Багатогранник максимального обсягу

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

IV Гомельська науково-практична конференція школярів з математики, її додатків та інформаційних технологій
"Пошук"
Навчально-дослідна робота
«Багатогранник максимального обсягу»

Учня

11 «А» класу
ГУО ЗОШ № 22 м. Гомеля

Гончарова Дмитра Євгеновича

Науковий керівник -
Горський Сергій Михайлович, вчитель математики Державної установи освіти ЗОШ № 22 м. Гомель
Гомель, 2009

Зміст
Введення
1 Розгортка багатогранника
2 Збільшення обсягу
Список використаних джерел

Введення
Як відомо тілом максимального обсягу із заданою площею поверхні є шар.
У даній же роботі розглядається наступне завдання:
Дан довільний багатокутник. Потрібно скласти з нього багатогранник максимального обсягу.
Теорема Александрова (1932) дає нам достатні та необхідні умови існування опуклого багатогранника (причому єдиного) для заданої розгортки, але не говорить про те, як його побудувати. Конструктивне доказ теореми Александрова було дано Волковим [2] у 1955р.
Але в розглянутій задачі у нас немає умов склеювання багатогранника, тому з даного багатокутника, варіюючи умови склеювання, можна отримати кілька опуклих багатогранників. Наприклад, з розгортки куба, відомої під назвою латинський хрест, можна отримати 85 опуклих багатогранників 5 різних типів. Використовуючи метод динамічного програмування Ерік і Мартін Демайни [Erik Demaine, Martin Demain] спільно з Анна Любів [Anna Lubiw] і Жозеф О'Рурк [Joseph O'Rourke] в 2007 р. запропонували алгоритм побудови всіляких опуклих багатогранників з даного багатокутника.
Здавалося б, що завдання виконане: використовуючи алгоритм побудувати всі можливі многогранники і з них вибрати багатогранник з максимальним обсягом, але справа ускладнює теорема Блікер [Bleecker] (1996), яка стверджує, що будь-який опуклий багатогранник, межі якого - трикутники можна перетворити на неопуклих багатогранник більшого об'єму. У 2006 р. Ігор Пак і Гурій Самарін незалежно один від одного довели узагальнення теореми Блікер - з розгортки будь-якого опуклого багатогранника можна скласти неопуклих багатогранник більшого об'єму.
У 2002 р. С.М. Михальова був запропонований приклад двох багатогранників - опуклого і неопуклого - складених з однакових граней таких, що обсяг опуклого багатогранника менше обсягу неопуклого.

1. Розгортка багатогранника

Що таке розгортка багатогранника? Ви скажіть - шматок картону, з якого можна згорнути даний багатогранник. У цьому є правда, але це не вся правда. Виявляється, поняття розгортки включає в себе більше, ніж просто шматок картону.
Нехай є, взагалі кажучи, кілька багатокутників, у яких кожна сторона ототожнена з однією і тільки однією стороною того ж або іншого багатокутника цієї сукупності. Це ототожнення (або склеювання) сторін має задовольняти ще двом умовам:
1) ототожнюються сторони мають однакову довжину;
2) від кожного багатокутника до будь-якого іншого
можна перейти, проходячи по багатокутників, які мають ототожнені сторони.
Сукупність багатокутників, що задовольняє умовам 1) і 2), називається розгорткою.
Нам знадобиться ейлерова характеристика розгортки, яка визначається аналогічно Ейлера характеристиці багатогранника:
χ = B-P + Г,
де Г - число багатокутників, що входять до розгортку, Р - число сторін багатокутників, при цьому ототожнюються сторони вважаються за одну, В - число вершин, при цьому ототожнюються вершини вважаються за одну.
У разі спеціальної розгортки, коли кожен багатокутник розгортки - це грань багатогранника, ребро розгортки - це ребро багатогранника, а вершина розгортки - вершина багатогранника, очевидно, що ейлерова характеристика розгортки дорівнює Ейлера характеристиці багатогранника.
Але неважко показати, що ейлерова характеристика зберігається при перекроювання даної розгортки в ізометричні, так що ейлерова характеристика будь-якої розгортки багатогранника дорівнює характеристиці багатогранника. Тому у розгортки опуклого багатогранника ейлерова характеристика дорівнює 2.
Далі, якщо вершині розгортки відповідає справжня вершина багатогранника, то сума відповідних кутів строго менше 2π. Якщо ж вершині розгортки відповідає яка-небудь точка всередині грані або ребра, то сума відповідних до вершини кутів дорівнює 2π. Тому в розгортці опуклого багатогранника сума кутів, що підходять до кожної її вершині, не перевищує 2π.
Отже, у всякої розгортки опуклого багатогранника ейлерова характеристика дорівнює двом, а сума кутів, підходять до кожної вершині, не перевершує 2π.
Дивно те, що ці умови є не тільки необхідними, а й достатніми.
Теорема про розгортці (А. Д. Александров). З будь-якої розгортки, що задовольняє умовам:
(1) її ейлерова характеристика дорівнює 2;
(2) сума кутів, що підходять до будь-якої вершині розгортки, не перевершує 2π, можна склеїти опуклий багатогранник.
2 Збільшення обсягу
Пам'ятаєте, як виглядав пакет молока за радянських часів? Дивно, що вся країна купувала ці пакети майже кожен день протягом більше 20 років, але мало хто зараз пам'ятає точно, що на них було намальовано ...
Але всі звичайно пам'ятають, що пакет молока був у вигляді тетраедра (правильної трикутної піраміди). Винайшла пакети у вигляді тетраедра фірма ТетраПак в 40-х роках XX століття, звідки і бере свою назву. У ті роки ця фірма зробила два важливих нововведення. По-перше, рідкі продукти почали наливати в картон. По-друге, виготовлення тетраедральних пакетів було настільки простим, що його можна було помістити прямо на молокозаводах.
Чи можна з шматка картону, з якого зроблений цей молочний пакет, зробити пакет з більшим об'ємом, ніж сам тетраедр?
Математично задача формулюється так: чи можна з ^ розгортки тетраедра зробити багатогранник з великим обсягом?
:) Олександр Данилович АЛЕКСАНДРОВ (1912-1999) - російський математик, який досліджував велике коло питань, включаючи геометрію опуклих тіл, теорію міри, теорію диференціальних рівнянь в приватних похідних і математичні основи теорії відносності
По теоремі А.Д. Александрова опуклий багатогранник з тієї ж розгорткою, але великим об'ємом зробити не можна. Але може бути можна зробити неопуклих з великим обсягом?
Дивно, але виявляється що можна!
Давайте прослідкуємо за конструкцією, запропонованої Девідом Блікером в 1996 році. Розведемо межі і на кожній додамо додаткові вершини і ребра. Візьмемо центральний правильний трикутник, визначений співвідношенням, що його сторона в ^ два рази більше відстані від його вершини до боку грані. Проведемо ^ додаткові ребра.
Ті ж побудови ^ зробимо на кожній грані. Зігніть кожну грань наступним чином - кути і середини сторін у бік центру, а центральний трикутничок - від центру. Всі грані вигнуті однаково, і їх можна ^ склеїти в багатогранник. Деякі нові грані лежать в одній площині і ребра між ними зникають.
Підрахуємо обсяг отриманого багатогранника. Для цього ^ розіб'ємо його на частини. Отриманий багатогранник складається з 4 однакових шестикутних пірамідок і фігури, яка є усіченим тетраедром. Щоб простіше порахувати обсяг, додамо усічені у тетраедра кути - маленькі тетраедри, а від отриманого значення обсягу віднімемо обсяг доданих шматочків.
Виявляється, що обсяг отриманого таким способом багатогранника більше ніж на 37.7 відсотків ^ перевершує обсяг початкового тетраедра, що має ту ж розгортку! Тобто зі шматка картону, з якого робилися тетрадральние пакети, можна робити пакети які вместітельнєє більш ніж на третину!
Дивно, але тетраедр не є винятком. Виявляється, що з розгортки будь-якого опуклого багатогранника з трикутними гранями можна зробити неопуклих багатогранник з більшим обсягом.
Цю теорему довів у 1996 році Д. Блікер і привів алгоритм, як це робити.
У своїй статті, крім многогранників з трикутними гранями, Д. Блікер розглянув два правильних багатогранника, що не потрапляють в цей клас - куб і додекаедр. З їх розгорток також можна скласти неопуклі багатогранники з великим об'ємом, ніж у початкових опуклих.
Влітку 2006 року, двома математиками - аспірантом МДУ Гурієм Самаріним та Ігорем Паком з MIT - незалежно один від одного було доведено, що
З розгортки будь-якого опуклого багатогранника завжди можна скласти неопуклих багатогранник з більшим обсягом.
Умова трикутних граней було лише технічним моментом, що дозволила Блікер довести свою теорему, але в задачі воно не по суті - теорема вірна і без цієї умови.

Список використаних джерел
1. David D. Bleecker. Volume increasing isometric deformations of convex polyhedra / DD Bleecker / / Journal Differential Geometry. 1996. V. 43. P. 505-526.
2. Долбілін Н.П., Перлини теорії багатогранників / Н.П. Долбілін - М. МЦНМО, 2000.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
18.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Визначення поверхневого натягу методом максимального тиску в газовому бульбашці
Рішення задач методом північно-західного кута рапределітельного мінімального і максимального
Рішення задач методом північно західного кута рапределітельного мінімального і максимального елемента
Аналіз обсягу попиту
Розрахунок обсягу виробництва
Обгрунтування обсягу продажів
Фінансовий менеджмент 2 Розрахунок обсягу
Вибір фірмою обсягу виробництва
Аналіз обсягу виробництва і реалізації продукції
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru