додати матеріал


Векторна алгебра та аналітична геометрія

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Векторна алгебра

Вектор в декартовій системі координат

Визначення. Вектором називається впорядкована пара точок (початок вектора і його кінець). Якщо , , То вектор має координати .

Вектор в координатному просторі Oxyz, може бути представлений у вигляді

, Де трійка називається координатами вектора. Вектори - Одиничні вектори (орти), спрямовані в позитивну сторону координатних осей Ox, Oy і Oz, відповідно. Довжиною (модулем) вектора називається число .

Лінійні операції з векторами


Складання векторів визначається за правилом паралелограма: вектор є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (Рис.1а).

Різниця двох векторів і визначається за формулою , Де - Вектор тієї ж довжини, що і вектор , Але протилежно спрямований. Щоб знайти вектор-різниця потрібно відкласти вектори і із загальної точки, з'єднати кінці векторів вектором, спрямованим від «від'ємника» до «зменшується» (тобто від до ) (Рис.1б). Побудований вектор і буде шуканої різницею.

При додаванні декількох векторів кожна координата суми є сума відповідних координат доданків векторів, при множенні вектора на дане число на це ж число множаться і координати вектора:

а) ;

б) , Де - Скалярний множник.

Кілька векторів називаються колінеарними (компланарними), якщо вони паралельні одній і тій же прямій (площині). Вектори і паралельні (колінеарні), то є відповідні координати цих векторів пропорційні з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності: .

Базис на площині і в просторі

Визначення. Базисом на площині (у просторі) називається впорядкована пара (трійка) неколінеарних (некомпланарних) векторів. Будь-який вектор однозначним чином розкладається по базису. Коефіцієнти розкладання називаються координатами цього вектора щодо даного базису. Вектори утворюють базис в декартовому координатному просторі Oxyz.

Приклад 1.

Дано вектори . Показати, що вектори і утворюють базис на площині і знайти координати вектора в цьому базисі.

Рішення. Якщо два вектори неколінеарних ( ), То вони утворюють базис на площині. Так як , То вектори і неколінеарних і, отже, утворюють базис. Нехай у цьому базисі вектор має координати , Тоді розкладання вектора по векторах і має вигляд , Або в координатній формі

або

Вирішивши отриману систему рівнянь будь-яким чином, отримаємо, що .

Значить . Таким чином, в базисі вектор має координати .

Скалярний, векторний, змішаний твір векторів.

Визначення. Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке визначається рівністю:

,

де - Кут між векторами і . Якщо , То .

Знаючи скалярний твір, можна визначити кут між двома векторами за формулою: .

Умова перпендикулярності ненульових векторів (кут між ними дорівнює 90 °) має вигляд: , Або , А умова їх коллинеарности: , Або .

Властивості скалярного твори:

1) , 2) , 3) ; 4) , Причому .

Приклад 2. Знайти кут між векторами і , Якщо , , , .

Рішення. Використовуємо формулу . Визначимо координати векторів і , Враховуючи, що при додаванні векторів ми складаємо однойменні координати, а при множенні вектора на число - множимо на це число кожну координату цього вектора, а: , .

Знайдемо скалярний добуток векторів і і їх довжини. , , . Підставивши в формулу, отримаємо . Звідси .

Визначення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор (Інше позначення ), Який:

а) має довжину , Де - Кут між векторами і ;

б) перпендикулярний векторах і ( ) (Тобто, перпендикулярний площині, в якій лежать вектори і );

в) спрямований так, що вектори , , утворюють праву трійку векторів, тобто з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого видно проти годинникової стрілки (рис.2).

Координати векторного добутку вектора на вектор визначаються за формулою:

Геометричний сенс векторного твори: модуль вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і .

Властивості векторного твори:

1) , 2) ;

3) ; 4) і колінеарні.

Приклад 3. Паралелограм побудований на векторах і , Де , , . Обчислити довжину діагоналей цього паралелограма, кут між діагоналями і площа паралелограма.

Рішення.

, ,

.

Кут між діагоналями позначимо буквою , Тоді

Отже, .

Використовуючи властивості векторного добутку, обчислимо площа паралелограма:

Визначення. Змішаним твором трьох векторів , , називається скалярний добуток вектора на вектор :

.

Якщо то змішане твір можна обчислити за формулою:

.

Властивості змішаного твори:

1) При перестановці будь-яких двох векторів змішане твір змінює знак;

2) , 3) ;

4) компланарними .


Геометричний сенс змішаного твори: обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах , , (Рис.4), а обсяг утвореної ними трикутної піраміди знаходяться за формулами .

Приклад 4. Компланарними чи вектори , , ?

Рішення. Якщо вектори компланарними, то за властивістю 4) їх змішане твір дорівнює нулю. Перевіримо це. Знайдемо змішане твір даних векторів, обчисливши визначник:

вектори , , некомпланарних.

Розподіл відрізка в даному відношенні.

Нехай відрізок в просторі Oxyz заданий точками і . Якщо він розділений точкою щодо , То координати точки такі:

.

Приклад 5. Знайти точку , Яка ділить відрізок щодо , Якщо .

Рішення. Визначимо координати точки :

. Таким чином, .

Аналітична геометрія.

Рівняння площини. Загальне рівняння площини має вигляд: , , Де - Нормальний вектор площини (тобто перпендикулярний площині), а коефіцієнт пропорційний відстані від початку координат до площини.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , Має вигляд

.

Рівняння площини, що проходить через три задані точки , і має вигляд:

.

Кут між двома площинами, що мають нормальні вектори і , Визначається як кут між векторами і за формулою:

.

Відстань від точки до площини обчислюється за формулою .

Приклад 6. Написати рівняння площини, що проходить через точки , , .

Рішення. Скористаємося рівнянням площини, що проходить через три задані точки. Обчислимо визначник

, Або - Дані рівняння площини.

Рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої на площині має вигляд: , Де - Нормальний вектор прямої (перпендикулярний прямій), а коефіцієнт пропорційний відстані від початку координат до прямої.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку , Має вигляд

або .

В іншому вигляді , Де - Тангенс кута, утвореного прямий і позитивним напрямом осі Ox, званий кутовим коефіцієнтом, b - ордината точки перетину прямої з віссю Oy.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і , Має вигляд

.

Кут між двома прямими і визначається формулою

.

Відстань від точки до прямої знаходиться за формулою

.

Приклад 7. Дано рівняння двох сторін прямокутника , і рівняння його діагоналі . Скласти рівняння інших сторін і другий діагоналі цього прямокутника.

Рішення. Зробимо схематичне креслення (Рис.6). Перепишемо дані рівняння у вигляді: , , . Так як кутові коефіцієнти прямих, які задають сторони прямокутника, однакові , То ці рівняння задають паралельні прямі, тобто сторони, на них лежать, протилежні. Знайдемо точки перетину даної діагоналі з цими сторонами. Нехай це будуть точки і . Для цього прирівняємо спочатку 1 і 3, а потім 2 і 3 рівняння:

; . Таким чином, .

Невідомі сторони паралельні між собою і перпендикулярні даними (так як це прямокутник).

Зауваження. Кутові коефіцієнти перпендикулярних прямих і зв'язані співвідношенням .

Таким чином, рівняння невідомих сторін прямокутника такі:

. Підставивши в перше рівняння координати точки , У другу - точки , Отримаємо, що і, отже, , .

Знайдемо координати точок і , Прирівнявши рівняння відповідних сторін:

, Тобто ;

, Тобто .

Рівняння діагоналі отримаємо як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і :

або .

Рівняння прямої в просторі. Пряма у просторі Oxyz визначається як лінія перетину двох площин (Загальні рівняння прямої в просторі).

Канонічні рівняння прямої в просторі мають вигляд

,

де - Точка, через яку проходить пряма, а вектор , Паралельний даної прямої, називається направляючим вектором прямої.

Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві задані точки і мають вигляд

.

Кут між двома прямими з напрямними векторами і визначається за формулою

.

Приклад 8. Піраміда задана координатами своїх вершин , , . Потрібно знайти:

1) довжини ребер і , 2) кут між ребрами і ; 3) площа грані, яка містить вершини ; 4) обсяг піраміди; 5) рівняння прямих і ;

6) рівняння висоти , Опущеної з вершини на площину ;

7) відстань від вершини до площини ; 8) кут між ребром і гранню, яка містить вершини .

Решеніе.1) Довжини ребер і визначимо як модуль векторів і за формулами ;

;

2) Знайдемо координати векторів і :

Довжини цих векторів, тобто довжини ребер і , Такі: ,

. Косинус кута між ребрами і обчислимо за формулою ;

3) Площа грані (Трикутника) дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і , Тобто половина модуля векторного добутку цих векторів, що дорівнює

.

Тоді, (Кв. од);

4) Об'єм піраміди дорівнює .

(Куб. од);

5) Рівняння прямих і знайдемо як рівняння прямих, що проходять через дві дані точки:

( ): ,

( ): (Абсциси точок і однакові);

6) спрямовує вектор висоти є нормальний вектор площини . Отримаємо рівняння площини :

,

- Рівняння площини . Тоді нормальний вектор площини має координати . Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору має вигляд: ;

7) Для обчислення відстані від вершини до площини скористаємося формулою . У нашому випадку - Рівняння площини і . Отже, ;

8) Кут між прямою і площиною знаходять за формулою:

, Де - Нормальний вектор площини . і (див. п.7) . Таким чином, ,

.

Криві другого порядку

Визначення. Параболою називається множина точок площині (див. рис.7), для кожної з яких відстань до даної точки (Фокуса параболи) дорівнює відстані до деякої даної прямої (Директриси). Відстань від фокуса параболи до директорки називається параметром параболи. Парабола - симетрична крива; точка перетину параболи з її віссю симетрії називається вершиною параболи.

Канонічне рівняння параболи в декартовій системі координат: .

Визначення. Еліпс є безліч точок площині (див. рис.7б), для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок і (Фокусів) постійна і дорівнює .

Відрізок називається фокусною відстанню і позначається через . Середина є центр еліпса. Пряма, на якій лежать фокуси еліпса, називається першою віссю еліпса. Пряма, що проходить через центр еліпса перпендикулярно його першої осі, називається другою віссю еліпса. Осі еліпса є його осями симетрії. Точки перетину еліпса з осями симетрії називаються його вершинами. - Велика вісь еліпса, - Мала вісь.

Директоркою еліпса, яка відповідає цьому фокусу , Називається пряма , Перпендикулярна першій осі і віддалена від центру еліпса на відстань , Де - Ексцентриситет еліпса.

Канонічне рівняння еліпса в декартовій системі координат: , Де і - Велика і мала півосі еліпса, відповідно.


Визначення. Гіперболою називається безліч точок площині (див. рис.8), модуль різниці відстаней яких до двох даних точок і (Фокусів гіперболи) постійний і дорівнює . Фокусна відстань позначають через . Пряма, на якій лежать фокуси, називається дійсною (або фокальній віссю) гіперболи. Пряма, що проходить через центр гіперболи , Перпендикулярно до дійсної осі, називається


уявної віссю.

Директоркою гіперболи, яка відповідає цьому фокусу , Називається пряма , Перпендикулярна до дійсної осі, віддалена від центру на відстань і лежить від центру по один бік з фокусом, де - Ексцентриситет.

Гіпербола має дві асимптоти, задані рівняннями .

Канонічне рівняння гіперболи в декартовій системі координат: ,

де і - Половини сторін основного прямокутника гіперболи.

Приклад 9. Визначити вид лінії другого порядку, заданої рівнянням

.

Рішення. Виділимо повні квадрати по х і по у, отримаємо:

,

,

,

тобто маємо гіперболу, центр якої лежить в точці , .

Полярні координати. Для точки в площині Oxy її полярні координати визначаються парою чисел , Де - Довжина вектора , А - Кут нахилу вектора до полярної осі (позитивного напрямку осі Ox), - Довжина вектора .

Декартові і полярні координати пов'язані такими співвідношеннями:

.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Книга
57.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Векторна алгебра і деякі її застосування
Аналітична геометрія на площині
Аналітична геометрія Декарта і проблеми філософії техніки
Рішення до Збірника завдань з вищої математики Кузнєцова Л.А. - 9. Аналітична геометрія.
Рішення до Збірника завдань з вищої математики Кузнєцова Л.А. - 9. Аналітична геометрія.
Рішення до Збірника завдань з вищої математики Кузнєцова Л.А. - 9. Аналітична геометрія.
Рішення до Збірника завдань з вищої математики Кузнєцова Л.А. - 9 Аналітична геометрія (різне)
Векторна та растрова графіка
Векторна модель багатоелектронних атомів
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru