додати матеріал

приховати рекламу

Вивчення деяких питань термодинаміки

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

ГЗОГЯН В. М.

ВИВЧЕННЯ ДЕЯКИХ ПИТАНЬ термодинаміки

Посібник для студентів фізичних спеціальностей
Застосовується метод розв'язання задач, заснований на використанні якобіаном, який дозволяє легко перейти від недоступних виміру величин до доступним.
Наведено приклади вирішення подібних завдань, для яких отримані загальні диференціальні співвідношення, що дозволяють аналізувати отримані вирази для ідеальних і реальних систем. Показано, що одне і те ж значення приватної похідної, при постійному значенні обраного параметра, можна отримати кількома способами, в залежності від вибору проміжних змінних. Це дає можливість, з одного боку, перевірити правильність отриманих співвідношень, а з іншого, ввести в розгляд такі нові якобіани, тотожне дорівнюють одиниці, які відносно швидко призводять до вирішення завдання.
Посібник може бути рекомендовано студентам фізичних спеціальностей вищих навчальних закладів, які бажають поглибити свої знання в даній області, і використано ними в навчально-дослідницькій роботі при складанні та вирішенні нових завдань та інтерпретації отриманих співвідношень.

КОРОТКИЙ ВСТУП

Перебудова програми вищих навчальних закладів із загальної та теоретичної фізики передбачає удосконалення методів вивчення окремих питань та розділів, а також і методів рішення завдань. Це вдосконалення повинне дозволити студентам не тільки глибше засвоїти фізичний зміст розглянутого питання, а й бачити взаємозв'язок між досліджуваними явищами.
При вивченні ряду питань і рішення частини завдань термодинаміки часто доводиться проводити перетворення термодинамічних величин, наприклад, перетворення змінних, підтримуваних постійними в ході процесу, іншими. Такі перетворення потрібно здійснювати за загальними правилами заміни змінних при диференціюванні функцій по декількох змінним. [1].
Один із способів перетворення термодинамічних величин наведено в [1]. Однак перетворення величин доцільно проводити методом якобіаном, але для цього необхідно ознайомити студентів з якобіаном та їх властивостями [2].
Якобіаном називається визначник

причому такий символ слід розглядати як єдиний, а U і υ - як функції Х і У.
Якобіан володіє такими важливими властивостями:
1.
2.
3.
4.
Якщо система може бути описана трьома незалежними змінними, наприклад, у випадку системи із змінним кількістю речовини, то доцільно використовувати якобіан види:
,
який розкривається як визначник третього порядку. Для систем з чотирма незалежними змінними, якобіан розкривається як визначник четвертого порядку і т. д.
Таким чином, в термодинаміці, згідно [3], існує така безліч співвідношень, що не має сенсу їх запам'ятовувати. Краще запам'ятати лише термодинамічне тотожність, що об'єднує перше і друге початку, визначення термодинамічних потенціалів і яке-небудь правило перетворення одного набору змінних в іншій, що легко здійснити складанням детермінантів Якобі.
Застосування якобіаном, з одного боку, дозволяє встановлювати зв'язок між термодинамічними величинами (коефіцієнтами) найбільш простим способом, а з іншого - дає можливість легко перейти від недоступних виміру величин до доступним.

ТЕРМОДИНАМІЧНІ КОЕФІЦІЄНТИ І ВСТАНОВЛЕННЯ ЗВ'ЯЗКУ МІЖ НИМИ.

Згідно [4], термодинамічними коефіцієнтами називаються вирази виду , Де символами l, m, n позначені р, V, Т, S. Ці коефіцієнти характеризують певні властивості системи.
Складемо таблицю термодинамічних коефіцієнтів так, щоб перший рядок не містила S, друга - Р, третя - V і четверта - Т:



(2.1.)








Можна показати, що якщо чотири з них, підкреслених в таблиці, вибрати в якості незалежних коефіцієнтів, то інші вісім можуть бути виражені через них. Дійсно, неважко помітити, що твір коефіцієнтів, що стоять в одному рядку цієї таблиці, так само мінус одиниці. Наприклад, для першого рядка

Розділивши обидві частини цього виразу на , Отримаємо
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Ще чотири співвідношення між термодинамічними коефіцієнтами можна отримати з виразів для диференціалів термодинамічних функцій
dU = TdS - pdV
(2.6.) dF = - SdT - pdV
dI = TdS + Vdp
dФ = - SdT + Vdp
або ж шляхом перетворення основного термодинамічного тотожності, справедливого для всіх функцій, за допомогою введення нових якобіаном, рівних одиниці.
Оскільки термодинамічні функції є функціями стану, то праві частини виразів (2.6) повинні задовольняти вимогам
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Основне термодинамічне тотожність можна отримати з цих виразів. Дійсно, з (2.7) маємо

звідки
(2.11)
Зі сказаного випливає також, що вирази (2.7) - (2.10) можуть бути отримані з основного тотожності (2.11).
Після того, як записані основні рівняння, в принципі, ми могли б, як це зроблено в [4], вибрати в (2.1) три незалежні коефіцієнта і за допомогою цих рівнянь висловити залишилися коефіцієнти через обрані. Однак, при вирішенні деяких завдань, такий підхід є менш доцільним, так як відповідні вирази виявляються громіздкими. Більше того, ми можемо брати до уваги ту обставину, що якщо відомо рівняння стану системи, то можна легко вирахувати і третій коефіцієнт першого рядка в (2.1). Оскільки при вирішенні більшості завдань рівняння стану системи відомо, то, практично, в (2.1) можна вибрати в якості незалежних п'ять коефіцієнтів. Такий підхід багато спрощує рішення задач.
Висловимо тепер одні коефіцієнти через інші з урахуванням вищесказаного. У другому рядку відомий один коефіцієнт, але за допомогою (2.8) знайдемо другий. Тоді на підставі (2.8) та (2.3) знайдемо третього
(2.12)
У третьому рядку (2.1) відомий один коефіцієнт. Другий коефіцієнт можна отримати, використовуючи властивість якобіаном
(2.13)
де було враховано вираз (2.10). Тоді на підставі (2.4) та (2.13) знайдемо третього
(2.14)
що безпосередньо випливає також з (2.10). Перший коефіцієнт четвертого рядка легко можна знайти за допомогою виразів (2.9) і (2.13), або ж використовуючи властивість якобіаном
(2.15)
З (2.7) з урахуванням (2.12) отримаємо другий коефіцієнт
(2.16)
Нарешті, останній коефіцієнт можна отримати з (2.5) з урахуванням виразів (2.15), (2.16) і (2.2)
(2.17)
Відзначимо, що, надалі, при розгляді тих чи інших питань, будемо отримувати загальні диференціальні співвідношення, які дозволять, знаючи рівняння стану системи, узагальнити їх для ідеальних і реальних систем.

ВИСНОВОК РІВНЯННЯ Адіабатичний процес ДЛЯ ІДЕАЛЬНОГО І РЕАЛЬНОГО ГАЗІВ.

Процес, що протікає при постійній ентропії називається адіабатичним або ізоентропним

Зазначимо, що оскільки , То Таким чином, адіабатичний процес ми звели до ізотермічного, який для ідеального газу можна представити у вигляді: Враховуючи, що для даного газу , Отримаємо:

або після розділення змінних та інтегрування
;
звідки
Рівняння адіабатичного процесу для газу Ван-дер-Ваальса доцільно знайти з виразу

Для отримання цього виразу було використано відоме в термодинаміці співвідношення, яке, також, легко отримати за допомогою якобіаном
(3.1)
де використано співвідношення (2.12). Беручи до уваги, що для адіабатичного процесу , Причому постійну інтегрування , Можна прийняти рівною нулю, отримаємо
або
яке для змінних P і V приймає вигляд:

ВИСНОВОК РІВНЯННЯ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ ШВИДКОСТІ ПОШИРЕННЯ ЗВУКУ В СЕРЕДОВИЩІ.

Знайдемо вираз для обчислення швидкості поширення звуку в середовищі, що є адіабатичним процесом.

де r - щільність середовища, S-ентропія, що є функцією параметрів P, V і T стану системи. Цією формулою зручно користуватися при знаходженні швидкості звуку в газоподібному середовищі. Зокрема, швидкість звуку в повітрі, при нормальних умовах можна знайти, застосовуючи рівняння стану ідеального газу, для якого

Після підстановки цього виразу у вихідну формулу отримаємо:

звідки
Підставляючи в цю формулу чисельні значення g, р і r для швидкості звуку отримаємо U »333 м / с.
Для визначення швидкості звуку в рідких і твердих тілах необхідно у вираз

підставити значення g, r і з таблиць. Наприклад, для води U »1400 м / с. Тут доречно зазначити, що швидкість звуку в морській воді, згідно з [5], залежить від температури, солоності і гідростатичного тиску. Необхідно також підкреслити, що швидкість звуку - важлива величина, багато в чому характеризує фізичні властивості тіл. Знаючи швидкість звуку, можна визначити пружні постійні твердих тіл, їх залежність від температури, стисливість, ставлення теплоємностей для рідин і твердих тіл.

СПОСІБ ВИЗНАЧЕННЯ З V ДЛЯ ІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ.

Теплоємність газу при постійному обсязі визначається виразом Знайдемо зв'язок між змінами внутрішньої енергії системи і її температури при постійному значенні р.
(5.1)
де враховано співвідношення (3.1) і (2.2).
Знайдемо також зв'язок між змінами внутрішньої енергії системи і її температури при адіабатичному процесі.
(5.2)
де використано співвідношення, що об'єднує перше і друге початку термодинаміки і вираз (2.12).
Відволікаючись від процесів, що протікають в системі, можна показати, що для ідеального газу

Таке ж висновок для ,
але за допомогою статистичного методу зроблено в [6]. Читачам представляємо можливість дати задовільний, з точки зору законів термодинаміки, пояснення рівності виразів (5.3).
Відзначимо, що для реального газу, що підкоряється рівнянню Ван-дер-Ваальса після підстановки відповідних приватних похідних, при заміні тиску його значенням, знайдемо

ПРО ЗМІНИ ВНУТРІШНЬОЇ ЕНЕРГІЇ ПРИ ІНШИХ ІЗОПРОЦЕССАХ.

Знайдемо зв'язок між змінами ентропії і внутрішньої енергії
при постійних значеннях інших параметрів системи.
, (6.1)
де використано (5.1).
(6.2)
де застосовані формули (3.1) і (2.8).
З виразу (6.1) випливає, що для ідеального газу
(6.3)

(6.3)

Порівнюючи це значення з
(6.4)
прийдемо до висновку, що при ізохоричному і изобарических процесах однаковому зміни ентропії відповідає неоднакове зміна внутрішньої енергії. Неважко також помітити, що для ідеального газу, згідно (6.2), зміна ентропії, пов'язане або із зміною обсягу, або ж тиску, не призводять до зміни внутрішньої енергії.
Знайдемо зв'язок між змінами тиску і внутрішньої енергії системи при адіабатичному, ізотермічному і ізохоричному процесах.
(6.5)
(6.6)
(6.7)
У випадку ідеального газу формули (6.5) і (6.7) дають


звідки (6.8)
Це співвідношення показує, що при ізохоричному м адіабатичному процесах однаковому зміни тиску відповідають неоднакові зміни внутрішньої енергії. Читачам представляємо можливість самим з'ясувати фізичну сутність відмінності цих величин. Ми тільки відзначимо, що при ізохоричному процесі система не робить роботи, а зміна тиску може відбуватися за рахунок підводиться до системи або відведеного від системи кількості теплоти. При адіабатичному ж процесі зміна тиску може бути обумовлено або роботою системи, проти сил, за рахунок її внутрішньої енергії, або ж роботою, досконалої над системою.
Знайдемо зв'язок між змінами обсягу системи та її внутрішньою енергією при изобарических процесі.
(6.9)
де було враховано (6.1), (2.15) і (2.2).
Для ідеального газу вираз (6.9) дає
(6.10)
Порівняємо це значення з раніше отриманими (3.1) і виразом
(6.11)
Для ідеального газу, на підставі (3.1),

З (6.10) і (6.11) випливає:

звідки
(6.12)
Пояснення причин відмінності значень цих величин має бути подібно поясненню відмінності величин (6.8). Тільки в отриманому виразі зміни об'єму системи і її внутрішньої енергії при адіабатичному процесі мають протилежні знаки, а при изобарических - однакові.

ВИСНОВОК ДЕЯКИХ КОРИСНИХ термодинамічні співвідношення.

1. Знайдемо різницю теплоємностей З Р і С V.


звідки

(7.1)
Зазначимо, що оскільки відповідні приватні похідні у виразі (7.1) мають позитивні знаки, то при температурах вище абсолютного нуля З Р> C V, а при температурах, близьких до абсолютного нуля

тому З Р = З V, і так як при тих же температурах

то С Р = С V = 0.
2. Знайдемо зв'язок між змінами тиску та ентропії при постійному значенні внутрішньої енергії системи
(7.2)
де використано співвідношення (2.7), (2.12), (2.17) і значення відповідних приватних похідних від внутрішньої енергії. Неважко помітити, що для газів, при постійному значенні внутрішньої енергії, збільшення тиску супроводжується зменшенням ентропії. Це і зрозуміло, так як ентропія пов'язана з імовірністю, а при збільшенні тиску зменшується ймовірність стану системи.
3. Знайдемо зв'язок між змінами окремих параметрів системи при постійному значенні внутрішньої енергії.
(7.3)
У випадку ідеального газу маємо:

(7.4)
Цього і слід було очікувати, оскільки внутрішня енергія ідеального газу залежить від температури. Тому умові U = const відповідає T = const. Для реальних газів умова (7.4) не виконується.
(7.5)

ГЧ / - • ^ .6

(7.6)
(7.7)
Неважко переконатися, що для ідеального газу
(7.8)
Знайдемо зв'язок між змінами окремих параметрів системи і її тепломісткості.
(7.9)
(7.10)
(7.11)
(7.12)
Проте це значення приватної похідною можна визначити і більш простим способом, якщо врахувати, що I = U + pV і dI = dU + d (pV). Тоді

Важливо підкреслити, що одне і те ж значення приватної похідної, при постійному значенні обраного параметра, можна отримати кількома способами залежно від вибору проміжних змінних. З огляду на це, при вирішенні завдань, можна ввести такі якобіани, тотожне дорівнюють одиниці, які відносно швидко приведуть до мети. Покажемо це на одному прикладі.
a) (7.13)
де були використані (3.1) і (2.2).
b) (7.14)
Аналогічне значення, але за допомогою введення змінних S і p було отримано раніше у виразі (6.9).
Наведений приклад показує, що для перевірки правильності знаходження однієї і тієї ж термодинамічної величини можна використовувати кілька варіантів, хоча і в даному прикладі використані не всі.

СПОСОБИ ВИЗНАЧЕННЯ C P ДЛЯ ІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ.

З об'єднаного вираження обох начал термодинаміки випливає, що якщо підведення теплоти до системи здійснюється при изобарических процесі, то TdS = C P dT, або
Однак, теплоємність C p для ідеального газу можна визначити як приватну похідну від теплової функції по температурі. Дійсно, при изобарических процесі
(8.1)
Це співвідношення неважко зрозуміти, оскільки при р = const
dI = TdS + Vdp = TdS = C p dT.
Знайдемо зв'язок між змінами температури та теплової функції при ізохоричному процесі.
(8.2)
де враховано вираз (7.11).
У разі адіабатичного процесу зміни тих же величин дають:
(8.3)
де використано співвідношення (2.2), (2.8), (7.10) і (8.2).
Безпосередньою перевіркою неважко переконатися, що для ідеального газу
(8.4)
Читачам надається можливість знайти задовільне, з точки зору законів термодинаміки, пояснення виразів (8.4).
За аналогією з вищенаведеними прикладами, можна вирішити велику кількість завдань, пов'язаних з вільною енергією, ентальпією і термодинамічним потенціалом Гіббса.
Вищенаведені приклади переконливо доводять перевагу такого підходу до вирішення завдань термодинаміки. Цим способом, в основному, вирішуються і завдання, пов'язані з термодинамікою стрижнів, діелектриків та магнетиків, приклади яких наведено в [4] і [7], для яких можна врахувати електро-і магнітострикційні явища, п'єзоелектричний і п'єзомагнітного ефекти, а також і завдання , пов'язані з хімічним потенціалом, коли кількість речовини в системі змінюється.
Застосування якобіаном, особливо після вивчення властивостей термодинамічних функцій та їх диференціалів, дозволяє більш доступним способом вирішити те чи інше завдання, і, що дуже важливо, дає можливість, навіть при вирішенні однієї задачі, охоплювати великий матеріал, передбачений програмою. Перевага такого підходу до розгляду окремих, або групи, питань, як показали наші спостереження, не викликає сумнівів як з точки зору коректності математичних виразів, так і логічності та взаємозв'язку явищ термодинаміки.

СКЛАДАННЯ ДЕТЕРМІНАНТИ Якоб і ТАБЛИЦІ ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ КОЕФІЦІЄНТІВ ДЛЯ СИСТЕМ, що описують великі ЧИСЛОМ ЗМІННИХ.

Як приклад розглянемо систему, описувану трьома незалежними змінними, наприклад, систему зі змінною кількістю речовини. У цьому випадку диференціали термодинамічних функцій мають вигляд:
dU = TdS-pdV + mdN, (9.1)
dF =- SdT-pdV + mdN, (9.2)
dI = TdS + Vdp + mdN, (9.3)
dФ =- SdT + Vdp + mdN (9.4)
де dN - зміна числа молей речовини, а m - хімічний потенціал, що має розмірність енергії в розрахунку на кількість молей.
З виразу (9.1) отримаємо наступні співвідношення:
(9.5)
(9.6)
(9.7)
Формула (9.5) дає:


звідки

(9.8)
З (9.6) і (9.7), аналогічним способом, отримуємо:
(9.9)
(9.10)
При розгляді диференціалів вільної енергії (9.2) та ентальпії (9.3) отримаємо, відповідно, наступні, нові, співвідношення:

(9.11)
(9.12)

Доречно зазначити, що розгляд диференціала термодинамічного потенціалу Гіббса (9.4) не призводить до встановлення нового співвідношення. Розкриваючи якобіани (9.8) - (9.12) отримаємо:

(9.13)
(9.14)
(9.15)
(9.16)
(9.17)

Всі коефіцієнти виразу (9.13) нами вже визначені. З формул (9.14) - (9.17) складемо таблицю термодинамічних коефіцієнтів так, щоб перший рядок не містила S і р, друга- S і V, третя- V і Т, четверта-Т і р.
















Встановлюючи відповідну зв'язок між коефіцієнтами цієї таблиці, ми опинимося в змозі вирішити всі завдання, пов'язані з однокомпонентної системою, з змінною кількістю речовини.
Аналогічним чином складається таблиця коефіцієнтів для систем, описуваних чотирма і великим числом незалежних змінних, наприклад, для двох-або трикомпонентної термодинамічної системи.
Якщо процеси, що протікають у багатокомпонентної системі такі, що
dp = dV = dT = dS = 0 (9.19)
(9.20)
і
(9.20)
то будемо мати справу з системою, для якої
dU = dF = dI = dФ = 0 (9.21)
При виконанні умови (9.19) можна розглядати тільки один термодинамічний потенціал, при цьому неважливо виконується умова (9.20) чи ні.
Корисно помітити, що в реальних умовах можливі стани, при яких умови (9.19) - (9.21) не дотримуються і тим не менш при незмінних р і Т або V і V ми протягом тривалого часу не спостерігаємо зміни рівноваги системи. Така рівновага називається помилковим (про це більш докладно див [8]). За умови
(9.22)
можливий мимовільний процес у прямому напрямку в будь-якій гомогенної або гетерогенній системі (наприклад, перехід окремих компонент з однієї фази в іншу, можливість протікання хімічних реакцій між різними компонентами і т. д.).
Відзначимо, що перехід даного компонента може відбуватися мимовільно тільки з фази, для якої його хімічний потенціал більше, у фазу, для якої він менший. Такий перехід супроводжується зменшенням хімічного потенціалу компоненту в першій фазі і збільшенням його в другій. У результаті цього різниця між хімічними потенціалами даного компонента в цих двох фазах зменшується і коли значення хімічного потенціалу компонент в обох фазах вирівнюються, досягається стан рівноваги.

ЛІТЕРАТУРА

1. В. Г. Левич, Курс теоретичної фізики, t.1, стор 446, "Наука", 1969.
2. В. І. Смирнов, Курс вищої математики, т. 3, ч.2, "Наука", 1974.
3. Д. Тер Хаар, Г. Вергеланд, Елементарна термодинаміка, "Світ", 1968.
4. Ю. Б. Румер, М. Ш. Рибкін, Термодинаміка, статистична фізика і кінетика, "Наука", 1977.
5. В. І. Тюлин, Введення в теорію випромінювання та поширення звуку, стор.17, "Наука", 1976.
6. Ч. Кіттель, Статистична термодинаміка, стор.147, "Наука", 1977.
7. Р. Кубо, Термодинаміка, "Світ", 1970.
8. Л. В. Радушкевіч, Курс термодинаміки, стор.192, "Просвіта", 1971.

ЗМІСТ

Короткий вступ ................ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
Термодинамічні коефіцієнти і встановлення зв'язку між ними ... ... ... .... 6
Висновок рівняння адіабатичного процесу для ідеального і реального газів .... 11
Висновок рівняння для обчислення швидкості поширення звуку в середовищі ... ... .... 13
Способи визначення З V для ідеального газу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
Про зміни внутрішньої енергії при інших ізопроцессах ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
Висновок деяких корисних термодинамічних співвідношень ... ... ... ... ... ... ... .... 21
Способи визначення З Р для ідеального газу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26
Складання детермінантів Якобі і таблиці термодинамічних коефіцієнтів для систем, описуваних великим числом змінних ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 28
Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 33
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Методичка | 77кб. | скачати

Схожі роботи:
Рішення деяких питань сімейного права
До деяких питань виникнення всесвіту флуктуації - механізм утворення
Щодо деяких питань зовнішньої політики України у її відносинах з НАТО
Вивчення полісемії та омонімії деяких англійських іменників
Вивчення питань біотехнології в курсі хімії середньої школи
Метод моделювання в ході вивчення питань загальної біології
Почала термодинаміки
Основи термодинаміки 3
Основи термодинаміки
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru