака множин - об'єднання в одне ціле.
У № 2 учні підбирають загальноприйняті назви різних множин: отара овець, табун коней, команда футболістів, ескадра кораблів, армія, полк, батальйон і т.д.
У № 3 вирішується зворотна задача: позначити об'єднання різних об'єктів за допомогою терміна «множина»:
Хор - безліч людей, які співають разом.
Оркестр - безліч людей, які грають разом на різних музичних інструментах.
Клас - безліч дітей, які разом навчаються.
Колекція - безліч предметів, зібраних разом за деякою ознакою.
Бібліотека - безліч книг, зібраних разом.
У завданнях № 4 - 9 закріплюється і відпрацьовується поняття безлічі і елементів.
У Завданні № 6 учні повинні обвести замкненою лінією безліч дітей і безліч дорослих, назвати елементи цих множин і відповісти на поставлені питання: пояснити, чому Петю, коли він виросте, будуть кликати Петром Івановичем, а Аню - Ганною Іванівною і т.д.
У завданні № 7 троянда, фіалка, гвоздика, волошка, тюльпан - це квіти. Ромашка теж належить безлічі квітів, а сосна, баран, шипи від троянди цій безлічі не належать.
Аналогічні міркування проводяться в № 8 для безлічі дерев і в № 9 для безлічі плодів. Слід звернути увагу дітей на те, що листя не є елементами безлічі дерев, точно так само як кісточки (насіння) не є елементами безлічі плодів.
У завданні № 10 поняття безлічі пов'язується з вирішенням текстових завдань. Діти повторюють зміст арифметичних дій, різницеве ​​і кратне порівняння. При цьому вони встановлюють, що ластівка, стриж і пінгвіни - це елементи безлічі птахів, сосна і липа - елементи множини дерев, а скалярии - елементи безлічі риб.
Таким чином, проаналізувавши зміст підручників Л.Г. Петерсон ми з'ясували з якого класу вводиться поняття «множини». Виявили рівень сформованості знань елементів теорії множин у молодших школярів в процесі самостійної роботи, учні навчаються за програмою «Школа 2000 ...» мають рівень знань про множини вище середнього і можуть усвідомлено виконувати завдання самостійної роботи. Так само розробили методичні рекомендації з навчання елементів теорії множин.
Урок 2
Тема уроку: Способи завдання множин
Мета уроку: вчити задавати безліч шляхом перерахування його елементів або загальним властивістю його елементів; навчити позначати безлічі при листі.
Завдання уроку:
- Відпрацьовувати навички усного рахунку,
- Повторити алгоритм додавання і віднімання чисел в межах ста, дії з іменованими числами, перетворення іменованих табличне і внетаблічное множення і ділення;
- Закріплювати навички розв'язання задач.
Хід уроку
1. Організаційний момент
- З яким поняттям познайомилися на попередньому уроці?
- Що ми називаємо безліччю? (Многотою в математиці називається сукупність декількох предметів (елементів), об'єднаних за якою-небудь ознакою.)
- Що називаємо елементами множини?
- Які безлічі ви склали вдома?
- Перелічіть елементи свого множини.
2. Перевірка домашнього завдання
4 учні працюють по картках, інші діти вправляються в усному
рахунку.
Варіант I
3 • 5 = 9 • 3 = 3 • 8 =
4 • 3 = 6 • 2 = 2 • 9 =
12:3 = 15:5 = 21:7 =
18:6 = 24:8 = 12:4 =
Варіант II
6 • 3 = 3 • 7 = 9 • 3 =
3 • 4 = 8 • 2 = 2 • 7 =
27:9 = 18:9 = 21:7 =
18:2 = 24:8 = 15:3 =
Актуалізація знань і постановка теми уроку
- Назвіть елементи безлічі квітів, що ростуть у нас в класі. (Бегонія, фікус, пальма і т. д.)
- Дівчата, назвіть елементи множини одягу.
- Хлопчики, назвіть елементи множини спортивних ігор. (Футбол, волейбол, баскетбол, теніс, бадмінтон і т. д.)
- Представники від дівчаток і хлопчиків вийдіть до дошки і запишіть названі елементи множини.
- Чи можна за цього запису визначити, що перед нами - безліч?
Якщо діти скажуть «так», то запитати: «Скільки всього множин ви бачите на дошці?» Швидше за все діти дадуть відповідь: «Два». Тоді вчитель говорить:
- А я бачу одне безліч - безліч слів, записаних учнями на дошці. Як же бути? Спробуємо знайти відповідь у підручнику?
4. Знайомство з новим матеріалом
Вправа № 1.
Знайди загальна властивість всіх предметів, зображених на малюнку [21, 4].
По ходу роботи вчитель задає питання:
- Які предмети можна додати ці безлічі?
- А які предмети додати не можна?
- Покажіть безліч предметів:
а) предмети мають форму прямокутного паралелепіпеда;
б) предмети однакового кольору;
в) предмети циліндричної форми;
г) скляні предмети;
д) інструменти;
е) одяг.
- А тепер дайте відповідь на питання, чи вірно ваші однокласники записали елементи множин одягу та ігор на дошці?
- Як виправити помилку? (Поставити фігурні дужки.)
{Сукня, шарф, спідниця, кофта, топік, светр}
{Футбол, волейбол, баскетбол, теніс, бадмінтон}.
5. Физкультминутка
6. Повторення з включенням нового матеріалу
№ 5 - первинне закріплення з промовляння вголос.
1) Перерахуй безліч дівчаток класу, що сидять у першому ряду.
2) Перерахуй безліч других класів у твоїй школі.
3) Придумай безліч, в якому легко перерахувати елементи.
№ 6 - самостійна робота з перевіркою за еталоном.
Постав безліч загальним властивістю його елементів:
а) А - безліч арабських цифр (або однозначних чисел);
б) У - безліч однозначних парних чисел;
в) С - безліч голосних літер російського алфавіту [21, 5].
Вправа № 7 - виконати колективно.
Постав безліч перерахуванням:
А-безліч літер у слові «кріт».
В - безліч непарних однозначних чисел.
С - безліч двозначних чисел, кратних 10.
D - безліч тризначних чисел, великих 603, але менших 608 [21, 6].
Вправа № 10 - рішення задач біля дошки з коментуванням.
В один день Іра прочитала 21 страніцу1 в другій - в 2 рази більше, ніж у перший, а в третій - на 15 сторінок менше, ніж на другий день. Скільки сторінок прочитала Іра за 3 дні? [21, 6]
Приблизний відповідь учня біля дошки:
- Треба дізнатися, скільки сторінок прочитала Іра за 3 дні, тобто знайти ціле. Щоб знайти ціле, треба скласти частини. Перша частина відома - 21 сторінка. Друга і третя частини невідомі. За умовою в другий день Іра прочитала в 2 рази більше, ніж у перший, значить у першій дії дізнаємося, скільки сторінок прочитано в другий день.
1) 21 • 2 = 42 (стор.) - прочитала Іра в другий день.
Учень записує на дошці перша дія, а другий учень з місця пояснює як виконати множення. Третій учень коментує пояснення до першої дії.
- У другій дії дізнаємося, скільки сторінок прочитала Іра в третій день. За умовою відомо, що в третій день було прочитано на 15 сторінок менше, ніж у другій.
2) 42 - 15 = 27 (стор.) - прочитала Іра в третій день.
Учень з місця коментує прийом віднімання, інший - запис пояснення.
- Тепер, щоб знайти ціле, складемо три частини:
3) 21 +42 + 27 = 90 (стор.)
- Зручніше скласти всі одиниці - отримуємо 10; далі складаємо десятки. Записуємо відповідь: Іра прочитала 90 сторінок.
№ 11 - додавання і віднімання іменованих чисел.
- Яку операцію потрібно виконати, щоб знайти результати даних висловлювань? (Перетворити більші одиниці виміру в більш дрібні. Потім знайти результат, записавши в стовпчик, і знову перетворити в більш великі одиниці.) [21, 6].
7. Усний рахунок
1. Встановіть закономірність і допишіть по п'ять чисел у кожному рядку.
а) 4, 8, 12, 16 ... б) 7,14,21,28 ...
Відповіді:
а) ... 20, 24,28, 32, 36, б) ... 35,42,49, 56,63.
2. Вправа № 8 [21,6].
Обчисли усно:
7 + 8 = 12-5 = 27 + 43 =
16 + 4 = 39-9 = 36 + 17 =
8 + 15 = 42-8 = 50-32 =
21 +34 = 36-14 = 85-39 =
- Що спільного в прикладах кожного стовпчика? (У першому стовпчику треба знайти суму, у другому стовпчику - різниця, в третьому - і суму і різницю.)
Гра «Хвилинка»: за 30 с. знайти значення цих виразів. Приклади, в яких допущено помилки, вирішуються у дошки з поясненням способу обчислення.
3. Знайти значення виразів:
30 • 7 = 24 • 4 = 540: 9 =
360:60 = 71: 3 = 75: 25 =
- Як ми називаємо такий розподіл і множення? (Внетаблічное.)
- Як називаються числа при розподілі?
- Як називаються числа при множенні?
- Як знайти невідомий множник?
- Як знайти невідомий дільник?
- Як знайти невідоме ділене?
4. Питання з теми «Безліч».
- Зірвані квіти поставили у вазу. Як можна назвати безліч квіток, поставлених у вазу? (Букет.)
- За нашою школою ростуть яблуні, вишні, сливи, груші. Як можна назвати безліч фруктових дерев, які ростуть за школою? (Сад.)
8. Підсумки уроку
- Що означає вираз «безліч задано»?
- Які способи завдання множин ви знаєте?
Домашнє завдання.
Вправа № 11.
Вирази в сантиметрах і обчислювальні:
Зм 7 дм 6 см + 4м 3 дм 8 см
1м 6 дм 9 см + 47дм 2 см
9м 72 - 5дм 9 см
7м4см - 32 дм 6см
Повторити таблицю множення на 5,6, 7
Методичні рекомендації до уроку 2
Основною метою уроку 2 є формування здатності до завдання множин перерахуванням і загальною властивістю елементів, знайомство з позначенням множин.
Безліч вважається відомим (безліч задане), якщо відомі його елементи, тобто про будь-якому об'єкті можна однозначно сказати, чи є він елементом даної множини чи ні.
Безліч можна задати або перерахуванням її елементів (наприклад, безліч учнів у класі задається їхнім списком), або вказавши властивість, яке мають усі елементи даної множини, але не мають ніякі елементи, які не належать цій безлічі (наприклад, безліч букв російського алфавіту, безліч жителів Москви, безліч двозначних чисел і т.д.).
Для позначення множин зазвичай застосовують великі латинські літери. Якщо елемент х належить множині А, то пишуть: х Î А, у противному випадку пишуть: х Î А.
Для запису множин часто застосовують також фігурні дужки, всередині яких полягають елементи множини. Наприклад, якщо множина А складається з елементів a, d, с, то пишуть: А = {a; d; з}.
Безліч, що складаються з кінцевого числа елементів, називаються кінцевими, а інші множини - нескінченними. Учні працюють в основному з кінцевими множинами, але зустрічаються також і з деякими прикладами нескінченних множин: множиною натуральних чисел, безліччю точок прямої і т.д.
Матеріал на уроці розглядається в такій послідовності. Спочатку в № 1 учні повторюють відомі їм властивості предметів: форма, колір, матеріал, з якого зроблені предмети, призначення предметів і т.д. Для цього вони шукають загальні властивості предметів, зображених на кожному малюнку:
а) Предмети мають форму прямокутного паралелепіпеда.
б) Предмети однакового кольору.
в) Предмети форми циліндра.
г) Скляні предмети.
д) Інструменти.
з) Одяг [21, 4].
Розглядаючи ці приклади, вчитель ставить питання:
- Назвіть інші предмети, що мають форму паралелепіпеда.
- Чи належить безлічі паралелепіпедів м'яч? Яку форму має м'яч? (Форму кулі.) І т.д.
У № 2 розглядаються множини, задані загальним властивістю їх елементів (ягоди, гриби і т.д.). У результаті виконання завдання вчитель звертає увагу дітей на те, що якщо відомо загальна властивість елементів множини, то про будь-якому предметі можна напевно сказати, належить він цій безлічі чи ні. Для цього досить визначити, чи володіє даний предмет вказаною властивістю [21, 4].
Проте буває так, що разом об'єднуються предмети, які не мають загального властивості (№ 3-4). Спільне в елементів таких множин тільки те, що вони зібрані разом. У такому випадку множину можна задати, перерахувавши всі його елементи. Звичайно елементи безлічі записуються в фігурних дужках [21, 5].
Таким чином, множину можна задати двома способами: перерахуванням і загальним властивістю його елементів. Деякі безлічі, такі, як в № 3-4, можна встановити тільки перерахуванням. Якщо число елементів множини велике, то його ставлять властивістю. А іноді множину можна задати як одним, так і іншим способом. У завданнях № 5 треба зіставити ці 2 способи завдання множин [21, 5].
Урок 3
Тема уроку: Рівні множини. Порожня множина.
Мета уроку: формувати вміння визначати рівні безлічі, познайомити з поняттям порожньої множини і знаком його позначення.
Завдання уроку:
- Доводити знання табличних випадків множення і ділення до автоматизму;
- Повторити решеті завдань.
Хід уроку
1. Організаційний момент
А зараз перевір, дружок,
Ти готовий почати урок?
Всі ль на місці,
Всі ль в порядку;
Ручка, книжка і зошит?
Чи всі правильно сидять?
Кожен хоче отримувати
Тільки лише оцінку «п'ять».
Починаємо ми знову
Вирішувати, відгадувати, метикує.
- Яку тему вивчали на попередньому уроці?
- Коли ми говоримо, що безліч задано?
- Хто не зовсім чітко розуміє »про що зараз йде мова?
- У вас буде можливість на уроці розібратися з чим, що ви не зрозуміли на попередньому уроці. Для цього вам потрібно бути дуже уважним.
2. Актуалізація знань
- На с. 9, виконавши завдання № 12, ми зможемо повторити матеріал, з яким познайомилися на попередньому уроці.
З'єднайте точки в порядку розв'язання прикладів.
- Хто у вас вийшов? (Собачка.)
- Серед безлічі собак нажене елементи множини не по породах, а відповідно до їх призначення. (Гончі, сторожові, бійцівські, кімнатні та
т.д.)
- Перекреслимо елементи множини кімнатних собак, (Спанієль, лабрадор, пудель, бульдог, шнауцер).
- Які способи завдання множин ви знаєте? (Перерахуванням, завданням загальних властивостей.)
- Безліч собак, елементи якого визначені у відповідності з властивостями цих тварин, задано загальним властивістю елементів. А перерахування ми використовували, коли перерахували породи кімнатних собак.
- Безліч лягавих собак: {ретрівер, веймаранер, спанієль, сетер ...}
Висновок: під безліччю розуміють сукупність певних об'єктів, які називають елементами множини. Безліч можна задати, вказавши властивість, притаманна всім елементам цієї множини.
- Перелічіть елементи множини трикутників. (Прямокутні, гострокутні, тупоугольние трикутники.)
3. Знайомство з новим матеріалом
- А тепер перерахуйте елементи множини автомобілів, які стоять перед дошкою.
Діти здивовані, перед дошкою нічого не варто.
- Чому ви здивувалися? (Встан. безліч, елементи якого неможливо перерахувати через їх відсутність.)
- Безліч, що не містить елементів, називається порожнім, і його позначають символом  Æ.
- А яку цифру в математиці можна вважати родичкою даного символу? (Нуль.)
- Що ви можете сказати про цих двох множинах?
- Який знак поставимо між цими множинами? (Знак рівності.)
- Зверніть увагу на дошку. Що ви бачите?

Малюнок 4
- Що ви можете сказати про цих двох множинах?
- Який знак поставимо між цими множинами? (Знак рівності).
- А що можете сказати про наступних двох множинах? (Вони не однакові, у них є елементи, які не збігаються.)


Малюнок 5
- Який знак у такому випадку поставимо? (Неравенства.)
- Що нове дізналися про множини? (Множини можуть бути рівними, нерівними, порожніми.)
Робота за підручником.
Завдання № 1 - Порівняй елементи множин в першому і в другому рядах. Чи є в першому ряду елемент, якого немає в другому ряду? Чи є в другому ряду елемент, якого немає в першому ряду?
Завдання № 2 - Порівняй множини в першому і в другому рядах. У якому ряду є зайвий елемент?
Завдання № 3 - Чи вірно записано рівність? Чому? [21, 8]. Варіанти можуть відрізнятися, тому що можна переставляти місцями елементи, щоб скласти рівні множини, і ввести або прибрати будь-який елемент з; даної множини, щоб отримати не рівні множини.
№ 6, 7, 8 - виконується усно.
Завдання № 6 - Склади все безлічі, рівні безлічі {О; Δ}.
Завдання № 7 - Скільки елементів містить: а) безліч днів тижня, б) безліч парт в першому ряду, в) безліч букв російського алфавіту; г) безліч хвостів у кішки Мурки?
Завдання № 8 - Чи ростуть у вашому шкільному саду тропічні пальми? Яке безліч пальм у шкільному саду? [21, 8].
№ 9 - самостійна робота з перевіркою за еталоном.
Знайди правильне позначення порожньої множини, а решта Закресли.
Звернути увагу: безліч { Æ} не є порожнім, тому що містить один елемент - символ порожньої множини.
Физкультминутка
Повторення вивченого. Усний рахунок
Завдання № 10:
У скільки разів 12 менше 96? (У 8раз.)
Суму чисел 35 і 60 зменшити в 19 разів. (5.)
Від суми чисел 48 і 36 відняти різницю чисел 100 і 76. (60.)
Частка від ділення 72 і 4 збільшити в 5 разів. (90.)
До твору 12 і 5 додати 28. (Вісімдесят вісім.)
Завдання № 11 - «Бліц-турнір» з самопроверкой за еталоном.
а) Шапка варто А рублів, а пальто - у 9 разів дорожче. Скільки коштують пальто і шапка разом?
б) Маса кавуна У кг, а маса гарбуза - на 2 кг менше. Яка загальна маса кавуна і гарбуза?
в) У відро входить З води, а в каструлю - в7 разів менше
а) а + а • 9; б) b + (b-2);
в) з-з: 7; г) dn • 8.
Індивідуальні завдання (біля дошки)
1. Вирази у зазначених одиницях виміру:
4 дм 5 см = ... см 450см = ... м ... дм
37дм = ... м ... дм 68см = ... дм ... см
800см = ... дм
2. Виріши рівняння:
420: х = 6 х • 40 = 160
6. Самостійна робота
1. Арифметичний диктант
- Знайти добуток чисел 9 і 7.
- Знайти різницю чисел 87 і 9.
- Знайти приватне чисел 81 і 9.
- Збільшити 72 на 8.
- Зменшити 63 у 7 разів.
- Збільшити 12 в 3 рази.
- Зменшити 56 на 8.
- На скільки 36 більше 6?
- У скільки разів 48 більше 8?
2. Вирішіть задачу.
Учні школи цікаво провели літо. З них 30 осіб їздили на Чорне море, в санаторій - в 4 рази більше, ніж на морі. У таборі відпочивало - в 2 рази менше, ніж в санаторії. А в турпохід сходило стільки учнів, скільки відпочивало в санаторії та таборі разом. Скільки учнів в школі?
3. а) Задайте загальною властивістю безліч С:
С = {Хліб, масло, сіль, крупа, перець; сир; ковбаса},
б) Запишіть безліч До чисел, кратних 3.
К = {}.
4. Вирішіть приклади.
70 • 5 = 63: 21 = 630:7 =
90: 6 = 88: 4 = 560: 80 =
7. Підведення підсумків уроку
- Наведіть приклади елементів порожньої множини. (Коні, що пасуться на Місяці; яблука та груші, що ростуть на березі і т. п.)
Домашнє завдання
Завдання № 4. Нехай А = {0, 1, 2}. Які з множин В = (2, 0, 1}, С = {1, 0}, D = {3; 2; 110} рівні безлічі А, а які йому не рівні? Зроби запису і поясни їх.
Методичні рекомендації до уроку 3
Основною метою третього уроку є формування здатності до, засвоєнню рівності множин, ознайомлення з поняттям порожньої множини і його позначенням.
Поняття рівності множин нічим не відрізняється від поняття рівності «мішків», з яким учні зустрічалися в першому класі. Рівними називаються множини, що складаються з одних і тих же елементів. Очевидно, рівні безлічі можуть відрізнятися лише порядком їх елементів, наприклад: {а; b; с) = {с; а; b}
Сенс цього поняття розкривається в № 1-7. Важливо, щоб, виконуючи їх, учні обгрунтовували свої твердження, а не просто називали відповідь. Наприклад, у вправі № З першого рівність вірно, так як обидва безлічі складаються з одних і тих самих елементів, але записаних в різному порядку. Тому поряд з рівністю треба наголосити на слові «так» і закреслити «ні». Друге рівність невірно, оскільки в множині, записаному ліворуч, зайвий елемент «трикутник». Третє рівність вірно, так як чорний квадрат з першої множини помінявся на чорний коло, і, значить, безлічі не рівні [21, 8].
Вправа № 4. Діти роблять записи в зошиті і усно дають пояснення:
А = В Множини А і В рівні, так як вони складаються з одних і тих самих елементів: 0, 1 і 2.
А ≠ З Множини А і С не рівні, тому що в багатьох А є елемент 2, а в множині З його немає.
А ≠ D Множини А і D не рівні, тому що в багатьох А немає елементу 3, а в множині D він є [21, 8].
Вправа № 5. Кожна дитина записує у зошиті свій варіант. Можна проговорити з ними, що різних варіантів складання безлічі А може бути всього 6, а різних варіантів складання безлічі В - нескінченно багато [21, 8].
У вправі № 6 слід звернути увагу на впорядкований перебір варіантів:

{А, б, в} {б, а, в} {в, а, б)
{В, у,, 6} {б, в, а} {в, б, а}
На першому місці послідовно записуються спочатку а, потім б, потім в, і в кожному випадку два інших елемента переставляються [21, 8].
У № 7 ставиться питання про кількість елементів множини. З'ясовується, що є множини, що містять лише 1 елемент (безліч хвостів у Мурки, безліч носів у Петі) і навіть не містять жодного елементу (безліч коней, що пасуться на Місяці). В останньому випадку безліч називають порожнім і позначають символом:  Æ [21, 8].
У № 8-9 відпрацьовується поняття порожнього множини. Діти повинні звернути увагу на правильний нахил риси в його записі і на те, що це безліч записується без дужок (множина {Æ} не є порожнім, воно містить 1 елемент) [21, 8].
Таким чином, правильне позначення порожньої множини в № 8 лише друге:  Æ. Удома можна запропонувати учням придумати приклади рівних і нерівних множин, приклад порожньої множини.

Висновок
Це дослідження присвячено методиці викладання елементів теорії множин у початковому курсі математики «Школа 2000 ...». У відповідності з поставленими завданнями були зроблені наступні висновки:
1. Специфікою програми з математики «Школа 2000 ...» є те, що серед загальних цілей математичної освіти за програмою «Школа 2000 ...» центральне місце займає розвиток абстрактного мислення. Необхідною компонентою абстрактного мислення є логічне мислення - як дедуктивне, в тому числі і аксіоматичне, так і продуктивне - евристичне та алгоритмічне мислення.
У цілому, представлена ​​програма містить досить великий обсяг математичного і, формально кажучи, внематематіческого змісту. Слід, однак, мати на увазі, що досліджуваний матеріал у певному сенсі різнорідний, і вивчення різних питань проводиться, природно, на різному рівні.
2. Експериментальне дослідження було спрямовано на виявлення сформованості знань, умінь і навичок з теми «Безліч». Базою для проведення констатуючого експерименту була визначена Микільська середня школа № 3. В експерименті брали участь школярі 3 класу в кількості 15 чоловік. Навчання дітей велося за програмою «Школа 2000 ...».
Знання, вміння і навички виявлялися в процесі самостійної роботи, метою якої було виявлення знань по темі: «Діаграма Венна. Знаки Î і Ï ».
Нами були виділені критерії та рівні сформованості виконання завдань самостійної роботи:
Високий рівень виконання завдань характеризувався правильністю виконання завдання; усвідомленістю вибору правильного варіанту; узагальненістю знань, тобто був здатний перенести прийом виконання завдань на нові випадки; автоматизмом (учень виконував завдання швидко); міцністю (збереження навичок виконання завдань на тривалий час).
Для середнього рівня виконання завдань самостійної роботи характерно невелика кількість помилок; учень усвідомлює на основі яких знань зроблено завдання, однак не може самостійно пояснити, чому зробив саме так, а не інакше; учень може правильно виконати завдання лише в стандартних умовах; учень не завжди виконує завдання швидко; навички правильного виконання завдань зберігаються на короткий термін.
Для низького рівня виконання завдань самостійної роботи властиво учень неправильно виконує ту чи іншу будівлю, не усвідомлюючи правильність його виконання; повільне виконання завдань; відсутність сформованості навичок виконання завдань.
Таким чином, було виявлено, що молодші школярі навчаються за програмою «Школа 2000 ...» мають рівень знань про множини вище середнього і можуть свідомо застосовувати свої знання на практиці.
Знайомство з множинами та операціями над ними має важливе значення для подальшого вивчення багатьох питань шкільної програми з математики і разом з тим сприяє інтенсивному розвитку розумових операцій і мови учнів: діти постійно повинні порівнювати об'єкти, виявляти в них схожість і відмінність, класифікувати, будувати узагальнення, висловлювати в мові і обгрунтовувати спостережувані властивості і відносини.
Дані розробки носять рефлексивний характер, припускають використання наочно-предметного та демонстраційного матеріалу, базуючись на принципах діяльності, безперервності і цілісного уявлення про світ.
Навчання та контроль знань учнів здійснюється на основі принципів Мінімакс, комфортності та варіативності.

Список використаних джерел
1. Актуальні проблеми методики навчання математики в початкових класах / під ред. М.І. Моро, AM Пишкало. - М.: Педагогіка, 1977. - 358 с.
2. Артемов, А.К. Теоретичні основи методики навчання математики в початкових класах / А.К. Артемова, Н.Б. Істоміна. - М.: Владос, 1996. - 347 с.
3. Амонашвілі, Ш.А. У школу - з шести років / Ш.А. Амонашвілі. - М.: Просвещение, 1986. - 258 с.
4. Амонашвілі, Ш.А. Як живете, діти? / Ш.А. Амонашвілі. - М.: Педагогіка, 1987. - 214 с.
5. Бантова, М.А. Методика викладання математики в початкових класах / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. - М.: Просвещение, 1984. - 258 с.
6. Бугрименко, Е.А. Керівництво з оцінки якості математичних і
лінгвістичних знань школярів. Методичні розробки / Е.А. Бугрименко / під ред. В.І. Слободчикова. - М.: Академія, 1993. - 266 с.
7. Давидов, В.В. Проблеми розвивального навчання / В.В. Давидов. - М.: Педагогіка, 1986 .- 189 с.
8. Давидов, В.В. Психічний розвиток у молодшому шкільному віці / під ред. А.В. Петровського. - М.: Наука, 1973. -256 С.
9. Істоміна, Н.Б. Методичні рекомендації до підручника «Математика 3 клас» / Н.Б. Істоміна. - М.: Проект, 1995. - 258 с.
10. Максимова, TB Поурочні розробки з математики. 3 клас. До
навчального комплекту Л.Г. Петерсон / Т.В. Максимова. - М.: ВАКО, 2004. -
400 с.
11. Маркова, А.К. Мотивація навчання і її виховання у школярів / А.К. Марков, А.Б. Орлов, Л.М. Фрідман. - М.: Просвещение, 1983. - 328 с.
12. Маркова, А.К. Формування мотивації навчання у шкільному віці / А.К. Маркова. - М.: Просвещение, 1983. - 391 с.
13. Матюшкін, AM Проблемні ситуації в мисленні та навчанні / А.М. Матюшкіна. - М.: Педагогіка, 1977, -214 с.
14. Менчинська, Н.А. Питання розумового розвитку дитини / Н.А. Менчинська. у М.: Просвещение, 1970. -258 С.
15. Менчинська, Н.А. Проблеми навчання і розумового розвитку школяра / П.А. Менчинська. - М.: Просвещение, 1989.-358 с.
16. Методика початкового навчання математики / під ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. - Мінськ, 1988. - 322 с.
17. Моро, М.І. Методика навчання математики перших-третіх класах / M.І. Моро, AM Пишкало. - М.: Просвещение, 1978.-222 с.
18. Навчання та розвиток / під ред. Л.B. Занкова. - М.: Просвещение, 1975.-179 с.
19. Піаже, Ж. Вибрані психологічні праці / Ж. Піаже. - М.: Педагогіка, 1969. - 258 с.
20. Підкасистий, П.І. Самостійна пізнавальна діяльність школярів у навчанні / П.І. Підкасистий. - М.: Просвещение, 1980.-213 с.
21. Петерсон, Л.Г. Математика. 3 клас. Частина 1 / Л.Г. Петерсон. - М.: Баллас, 2001 .- 112 с.
22. Петерсон, Л.Г. Математика. 3 клас. Частина 2 / Л.Г. Петерсон. - М.: Баллас, 2001 .- 116 с.
23. Петерсон, Л.Г. Математика. 3 клас: методичні рекомендації для вчителів / Л.Г. Петерсон. - М.: Ювента, 2008. - 304 с.
24. Петерсон, Л.Г. Інформаційно-методичний лист до роботи за новими підручниками «Математика» / Л.Г. Петерсон / / Початкова школа. - 1997. - № 10.-С. 31-34.
25. Петерсон, Л.Г. Використання діяльного методу в роботі з курсу «Школа 2000 ...» / Л.Г. Петерсон / / Початкова школа. - 2000. - № 10. - С. 5-12.
26. Петерсон, Л.Г. Програма «Вчися вчитися» з математики для 1-4 класів початкової школи з освітній системі діяльнісного методу навчання «Школа 2000 ...». - М.: УМЦ «Школа 2000 ...», 2007. - 112с.
27. Рубінштейн, СЛ. Проблеми загальної психології / С.Л. Рубінштейн. - М.: Просвещение, 1973. - 258 с.
28. Стрезікозін, В.П. Актуальні проблеми початкового навчання В.П. Стрезікозін. - М.: Просвещение, 1976. - 352 с.
29. Суворова, Г.Ф. Удосконалення навчального процесу в малокомплектній початковій школі / Г.Ф. Суворов. - М.: Просвещение, 1980. - 321с.
30. Тализіна, Н.Ф. Формування пізнавальної діяльності молодших школярів / Н.Ф. Тализіна. - М.: Просвещение, 1978. - 259 с.
31. Важче, В.П. Позакласна робота з математики у початковій школі / В.П. Важче. - М.: Педагогіка, 1975. - 366 с.
32. Теоретичні основи методики навчання математики в початкових
класах: посібник для студентів / за ред. Н.Б. Істоміної. - М.: Інститут
практичної психології, 1996. - 224 с.
33. Фрідман, Л.М. Психологічна наука - вчителю / Л.М. Фрідман, К.Н. Волков. - М.: Просвещение, 1985. - 247 с.
34. Фрідман, Л.М. Логіко-психологічний аналіз шкільних навчальних завдань / Л.М. Фрідман. - М.: Наука, 1977. - 329 с.
35. Фрідман, Л.М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі / Л.М. Фрідман. - М.: Педагогіка, 1983. - 141 с.
36. Цукерман, Г.А. Види спілкування в навчанні / Г.А. Цукерман. - Томськ, 1993. - 320 с.
37. «Школа 2000 ...». Концепція і програми безперервних курсів для загальноосвітньої школи / за ред. А.А. Леонтьєва. - М.: Баллас, 1997. - 208 с.
38. Ельконін, Д. Б. Вибрані психологічні праці / під ред. В.В. Давидова, В.II. Зінченко. - М.: Педагогіка, 1989. - 284 с.
39. Якиманська, І.С. Розвивальне навчання / І.С. Якиманської. - М.: Просвещение, 1979. - 385 с.
40. Якиманська, І.С. Розвиток просторового мислення школярів / І.С. Якиманської. - М.: Просвещение, 1980. - 355 с.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
240.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів 2
Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5-6 класів
Методика вивчення елементів математичного моделювання в курсі математики 5 6 класів
Дидактичні ігри в початковому курсі математики
Нумерація багатозначних чисел в початковому курсі математики
Особливості вивчення теми Гідросфера в початковому курсі загальної географії
Вивчення елементів стереометрії у курсі геометрії 9 класу
Вивчення функцій в курсі математики
Вивчення тригонометричного матеріалу в шкільному курсі математики
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru