Багатовимірні послідовності Фібоначчі

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Державна установа освіти
Гімназія № 8 г . Вітебська
БАГАТОВИМІРНИХ
послідовності Фібоначчі
Вітебськ, 2009

Зміст
Введення, основні поняття
1. Властивості послідовності
2. Упорядкування, обчислення елементів послідовності
3. Деякі залежності між уявними трійками
4. Практичне застосування, доповнення
4.1 Рішення завдання «Математики грають»
4.2 Фігури в декартових системах координат
Заключна частина
Напрямки для досліджень

Література


Введення, основні поняття

Широко відома класична послідовність чисел Фібоначчі, в якій перші два елементи дорівнюють одиниці (F 1 = F 2 = 1), а кожний наступний дорівнює сумі двох попередніх. (F i +2 = F i +1 + F i.) У даній роботі представлена ​​послідовність, схожа з побудови з послідовністю Фібоначчі, але складається не з чисел, а з трійок чисел (Далі будемо називати її тривимірною послідовністю Фібоначчі). Мета даної роботи - знайти формули залежності між її членами, рекурентні співвідношення, загальні формули. Також в роботі розглянуті можливі застосування даної послідовності: при вирішенні завдання з турніру юних математиків (м. Мінськ, 2007 р .), І крім цього, були розглянуті фігури в декартових системах координат, чиї вершини мають координати, рівні відповідним компонентам трійок.
Дамо визначення основних понять.
· Адитивна трійка - трійка цілих чисел (a, b, c), де одне з чисел дорівнює сумі двох інших. Натуральной адитивної трійкою назвемо ту, в якій всі числа натуральні, уявної адитивної трійкою назвемо ту, в якій хоча б одне число недодатній.
· Похідна адитивної трійки першим і другим способом. Занумеруем змінні циклічно. Нехай в деякий момент i-1, i, i +1 - номери компонент трійки, отримані циклічної перестановкою номерів 1, 2, 3, причому такий, що число з номером i дорівнює сумі двох інших. Тоді її похідна «першим способом» - це трійка чисел, де числа з номерами i, i-1 залишаються незмінними, а число з номером i +1 замінюється на суму двох інших. Аналогічно, похідна другим способом - це та трійка, де числа з номерами i, i +1 залишаються незмінними, а число з номером i-1 замінюється на суму двох інших.
· Похідну першим способом від адитивної трійки T позначимо f (T), а похідну другим способом - g ​​(T).
Наприклад, похідні від трійки (1, 2, 3) першим і другим способом відповідно - це трійки (5, 2, 3) і (1, 4, 3). При цьому трійки виду (p + q, p, q) назвемо адитивними трійками 1 роду, трійки виду (p, p + q, q) - адитивними трійками 2 роди, трійки виду (p, q, p + q) - відповідно адитивними трійками 3 роду.
· Найпростіші трійки - це адитивні трійки (2,1,1), (1,2,1) та (1,1,2)
· Безліч на k-тому ходу - це деяка множина, що складається з декількох адитивних трійок. Правила побудови цих множин будуть описані нижче. Кожна адитивна трійка є або найпростішої трійкою, або похідною від деякої іншої адитивної трійки.

1. Властивості послідовності
Побудуємо послідовність, і назвемо її тривимірною послідовністю Фібоначчі. Ця послідовність буде складатися з множин М 1, М 2, ... і так далі. Безліч М 1 складається всього з однієї адитивної трійки (2,1,1). Далі будуємо послідовність наступним чином: Якщо адитивна трійка Т міститься в М i, то її похідна першим способом міститься в М i +1, а похідна другим способом міститься в М i +2. Крім цього, безліч М 2 доповнюється найпростішої трійкою (1, 2,1), а безліч М 3 - відповідно найпростішої трійкою (1,1,2).
Зрозуміло, що при цьому адитивні трійки 1 роду лежать в множинах М 1, М 4, М 7, ..., М 3 k +1, ..., адитивні трійки 2 роди відповідно лежать в множинах М 2, М 5, М 8, ..., М 3 k +2, ..., і, нарешті трійки 3 роди - відповідно в множинах М 3, М 6, М 9, ..., М 3 k, ...
Нижче представлено схематичне зображення цієї послідовності, у вигляді таблиці:

Мн-во
Трійки
| Mi |
M 1
(2,1,1)
1
M 2
(2, 3, 1)
(1, 2, 1)
2
M 3
(2, 3, 5)
(2, 1, 3)
(1, 2, 3)
(1, 1, 2)
4
M 4
(8,3,5)
(4,3,1)
(4,1,3)
(3,2,1)
(5,2,3)
(3,1,2)
6
M 5
(8,13,5)
(4,5,1)
(4,7,3)
(5,8,3)
(3,5,2)
10
(2,7,5)
(2,5,3)
(3,4,1)
(1,4,3)
(1,3,2)
...
...
16
Зауважимо, що починаючи з n = 3, кількість елементів у безлічі M i дорівнює i-того числа з послідовності Фібоначчі, помноженому на 2. (| M i | = 2F i).
Дійсно, кожна множина складається з похідних трійок попереднього множини, і попереднього за ним. Тому його потужність дорівнює сумі потужностей двох попередніх множин. Для n ³ 3 | M i | = | M i -1 | + | M i -2 | (Під послідовністю Фібоначчі тут розуміється послідовність F n, де F 1 = F 2 = 1, F i +2 = F i +1 + F i, i> 1)
Номер тієї компоненти трійки, яка дорівнює сумі двох інших, відповідає залишку при діленні числа q на 3, де q - номер множини, в якому міститься дана трійка.

Властивості тривимірної послідовності Фібоначчі

Доведемо наступні дві теореми:
1. Всі числа адитивної трійки попарно взаємно прості.
2. Будь-яка адитивна трійка з взаємно простими компонентами входить в тривимірну послідовність Фібоначчі, причому рівно один раз.
Доказ (Теорема 1). Порахуємо найбільший загальний дільник будь-яких двох чисел в такій трійці. За алгоритмом Евкліда, він рівний найбільшому загальному дільнику в попередній адитивної трійці, з якої була утворена дана. Так як всі такі трійки, в кінцевому підсумку, утворюються з найпростіших трійок, в яких будь-які два числа взаємно прості, то в будь-трійці всі числа попарно взаємно прості. Теорема доведена.
Доказ (Теорема 2). Розіб'ємо теорему на два твердження. Перше твердження: «Ніяка трійка в послідовності не зустрінеться двічі». Друге твердження: «Будь-яка адитивна трійка з взаємно простими компонентами входить в тривимірну послідовність Фібоначчі».
Позначимо за відношення між двома числами, сума яких утворює третє число адитивної трійки (для зручності відносини можна брати циклічно, наприклад, якщо сума стоїть на другому місці у трійці, то береться ставлення третього числа до першого, а якщо сума стоїть на першому місці, то розглядається відношення другого числа до третього). Оскільки числа адитивної трійки попарно взаємно прості, то λ можна вважати несократімой дробом. Для конкретної трійки M a [b] відомий номер множини, в якому вона міститься, значить, можна сказати, на якому місці у трійці стоїть сума. Отже (так як числа взаємно прості), з несократімой дробу можна відновити вихідну трійку. Тому далі замість адитивних трійок ми для зручності докази будемо писати лише число λ. Ясно, що якщо було виписано число λ, то в більш нижніх рядах будуть виписані числа і . Тепер доведемо вихідні твердження. Зрозуміло, що похідна «першим способом», тобто f (λ) дає трійку ( ), А другим способом, тобто g (λ), дає трійку ( ). Знаючи таке число, можна визначити (з урахуванням наведених нерівностей), за допомогою якої похідної воно було утворено. Дійсно, якщо λ <1, то вона утворена за допомогою першої похідної, якщо λ> 1, то з допомогою другої. Якщо λ = 1, то ця трійка - найпростіша. Отже, для кожної адитивної трійки ми однозначно відновлюємо її Первісні аж до найпростішої трійки. Якби зустрілися дві однакові трійки, то вони, з урахуванням наведених міркувань, були б утворені від однієї найпростішої, і стояли б в одному безлічі, а значить, збігалися. Тому таке неможливо. Перше твердження доведено. З іншого боку, щоб довести друге твердження, досить розглянути довільну дріб і показати, що за допомогою наведених вище перетворень можна отримати цей дріб з одиниці. Це неважко зробити, використовуючи алгоритм Евкліда. Якщо дріб більше одиниці, віднімемо від неї одиницю. Якщо менше, то розділимо одиницю на цей дріб. Оскільки числа в дробу взаємно прості, то нескінченно такі перетворення виконувати не можна, тому рано чи пізно ми прийдемо до одиниці, а значить, таке число (і відповідна йому адитивна трійка) буде міститися в 3-х мірної послідовності Фібоначчі.
Теорема доведена.

2. Упорядкування, обчислення елементів послідовності
Впорядкуємо елементи кожного безлічі наступним чином:
Для початку, i-тий елемент множини M k будемо позначати М k [i].
У першому безлічі знаходиться єдина адитивна трійка: М 1 [1] = = (2,1,1).
f (М a [b]) = M a +1 [b] (Перша похідна від адитивної трійки М a [b] лежить в наступному безлічі, але індекс адитивної трійки зберігається.)
g (M a [b]) = M a +2 [b + | M a +1 |] (Друга похідна від адитивної трійки лежить в безлічі «через одне», індекс збільшується на кількість елементів у множині М a +1.)
Зобразимо це схематично (кожна адитивна трійка позначена точкою).
M 1 [1]
M 2 [1]


Отже, ми занумеровані, тобто впорядкували елементи кожного безлічі М i. Визначимо для всіх a і b, для яких визначена адитивна трійка М a [b], всі три її елемента.
Для початку знайдемо всі трійки виду M a [1] (трійки першого стовпця). Обчислюючи результати перших трійок, помічаємо загальну закономірність і обчислюємо загальний вигляд.
M 1 [1] = (2, 1, 1) = (F 3, F 1, F 2)
M 3k +1 [1] = (F 3k +3, F 3k +1, F 3k +2)
M 2 [1] = (2, 3, 1) = (F 3, F 4, F 2)
M 3k +2 [1] = (F 3k +3, F 3k +4, F 3k +2)
M 3 [1] = (2, 3, 5) = (F 3, F 4, F 5)
M 3k [1] = (F 3k, F 3k +1, F 3k +2)
Зауважимо, що якщо потрібно обчислити деяке число зі звичайної послідовності Фібоначчі, можливо, із зміненими першими членами, то для цього ідеально підходить характеристичний многочлен. Таким чином, всі адитивні трійки першого стовпця можна обчислити в загальному вигляді.

3. Деякі залежності між уявними трійками
Тепер розширимо поняття M a [b]. Визначимо її для всіх цілих a. Для цього введемо поняття «первісної».
Первообразной від адитивної трійки Т 1 назвемо таку адитивну трійку Т 0, що похідна першим способом від неї дорівнює адитивної трійці Т 1. При цьому варто відзначити, що не кожна первообразная є натуральною трійкою, тобто не всі числа в первообразной натуральні.
Первісні від трійок вважаються за наступним правилом:

Аналогічним чином можна визначити «N разів похідну» і «N раз первісну» - це композиції N поспіль функцій або f, або g, або f -1. Помістимо первісну від адитивної трійки M a [b] у безліч M a -1,
тобто f -1 (M a [b]) = M a -1 [b]. Таким чином, багатовимірна послідовність Фібоначчі визначена M a [b] для всіх цілих b.
Тепер отриману 3х-мірну послідовність Фібоначчі можна зобразити так:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Отже, визначені всі адитивні трійки M a [b], де b - натуральне, a ціле. Зокрема, розглянемо адитивні трійки виду M 1 [i], тобто трійки, що перебувають у першому ряду.
Кожна така адитивна трійка має вигляд (x i + y i, x i, y i) і визначається двома числами: x i і y i.
Розглянемо послідовність Фібоначчі, в якій перші два числа рівні відповідно x i і y i, а кожне число, починаючи з третього, як і раніше дорівнює сумі двох попередніх. Знаючи числа x i, y i i-того стовпця можна обчислити всі адитивні трійки в цьому стовпці, по аналогії з першим стовпцем.
Отже, мають місце такі рівності:
M 3k +1 [i] = (F 3k +3, F 3k +1, F 3k +2)
M 1 [i] = (x i + y i, x i, y i)
M 3 k +2 [i] = (F 3 k +3, F 3 k +4, F 3 k +2)
F 1 = x i, F 2 = y i
M 3 k [i] = (F 3 k, F 3 k +1, F 3 k +2)
F n +2 = F n +1 + F n
Зрозуміло, що якщо ми знайдемо перше адитивну трійку деякого стовпця, то зможемо обчислити і всі інші трійки цього стовпця. Нижче записані перші трійки стовпців з номерами від 1 до 10.
M1 [1] = (2, 1, 1)
M1 [2] = (1, 0, 1)
M1 [3] = (2, 3, -1)
M1 [4] = (1, 1, 0)
M1 [5] = (-2, -7, 5)
M1 [6] = (-1, 4, 3)
M1 [7] = (8, 19, -11)
M1 [8] = (5, 12, -7)
M1 [9] = (4, 9, -5)
M1 [10] = (3, 7, -4)

Нижче викладено алгоритм по знаходженню спільної члена послідовності. Для початку визначимо ряд Фібоначчі для всіх цілих чисел. F - n = (-1) n +1 F n.
Далі визначимо формулу для «N раз похідної» (ця ж формула виконується для «N раз первообразной»)
Нехай вихідна трійка має вигляд:

Тоді її похідні дорівнюють:

Тепер обчислимо всі елементи першого рядка рекуррентно, але з маленьким числом дій.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l F (8) = 5

Для початку зауважимо, що кожне число n більше 4 лежить між двома подвоєними числами Фібоначчі. (2F i -1 n 2F i) Кожному n поставимо у відповідність номер i і назвемо це «зворотного функцією Фібоначчі» для n. Де це використовується при вирішенні задачі? Виявляється, така «зворотна функція» від n вказує на номер рядка, в якій уперше для даного стовпця зустрічається натуральна трійка. Дійсно, кількість елементів кожного рядка (крім першої) дорівнює подвоєному відповідає числу Фібоначчі. Назвемо таку зворотну функцію l F (N).
Тепер, опускаючись з трійки стовпця в першу натуральну трійку, і далі піднімаючись по стрілці (так як така трійка завжди утворена за допомогою похідної «другим способом»), неважко перевірити справедливість наступної формули:

Наприклад,

Поряд із загальною формулою, для всіх натуральних трійок вірна більш проста, рекурентна, яка випливає з визначення (ця формула для уявних трійок, взагалі кажучи, не виконується):

Деякі залежності між уявними трійками

Для початку випишемо таблицю, яка містить деякі трійки не в схематичному, а в безпосередньому вигляді. (Див. додаток)
Якщо брати похідні другим способом від уявних трійок, можна помітити наступні закономірності (для деяких трійок), наприклад:
f-2 (g (T)) = g -1 (f 2 (T))
g (f -3 (g (T )))=- f (g (f (T)))
Їх можна довести, використовуючи визначення похідних і первісних. Доведемо твердження для трійки 1 роду (аналогічне твердження для решти виходить циклічним зсувом компонент)
1. f-2 (g (T)) = g -1 (f 2 (T))
(P + q, p, q) -> (f) -> (p + q, p +2 q, q) -> (f) -> (p + q, p +2 q, 2 p +3 q) -> (g -1) -> (p + q, p +2 q,-q)
(P + q, p, q) -> (g) -> (p + q, p, 2 p + q) -> (f -1) -> (p + q, p,-q) -> ( f -1) -> (p + q, p +2 q,-q)
Так як кінцеві результати перетворень вірні для будь-яких чисел p, q, то твердження вірне для будь-яких трійок Т. Аналогічно доводиться друге твердження.
2.g (f -3 (g (T )))=- f (g (f (T)))
(P + q, p, q) -> (g) -> (p + q, p, 2p + q) -> (f -1) -> (p + q, p,-q) -> (f -1) -> (p + q, p +2 q,-q) -> (f -1) ->
-> (-P-3q, p +2 q,-q) -> (g) -> (-p-3q,-p-4q,-q) = - (p +3 q, p +4 q, q)
(P +1, p, q) -> (f) -> (p + q, p +2 q, q) -> (g) -> (p +3 q, p +2 q, q) -> (f) -> (p +3 q, p +4 q, q)
Далі досліджуємо умови, необхідні і достатні для існування адитивної трійки в тривимірній послідовності Фібоначчі.
Лема. Якщо трійка (a, b, c) знаходиться в тривимірній послідовності Фібоначчі, то хоча б одне з чисел a, b, c позитивно.
Доказ. Припустимо, що в даній трійці всі компоненти негативні. Ясно, що якщо трійка міститься в послідовності, то ладу похідні від неї (першим способом), ми рано чи пізно отримаємо трійку з усіма натуральними компонентами. Але якщо брати похідні від трійки з недодатні компонентами, то будуть виходити тільки трійки з недодатні компонентами. Протиріччя. Лема доведена.
Примітка. Всі наведені нижче теореми вірні для циклічного зсуву компонент трійок.
Теорема
Нехай p, q - натуральні взаємно прості числа. Тоді справедливі твердження.
а) трійка (p + q, p,-q) = T завжди знаходиться в тривимірній послідовності Фібоначчі.
б) трійка (p + q,-p, q) = T знаходиться в послідовності тоді і тільки тоді, коли ( - Золотий переріз, )
в) трійка (-pq, p,-q) = T знаходиться в послідовності тоді і тільки тоді, коли
г) трійка (-pq,-p, q) = T не перебуває в тривимірній послідовності Фібоначчі.
Доказ.
а) Візьмемо похідну від трійки, першим способом. Отримаємо:
f (p + q, p,-q) = (p + q, p, 2p + q). Тобто раз ми отримали натуральну трійку, то вихідна трійка дійсно міститься у вихідній послідовності.
г) Аналогічно, візьмемо похідну. f (-pq,-p, q) = (-pq,-p,-2p-q). Отримано трійка з негативними компонентами, а по лемі, наведеної на початку глави, такий трійки не міститься в послідовності, значить, вихідна трійка в послідовності також не міститься.
в) Будуючи послідовно похідні, отримуємо трійки, кожна компонента яких має вигляд F n qF n +1 p. Так як в остаточному підсумку кожна компонента має стати більше нуля, то нерівність F n qF n +1 p> 0 повинно виконуватися для всіх n> M для деякого M. При n прагне до нескінченності отримуємо , Або
б) Аналогічно отримуємо (множачи всі числа в пункті в. на мінус один), що кожний компонент має вигляд-F n q + F n +1 p> 0, і .
Як наслідок, з трійок в умові пунктів б) і в) існує рівно одна.
Досліджуємо вміст множин, використовуваних при побудові. Через S позначимо безліч трійок, що містяться в тривимірній послідовності Фібоначчі. S g - це множина {g (T) | TÎS}. Безліч S Z буде позначати безліч всіляких трійок з попарно взаємно простими цілими компонентами.
Можна припустити, що виконується наступне твердження:
S g ÈS = S z
Також можна висунути таку гіпотезу: якщо б уявна частина послідовності S будувалася за допомогою застосування первообразной другим способом, а не першим, то така послідовність S 0 не співпадала б з вихідною послідовністю S.

4. Практичне застосування

4.1 Рішення завдання «Математики грають»

Завдання. У трьох математиків написані на головах натуральні числа, причому одне з них дорівнює сумі двох інших. Кожен математик бачить два інших числа, але не бачить своє. Кожного математика запитують (по колу), чи знає він своє число. Доведіть, що через деякий час хтось з математиків вгадає число, написане у нього на лобі, причому це буде той математик, у якого написана сума двох інших чисел.
Рішення. Розглянемо тривимірну послідовність, де всі числа помножені на одну і ту ж натуральну константу a. Назвемо відповідь кожного математика ходом; числа першого, другого і третього математика помістимо у впорядковану трійку у відповідному порядку. Неважко показати, що безліч M i містить всі можливі трійки на i-те ходу. Доведемо це за допомогою математичної індукції. Для початку, зрозуміло, що якщо трійка має вигляд (2a, a, a), то математик, бачачи перед собою два рівних числа, визначає, що у нього на голові написана не сума чисел, а їх різниця. Аналогічне вірно для трійок (a, 2a, a), (a, a, 2a). Тепер покладемо, що для перших k чисел доведено, що якщо трійка чисел (поділена на НОД чисел) знаходиться в множині M k, то на k-тому ходу математик, у якого на голові написана сума, вгадає своє число. Тепер розглянемо трійку, що міститься в множині M k +1. Математик з сумою на голові (на k +1 ходу повинен відповідати саме він) може міркувати таким чином: «Припустимо, у мене на голові написана різниця. Тоді я можу однозначно визначити трійку чисел на наших головах. Але в цьому випадку ще на попередньому ходу математик, що стоїть переді мною, вгадав би число, написане на його голові. Отже, на моїй голові написана не сума, а різницю ». Так як було показано, що всі можливі трійки містяться в цій послідовності, то рано чи пізно хтось з математиків відгадає своє число. Більше того, так як на 3k + q-том ходу відповідає q-тий математик, і по властивості послідовності, на q-тому місці написана сума двох інших чисел, то вгадає своє число саме той математик, у якого на лобі написана сума. Отже, завдання доведена.
Самі по собі цікаві деякі пункти цього завдання.
· Чи можемо ми, тобто «спостерігачі», знаючи відповідь математика, вгадав своє число, і кількість ходів перед правильною відповіддю, визначити всі інші числа?
Подивимося, коли це можливо. Зрозуміло, що кожна адитивна трійка міститься в одній з множин M i, номер якого легко визначається з кількості ходів. Від нас вимагається показати, що з усіх адитивних трійок даної множини можна вибрати лише одну, що задовольняє умовам. Для початку, позначимо відношення числа, що дорівнює сумі, до відповіді математика, через деяке число p. Знайдемо її кожної трійки окремо. Ясно, що числа на головах математиків виходять домноженіем всіх чисел трійки на цей множник. Умовою для єдиності рішення є той факт, що існує єдина трійка, до якої всі три числа цілі.
· Припустимо, що на головах у математиків написані довільні цілі числа (але не обов'язково одне з чисел дорівнює сумі двох інших), але математики грають за тими ж правилами, тобто вважають, що в одного з них все ж на голові написана сума. Найцікавіше те, що врешті-решт знайдеться математик, який вважатиме, що відгадав своє число.
Для того, щоб знайти це кількість ходів, зробимо таке перетворення. Ясно, що всім трійкам в тривимірній послідовності Фібоначчі можна поставити у відповідність певне раціональне позитивне число (Причому це відповідність буде взаємно однозначною. Цей факт доводилася на початку роботи після введення основних понять, у доведенні двох теорем). Якщо одне з таких чисел буде дорівнювати одному з відносин чисел, записаних на головах математиків, і це число буде стояти у відповідному множині (номер повинен мати відповідну кратність трьом), то відповідний математик буде стверджувати, що відгадав своє число.
· Числа на головах у математиків не натуральні, а цілі. У цьому випадку, однак, все можливих трійки обмежуються трьома приватними випадками.
· Математиків не четверо, а більше. У цьому випадку будується за аналогією 4х-мірна, 5-мірна, і т.д. послідовність Фібоначчі. Рішення завдання майже аналогічно.

4.2 Фігури в декартових системах координат, з вершинами в координатах, рівних числах трійки

Розглянемо фігуру в тривимірному просторі (можливо, це багатогранник, можливо і фігура, всі точки якої лежать в одній площині), координати точок якої є деякими трійками з 3х-мірної послідовності Фібоначчі. Досліджуємо для початку, вид цієї постаті в залежності від обраних трійок.
· Трійки вибираються таким чином, що сума чисел завжди стоїть на одному і тому ж місці. Такі трійки або лежать в одному безлічі M i, або лежать, в множинах, чиї індекси розрізняються на число, кратне трьом. Тоді всі такі трійки лежать в одній площині. Дійсно, нехай числа трійки позначають, відповідно, координати x, y, z точки, і виконується умова x + y = z. Але широко відомо, що рівняння площини має вигляд Ax + By + Cz = 0, тобто точка з координатами (x, y, z) задовольняє цій умові і лежить в деякій площині (однієї і тієї ж для всіх таких трійок (x, y , z)). Також, якщо потрібно, щоб точки не лежали в одній площині, потрібно стежити за тим, щоб жодна з координат не була однаковою у всіх вибраних точках, інакше фігура буде лежати повністю в площині, перпендикулярної одному з одиничних векторів.
· Отже, показано, що вершини багатогранника лежать в одній з трьох площин. Наприклад, взявши чотири точки так, щоб вони не лежали в одній площині, ми отримаємо тетраедр. Тепер, знаючи формули об'єму через координати точок, неважко його (обсяг) знайти.
· Також можна розглядати трійки точок і вважати площі отриманих трикутників, якщо точки не лежать на одній прямій. Для цього проектуємо площину, що містить ці точки, на площину, яка визначається двома базовими векторами (наприклад, площина Oxy, якщо площина, що містить дані три точки, не перпендикулярна цій площині). А площа спроецированного в двомірне декартово простір трикутника неважко порахувати.

Напрямки для досліджень

· Розглянути інші способи побудови послідовності. Наприклад, розглядати в якості найпростіших трійок не (2, 1, 1) і її перестановки, а деякі інші трійки.
· Дослідити залежності між уявними трійками. Також дослідити залежності між натуральними трійками, приміром, дізнатися які трійки виходять один з одного перестановкою елементів. Знаючи числа трійки, визначити її положення в послідовності.
· Розглянути багатовимірні послідовності Фібоначчі, що складаються з четвірок, п'ятірок, груп з n елементів.
· Дослідити властивості послідовності, в якій n-ки будуються за наступним правилом: t = ax + by + ... + cz, де t - утворюється число, x, y, ..., z -
(N-1) чисел n-ки, a, b, ..., c - деякі дійсні коефіцієнти.

Література

1. Воробйов М.М. Числа Фібоначчі. Москва, «Наука», 1969, 112 стор
2. Завдання «Математики грають» IX республіканського турніру юних математиків (Мінськ, 2007)
2. Трігг Ч. Завдання з родзинкою. Москва, «Світ», 1975, 302 стор (завдання № № 97, 209)
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
84.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Багатовимірні і багатозв`язних системи
Филлотаксисом і послідовність Фібоначчі
Комп`ютер Фібоначчі
Liber аbaci Леонардо Фібоначчі
Послідовності
Зворотні послідовності
Математичні послідовності Межа функції
Програмування рекурентні послідовності та співвідношення
Межа послідовності Теорема Штольца
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru